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1

Pesquisa Operacional

Introdução à Pesquisa Operacional

Programação Linear

Sumário

2

• Modelagem e limitações da Programação Linear.

• Resolução Gráfica.

• Forma padrão de um modelo de Programação Linear.

• Definições e Teoremas.

• Forma canônica de um sistema de equações lineares.

• Método Simplex.

• Exercícios

3

Programação Linear:

Preocupação em encontrar a melhor solução para problemas

associados com modelos lineares.

Modelo de Programação Linear:

Maximização (ou minimização) de uma função objetivo linear com

relação as variáveis de decisão do modelo.

Respeitando-se as limitações (restrições) do problema expressas por

um sistema de equações e inequações associadas com as variáveis de

decisão do modelo.

Programação Linear

Modelagem em Programação Linear

4

Razões para o uso da Programação Linear:

1. Grande variedade de situações podem ser aproximadas por

modelos lineares.

2. Existência de técnicas (algoritmos) eficientes para a solução

de modelos lineares.

3. Possibilidade de realização de análise de sensibilidade nos

dados do modelo.

4. Estágio de desenvolvimento da tecnologia computacional.


5

Passos básicos na obtenção de modelos de PL:

1. Identificar as variáveis de decisão, representá-las em simbologia

algébrica.

2. Identificar as restrições do problema, expressá-las como

equações ou inequações lineares em termos das variáveis de

decisão.

3. Identificar o objetivo de interesse no problema, representá-lo

como função linear em termos das variáveis de decisão, que

deverá ser maximizada ou minimizada.


6

Construção de modelos não é uma ciência, mas uma

arte, podendo ser melhorada com a prática.

Exemplos a serem trabalhados:

Determinação do mix de produção

Seleção de mídia para propaganda

Um problema de treinamento

Uma indústria química

Uma oficina mecânica

Dimensionamento de equipes de inspeção


7

Determinação do mix de produção

Uma companhia deseja programar a produção de um utensílio de cozinha

que requer o uso de dois tipos de recursos – mão-de-obra e material. A

companhia está considerando a fabricação de três modelos e o seu

departamento de engenharia forneceu os dados a seguir:

Modelo

A B C

Mão-de-obra

(horas por unidade) 7 3 6

Material

(kg por unidade) 4 4 5

Lucro

($ por unidade) 4 2 3

O suprimento de material é de

200 kg por dia. A

disponibilidade diária de mão-

de-obra é 150 horas. Formule

um modelo de Programação

Linear para determinar a

produção diária de cada um dos

modelos de modo a maximizar

o lucro total da companhia.


8

Formulação do modelo

1. Identificação das variáveis de decisão: XA – produção diária do modelo A XB – produção diária do modelo B XC – produção diária do modelo C

2. Identificação das restrições:

(Limitação de mão-de-obra) 7XA + 3XB + 6XC 150

(Limitação de material) 4XA + 4XB +5XC 200

(Não-negatividade) XA 0, XB 0, XC 0.

3. Identificação do objetivo: maximização do lucro total

Lucro Total = L = 4XA + 2XB +3XC

Max L = 4XA + 2XB +3XC


9

Modelo

Encontrar números XA, XB, XC tais que:

Max L= 4XA + 2XB +3XC

Sujeito as restrições: 7XA + 3XB +6XC 150

4XA + 4XB +5XC 200

XA 0, XB 0, XC 0


10

Seleção de mídia para propaganda

Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em 03

diferentes meios: TV, rádio e revistas. Pretende-se alcançar o maior

número de clientes possível. Um estudo de mercado resultou em:

TV

horário

TV

horário

Rádio Revistas

normal nobre

Custo 40.000 75.000 30.000 15.000

Clientes

Atingidos 400.000 900.000 500.000 200.000

Mulheres

Atingidas 300.000 400.000 200.000 100.000

0bs: valores válidos para cada veiculação da propaganda.


11

A companhia não quer gastar mais de $ 800.000 e, adicionalmente,

deseja:

(1) Que no mínimo 2 milhões de mulheres sejam atingidas;

(2) Gastar no máximo $ 500.000 com TV;

(3) Que no mínimo 03 veiculações ocorram no horário normal TV;

(4) Que no mínimo 02 veiculações ocorram no horário nobre TV;

(5) Que o nº. de veiculações no rádio e revistas fiquem entre 05 e 10, para

cada meio de divulgação.

Formular um modelo de PL que trate este problema,

determinando o nº. de veiculações a serem feitas em cada meio de

comunicação, de modo a atingir o máximo possível de clientes.


12

Resolução do exemplo “seleção de mídia para propaganda”

Variáveis de decisão:

X1 = nº. de exposições em horário normal na tv.

X2 = nº. de exposições em horário nobre na tv.

X3 = nº. de exposições feitas utilizando rádio

X4 = nº. de exposições feitas utilizando revistas.

Função-objetivo:

“Maximizar nº. de clientes atingidos”

Max Z = 400.000X1 + 900.000X2 + 500.000X3 + 200.000X4


13

Restrições:

Orçamento:

40.000X1 + 75.000X2 + 30.000X3 + 15.000X4 800.000

Mulheres atingidas:

300.000X1 + 400.000X2 + 200.000X3 + 100.000X4 2.000.000

Gasto com TV

40.000X1 + 75.000X2 500.000

Nº. de veiculações em TV, rádio e revistas

X1 3, X2 2, 5 X3 10, 5 X4 10

Não-negatividade

X1, X2, X3, X4 0.


14

Um problema de treinamento

Uma empresa de máquinas ferramentas tem um programa

de treinamento para operadores de máquinas. Alguns operadores

já treinados podem trabalhar como instrutores neste programa

ficando responsáveis por 10 trainees cada. A empresa pretende

aproveitar apenas 07 trainees de cada turma de 10.

Estes operadores treinados também são necessários na

linha de fabricação, e sabe-se que serão necessários para os

próximos meses: 100 operadores em janeiro, 150 em fevereiro,

200 em março, e 250 em abril. Atualmente há 130 operadores

treinados disponíveis na empresa.


15

Encontrar um modelo de PL que forneça um programa de

treinamento de custo mínimo e satisfaça os requisitos da empresa

em termos de nº. de operadores treinados disponíveis a cada mês.

Observação: acordo firmado com o sindicato proíbe demissões de

operadores treinados no período.

Os custos associados a cada situação são:

Trainees ...........................................................................$ 400.

Operador treinado trabalhando ........................................$ 700.

Operador treinado ocioso..................................................$ 500.


16


X6 = operadores ociosos em março

X5 = operadores trabalhando como instrutores em março

X4 = operadores ociosos em fevereiro

X3 = operadores trabalhando como instrutores em fevereiro

X2 = operadores ociosos em janeiro

Resolução do exemplo: Um problema de treinamento

Observe que a cada mês um operador treinado está: operando

máquina, trabalhando como instrutor, ou está ocioso. Além disto, o

nº. de operadores treinados trabalhando nas máquinas é fixo e

conhecido: 100 em janeiro, 150 em fevereiro, 200 em março e 250

em abril.

X1 = operadores trabalhando como instrutores em janeiro


17

Função-objetivo:

Min C = 400(10X1 + 10X3 + 10X5) + 700(X1 + X3 + X5) +

+ 500(X2 + X4 + X6) + 700(100 + 150 + 200)

Min C = 4700X1 +500X2 + 4700X3 +500X4 +4700X5 +500X6 + 315.000

“Custo total = custo trainees + custo instrutores + custo ociosos +

custo operadores trabalhando em máquinas”.


18

Restrições: X1, X2, X3, X4, X5, X6 0 (não-negatividade)

Abril: 250 = 130 + 7X1 + 7X3 + 7X5 7X1 + 7X3 + 7X5 = 120.

operadores treinados no início do mês = operadores nas máquinas

+ instrutores + operadores ociosos.

Equação de balanço mensal:

Janeiro: 130 = 100 + X1 + X2 X1 + X2 = 30

Fevereiro: 130 + 7X1 = 150 + X3 + X4 7X1 - X3 - X4 = 20

Março: 130 + 7X1 + 7X3 = 200 + X5 + X6 7X1 + 7X3 - X5 - X6 = 70

Treinees qualificados como

operadores em jan


operadores em fev


operadores em mar


19

Uma indústria química

Dois produtos, A e B, são feitos a partir de duas operações

químicas. Cada unidade do produto A requer 02 horas da operação 1 e 03

horas da operação 2. Cada unidade do produto B requer 03 horas da

operação 1 e 04 horas da operação 2. O tempo total disponível para a

realização da operação 1 é de 16 horas, e o tempo total para a operação 2

é de 24 horas.

A produção do produto B resulta, também, num subproduto C

sem custos adicionais. Sabe-se que parte do produto C pode ser vendido

com lucro, mas o restante deve ser destruído. Previsões mostram que no

máximo 05 unidades do produto C serão vendidas, e sabe-se que cada

unidade do produto B fabricada gera 02 unidades do produto C.


20

Sabe-se que:

Produto A gera um lucro de $ 4 por unidade.

Produto B gera um lucro de $ 10 por unidade.

Produto C gera um lucro de $ 3 por unidade se for vendido.

Produto C gera um custo de $ 2 por unidade se for destruído

Determinar um modelo de PL para tratar este problema, e

encontrar quanto produzir de cada produto, de modo a maximizar

o lucro da indústria química.


21

Observe que o lucro da venda do produto A é uma função linear,

mas com respeito ao produto C isto não ocorre.

Resolução do exemplo: Uma indústria química - produto A

Quantidade

Lucro Produto A

4

Produto B

10

Quantidade

Produto C

-2

Lucro

3

5


22

2 X1 + 3 X2 16 (disponibilidade de tempo para operação 1)

3 X1 + 4 X2 24 (disponibilidade de tempo para operação 2)

X3 + X4 = 2 X2 (produção do produto C a partir do produto B)

X3 5 (previsão de produto C que pode ser vendido)

X1, X2, X3, X4 0 (não-negatividade)

Restrições:

Artifício: considerar as variáveis de decisão como sendo

X1 = quantidade produto A produzida

X2 = quantidade produto B produzida

X3 = quantidade produto C vendida

X4 = quantidade produto C destruída

Função-objetivo:

Max Z = 4 X1 + 10 X2 + 3 X3 – 2 X4


23

Oficina mecânica

Uma oficina mecânica tem 01 furadeira vertical e 05 fresas,

que são usadas para a produção de conjuntos formados de 2 partes.

Sabe-se qual é a produtividade de cada máquina na fabricação destas

partes do conjunto:

Furadeira Fresa

Parte 1 03 20

Parte 2 05 15

Obs: tempo para produzir as partes dado em minutos.


24

O encarregado pela oficina deseja manter uma carga balanceada

nas máquinas de modo que nenhuma delas seja usada mais que 30

minutos por dia que qualquer outra, sendo o carregamento de

fresamento dividido igualmente entre as 05 fresas.

Achar um modelo de PL para dividir o tempo de trabalho entre as

máquinas de modo a obter o máximo de conjuntos completos ao

final de um dia, num total de 08 horas de trabalho.


25

Restrições:

3X1 + 5X2 480

(minutos por dia disponíveis para a furadeira)

(20X1 + 15X2)/5 = 4X1 + 3X2 480

(minutos por dia disponíveis para cada fresa)

Resolução do exemplo: Oficina mecânica


X1 = número de partes 1 produzidas por dia

X2 = número de partes 2 produzidas por dia


26

Observe que esta última restrição não é linear, mas é equivalente

a duas equações lineares que podem substituí-la:

X1 - 2X2 30 e -X1 + 2X2 30

X1, X2 0 (não-negatividade).

|(4X1 + 3X2) - (3X1 + 5X2)| = |X1 -2X2| 30

(Balanceamento de carga entre as máquinas)


27

“maximização do número de conjuntos completos por dia”

Max Z = min (X1, X2)

Observe que esta função não é linear, mas pode ser linearizada

utilizando-se uma nova variável, da forma:

Seja Y = min (X1, X2), Y 0, naturalmente tem-se duas novas

restrições

Dadas por: Y X1 e Y X2.

A função-objetivo linear fica sendo: Max Z = Y

Função-objetivo:


28

Problema de dimensionamento de equipes de inspeção

Uma companhia deseja determinar quantos inspetores alocar

à uma dada tarefa do controle da qualidade. As informações

disponíveis são:

Há 08 inspetores do nível 1 que podem checar as peças a

uma taxa de 25 peças por hora, com uma acuracidade de 98%, sendo

o custo de cada inspetor deste nível $4 por hora;

Há 10 inspetores do nível 2 que podem checar as peças a

uma taxa de 15 peças por hora, com uma acuracidade de 95%, sendo

o custo de cada inspetor deste nível $3 por hora.


29

A companhia deseja que no mínimo 1800 peças sejam

inspecionadas por dia (= 08 horas).

Sabe-se, ainda, que cada erro cometido por inspetores no controle

da qualidade das peças acarreta um prejuízo à companhia de $2 por

peça mal inspecionada.

Formular um modelo de PL para possibilitar a designação ótima do

nº. de inspetores de cada nível de modo a otimizar o custo da

inspeção diária da companhia.


30

Função objetivo:

Minimizar C = custo total diário de inspeção ($/dia)

onde : custo total = custo do salário dos inspetores + custo dos erros

Min C = 8 *[(4X1 + 3X2) + 2 * (25*0,02X1 + 15*0,05X2)]

Min C = 40X1 + 36X2

Resolução do exemplo: Dimensionamento de equipes de inspeção


Xi = nº. de inspetores do nível i (= 1, 2) alocados à inspeção.

Prejuizo da inspeção ($$)


31

1. Quanto ao nº. de inspetores disponíveis:

X1 8 (inspetores do nível 1)

X2 10 (inspetores do nível 2)

2. Quanto ao nº. de peças inspecionadas por dia:

8 * (25X1 + 15X2) 1800 5X1 + 3X2 45

3. Restrições implícitas de não negatividade:

X1 0

X2 0.

Restrições:

Resolução gráfica de modelos de PL

32

Aplicável para modelos com 02 variáveis de decisão

Útil para a ilustração de alguns conceitos básicos utilizados na

resolução de modelos de maior porte.

Etapas a serem seguidas na resolução gráfica

1º Passo: identificar a região viável do modelo, isto é, quais são os

pares (X1, X2) que satisfazem a todas as restrições.

2º Passo: achar a melhor solução viável, denominada Solução

Ótima e denotada por (X1*, X2*), que leva ao valor ótimo da

função-objetivo Z*.


33

Problema de mix de Produção

Fabricação de dois modelos de brinquedos: B1 e B2.

• Lucros unitários/dúzia: $8 para B1 e $5 para B2

• Recursos disponíveis:

1000 kg de plástico especial.

40 horas para produção semanal.

• Requisitos do Departamento de Marketing:

Produção total não pode exceder 700 dúzias;

A quantidade de dúzias de B1 não pode exceder em 350 a

quantidade de dúzias de B2.

• Dados técnicos:

B1 requer 2 kg de plástico e 3 minutos por dúzia.

B2 requer 1 kg de plástico e 4 minutos por dúzia.


34

A Gerência está procurando um

programa de produção que aumente

o lucro da Companhia.


35


X2: produção semanal de B2 (em dúzias).

X1: produção semanal de B1 (em dúzias).

Função Objetivo: Maximizar o Lucro semanal


36

Max 8X1 + 5X2 (Lucro semanal)

sujeito a:

2X1 + 1X2 ≤ 1000 (Plástico - Kg)

3X1 + 4X2 ≤ 2400 (Tempo de produção - minutos) (40*60)

X1 + X2 ≤ 700 (Produção total)

X1 - X2 ≤ 350 (mix)

Xj 0, j = 1,2 (Não negatividade)


37

Conceitos importantes:

Os pontos (X1, X2) que satisfazem todas as restrições do

modelo formam a Região Viável.

Esses pontos são chamados de Soluções Viáveis.

Usando a resolução gráfica pode-se representar todos as

restrições (semi-planos), a função objetivo (reta) e os três

tipos de pontos viáveis.


38

1º Passo:

Traçar eixos cartesianos, associando a cada um deles uma

variável de decisão.

No exemplo de fabricação de brinquedos: X1 para o eixo

das abscissas e X2 para o eixo das ordenadas.

As restrições de não-negatividade, X1 0 e X2 0,

implicam que os pares (X1, X2) viáveis estão no 1º quadrante

dos eixos considerados.


39

2º Passo:

Observar que a função-objetivo, ao se fixar um valor para Z,

representa uma reta. Alterações neste valor de Z gera uma família de

retas paralelas.

No exemplo dos brinquedos: considere a reta obtida fazendo

Z= 2000, isto é , a reta dada por 8X1 + 5X2 = 2000. Percebe-se que ao se

traçar retas paralelas no sentido de ficar mais afastado da origem (0, 0), o

valor de Z aumenta.

De fato pode-se verificar que a reta paralela, que contém algum

ponto da região viável, no caso o ponto ótimo X* = (320, 360), e está

mais afastada da origem, corresponde a um valor ótimo da função

objetivo Z* = 4360.


40

Representando as condições de não negatividade

X2

X1


41

Observar que no exemplo dos brinquedos, as restrições correspondem a

semi-planos associados, respectivamente, às retas suportes dadas por:

2X1 + 1X2 = 1000

3X1 + 4X2 = 2400

X1 + X2 = 700

X1 - X2 = 350

Xj 0, j = 1,2

Notar que cada reta suporte define dois semi-planos no espaço (X1, X2).

Para identificar qual destes semi-planos é de interesse no caso, ou seja,

contém os pontos que satisfazem a desigualdade da restrição, basta testar

algum ponto à esquerda ou à direita (acima ou abaixo) da reta suporte da

desigualdade.

Um ponto que torna isto fácil é a origem (0, 0), mas poderia ser qualquer

outro.


42

1000

500

Viável

X2

Inviável

Tempo de

produção

3X1+4X2 2400

Restrição da produção total

X1+X2 700 (redundante) 500

700

Restrição do plástico

2X1+X2 1000

X1

700


43

1000

Viável

X2

Inviável

Tempo de Produção

3X1+4X2 2400

Restrição da produção total:

X1+X2 700 (redundante) 500

Restrição do mix da produção:

X1-X2 350

Restrição do plástico

2X1+X2 1000

X1

700


44

1000

500

Viável

X2

Inviável 500

700 X1

700

Há três tipos de pontos viáveis. Pontos interiores. Pontos na fronteira. Pontos extremos.


45

A busca por uma Solução Ótima:

Começar com algum valor de lucro arbitrário,

Por exemplo $2000...

Depois aumentar o lucro, se possível...

...e continuar até que seja inviável

600

700

1000

500

X2

X1

X* = (320, 360)

com Z* = 4.360

46

Pontos extremos e Soluções Ótimas

Se o problema de Programação Linear tem uma Solução

Ótima, um ponto extremo é Solução Ótima.



47

Visualização de situações possíveis

X2

Solução

única

X1

Z

Z*

Solução

ilimitada

Z

X2

X1


48

Soluções Ótimas Múltiplas

Quando a função objetivo é paralela a alguma restrição.

Todos os pontos do segmento de

reta serão Soluções Ótimas.

X* = X*1 + (1 - )X*2, com 0 1 X*1

X*2


49

Múltiplas Soluções

Ótimas 1 –

Segmento de Reta

Ótimo

X1

X*

Z

Z

*

X2

X2

X1

Múltiplas

Soluções Ótimas 2

Semi-reta Ótima

Z*

X*


50

X2

X1

O conjunto

viável é vazio.

Há restrições

incompatíveis.

Problema

inviável

Forma padrão de modelo de PL

51

Um modelo de PL com m restrições e n variáveis está na

forma padrão se possuir as características abaixo:

1. A função-objetivo é de minimização ou maximização;

2. Todas as restrições estão na forma de igualdade;

3. Todas as variáveis são não-negativas;

4. As constantes de cada restrição são não-negativas.


52

Modelo na forma padrão:

Minimizar (ou maximizar) Z = C1 X1 + C2 X2 + ... + Cn Xn

Sujeito a:

0. b ..., 0, b 0, b

0 X ..., 0, X 0, X

b = X A + ... + X A + X A

... ... ... ...

... ... ... ...

b = X A + ... + X A + X A

b = X A + ... + X A + X A

m21

n21

mnmn2m21m1

2n2n222121

1n1n212111

53

Notação matricial para um modelo na forma padrão:

Minimizar (ou maximizar) Z = C X

Sujeito a:

Onde: A (m x n) matriz de coeficientes tecnológicos

X (n x 1) vetor das variáveis de decisão

b (m x 1) vetor de demandas

C (1 x n) vetor de custos (lucros)

0. b

0 X

bAX


54

Redução de um modelo geral para a forma padrão

O Método Simplex exige que o modelo esteja na forma padrão.

Tratando com restrições na forma de inequações:

Estas restrições são transformadas em equações através da

introdução de novas variáveis (não-negativas), chamadas de

“variáveis de folga”.



55

Tratando com variáveis não-positivas:

Suponha que num determinado modelo há uma variável X1

0.

Basta substituí-la no modelo por uma nova variável não-

negativa X1’ 0, dada por X1’ = – X1.


56

Exemplo:

Considere o problema de dimensionamento de equipes de

inspeção:

X1 8 X1 + X3 = 8, X3 0 é uma variável de folga.

X2 10 X2 + X4 = 10, X4 0 é uma variável de folga.

5 X1 + 3 X2 45 5 X1 + 3 X2 – X5 = 45, X5 0 é uma variável

de folga.


57

Interpretação das variáveis de folga no exemplo:

X3 = número de inspetores do nível 1 não utilizados.

X4 = número de inspetores do nível 2 não utilizados.

X5 = número (extra) de peças inspecionadas por dia, acima da

quantidade mínima (1800) especificada pela empresa

Variáveis de folga fornecem informações úteis sobre o problema.


58

Tratando com variáveis livres (irrestritas em sinal):

Em algumas situações exige-se o uso de variáveis que podem

assumir tanto valores positivos, nulos, e negativos. Estas variáveis

são chamadas de livres (free) ou irrestritas em sinal.

Exemplo: Modelo de Planejamento Macroeconômico

Uma das Variáveis de Decisão é a Taxa de Inflação que pode

assumir qualquer valor positivo, nulo ou negativo (neste caso é

conhecida como Deflação).

Tratando com variáveis livres (irrestritas em sinal):

59

Estas variáveis devem ser eliminadas do modelo na forma padrão. Há,

pelo menos, duas maneiras de se fazer isto:

1. Por substituição – utilizando uma das restrições do modelo,

já na forma padrão (igualdade), procura-se expressar a variável livre

como função das demais variáveis (não negativas) do modelo. A seguir

eliminar a variável livre do modelo substituindo-a pela função

escolhida na etapa anterior. A equação utilizada para expressar a

variável livre como função das demais variáveis também será

eliminada do modelo.

2. Por transformação – Suponha que a variável livre é S. Basta

substituir em todas as restrições, e na função objetivo, a variável S por

S = S’ – S”, com S’ 0 e S” 0 sendo duas novas variáveis (auxiliares)

no modelo.


livre X 0, X 0, X

3 5 = 2X X 3X

2 2 X + X X

1 7 X + X + X

321

321

321

3 21

Exemplo Completo

Obtenha a forma padrão do modelo abaixo:

Maximizar Z = X1 – 2X2 + 3X3

Sujeito a:

60


61

1. Introduzir variáveis de folga nas restrições (1) e (2):

X1 + X2 + X3 + X4 = 7 (1’) com X4 0.

X1 – X2 + X3 – X5 = 2 (2’) com X5 0.

2. Multiplicar a restrição (3) por (– 1) para eliminar b3 = – 5 < 0:

–3X1 + X2 + 2X3 = 5 (3’)

3. Substituir X2 0 por X2’ 0 através de X2’ = – X2:

Max Z = X1+ 2 X2’ + 3 X3

Sujeito a:

'3' 5 = 2X + 'X 3X

'2' 2 = X X + 'X X

'1' 7 = X + X + 'XX

321

5321

4321


62

4. Eliminar X3:

4.1. Substituição ou 4.2. Transformação

Max Z = -2X1 + 5X2’ - 3X4 + 21 ou Max Z = X1 + 2X2’ + 3X3’ - 3X3’

s. a: s. a:

Usando

De (1’’): X3 = 7 – X1 + X2’ – X4 ou X3 = X3’ – X3’’

0 X ,X ,'X ,X

9= 2X + 'X 5X

5 = X + X '2X

5421

421

542

0X ,X ,''X ,'X ,'X ,X

5= ''2X ''+2XX 3X

2=X ''X 'X '+X+X

7=X ''X 'X '+X X

543321

332 1

53321

4332 1

Definições e Teoremas em PL

63

Ponto central na resolução de modelos de PL é a solução de

sistemas de equações lineares.

Apresenta-se a seguir o Método de Eliminação de Gauss Jordan.

Considere o sistema de equações abaixo:

(S1)

(nº variáveis >> nº equações)

2 4 X X3XX X

1 2 X2X4XX2X

54321

54321

Definições e Teoremas em PL

64

• Conjunto solução de (S1) é a coleção de todos os valores de

(X1, X2, X3, X4, X5) que satisfazem as equações (1) e (2)

conjuntamente.

• Dois sistemas são equivalentes se possuem o mesmo conjunto

solução.

• Sistemas equivalentes podem ser obtidos por meio de

operações elementares sobre as linhas do sistema:

1. Multiplicar (dividir) qualquer equação por um nº.

2. Adicionar à qualquer equação uma Combinação Linear das

demais equações.

Forma Canônica

65

Um sistema (S2) equivalente a (S1) pode ser obtido

multiplicando-se a equação (1) por – 1 e adicionando-se o

resultado à equação (2):

(S2)

Um sistema (S3) equivalente a (S1) pode ser obtido

multiplicando-se equação (4) por 2 e adicionando-se o resultado à

equação (3):

(S3)

(S3) é denominado uma forma canônica do sistema original (S1).

(4) 2 3X X + 2X X

(3) 2X2X4XX2X

5432

54321

(6) 2 = 3X X + 2X X

(5) 6 = 4X 2X 3X X

5432

5431

Forma Canônica

66

Considere uma forma canônica de um sistema de equações lineares:

(como (S3) anteriormente obtido)

• Uma variável é dita ser variável básica para uma dada equação do

sistema se ela possuir coeficiente 1 nesta equação e coeficientes

nulos nas demais equações do sistema.

Exemplo: em (S3) X1 e X2 são variáveis básicas

• Variáveis que não satisfazem a condição acima são chamadas de

variáveis não-básicas.

Exemplo: em (S3) X3, X4, X5 são variáveis não-básicas.

Solução Básica

67

M

N

2

5

A solução de um sistema na forma canônica, obtida fazendo-se as variáveis não-básicas iguais a zero, é chamada de uma solução básica (SB). Nº máximo de soluções básicas = Exemplo: Em (S3) fazendo-se X3 = X4 = X5 = 0 X1 = 6 e X2 = 2 formam uma solução básica. Nº de soluções básicas = = 10 Uma Solução Básica Viável (SBV) de um sistema é uma solução básica onde todas as variáveis assumem valores não-negativos. Exemplo: a solução básica do exemplo anterior é uma SBV.

Pivoteamento

68

Operações de Pivoteamento são as operações elementares

aplicadas à um sistema para transformar uma dada variável em

variável básica. São usadas pelo método de eliminação de

Gauss Jordan. Deve-se identificar o elemento Pivô – que deve

ser transformado em 1 e os demais elementos da sua coluna

que devem ser transformados em 0.

Para obter uma forma canônica de um sistema basta aplicar

uma sequência de operações de pivoteamento (método de

Gauss Jordan) de modo se conseguir uma variável básica

associada com cada equação.

Método de Eliminação de Gauss Jordan

69

Artifício para a realização de operações de pivoteamento:

Considere o sistema (S) abaixo:

(S)

Achar (S’) uma forma canônica de (S) de modo que X1 seja a

variável básica associada com a equação (1), e X3 seja a variável

básica associada com a equação (2).

(2) 2 = X 4X + X

(1) 4= X6+X2X2

321

321

Método de Eliminação de Gauss Jordan

70

VB X1 X2 X3 b Operações Elementares Feitas

X1 2 -2 6 4 (1) - Pivô em azul

X3 -1 4 -1 2 (2)

(S’)

Solução básica (não é viável): X1 = – 4 (Variável básica)

X3 = 2 (Variável básica) X2 = 0 (Variável não básica)

2 = X+ X3/2

4 = X2/11X

32

21

X1 1 -11/2 0 -4 (1’’) = (1’) - 3*(2’’)

X3 0 3/2 1 2 (2’’) = (2’)/2 – Equação do Pivô

X1 1 -1 3 2 (1’) = (1)/2 - Equação do Pivô

X3 0 3 2 4 (2’) = (2) + (1’) – Pivô em Azul

Teoremas em PL

71

Teorema 1

Dado um modelo já na forma padrão, as soluções básicas viáveis do

sistema de equações, correspondente às restrições do modelo, estão

associadas a pontos extremos do conjunto de soluções viáveis do

modelo original.

Teorema 2

Se um modelo de Programação Linear possui Solução Ótima então

pelo menos um ponto extremo, do conjunto de soluções viáveis do

modelo original, corresponde a uma Solução Ótima.

Comentários Gerais

72

Procedimento simplista para resolver um modelo de PL

• Gerar todas as possíveis soluções básicas viáveis.

• Determinar qual das soluções básicas viáveis corresponde ao

melhor valor da função-objetivo.

Problemas:

1. Nº de soluções básicas viáveis pode ser excessivo.

2. Modelo pode apresentar solução ilimitada ou ainda ser inviável.

Observe que problemas de médio porte, que aparecem na prática,

costumam envolver centenas de variáveis (valor de n) e milhares de

restrições (valor de m).

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