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AULA 3 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II

Fonte: Anton, Stewart, Thomas. Material Daniela Buske

Prof. Guilherme Jahnecke WeymarCEng - UFPel

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Produto escalar:

Ângulo entre vetores

Vetores perpendiculares

Propriedades

Projeções ortogonais

Trabalho

Escrever vetor como soma de vetores ortogonais

Produto vetorial

TÓPICOS:

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Objetivo da primeira parte da aula:

Se uma força F é aplicada a uma partícula que se move ao longo de um

caminho, freqüentemente precisamos conhecer a magnitude de força na

direção do movimento. Se v é paralelo à reta tangente ao caminho no ponto

onde F é aplicada, então queremos a magnitude de F na direção de v.

Como calcular o ângulo entre 2 vetores

diretamente a partir das suas componentes.

Usar o produto escalar para encontrar:

1) Projeção de um vetor em outro;

2) Trabalho realizado por uma força cte

que age durante um deslocamento.

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Ângulo entre vetores:

Se eles estiverem sobre a mesma reta, o ângulo

entre eles é 0 se ambos apontam para o mesmo

sentido, e π se apontarem em sentidos opostos.

Como encontro θ?

Quando 2 vetores não-nulos u e v são colocados de tal modo que seus ponto iniciais coincidam, eles formam um ângulo θ com medida 0 ≤ θ ≤π.

Se os vetores não estão sobre a mesma reta, o ângulo θ é medido no plano que contém os dois.

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Vamos nos concentrar na expressão u1v1+u2v2+u3v3 no cálculo de θ:

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Com a notação de produto escalar o ângulo entre dois vetores u e v pode ser escrito como:

OBS.: O produto escalar dá como resultado um escalar e não um vetor.

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8A fórmula do ângulo também se aplica a vetores bidimensionais:

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Vetores perpendiculares (ortogonais):

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Propriedades do produto escalar e projeções ortogonais:

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A projeção ortogonal de u = PQ

em um vetor v = PS é o vetor

PR determinado ao se traçar

uma perpendicular de Q até a

reta PS.

Notação: proj u

Projeção ortogonal de u em v:

v

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Direção v/|v| Direção - v/|v|

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O número é chamado componente escalar de u na direção de v.

Em resumo:

16(1) e (2) se aplicam para vetores 2D:

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Trabalho realizado por uma força contante:

Em cálculo 1 calculamos o trabalho realizado por uma cte magnitude de

força F ao mover um objeto ao longo de uma distância d por W = Fd. A

fórmula é verdadeira somente se a força é direcionada ao longo da reta de

movimento.

W = (|F|cos θ) |D|

= F . D

= |F| |D| cos θ

Se uma força F que move um objeto ao longo de um deslocamento D = PQ

tem alguma outra direção, o trabalho é realizado pela componente de F na

direção de D. Se θ é o ângulo entre F e D (figura) então:

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Escrevendo um vetor como uma soma de vetores ortogonais:

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Produto vetorial de dois vetores no espaço:

Suponha 2 vetores não-nulos u e v no espaço.

Se eles não são paralelos eles determinam um

plano. Selecionamos um vetor unitário n

perpendicular ao plano pela regra da mão

direita. Então o produto de u vetorial v é:

Resultado: VETOR

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OBS.: O vetor u x v é ortogonal tanto a u quanto a v porque é

múltiplo escalar de n.

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Área do paralelogramo: |u x v|

Como n é um vetor unitário, a norma de u x v é:

Esta é a área do paralelogramo

determinado por u e v, sendo |

u| a base e |v|senθ a altura.

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Torque:

Quando giramos um parafuso aplicando

uma força F a uma chave inglesa (figura),

o torque que produzimos age ao longo do

eixo do parafuso para girá-lo para frente.

A magnitude do torque depende da

distância entre o eixo do parafuso e o

ponto sobre a chave inglesa no qual a

força é aplicada e de quanto da força é

perpendicular à chave no ponto de

aplicação.

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O número que usamos para medir a norma do torque é o produto do

comprimento do braço da alavanca r e da componente escalar de F

perpendicular a r. Na notação da figura:

Magnitude do vetor torque = |r||F| senθ

ou |r x F|

Se n é um vetor unitário ao longo do eixo do

parafuso na direção do torque, então uma

descrição completa do vetor torque é r x F, ou:

Vetor torque = (|r||F| senθ)n

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Produto Misto:

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