ajuste de curvas 6.1 introdução 6.2 método dos quadrados mínimos 6.2.1 caso discreto 6.2.2 caso...

AJUSTE DE CURVAS

6.1 Introdução

6.2 Método dos quadrados mínimos

6.2.1 Caso discreto

6.2.2 Caso contínuo

6.3 Caso não-linear

AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO

No capítulo anterior vimos uma forma de trabalhar com uma função definida por uma tabela. A interpolação polinomial.

Nem sempre a interpolação é aconselhável.

1. Quando se quer aproximar um valor da função fora do intervalo de tabelamento. Extrapolação.

2. Quando os valores são medidas experimentais com erros. Neste caso a função deve passar pela barra de erros não pelos pontos.

AJUSTE DE CURVAS6.1- INTRODUÇÃO

Graficamente, a extrapolação e o ajuste por barras de erros são vistos abaixo:

xexf )(

x

)(xf

x

xf

Curva ajustada

Curva extrapolada

Barra de erros

AJUSTE DE CURVAS 6.1 - INTRODUÇÃO

Temos que ajustar estas funções tabeladas por uma função que seja uma “boa aproximação” e que permita extrapolações com alguma margem de segurança.

Dado os pontos

num intervalo [a,b], devemos escolher funções

, e constantes

tais que a função

se aproxime de

)(,,......,)(,,)(, 2211 mm xfxxfxxfx

)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n

)(,.......,)(,)( 21 xxx n

)()()()( 2211 xgxgxgx nn ).(xf


Este modelo é dito linear pois os coeficientes a determinar aparecem linearmente.

Note que as funções

podem ser funções não-lineares, por exemplo:

PROBLEMA 1

Como escolher as funções ?

)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n

)(,.......,)(,)( 21 xxx n

.......,1)(,)( 221 xxgexg x

)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n


Podemos escolher as funções

observando os pontos tabelados ou a partir de conhecimentos teóricos do experimento.

)(,.......,)(,)( 21 xgxgxg n

AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO

Seja dada na tabela:

Devemos construir o diagrama de dispersão

x -1.0 -0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0

f(x) 2.05 1.153 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05

Diagrama de dispersão – caso discreto

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

x

f(x) Série1

AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO DISCRETO

Escolhemos a partir da forma dos pontos no diagrama de dispersão.

Procuramos a função que se aproxime ao máximo de que tenha a forma

(parábola passando pela origem)

PROBLEMA 2: Qual o valor de que gera melhor ajuste da parábola?

21 )( xxg

211 )()( xxgx

)(xf

AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO

Dada uma função contínua em [a,b] e escolhidas as funções

todas contínuas em [a,b], devemos determi-nar as constantes de modo que a função

se aproxime ao máximo de .

)(....)()()( 2211 xgxgxgx nn

)(xf)(,......,)(,)( 21 xgxgxg n

n ,.....,, 21

)(xf

AJUSTE DE CURVAS6.1 - INTRODUÇÃO: CASO CONTÍNUO

Tanto no caso discreto quanto no caso contínuo o que significa ficar mais próxima?

Idéia: A função é tal que o módulo da área sob a curva seja mínimo!!!

x )(xfx

6.2 Método dos Mínimos Quadrados

Objetivo: encontrar os coeficientes j tais que a função

se aproxime ao máximo de f(x)

MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Consiste em escolher os j’s de modo que a soma dos quadrados dos desvios seja mínima.

)()()()()( 2211 xgxxgxgx nn

6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto

Desvio em :Se a soma dos quadrados dos desvios

é mínima, cada desvio

será pequeno. Assim, j’s devem ser tais que minimizem a função

)()( kkk xxf d

m

kkk

m

kk xxf

1

2

1

2 ))()((d

)()( kkk xxf d

m

kkkn xxf

1

221 )]()([),,( F

kx


Para obter um ponto mínimo devemos encontrar os números críticos, ou seja, j’s tais que

onde

nj

nj

2,1,0),,( 21

F

m

kknnkkk

n

xgxgxgxf1

22211

21

)]()()()([

),,(

F


Calculando as derivadas, temos

Igualando a zero,

m

kkjknnkkk

j

xgxgxgxgxf

n

12211

),,(

)]()][()()()([2

21

F

njxgxgxgxgxfm

kkjknnkkk ,,2,1,0)]()][()()()([

12211


Ou seja, temos um sistema linear a resolver

0)]()][()()()([

0)]()][()()()([

0)]()][()()()([

12211

122211

112211

m

kknknnkkk

m

kkknnkkk

m

kkknnkkk

xgxgxgxgxf

xgxgxgxgxf

xgxgxgxgxf


Reescrevendo o sistema,

m

kknk

m

knknkn

m

kknk

m

kkk

m

knkkn

m

kkk

m

kkk

m

knkkn

m

kkk

xgxfxgxgxgxg

xgxfxgxgxgxg

xgxfxgxgxgxg

11111

12

12

1121

11

11

1111

)()()]()([)]()([

)()()]()([)]()([

)()()]()([)]()([

Sistema linear de n equações com n incógnitas

6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Retas

Exemplo 1: Encontre a reta de mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos (2,1), (5,2), (7,3), (8,3). Calculemos para

)3.83.72.51.2()8752()8752(

)3321()8752()1111(

22222

1

21

. )(e1)( 21 xxgxg

4

1

4

12

4

11

4

1

4

12

4

11

).(.1.

1).(1.1.1

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

kkk

xxfxxx

xfx


Logo,

57

9

14222

224

2

1

14/5

7/2

57

9

422

22142

84

1

57

9

14222

2241

2

1

xx14

5

7

2)(


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 2 4 6 8 10

Série1

6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Discreto - Parábolas

Exemplo 2: Encontre a parábola através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos da tabela

Vimos pelo diagrama de dispersão que uma parábola pela origem seria uma boa escolha, logo seja,

x -1.0 0.75 -0.6 -0.5 -0.3 0 0.2 0.4 0.5 0.7 1.0

f(x) 2.05 1.153 0.45 0.4 0.5 0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05

221

21 )()( xxxxxg


Logo temos apenas uma equação dada por

Calculando as somas, segue que:2

11 0642.2)(0642.28756.58464.2 xx

11

1

211

1

41

11

11

11

1

211

11

11

11

1111

)()()(

)()()(

)()()]()([

kkk

kk

kkk

kk

kkk

kkk

xfxx

xgxfxg

xgxfxgxg


Comentário 1: Note que a parábola pela origem, alinhada com o eixo dos y, que melhor ajusta os pontos fornecidos, através Método dos Mínimos Quadrados, é dada por

Comentário 2: Uma parábola da forma

permite um melhor ajuste dos pontos, mas o sistema a ser resolvido é 3X3 com várias somas e produtos intermediários, o que aumenta o tempo de processa-mento.

20642.2)( xx

2321)( xxx

6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo

Para a notação não ficar carregada, consideremos apenas duas funções de ajuste

Sejam contínua em [a,b] e também contínuas em [a,b] escolhidas com algum critério.

Desejamos encontrar mais próxima de . Neste caso quais são ?

Do critério de mínimos quadrados:

ser mínimo!!!!!!!!

)(xf )(e)( 21 xgxg

)()()( 2211 xgxgx )(xf 21 e

dxxxfb

a

2)()(


Calculando

),(

)()()(2)(

)()(2)()(2)(

)()()()()(2)(

)()()(2)(

)()(

21

22

222121

21

21

22112

222112211

2

22

2

F

dxxgdxxgxgdxxg

dxxgxfdxxgxfdxxf

dxxgxgxgxgxfxf

dxxxxfxf

dxxxf

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a


Analogamente ao caso discreto, minimizando

),( 21 F

0)()(2)(2)()(2

0),(2 Para

0)()(2)(2)()(2

0),(1 Para

2,1para0),(

12122

22

212

22112

11

211

21

dxxgxgdxxgdxxgxf

Fi

dxxgxgdxxgdxxgxf

Fi

iF

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

i


Segue o sistema linear

Comentário: Se forem duas funções LI, então o sistema tem solução única para .

dxxgxfdxxgxgdxxg

dxxgxfdxxgxgdxxg

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

)()()()()(

)()()()()(

212122

2

122112

1

)(e)( 21 xgxg

21 e

6.2 Método dos Mínimos QuadradosCaso Contínuo - Reta

Exemplo: Encontre a reta através dos mínimos quadrados que melhor se ajusta a função no intervalo [0,1]. Seja , logo

Calculando os termos do sistema linear 2X2

. )(e1)( 21 xxgxg

34)( xxf

xxgxgx 212211 )()()(

2

1

2

1

2221

1211

b

b

aa

aa


Calculando os termos do sistema linear

5/44)()(

14)()(

3/1)(

2/1)()(

11)(

422

311

21

0

2222

1

021

1

01221

1

0

21

1

011

dxxdxxgxfb

dxxdxxgxfb

dxxdxxga

dxxdxxgxgaa

dxdxxga

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a


Obtemos o sistema linear

Logo, a reta que melhor ajusta no intervalo [0,1] e dada pelo método dos mínimos quadrados por

5

18

5

4

5

4

3

1

2

1

12

11

21

21

21

34)( xxf

xx5

18

5

4)(


> plot([4*x^3, -4/5+x*18/5], x=0..1, color=[red,blue], style=[line,line]);

34)( xxf

)(x

ajuste de curvas 6.1 introdução 6.2 método dos quadrados mínimos 6.2.1 caso discreto 6.2.2 caso...

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