pesquisa operacional - musci.eng.br · pesquisa operacional aula 3 – modelagem em pl prof....

21
Pesquisa Operacional Aula 3 Modelagem em PL Prof. Marcelo Musci [email protected] www.musci.info

Upload: phamdung

Post on 08-Feb-2019

220 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Pesquisa Operacional Aula 3 – Modelagem em PL

Prof. Marcelo Musci [email protected]

www.musci.info

Programação Linear

Programação Linear:

Preocupação em encontrar a melhor solução para

problemas associados com modelos lineares.

Modelo de Programação Linear:

Maximização (ou minimização) de uma função objetivo

linear com relação as variáveis de decisão do modelo.

Respeitando-se as limitações (restrições) do problema

expressas por um sistema de equações e inequações

associadas com as variáveis de decisão do modelo.

Modelagem em PL

Razões para o uso da Programação Linear:

1. Grande variedade de situações podem ser

aproximadas por modelos lineares.

2. Existência de técnicas (algoritmos) eficientes para a

solução de modelos lineares.

3. Possibilidade de realização de análise de sensibilidade

nos dados do modelo.

Modelagem em PL

Passos básicos na obtenção de modelos de PL:

1. Identificar as variáveis de decisão, representá-las em

simbologia algébrica.

2. Identificar as restrições do problema, expressá-las

como equações ou inequações lineares em termos das

variáveis de decisão.

3. Identificar o objetivo de interesse no problema,

representá-lo como função linear em termos das

variáveis de decisão, que deverá ser maximizada ou

minimizada.

Modelagem em PL

Construção de modelos não é uma ciência,

mas uma arte, podendo ser melhorada com a

prática.

Exemplos a serem trabalhados:

Determinação do mix de produção

Problema do alfaiate

Aluguel de caminhões

Produção de empresa

Alimentação diária

Seleção de mídia para propaganda

Modelagem em PL

6

Determinação do mix de produção

Uma companhia deseja programar a produção de um utensílio de

cozinha que requer o uso de dois tipos de recursos – mão-de-

obra e material. A companhia está considerando a fabricação de

três modelos e o seu departamento de engenharia forneceu os

dados a seguir: Modelo

A B C

Mão-de-obra

(horas por unidade) 7 3 6

Material

(kg por unidade) 4 4 5

Lucro

($ por unidade) 4 2 3

O suprimento de material é

de 200 kg por dia. A

disponibilidade diária de

mão-de-obra é 150 horas.

Formule um modelo de

Programação Linear para

determinar a produção

diária de cada um dos

modelos de modo a

maximizar o lucro total da

companhia.

Modelagem em PL

Modelagem em PL

8

Modelo

Encontrar números XA, XB, XC tais que:

Max L= 4XA + 2XB +3XC

Sujeito as restrições: 7XA + 3XB +6XC 150

4XA + 4XB +5XC 200

XA 0, XB 0, XC 0

Modelagem em PL

Problema do Alfaiate

Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16

metros de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de

lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão,

1 metro de seda e 1 metro de lã. Para um vestido, são

necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3

metros de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um

vestido por $500,00, quantas peças de cada tipo o

alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro?

Modelagem em PL

Modelo

Modelagem em PL

Aluguel de caminhões

Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de

dois tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos de espaço

refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não

refrigerado e o tipo B com 3 metros cúbicos refrigerados

e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar

90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros

cúbicos de produto não refrigerado. Quantos caminhões

de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o

custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o

do B, $0,40 por km. Elabore o modelo de programação

linear.

Modelagem em PL

Modelo

Uma fábrica precisou transportar

90 metros cúbicos de produto

refrigerado e 120 metros cúbicos

de produto não refrigerado

Modelagem em PL Produção de Empresa

Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de

P1 é de 100 reais e o lucro unitário de P2 é de 150 reais.

A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e

3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal

disponível para essas atividades é de 120 horas.

As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa

a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem

ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês.

Construa o modelo do sistema de produção mensal com objetivo de

maximizar o lucro da empresa

Modelagem em PL

Modelo

Identificação das variáveis de decisão:

x1 = Quantidade do produto P1 produzido por mês.

x2 = Quantidade do produto P2 produzido por mês.

Restrições:

2x1 + 3x2 ≤ 120

x1 ≤ 40

x2 ≤30

x1; x2 ≥ 0 (não negatividade)

Identificação do objetivo: maximização do lucro total

Max L = 100x1 + 150x2

Modelagem em PL Alimentação Diária

Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de

um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de

carboidratos. Suponhamos que, para satisfazer esta necessidade,

ela disponha dos produtos A e B.

Um Kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades

de carboidrato e custa R$ 2,00. Um Kg do produto B contém 6

unidades de proteínas, 5 unidades de carboidrato e custa R$ 3,00.

Formule o modelo matemático das quantidade que deverão ser

compradas de cada produto de modo que as exigências da

alimentação sejam satisfeitas a custo mínimo?

Modelagem em PL

Modelo

Identificação das variáveis de decisão:

xa = Quantidade do produto A em kg.

xb = Quantidade do produto B em kg.

Restrições:

3xa + 6xb ≥ 15

10xa + 5xb ≥ 20

xa , xb ≥ 0 (não negatividade)

Identificação do objetivo: minimização da quantidade

Min Z = 2xa + 3xb

Modelagem em PL Seleção de mídia para propaganda

Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em

03 diferentes meios: TV, rádio e revistas. Pretende-se alcançar o

maior número de clientes possível. Um estudo de mercado resultou

em:

TV

horário

TV

horário

Rádio Revistas

normal nobre

Custo 40.000 75.000 30.000 15.000

Clientes

Atingidos 400.000 900.000 500.000 200.000

Mulheres

Atingidas 300.000 400.000 200.000 100.000

0bs: valores válidos para cada veiculação da propaganda.

Modelagem em PL A companhia não quer gastar mais de $ 800.000 e, adicionalmente,

deseja:

(1) Que no mínimo 2 milhões de mulheres sejam atingidas;

(2) Gastar no máximo $ 500.000 com TV;

(3) Que no mínimo 03 veiculações ocorram no horário normal TV;

(4) Que no mínimo 02 veiculações ocorram no horário nobre TV;

(5) Que o nº. de veiculações no rádio e revistas fiquem entre 05 e 10,

para cada meio de divulgação.

Formular um modelo de PL que trate este problema,

determinando o nº. de veiculações a serem feitas em cada

meio de comunicação, de modo a atingir o máximo possível de

clientes.

Modelagem em PL

Variáveis de decisão:

X1 = nº. de exposições em horário normal na tv.

X2 = nº. de exposições em horário nobre na tv.

X3 = nº. de exposições feitas utilizando rádio

X4 = nº. de exposições feitas utilizando revistas.

Função-objetivo:

“Maximizar nº. de clientes atingidos”

Max Z = 400.000X1 + 900.000X2 + 500.000X3 + 200.000X4

Modelagem em PL

Restrições:

Orçamento:

40.000X1 + 75.000X2 + 30.000X3 + 15.000X4 800.000

Mulheres atingidas:

300.000X1 + 400.000X2 + 200.000X3 + 100.000X4 2.000.000

Gasto com TV

40.000X1 + 75.000X2 500.000

Nº. de veiculações em TV, rádio e revistas

X1 3, X2 2, 5 X3 10, 5 X4 10

Não-negatividade

X1, X2, X3, X4 0.

Modelagem em PL

Resolva a lista de exercícios de Modelagem

Definição de Variáveis

Definição de Função objetivo

Definição de Restrições