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Revisão: Matrizes e Sistemas lineares
Parte 01
Definição de matrizes;
Tipos de matrizes;
Operações com matrizes;
Propriedades;
Exemplos e exercícios.
1
Matrizes
Definição:
2
Matrizes
3
4
Tipos de matrizes
1. Matriz linha: é a matriz mxn que possui m = 1.
5201: AExemplo
2. Matriz coluna: é a matriz mxn que possui n = 1.
1
: 3
7
Exemplo A
3. Matriz quadrada: é a matriz mxn na qual m = n.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
:
a a a
Exemplo A a a a
a a a
4. Matriz retangular: é a matriz mxn na qual m ≠ n.
3 1
: 0 2
4 8
Exemplo A
5
Tipos de matrizes
5. Matriz nula: é a matriz mxn que possui todos elementos iguais a zero.
6. Matriz triangular: é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
7. Matriz diagonal: é uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero.
8. Matriz Identidade: uma matriz quadrada (Aij)mxn é dita identidade se e somente se aij = 1 se i=j e aij = 0 se i ≠ j.
0 0 0:
0 0 0Exemplo A
2 0 0
: 4 5 0
3 1 3
Exemplo A
2 0 0
: 0 5 0
0 0 3
Exemplo A
1 0 0
: 0 1 0
0 0 1
Exemplo A
6
8. Matriz oposta: é a matriz mxn que possui todos os elementos com sinal oposto a matriz original.
0 2
31A
1 3A
2 0
9. Matriz transposta: é a matriz nxm na qual os elementos da linha da matriz eram elementos da coluna da matriz original mxn.
:Exemplo
513102A
t
2 3
A 0 1
1 5
:Exemplo
10. Matriz simétrica: é a matriz mxn tal que: tAA
2 1 3
: 1 5 4
3 4 7
Exemplo A
3223
3113
2112
:
aa
aa
aa
OBS
11. Matriz anti-simétrica: é a matriz mxn tal que: tA A
0 1 3
: 1 0 4
3 4 0
Exemplo A
12 21
13 31
23 32
11 22 33
:
0
OBS
a a
a a
a a
a a a
Tipos de matrizes
7
Tipos de matrizes Exemplo: Dadas as matrizes A e B:
f32
e01-
2-dc
Be
523
21a
b42
A
Sabendo que A é simétrica e B anti-simétrica, determine o valor de S.
S = a + b + c + d + e + f
A é simétrica a = 4 e b = 3.
B é anti-simétrica d = 1, e = –3, c = f = 0
Portanto, S = 4 + 3 + 0 + 1 + (– 3) + 0 = 5. Resposta: 5
Solução:
8
Operações com matrizes
Duas matrizes são iguais quando elas tiverem o mesmo "tipo" e apresentar todos os
elementos correspondentes iguais.
Exemplo: Calcule x, y e z de modo que se tenha
82
14
zyx
yxx2
x2 = 4 x = ± 2
x = 2 x = 2
x – y = 1 y = 1 x = 2
y + z = 8 z = 7 y = 1
1. Igualdade de matrizes:
9
Operações com matrizes
2. Adição e subtração de matrizes:
Exemplo: Sendo 2C.B-Aobtenha,10
21Ce
14
11-B,
31
02A
10
212
14
11-
31
02
3 -1 2 4
-3 2 0 2
43-
35
Solução:
10
Operações com matrizes
Exemplo: Dadas as matrizes:
20
42Be
22
20A
Obtenha a matriz X tal que 2⋅Xt + 2⋅A = B
2⋅Xt = B – 2A
A)2(B2
1Xt
t2 0 1 01
X-4 -2 -2 -12
1 -2Resposta : X
0 -1
Solução:
11
Operações com matrizes
3. Multiplicação de matrizes por escalar:
:Exemplo
Exemplos ...
12
Operações com matrizes
4. Multiplicação de matrizes:
Sejam as matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)n x p. Define-se produto de A por B
(nesta ordem) como sendo a matriz C = (cij)m x p onde cada elemento cij de C é obtido
multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da
coluna j de B e somando-se os produtos obtidos.
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj
Observamos que:
Somente existe o produto de uma matriz A por outra matriz B se o número de
colunas de A é igual ao número de linhas de B.
=
A.B
Am x n · Bn x p
m x p
= Cm x p
13
Operações com matrizes Exemplo: Obter o produto das matrizes em cada caso abaixo.
1
3
1
0
1
2
212
011a)
2 x 275
43
01-
11
23
1-2b)
2 x 231
23
Exemplo: Qualificar como V (verdadeiro) ou F (falso).
a) ( ) Se existe o produto da matriz A pela matriz B, então existe o produto de B
por A.
b) ( ) Se existe o produto da matriz A pela matriz B e existe o produto de B por
A, então AB = BA.
c) ( ) Existe o produto da matriz A pela transposta de A.
d) ( ) Se o produto da matriz A pela matriz B é uma matriz nula, então A ou B é
nula.
d) resolução
00
00
1-1-
11
11
11
14
Operações com matrizes
Exemplo: Dadas as matrizes
1-
2e
1-1
02A B
obtenha a matriz X tal que A.X = B.
= A2 x 2 ⋅ X2 x 1
2 x 1
Solução:
b
aXseja
1-
2
b
a
1-1
02
2.a + 0.b = 2 → a = 1
1.a – b = – 1 → b = 2
2
1XLogo,
15
Propriedades
16
Propriedades
17
Exercícios 1.
2.
3.
18
Exercícios
19
Exercícios 4.
5.
6.
7.
20
Exercícios 8. O valor de x para que as matrizes
40
x4Be
41
3-2A
sejam comutáveis é:
a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –2
41
3-2
40
x4
40
x4
41
3-2 8
8 2x -12 x -12 4x
4 x 16 4 160x
9. Considere a matriz . Sabendo-se que , conclui-se que o número
real a pode ser:
80
08M2
a-b
0aM
a) b) c) 2 d) – e) – 32 22 2 3
80
08
a-b
0a
a-b
0a
80
08
a0
0a2
2
8aLogo, 2 22a
Lista exercícios ...
Revisão: Matrizes e Sistemas lineares
Parte 02
Definição de sistema linear;
Método de Gauss-Jordan;
Exemplos e exercícios.
21
22
Sistemas lineares
23
Sistemas lineares
24
Sistemas lineares
25
Sistemas lineares
Exemplo 1:
Exemplo 2: Em um estacionamento temos motos e carros. A soma das unidades no estacionamento é igual a 20. A quantidade de pneus no estacionamento é igual a 60. Qual a quantidade de carros e motos neste estacionamento?
x + y = 20 x = carros ; y = motos 4x + 2y = 60 A solução do sistema acima é x = 10 e y = 10 (verifique) .
26
Sistemas lineares Exemplo 3:
27
Sistemas lineares Solução de uma equação linear:
A solução de uma equação linear a1α1 + a2α2 + ... + anαn = b é toda ênupla (seqüência de n elementos) de números (α1, α2, ...,αn ) t al que a sentenca a1α1 + a2α2 + ... + anαn = b seja verdadeira. Se não existe tal ênupla, dizemos que a equação é impossível.
Exemplos ...
Classificação de um sistema linear:
Um sistema linear é classificado de acordo com o número de soluções que existir.
• SPD ( Sistema possível e determinado): é todo sistema que admite uma única solução. • SPI (Sistema Possível e indeterminado): é todo sistema que admite mais de uma solução. Se um sistema admite mais de uma solução então ele admite infinitas soluções. • SI (Sistema indeterminado): é todo sistema linear que não admite solucao alguma.
Exemplos ...
28
Sistemas lineares Sistema linear homogêneo:
Quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todos nulos ( bn = 0 em (1) ), o sistema é chamado homogêneo. ( 1 ) Uma solução evidente deste sistema homogêneo é a chamada solução trivial, na qual todas as variáveis são tomadas como nulas. Num sistema linear homogêneo existe, sempre, pelo menos uma solução que é a trivial, que consiste em todas as variáveis iguais a zero. Se existirem outras, além da trivial, são chamadas de não-triviais.
Exemplos ...
= 0 = 0 = 0
Exercícios ...
29
Solução de sistemas lineares
1. Método de Gauss-Jordan
30
Gauss-Jordan
31
Gauss-Jordan
32
Gauss-Jordan
33
Gauss-Jordan
Exemplo:
34
Gauss-Jordan Exemplo:
35
Gauss-Jordan
36
Gauss-Jordan Exemplo:
37
Gauss-Jordan
38
Gauss-Jordan
39
Exercícios
1.
2.
40
Exercícios
3.
4.
5.
6.
Revisão: Matrizes e Sistemas lineares
Parte 03
Método Fatoração LU
Método da matriz inversa;
Exemplos e exercícios.
41
42
Fatoração LU
43
Fatoração LU
Exemplo:
44
Exercícios
1.
2.
Determine a solução da matriz formada pelo sistema abaixo, usando o método fatoração LU.
Seja a matriz A formada por , resolva o sistema AX=B pelo método fatoração LU e pelo método escada, comparando os resultados. OBS: A matriz dos coeficientes deste sistema é dada por: B = [1 2 4]T
45
Matriz inversa
Uma pequena modificação no método de Gauss-Jordan dá origem a um método para determinar a inversa de uma matriz. Neste caso, ao invés de adicionar apenas um vetor à matriz aumentada, adiciona-se a matriz identidade do lado direito de A, resultando [ A ⁞ I ].
Uma sucessão de operações com as linhas é realizada para eliminar tanto os elementos acima como os abaixo da diagonal da matriz aumentada. O objetivo é obter a matriz identidade do lado esquerdo e os vetores solucão do lado direito da matriz aumentada, resultando [ I ⁞ inv(A) ].
Esquema:
46
Matriz inversa
47
Matriz inversa
48
Matriz inversa
49
Matriz inversa
50
Matriz inversa
51
Matriz inversa
Exemplo 3:
52
Exercícios
1.
2.
3.
53
Exercícios
4.
5.