ajuste de curvas por regressão e ajuste sigmoidal de curvas (2)

Ajuste de Curvas por Ajuste de Curvas por RegressãoRegressão

e Ajuste Sigmoidal de Curvase Ajuste Sigmoidal de Curvas

Alunos:Alunos:

Natan Luiz Rodrigues ChavesNatan Luiz Rodrigues Chaves

Milene Oliveira de SousaMilene Oliveira de Sousa

Cálculo NuméricoCálculo Numérico

SumárioSumário

IntroduçãoIntrodução

MotivaçãoMotivação

DefiniçãoDefinição

MétodosMétodos

Ajuste de Curvas por RegressãoAjuste de Curvas por Regressão

Ajuste Sigmoidal de Curvas Ajuste Sigmoidal de Curvas

Considerações FinaisConsiderações Finais

2


MotivaçãoMotivação

Qual o melhor método numérico a ser Qual o melhor método numérico a ser utilizado para se obter uma função utilizado para se obter uma função matemática que represente (ou que matemática que represente (ou que ajuste) os dados, reduzindo repetições ajuste) os dados, reduzindo repetições e experimentos que podem ter alto e experimentos que podem ter alto custo?custo?

Em que consiste o método do Em que consiste o método do ajuste de ajuste de curvascurvas??

3


DefiniçãoDefinição

Ajuste de curvasAjuste de curvas é um processo que é um processo que consiste em determinar a função que consiste em determinar a função que melhor se melhor se ajustaajusta e e representarepresenta um um determinado conjunto de pontos.determinado conjunto de pontos.

4


Considere-se o seguinte conjunto de Considere-se o seguinte conjunto de pontos:pontos:

5


Exemplo ilustrativo de uma curva Exemplo ilustrativo de uma curva polinomial interpoladora:polinomial interpoladora:

6

Exemplo ilustrativo de curva que se Exemplo ilustrativo de curva que se ajusta aos pontos de um diagrama ajusta aos pontos de um diagrama de dispersão:de dispersão:

7



Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadrados

Caso ContínuoCaso Contínuo

Caso DiscretoCaso Discreto

LinearLinear

PolinomialPolinomial

8



Seja Seja f(x)f(x) uma função dada num uma função dada num intervalo intervalo [a,b][a,b]..

O objetivo é determinar, de modo que o O objetivo é determinar, de modo que o desvio seja mínimo, a função:desvio seja mínimo, a função:

9

)()()()( xgxgxgx nn 2211

Equação 1Equação 1



Os Os ααnn serão determinados pela serão determinados pela resolução do sistema linear:resolução do sistema linear:

10

mnnnnn

n

n

b

b

b

2

1

1

0

21

22221

11211




Os elementos Os elementos ααijij serão determinados a serão determinados a partir do produto interno entre as partir do produto interno entre as funções funções ggii(x)(x) e e ggjj(x)(x) : :

11

dxxgxgb

a jiij )]()([




Os elementos Os elementos bbii serão determinados a serão determinados a partir do produto interno entre as partir do produto interno entre as funções funções f(x)f(x) e e ggii(x) (x) ::

12

dxxgxfbb

a ii )]()([



Exemplo: Caso ContínuoExemplo: Caso Contínuo

Determinar a parábola que melhor se Determinar a parábola que melhor se ajuste a função ajuste a função f(x)=sen(f(x)=sen(ππx)x) no no intervalo intervalo [0,1][0,1]..

Função do ajuste:Função do ajuste:

Em que:Em que:

13

)()()()( 332211 xgxgxgx

2321 )()(1)( xxgxxgxg



Faz-se:Faz-se:

14

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

b

b

b



Cálculo dos coeficientes das matrizes a Cálculo dos coeficientes das matrizes a partir das equações 3: partir das equações 3:

15

31

1

0

21

0 3113

21

1

0

1

0 2112

1

0

1

0 1111

3/1)]()([

2/1)]()([

11)]()([

dxxdxxgxg

xdxdxxgxg

dxdxxgxg




16

31

1

0

41

0 3333

32

1

0

31

0 3223

1

0

21

0 2222

5/1)]()([

4/1)]()([

3/1)]()([

dxxdxxgxg

dxxdxxgxg

dxxdxxgxg




17

189,0)]()([

318,0)]()([

636,0)]()([

1

0 33

1

0 22

1

0 11

dxxgxfb

dxxgxfb

dxxgxfb



Tem-se:Tem-se:

Assim: Assim:

18

189,0

318,0

636,0

5/14/13/1

4/13/12/1

3/12/11

3

2

1

14,414,4054,0 321



A aproximação de A aproximação de f(x)=sen(f(x)=sen(ππx)x) no no intervalo intervalo [0,1][0,1] é dada por: é dada por:

19

214,414,4054,0)( xxx



Gráfico comparativo entre a função Gráfico comparativo entre a função f(x) f(x) e o ajuste e o ajuste φφ(x) (x) : :

20


Caso Discreto (Linear)Caso Discreto (Linear)

Consiste em N pontos de um diagrama Consiste em N pontos de um diagrama de dispersão a serem ajustados a uma de dispersão a serem ajustados a uma reta. reta.

Na qual Na qual εε=y-y’=y-y’ é o erro inserido nesta é o erro inserido nesta aproximação.aproximação.

21

xbby 10




Para obter melhor ajuste, minimiza-se o Para obter melhor ajuste, minimiza-se o valor absoluto em módulo da soma dos valor absoluto em módulo da soma dos erros residuais para todos os pontos.erros residuais para todos os pontos.

22

n

i

n

iii xbby

1 110 ||||




Processo de minimização:Processo de minimização:

23

n

i

n

iiR xbbyS

1 1

210

2 )(




Deriva-se a Deriva-se a Equação 7Equação 7 em relação a em relação a cada coeficiente e iguala-se a zero.cada coeficiente e iguala-se a zero.

24

0)(20

100

n

i

R xbbyb

S


0])[(21

101

n

iii

R xxbbyb

S




Após algumas simplificações, tem-se:Após algumas simplificações, tem-se:

25

n

ii

n

ii ybxnb

01

00


n

iii

n

ii

n

ii yxbxbx

01

0

20

0




Na forma matricial:Na forma matricial:

26

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

y

b

b

xx

xn

0

0

1

0

0

2

0

0



Exemplo: Caso Discreto (Linear)Exemplo: Caso Discreto (Linear)

A partir do método de regressão por A partir do método de regressão por mínimos quadrados (caso discreto) mínimos quadrados (caso discreto) ajuste uma reta aos pontos da tabela.ajuste uma reta aos pontos da tabela.

27

8,61,68,32,59,2:

0,88,61,54,33,1:

y

x



Cálculo dos coeficientes da matriz da Cálculo dos coeficientes da matriz da Equação 12 Equação 12 : :

28

.54,127.8,22

.5,148.6,24

.5

5

1

5

1

5

1

25

1

iii

ii

ii

ii

yxy

xx

n



Tem-se:Tem-se:

No qual: No qual:

29

54,127

9,22

5,1496,24

6,245

1

0

b

b

522,001,2 10 bb



Isto resulta em:Isto resulta em:

Graficamente, tem-se:Graficamente, tem-se:

30

xxf 5220102 ,,)(


Caso Discreto (Polinomial)Caso Discreto (Polinomial)

Em alguns casos, a aproximação por Em alguns casos, a aproximação por uma reta não é satisfatória.uma reta não é satisfatória.

Uma alternativa para solucionar o Uma alternativa para solucionar o problema seria ajustar polinômios aos problema seria ajustar polinômios aos dados através da regressão polinomial.dados através da regressão polinomial.

31



Considere-se um polinômio de grau m:Considere-se um polinômio de grau m:

Somando os quadrados dos resíduos, Somando os quadrados dos resíduos, tem-se: tem-se:

32

mmxbxbby 10

n

i

n

i

mmiiR xbxbbyS

1 1

210

2 )(





Derivando em relação a cada um dos Derivando em relação a cada um dos coeficientes do polinômio, tem-se:coeficientes do polinômio, tem-se:

33

n

i

mi

mnii

m

R

n

ii

mnii

R

n

i

mini

R

xxbxbbyb

S

xxbxbbyb

S

xbxbbyb

S

010

010

1

010

0

0])[(2

0])[(2

)(2




Tem-se o seguinte conjunto de Tem-se o seguinte conjunto de equações:equações:

34

n

ii

mim

n

i

mi

n

i

mi

n

i

mi

n

iiim

n

i

mi

n

ii

n

ii

n

iim

n

i

mi

n

ii

yxbxbxbx

yxbxbxbx

ybxbxnb

00

21

0

20

0

00

11

0

20

0

001

00




Na forma matricial:Na forma matricial:

35


n

ii

mi

n

iii

n

ii

mn

i

mi

n

i

mi

n

i

mi

n

i

mi

n

ii

n

ii

n

i

mi

n

ii

yx

yx

y

b

b

b

xxx

xxx

xxn

0

0

0

1

0

0

2

0

1

0

0

1

0

2

0

00


Exemplo: Caso Discreto (Polinomial)Exemplo: Caso Discreto (Polinomial)

Ajuste aos pontos da tabela ao Ajuste aos pontos da tabela ao polinômio polinômio y=ay=a00+a+a11x+ax+a22xx22..

36

4,218,169,83,32,205,30:

1,32,20,10,05,10,2:

y

x



O vetor O vetor bb é determinado a partir da é determinado a partir da solução do sistema linear:solução do sistema linear:

37

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

yx

y

b

b

b

xxx

xxx

xxn

0

2

0

0

2

1

0

0

4

0

3

0

2

0

3

0

2

0

0

2

0



Cálculo do somatório para n=6 é:Cálculo do somatório para n=6 é:

38

9,6

416,1285,2038402,137

064,307,218,2

6

1

6

1

26

1

6

1

4

6

1

36

1

26

1

ii

iii

iii

ii

ii

ii

ii

y

yxyxx

xxx



Tem-se:Tem-se:

Assim: Assim:

39

416,128

5,203

9,6

8402,137064,307,21

064,307,219,2

7,218,26

2

1

0

b

b

b

222,133,11018,2 210 bbb



Graficamente, tem-se:Graficamente, tem-se:

40

41

IntroduçãoIntrodução O que são O que são curvas sigmóidescurvas sigmóides??

São curvas que descrevem processos de São curvas que descrevem processos de crescimento natural de qualquer sistema.crescimento natural de qualquer sistema.

O que é O que é processo de crescimento naturalprocesso de crescimento natural?? Consiste em preencher determinado nicho Consiste em preencher determinado nicho

desde o início até a saturação.desde o início até a saturação. Difusão de epidemias ou inovações tecnológicas;Difusão de epidemias ou inovações tecnológicas; Crescimento de seres vivos ou populações;Crescimento de seres vivos ou populações; Crescimento de mercado de produtosCrescimento de mercado de produtos;; Entre outros.Entre outros.

Ajuste Sigmoidal de CurvasAjuste Sigmoidal de Curvas

42

IntroduçãoIntroduçãoCurvas sigmóides e os Curvas sigmóides e os processos de processos de

aprendizagemaprendizagem::Crescimento cumulativo de ‘bits’ de Crescimento cumulativo de ‘bits’ de

informação.informação.

Exemplo ilustrativo:Exemplo ilustrativo:


43

Caráter matemáticoCaráter matemáticoEquação Diferencial Logística:Equação Diferencial Logística:

(1)(1)

A qual consiste na taxa diferencial de A qual consiste na taxa diferencial de crescimento da grandeza crescimento da grandeza NN;;

Proposta em 1838, pelo matemático e Proposta em 1838, pelo matemático e clérigo P. F. Verhulst.clérigo P. F. Verhulst.


44

Caráter matemáticoCaráter matemáticoEquação Logística:Equação Logística:

(2)(2)

M: Parâmetro de escala;: Parâmetro de escala;α: Capacidade de crescimento do : Capacidade de crescimento do

sistema;sistema;to : Parâmetro de localização;: Parâmetro de localização;


45

Caráter matemáticoCaráter matemáticoExemplo: Representação dos valores Exemplo: Representação dos valores

da função da função NN, para , para tt variando de 0 a 100, variando de 0 a 100, com com M=1, =1, t0t0 e e α assumindo, assumindo, respectivamente, os valores 40 e 0,1 e respectivamente, os valores 40 e 0,1 e 60 e 0,2. 60 e 0,2.


46

O Ajuste de Curvas por Regressão é O Ajuste de Curvas por Regressão é importante quando:importante quando:

É preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo, ou seja, quando se quer extrapolar.

Os valores tabelados são resultados de experimentos físicos ou de pesquisas.


47

O Ajuste Sigmoidal é extremamente O Ajuste Sigmoidal é extremamente importante para engenharia em importante para engenharia em geral, biologia, química, etc.geral, biologia, química, etc.

Esforço ComputacionalEsforço Computacional

Regressão – Pouco esforçoRegressão – Pouco esforço

Sigmoidal – Muito esforçoSigmoidal – Muito esforço


48

Referências BibliográficasReferências Bibliográficas

RUGGIERO, M. A. GOMES & LOPES, V. L. da RUGGIERO, M. A. GOMES & LOPES, V. L. da R. R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionaiscomputacionais. MAKRON Books, 1996, 2ª . MAKRON Books, 1996, 2ª ed. ed.

PEDROSA, P. F. DIOGO, Ajuste de Curvas, PEDROSA, P. F. DIOGO, Ajuste de Curvas, Universidade Federal do Rio Grande do Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de TecnologiaDepartamento Norte, Centro de TecnologiaDepartamento de Engenharia de Computação e de Engenharia de Computação e Automação, Automação, http://www.dca.ufrn.br/~diogo/FTP/dca0304/ajustedecurvas.pdf..

49

Referências BibliográficasReferências Bibliográficas

BARROSO, L. A. BARROSO, A. M. M., BARROSO, L. A. BARROSO, A. M. M., CAMPOS, F. F., CARVALHO, B. L. M., MAIA, CAMPOS, F. F., CARVALHO, B. L. M., MAIA, L. M. Cálculo Numérico (com aplicações), L. M. Cálculo Numérico (com aplicações), 1987, 2ª ed. 1987, 2ª ed.

PUC-SP, Redes Neurais Artificiais, PUC-SP, Redes Neurais Artificiais, http://www2.dbd.puc-rio.br/pergamum/tesesabertas/0220883_05_cap_04.pdf

ajuste de curvas por regressão e ajuste sigmoidal de curvas (2)

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