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Pesquisa Operacional

Introdução à Pesquisa Operacional

Programação Linear

Sumário

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• Modelagem e limitações da Programação Linear.

• Resolução Gráfica.

• Forma padrão de um modelo de Programação Linear.

• Definições e Teoremas.

• Forma canônica de um sistema de equações lineares.

• Método Simplex.

• Exercícios

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Programação Linear:

Preocupação em encontrar a melhor solução para problemas

associados com modelos lineares.

Modelo de Programação Linear:

Maximização (ou minimização) de uma função objetivo linear com

relação as variáveis de decisão do modelo.

Respeitando-se as limitações (restrições) do problema expressas por

um sistema de equações e inequações associadas com as variáveis de

decisão do modelo.

Programação Linear

Modelagem em Programação Linear

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Razões para o uso da Programação Linear:

1. Grande variedade de situações podem ser aproximadas por

modelos lineares.

2. Existência de técnicas (algoritmos) eficientes para a solução

de modelos lineares.

3. Possibilidade de realização de análise de sensibilidade nos

dados do modelo.

4. Estágio de desenvolvimento da tecnologia computacional.


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Passos básicos na obtenção de modelos de PL:

1. Identificar as variáveis de decisão, representá-las em simbologia

algébrica.

2. Identificar as restrições do problema, expressá-las como

equações ou inequações lineares em termos das variáveis de

decisão.

3. Identificar o objetivo de interesse no problema, representá-lo

como função linear em termos das variáveis de decisão, que

deverá ser maximizada ou minimizada.


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Construção de modelos não é uma ciência, mas uma

arte, podendo ser melhorada com a prática.

Exemplos a serem trabalhados:

Determinação do mix de produção

Seleção de mídia para propaganda

Um problema de treinamento

Uma indústria química

Uma oficina mecânica

Dimensionamento de equipes de inspeção


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Determinação do mix de produção

Uma companhia deseja programar a produção de um utensílio de cozinha

que requer o uso de dois tipos de recursos – mão-de-obra e material. A

companhia está considerando a fabricação de três modelos e o seu

departamento de engenharia forneceu os dados a seguir:

Modelo

A B C

Mão-de-obra

(horas por unidade) 7 3 6

Material

(kg por unidade) 4 4 5

Lucro

($ por unidade) 4 2 3

O suprimento de material é de

200 kg por dia. A

disponibilidade diária de mão-

de-obra é 150 horas. Formule

um modelo de Programação

Linear para determinar a

produção diária de cada um dos

modelos de modo a maximizar

o lucro total da companhia.


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Formulação do modelo

1. Identificação das variáveis de decisão: XA – produção diária do modelo A XB – produção diária do modelo B XC – produção diária do modelo C

2. Identificação das restrições:

(Limitação de mão-de-obra) 7XA + 3XB + 6XC 150

(Limitação de material) 4XA + 4XB +5XC 200

(Não-negatividade) XA 0, XB 0, XC 0.

3. Identificação do objetivo: maximização do lucro total

Lucro Total = L = 4XA + 2XB +3XC

Max L = 4XA + 2XB +3XC


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Modelo

Encontrar números XA, XB, XC tais que:

Max L= 4XA + 2XB +3XC

Sujeito as restrições: 7XA + 3XB +6XC 150

4XA + 4XB +5XC 200

XA 0, XB 0, XC 0


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Produção de Empresa

Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1

é de 100 reais e o lucro unitário de P2 é de 150 reais.

A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1e 3

horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível

para essas atividades é de 120 horas.

As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a

decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem

ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês.

Construa o modelo do sistema de produção mensal com objetivo de

maximizar o lucro da empresa


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Modelo

Identificação das variáveis de decisão:

x1 = Quantidade do produto P1 produzido por mês.

x2 = Quantidade do produto P2 produzido por mês.

Restrições:

2x1 + 3x2 ≤ 120

x1 ≤ 40

x2 ≤30

x1; x2 ≥ 0 (não negatividade)

Identificação do objetivo: maximização do lucro total

Max L = 100x1 + 150x2


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Alimentação Diária

Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de um

mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de carboidratos.

Suponhamos que, para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos

produtos A e B.

Um Kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades de

carboidrato e custa R$ 2,00. Um Kg do produto B contém 6 unidades

de proteínas, 5 unidades de carboidrato e custa R$ 3,00.

Formule o modelo matemático das quantidade que deverão ser

compradas de cada produto de modo que as exigências da alimentação

sejam satisfeitas a custo mínimo?


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Modelo

Identificação das variáveis de decisão:

xa = Quantidade do produto A em kg.

xb = Quantidade do produto B em kg.

Restrições:

3xa + 6xb ≥ 15

10xa + 5xb ≥ 20

xa , xb ≥ 0 (não negatividade)

Identificação do objetivo: minimização da quantidade

Min Z = 2xa + 3xb


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Seleção de mídia para propaganda

Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em 03

diferentes meios: TV, rádio e revistas. Pretende-se alcançar o maior

número de clientes possível. Um estudo de mercado resultou em:

TV

horário

TV

horário

Rádio Revistas

normal nobre

Custo 40.000 75.000 30.000 15.000

Clientes

Atingidos 400.000 900.000 500.000 200.000

Mulheres

Atingidas 300.000 400.000 200.000 100.000

0bs: valores válidos para cada veiculação da propaganda.


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A companhia não quer gastar mais de $ 800.000 e, adicionalmente,

deseja:

(1) Que no mínimo 2 milhões de mulheres sejam atingidas;

(2) Gastar no máximo $ 500.000 com TV;

(3) Que no mínimo 03 veiculações ocorram no horário normal TV;

(4) Que no mínimo 02 veiculações ocorram no horário nobre TV;

(5) Que o nº. de veiculações no rádio e revistas fiquem entre 05 e 10, para

cada meio de divulgação.

Formular um modelo de PL que trate este problema,

determinando o nº. de veiculações a serem feitas em cada meio de

comunicação, de modo a atingir o máximo possível de clientes.


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Resolução do exemplo “seleção de mídia para propaganda”

Variáveis de decisão:

X1 = nº. de exposições em horário normal na tv.

X2 = nº. de exposições em horário nobre na tv.

X3 = nº. de exposições feitas utilizando rádio

X4 = nº. de exposições feitas utilizando revistas.

Função-objetivo:

“Maximizar nº. de clientes atingidos”

Max Z = 400.000X1 + 900.000X2 + 500.000X3 + 200.000X4


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Restrições:

Orçamento:

40.000X1 + 75.000X2 + 30.000X3 + 15.000X4 800.000

Mulheres atingidas:

300.000X1 + 400.000X2 + 200.000X3 + 100.000X4 2.000.000

Gasto com TV

40.000X1 + 75.000X2 500.000

Nº. de veiculações em TV, rádio e revistas

X1 3, X2 2, 5 X3 10, 5 X4 10

Não-negatividade

X1, X2, X3, X4 0.


Problema do Alfaiate

Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros

de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã. Para um

terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda

e 1 metro de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro de

algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. Se um terno é

vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas

peças de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a

maximizar o seu lucro?

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Aluguel de caminhões

Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois

tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos de espaço refrigerado e

4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 3

metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica

precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado

e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quantos

caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar

o custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o do

B, $0,40 por km. Elabore o modelo de programação linear.

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