programaÇÃo linear engenharia i

UNIVERSIDADE SÃO JUDAS

TADEU

ENGENHARIA

EXEMPLOS DE MODELAGEM

DE PROBLEMAS DE

PL CONTÍNUA

FERNANDO MORI

http://www.sites.google.com/site/fmoripro

FERNANDO MORI - USJT 2013 1

1) O Problema das Ligas Metálicas

Uma metalúrgica deseja maximizar suareceita bruta. A Tabela 1 ilustra aproporção de cada material na misturapara a obtenção das ligas passíveis defabricação. O preço está cotado em Reaispor tonelada de liga fabricada. Tambémem toneladas estão expressas as restriçõesde disponibilidade de matéria prima.Formular o modelo de ProgramaçãoMatemática.

Tabela 1 - Restrições/Custos

Liga Especial de

Baixa Resistência (*)

Liga Especial de Alta

Resistência (*)

Disponibilidade de

Matéria-Prima

Cobre 0,5 0,2 16 Ton.

Zinco 0,25 0,3 11 Ton.

Chumbo 0,25 0,5 15 Ton.

Preço de Venda

(R$ por Ton.) R$3.000 R$5.000

Ton. de minério

(*) ------------------

Ton. de liga



2)Uma empresa, após um processo deracionalização de produção, ficou comdisponibilidade de 3 recursos produtivos,R1,R2

e R3. Um estudo sobre o uso dessesrecursos indicou a possibilidade de sefabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando oscustos e consultando o departamento devendas sobre o preço de colocação nomercado, verificou-se que P1 daria umlucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00por unidade. O departamento de produçãoforneceu a seguinte tabela de uso derecursos.


Que produção mensal de P1 e P2 traz omaior lucro para a empresa? Construa omodelo do sistema.

Produto Recurso R1por unidade

Recurso R2por unidade

Recurso R3por unidade

P1P2

24

32

53

Disponibilidade de

recursos/mês100 90 120


1

2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

2

produção do produto P1

produção do produto P2

max 120 150

2 4 100 (R1)

3 2 90 (R2)

5 3 120 (R3)

0

0

Resolução:

X

X

L X X

X X

X X

X X

X

X

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 4328.571

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 12.857142 0.000000

X2 18.571428 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 0.000000 27.857143

3) 14.285714 0.000000

4) 0.000000 12.857142

NO. ITERATIONS= 2


3) O Problema da Dieta

O objetivo do presente programa é determinar, em

uma dieta para a redução calórica, as quantidades

de certos alimentos que deverão ser ingeridos

diariamente, de modo que determinados requisitos

nutricionais sejam satisfeitos a custo mínimo.

Existem vários problemas abordando esse tema, o

presente exemplo é um dos mais simples possíveis.

Suponha que, por motivos justificáveis, uma certa

dieta alimentar esteja restrita a leite desnatado,

carne magra de boi, carne de peixe e uma salada de

composição bem conhecida. Sabendo-se ainda que os

requisitos nutricionais serão expressos em termos

de vitaminas A, C e D e controlados por suas

quantidades mínimas (em miligramas), uma vez

que são indispensáveis à preservação da saúde da

pessoa que estará se submetendo à dieta.

A Tabela 2 resume a quantidade de cada

vitamina em disponibilidade nos alimentos e

a sua necessidade diária para a boa saúde de

uma pessoa.

Tabela 2 – Restrições de Nutrientes na Dieta Alimentar

Formular o programa para a otimização dos recursos

envolvidos:

VitaminaLeite

(litro)

Carne

(kg)

Peixe

(kg)

Salada

(100g)

Requisito

Nutricional

Mínimo

A 2mg 2mg 10mg 20mg 11mg

C 50mg 20mg 10mg 30mg 70mg

D 80mg 70mg 10mg 80mg 250mg

Custo R$ 2 R$ 4 R$ 1,5 R$ 1


4) O Problema do Sítio

Um sitiante está planejando sua

estratégia de plantio para o próximo ano.

Por informações obtidas nos órgãos

governamentais, sabe que as culturas de

trigo, arroz e milho serão as mais

rentáveis na próxima safra. Por

experiência, sabe que a produtividade de

sua terra para as culturas desejadas é aconstante na Tabela 3:


Tabela 3 – Restrições do Problema do Plantio

Por falta de um local de armazenamento

próprio, a produção máxima, em toneladas,

está limitada a 60. A área cultivável do sítio

é de 200.000m2. Para atender às demandas

de seu próprio sítio, é imperativo que se

plante 400m2 de trigo, 800m2 de arroz e

10.000m2 de milho.

CulturaProdutividade em kg por

m2 (experiência)

Lucro por kg de Produção

(Informações do Governo

Trigo 0,2 10,8 centavos

Arroz 0,3 4,2 centavos

Milho 0,4 2,03 centavos


5) O Problema da Cooperativa Agrícola

Uma cooperativa agrícola opera três fazendas que

possuem produtividades aproximadamente iguais

entre si. A produção total por fazenda depende

fundamentalmente da área disponível para o

plantio e da água de irrigação. A cooperativa

procura diversificar sua produção de modo que vai

plantar este ano três tipos de cultura em cada

fazenda, a saber: milho, arroz e feijão. Cada tipo de

cultura demanda por uma certa quantidade de

água. Para reduzir o conflito no uso das

colheitadeiras, que são alugadas pela cooperativa,

estabeleceram-se limites de área de produção

dentro de cada tipo de cultura. Para evitar a

concorrência entre os cooperados, acordou-se que a

proporção de área cultivada seja a mesma para cada

uma das fazendas.

As Tabelas 4 e 5 resumem os dados tecnológicos. Pede-

se a elaboração de um programa de produção que

defina a área de cada cultura que será plantada em

cada fazenda, de modo a otimizar o lucro total da

produção da cooperativa.

Tabela 4 - Água Disponível e Área de Cultivo por Fazenda

Tabela 5 -Consumo de Água, Área de Cultivo e Lucro por Cultura

Fazenda Área Total para Cultivo (Acres) Água Disponível (Litros)

1 400 1.800

2 650 2.200

3 350 950

CulturaÁrea Máxima de

Cultivo (Acres)

Consumo de Água

(Litros por Acre)Lucro(R$ /Acre)

Milho 660 5,5 5.000

Arroz 880 4 4.000

Feijão 400 3,5 1.800FERNANDO MORI - USJT 2013 13


6) (Mistura) Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados:

Material Recuperado 1 – MR1 –Composição:ferro – 60% Custo por kg: $0,20carvão – 20%silício – 20%Material Recuperado 2 – MR2 –

Composição:ferro – 70% Custo por kg: $0,25carvão – 20%silício – 5%níquel – 5%


A liga deve ter a seguinte composição final:

O custo dos materiais puros são (por kg):

ferro:$0,30; carvão:$0,20; silício:$0,28;

níquel:$0,50. Qual deverá ser a composição

da mistura em termos dos materiais

disponíveis, com menor custo por kg?

Construa o modelo de decisão.

Matéria-prima % mínima % máxima

Ferro

Carvão

Silício

Níquel

60

15

15

5

65

20

20

8


1

2

3

4

5

quantidade em Kg de MR1 na mistura

quantidade em Kg de MR2 na mistura

quantidade em Kg de ferro puro na mistura

quantidade em Kg de carvão na mistura

quantidade em Kg de silício na mis

X

X

X

X

X

6

1 2 3 4 5 6

1 2 3

1 2 3

1 2 4

1 2 4

1

tura

quantidade em Kg de níquel na mistura

min 0,20 0,25 0,30 0,20 0,28 0,50

ferro:

0,6 0,7 0,60

0,60 0,7 0,65

carvão:

0,2 0,2 0,20

0,2 0,2 0,15

silicio:

0,2 0,05

X

C X X X X X X

X X X

X X X

X X X

X X X

X X

2 5

1 2 5

2 6

2 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

0,20

0,2 0,05 0,15

níquel:

0,05 0,05

0,05 0,08

1

, , , , , 0

Resolução:

X

X X X

X X

X X

X X X X X X

X X X X X X

Min 0.20x1 + 0.25x2 + 0.30x3 + 0.20x4 + 0.28x5 + 0.50x6

st

0.6x1 + 0.7x2 + x3 >= 0.60

0.6x1 + 0.7x2 + x3 <= 0.65

0.2x1 + 0.2x2 + x4 >= 0.15

0.2x1 + 0.2x2 + x4 <= 0.20

0.2x1 + 0.05x2 + x5 >= 0.15

0.2x1 + 0.05x2 + x5 <= 0.20

0.05x2 + x6 >= 0.05

0.05x2 + x6 <= 0.08

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1

End




1) 0.2225000


X1 0.875000 0.000000

X2 0.000000 0.002500

X3 0.075000 0.000000

X4 0.000000 0.150000

X5 0.000000 0.230000

X6 0.050000 0.000000


2) 0.000000 -0.250000

3) 0.050000 0.000000

4) 0.025000 0.000000

5) 0.025000 0.000000

6) 0.025000 0.000000

7) 0.025000 0.000000

8) 0.000000 -0.450000

9) 0.030000 0.000000

10) 0.000000 -0.050000

NO. ITERATIONS= 3



7) A Opinião Popular S/A é uma empresa especializada em avaliar

a reação de consumidores a novos produtos, serviços e/ou

campanhas de publicidade. Um cliente pediu à empresa para

providenciar informações sobre a reação de consumidores para

um produto recentemente lançado. O contrato do cliente

necessita que sejam feitas entrevistas pessoais de porta em

porta, respeitando as seguintes condições:

1) Entrevistar pelo menos 400 famílias com crianças.

2) Entrevistar pelo menos 200 famílias sem crianças.

3) A quantidade de famílias entrevistadas durante a noite deve

ser, pelo menos, tão grande quanto o número de entrevistados

durante o dia.

4) O total de entrevistados deve ser, pelo menos, 1.000 famílias.

Baseando-se em entrevistas realizadas anteriormente, os custos

das entrevistas são os seguintes:


Família Custo da Entrevista

Dia Noite

Criança $10 $12

Sem criança $8 $10

Para minimizar os custos das entrevistas, quantas

entrevistas em cada tipo de família devem ser realizadas em

cada um dos horários (dia e noite), atendendo às restrições

impostas?

Se quisessemos entrevistar, ao invés de 1000, 1050 familias.

De quanto aumentaria nosso custo?


1

2

3

4

numero de familias com criança entrevistada de dia

numero de familias com criança entrevistada de noite

numero de familias sem criança entrevistada de dia

numero de familias sem criaça en

X

X

X

X

1 2 3 4

1 2

3 4

2 4 1 3 1 2 3 4

1 2 3 4

trevistada de noite

min 10 12 8 10

400

200

0

1000

C X X X X

X X

X X

X X X X X X X X

X X X X

Min 10x1 + 12x2 + 8x3 + 10x4

st

x1 + x2 >= 400

x3 + x4 >= 200

-x1 + x2 - x3 + x4 >= 0

x1 + x2 + x3 + x4 >= 1000

End



1) 9800.000


X1 0.000000 0.000000

X2 400.000000 0.000000

X3 500.000000 0.000000

X4 100.000000 0.000000


2) 0.000000 -2.000000

3) 400.000000 0.000000

4) 0.000000 -1.000000

5) 0.000000 -9.000000

NO. ITERATIONS= 3



8) A Verificação Total S/A inspeciona cápsulas de remédiopassando-as sobre uma mesa com iluminação especial, ondeum inspetor verifica visualmente a existência de cápsulasquebradas ou parcialmente avariadas. Atualmente, qualquerum dos três inspetores pode ser alocado para o serviço deinspeção visual. Os inspetores, porém, diferem na precisão eno tempo de inspeção, além de receberem valores diferentespelo serviço. As diferenças são as seguintes:

Inspetor Velocidade(unidade por hora)

Precisão(percentual)

Valor por hora trabalhada

Pedro 300 98 $ 5,90

João 200 99 $ 5,20

Marcel 350 96 $ 5,50


Operando num período de 8 horas, a empresa precisa

de pelo menos 2.000 cápsulas inspecionadas com não

mais do que 2% de erro nesta inspeção. Além disso, por

causa do fator fadiga do processo de inspeção, nenhum

inspetor pode trabalhar mais do que 4 horas por dia.

Quantas horas cada inspetor deve trabalhar no

processo de inspeção durante um dia de 8 horas de

trabalho para minimizar os custos da inspeção? Qual

volume será inspecionado por dia e qual será o custo de

inspeção por dia?

9) O Problema da Mistura de Petróleo

Uma refinaria processa vários tipos de

petróleo.Cada tipo de petróleo possui uma

planilha de custos diferente, expressando

condições de transporte e preço de origem. Por

outro lado, cada tipo de petróleo representa uma

configuração diferente de subprodutos para

gasolina. Na medida em que um certo tipo de

petróleo é utilizado na produção da gasolina, é

possível a programação das condições de

octanagem e outros requisitos. Esses requisitos

implicam a classificação do tipo da gasolina

obtida. Supondo que a refinaria trabalhe com uma

linha de quatro tipos diferentes de petróleo e

deseje produzir as gasolinas amarela, azul e

superazul, programar a mistura dos tipos de

petróleo atendendo às condições que se seguem:

Tabela 6 – Quantidade Disponível de Petróleo

Tabela 7 – Percentuais para Limites de Qualidade das Gasolinas

Tipo de

Petróleo

Quantidade Máxima

Disponível (Barril/dia)Custo por Barril/dia

1 3.500 19

2 2.200 24

3 4.200 20

4 1.800 27

Tipo de Gasolina

EspecificaçãoPreço de Venda

R$/Barril

SuperazulNão mais que 30% de 1

Não menos que 40% de 2Não mais que 50% de 3

35

AzulNão mais que 30% de 1

Não menos que 10% de 2 28

Amarela Não mais que 70% de 1 22FERNANDO MORI - USJT 2013 26


Problema de Transporte

10) As necessidades de transporte das frentes-de-lavra para a próxima semana são (valores em toneladas):

A capacidade máxima de recebimento dos depósitos 1 e 2 são respectivamente, 50.000 e 60.000 toneladas. Sabendo-se que cada viagem de caminhão transporta 100 toneladas, pede-se o esquema de transporte que minimiza a distância total percorrida.

Origem(Frente de Lavra)

Necessidade de Transporte

Mínimo Máximo

A 20.000 40.000

B 40.000 60.000

C 45.000 60.000


Origem A

Origem B

Origem C

Depósito 1

Depósito 2

1AX

2AX

2CX

1CX

2BX

1BX


1

2

1

2

numero de viagens da lavra A para o depósito 1

numero de viagens da lavra A para o depósito 2

numero de viagens da lavra B para o depósito 1

numero de viagens da lavra B para o depósi

A

A

B

B

X

X

X

X

1

2

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1

to 2

numero de viagens da lavra C para o depósito 1

numero de viagens da lavra C para o depósito 2

min 300 400 600 700 800 300

200

400

400

600

C

C

A A B B C C

A A

A A

B B

B B

C

X

X

C X X X X X X

X X

X X

X X

X X

X

2

1 2

1 1 1

2 2 2

450

600

500

600

C

C C

A B C

A B C

X

X X

X X X

X X X

Min 300xa1 + 400xa2 + 600xb1 + 700xb2 + 800xc1 + 300xc2

st

xa1 + xa2 >= 200

xa1 + xa2 <= 400

xb1 + xb2 >= 400

xb1 + xb2 <= 600

xc1 + xc2 >= 450

xc1 + xc2 <= 600

xa1 + xb1 + xc1 <= 500

xa2 + xb2 + xc2 <= 600

End



1) 445000.0


XA1 200.000000 0.000000

XA2 0.000000 0.000000

XB1 300.000000 0.000000

XB2 100.000000 0.000000

XC1 0.000000 600.000000

XC2 450.000000 0.000000


2) 0.000000 -400.000000

3) 200.000000 0.000000

4) 0.000000 -700.000000

5) 200.000000 0.000000

6) 0.000000 -300.000000

7) 150.000000 0.000000

8) 0.000000 100.000000

9) 50.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 4


11) O Problema do Fluxo de Petróleo na

Refinaria

Uma refinaria produz dois tipos de óleo, I e

II, que passam por refino em quatro centros

de processamento, conforme Figura abaixo.

As linhas cheias do gráfico indicam o fluxo

normal de refino para os óleos do tipo I e II.

Havendo capacidade ociosa, é possível

processar o tipo de óleo I através do

esquema alternativo representado pelas

linhas tracejadas.

Óleo I

Fluxo

Tipo 1

Fluxo

Tipo 2

Óleo II

Óleo I

Fluxo Tipo I - Alternativo

Centro 2

Centro 1 Centro 4

Centro 3

No esquema de produção, sabe-se que a distribuição

custo x capacidade de produção é:


Tabela 9 – Custos/ Preços dos Produtos

Os centros 1 e 4 operam 16 horas por dia. Os

centros 2 e 3 operam 12 horas por dia. A refinaria

possui a capacidade de transportar somente 2.500

l/dia pois seu oleoduto está em manutenção.

Formule matematicamente o problema de otimizar

a produção dos dois tipos de óleo.

ProdutoCusto da

Matéria-prima ($/ I)

Preço de Venda

($/ I)

Venda Diária

Máxima (I)

I 5 20 1.700

II 6 18 1.500


12) O Problema da Otimização de Padrões de Corte.

Uma fábrica necessita cortar uma fita de aço de 12 cm de largura em tiras de 2,4cm, 3,4cm e 4,5cm de largura. As necessidades globais das tiras são:

Tabela 10 – Necessidades globais de Tiras

Formule o problema que permite otimizar o consumo da fita a ser cortada minimizando a perda de material.

Tipo de Tira Largura (cm) Comprimento Mínimo

Tira 1 2,4 2.500 m

Tira 2 3,4 4.500 m

Tira 3 4,5 8.000 m

Padrão de corte número 5

Perda de 0,6 cm

Tira Tipo III

Tira Tipo I

4,5cm 4,5cm 2,4cm


Tabela 11 – Padrões de Corte de Fita

Padrão

de Corte

(i)

N°. de

Tiras Tipo

1 - 2,4cm

N°. de

Tiras Tipo

2 - 3,4cm

N°. de

Tiras Tipo

3 – 4,5cm

Perda no

Padrão

(Pi )

Padrão 1 5 0 0 0

Padrão 2 3 1 0 1,4

Padrão 3 3 0 1 0,3

Padrão 4 2 2 0 0,4

Padrão 5 1 0 2 0,6

Padrão 6 0 3 0 1,8

Padrão 7 0 2 1 0,7

Variável de decisão: comprimento do corte

no Padrão i

x5 – Comprimento de

corte no Padrão 5

Tira Tipo III

Tira Tipo I


Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Inteira 13) O Problema da Fábrica de Móveis.

Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 250 metros de tábuas, 600 metros de pranchas e 500 metros de painéis de conglomerado. A fábrica normalmente oferece uma linha de móveis composta por um modelo de escrivaninha, uma mesa de reunião, um armário e uma prateleira. Cada tipo de móvel consome uma certa quantidade de matéria prima, conforme a Tabela 12. A escrivaninha é vendida por 100 unidades monetárias (u.m.), a mesa por 80 u.m., o armário por 120 u.m. e a prateleira por 20 u.m. Pede-se exibir um modelo de Programação Linear que maximize a receita com a venda dos móveis.

Tabela 12 – Restrições / Custos

Quantidade de material em metros

consumidos por unidade de produtoDisponibilidade

do Recurso

(m)Escrivaninha Mesa Armário Prateleira

Tábua 1 1 1 4 250

Prancha 0 1 1 2 600

Painéis 3 2 4 0 500

Valor de

Revenda

(u.m.)

100 80 120 20

ENCONTRAR UM MODELO DE P. L. QUE FORNEÇA UM PROGRAMA DE

TREINAMENTO DE CUSTO MÍNIMO E SATISFAÇA OS REQUISITOS DA EMPRESA EM

TERMOS DE No. DE OPERADORES TREINADOS DISPONÍVEIS A CADA MÊS.

16) PROBLEMA DE TREINAMENTO

UMA EMPRESA DE MÁQUINAS FERRAMENTAS TEM UM PROGRAMA DE

TREINAMENTO PARA

OPERADORES DE MÁQUINAS. ALGUNS OPERADORES JÁ TREINADOS PODEM

TRABALHAR

COMO INSTRUTORES NESTE PROGRAMA FICANDO RESPONSÁVEIS

POR 10 “TRAINEES” CADA. A EMPRESA PRETENDE APROVEITAR APENAS

07 “TRAINEES” DE CADA TURMA DE 10.

ESTES OPERADORES TREINADOS TAMBÉM SÃO NECESSÁRIOS NA

LINHA DE FABRICAÇÃO, E SABE-SE QUE SERÃO NECESSÁRIOS PARA OS

PRÓXIMOS MESES: 100 OPERADORES EM JANEIRO, 150 EM FEVEREIRO,

200 EM MARÇO, E 250 EM ABRIL. ATUALMENTE HÁ 130 OPERADORES

TREINADOS DISPONÍVEIS NA EMPRESA.

OS CUSTOS ASSOCIADOS A CADA SITUAÇÃO SÃO:

•TRAINEE ...........................................................................$ 400.

•OPERADOR TREINADO TRABALHANDO ..................$ 700.

•OPERADOR TREINADO OCIOSO..................................$ 500.

OBSERVAÇÃO: ACORDO FIRMADO COM O SINDICATO PROÍBE DEMISSÕES DE

OPERADORES

TREINADOS NO PERÍODO.

17) Problema da Oficina Mecânica

FURADEIRA FREZADORA

PARTE 1 03 20

PARTE 2 05 15

ACHAR UM MODELO DE P. L. PARA DIVIDIR O TEMPO DE TRABALHO ENTRE AS

MÁQUINAS DE MODO A OBTER O MÁXIMO DE CONJUNTOS COMPLETOS AO

FINAL DE UM DIA, NUM TOTAL DE 08 HORAS DE TRABALHO.

UMA OFICINA MECÂNICA TEM 01 FURADEIRA VERTICAL E 05

FRESADORAS, QUE SÃO USADAS PARA A PRODUÇÃO DE CONJUNTOS

FORMADOS DE 2 PARTES. SABE-SE QUAL É A PRODUTIVIDADE DE CADA

MÁQUINA NA FABRICAÇÃO DESTAS PARTES DO CONJUNTO:

OBS: TEMPO PARA PRODUZIR AS PARTES DADO EM MINUTOS.

O ENCARREGADO PELA OFICINA DESEJA MANTER UMA CARGA

BALANCEADA NAS MÁQUINAS DE MODO QUE NENHUMA DELAS SEJA

USADA MAIS QUE 30 MINUTOS POR DIA QUE QUALQUER OUTRA, SENDO O

CARREGAMENTO DE FRESAMENTO DIVIDIDO IGUALMENTE ENTRE AS 05

FRESADORAS.

18) O Problema da Pequena Fábrica

Considere a situação de decidir sobre a número

de unidades a serem produzidas por certo

fabricante de dois diferentes tipos de produtos.

Os lucros por unidade do Produto 1 requer 3 horas

de máquina e 9 unidades de matéria-prima,

enquanto o Produto 2 requer 4 horas de máquina e

7 unidades de matéria-prima.

Os tempos máximos disponíveis de horas de

máquina e de matéria-prima são 200 horas e 300

unidades, respectivamente.

Formule o problema de forma a otimizar o lucro

total.


19) O Problema da Fábrica de camisas

Uma companhia produz dois tipos de camisas: manga longa e manga curta. Na companhia, o único ponto crítico é a mão de obra disponível.

A camisa de manga longa consome 50% a mais de mão de obra do que a de manga curta. Sabe-se também que se toda a produção fosse concentrada na disponibilização de camisas de manga curta a companhia poderia entregar 400 camisas de manga curta por dia.

O mercado limita a produção diária das camisas em 150 mangas longas e 300 mangas curtas. O lucro bruto por camisa de manga longa é de 5,00u.m. e por camisa de manga curta, 3,5u.m.

Formular o problema de modo a permitir a determinação das quantidades de camisas a produzir de modo a otimizar o lucro.

20)O Problema da Otimização de Padrões de Produção.

Uma determinada fábrica produz panelas de metal médias e grandes a partir de elementos circulares de diâmetros de 0,25 e 0,40 metro, respectivamente. A primeira operação para obter as panelas é um corte desses elementos circulares sobre chapas de dimensão de 1,40 x 0,50 metro. Os elementos planos circulares são transformados em panelas em uma segunda operação de estamparia. Para o corte existem quatro tipos de matrizes conforme mostra a figura. A fábrica deseja uma produção diária mínima de 500 panelas médias (obtidas do elemento circular de diâmetro 0,25) e 350 grandes (obtidas do elemento circular de diâmetro de 0,40). Os custos em reais por chapa pelo uso de cada matriz de corte são respectivamente: 1, 2, 3, 2.

Elaborar o modelo de Programação Linear que

planeje a produção de modo a minimizar o

custo com o uso das chapas.

Matriz 1 Matriz 2

Matriz 3 Matriz 4

Exemplos de Modelagem de Problemas de PL Inteira sem Aproximação Contínua.

21) O Problema de Alocação de Pessoal

Um hospital trabalha com atendimento variável em demanda durante as 24 horas do dia. As necessidades distribuem-se segundo a Tabela abaixo:

Turno de Trabalho Horário N°. Mínimo de Enfermeiros

1 08:00 - 12:00 50

2 12:00 - 16:00 60

3 16:00 – 20:00 50

4 20:00 – 0:00 40

5 00:00 – 04:00 30

6 04:00 – 08:00 20

O horário de trabalho de um enfermeiro é de 8 horas quando ele entra nos turnos 1,2,3,4, e 6. O enfermeiro que entra no turno 4 recebe uma gratificação de 50% sobre o salário e o enfermeiro que entra no turno 5 trabalha apenas quatro horas.

Elaborar o modelo de programação linear inteira que minimiza o gasto com a mão de obra.

22) O Problema do jantar de NeroO imperador romano Nero, em um momento de inspiração, resolveu promover um jantar para eliminar seus “melhores” inimigos. Consultando seu médico de confiança, soube que ele dispunha de dois tipos de venenos, alfa e beta. Tratavam-se de fármacos próprios para serem misturados no molho de carneiro. Havia no estoque da farmácia do facultativo 0,5kg do veneno alfa e 2kg do veneno beta. Para que os convidados não sentissem o gosto do veneno, era indispensável misturar em peso três porções do veneno alfa para cada porção de beta. Cada 12 gramas de alfa ou 6 de beta eram capazes de sozinhas liquidarem um homem.

O efeito do veneno sobre as mulheres era cerca de

50% mais poderoso do que sobre os homens. Nero

satisfeito com a informação deu suas ordens ao

médico: prepare a mistura mais eficiente e elimine

pelo menos 20 homens e 10 mulheres!

Elaborar o modelo de programação matemática

que maximize o efeito do veneno sobre os prezados

inimigos do imperador e evite que o médico perca

o emprego e acabe queimado vivo no dito jantar.

23) O Problema da Otimização de Padrões de

Corte.

Uma metalúrgica deve entregar uma partida de

2.500 placas retangulares de 2 x 4cm (placas do

tipo 1) e 1.000 de 4 x 11cm (placas do tipo II).

Existem, em estoque, uma tira metálica com 15cm

de largura e 20metros de comprimento e outra

com 14cm de largura e 30 metros de comprimento.

As tiras com 30 metros de comprimento são cerca

de 20% mais caras por quilo do que as de 20

metros, devido a problemas de transporte. São

possíveis as seguintes configurações de corte ou

padrões de corte nos equipamentos da empresa:


Formular o modelo que permita minimizar a perda ao corte.

Padrão 1

Padrão 2

Padrão 3

4cm

4cm

2cm

2cm 11cm

4cm 11cm

2cm 12cm

24) O Problema da Câmara de Segurança

Um laboratório biológico está construindo uma

sala de desinfecção e segurança para proteger a

entrada de suas instalações mais perigosas. A

finalidade da sala é isolar agentes biológicos como

vírus e bactérias que são manipulados em

instalações hermeticamente fechadas, permitindo,

contudo, o trânsito dos pesquisadores e demais

materiais. A sala é composta de três câmaras

visando aumentar a segurança.

A desinfecção é basicamente realizada através de

uma sofisticada unidade de irradiação. Como essa

unidade é extremamente sensível e o objeto em

trânsito pode ter um comportamento inesperado,

existe uma probabilidade de falha da atuação de

uma unidade isolada de desinfecção.


Essa probabilidade varia basicamente em

função da câmara em que a unidade esteja

localizada. Existem restrições de espaço e peso

para a distribuição das unidades de desinfecção no

teto das câmaras. Os custos das unidades também

variam por câmara devido à variação de

temperatura e isolamento de umidade, tudo

conforme a tabela abaixo:

CâmaraEspaço

(m3)

Peso

(kg)

Custo

(R$)

Probabilidade de

Falha da Unidade

1 2,5 150 30.000 0,20

2 4,0 130 70.000 0,15

3 3,0 100 40.000 0,30

Limitações 60 1.500 600.000

Formular o problema de minimizar a

probabilidade da ocorrência de um trânsito na

sala de desinfecção sem que ocorra uma

perfeita desinfecção, considerando-se

inaceitável mais que 3% na probabilidade de

que uma câmara isolada falhe na desinfecção.

programaÇÃo linear engenharia i

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