ajuste de curvas

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UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.1) 7 7 Ajuste de Curvas

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7. Ajuste de Curvas. f(Y). Y. Y = a + b x. x 1. x 2. X. x 3. Método dos mínimos quadrados. Aplicação típica: Prever o comportamento de uma variável dependente (Y) a partir do valor de uma variável independente (x) Logo: Y é uma VA cuja distribuição depende de x. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.1)

77Ajuste de Curvas

Page 2: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.2)

Método dos mínimos quadradosMétodo dos mínimos quadrados

• Aplicação típica:– Prever o comportamento de uma variável dependente (Y) a partir

do valor de uma variável independente (x)– Logo: Y é uma VA cuja distribuição depende de x

Y

X

f(Y)

Y = + x

x1 x2 x3

Page 3: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.3)

Método dos mínimos quadradosMétodo dos mínimos quadrados

• Caso linear:

Y = + x +

– onde é uma variável aleatória

• uma estimativa de Y pode ser obtida a partir de:

bxay ˆ

– onde a e b são constantes

Page 4: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.4)

mmq - caso linearmmq - caso linearPara cada ponto experimental (xi, yi) o erro será:

)(ˆ iiii xbayyye

n

iii xbay

1

2)(

n

i

n

ii

n

iiii

n

i

n

iii

xbxayx

xbnay

1 1

2

1

1 1

e o erro quadrático:

que, quando minimizado em relação a “a” e “b”, leva às equações normais:

Page 5: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.5)

inferências baseadas nos estimadores do mmqinferências baseadas nos estimadores do mmq

definindo:

n

i

n

iii

n

iixx x

nxxxS

1

2

1

22

1

1)(

n

i

n

iii

n

iiyy y

nyyyS

1

2

1

22

1

1)(

n

i

n

ii

n

iiii

n

iiixy yx

nyxyyxxS

1 111

1))((

Page 6: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.6)

inferências baseadas nos estimadores do mmqinferências baseadas nos estimadores do mmq

• a solução das equações normais é:

xx

xy

S

Sb

xbya

n

i

xxxyyyiie n

SSSxbay

nS

1

222

2

/)()]([

2

1

• a variância é estimada a partir das somas dos erros quadráticos residuais por:

Page 7: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.7)

intervalos de confiança para os coeficientesintervalos de confiança para os coeficientes

xx

ea

xxe

SStb

S

x

nSta

1..:

1.:

2/

2

2/

• Intervalos de confiança para e :

Page 8: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.8)

intervalos de confiança para os coeficientesintervalos de confiança para os coeficientes

intervalos de confiança para + x0

xx

oe S

xx

nStxba

2

2/0

)(1..)(

xx

oe S

xx

nStxba

2

2/0

)(11..)(

x

y

intervalos de predição

Page 9: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.9)

regressão curvilinearregressão curvilinear

Linearizar onde for possível:a) y = x

log y = log + x log

b) y = 1/( + x)1/y = + xz = + x, sendo z = 1/y

Page 10: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.10)

ajustes de polinômiosajustes de polinômios

y = 0 + 1 x + 2 x2 + ... + p xp

Equações normais:y = n b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bp xp

xy = n b0 x + b1 x2 + b2 x3 + ... + bp xp+1

:

xpy = n b0 xp + b1 xp+1 + b2 xp+2 + ... + bp x2p

Page 11: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.11)

regressão múltiplaregressão múltipla

y = 0 + 1 x1 + 2 x2 + ... + r xr

Equações normais: (ex. r = 2)y = n b0 + b1 x1 + b2 x2

x1y = b0 x1 + b1 x12 + b2 x1x2

x2y = b0 x2 + b1 x1x2 + b2 x22

Page 12: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.12)

verificação da adequabilidade do modeloverificação da adequabilidade do modelo

Para verificar se o modelo de regressão escolhido é adequado, deve-se:

1. Plotar os resíduos2. Verificar a normalidade dos resíduos

Page 13: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.13)

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 1 2 3 4 5

y = 2,0006x + 3,2369

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5

y = 3,2229x + 2,3971

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5

Page 14: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.14)

notação matricialnotação matricial

O sistema de equações:

2210

1110

yxbb

yxbb

Pode ser escrito na notação matricial como:

2

1

1

0

2

1

1

1

y

y

b

b

x

x

Cuja solução é:

2

1

1

2

1

1

0

1

1

y

y

x

x

b

b

[x]{b} = {y}

{b} = [x]-1{y}

Page 15: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.15)

notação matricialnotação matricial

O sistema de equações redundantes (mais equações que incógnitas):

3310

2210

1110

yxbb

yxbb

yxbb

Também pode ser escrito na notação matricial como:

3

2

1

1

0

3

2

1

1

1

1

y

y

y

b

b

x

x

x

Porém, sua solução não pode ser obtida da mesma forma que o caso anterior porque matrizes não quadradas não possuem inversa.

[x]{b} = {y}

Page 16: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.16)

notação matricialnotação matricial

Para resolver sistemas de equações redundantes, faz-se:

Cuja solução é:

3

2

1

3211

0

3

2

1

321

111

1

1

1111

y

y

y

xxxb

b

x

x

x

xxx

Que equivale à solução pelo método dos mínimos quadrados

{b} = ([x]T[x])-1[x]T{y}

[x]T[x]{b} = [x]T{y}

3

2

1

321

1

3

2

1

3211

0 111

1

1

1111

y

y

y

xxxx

x

x

xxxb

b

Page 17: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.17)

exemplo 1: ajuste de uma reta pelo mmqexemplo 1: ajuste de uma reta pelo mmq

Reta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4)

4,7

2,5

2,3

0,1

1,71

0,51

0,31

0,11

1

0

b

b

y = -0,003227 + 1,044 x

4,7

2,5

2,3

0,1

1,70,50,30,1

1111

1,71

0,51

0,31

0,11

1,70,50,30,1

1111

1

0

b

b

14,89

80,16

41,8510,16

10,1600,4

1

0

b

b

044,1

003227,0

1

0

b

b

Page 18: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.18)

ajuste de um polinômioajuste de um polinômio

Ajustar um polinômio do tipo:

nk

knnn

k

k

y

y

y

b

b

b

b

xxx

xxx

xxx

2

1

2

1

0

2

2222

1211

1

1

1

{b} = ([x]T[x])-1[x]T{y}

y = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bk xk

Notação matricial:

[x]{b} = {y}

Page 19: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.19)

ajuste de uma funçãoajuste de uma função

Ajustar uma função do tipo:

nk

nnn y

y

y

b

b

b

b

xxx

xxx

xxx

2

1

2

1

0

2

2222

1211

)cos()ln(1

)cos()ln(1

)cos()ln(1

{b} = ([x]T[x])-1[x]T{y}

y = b0 + b1 ln(x) + b2 cos(x2) + ... + bk x

Notação matricial:

[x]{b} = {y}

Page 20: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.20)

cálculo dos resíduoscálculo dos resíduos

nknn

k

k

xxx

xxx

xxx

x

21

22221

11211

1

1

1

][

ny

y

y

y2

1

}{

kb

b

b

b

b

2

1

0

}{

No caso geral em que:

A variância do resíduo pode ser estimada por:

}ˆ]{[}{}ˆ]{[}{1

1)ˆ(

1

1

22 bxybxykn

yykn

Tn

iii

Page 21: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.21)

cálculo da matriz de covariânciacálculo da matriz de covariância

)(),(),(),(

),(),()(),(

),(),(),()(

][

210

121101

020100

kkkk

k

k

bvârbbcôvbbcôvbbcôv

bbcôvbbcôvbvârbbcôv

bbcôvbbcôvbbcôvbvâr

C

Matriz de covariância:

que pode ser estimada por:

12 ][][ˆ][

xxC T

Page 22: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.22)

intervalos de confiança para coeficientesintervalos de confiança para coeficientes

jjknjjjjknj CtbbCtb .ˆˆ.ˆˆ 2,2/

2,2/

Para cada parâmetro (coeficiente) calculado:

que leva à seguinte estimativa de intervalo de confiança para valores interpolados pela equação:

}{][][}{ˆˆ

}{][][}{ˆˆ

0

1

02

,2//

/0

1

02

,2//

0

00

xxxxt

xxxxt

TTknxxy

xxyTT

knxxy

Page 23: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.23)

intervalos de confiança para predição:intervalos de confiança para predição:

Para predição de valores a partir da equação ajustada, são estimados os seguintes intervalos de confiança:

}){][][}{1(ˆˆ

}){][][}{1(ˆˆ

0

1

02

,2/0

00

1

02

,2/0

xxxxty

yxxxxty

TTkn

TTkn

Page 24: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.24)

exemplo 2: cálculo de resíduos e variânciaexemplo 2: cálculo de resíduos e variância

Reta que passa pelos pontos: (1,0; 1,0); (3,0; 3,2); (5,0; 5,2); (7,1; 7,4)

y = -0,003227 + 1,044 x

0091,0

017,0

071,0

041,0

044,1

003277,0

1,70,50,30,1

1111

4,7

2,5

2,3

0,1

044,1

003227,0

1

0

b

b

resíduos:

35500,0044,1

003277,0

1,70,50,30,1

1111

4,7

2,5

2,3

0,1

044,1

003277,0

1,70,50,30,1

1111

4,7

2,5

2,3

0,1

114

1ˆ 2

T

variância:

Page 25: Ajuste de Curvas

UFSC.PósMCI.FME.Ajuste de curvas. (11.25)

exemplo 2: covariâncias e intervalosexemplo 2: covariâncias e intervalos

matriz de covariâncias:

0,00017210,0006928-

0,0006928-0,003675][][ˆ][12 xxC T

Intervalos de confiança para os parâmetros ajustados:

367500,0*0,003547ˆ367500,0*0,003547ˆ3,025,0003,025,00 tbbtb

jjknjjjjknj CtbbCtb .ˆˆ.ˆˆ 2,2/

2,2/

0083,00147,0 0 b 046,1042,1 1 b