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AULA 8 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II

CurvasFonte: Anton, Flemming, Stewart, Thomas, Buske

Definição Representação paramétrica de curvas:

Representação paramétrica de uma retaRepresentação paramétrica de uma circunferênciaRepresentação paramétrica de uma elipseRepresentação paramétrica de uma hélice circularParametrização de outras curvas

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Curvas – definição:

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Exemplo: Descrever a trajetória L de um ponto móvel P, cujo deslocamento é

expresso por

Na tabela apresentamos os vetores posição de alguns pontos da trajetória L, que pode ser visualizada na figura do slide seguinte.

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Representação paramétrica de curvas

Sejam x = x(t)y = y(t)z = z(t)

funções contínuas de uma variável t, definidas para t ϵ [a,b]. Estas equações são chamadas equações paramétricas de uma curva e t é chamado parâmetro.

Para obter a equação vetorial basta considerar o vetor posição r(t) de cada ponto da curva. As componentes de r(t) são precisamente as coordenadas do ponto, ou seja,

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k , a ≤ t ≤ b

OBS.: se as funções forem constantes,a curva degenera-se em um ponto.

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Exemplo 1:

Exemplo 2:

Exemplo 3:

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Definição: Curva planaUma curva plana é uma curva que está contida em um plano no espaço. Uma curva que não é plana chama-se curva reversa.

As curvas dos exemplos 1 e 3 anteriores são planas e a curva 2 é reversa.

Definição: Curva fechadaa) Uma curva parametrizada r (t), t ϵ [a,b], é dita fechada se r (a) = r (b).b) Se a cada ponto da curva corresponde um único valor do parâmetro t (exceto

quando t = a e t = b), dizemos que a curva é simples.

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Exemplo 1: Esboços de curvas fechadas simples:

Exemplo 2: Esboços de curvas fechadas que não são simples:

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Parametrização de uma reta:

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Exemplo 1:

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Exemplo 2:

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Parametrização de uma circunferência:

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Exemplo 1:

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Exemplo 2:

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Parametrização de uma elipse:

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Exemplo 1:

Exemplo 2:

Fazer ...

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Parametrização de uma hélice circular:

Enrolemos à volta da superfície um

triangulo flexível ABC de modo que

A seja o ponto (a,0,0) e que o lado

AB se enrole sobre a seção do

cilindro no plano xy. A hipotenusa

AC determina, então, sobre a

superfície cilíndrica, uma curva

chamada hélice circular.

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OBS.: A equação acima representa a equação da hélice esboçada na figura anterior, e, portanto m > 0. Sua forma lembra um parafuso de rosca à direita. De maneira análoga pode-se deduzir a equação para m < 0 de forma a representar a figura ao lado que lembra um parafuso de rosca à esquerda.

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Parametrização de outras curvas:

Como vimos, uma curva pode ser representada por equações paramétricas ou por uma equação vetorial. Existem outras formas de representação de uma curva. Por exemplo, o gráfico de uma função contínua y = f(x) representa uma curva no plano xy. A intersecção de duas superfícies representa, em geral, uma curva no plano ou no espaço.

A seguir, encontraremos uma representação paramétrica para algumas curvas dadas como intersecção de duas superfícies. A partir de uma representação paramétrica também obteremos a representação gráfica de algumas curvas.

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Exemplo 1:

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Exemplo 2:

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Exemplo 3:

Fazer ...

Resposta:

Elipse no plano yz

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Exemplo 4:

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