os desafios da escola pÚblica paranaense na … · sua importância o desafio é encontrar...
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Versatildeo On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PUacuteBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produccedilotildees Didaacutetico-Pedagoacutegicas
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCACcedilAtildeO ndash SEED
SUPERINTENDEcircNCIA DA EDUCACcedilAtildeO ndash SUED
DIRETORIA DE POLIacuteTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS ndash DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE
FICHA PARA IDENTIFICACcedilAtildeO
PRODUCcedilAtildeO DIDAacuteTICO-PEDAGOacuteGICA
TURMA - PDE2013
Tiacutetulo CONTEXTO HISTOacuteRICO E RESOLUCcedilAtildeO DE PROBLEMAS EM
AacuteLGEBRA E GEOMETRIA NO 9deg ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Autor Silvani Margarete Budske Cardoso
DisciplinaAacuterea Matemaacutetica
Escola de Implementaccedilatildeo do Projeto e sua Localizaccedilatildeo
Coleacutegio Estadual Ludovica Safraider Ensino Fundamental e Meacutedio Av XV de Novembro 889 centro
Municiacutepio da Escola Rio Bonito do Iguaccedilu
Nuacutecleo Regional de Educaccedilatildeo
Laranjeiras do Sul
Professor Orientador Dr Sandro Ap dos Santos
Instituiccedilatildeo de Ensino Superior Universidade Estadual do Centro-Oeste - UNICENTRO
Resumo
Nesta Unidade Didaacutetica trabalharemos com Resoluccedilatildeo de Problemas associada agrave Histoacuteria da Matemaacutetica e temos por finalidade motivar os alunos agrave construccedilatildeo de conhecimentos matemaacuteticos atraveacutes da contextualizaccedilatildeo histoacuterica aleacutem de superar as dificuldades dos deles em apreender os conteuacutedos de Razatildeo e Proporccedilatildeo Teorema de Tales e Teorema de Pitaacutegoras A Resoluccedilatildeo de Problemas contextualizada historicamente poderaacute potencializar o aprendizado de forma a entusiasmar os alunos a estudar mais pois eles devem ver a matemaacutetica como algo a ser construiacutedo e descutido no contexto social Assim temos como objetivo aplicar o trabalho em uma turma de 9˚ ano do Ensino Fundamental sobre o conteuacutedo Geometria e Aacutelgebra aplicando a metodologia da Resoluccedilatildeo de Problemas seguindo as etapas sugeridas por Polya Espera-se com esse projeto
1 INTRODUCcedilAtildeO
O estudo da Geometria em especial o conteuacutedo de Razotildees Proporccedilotildees e
relaccedilotildees Meacutetricas no Triacircngulo Retacircngulo eacute de grande importacircncia visto que elas
fundamentam a geometria plana e espacial sendo assim devemos dar ecircnfase ao
seu estudo bem como a grande contribuiccedilatildeo que as mesmas descobertas
matemaacuteticas trouxeram agrave sociedade O Teorema de Tales O Teorema de Pitaacutegoras
e as relaccedilotildees de proporccedilatildeo que para Platatildeo foi um aspecto de beleza deram grande
impulso nas construccedilotildees na medida de distacircncias na muacutesica na arte com a razatildeo
aacuteurea Para tanto entender a Histoacuteria da Matemaacutetica pode possibilitar ao aluno a
melhor aceitaccedilatildeo de determinados fatos procedimentos e raciociacutenio bem como
despertar a curiosidade de apreender e resolver problemas matemaacuteticos Certos de
sua importacircncia o desafio eacute encontrar metodologias apropriadas que venham
promover a aprendizagem de modo significativo e consistente para que o nosso
aluno possa melhor corresponder fora da escola De acordo com a Diretriz
Curricular de Matemaacutetica do Estado do Paranaacute ndash DCE ndash PR
A aprendizagem da Matemaacutetica consiste em criar estrateacutegias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado agraves ideacuteias matemaacuteticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relaccedilotildees justificar analisar discutir e criar Desse modo supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorizaccedilatildeo ou listas de exerciacutecios (PARANAacute 2008 p 45)
contribuir para o aprendizado dos alunos de forma mais eficiente para que os mesmo consigam interpretar criar meacutetodo de soluccedilatildeo e analisar situaccedilotildees problema procurando deixar as aulas mais interessantes e produtivas para que os alunos consigam transformar sua realidade atraveacutes dos conhecimentos adquiridos
Palavras-chave Ensino Fundamental Ensino da Matemaacutetica Teorema de Tales e Pitaacutegoras Histoacuteria da
Matemaacutetica Resoluccedilatildeo de Problemas
Formato do Material Didaacutetico Unidade Didaacutetica
Puacuteblico Alunos da 9deg ano do Ensino Fundamental
Diante das muacuteltiplas aplicabilidades e diversas maneiras metodoloacutegicas de
podermos ensinar os mesmos esta Unidade Didaacutetica destaca a Resoluccedilatildeo de
Problema e a Histoacuteria da Matemaacutetica para abordar o tema razotildees e proporccedilotildees
Teorema de Tales e Teorema de Pitaacutegoras Diante do exposto espera-se efetivar o
Ensino da Matemaacutetica no 9deg ano do Ensino Fundamental
Desenvolver o ensino de razatildeo e proporccedilatildeo utilizando a Resoluccedilatildeo de
Problema e a Histoacuteria da Matemaacutetica de forma que o aluno participe efetivamente
na construccedilatildeo de seu conhecimento que aprenda a ser pesquisador e entusiasta do
fazer matemaacutetico que consiga resolver problemas consciente de suas accedilotildees onde
interprete crie estrateacutegias e saiba analisar
Essa proposta de Unidade Didaacutetica parte integrante do Programa de
Desenvolvimento Educacional do Paranaacute (PDE) conteacutem atividades para o Ensino
Fundamental relacionadas com a histoacuteria da matemaacutetica Seratildeo utilizadas vaacuterias
praacuteticas entre elas viacutedeos pesquisa bibliograacutefica aula de campo demonstraccedilotildees do
Teorema de Tales e do Teorema de Pitaacutegoras para fixar os conhecimentos e
entender os fundamentos que satildeo essenciais para a compreensatildeo e o
desenvolvimento matemaacutetico dos alunos de maneira a perceberem que a
matemaacutetica eacute uma ciecircncia em construccedilatildeo e estaacute diretamente relacionada na sua
vida em sociedade lhe proporcionando uma autonomia na resoluccedilatildeo de problemas
Esta proposta foi estruturada para 32 horas aula podendo o professor adaptaacute-
la para mais ou menos tempo
2 RESOLUCcedilAtildeO DE PROBLEMAS
Antes de iniciarmos o trabalho propriamente dito vamos relembrar a base
teoacuterica do tema Resoluccedilatildeo de Problemas
A Resoluccedilatildeo de Problemas dentro das tendecircncias metodoloacutegicas da
Educaccedilatildeo matemaacutetica vem contribuindo no ensino aprendizagem dos alunos sendo
um dever dos professores assegurarem um espaccedilo de discussatildeo no pensar em
situaccedilotildees problemas na formulaccedilatildeo de hipoacuteteses na construccedilatildeo do pensamento
matemaacutetico para determinada situaccedilatildeo
Dante (2005) enumera algumas vantagens de se trabalhar nesta perspectiva
de resoluccedilatildeo de problemas
fazer o aluno pensar produtivamente
ensinar o aluno a enfrentar situaccedilotildees novas
oportunizar aos alunos a aplicaccedilatildeo da Matemaacutetica
tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras
equipar os alunos com estrateacutegias para resolver problemas
dar uma boa base matemaacutetica agraves pessoas
Segundo Polya (1997) resolver um problema eacute encontrar os meios
desconhecidos para um fim nitidamente imaginado Se o fim por si soacute natildeo sugere de
imediato os meios se por isso temos de procuraacute-los refletindo conscientemente
sobre como alcanccedilar o fim temos de resolver um problema Resolver um problema eacute
encontrar um caminho onde nenhum outro eacute conhecido de antematildeo encontrar um
caminho a partir de uma dificuldade encontrar um caminho que contorne um
obstaacuteculo para alcaccedilar um fim desejado mas natildeo alcanccedilavel imediatamente por
meios adequados
Polya (2006) descreve as etapas da resoluccedilatildeo de problemas
compreender o problema
destacar informaccedilotildees
dados importantes do trabalho para sua resoluccedilatildeo
elaborar um plano de resoluccedilatildeo
executar o plano
conferir resultados
estabelecer nova estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma
soluccedilatildeo aceitaacutevel
Quando se trabalha com um modelo matemaacutetico que permite a formulaccedilatildeo de
problemas reais provenientes de situaccedilotildees vividas pelos alunos de acordo com o
contexto social em que o aluno estaacute inserido constata-se um interesse maior dos
alunos a aula se torna agradaacutevel pois existe diaacutelogo entre professor e aluno A
interaccedilatildeo entre o conhecimento do seu dia-a-dia com as indagaccedilotildees lanccediladas pelo
professor faz o aluno pensar produtivamente tornando a matemaacutetica viva Deve-se
manter uma postura de interatividade em sala de aula onde o professor natildeo daacute as
respostas mas sim responde agraves perguntas dos alunos com novas perguntas que o
levem por si soacute agrave resoluccedilatildeo do problema As perguntas devem auxiliar
ldquodiscretamente apenas indicando a direccedilatildeo geral deixando muito para o estudante
fazerrdquo (POLYA 2006 p 3)
Polya enfatiza que o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela
eacute em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faz de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv)
Nesse aspecto a estrateacutegia de Resoluccedilatildeo de Problemas o reconhecimento
do assunto da situaccedilatildeo problema a matematizaccedilatildeo a formulaccedilatildeo do problema a
hipoacutetese e a resoluccedilatildeo interpretaccedilatildeo da soluccedilatildeo e validaccedilatildeo satildeo passos que devem
ser seguidos para que se construa junto com os alunos problemas que enfatizem a
importacircncia da matemaacutetica
Trabalhar sobre esta perspectiva demanda organizaccedilatildeo conhecimento e
tempo Pois construir junto aos alunos uma situaccedilatildeo problema demanda antes de
tudo uma conversa sobre o assunto levantamento de dados e pode parecer que natildeo
se estaacute ensinando o conteuacutedo ou seja perdendo tempo Entatildeo a organizaccedilatildeo
didaacutetica e a conduccedilatildeo dos trabalhos devem estar bem claras para o professor
Quanto agrave questatildeo do tempo em sala de aula deve-se considerar a afirmaccedilatildeo de
Polya
Um professor de Matemaacutetica tem assim uma grande oportunidade Se ele preenche o tempo que lhe eacute concedido a exercitar seus alunos em operaccedilotildees rotineiras aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes desperdiccedilando dessa maneira a sua oportunidade Mas se ele desafia a curiosidade dos alunos apresentando-lhes problemas compatiacuteveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagaccedilotildees estimulantes poderaacute incutir-lhes o gosto pelo raciociacutenio independente e proporcionar-lhes certos meios para alcanccedilar este objetivo (POLYA 2006 pv)
Como se pode perceber a boa escolha de problemas aliada a um trabalho
bem planejado pelo professor pode contribuir significativamente para mostrar aos
alunos o que a Matemaacutetica realmente eacute Levar o aluno a descobertas matemaacuteticas
deve ser um dos principais objetivos do ensino dessa disciplina conforme Polya
destaca
Uma grande descoberta resolve um grande problema mas haacute sempre uma pitada de descoberta na resoluccedilatildeo de qualquer problema O problema pode ser modesto mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o resolver por seus proacuteprios meios experimentaraacute a tensatildeo e gozaraacute o triunfo da descoberta Experiecircncias tais numa idade susceptiacutevel poderatildeo gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar por toda a vida a sua marca na mente e no caraacuteter (POLYA 2006 pv)
3 TALES DE MILETO SUA HISTOacuteRIA COM A MATEMAacuteTICA
Destacamos aqui um breve relato histoacuterico sobre Tales de Mileto (Figura 1) e
em sequecircncia sobre a Escola Pitagoacuterica Este material serviraacute de apoio ao professor
mas tambeacutem sugerimos que os alunos faccedilam uma pesquisa sobre o assunto
Figura 1 Tales Mileto
Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img1
00l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-hRMu3ygJPI
A origem da Geometria (do grego medir a terra) parece coincidir com as
necessidades do dia-a-dia Partilhar terras feacuterteis agraves margens dos rios na
construccedilatildeo na astronomia e astrologia era algumas atividades da eacutepoca A
matemaacutetica dos povos antigos como os Babilocircnicos e dos Egiacutepcios (3000 aC ndash 260
dC) era essencialmente empiacuterica ou indutiva e essas informaccedilotildees satildeo encontradas
nos Papiros de Moscou (1850 aC) de Rhind (1650 aC) ou Ahmes
Haacute tambeacutem no Museu de Berlim o mais antigo instrumento de astronomia ou
de agrimensura conhecido ndash uma combinaccedilatildeo de fio de prumo e colimador ndash
precedente do Egito aproximadamente do ano de 1850 aC O Museu de Berlim
tambeacutem tem o mais antigo reloacutegio de sol que se conhece Eacute egiacutepcio e data de cerca
de 1500 aC E a piracircmide de Giseh a cerca de 2900 aC essas obras revelam a
geometria praacutetica da eacutepoca
O Papiro de Rhind conteacutem 85 problemas ligados agrave Aritmeacutetica e agrave Geometria
com as respectivas soluccedilotildees Basicamente o papiro daacute-nos informaccedilotildees sobre
aritmeacutetica fraccedilotildees caacutelculo de aacutereas volumes progressotildees reparticcedilotildees
proporcionais regra de trecircs simples equaccedilotildees lineares e trigonometria baacutesica Um
problema dos Antigos Babilocircnicos diz ldquoUm cateto de um triacircngulo retacircngulo eacute 50
Uma paralela ao outro cateto e a distacircncia 20 dele corta o triacircngulo formando um
trapeacutezio retacircngulo de aacuterea 520 Determine os comprimentos das bases do trapeacuteziordquo
Outro problema dos Antigos Babilocircnios afirma que ldquoum trapeacutezio isoacutesceles de bases
14 e 50 e de lados 30 tem aacuterea 1248rdquo (HOWARD 2004 p 79)
Nesses dois problemas percebe-se que as noccedilotildees de aacuterea e
proporcionalidades devido agraves paralelas a um dos catetos talvez essas estrateacutegias
de soluccedilatildeo jaacute fossem conhecidas na eacutepoca por essas civilizaccedilotildees Embora natildeo haja
provas documentais de que os antigos egiacutepcios percebiam que um triacircngulo cujos
lados tecircm como medida 3 4 e 5 unidades eacute um triacircngulo retacircngulo Na Babilocircnia
aproximadamente entre 1900 e 1600 aC foi provavelmente escrito a tabula da
coleccedilatildeo GA Plimpton da Universidade de Coluacutembia conhecida como Plimpton 322
cujo conteuacutedo foi descrito por Neugebauer e Sachs em 1945 E demonstra que os
nuacutemeros correspondentes dessas colunas com quatro felizes exceccedilotildees constituem
a hipotenusa e um cateto de triacircngulos retacircngulos de lados inteiros satildeo os
chamados ternos pitagoacutericos
Informaccedilotildees extraiacutedas do Sumaacuterio Eudemiano foram incorporadas pelo
filoacutesofo neoplatocircnico Proclo (410-485) nas paacuteginas iniciais de seu Commentary on
the First Book of Euclid‟s Elements (Comentaacuterio sobre o primeiro livro de Os
Elementos de Euclides) Conforme o Sumaacuterio Eudemiano a geometria grega parece
ter comeccedilado com o trabalho de Tales de Mileto na primeira metade do seacuteculo VI
aC Esse gecircnio versaacutetil considerado um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade foi um
digno fundador da geometria demonstrativa Eacute ele o primeiro indiviacuteduo conhecido a
quem estaacute associada agrave utilizaccedilatildeo de meacutetodos dedutivos em geometria
Segundo parece Tales comeccedilou sua vida como mercador tornando-se rico o
bastante para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e algumas viagens Diz-se
que ele viveu por algum tempo no Egito e que despertou admiraccedilatildeo ao calcular a
altura de uma piracircmide por meio da sombra Tales de Mileto foi homem de negoacutecios
filoacutesofo matemaacutetico e astrocircnomo A ele se associam descobertas matemaacuteticas Em
geometria creditam-se a ele os seguintes resultados elementares
1 Qualquer diacircmetro efetua a bissecccedilatildeo do ciacuterculo em que eacute traccedilado
2 Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
3 Acircngulos opostos pelo veacutertice satildeo iguais
4 Se dois triacircngulos tecircm dois acircngulos e um lado em cada um deles
respectivamente iguais entatildeo esses triacircngulos satildeo iguais
5 Um acircngulo inscrito num semiciacuterculo eacute reto
Um dos mais antigos documentos que conteacutem o Teorema de Tales o ldquoCours
de Geacuteomeacutetrie eacuteleacutementairerdquo por E Combette professor do Lyeeacutee Saunt-Louis Alcan
editor 1882 Theacuteoregraveme de Thales ldquoEstuda um triacircngulo cortado por uma paralela a
um de seus ladosrdquo (Henry Plane p 79) Representado no Quadro 1
Quadro 1 Doc 14 ndash Theorema de Thales
Doc 14 ndash Theorema de Thales
221- Toda paralela a um dos lados de um triacircngulo determina um segundo
triacircngulo semelhante ao primeiro
Seja ABC um triacircngulo qualquer DE uma paralela ao lado BC Deve-se
provar que os dois triacircngulos ADE e ABC tecircm os acircngulos respectivamente iguais e
os lados homoacutelogos proporcionais 1) o acircngulo A eacute comum os acircngulos D e B satildeo
iguais e correspondentes como E e C 2) Tomemos DF paralela a AC A figura
DEFC eacute um paralelogramo e assim DE = FC (n 100)
Devido as paralelas DE e BC Tem-se (n 213)
119912119915
119912119913=119912119916
119912119914
As paralelas DF e AC fornecem igualmente
119912119915
119912119913=
119917119914 119926119932 119915119916
119913119914 onde
119912119915
119912119913=
119912119916
119912119914=
119915119916
119913119914 logo
Fonte (PLANE 1995 p79 apud HARUNA 2000 p11)
O Teorema de Tales foi demonstrado de diversas formas e no livro didaacutetico
que o utilizaremos vem separado primeiramente pela propriedade de um feixe de
retas paralelas ldquose um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes
sobre uma transversal tambeacutem determina segmentos congruentes sobre qualquer
outra transversalrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 204) logo apoacutes uma
demonstraccedilatildeo do teorema de Tales utilizando ldquoUm feixe de paralelas determina em
duas transversais segmentos proporcionaisrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p
206) Logo depois o teorema de tales e a aplicaccedilatildeo nos triacircngulos o teorema da
bissetriz interna de um triacircngulo
No Sumaacuterio de Eudemiano Pitaacutegoras eacute considerado o sucessor da
geometria iniciada por Tales Pitaacutegoras nasceu por volta do ano 572 aC na ilha de
Egeacuteia de Samos Eacute possiacutevel que Pitaacutegoras tenha sido disciacutepulo de Tales pois
morava proacuteximo de Mileto cidade natal de Tales Depois parece que residiu por
algum tempo no Egito ao retorna a Samos encontrou o poder nas matildeos do tirano
Poliacutecrates e resolveu emigrar para o porto mariacutetimo de Crotona uma colocircnia grega
situada no sul da Itaacutelia Laacute ele fundou a famosa escola pitagoacuterica era uma
irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimocircnias laacute estudavam
matemaacutetica ciecircncias naturais e filosofia
A escola pitagoacuterica tinha como lema ldquoTudo eacute nuacutemerordquo isso levava a uma
exaltaccedilatildeo e ao estudo das propriedades dos nuacutemeros e da aritmeacutetica junto com a
geometria a muacutesica e a astronomia Esse grupo de mateacuterias tornou-se conhecido na
Idade Meacutedia como quadrivium ao qual se acrescentava o trivium formado de
gramaacutetica loacutegica e retoacuterica Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas
como bagagem cultural necessaacuteria de uma pessoa educada Em geometria
desenvolveram as propriedades das retas paralelas e usaram-nas para provar que a
soma dos acircngulos de um triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos
Desenvolveram uma teoria das proporccedilotildees bastante completas que usaram para
deduzir propriedades de figuras semelhantes A eles tambeacutem foi atribuiacutedo as regras
que relacionavam os comprimentos das cordas de instrumentos musicais agraves alturas
dos sons (mais graves ou mais agudos) Conheciam pelo menos quatro poliedros
A SOCIEDADE SECRETA DE
PITAacuteGORAS
regulares o tetraedro (piracircmide triangular) o cubo o octaedro (oito faces idecircnticas) e
o dodecaedro (doze faces) Descobriram a incomensurabilidade do lado e da
diagonal de um quadrado a raiz quadrada do dois essa descoberta foi um tremendo
choque para os pitagoacutericos pois toda a estrutura da matemaacutetica era baseada em
nuacutemeros racionais O teorema que leva seu nome bem provavelmente veio dos
babilocircnios como justificativa para chamaacute-lo teorema de Pitaacutegoras que foram os
pitagoacutericos os primeiros a dar uma demonstraccedilatildeo
Acreditava-se que o dodecaedro formado por doze pentaacutegonos regulares
correspondia ao universo O pentaacutegono e o pentagrama (estrela regular de cinco
pontas que se encaixa dentro dele) eram conhecidos dos babilocircnios que
descobriram as extraordinaacuterias propriedades dessas figuras
O pentagrama era considerado pelos babilocircnios como siacutembolo de sauacutede
fiacutesica e espiritual Suas propriedades eram relacionadas agrave Divina Proporccedilatildeo (mais
tarde conhecida como Razatildeo de Ouro) assumindo um estado miacutestico
Conforme Boyer ldquoA construccedilatildeo do pentagrama ou pentaacutegono estrelado Se
comeccedilarmos com um poliacutegono regular ABCDE e traccedilarmos as cinco diagonais
essas diagonais se cortam em pontos A‟B‟C‟D‟E‟ que formam outro pentaacutegono
regular Observando que o triacircngulo BCD por exemplo eacute semelhante ao triacircngulo
isoacutescele BCE e observando tambeacutem os muitos pares de triacircngulos congruentes no
diagrama natildeo eacute difiacutecil ver que os pontos das diagonais A‟B‟C‟D‟E‟ dividem as
diagonais de modo notaacutevel Em cada caso um ponto da diagonal divide uma
diagonal em dois segmentos desiguais tais que a razatildeo da diagonal toda para o
maior eacute igual agrave deste para o menorrdquo Essa subdivisatildeo das diagonais eacute a bem
conhecida ldquosecccedilatildeo aacuteureardquo de um segmento mas esse nome soacute foi usado uns dois
mil anos depois ndash mais ou menos pela eacutepoca em que Kepler escrevia liricamente A
geometria tem dois grandes tesouros um eacute o teorema de Pitaacutegoras o outro a
divisatildeo de um segmento em meacutedia e extrema razatildeo ldquoO primeiro pode ser
comparado a uma medida de ouro o segundo podemos chamar de joacuteia preciosardquo
A escola pitagoacuterica tinha um coacutedigo de conduta riacutegido acreditava na
transmigraccedilatildeo das almas e portanto que natildeo se devia matar ou comer um animal
porque ele poderia ser a moradia de um amigo morto Tambeacutem natildeo se podia comer
lentilhas ou alimentos que causassem gases Os pitaacutegoricos imaginavam que os
nuacutemeros iacutempares tinham atributos masculinos e os pares eram femininos O nuacutemero
um diziam eacute o gerador dos outros nuacutemeros e o nuacutemero da razatildeo
Existem mais de 370 provas do teorema de Pitaacutegorassegue duas
demonstraccedilatildeo encontradas no livro de Euclides a intenccedilatildeo aqui eacute mostra para o
aluno a histoacuteria desse importante teorema
No Livro I dos Elementos de Euclides proposiccedilatildeo 47 Euclides inclui uma
demonstraccedilatildeo do Teorema da Hipotenusa o conhecido como o Teorema de
Pitaacutegoras
Proposiccedilatildeo I-47 Em um triacircngulo retacircngulo o quadrado sobre o lado oposto
ao acircngulo reto eacute igual agrave soma dos quadrados sobre os lados que forma o acircngulo
reto
Vamos verificar como Euclides fez essa demonstraccedilatildeo A tese consiste em
mostrar que o retacircngulo BDLM eacute igual ao quadrado ABFG A Figura 2 corresponde a
Proposiccedilatildeo I-47 no Livro de Euclides e a Figura 3 a proposiccedilatildeo num desenho
atualizado
Vejam que os triacircngulos ABD e BCF satildeo iguais pois os dois triacircngulos tecircm
dois lados iguais com acircngulos iguais e estes satildeo a metade do retacircngulo BDLM Esta
igualdade entre triacircngulos jaacute havia sido previamente estabelecida na proposiccedilatildeo I-4
de seus Elementos Disponiacutevel em
lthttpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-pitagoras-
segundo-euclideshtmlgt
No Livro VI proposiccedilatildeo 31 Euclides daacute uma prova geral ao Teorema de
Pitaacutegoras ldquoNos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o acircngulo
reto eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo retordquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Figura 2 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHro32lDIAAAAAAAAMg8MamwN1889-
Iimage_thumb5B35Dpngimgmax=800gt
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCACcedilAtildeO ndash SEED
SUPERINTENDEcircNCIA DA EDUCACcedilAtildeO ndash SUED
DIRETORIA DE POLIacuteTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS ndash DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE
FICHA PARA IDENTIFICACcedilAtildeO
PRODUCcedilAtildeO DIDAacuteTICO-PEDAGOacuteGICA
TURMA - PDE2013
Tiacutetulo CONTEXTO HISTOacuteRICO E RESOLUCcedilAtildeO DE PROBLEMAS EM
AacuteLGEBRA E GEOMETRIA NO 9deg ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Autor Silvani Margarete Budske Cardoso
DisciplinaAacuterea Matemaacutetica
Escola de Implementaccedilatildeo do Projeto e sua Localizaccedilatildeo
Coleacutegio Estadual Ludovica Safraider Ensino Fundamental e Meacutedio Av XV de Novembro 889 centro
Municiacutepio da Escola Rio Bonito do Iguaccedilu
Nuacutecleo Regional de Educaccedilatildeo
Laranjeiras do Sul
Professor Orientador Dr Sandro Ap dos Santos
Instituiccedilatildeo de Ensino Superior Universidade Estadual do Centro-Oeste - UNICENTRO
Resumo
Nesta Unidade Didaacutetica trabalharemos com Resoluccedilatildeo de Problemas associada agrave Histoacuteria da Matemaacutetica e temos por finalidade motivar os alunos agrave construccedilatildeo de conhecimentos matemaacuteticos atraveacutes da contextualizaccedilatildeo histoacuterica aleacutem de superar as dificuldades dos deles em apreender os conteuacutedos de Razatildeo e Proporccedilatildeo Teorema de Tales e Teorema de Pitaacutegoras A Resoluccedilatildeo de Problemas contextualizada historicamente poderaacute potencializar o aprendizado de forma a entusiasmar os alunos a estudar mais pois eles devem ver a matemaacutetica como algo a ser construiacutedo e descutido no contexto social Assim temos como objetivo aplicar o trabalho em uma turma de 9˚ ano do Ensino Fundamental sobre o conteuacutedo Geometria e Aacutelgebra aplicando a metodologia da Resoluccedilatildeo de Problemas seguindo as etapas sugeridas por Polya Espera-se com esse projeto
1 INTRODUCcedilAtildeO
O estudo da Geometria em especial o conteuacutedo de Razotildees Proporccedilotildees e
relaccedilotildees Meacutetricas no Triacircngulo Retacircngulo eacute de grande importacircncia visto que elas
fundamentam a geometria plana e espacial sendo assim devemos dar ecircnfase ao
seu estudo bem como a grande contribuiccedilatildeo que as mesmas descobertas
matemaacuteticas trouxeram agrave sociedade O Teorema de Tales O Teorema de Pitaacutegoras
e as relaccedilotildees de proporccedilatildeo que para Platatildeo foi um aspecto de beleza deram grande
impulso nas construccedilotildees na medida de distacircncias na muacutesica na arte com a razatildeo
aacuteurea Para tanto entender a Histoacuteria da Matemaacutetica pode possibilitar ao aluno a
melhor aceitaccedilatildeo de determinados fatos procedimentos e raciociacutenio bem como
despertar a curiosidade de apreender e resolver problemas matemaacuteticos Certos de
sua importacircncia o desafio eacute encontrar metodologias apropriadas que venham
promover a aprendizagem de modo significativo e consistente para que o nosso
aluno possa melhor corresponder fora da escola De acordo com a Diretriz
Curricular de Matemaacutetica do Estado do Paranaacute ndash DCE ndash PR
A aprendizagem da Matemaacutetica consiste em criar estrateacutegias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado agraves ideacuteias matemaacuteticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relaccedilotildees justificar analisar discutir e criar Desse modo supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorizaccedilatildeo ou listas de exerciacutecios (PARANAacute 2008 p 45)
contribuir para o aprendizado dos alunos de forma mais eficiente para que os mesmo consigam interpretar criar meacutetodo de soluccedilatildeo e analisar situaccedilotildees problema procurando deixar as aulas mais interessantes e produtivas para que os alunos consigam transformar sua realidade atraveacutes dos conhecimentos adquiridos
Palavras-chave Ensino Fundamental Ensino da Matemaacutetica Teorema de Tales e Pitaacutegoras Histoacuteria da
Matemaacutetica Resoluccedilatildeo de Problemas
Formato do Material Didaacutetico Unidade Didaacutetica
Puacuteblico Alunos da 9deg ano do Ensino Fundamental
Diante das muacuteltiplas aplicabilidades e diversas maneiras metodoloacutegicas de
podermos ensinar os mesmos esta Unidade Didaacutetica destaca a Resoluccedilatildeo de
Problema e a Histoacuteria da Matemaacutetica para abordar o tema razotildees e proporccedilotildees
Teorema de Tales e Teorema de Pitaacutegoras Diante do exposto espera-se efetivar o
Ensino da Matemaacutetica no 9deg ano do Ensino Fundamental
Desenvolver o ensino de razatildeo e proporccedilatildeo utilizando a Resoluccedilatildeo de
Problema e a Histoacuteria da Matemaacutetica de forma que o aluno participe efetivamente
na construccedilatildeo de seu conhecimento que aprenda a ser pesquisador e entusiasta do
fazer matemaacutetico que consiga resolver problemas consciente de suas accedilotildees onde
interprete crie estrateacutegias e saiba analisar
Essa proposta de Unidade Didaacutetica parte integrante do Programa de
Desenvolvimento Educacional do Paranaacute (PDE) conteacutem atividades para o Ensino
Fundamental relacionadas com a histoacuteria da matemaacutetica Seratildeo utilizadas vaacuterias
praacuteticas entre elas viacutedeos pesquisa bibliograacutefica aula de campo demonstraccedilotildees do
Teorema de Tales e do Teorema de Pitaacutegoras para fixar os conhecimentos e
entender os fundamentos que satildeo essenciais para a compreensatildeo e o
desenvolvimento matemaacutetico dos alunos de maneira a perceberem que a
matemaacutetica eacute uma ciecircncia em construccedilatildeo e estaacute diretamente relacionada na sua
vida em sociedade lhe proporcionando uma autonomia na resoluccedilatildeo de problemas
Esta proposta foi estruturada para 32 horas aula podendo o professor adaptaacute-
la para mais ou menos tempo
2 RESOLUCcedilAtildeO DE PROBLEMAS
Antes de iniciarmos o trabalho propriamente dito vamos relembrar a base
teoacuterica do tema Resoluccedilatildeo de Problemas
A Resoluccedilatildeo de Problemas dentro das tendecircncias metodoloacutegicas da
Educaccedilatildeo matemaacutetica vem contribuindo no ensino aprendizagem dos alunos sendo
um dever dos professores assegurarem um espaccedilo de discussatildeo no pensar em
situaccedilotildees problemas na formulaccedilatildeo de hipoacuteteses na construccedilatildeo do pensamento
matemaacutetico para determinada situaccedilatildeo
Dante (2005) enumera algumas vantagens de se trabalhar nesta perspectiva
de resoluccedilatildeo de problemas
fazer o aluno pensar produtivamente
ensinar o aluno a enfrentar situaccedilotildees novas
oportunizar aos alunos a aplicaccedilatildeo da Matemaacutetica
tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras
equipar os alunos com estrateacutegias para resolver problemas
dar uma boa base matemaacutetica agraves pessoas
Segundo Polya (1997) resolver um problema eacute encontrar os meios
desconhecidos para um fim nitidamente imaginado Se o fim por si soacute natildeo sugere de
imediato os meios se por isso temos de procuraacute-los refletindo conscientemente
sobre como alcanccedilar o fim temos de resolver um problema Resolver um problema eacute
encontrar um caminho onde nenhum outro eacute conhecido de antematildeo encontrar um
caminho a partir de uma dificuldade encontrar um caminho que contorne um
obstaacuteculo para alcaccedilar um fim desejado mas natildeo alcanccedilavel imediatamente por
meios adequados
Polya (2006) descreve as etapas da resoluccedilatildeo de problemas
compreender o problema
destacar informaccedilotildees
dados importantes do trabalho para sua resoluccedilatildeo
elaborar um plano de resoluccedilatildeo
executar o plano
conferir resultados
estabelecer nova estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma
soluccedilatildeo aceitaacutevel
Quando se trabalha com um modelo matemaacutetico que permite a formulaccedilatildeo de
problemas reais provenientes de situaccedilotildees vividas pelos alunos de acordo com o
contexto social em que o aluno estaacute inserido constata-se um interesse maior dos
alunos a aula se torna agradaacutevel pois existe diaacutelogo entre professor e aluno A
interaccedilatildeo entre o conhecimento do seu dia-a-dia com as indagaccedilotildees lanccediladas pelo
professor faz o aluno pensar produtivamente tornando a matemaacutetica viva Deve-se
manter uma postura de interatividade em sala de aula onde o professor natildeo daacute as
respostas mas sim responde agraves perguntas dos alunos com novas perguntas que o
levem por si soacute agrave resoluccedilatildeo do problema As perguntas devem auxiliar
ldquodiscretamente apenas indicando a direccedilatildeo geral deixando muito para o estudante
fazerrdquo (POLYA 2006 p 3)
Polya enfatiza que o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela
eacute em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faz de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv)
Nesse aspecto a estrateacutegia de Resoluccedilatildeo de Problemas o reconhecimento
do assunto da situaccedilatildeo problema a matematizaccedilatildeo a formulaccedilatildeo do problema a
hipoacutetese e a resoluccedilatildeo interpretaccedilatildeo da soluccedilatildeo e validaccedilatildeo satildeo passos que devem
ser seguidos para que se construa junto com os alunos problemas que enfatizem a
importacircncia da matemaacutetica
Trabalhar sobre esta perspectiva demanda organizaccedilatildeo conhecimento e
tempo Pois construir junto aos alunos uma situaccedilatildeo problema demanda antes de
tudo uma conversa sobre o assunto levantamento de dados e pode parecer que natildeo
se estaacute ensinando o conteuacutedo ou seja perdendo tempo Entatildeo a organizaccedilatildeo
didaacutetica e a conduccedilatildeo dos trabalhos devem estar bem claras para o professor
Quanto agrave questatildeo do tempo em sala de aula deve-se considerar a afirmaccedilatildeo de
Polya
Um professor de Matemaacutetica tem assim uma grande oportunidade Se ele preenche o tempo que lhe eacute concedido a exercitar seus alunos em operaccedilotildees rotineiras aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes desperdiccedilando dessa maneira a sua oportunidade Mas se ele desafia a curiosidade dos alunos apresentando-lhes problemas compatiacuteveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagaccedilotildees estimulantes poderaacute incutir-lhes o gosto pelo raciociacutenio independente e proporcionar-lhes certos meios para alcanccedilar este objetivo (POLYA 2006 pv)
Como se pode perceber a boa escolha de problemas aliada a um trabalho
bem planejado pelo professor pode contribuir significativamente para mostrar aos
alunos o que a Matemaacutetica realmente eacute Levar o aluno a descobertas matemaacuteticas
deve ser um dos principais objetivos do ensino dessa disciplina conforme Polya
destaca
Uma grande descoberta resolve um grande problema mas haacute sempre uma pitada de descoberta na resoluccedilatildeo de qualquer problema O problema pode ser modesto mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o resolver por seus proacuteprios meios experimentaraacute a tensatildeo e gozaraacute o triunfo da descoberta Experiecircncias tais numa idade susceptiacutevel poderatildeo gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar por toda a vida a sua marca na mente e no caraacuteter (POLYA 2006 pv)
3 TALES DE MILETO SUA HISTOacuteRIA COM A MATEMAacuteTICA
Destacamos aqui um breve relato histoacuterico sobre Tales de Mileto (Figura 1) e
em sequecircncia sobre a Escola Pitagoacuterica Este material serviraacute de apoio ao professor
mas tambeacutem sugerimos que os alunos faccedilam uma pesquisa sobre o assunto
Figura 1 Tales Mileto
Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img1
00l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-hRMu3ygJPI
A origem da Geometria (do grego medir a terra) parece coincidir com as
necessidades do dia-a-dia Partilhar terras feacuterteis agraves margens dos rios na
construccedilatildeo na astronomia e astrologia era algumas atividades da eacutepoca A
matemaacutetica dos povos antigos como os Babilocircnicos e dos Egiacutepcios (3000 aC ndash 260
dC) era essencialmente empiacuterica ou indutiva e essas informaccedilotildees satildeo encontradas
nos Papiros de Moscou (1850 aC) de Rhind (1650 aC) ou Ahmes
Haacute tambeacutem no Museu de Berlim o mais antigo instrumento de astronomia ou
de agrimensura conhecido ndash uma combinaccedilatildeo de fio de prumo e colimador ndash
precedente do Egito aproximadamente do ano de 1850 aC O Museu de Berlim
tambeacutem tem o mais antigo reloacutegio de sol que se conhece Eacute egiacutepcio e data de cerca
de 1500 aC E a piracircmide de Giseh a cerca de 2900 aC essas obras revelam a
geometria praacutetica da eacutepoca
O Papiro de Rhind conteacutem 85 problemas ligados agrave Aritmeacutetica e agrave Geometria
com as respectivas soluccedilotildees Basicamente o papiro daacute-nos informaccedilotildees sobre
aritmeacutetica fraccedilotildees caacutelculo de aacutereas volumes progressotildees reparticcedilotildees
proporcionais regra de trecircs simples equaccedilotildees lineares e trigonometria baacutesica Um
problema dos Antigos Babilocircnicos diz ldquoUm cateto de um triacircngulo retacircngulo eacute 50
Uma paralela ao outro cateto e a distacircncia 20 dele corta o triacircngulo formando um
trapeacutezio retacircngulo de aacuterea 520 Determine os comprimentos das bases do trapeacuteziordquo
Outro problema dos Antigos Babilocircnios afirma que ldquoum trapeacutezio isoacutesceles de bases
14 e 50 e de lados 30 tem aacuterea 1248rdquo (HOWARD 2004 p 79)
Nesses dois problemas percebe-se que as noccedilotildees de aacuterea e
proporcionalidades devido agraves paralelas a um dos catetos talvez essas estrateacutegias
de soluccedilatildeo jaacute fossem conhecidas na eacutepoca por essas civilizaccedilotildees Embora natildeo haja
provas documentais de que os antigos egiacutepcios percebiam que um triacircngulo cujos
lados tecircm como medida 3 4 e 5 unidades eacute um triacircngulo retacircngulo Na Babilocircnia
aproximadamente entre 1900 e 1600 aC foi provavelmente escrito a tabula da
coleccedilatildeo GA Plimpton da Universidade de Coluacutembia conhecida como Plimpton 322
cujo conteuacutedo foi descrito por Neugebauer e Sachs em 1945 E demonstra que os
nuacutemeros correspondentes dessas colunas com quatro felizes exceccedilotildees constituem
a hipotenusa e um cateto de triacircngulos retacircngulos de lados inteiros satildeo os
chamados ternos pitagoacutericos
Informaccedilotildees extraiacutedas do Sumaacuterio Eudemiano foram incorporadas pelo
filoacutesofo neoplatocircnico Proclo (410-485) nas paacuteginas iniciais de seu Commentary on
the First Book of Euclid‟s Elements (Comentaacuterio sobre o primeiro livro de Os
Elementos de Euclides) Conforme o Sumaacuterio Eudemiano a geometria grega parece
ter comeccedilado com o trabalho de Tales de Mileto na primeira metade do seacuteculo VI
aC Esse gecircnio versaacutetil considerado um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade foi um
digno fundador da geometria demonstrativa Eacute ele o primeiro indiviacuteduo conhecido a
quem estaacute associada agrave utilizaccedilatildeo de meacutetodos dedutivos em geometria
Segundo parece Tales comeccedilou sua vida como mercador tornando-se rico o
bastante para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e algumas viagens Diz-se
que ele viveu por algum tempo no Egito e que despertou admiraccedilatildeo ao calcular a
altura de uma piracircmide por meio da sombra Tales de Mileto foi homem de negoacutecios
filoacutesofo matemaacutetico e astrocircnomo A ele se associam descobertas matemaacuteticas Em
geometria creditam-se a ele os seguintes resultados elementares
1 Qualquer diacircmetro efetua a bissecccedilatildeo do ciacuterculo em que eacute traccedilado
2 Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
3 Acircngulos opostos pelo veacutertice satildeo iguais
4 Se dois triacircngulos tecircm dois acircngulos e um lado em cada um deles
respectivamente iguais entatildeo esses triacircngulos satildeo iguais
5 Um acircngulo inscrito num semiciacuterculo eacute reto
Um dos mais antigos documentos que conteacutem o Teorema de Tales o ldquoCours
de Geacuteomeacutetrie eacuteleacutementairerdquo por E Combette professor do Lyeeacutee Saunt-Louis Alcan
editor 1882 Theacuteoregraveme de Thales ldquoEstuda um triacircngulo cortado por uma paralela a
um de seus ladosrdquo (Henry Plane p 79) Representado no Quadro 1
Quadro 1 Doc 14 ndash Theorema de Thales
Doc 14 ndash Theorema de Thales
221- Toda paralela a um dos lados de um triacircngulo determina um segundo
triacircngulo semelhante ao primeiro
Seja ABC um triacircngulo qualquer DE uma paralela ao lado BC Deve-se
provar que os dois triacircngulos ADE e ABC tecircm os acircngulos respectivamente iguais e
os lados homoacutelogos proporcionais 1) o acircngulo A eacute comum os acircngulos D e B satildeo
iguais e correspondentes como E e C 2) Tomemos DF paralela a AC A figura
DEFC eacute um paralelogramo e assim DE = FC (n 100)
Devido as paralelas DE e BC Tem-se (n 213)
119912119915
119912119913=119912119916
119912119914
As paralelas DF e AC fornecem igualmente
119912119915
119912119913=
119917119914 119926119932 119915119916
119913119914 onde
119912119915
119912119913=
119912119916
119912119914=
119915119916
119913119914 logo
Fonte (PLANE 1995 p79 apud HARUNA 2000 p11)
O Teorema de Tales foi demonstrado de diversas formas e no livro didaacutetico
que o utilizaremos vem separado primeiramente pela propriedade de um feixe de
retas paralelas ldquose um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes
sobre uma transversal tambeacutem determina segmentos congruentes sobre qualquer
outra transversalrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 204) logo apoacutes uma
demonstraccedilatildeo do teorema de Tales utilizando ldquoUm feixe de paralelas determina em
duas transversais segmentos proporcionaisrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p
206) Logo depois o teorema de tales e a aplicaccedilatildeo nos triacircngulos o teorema da
bissetriz interna de um triacircngulo
No Sumaacuterio de Eudemiano Pitaacutegoras eacute considerado o sucessor da
geometria iniciada por Tales Pitaacutegoras nasceu por volta do ano 572 aC na ilha de
Egeacuteia de Samos Eacute possiacutevel que Pitaacutegoras tenha sido disciacutepulo de Tales pois
morava proacuteximo de Mileto cidade natal de Tales Depois parece que residiu por
algum tempo no Egito ao retorna a Samos encontrou o poder nas matildeos do tirano
Poliacutecrates e resolveu emigrar para o porto mariacutetimo de Crotona uma colocircnia grega
situada no sul da Itaacutelia Laacute ele fundou a famosa escola pitagoacuterica era uma
irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimocircnias laacute estudavam
matemaacutetica ciecircncias naturais e filosofia
A escola pitagoacuterica tinha como lema ldquoTudo eacute nuacutemerordquo isso levava a uma
exaltaccedilatildeo e ao estudo das propriedades dos nuacutemeros e da aritmeacutetica junto com a
geometria a muacutesica e a astronomia Esse grupo de mateacuterias tornou-se conhecido na
Idade Meacutedia como quadrivium ao qual se acrescentava o trivium formado de
gramaacutetica loacutegica e retoacuterica Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas
como bagagem cultural necessaacuteria de uma pessoa educada Em geometria
desenvolveram as propriedades das retas paralelas e usaram-nas para provar que a
soma dos acircngulos de um triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos
Desenvolveram uma teoria das proporccedilotildees bastante completas que usaram para
deduzir propriedades de figuras semelhantes A eles tambeacutem foi atribuiacutedo as regras
que relacionavam os comprimentos das cordas de instrumentos musicais agraves alturas
dos sons (mais graves ou mais agudos) Conheciam pelo menos quatro poliedros
A SOCIEDADE SECRETA DE
PITAacuteGORAS
regulares o tetraedro (piracircmide triangular) o cubo o octaedro (oito faces idecircnticas) e
o dodecaedro (doze faces) Descobriram a incomensurabilidade do lado e da
diagonal de um quadrado a raiz quadrada do dois essa descoberta foi um tremendo
choque para os pitagoacutericos pois toda a estrutura da matemaacutetica era baseada em
nuacutemeros racionais O teorema que leva seu nome bem provavelmente veio dos
babilocircnios como justificativa para chamaacute-lo teorema de Pitaacutegoras que foram os
pitagoacutericos os primeiros a dar uma demonstraccedilatildeo
Acreditava-se que o dodecaedro formado por doze pentaacutegonos regulares
correspondia ao universo O pentaacutegono e o pentagrama (estrela regular de cinco
pontas que se encaixa dentro dele) eram conhecidos dos babilocircnios que
descobriram as extraordinaacuterias propriedades dessas figuras
O pentagrama era considerado pelos babilocircnios como siacutembolo de sauacutede
fiacutesica e espiritual Suas propriedades eram relacionadas agrave Divina Proporccedilatildeo (mais
tarde conhecida como Razatildeo de Ouro) assumindo um estado miacutestico
Conforme Boyer ldquoA construccedilatildeo do pentagrama ou pentaacutegono estrelado Se
comeccedilarmos com um poliacutegono regular ABCDE e traccedilarmos as cinco diagonais
essas diagonais se cortam em pontos A‟B‟C‟D‟E‟ que formam outro pentaacutegono
regular Observando que o triacircngulo BCD por exemplo eacute semelhante ao triacircngulo
isoacutescele BCE e observando tambeacutem os muitos pares de triacircngulos congruentes no
diagrama natildeo eacute difiacutecil ver que os pontos das diagonais A‟B‟C‟D‟E‟ dividem as
diagonais de modo notaacutevel Em cada caso um ponto da diagonal divide uma
diagonal em dois segmentos desiguais tais que a razatildeo da diagonal toda para o
maior eacute igual agrave deste para o menorrdquo Essa subdivisatildeo das diagonais eacute a bem
conhecida ldquosecccedilatildeo aacuteureardquo de um segmento mas esse nome soacute foi usado uns dois
mil anos depois ndash mais ou menos pela eacutepoca em que Kepler escrevia liricamente A
geometria tem dois grandes tesouros um eacute o teorema de Pitaacutegoras o outro a
divisatildeo de um segmento em meacutedia e extrema razatildeo ldquoO primeiro pode ser
comparado a uma medida de ouro o segundo podemos chamar de joacuteia preciosardquo
A escola pitagoacuterica tinha um coacutedigo de conduta riacutegido acreditava na
transmigraccedilatildeo das almas e portanto que natildeo se devia matar ou comer um animal
porque ele poderia ser a moradia de um amigo morto Tambeacutem natildeo se podia comer
lentilhas ou alimentos que causassem gases Os pitaacutegoricos imaginavam que os
nuacutemeros iacutempares tinham atributos masculinos e os pares eram femininos O nuacutemero
um diziam eacute o gerador dos outros nuacutemeros e o nuacutemero da razatildeo
Existem mais de 370 provas do teorema de Pitaacutegorassegue duas
demonstraccedilatildeo encontradas no livro de Euclides a intenccedilatildeo aqui eacute mostra para o
aluno a histoacuteria desse importante teorema
No Livro I dos Elementos de Euclides proposiccedilatildeo 47 Euclides inclui uma
demonstraccedilatildeo do Teorema da Hipotenusa o conhecido como o Teorema de
Pitaacutegoras
Proposiccedilatildeo I-47 Em um triacircngulo retacircngulo o quadrado sobre o lado oposto
ao acircngulo reto eacute igual agrave soma dos quadrados sobre os lados que forma o acircngulo
reto
Vamos verificar como Euclides fez essa demonstraccedilatildeo A tese consiste em
mostrar que o retacircngulo BDLM eacute igual ao quadrado ABFG A Figura 2 corresponde a
Proposiccedilatildeo I-47 no Livro de Euclides e a Figura 3 a proposiccedilatildeo num desenho
atualizado
Vejam que os triacircngulos ABD e BCF satildeo iguais pois os dois triacircngulos tecircm
dois lados iguais com acircngulos iguais e estes satildeo a metade do retacircngulo BDLM Esta
igualdade entre triacircngulos jaacute havia sido previamente estabelecida na proposiccedilatildeo I-4
de seus Elementos Disponiacutevel em
lthttpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-pitagoras-
segundo-euclideshtmlgt
No Livro VI proposiccedilatildeo 31 Euclides daacute uma prova geral ao Teorema de
Pitaacutegoras ldquoNos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o acircngulo
reto eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo retordquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Figura 2 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHro32lDIAAAAAAAAMg8MamwN1889-
Iimage_thumb5B35Dpngimgmax=800gt
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
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POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
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POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
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gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
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Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
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Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
1 INTRODUCcedilAtildeO
O estudo da Geometria em especial o conteuacutedo de Razotildees Proporccedilotildees e
relaccedilotildees Meacutetricas no Triacircngulo Retacircngulo eacute de grande importacircncia visto que elas
fundamentam a geometria plana e espacial sendo assim devemos dar ecircnfase ao
seu estudo bem como a grande contribuiccedilatildeo que as mesmas descobertas
matemaacuteticas trouxeram agrave sociedade O Teorema de Tales O Teorema de Pitaacutegoras
e as relaccedilotildees de proporccedilatildeo que para Platatildeo foi um aspecto de beleza deram grande
impulso nas construccedilotildees na medida de distacircncias na muacutesica na arte com a razatildeo
aacuteurea Para tanto entender a Histoacuteria da Matemaacutetica pode possibilitar ao aluno a
melhor aceitaccedilatildeo de determinados fatos procedimentos e raciociacutenio bem como
despertar a curiosidade de apreender e resolver problemas matemaacuteticos Certos de
sua importacircncia o desafio eacute encontrar metodologias apropriadas que venham
promover a aprendizagem de modo significativo e consistente para que o nosso
aluno possa melhor corresponder fora da escola De acordo com a Diretriz
Curricular de Matemaacutetica do Estado do Paranaacute ndash DCE ndash PR
A aprendizagem da Matemaacutetica consiste em criar estrateacutegias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado agraves ideacuteias matemaacuteticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relaccedilotildees justificar analisar discutir e criar Desse modo supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorizaccedilatildeo ou listas de exerciacutecios (PARANAacute 2008 p 45)
contribuir para o aprendizado dos alunos de forma mais eficiente para que os mesmo consigam interpretar criar meacutetodo de soluccedilatildeo e analisar situaccedilotildees problema procurando deixar as aulas mais interessantes e produtivas para que os alunos consigam transformar sua realidade atraveacutes dos conhecimentos adquiridos
Palavras-chave Ensino Fundamental Ensino da Matemaacutetica Teorema de Tales e Pitaacutegoras Histoacuteria da
Matemaacutetica Resoluccedilatildeo de Problemas
Formato do Material Didaacutetico Unidade Didaacutetica
Puacuteblico Alunos da 9deg ano do Ensino Fundamental
Diante das muacuteltiplas aplicabilidades e diversas maneiras metodoloacutegicas de
podermos ensinar os mesmos esta Unidade Didaacutetica destaca a Resoluccedilatildeo de
Problema e a Histoacuteria da Matemaacutetica para abordar o tema razotildees e proporccedilotildees
Teorema de Tales e Teorema de Pitaacutegoras Diante do exposto espera-se efetivar o
Ensino da Matemaacutetica no 9deg ano do Ensino Fundamental
Desenvolver o ensino de razatildeo e proporccedilatildeo utilizando a Resoluccedilatildeo de
Problema e a Histoacuteria da Matemaacutetica de forma que o aluno participe efetivamente
na construccedilatildeo de seu conhecimento que aprenda a ser pesquisador e entusiasta do
fazer matemaacutetico que consiga resolver problemas consciente de suas accedilotildees onde
interprete crie estrateacutegias e saiba analisar
Essa proposta de Unidade Didaacutetica parte integrante do Programa de
Desenvolvimento Educacional do Paranaacute (PDE) conteacutem atividades para o Ensino
Fundamental relacionadas com a histoacuteria da matemaacutetica Seratildeo utilizadas vaacuterias
praacuteticas entre elas viacutedeos pesquisa bibliograacutefica aula de campo demonstraccedilotildees do
Teorema de Tales e do Teorema de Pitaacutegoras para fixar os conhecimentos e
entender os fundamentos que satildeo essenciais para a compreensatildeo e o
desenvolvimento matemaacutetico dos alunos de maneira a perceberem que a
matemaacutetica eacute uma ciecircncia em construccedilatildeo e estaacute diretamente relacionada na sua
vida em sociedade lhe proporcionando uma autonomia na resoluccedilatildeo de problemas
Esta proposta foi estruturada para 32 horas aula podendo o professor adaptaacute-
la para mais ou menos tempo
2 RESOLUCcedilAtildeO DE PROBLEMAS
Antes de iniciarmos o trabalho propriamente dito vamos relembrar a base
teoacuterica do tema Resoluccedilatildeo de Problemas
A Resoluccedilatildeo de Problemas dentro das tendecircncias metodoloacutegicas da
Educaccedilatildeo matemaacutetica vem contribuindo no ensino aprendizagem dos alunos sendo
um dever dos professores assegurarem um espaccedilo de discussatildeo no pensar em
situaccedilotildees problemas na formulaccedilatildeo de hipoacuteteses na construccedilatildeo do pensamento
matemaacutetico para determinada situaccedilatildeo
Dante (2005) enumera algumas vantagens de se trabalhar nesta perspectiva
de resoluccedilatildeo de problemas
fazer o aluno pensar produtivamente
ensinar o aluno a enfrentar situaccedilotildees novas
oportunizar aos alunos a aplicaccedilatildeo da Matemaacutetica
tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras
equipar os alunos com estrateacutegias para resolver problemas
dar uma boa base matemaacutetica agraves pessoas
Segundo Polya (1997) resolver um problema eacute encontrar os meios
desconhecidos para um fim nitidamente imaginado Se o fim por si soacute natildeo sugere de
imediato os meios se por isso temos de procuraacute-los refletindo conscientemente
sobre como alcanccedilar o fim temos de resolver um problema Resolver um problema eacute
encontrar um caminho onde nenhum outro eacute conhecido de antematildeo encontrar um
caminho a partir de uma dificuldade encontrar um caminho que contorne um
obstaacuteculo para alcaccedilar um fim desejado mas natildeo alcanccedilavel imediatamente por
meios adequados
Polya (2006) descreve as etapas da resoluccedilatildeo de problemas
compreender o problema
destacar informaccedilotildees
dados importantes do trabalho para sua resoluccedilatildeo
elaborar um plano de resoluccedilatildeo
executar o plano
conferir resultados
estabelecer nova estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma
soluccedilatildeo aceitaacutevel
Quando se trabalha com um modelo matemaacutetico que permite a formulaccedilatildeo de
problemas reais provenientes de situaccedilotildees vividas pelos alunos de acordo com o
contexto social em que o aluno estaacute inserido constata-se um interesse maior dos
alunos a aula se torna agradaacutevel pois existe diaacutelogo entre professor e aluno A
interaccedilatildeo entre o conhecimento do seu dia-a-dia com as indagaccedilotildees lanccediladas pelo
professor faz o aluno pensar produtivamente tornando a matemaacutetica viva Deve-se
manter uma postura de interatividade em sala de aula onde o professor natildeo daacute as
respostas mas sim responde agraves perguntas dos alunos com novas perguntas que o
levem por si soacute agrave resoluccedilatildeo do problema As perguntas devem auxiliar
ldquodiscretamente apenas indicando a direccedilatildeo geral deixando muito para o estudante
fazerrdquo (POLYA 2006 p 3)
Polya enfatiza que o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela
eacute em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faz de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv)
Nesse aspecto a estrateacutegia de Resoluccedilatildeo de Problemas o reconhecimento
do assunto da situaccedilatildeo problema a matematizaccedilatildeo a formulaccedilatildeo do problema a
hipoacutetese e a resoluccedilatildeo interpretaccedilatildeo da soluccedilatildeo e validaccedilatildeo satildeo passos que devem
ser seguidos para que se construa junto com os alunos problemas que enfatizem a
importacircncia da matemaacutetica
Trabalhar sobre esta perspectiva demanda organizaccedilatildeo conhecimento e
tempo Pois construir junto aos alunos uma situaccedilatildeo problema demanda antes de
tudo uma conversa sobre o assunto levantamento de dados e pode parecer que natildeo
se estaacute ensinando o conteuacutedo ou seja perdendo tempo Entatildeo a organizaccedilatildeo
didaacutetica e a conduccedilatildeo dos trabalhos devem estar bem claras para o professor
Quanto agrave questatildeo do tempo em sala de aula deve-se considerar a afirmaccedilatildeo de
Polya
Um professor de Matemaacutetica tem assim uma grande oportunidade Se ele preenche o tempo que lhe eacute concedido a exercitar seus alunos em operaccedilotildees rotineiras aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes desperdiccedilando dessa maneira a sua oportunidade Mas se ele desafia a curiosidade dos alunos apresentando-lhes problemas compatiacuteveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagaccedilotildees estimulantes poderaacute incutir-lhes o gosto pelo raciociacutenio independente e proporcionar-lhes certos meios para alcanccedilar este objetivo (POLYA 2006 pv)
Como se pode perceber a boa escolha de problemas aliada a um trabalho
bem planejado pelo professor pode contribuir significativamente para mostrar aos
alunos o que a Matemaacutetica realmente eacute Levar o aluno a descobertas matemaacuteticas
deve ser um dos principais objetivos do ensino dessa disciplina conforme Polya
destaca
Uma grande descoberta resolve um grande problema mas haacute sempre uma pitada de descoberta na resoluccedilatildeo de qualquer problema O problema pode ser modesto mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o resolver por seus proacuteprios meios experimentaraacute a tensatildeo e gozaraacute o triunfo da descoberta Experiecircncias tais numa idade susceptiacutevel poderatildeo gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar por toda a vida a sua marca na mente e no caraacuteter (POLYA 2006 pv)
3 TALES DE MILETO SUA HISTOacuteRIA COM A MATEMAacuteTICA
Destacamos aqui um breve relato histoacuterico sobre Tales de Mileto (Figura 1) e
em sequecircncia sobre a Escola Pitagoacuterica Este material serviraacute de apoio ao professor
mas tambeacutem sugerimos que os alunos faccedilam uma pesquisa sobre o assunto
Figura 1 Tales Mileto
Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img1
00l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-hRMu3ygJPI
A origem da Geometria (do grego medir a terra) parece coincidir com as
necessidades do dia-a-dia Partilhar terras feacuterteis agraves margens dos rios na
construccedilatildeo na astronomia e astrologia era algumas atividades da eacutepoca A
matemaacutetica dos povos antigos como os Babilocircnicos e dos Egiacutepcios (3000 aC ndash 260
dC) era essencialmente empiacuterica ou indutiva e essas informaccedilotildees satildeo encontradas
nos Papiros de Moscou (1850 aC) de Rhind (1650 aC) ou Ahmes
Haacute tambeacutem no Museu de Berlim o mais antigo instrumento de astronomia ou
de agrimensura conhecido ndash uma combinaccedilatildeo de fio de prumo e colimador ndash
precedente do Egito aproximadamente do ano de 1850 aC O Museu de Berlim
tambeacutem tem o mais antigo reloacutegio de sol que se conhece Eacute egiacutepcio e data de cerca
de 1500 aC E a piracircmide de Giseh a cerca de 2900 aC essas obras revelam a
geometria praacutetica da eacutepoca
O Papiro de Rhind conteacutem 85 problemas ligados agrave Aritmeacutetica e agrave Geometria
com as respectivas soluccedilotildees Basicamente o papiro daacute-nos informaccedilotildees sobre
aritmeacutetica fraccedilotildees caacutelculo de aacutereas volumes progressotildees reparticcedilotildees
proporcionais regra de trecircs simples equaccedilotildees lineares e trigonometria baacutesica Um
problema dos Antigos Babilocircnicos diz ldquoUm cateto de um triacircngulo retacircngulo eacute 50
Uma paralela ao outro cateto e a distacircncia 20 dele corta o triacircngulo formando um
trapeacutezio retacircngulo de aacuterea 520 Determine os comprimentos das bases do trapeacuteziordquo
Outro problema dos Antigos Babilocircnios afirma que ldquoum trapeacutezio isoacutesceles de bases
14 e 50 e de lados 30 tem aacuterea 1248rdquo (HOWARD 2004 p 79)
Nesses dois problemas percebe-se que as noccedilotildees de aacuterea e
proporcionalidades devido agraves paralelas a um dos catetos talvez essas estrateacutegias
de soluccedilatildeo jaacute fossem conhecidas na eacutepoca por essas civilizaccedilotildees Embora natildeo haja
provas documentais de que os antigos egiacutepcios percebiam que um triacircngulo cujos
lados tecircm como medida 3 4 e 5 unidades eacute um triacircngulo retacircngulo Na Babilocircnia
aproximadamente entre 1900 e 1600 aC foi provavelmente escrito a tabula da
coleccedilatildeo GA Plimpton da Universidade de Coluacutembia conhecida como Plimpton 322
cujo conteuacutedo foi descrito por Neugebauer e Sachs em 1945 E demonstra que os
nuacutemeros correspondentes dessas colunas com quatro felizes exceccedilotildees constituem
a hipotenusa e um cateto de triacircngulos retacircngulos de lados inteiros satildeo os
chamados ternos pitagoacutericos
Informaccedilotildees extraiacutedas do Sumaacuterio Eudemiano foram incorporadas pelo
filoacutesofo neoplatocircnico Proclo (410-485) nas paacuteginas iniciais de seu Commentary on
the First Book of Euclid‟s Elements (Comentaacuterio sobre o primeiro livro de Os
Elementos de Euclides) Conforme o Sumaacuterio Eudemiano a geometria grega parece
ter comeccedilado com o trabalho de Tales de Mileto na primeira metade do seacuteculo VI
aC Esse gecircnio versaacutetil considerado um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade foi um
digno fundador da geometria demonstrativa Eacute ele o primeiro indiviacuteduo conhecido a
quem estaacute associada agrave utilizaccedilatildeo de meacutetodos dedutivos em geometria
Segundo parece Tales comeccedilou sua vida como mercador tornando-se rico o
bastante para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e algumas viagens Diz-se
que ele viveu por algum tempo no Egito e que despertou admiraccedilatildeo ao calcular a
altura de uma piracircmide por meio da sombra Tales de Mileto foi homem de negoacutecios
filoacutesofo matemaacutetico e astrocircnomo A ele se associam descobertas matemaacuteticas Em
geometria creditam-se a ele os seguintes resultados elementares
1 Qualquer diacircmetro efetua a bissecccedilatildeo do ciacuterculo em que eacute traccedilado
2 Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
3 Acircngulos opostos pelo veacutertice satildeo iguais
4 Se dois triacircngulos tecircm dois acircngulos e um lado em cada um deles
respectivamente iguais entatildeo esses triacircngulos satildeo iguais
5 Um acircngulo inscrito num semiciacuterculo eacute reto
Um dos mais antigos documentos que conteacutem o Teorema de Tales o ldquoCours
de Geacuteomeacutetrie eacuteleacutementairerdquo por E Combette professor do Lyeeacutee Saunt-Louis Alcan
editor 1882 Theacuteoregraveme de Thales ldquoEstuda um triacircngulo cortado por uma paralela a
um de seus ladosrdquo (Henry Plane p 79) Representado no Quadro 1
Quadro 1 Doc 14 ndash Theorema de Thales
Doc 14 ndash Theorema de Thales
221- Toda paralela a um dos lados de um triacircngulo determina um segundo
triacircngulo semelhante ao primeiro
Seja ABC um triacircngulo qualquer DE uma paralela ao lado BC Deve-se
provar que os dois triacircngulos ADE e ABC tecircm os acircngulos respectivamente iguais e
os lados homoacutelogos proporcionais 1) o acircngulo A eacute comum os acircngulos D e B satildeo
iguais e correspondentes como E e C 2) Tomemos DF paralela a AC A figura
DEFC eacute um paralelogramo e assim DE = FC (n 100)
Devido as paralelas DE e BC Tem-se (n 213)
119912119915
119912119913=119912119916
119912119914
As paralelas DF e AC fornecem igualmente
119912119915
119912119913=
119917119914 119926119932 119915119916
119913119914 onde
119912119915
119912119913=
119912119916
119912119914=
119915119916
119913119914 logo
Fonte (PLANE 1995 p79 apud HARUNA 2000 p11)
O Teorema de Tales foi demonstrado de diversas formas e no livro didaacutetico
que o utilizaremos vem separado primeiramente pela propriedade de um feixe de
retas paralelas ldquose um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes
sobre uma transversal tambeacutem determina segmentos congruentes sobre qualquer
outra transversalrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 204) logo apoacutes uma
demonstraccedilatildeo do teorema de Tales utilizando ldquoUm feixe de paralelas determina em
duas transversais segmentos proporcionaisrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p
206) Logo depois o teorema de tales e a aplicaccedilatildeo nos triacircngulos o teorema da
bissetriz interna de um triacircngulo
No Sumaacuterio de Eudemiano Pitaacutegoras eacute considerado o sucessor da
geometria iniciada por Tales Pitaacutegoras nasceu por volta do ano 572 aC na ilha de
Egeacuteia de Samos Eacute possiacutevel que Pitaacutegoras tenha sido disciacutepulo de Tales pois
morava proacuteximo de Mileto cidade natal de Tales Depois parece que residiu por
algum tempo no Egito ao retorna a Samos encontrou o poder nas matildeos do tirano
Poliacutecrates e resolveu emigrar para o porto mariacutetimo de Crotona uma colocircnia grega
situada no sul da Itaacutelia Laacute ele fundou a famosa escola pitagoacuterica era uma
irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimocircnias laacute estudavam
matemaacutetica ciecircncias naturais e filosofia
A escola pitagoacuterica tinha como lema ldquoTudo eacute nuacutemerordquo isso levava a uma
exaltaccedilatildeo e ao estudo das propriedades dos nuacutemeros e da aritmeacutetica junto com a
geometria a muacutesica e a astronomia Esse grupo de mateacuterias tornou-se conhecido na
Idade Meacutedia como quadrivium ao qual se acrescentava o trivium formado de
gramaacutetica loacutegica e retoacuterica Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas
como bagagem cultural necessaacuteria de uma pessoa educada Em geometria
desenvolveram as propriedades das retas paralelas e usaram-nas para provar que a
soma dos acircngulos de um triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos
Desenvolveram uma teoria das proporccedilotildees bastante completas que usaram para
deduzir propriedades de figuras semelhantes A eles tambeacutem foi atribuiacutedo as regras
que relacionavam os comprimentos das cordas de instrumentos musicais agraves alturas
dos sons (mais graves ou mais agudos) Conheciam pelo menos quatro poliedros
A SOCIEDADE SECRETA DE
PITAacuteGORAS
regulares o tetraedro (piracircmide triangular) o cubo o octaedro (oito faces idecircnticas) e
o dodecaedro (doze faces) Descobriram a incomensurabilidade do lado e da
diagonal de um quadrado a raiz quadrada do dois essa descoberta foi um tremendo
choque para os pitagoacutericos pois toda a estrutura da matemaacutetica era baseada em
nuacutemeros racionais O teorema que leva seu nome bem provavelmente veio dos
babilocircnios como justificativa para chamaacute-lo teorema de Pitaacutegoras que foram os
pitagoacutericos os primeiros a dar uma demonstraccedilatildeo
Acreditava-se que o dodecaedro formado por doze pentaacutegonos regulares
correspondia ao universo O pentaacutegono e o pentagrama (estrela regular de cinco
pontas que se encaixa dentro dele) eram conhecidos dos babilocircnios que
descobriram as extraordinaacuterias propriedades dessas figuras
O pentagrama era considerado pelos babilocircnios como siacutembolo de sauacutede
fiacutesica e espiritual Suas propriedades eram relacionadas agrave Divina Proporccedilatildeo (mais
tarde conhecida como Razatildeo de Ouro) assumindo um estado miacutestico
Conforme Boyer ldquoA construccedilatildeo do pentagrama ou pentaacutegono estrelado Se
comeccedilarmos com um poliacutegono regular ABCDE e traccedilarmos as cinco diagonais
essas diagonais se cortam em pontos A‟B‟C‟D‟E‟ que formam outro pentaacutegono
regular Observando que o triacircngulo BCD por exemplo eacute semelhante ao triacircngulo
isoacutescele BCE e observando tambeacutem os muitos pares de triacircngulos congruentes no
diagrama natildeo eacute difiacutecil ver que os pontos das diagonais A‟B‟C‟D‟E‟ dividem as
diagonais de modo notaacutevel Em cada caso um ponto da diagonal divide uma
diagonal em dois segmentos desiguais tais que a razatildeo da diagonal toda para o
maior eacute igual agrave deste para o menorrdquo Essa subdivisatildeo das diagonais eacute a bem
conhecida ldquosecccedilatildeo aacuteureardquo de um segmento mas esse nome soacute foi usado uns dois
mil anos depois ndash mais ou menos pela eacutepoca em que Kepler escrevia liricamente A
geometria tem dois grandes tesouros um eacute o teorema de Pitaacutegoras o outro a
divisatildeo de um segmento em meacutedia e extrema razatildeo ldquoO primeiro pode ser
comparado a uma medida de ouro o segundo podemos chamar de joacuteia preciosardquo
A escola pitagoacuterica tinha um coacutedigo de conduta riacutegido acreditava na
transmigraccedilatildeo das almas e portanto que natildeo se devia matar ou comer um animal
porque ele poderia ser a moradia de um amigo morto Tambeacutem natildeo se podia comer
lentilhas ou alimentos que causassem gases Os pitaacutegoricos imaginavam que os
nuacutemeros iacutempares tinham atributos masculinos e os pares eram femininos O nuacutemero
um diziam eacute o gerador dos outros nuacutemeros e o nuacutemero da razatildeo
Existem mais de 370 provas do teorema de Pitaacutegorassegue duas
demonstraccedilatildeo encontradas no livro de Euclides a intenccedilatildeo aqui eacute mostra para o
aluno a histoacuteria desse importante teorema
No Livro I dos Elementos de Euclides proposiccedilatildeo 47 Euclides inclui uma
demonstraccedilatildeo do Teorema da Hipotenusa o conhecido como o Teorema de
Pitaacutegoras
Proposiccedilatildeo I-47 Em um triacircngulo retacircngulo o quadrado sobre o lado oposto
ao acircngulo reto eacute igual agrave soma dos quadrados sobre os lados que forma o acircngulo
reto
Vamos verificar como Euclides fez essa demonstraccedilatildeo A tese consiste em
mostrar que o retacircngulo BDLM eacute igual ao quadrado ABFG A Figura 2 corresponde a
Proposiccedilatildeo I-47 no Livro de Euclides e a Figura 3 a proposiccedilatildeo num desenho
atualizado
Vejam que os triacircngulos ABD e BCF satildeo iguais pois os dois triacircngulos tecircm
dois lados iguais com acircngulos iguais e estes satildeo a metade do retacircngulo BDLM Esta
igualdade entre triacircngulos jaacute havia sido previamente estabelecida na proposiccedilatildeo I-4
de seus Elementos Disponiacutevel em
lthttpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-pitagoras-
segundo-euclideshtmlgt
No Livro VI proposiccedilatildeo 31 Euclides daacute uma prova geral ao Teorema de
Pitaacutegoras ldquoNos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o acircngulo
reto eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo retordquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Figura 2 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHro32lDIAAAAAAAAMg8MamwN1889-
Iimage_thumb5B35Dpngimgmax=800gt
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
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SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Diante das muacuteltiplas aplicabilidades e diversas maneiras metodoloacutegicas de
podermos ensinar os mesmos esta Unidade Didaacutetica destaca a Resoluccedilatildeo de
Problema e a Histoacuteria da Matemaacutetica para abordar o tema razotildees e proporccedilotildees
Teorema de Tales e Teorema de Pitaacutegoras Diante do exposto espera-se efetivar o
Ensino da Matemaacutetica no 9deg ano do Ensino Fundamental
Desenvolver o ensino de razatildeo e proporccedilatildeo utilizando a Resoluccedilatildeo de
Problema e a Histoacuteria da Matemaacutetica de forma que o aluno participe efetivamente
na construccedilatildeo de seu conhecimento que aprenda a ser pesquisador e entusiasta do
fazer matemaacutetico que consiga resolver problemas consciente de suas accedilotildees onde
interprete crie estrateacutegias e saiba analisar
Essa proposta de Unidade Didaacutetica parte integrante do Programa de
Desenvolvimento Educacional do Paranaacute (PDE) conteacutem atividades para o Ensino
Fundamental relacionadas com a histoacuteria da matemaacutetica Seratildeo utilizadas vaacuterias
praacuteticas entre elas viacutedeos pesquisa bibliograacutefica aula de campo demonstraccedilotildees do
Teorema de Tales e do Teorema de Pitaacutegoras para fixar os conhecimentos e
entender os fundamentos que satildeo essenciais para a compreensatildeo e o
desenvolvimento matemaacutetico dos alunos de maneira a perceberem que a
matemaacutetica eacute uma ciecircncia em construccedilatildeo e estaacute diretamente relacionada na sua
vida em sociedade lhe proporcionando uma autonomia na resoluccedilatildeo de problemas
Esta proposta foi estruturada para 32 horas aula podendo o professor adaptaacute-
la para mais ou menos tempo
2 RESOLUCcedilAtildeO DE PROBLEMAS
Antes de iniciarmos o trabalho propriamente dito vamos relembrar a base
teoacuterica do tema Resoluccedilatildeo de Problemas
A Resoluccedilatildeo de Problemas dentro das tendecircncias metodoloacutegicas da
Educaccedilatildeo matemaacutetica vem contribuindo no ensino aprendizagem dos alunos sendo
um dever dos professores assegurarem um espaccedilo de discussatildeo no pensar em
situaccedilotildees problemas na formulaccedilatildeo de hipoacuteteses na construccedilatildeo do pensamento
matemaacutetico para determinada situaccedilatildeo
Dante (2005) enumera algumas vantagens de se trabalhar nesta perspectiva
de resoluccedilatildeo de problemas
fazer o aluno pensar produtivamente
ensinar o aluno a enfrentar situaccedilotildees novas
oportunizar aos alunos a aplicaccedilatildeo da Matemaacutetica
tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras
equipar os alunos com estrateacutegias para resolver problemas
dar uma boa base matemaacutetica agraves pessoas
Segundo Polya (1997) resolver um problema eacute encontrar os meios
desconhecidos para um fim nitidamente imaginado Se o fim por si soacute natildeo sugere de
imediato os meios se por isso temos de procuraacute-los refletindo conscientemente
sobre como alcanccedilar o fim temos de resolver um problema Resolver um problema eacute
encontrar um caminho onde nenhum outro eacute conhecido de antematildeo encontrar um
caminho a partir de uma dificuldade encontrar um caminho que contorne um
obstaacuteculo para alcaccedilar um fim desejado mas natildeo alcanccedilavel imediatamente por
meios adequados
Polya (2006) descreve as etapas da resoluccedilatildeo de problemas
compreender o problema
destacar informaccedilotildees
dados importantes do trabalho para sua resoluccedilatildeo
elaborar um plano de resoluccedilatildeo
executar o plano
conferir resultados
estabelecer nova estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma
soluccedilatildeo aceitaacutevel
Quando se trabalha com um modelo matemaacutetico que permite a formulaccedilatildeo de
problemas reais provenientes de situaccedilotildees vividas pelos alunos de acordo com o
contexto social em que o aluno estaacute inserido constata-se um interesse maior dos
alunos a aula se torna agradaacutevel pois existe diaacutelogo entre professor e aluno A
interaccedilatildeo entre o conhecimento do seu dia-a-dia com as indagaccedilotildees lanccediladas pelo
professor faz o aluno pensar produtivamente tornando a matemaacutetica viva Deve-se
manter uma postura de interatividade em sala de aula onde o professor natildeo daacute as
respostas mas sim responde agraves perguntas dos alunos com novas perguntas que o
levem por si soacute agrave resoluccedilatildeo do problema As perguntas devem auxiliar
ldquodiscretamente apenas indicando a direccedilatildeo geral deixando muito para o estudante
fazerrdquo (POLYA 2006 p 3)
Polya enfatiza que o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela
eacute em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faz de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv)
Nesse aspecto a estrateacutegia de Resoluccedilatildeo de Problemas o reconhecimento
do assunto da situaccedilatildeo problema a matematizaccedilatildeo a formulaccedilatildeo do problema a
hipoacutetese e a resoluccedilatildeo interpretaccedilatildeo da soluccedilatildeo e validaccedilatildeo satildeo passos que devem
ser seguidos para que se construa junto com os alunos problemas que enfatizem a
importacircncia da matemaacutetica
Trabalhar sobre esta perspectiva demanda organizaccedilatildeo conhecimento e
tempo Pois construir junto aos alunos uma situaccedilatildeo problema demanda antes de
tudo uma conversa sobre o assunto levantamento de dados e pode parecer que natildeo
se estaacute ensinando o conteuacutedo ou seja perdendo tempo Entatildeo a organizaccedilatildeo
didaacutetica e a conduccedilatildeo dos trabalhos devem estar bem claras para o professor
Quanto agrave questatildeo do tempo em sala de aula deve-se considerar a afirmaccedilatildeo de
Polya
Um professor de Matemaacutetica tem assim uma grande oportunidade Se ele preenche o tempo que lhe eacute concedido a exercitar seus alunos em operaccedilotildees rotineiras aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes desperdiccedilando dessa maneira a sua oportunidade Mas se ele desafia a curiosidade dos alunos apresentando-lhes problemas compatiacuteveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagaccedilotildees estimulantes poderaacute incutir-lhes o gosto pelo raciociacutenio independente e proporcionar-lhes certos meios para alcanccedilar este objetivo (POLYA 2006 pv)
Como se pode perceber a boa escolha de problemas aliada a um trabalho
bem planejado pelo professor pode contribuir significativamente para mostrar aos
alunos o que a Matemaacutetica realmente eacute Levar o aluno a descobertas matemaacuteticas
deve ser um dos principais objetivos do ensino dessa disciplina conforme Polya
destaca
Uma grande descoberta resolve um grande problema mas haacute sempre uma pitada de descoberta na resoluccedilatildeo de qualquer problema O problema pode ser modesto mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o resolver por seus proacuteprios meios experimentaraacute a tensatildeo e gozaraacute o triunfo da descoberta Experiecircncias tais numa idade susceptiacutevel poderatildeo gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar por toda a vida a sua marca na mente e no caraacuteter (POLYA 2006 pv)
3 TALES DE MILETO SUA HISTOacuteRIA COM A MATEMAacuteTICA
Destacamos aqui um breve relato histoacuterico sobre Tales de Mileto (Figura 1) e
em sequecircncia sobre a Escola Pitagoacuterica Este material serviraacute de apoio ao professor
mas tambeacutem sugerimos que os alunos faccedilam uma pesquisa sobre o assunto
Figura 1 Tales Mileto
Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img1
00l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-hRMu3ygJPI
A origem da Geometria (do grego medir a terra) parece coincidir com as
necessidades do dia-a-dia Partilhar terras feacuterteis agraves margens dos rios na
construccedilatildeo na astronomia e astrologia era algumas atividades da eacutepoca A
matemaacutetica dos povos antigos como os Babilocircnicos e dos Egiacutepcios (3000 aC ndash 260
dC) era essencialmente empiacuterica ou indutiva e essas informaccedilotildees satildeo encontradas
nos Papiros de Moscou (1850 aC) de Rhind (1650 aC) ou Ahmes
Haacute tambeacutem no Museu de Berlim o mais antigo instrumento de astronomia ou
de agrimensura conhecido ndash uma combinaccedilatildeo de fio de prumo e colimador ndash
precedente do Egito aproximadamente do ano de 1850 aC O Museu de Berlim
tambeacutem tem o mais antigo reloacutegio de sol que se conhece Eacute egiacutepcio e data de cerca
de 1500 aC E a piracircmide de Giseh a cerca de 2900 aC essas obras revelam a
geometria praacutetica da eacutepoca
O Papiro de Rhind conteacutem 85 problemas ligados agrave Aritmeacutetica e agrave Geometria
com as respectivas soluccedilotildees Basicamente o papiro daacute-nos informaccedilotildees sobre
aritmeacutetica fraccedilotildees caacutelculo de aacutereas volumes progressotildees reparticcedilotildees
proporcionais regra de trecircs simples equaccedilotildees lineares e trigonometria baacutesica Um
problema dos Antigos Babilocircnicos diz ldquoUm cateto de um triacircngulo retacircngulo eacute 50
Uma paralela ao outro cateto e a distacircncia 20 dele corta o triacircngulo formando um
trapeacutezio retacircngulo de aacuterea 520 Determine os comprimentos das bases do trapeacuteziordquo
Outro problema dos Antigos Babilocircnios afirma que ldquoum trapeacutezio isoacutesceles de bases
14 e 50 e de lados 30 tem aacuterea 1248rdquo (HOWARD 2004 p 79)
Nesses dois problemas percebe-se que as noccedilotildees de aacuterea e
proporcionalidades devido agraves paralelas a um dos catetos talvez essas estrateacutegias
de soluccedilatildeo jaacute fossem conhecidas na eacutepoca por essas civilizaccedilotildees Embora natildeo haja
provas documentais de que os antigos egiacutepcios percebiam que um triacircngulo cujos
lados tecircm como medida 3 4 e 5 unidades eacute um triacircngulo retacircngulo Na Babilocircnia
aproximadamente entre 1900 e 1600 aC foi provavelmente escrito a tabula da
coleccedilatildeo GA Plimpton da Universidade de Coluacutembia conhecida como Plimpton 322
cujo conteuacutedo foi descrito por Neugebauer e Sachs em 1945 E demonstra que os
nuacutemeros correspondentes dessas colunas com quatro felizes exceccedilotildees constituem
a hipotenusa e um cateto de triacircngulos retacircngulos de lados inteiros satildeo os
chamados ternos pitagoacutericos
Informaccedilotildees extraiacutedas do Sumaacuterio Eudemiano foram incorporadas pelo
filoacutesofo neoplatocircnico Proclo (410-485) nas paacuteginas iniciais de seu Commentary on
the First Book of Euclid‟s Elements (Comentaacuterio sobre o primeiro livro de Os
Elementos de Euclides) Conforme o Sumaacuterio Eudemiano a geometria grega parece
ter comeccedilado com o trabalho de Tales de Mileto na primeira metade do seacuteculo VI
aC Esse gecircnio versaacutetil considerado um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade foi um
digno fundador da geometria demonstrativa Eacute ele o primeiro indiviacuteduo conhecido a
quem estaacute associada agrave utilizaccedilatildeo de meacutetodos dedutivos em geometria
Segundo parece Tales comeccedilou sua vida como mercador tornando-se rico o
bastante para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e algumas viagens Diz-se
que ele viveu por algum tempo no Egito e que despertou admiraccedilatildeo ao calcular a
altura de uma piracircmide por meio da sombra Tales de Mileto foi homem de negoacutecios
filoacutesofo matemaacutetico e astrocircnomo A ele se associam descobertas matemaacuteticas Em
geometria creditam-se a ele os seguintes resultados elementares
1 Qualquer diacircmetro efetua a bissecccedilatildeo do ciacuterculo em que eacute traccedilado
2 Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
3 Acircngulos opostos pelo veacutertice satildeo iguais
4 Se dois triacircngulos tecircm dois acircngulos e um lado em cada um deles
respectivamente iguais entatildeo esses triacircngulos satildeo iguais
5 Um acircngulo inscrito num semiciacuterculo eacute reto
Um dos mais antigos documentos que conteacutem o Teorema de Tales o ldquoCours
de Geacuteomeacutetrie eacuteleacutementairerdquo por E Combette professor do Lyeeacutee Saunt-Louis Alcan
editor 1882 Theacuteoregraveme de Thales ldquoEstuda um triacircngulo cortado por uma paralela a
um de seus ladosrdquo (Henry Plane p 79) Representado no Quadro 1
Quadro 1 Doc 14 ndash Theorema de Thales
Doc 14 ndash Theorema de Thales
221- Toda paralela a um dos lados de um triacircngulo determina um segundo
triacircngulo semelhante ao primeiro
Seja ABC um triacircngulo qualquer DE uma paralela ao lado BC Deve-se
provar que os dois triacircngulos ADE e ABC tecircm os acircngulos respectivamente iguais e
os lados homoacutelogos proporcionais 1) o acircngulo A eacute comum os acircngulos D e B satildeo
iguais e correspondentes como E e C 2) Tomemos DF paralela a AC A figura
DEFC eacute um paralelogramo e assim DE = FC (n 100)
Devido as paralelas DE e BC Tem-se (n 213)
119912119915
119912119913=119912119916
119912119914
As paralelas DF e AC fornecem igualmente
119912119915
119912119913=
119917119914 119926119932 119915119916
119913119914 onde
119912119915
119912119913=
119912119916
119912119914=
119915119916
119913119914 logo
Fonte (PLANE 1995 p79 apud HARUNA 2000 p11)
O Teorema de Tales foi demonstrado de diversas formas e no livro didaacutetico
que o utilizaremos vem separado primeiramente pela propriedade de um feixe de
retas paralelas ldquose um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes
sobre uma transversal tambeacutem determina segmentos congruentes sobre qualquer
outra transversalrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 204) logo apoacutes uma
demonstraccedilatildeo do teorema de Tales utilizando ldquoUm feixe de paralelas determina em
duas transversais segmentos proporcionaisrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p
206) Logo depois o teorema de tales e a aplicaccedilatildeo nos triacircngulos o teorema da
bissetriz interna de um triacircngulo
No Sumaacuterio de Eudemiano Pitaacutegoras eacute considerado o sucessor da
geometria iniciada por Tales Pitaacutegoras nasceu por volta do ano 572 aC na ilha de
Egeacuteia de Samos Eacute possiacutevel que Pitaacutegoras tenha sido disciacutepulo de Tales pois
morava proacuteximo de Mileto cidade natal de Tales Depois parece que residiu por
algum tempo no Egito ao retorna a Samos encontrou o poder nas matildeos do tirano
Poliacutecrates e resolveu emigrar para o porto mariacutetimo de Crotona uma colocircnia grega
situada no sul da Itaacutelia Laacute ele fundou a famosa escola pitagoacuterica era uma
irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimocircnias laacute estudavam
matemaacutetica ciecircncias naturais e filosofia
A escola pitagoacuterica tinha como lema ldquoTudo eacute nuacutemerordquo isso levava a uma
exaltaccedilatildeo e ao estudo das propriedades dos nuacutemeros e da aritmeacutetica junto com a
geometria a muacutesica e a astronomia Esse grupo de mateacuterias tornou-se conhecido na
Idade Meacutedia como quadrivium ao qual se acrescentava o trivium formado de
gramaacutetica loacutegica e retoacuterica Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas
como bagagem cultural necessaacuteria de uma pessoa educada Em geometria
desenvolveram as propriedades das retas paralelas e usaram-nas para provar que a
soma dos acircngulos de um triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos
Desenvolveram uma teoria das proporccedilotildees bastante completas que usaram para
deduzir propriedades de figuras semelhantes A eles tambeacutem foi atribuiacutedo as regras
que relacionavam os comprimentos das cordas de instrumentos musicais agraves alturas
dos sons (mais graves ou mais agudos) Conheciam pelo menos quatro poliedros
A SOCIEDADE SECRETA DE
PITAacuteGORAS
regulares o tetraedro (piracircmide triangular) o cubo o octaedro (oito faces idecircnticas) e
o dodecaedro (doze faces) Descobriram a incomensurabilidade do lado e da
diagonal de um quadrado a raiz quadrada do dois essa descoberta foi um tremendo
choque para os pitagoacutericos pois toda a estrutura da matemaacutetica era baseada em
nuacutemeros racionais O teorema que leva seu nome bem provavelmente veio dos
babilocircnios como justificativa para chamaacute-lo teorema de Pitaacutegoras que foram os
pitagoacutericos os primeiros a dar uma demonstraccedilatildeo
Acreditava-se que o dodecaedro formado por doze pentaacutegonos regulares
correspondia ao universo O pentaacutegono e o pentagrama (estrela regular de cinco
pontas que se encaixa dentro dele) eram conhecidos dos babilocircnios que
descobriram as extraordinaacuterias propriedades dessas figuras
O pentagrama era considerado pelos babilocircnios como siacutembolo de sauacutede
fiacutesica e espiritual Suas propriedades eram relacionadas agrave Divina Proporccedilatildeo (mais
tarde conhecida como Razatildeo de Ouro) assumindo um estado miacutestico
Conforme Boyer ldquoA construccedilatildeo do pentagrama ou pentaacutegono estrelado Se
comeccedilarmos com um poliacutegono regular ABCDE e traccedilarmos as cinco diagonais
essas diagonais se cortam em pontos A‟B‟C‟D‟E‟ que formam outro pentaacutegono
regular Observando que o triacircngulo BCD por exemplo eacute semelhante ao triacircngulo
isoacutescele BCE e observando tambeacutem os muitos pares de triacircngulos congruentes no
diagrama natildeo eacute difiacutecil ver que os pontos das diagonais A‟B‟C‟D‟E‟ dividem as
diagonais de modo notaacutevel Em cada caso um ponto da diagonal divide uma
diagonal em dois segmentos desiguais tais que a razatildeo da diagonal toda para o
maior eacute igual agrave deste para o menorrdquo Essa subdivisatildeo das diagonais eacute a bem
conhecida ldquosecccedilatildeo aacuteureardquo de um segmento mas esse nome soacute foi usado uns dois
mil anos depois ndash mais ou menos pela eacutepoca em que Kepler escrevia liricamente A
geometria tem dois grandes tesouros um eacute o teorema de Pitaacutegoras o outro a
divisatildeo de um segmento em meacutedia e extrema razatildeo ldquoO primeiro pode ser
comparado a uma medida de ouro o segundo podemos chamar de joacuteia preciosardquo
A escola pitagoacuterica tinha um coacutedigo de conduta riacutegido acreditava na
transmigraccedilatildeo das almas e portanto que natildeo se devia matar ou comer um animal
porque ele poderia ser a moradia de um amigo morto Tambeacutem natildeo se podia comer
lentilhas ou alimentos que causassem gases Os pitaacutegoricos imaginavam que os
nuacutemeros iacutempares tinham atributos masculinos e os pares eram femininos O nuacutemero
um diziam eacute o gerador dos outros nuacutemeros e o nuacutemero da razatildeo
Existem mais de 370 provas do teorema de Pitaacutegorassegue duas
demonstraccedilatildeo encontradas no livro de Euclides a intenccedilatildeo aqui eacute mostra para o
aluno a histoacuteria desse importante teorema
No Livro I dos Elementos de Euclides proposiccedilatildeo 47 Euclides inclui uma
demonstraccedilatildeo do Teorema da Hipotenusa o conhecido como o Teorema de
Pitaacutegoras
Proposiccedilatildeo I-47 Em um triacircngulo retacircngulo o quadrado sobre o lado oposto
ao acircngulo reto eacute igual agrave soma dos quadrados sobre os lados que forma o acircngulo
reto
Vamos verificar como Euclides fez essa demonstraccedilatildeo A tese consiste em
mostrar que o retacircngulo BDLM eacute igual ao quadrado ABFG A Figura 2 corresponde a
Proposiccedilatildeo I-47 no Livro de Euclides e a Figura 3 a proposiccedilatildeo num desenho
atualizado
Vejam que os triacircngulos ABD e BCF satildeo iguais pois os dois triacircngulos tecircm
dois lados iguais com acircngulos iguais e estes satildeo a metade do retacircngulo BDLM Esta
igualdade entre triacircngulos jaacute havia sido previamente estabelecida na proposiccedilatildeo I-4
de seus Elementos Disponiacutevel em
lthttpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-pitagoras-
segundo-euclideshtmlgt
No Livro VI proposiccedilatildeo 31 Euclides daacute uma prova geral ao Teorema de
Pitaacutegoras ldquoNos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o acircngulo
reto eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo retordquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Figura 2 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHro32lDIAAAAAAAAMg8MamwN1889-
Iimage_thumb5B35Dpngimgmax=800gt
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
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Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
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Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
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HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
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Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
ensinar o aluno a enfrentar situaccedilotildees novas
oportunizar aos alunos a aplicaccedilatildeo da Matemaacutetica
tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras
equipar os alunos com estrateacutegias para resolver problemas
dar uma boa base matemaacutetica agraves pessoas
Segundo Polya (1997) resolver um problema eacute encontrar os meios
desconhecidos para um fim nitidamente imaginado Se o fim por si soacute natildeo sugere de
imediato os meios se por isso temos de procuraacute-los refletindo conscientemente
sobre como alcanccedilar o fim temos de resolver um problema Resolver um problema eacute
encontrar um caminho onde nenhum outro eacute conhecido de antematildeo encontrar um
caminho a partir de uma dificuldade encontrar um caminho que contorne um
obstaacuteculo para alcaccedilar um fim desejado mas natildeo alcanccedilavel imediatamente por
meios adequados
Polya (2006) descreve as etapas da resoluccedilatildeo de problemas
compreender o problema
destacar informaccedilotildees
dados importantes do trabalho para sua resoluccedilatildeo
elaborar um plano de resoluccedilatildeo
executar o plano
conferir resultados
estabelecer nova estrateacutegia se necessaacuterio ateacute chegar a uma
soluccedilatildeo aceitaacutevel
Quando se trabalha com um modelo matemaacutetico que permite a formulaccedilatildeo de
problemas reais provenientes de situaccedilotildees vividas pelos alunos de acordo com o
contexto social em que o aluno estaacute inserido constata-se um interesse maior dos
alunos a aula se torna agradaacutevel pois existe diaacutelogo entre professor e aluno A
interaccedilatildeo entre o conhecimento do seu dia-a-dia com as indagaccedilotildees lanccediladas pelo
professor faz o aluno pensar produtivamente tornando a matemaacutetica viva Deve-se
manter uma postura de interatividade em sala de aula onde o professor natildeo daacute as
respostas mas sim responde agraves perguntas dos alunos com novas perguntas que o
levem por si soacute agrave resoluccedilatildeo do problema As perguntas devem auxiliar
ldquodiscretamente apenas indicando a direccedilatildeo geral deixando muito para o estudante
fazerrdquo (POLYA 2006 p 3)
Polya enfatiza que o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela
eacute em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faz de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv)
Nesse aspecto a estrateacutegia de Resoluccedilatildeo de Problemas o reconhecimento
do assunto da situaccedilatildeo problema a matematizaccedilatildeo a formulaccedilatildeo do problema a
hipoacutetese e a resoluccedilatildeo interpretaccedilatildeo da soluccedilatildeo e validaccedilatildeo satildeo passos que devem
ser seguidos para que se construa junto com os alunos problemas que enfatizem a
importacircncia da matemaacutetica
Trabalhar sobre esta perspectiva demanda organizaccedilatildeo conhecimento e
tempo Pois construir junto aos alunos uma situaccedilatildeo problema demanda antes de
tudo uma conversa sobre o assunto levantamento de dados e pode parecer que natildeo
se estaacute ensinando o conteuacutedo ou seja perdendo tempo Entatildeo a organizaccedilatildeo
didaacutetica e a conduccedilatildeo dos trabalhos devem estar bem claras para o professor
Quanto agrave questatildeo do tempo em sala de aula deve-se considerar a afirmaccedilatildeo de
Polya
Um professor de Matemaacutetica tem assim uma grande oportunidade Se ele preenche o tempo que lhe eacute concedido a exercitar seus alunos em operaccedilotildees rotineiras aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes desperdiccedilando dessa maneira a sua oportunidade Mas se ele desafia a curiosidade dos alunos apresentando-lhes problemas compatiacuteveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagaccedilotildees estimulantes poderaacute incutir-lhes o gosto pelo raciociacutenio independente e proporcionar-lhes certos meios para alcanccedilar este objetivo (POLYA 2006 pv)
Como se pode perceber a boa escolha de problemas aliada a um trabalho
bem planejado pelo professor pode contribuir significativamente para mostrar aos
alunos o que a Matemaacutetica realmente eacute Levar o aluno a descobertas matemaacuteticas
deve ser um dos principais objetivos do ensino dessa disciplina conforme Polya
destaca
Uma grande descoberta resolve um grande problema mas haacute sempre uma pitada de descoberta na resoluccedilatildeo de qualquer problema O problema pode ser modesto mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o resolver por seus proacuteprios meios experimentaraacute a tensatildeo e gozaraacute o triunfo da descoberta Experiecircncias tais numa idade susceptiacutevel poderatildeo gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar por toda a vida a sua marca na mente e no caraacuteter (POLYA 2006 pv)
3 TALES DE MILETO SUA HISTOacuteRIA COM A MATEMAacuteTICA
Destacamos aqui um breve relato histoacuterico sobre Tales de Mileto (Figura 1) e
em sequecircncia sobre a Escola Pitagoacuterica Este material serviraacute de apoio ao professor
mas tambeacutem sugerimos que os alunos faccedilam uma pesquisa sobre o assunto
Figura 1 Tales Mileto
Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img1
00l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-hRMu3ygJPI
A origem da Geometria (do grego medir a terra) parece coincidir com as
necessidades do dia-a-dia Partilhar terras feacuterteis agraves margens dos rios na
construccedilatildeo na astronomia e astrologia era algumas atividades da eacutepoca A
matemaacutetica dos povos antigos como os Babilocircnicos e dos Egiacutepcios (3000 aC ndash 260
dC) era essencialmente empiacuterica ou indutiva e essas informaccedilotildees satildeo encontradas
nos Papiros de Moscou (1850 aC) de Rhind (1650 aC) ou Ahmes
Haacute tambeacutem no Museu de Berlim o mais antigo instrumento de astronomia ou
de agrimensura conhecido ndash uma combinaccedilatildeo de fio de prumo e colimador ndash
precedente do Egito aproximadamente do ano de 1850 aC O Museu de Berlim
tambeacutem tem o mais antigo reloacutegio de sol que se conhece Eacute egiacutepcio e data de cerca
de 1500 aC E a piracircmide de Giseh a cerca de 2900 aC essas obras revelam a
geometria praacutetica da eacutepoca
O Papiro de Rhind conteacutem 85 problemas ligados agrave Aritmeacutetica e agrave Geometria
com as respectivas soluccedilotildees Basicamente o papiro daacute-nos informaccedilotildees sobre
aritmeacutetica fraccedilotildees caacutelculo de aacutereas volumes progressotildees reparticcedilotildees
proporcionais regra de trecircs simples equaccedilotildees lineares e trigonometria baacutesica Um
problema dos Antigos Babilocircnicos diz ldquoUm cateto de um triacircngulo retacircngulo eacute 50
Uma paralela ao outro cateto e a distacircncia 20 dele corta o triacircngulo formando um
trapeacutezio retacircngulo de aacuterea 520 Determine os comprimentos das bases do trapeacuteziordquo
Outro problema dos Antigos Babilocircnios afirma que ldquoum trapeacutezio isoacutesceles de bases
14 e 50 e de lados 30 tem aacuterea 1248rdquo (HOWARD 2004 p 79)
Nesses dois problemas percebe-se que as noccedilotildees de aacuterea e
proporcionalidades devido agraves paralelas a um dos catetos talvez essas estrateacutegias
de soluccedilatildeo jaacute fossem conhecidas na eacutepoca por essas civilizaccedilotildees Embora natildeo haja
provas documentais de que os antigos egiacutepcios percebiam que um triacircngulo cujos
lados tecircm como medida 3 4 e 5 unidades eacute um triacircngulo retacircngulo Na Babilocircnia
aproximadamente entre 1900 e 1600 aC foi provavelmente escrito a tabula da
coleccedilatildeo GA Plimpton da Universidade de Coluacutembia conhecida como Plimpton 322
cujo conteuacutedo foi descrito por Neugebauer e Sachs em 1945 E demonstra que os
nuacutemeros correspondentes dessas colunas com quatro felizes exceccedilotildees constituem
a hipotenusa e um cateto de triacircngulos retacircngulos de lados inteiros satildeo os
chamados ternos pitagoacutericos
Informaccedilotildees extraiacutedas do Sumaacuterio Eudemiano foram incorporadas pelo
filoacutesofo neoplatocircnico Proclo (410-485) nas paacuteginas iniciais de seu Commentary on
the First Book of Euclid‟s Elements (Comentaacuterio sobre o primeiro livro de Os
Elementos de Euclides) Conforme o Sumaacuterio Eudemiano a geometria grega parece
ter comeccedilado com o trabalho de Tales de Mileto na primeira metade do seacuteculo VI
aC Esse gecircnio versaacutetil considerado um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade foi um
digno fundador da geometria demonstrativa Eacute ele o primeiro indiviacuteduo conhecido a
quem estaacute associada agrave utilizaccedilatildeo de meacutetodos dedutivos em geometria
Segundo parece Tales comeccedilou sua vida como mercador tornando-se rico o
bastante para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e algumas viagens Diz-se
que ele viveu por algum tempo no Egito e que despertou admiraccedilatildeo ao calcular a
altura de uma piracircmide por meio da sombra Tales de Mileto foi homem de negoacutecios
filoacutesofo matemaacutetico e astrocircnomo A ele se associam descobertas matemaacuteticas Em
geometria creditam-se a ele os seguintes resultados elementares
1 Qualquer diacircmetro efetua a bissecccedilatildeo do ciacuterculo em que eacute traccedilado
2 Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
3 Acircngulos opostos pelo veacutertice satildeo iguais
4 Se dois triacircngulos tecircm dois acircngulos e um lado em cada um deles
respectivamente iguais entatildeo esses triacircngulos satildeo iguais
5 Um acircngulo inscrito num semiciacuterculo eacute reto
Um dos mais antigos documentos que conteacutem o Teorema de Tales o ldquoCours
de Geacuteomeacutetrie eacuteleacutementairerdquo por E Combette professor do Lyeeacutee Saunt-Louis Alcan
editor 1882 Theacuteoregraveme de Thales ldquoEstuda um triacircngulo cortado por uma paralela a
um de seus ladosrdquo (Henry Plane p 79) Representado no Quadro 1
Quadro 1 Doc 14 ndash Theorema de Thales
Doc 14 ndash Theorema de Thales
221- Toda paralela a um dos lados de um triacircngulo determina um segundo
triacircngulo semelhante ao primeiro
Seja ABC um triacircngulo qualquer DE uma paralela ao lado BC Deve-se
provar que os dois triacircngulos ADE e ABC tecircm os acircngulos respectivamente iguais e
os lados homoacutelogos proporcionais 1) o acircngulo A eacute comum os acircngulos D e B satildeo
iguais e correspondentes como E e C 2) Tomemos DF paralela a AC A figura
DEFC eacute um paralelogramo e assim DE = FC (n 100)
Devido as paralelas DE e BC Tem-se (n 213)
119912119915
119912119913=119912119916
119912119914
As paralelas DF e AC fornecem igualmente
119912119915
119912119913=
119917119914 119926119932 119915119916
119913119914 onde
119912119915
119912119913=
119912119916
119912119914=
119915119916
119913119914 logo
Fonte (PLANE 1995 p79 apud HARUNA 2000 p11)
O Teorema de Tales foi demonstrado de diversas formas e no livro didaacutetico
que o utilizaremos vem separado primeiramente pela propriedade de um feixe de
retas paralelas ldquose um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes
sobre uma transversal tambeacutem determina segmentos congruentes sobre qualquer
outra transversalrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 204) logo apoacutes uma
demonstraccedilatildeo do teorema de Tales utilizando ldquoUm feixe de paralelas determina em
duas transversais segmentos proporcionaisrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p
206) Logo depois o teorema de tales e a aplicaccedilatildeo nos triacircngulos o teorema da
bissetriz interna de um triacircngulo
No Sumaacuterio de Eudemiano Pitaacutegoras eacute considerado o sucessor da
geometria iniciada por Tales Pitaacutegoras nasceu por volta do ano 572 aC na ilha de
Egeacuteia de Samos Eacute possiacutevel que Pitaacutegoras tenha sido disciacutepulo de Tales pois
morava proacuteximo de Mileto cidade natal de Tales Depois parece que residiu por
algum tempo no Egito ao retorna a Samos encontrou o poder nas matildeos do tirano
Poliacutecrates e resolveu emigrar para o porto mariacutetimo de Crotona uma colocircnia grega
situada no sul da Itaacutelia Laacute ele fundou a famosa escola pitagoacuterica era uma
irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimocircnias laacute estudavam
matemaacutetica ciecircncias naturais e filosofia
A escola pitagoacuterica tinha como lema ldquoTudo eacute nuacutemerordquo isso levava a uma
exaltaccedilatildeo e ao estudo das propriedades dos nuacutemeros e da aritmeacutetica junto com a
geometria a muacutesica e a astronomia Esse grupo de mateacuterias tornou-se conhecido na
Idade Meacutedia como quadrivium ao qual se acrescentava o trivium formado de
gramaacutetica loacutegica e retoacuterica Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas
como bagagem cultural necessaacuteria de uma pessoa educada Em geometria
desenvolveram as propriedades das retas paralelas e usaram-nas para provar que a
soma dos acircngulos de um triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos
Desenvolveram uma teoria das proporccedilotildees bastante completas que usaram para
deduzir propriedades de figuras semelhantes A eles tambeacutem foi atribuiacutedo as regras
que relacionavam os comprimentos das cordas de instrumentos musicais agraves alturas
dos sons (mais graves ou mais agudos) Conheciam pelo menos quatro poliedros
A SOCIEDADE SECRETA DE
PITAacuteGORAS
regulares o tetraedro (piracircmide triangular) o cubo o octaedro (oito faces idecircnticas) e
o dodecaedro (doze faces) Descobriram a incomensurabilidade do lado e da
diagonal de um quadrado a raiz quadrada do dois essa descoberta foi um tremendo
choque para os pitagoacutericos pois toda a estrutura da matemaacutetica era baseada em
nuacutemeros racionais O teorema que leva seu nome bem provavelmente veio dos
babilocircnios como justificativa para chamaacute-lo teorema de Pitaacutegoras que foram os
pitagoacutericos os primeiros a dar uma demonstraccedilatildeo
Acreditava-se que o dodecaedro formado por doze pentaacutegonos regulares
correspondia ao universo O pentaacutegono e o pentagrama (estrela regular de cinco
pontas que se encaixa dentro dele) eram conhecidos dos babilocircnios que
descobriram as extraordinaacuterias propriedades dessas figuras
O pentagrama era considerado pelos babilocircnios como siacutembolo de sauacutede
fiacutesica e espiritual Suas propriedades eram relacionadas agrave Divina Proporccedilatildeo (mais
tarde conhecida como Razatildeo de Ouro) assumindo um estado miacutestico
Conforme Boyer ldquoA construccedilatildeo do pentagrama ou pentaacutegono estrelado Se
comeccedilarmos com um poliacutegono regular ABCDE e traccedilarmos as cinco diagonais
essas diagonais se cortam em pontos A‟B‟C‟D‟E‟ que formam outro pentaacutegono
regular Observando que o triacircngulo BCD por exemplo eacute semelhante ao triacircngulo
isoacutescele BCE e observando tambeacutem os muitos pares de triacircngulos congruentes no
diagrama natildeo eacute difiacutecil ver que os pontos das diagonais A‟B‟C‟D‟E‟ dividem as
diagonais de modo notaacutevel Em cada caso um ponto da diagonal divide uma
diagonal em dois segmentos desiguais tais que a razatildeo da diagonal toda para o
maior eacute igual agrave deste para o menorrdquo Essa subdivisatildeo das diagonais eacute a bem
conhecida ldquosecccedilatildeo aacuteureardquo de um segmento mas esse nome soacute foi usado uns dois
mil anos depois ndash mais ou menos pela eacutepoca em que Kepler escrevia liricamente A
geometria tem dois grandes tesouros um eacute o teorema de Pitaacutegoras o outro a
divisatildeo de um segmento em meacutedia e extrema razatildeo ldquoO primeiro pode ser
comparado a uma medida de ouro o segundo podemos chamar de joacuteia preciosardquo
A escola pitagoacuterica tinha um coacutedigo de conduta riacutegido acreditava na
transmigraccedilatildeo das almas e portanto que natildeo se devia matar ou comer um animal
porque ele poderia ser a moradia de um amigo morto Tambeacutem natildeo se podia comer
lentilhas ou alimentos que causassem gases Os pitaacutegoricos imaginavam que os
nuacutemeros iacutempares tinham atributos masculinos e os pares eram femininos O nuacutemero
um diziam eacute o gerador dos outros nuacutemeros e o nuacutemero da razatildeo
Existem mais de 370 provas do teorema de Pitaacutegorassegue duas
demonstraccedilatildeo encontradas no livro de Euclides a intenccedilatildeo aqui eacute mostra para o
aluno a histoacuteria desse importante teorema
No Livro I dos Elementos de Euclides proposiccedilatildeo 47 Euclides inclui uma
demonstraccedilatildeo do Teorema da Hipotenusa o conhecido como o Teorema de
Pitaacutegoras
Proposiccedilatildeo I-47 Em um triacircngulo retacircngulo o quadrado sobre o lado oposto
ao acircngulo reto eacute igual agrave soma dos quadrados sobre os lados que forma o acircngulo
reto
Vamos verificar como Euclides fez essa demonstraccedilatildeo A tese consiste em
mostrar que o retacircngulo BDLM eacute igual ao quadrado ABFG A Figura 2 corresponde a
Proposiccedilatildeo I-47 no Livro de Euclides e a Figura 3 a proposiccedilatildeo num desenho
atualizado
Vejam que os triacircngulos ABD e BCF satildeo iguais pois os dois triacircngulos tecircm
dois lados iguais com acircngulos iguais e estes satildeo a metade do retacircngulo BDLM Esta
igualdade entre triacircngulos jaacute havia sido previamente estabelecida na proposiccedilatildeo I-4
de seus Elementos Disponiacutevel em
lthttpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-pitagoras-
segundo-euclideshtmlgt
No Livro VI proposiccedilatildeo 31 Euclides daacute uma prova geral ao Teorema de
Pitaacutegoras ldquoNos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o acircngulo
reto eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo retordquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Figura 2 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHro32lDIAAAAAAAAMg8MamwN1889-
Iimage_thumb5B35Dpngimgmax=800gt
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
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SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Polya enfatiza que o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela
eacute em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faz de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv)
Nesse aspecto a estrateacutegia de Resoluccedilatildeo de Problemas o reconhecimento
do assunto da situaccedilatildeo problema a matematizaccedilatildeo a formulaccedilatildeo do problema a
hipoacutetese e a resoluccedilatildeo interpretaccedilatildeo da soluccedilatildeo e validaccedilatildeo satildeo passos que devem
ser seguidos para que se construa junto com os alunos problemas que enfatizem a
importacircncia da matemaacutetica
Trabalhar sobre esta perspectiva demanda organizaccedilatildeo conhecimento e
tempo Pois construir junto aos alunos uma situaccedilatildeo problema demanda antes de
tudo uma conversa sobre o assunto levantamento de dados e pode parecer que natildeo
se estaacute ensinando o conteuacutedo ou seja perdendo tempo Entatildeo a organizaccedilatildeo
didaacutetica e a conduccedilatildeo dos trabalhos devem estar bem claras para o professor
Quanto agrave questatildeo do tempo em sala de aula deve-se considerar a afirmaccedilatildeo de
Polya
Um professor de Matemaacutetica tem assim uma grande oportunidade Se ele preenche o tempo que lhe eacute concedido a exercitar seus alunos em operaccedilotildees rotineiras aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes desperdiccedilando dessa maneira a sua oportunidade Mas se ele desafia a curiosidade dos alunos apresentando-lhes problemas compatiacuteveis com os conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagaccedilotildees estimulantes poderaacute incutir-lhes o gosto pelo raciociacutenio independente e proporcionar-lhes certos meios para alcanccedilar este objetivo (POLYA 2006 pv)
Como se pode perceber a boa escolha de problemas aliada a um trabalho
bem planejado pelo professor pode contribuir significativamente para mostrar aos
alunos o que a Matemaacutetica realmente eacute Levar o aluno a descobertas matemaacuteticas
deve ser um dos principais objetivos do ensino dessa disciplina conforme Polya
destaca
Uma grande descoberta resolve um grande problema mas haacute sempre uma pitada de descoberta na resoluccedilatildeo de qualquer problema O problema pode ser modesto mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas quem o resolver por seus proacuteprios meios experimentaraacute a tensatildeo e gozaraacute o triunfo da descoberta Experiecircncias tais numa idade susceptiacutevel poderatildeo gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar por toda a vida a sua marca na mente e no caraacuteter (POLYA 2006 pv)
3 TALES DE MILETO SUA HISTOacuteRIA COM A MATEMAacuteTICA
Destacamos aqui um breve relato histoacuterico sobre Tales de Mileto (Figura 1) e
em sequecircncia sobre a Escola Pitagoacuterica Este material serviraacute de apoio ao professor
mas tambeacutem sugerimos que os alunos faccedilam uma pesquisa sobre o assunto
Figura 1 Tales Mileto
Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img1
00l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-hRMu3ygJPI
A origem da Geometria (do grego medir a terra) parece coincidir com as
necessidades do dia-a-dia Partilhar terras feacuterteis agraves margens dos rios na
construccedilatildeo na astronomia e astrologia era algumas atividades da eacutepoca A
matemaacutetica dos povos antigos como os Babilocircnicos e dos Egiacutepcios (3000 aC ndash 260
dC) era essencialmente empiacuterica ou indutiva e essas informaccedilotildees satildeo encontradas
nos Papiros de Moscou (1850 aC) de Rhind (1650 aC) ou Ahmes
Haacute tambeacutem no Museu de Berlim o mais antigo instrumento de astronomia ou
de agrimensura conhecido ndash uma combinaccedilatildeo de fio de prumo e colimador ndash
precedente do Egito aproximadamente do ano de 1850 aC O Museu de Berlim
tambeacutem tem o mais antigo reloacutegio de sol que se conhece Eacute egiacutepcio e data de cerca
de 1500 aC E a piracircmide de Giseh a cerca de 2900 aC essas obras revelam a
geometria praacutetica da eacutepoca
O Papiro de Rhind conteacutem 85 problemas ligados agrave Aritmeacutetica e agrave Geometria
com as respectivas soluccedilotildees Basicamente o papiro daacute-nos informaccedilotildees sobre
aritmeacutetica fraccedilotildees caacutelculo de aacutereas volumes progressotildees reparticcedilotildees
proporcionais regra de trecircs simples equaccedilotildees lineares e trigonometria baacutesica Um
problema dos Antigos Babilocircnicos diz ldquoUm cateto de um triacircngulo retacircngulo eacute 50
Uma paralela ao outro cateto e a distacircncia 20 dele corta o triacircngulo formando um
trapeacutezio retacircngulo de aacuterea 520 Determine os comprimentos das bases do trapeacuteziordquo
Outro problema dos Antigos Babilocircnios afirma que ldquoum trapeacutezio isoacutesceles de bases
14 e 50 e de lados 30 tem aacuterea 1248rdquo (HOWARD 2004 p 79)
Nesses dois problemas percebe-se que as noccedilotildees de aacuterea e
proporcionalidades devido agraves paralelas a um dos catetos talvez essas estrateacutegias
de soluccedilatildeo jaacute fossem conhecidas na eacutepoca por essas civilizaccedilotildees Embora natildeo haja
provas documentais de que os antigos egiacutepcios percebiam que um triacircngulo cujos
lados tecircm como medida 3 4 e 5 unidades eacute um triacircngulo retacircngulo Na Babilocircnia
aproximadamente entre 1900 e 1600 aC foi provavelmente escrito a tabula da
coleccedilatildeo GA Plimpton da Universidade de Coluacutembia conhecida como Plimpton 322
cujo conteuacutedo foi descrito por Neugebauer e Sachs em 1945 E demonstra que os
nuacutemeros correspondentes dessas colunas com quatro felizes exceccedilotildees constituem
a hipotenusa e um cateto de triacircngulos retacircngulos de lados inteiros satildeo os
chamados ternos pitagoacutericos
Informaccedilotildees extraiacutedas do Sumaacuterio Eudemiano foram incorporadas pelo
filoacutesofo neoplatocircnico Proclo (410-485) nas paacuteginas iniciais de seu Commentary on
the First Book of Euclid‟s Elements (Comentaacuterio sobre o primeiro livro de Os
Elementos de Euclides) Conforme o Sumaacuterio Eudemiano a geometria grega parece
ter comeccedilado com o trabalho de Tales de Mileto na primeira metade do seacuteculo VI
aC Esse gecircnio versaacutetil considerado um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade foi um
digno fundador da geometria demonstrativa Eacute ele o primeiro indiviacuteduo conhecido a
quem estaacute associada agrave utilizaccedilatildeo de meacutetodos dedutivos em geometria
Segundo parece Tales comeccedilou sua vida como mercador tornando-se rico o
bastante para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e algumas viagens Diz-se
que ele viveu por algum tempo no Egito e que despertou admiraccedilatildeo ao calcular a
altura de uma piracircmide por meio da sombra Tales de Mileto foi homem de negoacutecios
filoacutesofo matemaacutetico e astrocircnomo A ele se associam descobertas matemaacuteticas Em
geometria creditam-se a ele os seguintes resultados elementares
1 Qualquer diacircmetro efetua a bissecccedilatildeo do ciacuterculo em que eacute traccedilado
2 Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
3 Acircngulos opostos pelo veacutertice satildeo iguais
4 Se dois triacircngulos tecircm dois acircngulos e um lado em cada um deles
respectivamente iguais entatildeo esses triacircngulos satildeo iguais
5 Um acircngulo inscrito num semiciacuterculo eacute reto
Um dos mais antigos documentos que conteacutem o Teorema de Tales o ldquoCours
de Geacuteomeacutetrie eacuteleacutementairerdquo por E Combette professor do Lyeeacutee Saunt-Louis Alcan
editor 1882 Theacuteoregraveme de Thales ldquoEstuda um triacircngulo cortado por uma paralela a
um de seus ladosrdquo (Henry Plane p 79) Representado no Quadro 1
Quadro 1 Doc 14 ndash Theorema de Thales
Doc 14 ndash Theorema de Thales
221- Toda paralela a um dos lados de um triacircngulo determina um segundo
triacircngulo semelhante ao primeiro
Seja ABC um triacircngulo qualquer DE uma paralela ao lado BC Deve-se
provar que os dois triacircngulos ADE e ABC tecircm os acircngulos respectivamente iguais e
os lados homoacutelogos proporcionais 1) o acircngulo A eacute comum os acircngulos D e B satildeo
iguais e correspondentes como E e C 2) Tomemos DF paralela a AC A figura
DEFC eacute um paralelogramo e assim DE = FC (n 100)
Devido as paralelas DE e BC Tem-se (n 213)
119912119915
119912119913=119912119916
119912119914
As paralelas DF e AC fornecem igualmente
119912119915
119912119913=
119917119914 119926119932 119915119916
119913119914 onde
119912119915
119912119913=
119912119916
119912119914=
119915119916
119913119914 logo
Fonte (PLANE 1995 p79 apud HARUNA 2000 p11)
O Teorema de Tales foi demonstrado de diversas formas e no livro didaacutetico
que o utilizaremos vem separado primeiramente pela propriedade de um feixe de
retas paralelas ldquose um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes
sobre uma transversal tambeacutem determina segmentos congruentes sobre qualquer
outra transversalrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 204) logo apoacutes uma
demonstraccedilatildeo do teorema de Tales utilizando ldquoUm feixe de paralelas determina em
duas transversais segmentos proporcionaisrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p
206) Logo depois o teorema de tales e a aplicaccedilatildeo nos triacircngulos o teorema da
bissetriz interna de um triacircngulo
No Sumaacuterio de Eudemiano Pitaacutegoras eacute considerado o sucessor da
geometria iniciada por Tales Pitaacutegoras nasceu por volta do ano 572 aC na ilha de
Egeacuteia de Samos Eacute possiacutevel que Pitaacutegoras tenha sido disciacutepulo de Tales pois
morava proacuteximo de Mileto cidade natal de Tales Depois parece que residiu por
algum tempo no Egito ao retorna a Samos encontrou o poder nas matildeos do tirano
Poliacutecrates e resolveu emigrar para o porto mariacutetimo de Crotona uma colocircnia grega
situada no sul da Itaacutelia Laacute ele fundou a famosa escola pitagoacuterica era uma
irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimocircnias laacute estudavam
matemaacutetica ciecircncias naturais e filosofia
A escola pitagoacuterica tinha como lema ldquoTudo eacute nuacutemerordquo isso levava a uma
exaltaccedilatildeo e ao estudo das propriedades dos nuacutemeros e da aritmeacutetica junto com a
geometria a muacutesica e a astronomia Esse grupo de mateacuterias tornou-se conhecido na
Idade Meacutedia como quadrivium ao qual se acrescentava o trivium formado de
gramaacutetica loacutegica e retoacuterica Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas
como bagagem cultural necessaacuteria de uma pessoa educada Em geometria
desenvolveram as propriedades das retas paralelas e usaram-nas para provar que a
soma dos acircngulos de um triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos
Desenvolveram uma teoria das proporccedilotildees bastante completas que usaram para
deduzir propriedades de figuras semelhantes A eles tambeacutem foi atribuiacutedo as regras
que relacionavam os comprimentos das cordas de instrumentos musicais agraves alturas
dos sons (mais graves ou mais agudos) Conheciam pelo menos quatro poliedros
A SOCIEDADE SECRETA DE
PITAacuteGORAS
regulares o tetraedro (piracircmide triangular) o cubo o octaedro (oito faces idecircnticas) e
o dodecaedro (doze faces) Descobriram a incomensurabilidade do lado e da
diagonal de um quadrado a raiz quadrada do dois essa descoberta foi um tremendo
choque para os pitagoacutericos pois toda a estrutura da matemaacutetica era baseada em
nuacutemeros racionais O teorema que leva seu nome bem provavelmente veio dos
babilocircnios como justificativa para chamaacute-lo teorema de Pitaacutegoras que foram os
pitagoacutericos os primeiros a dar uma demonstraccedilatildeo
Acreditava-se que o dodecaedro formado por doze pentaacutegonos regulares
correspondia ao universo O pentaacutegono e o pentagrama (estrela regular de cinco
pontas que se encaixa dentro dele) eram conhecidos dos babilocircnios que
descobriram as extraordinaacuterias propriedades dessas figuras
O pentagrama era considerado pelos babilocircnios como siacutembolo de sauacutede
fiacutesica e espiritual Suas propriedades eram relacionadas agrave Divina Proporccedilatildeo (mais
tarde conhecida como Razatildeo de Ouro) assumindo um estado miacutestico
Conforme Boyer ldquoA construccedilatildeo do pentagrama ou pentaacutegono estrelado Se
comeccedilarmos com um poliacutegono regular ABCDE e traccedilarmos as cinco diagonais
essas diagonais se cortam em pontos A‟B‟C‟D‟E‟ que formam outro pentaacutegono
regular Observando que o triacircngulo BCD por exemplo eacute semelhante ao triacircngulo
isoacutescele BCE e observando tambeacutem os muitos pares de triacircngulos congruentes no
diagrama natildeo eacute difiacutecil ver que os pontos das diagonais A‟B‟C‟D‟E‟ dividem as
diagonais de modo notaacutevel Em cada caso um ponto da diagonal divide uma
diagonal em dois segmentos desiguais tais que a razatildeo da diagonal toda para o
maior eacute igual agrave deste para o menorrdquo Essa subdivisatildeo das diagonais eacute a bem
conhecida ldquosecccedilatildeo aacuteureardquo de um segmento mas esse nome soacute foi usado uns dois
mil anos depois ndash mais ou menos pela eacutepoca em que Kepler escrevia liricamente A
geometria tem dois grandes tesouros um eacute o teorema de Pitaacutegoras o outro a
divisatildeo de um segmento em meacutedia e extrema razatildeo ldquoO primeiro pode ser
comparado a uma medida de ouro o segundo podemos chamar de joacuteia preciosardquo
A escola pitagoacuterica tinha um coacutedigo de conduta riacutegido acreditava na
transmigraccedilatildeo das almas e portanto que natildeo se devia matar ou comer um animal
porque ele poderia ser a moradia de um amigo morto Tambeacutem natildeo se podia comer
lentilhas ou alimentos que causassem gases Os pitaacutegoricos imaginavam que os
nuacutemeros iacutempares tinham atributos masculinos e os pares eram femininos O nuacutemero
um diziam eacute o gerador dos outros nuacutemeros e o nuacutemero da razatildeo
Existem mais de 370 provas do teorema de Pitaacutegorassegue duas
demonstraccedilatildeo encontradas no livro de Euclides a intenccedilatildeo aqui eacute mostra para o
aluno a histoacuteria desse importante teorema
No Livro I dos Elementos de Euclides proposiccedilatildeo 47 Euclides inclui uma
demonstraccedilatildeo do Teorema da Hipotenusa o conhecido como o Teorema de
Pitaacutegoras
Proposiccedilatildeo I-47 Em um triacircngulo retacircngulo o quadrado sobre o lado oposto
ao acircngulo reto eacute igual agrave soma dos quadrados sobre os lados que forma o acircngulo
reto
Vamos verificar como Euclides fez essa demonstraccedilatildeo A tese consiste em
mostrar que o retacircngulo BDLM eacute igual ao quadrado ABFG A Figura 2 corresponde a
Proposiccedilatildeo I-47 no Livro de Euclides e a Figura 3 a proposiccedilatildeo num desenho
atualizado
Vejam que os triacircngulos ABD e BCF satildeo iguais pois os dois triacircngulos tecircm
dois lados iguais com acircngulos iguais e estes satildeo a metade do retacircngulo BDLM Esta
igualdade entre triacircngulos jaacute havia sido previamente estabelecida na proposiccedilatildeo I-4
de seus Elementos Disponiacutevel em
lthttpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-pitagoras-
segundo-euclideshtmlgt
No Livro VI proposiccedilatildeo 31 Euclides daacute uma prova geral ao Teorema de
Pitaacutegoras ldquoNos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o acircngulo
reto eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo retordquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Figura 2 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHro32lDIAAAAAAAAMg8MamwN1889-
Iimage_thumb5B35Dpngimgmax=800gt
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
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dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
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STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
3 TALES DE MILETO SUA HISTOacuteRIA COM A MATEMAacuteTICA
Destacamos aqui um breve relato histoacuterico sobre Tales de Mileto (Figura 1) e
em sequecircncia sobre a Escola Pitagoacuterica Este material serviraacute de apoio ao professor
mas tambeacutem sugerimos que os alunos faccedilam uma pesquisa sobre o assunto
Figura 1 Tales Mileto
Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img1
00l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-hRMu3ygJPI
A origem da Geometria (do grego medir a terra) parece coincidir com as
necessidades do dia-a-dia Partilhar terras feacuterteis agraves margens dos rios na
construccedilatildeo na astronomia e astrologia era algumas atividades da eacutepoca A
matemaacutetica dos povos antigos como os Babilocircnicos e dos Egiacutepcios (3000 aC ndash 260
dC) era essencialmente empiacuterica ou indutiva e essas informaccedilotildees satildeo encontradas
nos Papiros de Moscou (1850 aC) de Rhind (1650 aC) ou Ahmes
Haacute tambeacutem no Museu de Berlim o mais antigo instrumento de astronomia ou
de agrimensura conhecido ndash uma combinaccedilatildeo de fio de prumo e colimador ndash
precedente do Egito aproximadamente do ano de 1850 aC O Museu de Berlim
tambeacutem tem o mais antigo reloacutegio de sol que se conhece Eacute egiacutepcio e data de cerca
de 1500 aC E a piracircmide de Giseh a cerca de 2900 aC essas obras revelam a
geometria praacutetica da eacutepoca
O Papiro de Rhind conteacutem 85 problemas ligados agrave Aritmeacutetica e agrave Geometria
com as respectivas soluccedilotildees Basicamente o papiro daacute-nos informaccedilotildees sobre
aritmeacutetica fraccedilotildees caacutelculo de aacutereas volumes progressotildees reparticcedilotildees
proporcionais regra de trecircs simples equaccedilotildees lineares e trigonometria baacutesica Um
problema dos Antigos Babilocircnicos diz ldquoUm cateto de um triacircngulo retacircngulo eacute 50
Uma paralela ao outro cateto e a distacircncia 20 dele corta o triacircngulo formando um
trapeacutezio retacircngulo de aacuterea 520 Determine os comprimentos das bases do trapeacuteziordquo
Outro problema dos Antigos Babilocircnios afirma que ldquoum trapeacutezio isoacutesceles de bases
14 e 50 e de lados 30 tem aacuterea 1248rdquo (HOWARD 2004 p 79)
Nesses dois problemas percebe-se que as noccedilotildees de aacuterea e
proporcionalidades devido agraves paralelas a um dos catetos talvez essas estrateacutegias
de soluccedilatildeo jaacute fossem conhecidas na eacutepoca por essas civilizaccedilotildees Embora natildeo haja
provas documentais de que os antigos egiacutepcios percebiam que um triacircngulo cujos
lados tecircm como medida 3 4 e 5 unidades eacute um triacircngulo retacircngulo Na Babilocircnia
aproximadamente entre 1900 e 1600 aC foi provavelmente escrito a tabula da
coleccedilatildeo GA Plimpton da Universidade de Coluacutembia conhecida como Plimpton 322
cujo conteuacutedo foi descrito por Neugebauer e Sachs em 1945 E demonstra que os
nuacutemeros correspondentes dessas colunas com quatro felizes exceccedilotildees constituem
a hipotenusa e um cateto de triacircngulos retacircngulos de lados inteiros satildeo os
chamados ternos pitagoacutericos
Informaccedilotildees extraiacutedas do Sumaacuterio Eudemiano foram incorporadas pelo
filoacutesofo neoplatocircnico Proclo (410-485) nas paacuteginas iniciais de seu Commentary on
the First Book of Euclid‟s Elements (Comentaacuterio sobre o primeiro livro de Os
Elementos de Euclides) Conforme o Sumaacuterio Eudemiano a geometria grega parece
ter comeccedilado com o trabalho de Tales de Mileto na primeira metade do seacuteculo VI
aC Esse gecircnio versaacutetil considerado um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade foi um
digno fundador da geometria demonstrativa Eacute ele o primeiro indiviacuteduo conhecido a
quem estaacute associada agrave utilizaccedilatildeo de meacutetodos dedutivos em geometria
Segundo parece Tales comeccedilou sua vida como mercador tornando-se rico o
bastante para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e algumas viagens Diz-se
que ele viveu por algum tempo no Egito e que despertou admiraccedilatildeo ao calcular a
altura de uma piracircmide por meio da sombra Tales de Mileto foi homem de negoacutecios
filoacutesofo matemaacutetico e astrocircnomo A ele se associam descobertas matemaacuteticas Em
geometria creditam-se a ele os seguintes resultados elementares
1 Qualquer diacircmetro efetua a bissecccedilatildeo do ciacuterculo em que eacute traccedilado
2 Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
3 Acircngulos opostos pelo veacutertice satildeo iguais
4 Se dois triacircngulos tecircm dois acircngulos e um lado em cada um deles
respectivamente iguais entatildeo esses triacircngulos satildeo iguais
5 Um acircngulo inscrito num semiciacuterculo eacute reto
Um dos mais antigos documentos que conteacutem o Teorema de Tales o ldquoCours
de Geacuteomeacutetrie eacuteleacutementairerdquo por E Combette professor do Lyeeacutee Saunt-Louis Alcan
editor 1882 Theacuteoregraveme de Thales ldquoEstuda um triacircngulo cortado por uma paralela a
um de seus ladosrdquo (Henry Plane p 79) Representado no Quadro 1
Quadro 1 Doc 14 ndash Theorema de Thales
Doc 14 ndash Theorema de Thales
221- Toda paralela a um dos lados de um triacircngulo determina um segundo
triacircngulo semelhante ao primeiro
Seja ABC um triacircngulo qualquer DE uma paralela ao lado BC Deve-se
provar que os dois triacircngulos ADE e ABC tecircm os acircngulos respectivamente iguais e
os lados homoacutelogos proporcionais 1) o acircngulo A eacute comum os acircngulos D e B satildeo
iguais e correspondentes como E e C 2) Tomemos DF paralela a AC A figura
DEFC eacute um paralelogramo e assim DE = FC (n 100)
Devido as paralelas DE e BC Tem-se (n 213)
119912119915
119912119913=119912119916
119912119914
As paralelas DF e AC fornecem igualmente
119912119915
119912119913=
119917119914 119926119932 119915119916
119913119914 onde
119912119915
119912119913=
119912119916
119912119914=
119915119916
119913119914 logo
Fonte (PLANE 1995 p79 apud HARUNA 2000 p11)
O Teorema de Tales foi demonstrado de diversas formas e no livro didaacutetico
que o utilizaremos vem separado primeiramente pela propriedade de um feixe de
retas paralelas ldquose um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes
sobre uma transversal tambeacutem determina segmentos congruentes sobre qualquer
outra transversalrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 204) logo apoacutes uma
demonstraccedilatildeo do teorema de Tales utilizando ldquoUm feixe de paralelas determina em
duas transversais segmentos proporcionaisrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p
206) Logo depois o teorema de tales e a aplicaccedilatildeo nos triacircngulos o teorema da
bissetriz interna de um triacircngulo
No Sumaacuterio de Eudemiano Pitaacutegoras eacute considerado o sucessor da
geometria iniciada por Tales Pitaacutegoras nasceu por volta do ano 572 aC na ilha de
Egeacuteia de Samos Eacute possiacutevel que Pitaacutegoras tenha sido disciacutepulo de Tales pois
morava proacuteximo de Mileto cidade natal de Tales Depois parece que residiu por
algum tempo no Egito ao retorna a Samos encontrou o poder nas matildeos do tirano
Poliacutecrates e resolveu emigrar para o porto mariacutetimo de Crotona uma colocircnia grega
situada no sul da Itaacutelia Laacute ele fundou a famosa escola pitagoacuterica era uma
irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimocircnias laacute estudavam
matemaacutetica ciecircncias naturais e filosofia
A escola pitagoacuterica tinha como lema ldquoTudo eacute nuacutemerordquo isso levava a uma
exaltaccedilatildeo e ao estudo das propriedades dos nuacutemeros e da aritmeacutetica junto com a
geometria a muacutesica e a astronomia Esse grupo de mateacuterias tornou-se conhecido na
Idade Meacutedia como quadrivium ao qual se acrescentava o trivium formado de
gramaacutetica loacutegica e retoacuterica Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas
como bagagem cultural necessaacuteria de uma pessoa educada Em geometria
desenvolveram as propriedades das retas paralelas e usaram-nas para provar que a
soma dos acircngulos de um triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos
Desenvolveram uma teoria das proporccedilotildees bastante completas que usaram para
deduzir propriedades de figuras semelhantes A eles tambeacutem foi atribuiacutedo as regras
que relacionavam os comprimentos das cordas de instrumentos musicais agraves alturas
dos sons (mais graves ou mais agudos) Conheciam pelo menos quatro poliedros
A SOCIEDADE SECRETA DE
PITAacuteGORAS
regulares o tetraedro (piracircmide triangular) o cubo o octaedro (oito faces idecircnticas) e
o dodecaedro (doze faces) Descobriram a incomensurabilidade do lado e da
diagonal de um quadrado a raiz quadrada do dois essa descoberta foi um tremendo
choque para os pitagoacutericos pois toda a estrutura da matemaacutetica era baseada em
nuacutemeros racionais O teorema que leva seu nome bem provavelmente veio dos
babilocircnios como justificativa para chamaacute-lo teorema de Pitaacutegoras que foram os
pitagoacutericos os primeiros a dar uma demonstraccedilatildeo
Acreditava-se que o dodecaedro formado por doze pentaacutegonos regulares
correspondia ao universo O pentaacutegono e o pentagrama (estrela regular de cinco
pontas que se encaixa dentro dele) eram conhecidos dos babilocircnios que
descobriram as extraordinaacuterias propriedades dessas figuras
O pentagrama era considerado pelos babilocircnios como siacutembolo de sauacutede
fiacutesica e espiritual Suas propriedades eram relacionadas agrave Divina Proporccedilatildeo (mais
tarde conhecida como Razatildeo de Ouro) assumindo um estado miacutestico
Conforme Boyer ldquoA construccedilatildeo do pentagrama ou pentaacutegono estrelado Se
comeccedilarmos com um poliacutegono regular ABCDE e traccedilarmos as cinco diagonais
essas diagonais se cortam em pontos A‟B‟C‟D‟E‟ que formam outro pentaacutegono
regular Observando que o triacircngulo BCD por exemplo eacute semelhante ao triacircngulo
isoacutescele BCE e observando tambeacutem os muitos pares de triacircngulos congruentes no
diagrama natildeo eacute difiacutecil ver que os pontos das diagonais A‟B‟C‟D‟E‟ dividem as
diagonais de modo notaacutevel Em cada caso um ponto da diagonal divide uma
diagonal em dois segmentos desiguais tais que a razatildeo da diagonal toda para o
maior eacute igual agrave deste para o menorrdquo Essa subdivisatildeo das diagonais eacute a bem
conhecida ldquosecccedilatildeo aacuteureardquo de um segmento mas esse nome soacute foi usado uns dois
mil anos depois ndash mais ou menos pela eacutepoca em que Kepler escrevia liricamente A
geometria tem dois grandes tesouros um eacute o teorema de Pitaacutegoras o outro a
divisatildeo de um segmento em meacutedia e extrema razatildeo ldquoO primeiro pode ser
comparado a uma medida de ouro o segundo podemos chamar de joacuteia preciosardquo
A escola pitagoacuterica tinha um coacutedigo de conduta riacutegido acreditava na
transmigraccedilatildeo das almas e portanto que natildeo se devia matar ou comer um animal
porque ele poderia ser a moradia de um amigo morto Tambeacutem natildeo se podia comer
lentilhas ou alimentos que causassem gases Os pitaacutegoricos imaginavam que os
nuacutemeros iacutempares tinham atributos masculinos e os pares eram femininos O nuacutemero
um diziam eacute o gerador dos outros nuacutemeros e o nuacutemero da razatildeo
Existem mais de 370 provas do teorema de Pitaacutegorassegue duas
demonstraccedilatildeo encontradas no livro de Euclides a intenccedilatildeo aqui eacute mostra para o
aluno a histoacuteria desse importante teorema
No Livro I dos Elementos de Euclides proposiccedilatildeo 47 Euclides inclui uma
demonstraccedilatildeo do Teorema da Hipotenusa o conhecido como o Teorema de
Pitaacutegoras
Proposiccedilatildeo I-47 Em um triacircngulo retacircngulo o quadrado sobre o lado oposto
ao acircngulo reto eacute igual agrave soma dos quadrados sobre os lados que forma o acircngulo
reto
Vamos verificar como Euclides fez essa demonstraccedilatildeo A tese consiste em
mostrar que o retacircngulo BDLM eacute igual ao quadrado ABFG A Figura 2 corresponde a
Proposiccedilatildeo I-47 no Livro de Euclides e a Figura 3 a proposiccedilatildeo num desenho
atualizado
Vejam que os triacircngulos ABD e BCF satildeo iguais pois os dois triacircngulos tecircm
dois lados iguais com acircngulos iguais e estes satildeo a metade do retacircngulo BDLM Esta
igualdade entre triacircngulos jaacute havia sido previamente estabelecida na proposiccedilatildeo I-4
de seus Elementos Disponiacutevel em
lthttpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-pitagoras-
segundo-euclideshtmlgt
No Livro VI proposiccedilatildeo 31 Euclides daacute uma prova geral ao Teorema de
Pitaacutegoras ldquoNos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o acircngulo
reto eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo retordquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Figura 2 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHro32lDIAAAAAAAAMg8MamwN1889-
Iimage_thumb5B35Dpngimgmax=800gt
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
proporcionais regra de trecircs simples equaccedilotildees lineares e trigonometria baacutesica Um
problema dos Antigos Babilocircnicos diz ldquoUm cateto de um triacircngulo retacircngulo eacute 50
Uma paralela ao outro cateto e a distacircncia 20 dele corta o triacircngulo formando um
trapeacutezio retacircngulo de aacuterea 520 Determine os comprimentos das bases do trapeacuteziordquo
Outro problema dos Antigos Babilocircnios afirma que ldquoum trapeacutezio isoacutesceles de bases
14 e 50 e de lados 30 tem aacuterea 1248rdquo (HOWARD 2004 p 79)
Nesses dois problemas percebe-se que as noccedilotildees de aacuterea e
proporcionalidades devido agraves paralelas a um dos catetos talvez essas estrateacutegias
de soluccedilatildeo jaacute fossem conhecidas na eacutepoca por essas civilizaccedilotildees Embora natildeo haja
provas documentais de que os antigos egiacutepcios percebiam que um triacircngulo cujos
lados tecircm como medida 3 4 e 5 unidades eacute um triacircngulo retacircngulo Na Babilocircnia
aproximadamente entre 1900 e 1600 aC foi provavelmente escrito a tabula da
coleccedilatildeo GA Plimpton da Universidade de Coluacutembia conhecida como Plimpton 322
cujo conteuacutedo foi descrito por Neugebauer e Sachs em 1945 E demonstra que os
nuacutemeros correspondentes dessas colunas com quatro felizes exceccedilotildees constituem
a hipotenusa e um cateto de triacircngulos retacircngulos de lados inteiros satildeo os
chamados ternos pitagoacutericos
Informaccedilotildees extraiacutedas do Sumaacuterio Eudemiano foram incorporadas pelo
filoacutesofo neoplatocircnico Proclo (410-485) nas paacuteginas iniciais de seu Commentary on
the First Book of Euclid‟s Elements (Comentaacuterio sobre o primeiro livro de Os
Elementos de Euclides) Conforme o Sumaacuterio Eudemiano a geometria grega parece
ter comeccedilado com o trabalho de Tales de Mileto na primeira metade do seacuteculo VI
aC Esse gecircnio versaacutetil considerado um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade foi um
digno fundador da geometria demonstrativa Eacute ele o primeiro indiviacuteduo conhecido a
quem estaacute associada agrave utilizaccedilatildeo de meacutetodos dedutivos em geometria
Segundo parece Tales comeccedilou sua vida como mercador tornando-se rico o
bastante para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e algumas viagens Diz-se
que ele viveu por algum tempo no Egito e que despertou admiraccedilatildeo ao calcular a
altura de uma piracircmide por meio da sombra Tales de Mileto foi homem de negoacutecios
filoacutesofo matemaacutetico e astrocircnomo A ele se associam descobertas matemaacuteticas Em
geometria creditam-se a ele os seguintes resultados elementares
1 Qualquer diacircmetro efetua a bissecccedilatildeo do ciacuterculo em que eacute traccedilado
2 Os acircngulos da base de um triacircngulo isoacutesceles satildeo iguais
3 Acircngulos opostos pelo veacutertice satildeo iguais
4 Se dois triacircngulos tecircm dois acircngulos e um lado em cada um deles
respectivamente iguais entatildeo esses triacircngulos satildeo iguais
5 Um acircngulo inscrito num semiciacuterculo eacute reto
Um dos mais antigos documentos que conteacutem o Teorema de Tales o ldquoCours
de Geacuteomeacutetrie eacuteleacutementairerdquo por E Combette professor do Lyeeacutee Saunt-Louis Alcan
editor 1882 Theacuteoregraveme de Thales ldquoEstuda um triacircngulo cortado por uma paralela a
um de seus ladosrdquo (Henry Plane p 79) Representado no Quadro 1
Quadro 1 Doc 14 ndash Theorema de Thales
Doc 14 ndash Theorema de Thales
221- Toda paralela a um dos lados de um triacircngulo determina um segundo
triacircngulo semelhante ao primeiro
Seja ABC um triacircngulo qualquer DE uma paralela ao lado BC Deve-se
provar que os dois triacircngulos ADE e ABC tecircm os acircngulos respectivamente iguais e
os lados homoacutelogos proporcionais 1) o acircngulo A eacute comum os acircngulos D e B satildeo
iguais e correspondentes como E e C 2) Tomemos DF paralela a AC A figura
DEFC eacute um paralelogramo e assim DE = FC (n 100)
Devido as paralelas DE e BC Tem-se (n 213)
119912119915
119912119913=119912119916
119912119914
As paralelas DF e AC fornecem igualmente
119912119915
119912119913=
119917119914 119926119932 119915119916
119913119914 onde
119912119915
119912119913=
119912119916
119912119914=
119915119916
119913119914 logo
Fonte (PLANE 1995 p79 apud HARUNA 2000 p11)
O Teorema de Tales foi demonstrado de diversas formas e no livro didaacutetico
que o utilizaremos vem separado primeiramente pela propriedade de um feixe de
retas paralelas ldquose um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes
sobre uma transversal tambeacutem determina segmentos congruentes sobre qualquer
outra transversalrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 204) logo apoacutes uma
demonstraccedilatildeo do teorema de Tales utilizando ldquoUm feixe de paralelas determina em
duas transversais segmentos proporcionaisrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p
206) Logo depois o teorema de tales e a aplicaccedilatildeo nos triacircngulos o teorema da
bissetriz interna de um triacircngulo
No Sumaacuterio de Eudemiano Pitaacutegoras eacute considerado o sucessor da
geometria iniciada por Tales Pitaacutegoras nasceu por volta do ano 572 aC na ilha de
Egeacuteia de Samos Eacute possiacutevel que Pitaacutegoras tenha sido disciacutepulo de Tales pois
morava proacuteximo de Mileto cidade natal de Tales Depois parece que residiu por
algum tempo no Egito ao retorna a Samos encontrou o poder nas matildeos do tirano
Poliacutecrates e resolveu emigrar para o porto mariacutetimo de Crotona uma colocircnia grega
situada no sul da Itaacutelia Laacute ele fundou a famosa escola pitagoacuterica era uma
irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimocircnias laacute estudavam
matemaacutetica ciecircncias naturais e filosofia
A escola pitagoacuterica tinha como lema ldquoTudo eacute nuacutemerordquo isso levava a uma
exaltaccedilatildeo e ao estudo das propriedades dos nuacutemeros e da aritmeacutetica junto com a
geometria a muacutesica e a astronomia Esse grupo de mateacuterias tornou-se conhecido na
Idade Meacutedia como quadrivium ao qual se acrescentava o trivium formado de
gramaacutetica loacutegica e retoacuterica Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas
como bagagem cultural necessaacuteria de uma pessoa educada Em geometria
desenvolveram as propriedades das retas paralelas e usaram-nas para provar que a
soma dos acircngulos de um triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos
Desenvolveram uma teoria das proporccedilotildees bastante completas que usaram para
deduzir propriedades de figuras semelhantes A eles tambeacutem foi atribuiacutedo as regras
que relacionavam os comprimentos das cordas de instrumentos musicais agraves alturas
dos sons (mais graves ou mais agudos) Conheciam pelo menos quatro poliedros
A SOCIEDADE SECRETA DE
PITAacuteGORAS
regulares o tetraedro (piracircmide triangular) o cubo o octaedro (oito faces idecircnticas) e
o dodecaedro (doze faces) Descobriram a incomensurabilidade do lado e da
diagonal de um quadrado a raiz quadrada do dois essa descoberta foi um tremendo
choque para os pitagoacutericos pois toda a estrutura da matemaacutetica era baseada em
nuacutemeros racionais O teorema que leva seu nome bem provavelmente veio dos
babilocircnios como justificativa para chamaacute-lo teorema de Pitaacutegoras que foram os
pitagoacutericos os primeiros a dar uma demonstraccedilatildeo
Acreditava-se que o dodecaedro formado por doze pentaacutegonos regulares
correspondia ao universo O pentaacutegono e o pentagrama (estrela regular de cinco
pontas que se encaixa dentro dele) eram conhecidos dos babilocircnios que
descobriram as extraordinaacuterias propriedades dessas figuras
O pentagrama era considerado pelos babilocircnios como siacutembolo de sauacutede
fiacutesica e espiritual Suas propriedades eram relacionadas agrave Divina Proporccedilatildeo (mais
tarde conhecida como Razatildeo de Ouro) assumindo um estado miacutestico
Conforme Boyer ldquoA construccedilatildeo do pentagrama ou pentaacutegono estrelado Se
comeccedilarmos com um poliacutegono regular ABCDE e traccedilarmos as cinco diagonais
essas diagonais se cortam em pontos A‟B‟C‟D‟E‟ que formam outro pentaacutegono
regular Observando que o triacircngulo BCD por exemplo eacute semelhante ao triacircngulo
isoacutescele BCE e observando tambeacutem os muitos pares de triacircngulos congruentes no
diagrama natildeo eacute difiacutecil ver que os pontos das diagonais A‟B‟C‟D‟E‟ dividem as
diagonais de modo notaacutevel Em cada caso um ponto da diagonal divide uma
diagonal em dois segmentos desiguais tais que a razatildeo da diagonal toda para o
maior eacute igual agrave deste para o menorrdquo Essa subdivisatildeo das diagonais eacute a bem
conhecida ldquosecccedilatildeo aacuteureardquo de um segmento mas esse nome soacute foi usado uns dois
mil anos depois ndash mais ou menos pela eacutepoca em que Kepler escrevia liricamente A
geometria tem dois grandes tesouros um eacute o teorema de Pitaacutegoras o outro a
divisatildeo de um segmento em meacutedia e extrema razatildeo ldquoO primeiro pode ser
comparado a uma medida de ouro o segundo podemos chamar de joacuteia preciosardquo
A escola pitagoacuterica tinha um coacutedigo de conduta riacutegido acreditava na
transmigraccedilatildeo das almas e portanto que natildeo se devia matar ou comer um animal
porque ele poderia ser a moradia de um amigo morto Tambeacutem natildeo se podia comer
lentilhas ou alimentos que causassem gases Os pitaacutegoricos imaginavam que os
nuacutemeros iacutempares tinham atributos masculinos e os pares eram femininos O nuacutemero
um diziam eacute o gerador dos outros nuacutemeros e o nuacutemero da razatildeo
Existem mais de 370 provas do teorema de Pitaacutegorassegue duas
demonstraccedilatildeo encontradas no livro de Euclides a intenccedilatildeo aqui eacute mostra para o
aluno a histoacuteria desse importante teorema
No Livro I dos Elementos de Euclides proposiccedilatildeo 47 Euclides inclui uma
demonstraccedilatildeo do Teorema da Hipotenusa o conhecido como o Teorema de
Pitaacutegoras
Proposiccedilatildeo I-47 Em um triacircngulo retacircngulo o quadrado sobre o lado oposto
ao acircngulo reto eacute igual agrave soma dos quadrados sobre os lados que forma o acircngulo
reto
Vamos verificar como Euclides fez essa demonstraccedilatildeo A tese consiste em
mostrar que o retacircngulo BDLM eacute igual ao quadrado ABFG A Figura 2 corresponde a
Proposiccedilatildeo I-47 no Livro de Euclides e a Figura 3 a proposiccedilatildeo num desenho
atualizado
Vejam que os triacircngulos ABD e BCF satildeo iguais pois os dois triacircngulos tecircm
dois lados iguais com acircngulos iguais e estes satildeo a metade do retacircngulo BDLM Esta
igualdade entre triacircngulos jaacute havia sido previamente estabelecida na proposiccedilatildeo I-4
de seus Elementos Disponiacutevel em
lthttpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-pitagoras-
segundo-euclideshtmlgt
No Livro VI proposiccedilatildeo 31 Euclides daacute uma prova geral ao Teorema de
Pitaacutegoras ldquoNos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o acircngulo
reto eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo retordquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Figura 2 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHro32lDIAAAAAAAAMg8MamwN1889-
Iimage_thumb5B35Dpngimgmax=800gt
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
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Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
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O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
4 Se dois triacircngulos tecircm dois acircngulos e um lado em cada um deles
respectivamente iguais entatildeo esses triacircngulos satildeo iguais
5 Um acircngulo inscrito num semiciacuterculo eacute reto
Um dos mais antigos documentos que conteacutem o Teorema de Tales o ldquoCours
de Geacuteomeacutetrie eacuteleacutementairerdquo por E Combette professor do Lyeeacutee Saunt-Louis Alcan
editor 1882 Theacuteoregraveme de Thales ldquoEstuda um triacircngulo cortado por uma paralela a
um de seus ladosrdquo (Henry Plane p 79) Representado no Quadro 1
Quadro 1 Doc 14 ndash Theorema de Thales
Doc 14 ndash Theorema de Thales
221- Toda paralela a um dos lados de um triacircngulo determina um segundo
triacircngulo semelhante ao primeiro
Seja ABC um triacircngulo qualquer DE uma paralela ao lado BC Deve-se
provar que os dois triacircngulos ADE e ABC tecircm os acircngulos respectivamente iguais e
os lados homoacutelogos proporcionais 1) o acircngulo A eacute comum os acircngulos D e B satildeo
iguais e correspondentes como E e C 2) Tomemos DF paralela a AC A figura
DEFC eacute um paralelogramo e assim DE = FC (n 100)
Devido as paralelas DE e BC Tem-se (n 213)
119912119915
119912119913=119912119916
119912119914
As paralelas DF e AC fornecem igualmente
119912119915
119912119913=
119917119914 119926119932 119915119916
119913119914 onde
119912119915
119912119913=
119912119916
119912119914=
119915119916
119913119914 logo
Fonte (PLANE 1995 p79 apud HARUNA 2000 p11)
O Teorema de Tales foi demonstrado de diversas formas e no livro didaacutetico
que o utilizaremos vem separado primeiramente pela propriedade de um feixe de
retas paralelas ldquose um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes
sobre uma transversal tambeacutem determina segmentos congruentes sobre qualquer
outra transversalrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 204) logo apoacutes uma
demonstraccedilatildeo do teorema de Tales utilizando ldquoUm feixe de paralelas determina em
duas transversais segmentos proporcionaisrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p
206) Logo depois o teorema de tales e a aplicaccedilatildeo nos triacircngulos o teorema da
bissetriz interna de um triacircngulo
No Sumaacuterio de Eudemiano Pitaacutegoras eacute considerado o sucessor da
geometria iniciada por Tales Pitaacutegoras nasceu por volta do ano 572 aC na ilha de
Egeacuteia de Samos Eacute possiacutevel que Pitaacutegoras tenha sido disciacutepulo de Tales pois
morava proacuteximo de Mileto cidade natal de Tales Depois parece que residiu por
algum tempo no Egito ao retorna a Samos encontrou o poder nas matildeos do tirano
Poliacutecrates e resolveu emigrar para o porto mariacutetimo de Crotona uma colocircnia grega
situada no sul da Itaacutelia Laacute ele fundou a famosa escola pitagoacuterica era uma
irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimocircnias laacute estudavam
matemaacutetica ciecircncias naturais e filosofia
A escola pitagoacuterica tinha como lema ldquoTudo eacute nuacutemerordquo isso levava a uma
exaltaccedilatildeo e ao estudo das propriedades dos nuacutemeros e da aritmeacutetica junto com a
geometria a muacutesica e a astronomia Esse grupo de mateacuterias tornou-se conhecido na
Idade Meacutedia como quadrivium ao qual se acrescentava o trivium formado de
gramaacutetica loacutegica e retoacuterica Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas
como bagagem cultural necessaacuteria de uma pessoa educada Em geometria
desenvolveram as propriedades das retas paralelas e usaram-nas para provar que a
soma dos acircngulos de um triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos
Desenvolveram uma teoria das proporccedilotildees bastante completas que usaram para
deduzir propriedades de figuras semelhantes A eles tambeacutem foi atribuiacutedo as regras
que relacionavam os comprimentos das cordas de instrumentos musicais agraves alturas
dos sons (mais graves ou mais agudos) Conheciam pelo menos quatro poliedros
A SOCIEDADE SECRETA DE
PITAacuteGORAS
regulares o tetraedro (piracircmide triangular) o cubo o octaedro (oito faces idecircnticas) e
o dodecaedro (doze faces) Descobriram a incomensurabilidade do lado e da
diagonal de um quadrado a raiz quadrada do dois essa descoberta foi um tremendo
choque para os pitagoacutericos pois toda a estrutura da matemaacutetica era baseada em
nuacutemeros racionais O teorema que leva seu nome bem provavelmente veio dos
babilocircnios como justificativa para chamaacute-lo teorema de Pitaacutegoras que foram os
pitagoacutericos os primeiros a dar uma demonstraccedilatildeo
Acreditava-se que o dodecaedro formado por doze pentaacutegonos regulares
correspondia ao universo O pentaacutegono e o pentagrama (estrela regular de cinco
pontas que se encaixa dentro dele) eram conhecidos dos babilocircnios que
descobriram as extraordinaacuterias propriedades dessas figuras
O pentagrama era considerado pelos babilocircnios como siacutembolo de sauacutede
fiacutesica e espiritual Suas propriedades eram relacionadas agrave Divina Proporccedilatildeo (mais
tarde conhecida como Razatildeo de Ouro) assumindo um estado miacutestico
Conforme Boyer ldquoA construccedilatildeo do pentagrama ou pentaacutegono estrelado Se
comeccedilarmos com um poliacutegono regular ABCDE e traccedilarmos as cinco diagonais
essas diagonais se cortam em pontos A‟B‟C‟D‟E‟ que formam outro pentaacutegono
regular Observando que o triacircngulo BCD por exemplo eacute semelhante ao triacircngulo
isoacutescele BCE e observando tambeacutem os muitos pares de triacircngulos congruentes no
diagrama natildeo eacute difiacutecil ver que os pontos das diagonais A‟B‟C‟D‟E‟ dividem as
diagonais de modo notaacutevel Em cada caso um ponto da diagonal divide uma
diagonal em dois segmentos desiguais tais que a razatildeo da diagonal toda para o
maior eacute igual agrave deste para o menorrdquo Essa subdivisatildeo das diagonais eacute a bem
conhecida ldquosecccedilatildeo aacuteureardquo de um segmento mas esse nome soacute foi usado uns dois
mil anos depois ndash mais ou menos pela eacutepoca em que Kepler escrevia liricamente A
geometria tem dois grandes tesouros um eacute o teorema de Pitaacutegoras o outro a
divisatildeo de um segmento em meacutedia e extrema razatildeo ldquoO primeiro pode ser
comparado a uma medida de ouro o segundo podemos chamar de joacuteia preciosardquo
A escola pitagoacuterica tinha um coacutedigo de conduta riacutegido acreditava na
transmigraccedilatildeo das almas e portanto que natildeo se devia matar ou comer um animal
porque ele poderia ser a moradia de um amigo morto Tambeacutem natildeo se podia comer
lentilhas ou alimentos que causassem gases Os pitaacutegoricos imaginavam que os
nuacutemeros iacutempares tinham atributos masculinos e os pares eram femininos O nuacutemero
um diziam eacute o gerador dos outros nuacutemeros e o nuacutemero da razatildeo
Existem mais de 370 provas do teorema de Pitaacutegorassegue duas
demonstraccedilatildeo encontradas no livro de Euclides a intenccedilatildeo aqui eacute mostra para o
aluno a histoacuteria desse importante teorema
No Livro I dos Elementos de Euclides proposiccedilatildeo 47 Euclides inclui uma
demonstraccedilatildeo do Teorema da Hipotenusa o conhecido como o Teorema de
Pitaacutegoras
Proposiccedilatildeo I-47 Em um triacircngulo retacircngulo o quadrado sobre o lado oposto
ao acircngulo reto eacute igual agrave soma dos quadrados sobre os lados que forma o acircngulo
reto
Vamos verificar como Euclides fez essa demonstraccedilatildeo A tese consiste em
mostrar que o retacircngulo BDLM eacute igual ao quadrado ABFG A Figura 2 corresponde a
Proposiccedilatildeo I-47 no Livro de Euclides e a Figura 3 a proposiccedilatildeo num desenho
atualizado
Vejam que os triacircngulos ABD e BCF satildeo iguais pois os dois triacircngulos tecircm
dois lados iguais com acircngulos iguais e estes satildeo a metade do retacircngulo BDLM Esta
igualdade entre triacircngulos jaacute havia sido previamente estabelecida na proposiccedilatildeo I-4
de seus Elementos Disponiacutevel em
lthttpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-pitagoras-
segundo-euclideshtmlgt
No Livro VI proposiccedilatildeo 31 Euclides daacute uma prova geral ao Teorema de
Pitaacutegoras ldquoNos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o acircngulo
reto eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo retordquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Figura 2 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHro32lDIAAAAAAAAMg8MamwN1889-
Iimage_thumb5B35Dpngimgmax=800gt
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
O Teorema de Tales foi demonstrado de diversas formas e no livro didaacutetico
que o utilizaremos vem separado primeiramente pela propriedade de um feixe de
retas paralelas ldquose um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes
sobre uma transversal tambeacutem determina segmentos congruentes sobre qualquer
outra transversalrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 204) logo apoacutes uma
demonstraccedilatildeo do teorema de Tales utilizando ldquoUm feixe de paralelas determina em
duas transversais segmentos proporcionaisrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p
206) Logo depois o teorema de tales e a aplicaccedilatildeo nos triacircngulos o teorema da
bissetriz interna de um triacircngulo
No Sumaacuterio de Eudemiano Pitaacutegoras eacute considerado o sucessor da
geometria iniciada por Tales Pitaacutegoras nasceu por volta do ano 572 aC na ilha de
Egeacuteia de Samos Eacute possiacutevel que Pitaacutegoras tenha sido disciacutepulo de Tales pois
morava proacuteximo de Mileto cidade natal de Tales Depois parece que residiu por
algum tempo no Egito ao retorna a Samos encontrou o poder nas matildeos do tirano
Poliacutecrates e resolveu emigrar para o porto mariacutetimo de Crotona uma colocircnia grega
situada no sul da Itaacutelia Laacute ele fundou a famosa escola pitagoacuterica era uma
irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimocircnias laacute estudavam
matemaacutetica ciecircncias naturais e filosofia
A escola pitagoacuterica tinha como lema ldquoTudo eacute nuacutemerordquo isso levava a uma
exaltaccedilatildeo e ao estudo das propriedades dos nuacutemeros e da aritmeacutetica junto com a
geometria a muacutesica e a astronomia Esse grupo de mateacuterias tornou-se conhecido na
Idade Meacutedia como quadrivium ao qual se acrescentava o trivium formado de
gramaacutetica loacutegica e retoacuterica Essas sete artes liberais vieram a ser consideradas
como bagagem cultural necessaacuteria de uma pessoa educada Em geometria
desenvolveram as propriedades das retas paralelas e usaram-nas para provar que a
soma dos acircngulos de um triacircngulo qualquer eacute igual a dois acircngulos retos
Desenvolveram uma teoria das proporccedilotildees bastante completas que usaram para
deduzir propriedades de figuras semelhantes A eles tambeacutem foi atribuiacutedo as regras
que relacionavam os comprimentos das cordas de instrumentos musicais agraves alturas
dos sons (mais graves ou mais agudos) Conheciam pelo menos quatro poliedros
A SOCIEDADE SECRETA DE
PITAacuteGORAS
regulares o tetraedro (piracircmide triangular) o cubo o octaedro (oito faces idecircnticas) e
o dodecaedro (doze faces) Descobriram a incomensurabilidade do lado e da
diagonal de um quadrado a raiz quadrada do dois essa descoberta foi um tremendo
choque para os pitagoacutericos pois toda a estrutura da matemaacutetica era baseada em
nuacutemeros racionais O teorema que leva seu nome bem provavelmente veio dos
babilocircnios como justificativa para chamaacute-lo teorema de Pitaacutegoras que foram os
pitagoacutericos os primeiros a dar uma demonstraccedilatildeo
Acreditava-se que o dodecaedro formado por doze pentaacutegonos regulares
correspondia ao universo O pentaacutegono e o pentagrama (estrela regular de cinco
pontas que se encaixa dentro dele) eram conhecidos dos babilocircnios que
descobriram as extraordinaacuterias propriedades dessas figuras
O pentagrama era considerado pelos babilocircnios como siacutembolo de sauacutede
fiacutesica e espiritual Suas propriedades eram relacionadas agrave Divina Proporccedilatildeo (mais
tarde conhecida como Razatildeo de Ouro) assumindo um estado miacutestico
Conforme Boyer ldquoA construccedilatildeo do pentagrama ou pentaacutegono estrelado Se
comeccedilarmos com um poliacutegono regular ABCDE e traccedilarmos as cinco diagonais
essas diagonais se cortam em pontos A‟B‟C‟D‟E‟ que formam outro pentaacutegono
regular Observando que o triacircngulo BCD por exemplo eacute semelhante ao triacircngulo
isoacutescele BCE e observando tambeacutem os muitos pares de triacircngulos congruentes no
diagrama natildeo eacute difiacutecil ver que os pontos das diagonais A‟B‟C‟D‟E‟ dividem as
diagonais de modo notaacutevel Em cada caso um ponto da diagonal divide uma
diagonal em dois segmentos desiguais tais que a razatildeo da diagonal toda para o
maior eacute igual agrave deste para o menorrdquo Essa subdivisatildeo das diagonais eacute a bem
conhecida ldquosecccedilatildeo aacuteureardquo de um segmento mas esse nome soacute foi usado uns dois
mil anos depois ndash mais ou menos pela eacutepoca em que Kepler escrevia liricamente A
geometria tem dois grandes tesouros um eacute o teorema de Pitaacutegoras o outro a
divisatildeo de um segmento em meacutedia e extrema razatildeo ldquoO primeiro pode ser
comparado a uma medida de ouro o segundo podemos chamar de joacuteia preciosardquo
A escola pitagoacuterica tinha um coacutedigo de conduta riacutegido acreditava na
transmigraccedilatildeo das almas e portanto que natildeo se devia matar ou comer um animal
porque ele poderia ser a moradia de um amigo morto Tambeacutem natildeo se podia comer
lentilhas ou alimentos que causassem gases Os pitaacutegoricos imaginavam que os
nuacutemeros iacutempares tinham atributos masculinos e os pares eram femininos O nuacutemero
um diziam eacute o gerador dos outros nuacutemeros e o nuacutemero da razatildeo
Existem mais de 370 provas do teorema de Pitaacutegorassegue duas
demonstraccedilatildeo encontradas no livro de Euclides a intenccedilatildeo aqui eacute mostra para o
aluno a histoacuteria desse importante teorema
No Livro I dos Elementos de Euclides proposiccedilatildeo 47 Euclides inclui uma
demonstraccedilatildeo do Teorema da Hipotenusa o conhecido como o Teorema de
Pitaacutegoras
Proposiccedilatildeo I-47 Em um triacircngulo retacircngulo o quadrado sobre o lado oposto
ao acircngulo reto eacute igual agrave soma dos quadrados sobre os lados que forma o acircngulo
reto
Vamos verificar como Euclides fez essa demonstraccedilatildeo A tese consiste em
mostrar que o retacircngulo BDLM eacute igual ao quadrado ABFG A Figura 2 corresponde a
Proposiccedilatildeo I-47 no Livro de Euclides e a Figura 3 a proposiccedilatildeo num desenho
atualizado
Vejam que os triacircngulos ABD e BCF satildeo iguais pois os dois triacircngulos tecircm
dois lados iguais com acircngulos iguais e estes satildeo a metade do retacircngulo BDLM Esta
igualdade entre triacircngulos jaacute havia sido previamente estabelecida na proposiccedilatildeo I-4
de seus Elementos Disponiacutevel em
lthttpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-pitagoras-
segundo-euclideshtmlgt
No Livro VI proposiccedilatildeo 31 Euclides daacute uma prova geral ao Teorema de
Pitaacutegoras ldquoNos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o acircngulo
reto eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo retordquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Figura 2 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHro32lDIAAAAAAAAMg8MamwN1889-
Iimage_thumb5B35Dpngimgmax=800gt
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
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SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
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gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
regulares o tetraedro (piracircmide triangular) o cubo o octaedro (oito faces idecircnticas) e
o dodecaedro (doze faces) Descobriram a incomensurabilidade do lado e da
diagonal de um quadrado a raiz quadrada do dois essa descoberta foi um tremendo
choque para os pitagoacutericos pois toda a estrutura da matemaacutetica era baseada em
nuacutemeros racionais O teorema que leva seu nome bem provavelmente veio dos
babilocircnios como justificativa para chamaacute-lo teorema de Pitaacutegoras que foram os
pitagoacutericos os primeiros a dar uma demonstraccedilatildeo
Acreditava-se que o dodecaedro formado por doze pentaacutegonos regulares
correspondia ao universo O pentaacutegono e o pentagrama (estrela regular de cinco
pontas que se encaixa dentro dele) eram conhecidos dos babilocircnios que
descobriram as extraordinaacuterias propriedades dessas figuras
O pentagrama era considerado pelos babilocircnios como siacutembolo de sauacutede
fiacutesica e espiritual Suas propriedades eram relacionadas agrave Divina Proporccedilatildeo (mais
tarde conhecida como Razatildeo de Ouro) assumindo um estado miacutestico
Conforme Boyer ldquoA construccedilatildeo do pentagrama ou pentaacutegono estrelado Se
comeccedilarmos com um poliacutegono regular ABCDE e traccedilarmos as cinco diagonais
essas diagonais se cortam em pontos A‟B‟C‟D‟E‟ que formam outro pentaacutegono
regular Observando que o triacircngulo BCD por exemplo eacute semelhante ao triacircngulo
isoacutescele BCE e observando tambeacutem os muitos pares de triacircngulos congruentes no
diagrama natildeo eacute difiacutecil ver que os pontos das diagonais A‟B‟C‟D‟E‟ dividem as
diagonais de modo notaacutevel Em cada caso um ponto da diagonal divide uma
diagonal em dois segmentos desiguais tais que a razatildeo da diagonal toda para o
maior eacute igual agrave deste para o menorrdquo Essa subdivisatildeo das diagonais eacute a bem
conhecida ldquosecccedilatildeo aacuteureardquo de um segmento mas esse nome soacute foi usado uns dois
mil anos depois ndash mais ou menos pela eacutepoca em que Kepler escrevia liricamente A
geometria tem dois grandes tesouros um eacute o teorema de Pitaacutegoras o outro a
divisatildeo de um segmento em meacutedia e extrema razatildeo ldquoO primeiro pode ser
comparado a uma medida de ouro o segundo podemos chamar de joacuteia preciosardquo
A escola pitagoacuterica tinha um coacutedigo de conduta riacutegido acreditava na
transmigraccedilatildeo das almas e portanto que natildeo se devia matar ou comer um animal
porque ele poderia ser a moradia de um amigo morto Tambeacutem natildeo se podia comer
lentilhas ou alimentos que causassem gases Os pitaacutegoricos imaginavam que os
nuacutemeros iacutempares tinham atributos masculinos e os pares eram femininos O nuacutemero
um diziam eacute o gerador dos outros nuacutemeros e o nuacutemero da razatildeo
Existem mais de 370 provas do teorema de Pitaacutegorassegue duas
demonstraccedilatildeo encontradas no livro de Euclides a intenccedilatildeo aqui eacute mostra para o
aluno a histoacuteria desse importante teorema
No Livro I dos Elementos de Euclides proposiccedilatildeo 47 Euclides inclui uma
demonstraccedilatildeo do Teorema da Hipotenusa o conhecido como o Teorema de
Pitaacutegoras
Proposiccedilatildeo I-47 Em um triacircngulo retacircngulo o quadrado sobre o lado oposto
ao acircngulo reto eacute igual agrave soma dos quadrados sobre os lados que forma o acircngulo
reto
Vamos verificar como Euclides fez essa demonstraccedilatildeo A tese consiste em
mostrar que o retacircngulo BDLM eacute igual ao quadrado ABFG A Figura 2 corresponde a
Proposiccedilatildeo I-47 no Livro de Euclides e a Figura 3 a proposiccedilatildeo num desenho
atualizado
Vejam que os triacircngulos ABD e BCF satildeo iguais pois os dois triacircngulos tecircm
dois lados iguais com acircngulos iguais e estes satildeo a metade do retacircngulo BDLM Esta
igualdade entre triacircngulos jaacute havia sido previamente estabelecida na proposiccedilatildeo I-4
de seus Elementos Disponiacutevel em
lthttpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-pitagoras-
segundo-euclideshtmlgt
No Livro VI proposiccedilatildeo 31 Euclides daacute uma prova geral ao Teorema de
Pitaacutegoras ldquoNos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o acircngulo
reto eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo retordquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Figura 2 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHro32lDIAAAAAAAAMg8MamwN1889-
Iimage_thumb5B35Dpngimgmax=800gt
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Existem mais de 370 provas do teorema de Pitaacutegorassegue duas
demonstraccedilatildeo encontradas no livro de Euclides a intenccedilatildeo aqui eacute mostra para o
aluno a histoacuteria desse importante teorema
No Livro I dos Elementos de Euclides proposiccedilatildeo 47 Euclides inclui uma
demonstraccedilatildeo do Teorema da Hipotenusa o conhecido como o Teorema de
Pitaacutegoras
Proposiccedilatildeo I-47 Em um triacircngulo retacircngulo o quadrado sobre o lado oposto
ao acircngulo reto eacute igual agrave soma dos quadrados sobre os lados que forma o acircngulo
reto
Vamos verificar como Euclides fez essa demonstraccedilatildeo A tese consiste em
mostrar que o retacircngulo BDLM eacute igual ao quadrado ABFG A Figura 2 corresponde a
Proposiccedilatildeo I-47 no Livro de Euclides e a Figura 3 a proposiccedilatildeo num desenho
atualizado
Vejam que os triacircngulos ABD e BCF satildeo iguais pois os dois triacircngulos tecircm
dois lados iguais com acircngulos iguais e estes satildeo a metade do retacircngulo BDLM Esta
igualdade entre triacircngulos jaacute havia sido previamente estabelecida na proposiccedilatildeo I-4
de seus Elementos Disponiacutevel em
lthttpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-pitagoras-
segundo-euclideshtmlgt
No Livro VI proposiccedilatildeo 31 Euclides daacute uma prova geral ao Teorema de
Pitaacutegoras ldquoNos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o acircngulo
reto eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo retordquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Figura 2 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHro32lDIAAAAAAAAMg8MamwN1889-
Iimage_thumb5B35Dpngimgmax=800gt
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Figura 3 Proposiccedilatildeo I-47 Livro de Euclides Fonte lthttplh3ggphtcom_Qmjqb2Gk9noTaZHvllanKIAAAAAAAAMhE-
NUieHVrXTMimage_thumb5B55Dpngimgmax=800gt
Para o mesmo autor ldquoSeja o triacircngulo retacircngulo ABC tendo o acircngulo sob BAC
reto digo que a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e tambeacutem
semelhantemente descritas sobre as BA AC Observe Figura 4
Fique traccedilada a perpendicular AD
Figura 4 Proposiccedilatildeo 31 de Euclides Fonte Euclides 2009 p 264
Como de fato no triacircngulo retacircngulo ABC foi traccedilada a perpendicular AD do
acircngulo reto junto ao A ateacute a base BC os triacircngulos ABD ADC junto agrave perpendicular
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
satildeo semelhantes tanto ao todo ABC quanto entre si E como o ABC eacute semelhante
ao ABD portanto como a CB estaacute para BA assim a AB para BD E como trecircs retas
estatildeo em proporccedilatildeo como a primeira estaacute para a terceira assim a figura sobre a
primeira para a semelhante e semelhantemente descrita sobre a segunda Portanto
como a CB estaacute para a BD assim a figura sobre CB para a semelhante e
semelhantemente descrita sobre a BA Pelas mesmas coisas entatildeo tambeacutem como
a BC para CD assim a figura sobre BC para sobre a CA Desse modo tambeacutem
como a BC para as BD DC assim a figura sobre a BC para as semelhantes e
semelhantemente descritas sobre as BA AC Mas BC eacute igual agraves BD DC portanto
tambeacutem a figura sobre a BC eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente
descritas sobre as BA ACrdquo
ldquoPortanto nos triacircngulos retacircngulos a figura sobre o lado subtendendo o
acircngulo reto eacute igual agraves figuras semelhantes e semelhantemente descritas sobre os
lados contendo o acircngulo reto o que era preciso provarrdquo (EUCLIDES 2009 p 264)
Entre 500 aC e o iniacutecio da nossa era existe um escrito Chinecircs no Chou pei
suan ching do teorema que leva o nome de Pitaacutegoras quase com certeza chegaram
a essa prova de forma independente A versatildeo simplificada da prova eacute a que
utilizaremos em sala de aula com os alunos pois eacute considerada a mais bela de
todas Um quadrado com lados a + b tem uma quadrado inscrito com lados c
Conforme Figura ilustrativa 5
Figura 5 ndash Teorema de Pitaacutegoras Fonte Teorema de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lthttpgrandeaboboracomwp-
contentimagesteorema-de-pitagorasgifgt Acesso em 24 de Mai de 2013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Simplificando esta prova envolve equacionar a aacuterea total com as aacutereas do
quadrado e dos quatro triacircngulos contidos nela Visto que os triacircngulos satildeo
semelhantes O que pode ser representado pela equaccedilatildeo
( a + b)sup2 = 4(12 a b) + csup2
O que eacute simplificado assim
asup2 + bsup2 = csup2
Vejamos uma demonstraccedilatildeo atual retirada do livro ldquoA conquista da
Matemaacuteticardquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 250 - 251)
Essa demonstraccedilatildeo esta baseada no caacutelculo de aacutereas de figuras geomeacutetricas
planas Consideremos o triacircngulo retacircngulo da Figura 6
Figura 6 - Triacircngulo Retacircngulo Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Observe agora os quadrados MNPQ e DEFG que tecircm mesma aacuterea jaacute que o
lado de cada quadrado mede (b + c) Considerando a representaccedilatildeo Geomeacutetrica do
Teorema de Pitaacutegoras na Figura 7
A partir desses dois quadrados temos
aacuterea do quadrado MNPQ = aacuterea do quadrado RSVT + (aacuterea do triacircngulo
RNS) vezes 4
aacuterea do quadrado DEFG = aacuterea do quadrado IELJ + aacuterea do quadrado
GHJK + (aacuterea do retacircngulo DIJH) vezes 2
aacuterea do quadrado RSVT = asup2
aacuterea do triacircngulo RNS = bc 2
aacuterea do quadrado IELJ = csup2
aacuterea do quadrado GHJK = bsup2
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
aacuterea de retacircngulo DIJH = bc
Figura 7- Representaccedilatildeo Geomeacutetrica do Teorema de Pitaacutegoras Fonte Construiacutedo pela autora desse material no software Geogebra
Como as aacutereas dos quadrados MNPQ E DEFG satildeo iguais podemos escrever
asup2 + (bc2) 4 = csup2 + bsup2 + (bc) 2
asup2 + 2bc = csup2 + bsup2 + 2bc
Cancelando 2bc temos
asup2 = bsup2 + csup2
4 ROTEIRO DAS ATIVIDADES PARA Agrave SALA DE AULA
Para iniciarmos as atividades em especiacutefico propomos primeiramente agrave
realizaccedilatildeo de um preacute-teste O preacute-teste eacute um instrumento de avaliaccedilatildeo diagnoacutestico
que tem por objetivo identificar o conhecimento preacutevio do educando para que
possamos abordar o tema de Razotildees e Proporccedilotildees de modo adequado com sua
realidade e expectativa entusiasmando-o e proporcionando-o uma melhor
aprendizagem
Com o propoacutesito de introduzir o conteuacutedo e motivar os alunos a realizar o preacute-
teste sugerimos exibir o viacutedeo a seguir
Viacutedeo 1 Donald no Paiacutes da Matemaacutegica ndash Matemaacutetica e Muacutesica
Animaccedilatildeo em que o curioso Pato Donald aprende matemaacutetica ao se aventurar por
um mundo onde as aacutervores tecircm raiacutezes quadradas e os rios estatildeo repletos de
nuacutemeros No decorrer da aventura Donald compreende a importacircncia da matemaacutetica
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
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Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
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Editora Aacutetica 2005
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Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
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HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
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HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
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MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
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lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
com os gregos da Antiguidade Ficha teacutecnica (Donald in Mathmagic Land) Donald
no Paiacutes da Matemaacutegica Animaccedilatildeo EUA 1959 27 min COR Direccedilatildeo Stan Jolley
Disponiacutevel em
lthttpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=12059
gt o viacutedeo completo Duraccedilatildeo 57‟
Atividade 1 Preacute-teste
Procure ler e responder as questotildees com bastante atenccedilatildeo Reflita e soacute entatildeo
escolha uma alternativa
1 Vocecirc conhece e utiliza o sistema de medidas (metro trena reacutegua medidores de
volume etc) com que frequecircncia
(a) diariamente
(b) as vezes
(c) de vez em quando
(d) natildeo uso
(e) natildeo conheccedilo
2 Os mapas geograacuteficos o globo terrestre entre outros trazem uma imagem
reduzida de uma determinada regiatildeo ou do mundo e tem por finalidade a
localizaccedilatildeo dos paiacuteses estados municiacutepio e ateacute da sua casa E ainda podemos
saber a distacircncia entre um lugar e outro Para tanto precisamos utilizar a escala
que aparece apontada nestes mapas entatildeo se a distacircncia entre duas cidades eacute
de 5 cm Sabendo-se que a escala utilizada eacute de 150 000 000 (1 cm no
desenho corresponde a 50 000 000 cm no real ou seja a 500 km) Qual eacute a
distacircncia real entre esses dois municiacutepios
(a) 3 500 km
(b) 2 500 km
(c) 1 500 km
(d) 4 000 km
(e) 5 000 km
3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
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3 No filme Donald no Paiacutes da Mate maacutegica Donald viajou pelo tempo e parou na
Greacutecia antiga onde viveu o matemaacutetico e filoacutesofo Pitaacutegoras fundador de uma
sociedade secreta chamada de Escola Pitagoacuterica Quais as principais
descobertas matemaacuteticas dessa sociedade
(a) o som e dos nuacutemeros
(b) o retacircngulo e o som
(c) a muacutesica do piano
(d) a escala musical e a proporccedilatildeo aacuteurea
(e) a arte e da muacutesica
4 A Escola Pitagoacuterica usava um siacutembolo para identificar seus seguidores o
Pentagrama que os encantava por sua beleza e forma O que esses
matemaacuteticos encontraram de tatildeo maacutegico no pentagrama
(a) a forma de um pentaacutegono
(b) era apenas o siacutembolo para poder entrar na sociedade
(c) formava uma estrela
(d) era belo
(e) as suas propriedades eram relacionadas a divina proporccedilatildeo mais tarde
conhecida como a razatildeo de ouro
5 Qual dos triacircngulos abaixo eacute um triacircngulo retacircngulo
(a) (b) (c)
6 Um triacircngulo eacute dito retacircngulo quando tem quais caracteriacutesticas
(a) trecircs lados iguais e acircngulos agudos
(b) dois lados iguais e dois acircngulos iguais
(c) lados diferentes e acircngulos diferentes
(d) possui um acircngulos reto ( acircngulo de 90˚)
(e) possui um acircngulo obtuso
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
7 Duas retas satildeo ditas paralelas quando
(a) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em um uacutenico ponto
(b) estatildeo em um mesmo plano e se cruzam em mais de um ponto
(c) possuem o mesmo comprimento
(d) satildeo de comprimentos diferentes
(e) estatildeo em um mesmo plano e natildeo possuem nenhum ponto em
comum
8 Duas retas satildeo ditas perpendiculares quando
(a) se cruzam em um uacutenico ponto
(b) se cruzam em dois ou mais pontos
(c) se cruzam em um uacutenico ponto e formando um acircngulo de 90˚
(d) se cruzam em um uacutenico ponto formando dois acircngulos iguais
(e) se cruzam em um uacutenico ponto e formam um acircngulo de 120˚
A segunda atividade a ser desenvolvida envolveraacute a histoacuteria da matemaacutetica e
a resoluccedilatildeo de um de um problema Recomendamos ao professor que leia a histoacuteria
da matemaacutetica que foi colocada anteriormente para poder encaminhar melhor as
atividades que seratildeo sugeridas a seguir
Atividade 2 O desafio de Tales ao visitar o Egito
Segundo a histoacuteria a geometria demonstrativa comeccedilou com Tales de
Mileto (640-564 ac) um dos ldquosete saacutebiosrdquo da Antiguidade que dedicou
parte de sua vida aos estudos e algumas viagens vivendo por algum tempo
no Egito onde foi desafiado a medir a altura da piracircmide de Queacuteops (Figura
8)
Agora desafio vocecirc a medir a altura do poste do canteiro central da
cidade
Objetivos
conhecer um pouco da histoacuteria da matemaacutetica e sua evoluccedilatildeo
utilizar a histoacuteria e a resoluccedilatildeo de problemas como meacutetodo de conhecer o
conteuacutedo de razotildees e proporccedilotildees e o Teorema de Tales
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Figura 8 Piracircmide do Egito Fonte
httpswwwgooglecombrsearchhl=ptBRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j150
01ac126img14617-hRMu3ygJPI
Procurando organizar um pouco o processo de Resoluccedilatildeo de Problemas
Polya (2006) o dividiu em quatro etapas que seratildeo seguidas para resolver a
segunda atividade conforme segue
a) Primeira etapa
Compreender o problema para se discutir com proveito este problema os
estudantes precisatildeo conhecer a histoacuteria de Tales de Mileto e o procedimento
utilizado por ele para medir a piracircmide de Queacuteops entatildeo sugerimos a atividade a
seguir que poderaacute auxiliaacute-los nessa etapa
Pesquisa sobre Histoacuteria de Tales de Mileto e seu feito
Estaacute pesquisa poderaacute ser realiza em grupos de 2 ou 3 integrantes Natildeo
precisa ser escrita poderaacute ser viacutedeo teatro muacutesica e outros
Seguindo o seguinte roteiro Panorama da eacutepoca bibliografia de Tales
de Mileto suas contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma
de seminaacuterio
Sugestatildeo assistir ao viacutedeo sobre Tales de Mileto
Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
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POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
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Viacutedeo 2 O Teorema de Tales Aula 47O viacutedeo relata a histoacuteria de Tales e a
verificaccedilatildeo de seu teorema Com duraccedilatildeo de 1533‟ Disponiacutevel em lt
httpswwwyoutubecomwatchv=sNAEqGG4ec8gt Fonte Matemaacutetica ndash Novo
Telecurso - Ensino Fundamental
Voltando ao problema para concretizar a situaccedilatildeo os alunos faratildeo uma visita
de observaccedilatildeo do que seraacute medido o estudante deve considerar as partes principais
do problema atenta e repetidamente sob vaacuterios pontos de vista Fazer um desenho
para esboccedilar seu trabalho eacute importante O diaacutelogo entre o professor e seus alunos
pode principiar da seguinte maneira
1 Qual eacute a incoacutegnita
A altura do poste
2 Quais satildeo os dados
A altura da vareta a sombra projetada por ela e a sobra projeta pelo
poste
3 Adote uma notaccedilatildeo adequada Qual a letra que deve denotar a incoacutegnita
x
4 Quais as letras que escolheria para a altura da vareta o comprimento da
sombra projeta pela vareta e o poste
b c e d
5 Qual eacute a condicionante que relaciona b c e d com x
X eacute a altura do poste no qual b c e d satildeo respectivamente altura da
vareta o comprimento da sombra projeta pela vareta e o poste
6 Trata-se de um problema razoaacutevel Ou seja a condicionante eacute suficiente
para determinar a incoacutegnita
Sim ele eacute razoaacutevel Se conhecermos as medidas de b c e d teremos
os lados correspondentes de dois triacircngulos semelhantes E se dois
triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo proporcionais
aos lados homoacutelogos do outro
b) Segunda etapa
Estabelecer um plano ldquotemos um plano quando conhecemos pelo menos
de um modo geral quais as contas os caacutelculos ou os desenhos que precisamos
executar para obter a incoacutegnitardquo (POLYA 2006 p7) Esse caminho pode ser longo e
para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
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para que se tenha uma boa ideacuteia precisa-se de conhecimentos preacutevios no nosso
caso a pesquisa e o viacutedeo apresentados traacutes essa ideacuteia Na primeira etapa o aluno
havia acabado de compreender o problema e de mostrar por ele interesse agora
esperasse que o aluno tivesse uma iniciativa mas se isso natildeo ocorrer o professor
deveraacute repetir cuidadosamente todo o seu diaacutelogo com os estudantes E estar
preparado para aquele silecircncio desconcertante (que seraacute denotada por ) Algumas
indagaccedilotildees e algumas respostas esperadas
1 Ao medir a Piracircmide de Queacuteops Tales tinha o que como referecircncia
O sol
A vareta
Se a resposta foi o silecircncio tente outra pergunta
2 Por que ele natildeo mediu altura subindo na piracircmide
Por que a piracircmide era muito alta
3 Observe o desenho que foi feito anteriormente e o desenho que vocecirc
encontrou na pesquisa que demonstra a situaccedilatildeo
4 Que figura aparece
Triacircngulos retacircngulos
5 Como esses triacircngulos foram formados
Pela sombra
6 Entatildeo o que se precisa saber para resolver o problema
Relaccedilatildeo entre as grandezas
Entatildeo como o aluno assistiu ao viacutedeo e pesquisou sobre o assunto ele saberaacute
a relaccedilatildeo entre as grandezas que denota o Teorema de Tales Espera-se que essas
indicaccedilotildees bastantes expliacutecitas tenha dado a ideacuteia de soluccedilatildeo mas o professor deve
estar preparado para o caso dessas indicaccedilotildees serem insuficientes para despertar
os alunos de seu torpor o professor deve estar preparado para usar uma gama de
indicaccedilotildees mais ou menos expliacutecitas
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
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Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
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Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
c) Terceira Etapa
Executar o Plano apoacutes ter concebido o plano realizaacute-lo natildeo eacute tarefa difiacutecil
mas deve-se estar atento aos passos a ser seguidos para que natildeo fique nenhum
recanto obscuro no qual possa levar ao erro Se o plano foi realmente realizado pelo
aluno ele natildeo perderaacute facilmente essa ideacuteia de qualquer maneira o professor deve
insistir que o aluno verifique cada passo
Retomemos o problema na etapa anterior o aluno conseguiu ter a ideacuteia de
resoluccedilatildeo Ele percebe a relaccedilatildeo de proporcionalidade entre a altura da vareta e do
poste e o comprimento das projeccedilotildees das sombras E entende que se elas satildeo
proporcionais a razatildeo entre elas eacute igual Entatildeo observando o desenho feito na
primeira etapa e a notaccedilatildeo adotada ele pode chegar a
119961
119939=
119941
119940 logo 119961 =
119939119941
119940
d) Quarta Etapa
Retrospecto a tendecircncia eacute que os alunos apoacutes terem chegado ao resultado
final fechem o caderno e passam a fazer outras coisas perdendo uma fase
importante e instrutiva do trabalho da resoluccedilatildeo Se fizerem um retrospecto do
resultado final dos passos que levaram a este eles poderatildeo consolidar o seu
conhecimento e melhorar sua capacidade de resolver problema ldquoUm bom professor
precisa compreender e transmitir a seus alunos o conceito de que problema algum
fica completamente esgotadordquo (POLYA 2006 p12)
Fazendo o retrospecto do nosso problema os alunos haviam finalmente
chegado agrave soluccedilatildeo que se a razatildeo entre a altura do poste x e a altura da vareta c eacute
diretamente proporcional agrave sombra projeta pelo poste d e a sombra projetada pela
vareta c entatildeo
119961 =119939119941
119940
1 Eacute possiacutevel verificar o resultado
Como nosso problema eacute numeacuterico e natildeo literal ele poderaacute ser
facilmente comprovado jaacute que a razatildeo entre as sombras deve ser igual
agrave razatildeo entre as alturas Os alunos devem poreacutem apreender bem cedo
a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
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GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
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HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
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HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
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a vantagem que um problema literal apresenta sobre os problemas
puramente numeacutericos Se o problema for literal ele se presta a diversas
verificaccedilotildees as quais o professor pode apresentar vaacuterias indagaccedilotildees a
que os alunos responderatildeo sim ou natildeo no caso de um natildeo pode ter
havido alguma falha no resultado
2 Utilizou todos os dados Todos os dados aparecem na soluccedilatildeo do
problema
3 O resultado encontrado revela a igualdade entre as razotildees xd e bc
A atividade sugerida anteriormente proporciona ao estudante uma
contextualizaccedilatildeo histoacuterica do Teorema de Tales e uma utilizaccedilatildeo praacutetica do mesmo
mas precisamos generalizar esse Teorema e provar que vale para outras situaccedilotildees
Atividade 3 Demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
e o Teorema de Tales
As etapas da demonstraccedilatildeo e de verificaccedilatildeo no Geogebra satildeo uma
adaptaccedilatildeo de Ritter e Siguenatildes (2013)
Objetivos
Proporcionar uma demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales de forma
dinacircmica onde se possa verificar a veracidade de forma raacutepida e eficaz
Contextualizar historicamente a demonstraccedilatildeo
Usar de recursos tecnoloacutegicos para auxiliar nessa verificaccedilatildeo
Destaco agora o significado das palavras demonstraccedilatildeo e prova matemaacutetica
para reforccedilar a diferenccedila com a verificaccedilatildeo
Obs Demonstraccedilatildeo e Prova
Quando nos referimos agrave demonstraccedilatildeo em sala de aula devemos ter em
mente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica e qual sua importacircncia para essa ciecircncia
ao contraacuterio da atividade anterior que verificamos que o Teorema de Tales eacute
verdadeiro para alguns nuacutemeros temos que provar que eacute valido para todos Entatildeo
buscamos definir primeiramente o que eacute demonstraccedilatildeo matemaacutetica ou prova no
dicionaacuterio
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
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dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
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gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
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Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Demonstraccedilatildeo ato ou efeito de demonstrar 1 qualquer recurso capaz de
atestar a veracidade ou a autenticidade de alguma coisa prova 11 raciociacutenio que
torna evidente o caraacuteter veriacutedico de uma proposiccedilatildeo ideacuteia ou teoria Ex d
matemaacutetica
Prova 1 aquilo que demonstra que uma afirmaccedilatildeo ou um fato satildeo
verdadeiros evidecircncia comprovaccedilatildeo 2 ato que daacute uma demonstraccedilatildeo cabal de
(afeto fidelidade felicidade etc) manifestaccedilatildeo sinal 3 trabalho escolar ger
Composto de uma seacuterie de perguntas que tem por finalidade avaliar os
conhecimentos do aluno teste exame (HOUAISS Online Disponiacutevel em lt
httphouaissuolcombrgramaticajhtm)
Para os matemaacuteticos prova eacute sinocircnimo de demonstraccedilatildeo
Neste momento o professor poderaacute mostrar um dos mais antigos documentos
que conteacutem a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales o ldquoCours de Geacuteoimeacutetrie
eacuteleacutementairerdquo (jaacute citado anteriormente no Quadro 1) Com o propoacutesito de
contextualizaccedilatildeo histoacuterica
a) Teorema Fundamental da Proporcionalidade
Seraacute feita a demonstraccedilatildeo do Teorema Fundamental da Semelhanccedila ou
Teorema Fundamental da Proporcionalidade utilizando o software Geogebra se
daraacute a visualizaccedilatildeo de alguns passos do processo Essa atividade tem por objetivo
mostrar para os alunos que na matemaacutetica existem vaacuterios caminhos para se resolver
um problema Segue-se o enunciado do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade a verificaccedilatildeo e depois a demonstraccedilatildeo
Enunciado do Teorema Considere o triacircngulo ∆ ABC e uma reta paralela a
qualquer lado do triacircngulo e que encontra dois lados em pontos distintos determina
com esses lados um triacircngulo semelhante ao primeiro
Em outras palavras Dado um triacircngulo ∆ ABC qualquer e os pontos D isin AB e
E isin AB de tal forma que DE BC Entatildeo
119912119913
119912119915=
119912119914
119912119916 (1)
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
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para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
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POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
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Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
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httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
No Geogebra
Neste momento o professor poderaacute utilizar o software para mostrar ao aluno o
desenvolvimento da verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
1 Construir um triacircngulo qualquer de veacutertices A B e C Use a ferramenta
construir poliacutegono
2 Marque um ponto D pertencente ao segmento AB e trace uma reta (r)
paralela ao segmento BC passando por D Em seguida marque o ponto E
de intersecccedilatildeo da reta (r) com o segmento AC
3 Para calcular a distacircncia entre os segmentos AD AB AE e AC na caixa
de ferramentas peccedila distacircncia entre dois pontos
4 Na caixa de entrada digite ABAD e ACAE obtendo na janela algeacutebrica as
Razatildeo 1 (R1) e Razatildeo 2 (R2) que satildeo iguais Observe a Figura 9
Figura 9 Verificaccedilatildeo do Teorema Fundamental da Proporcionalidade
5 Utilize o comando mover e manipule os veacutertices do triacircngulo ABC e a reta
r e observe que as razotildees entre os segmentos continuam iguais ou seja
R1 = R2 Conforme Figura 10
No Geogebra
Feita a verificaccedilatildeo vamos agora demonstrar alguns passos da prova
utilizando o caacutelculo de aacutereas de um triacircngulo com o auxiacutelio do software Geogebra
1 Siga os passos 1 e 2 citados na verificaccedilatildeo
No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
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Editora Aacutetica 2005
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Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
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da Unicamp 2004
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desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
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No triacircngulo ADE e DBE com bases AD e BD respectivamente trace a altura
relativa (h1) ao veacutertice E Observe que a altura e a mesma para os dois triacircngulos
Observe a Figura 11
Figura 10 Manipulaccedilatildeo dos objetos
Figura 11 Altura Relativa ao Veacutertice E
Sendo assim tecircm-se a seguinte identidade em relaccedilatildeo agrave razatildeo entre as aacutereas
dos triacircngulos
Aacute119955119942119938 ∆ 119913119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119913119915
119912119915 (2)
2 De forma anaacuteloga nos triacircngulos ADE e CDE com base AE e CE
respectivamente trace a altura (h2) ao veacutertice D veja que ela e a mesma
para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
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da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
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POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
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para os dois triacircngulos Entatildeo a relaccedilatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos nos
da uma nova razatildeo
Aacute119955119942119938 ∆ 119914119915119916
Aacute119955119942119938 ∆ 119912119915119916=
119914119916
119912119916 (3)
Para melhor compreensatildeo veja a Figura 12
Figura 12 Altura Relativa ao Veacutertice D
Agora construa os triacircngulos BDE e CDE sendo ambos de base DE trace a
altura relativa (h3) em relaccedilatildeo ao veacutertice D e altura relativa (h4) em relaccedilatildeo ao veacutertice
E note que a altura h3 = h4 isto se comprova pelo fato de DE BC Conforme a
Figura 13
Pelo fato de os triacircngulos terem a mesma base e altura eles tambeacutem teratildeo a
mesma aacuterea ou seja Aacuterea ∆ BDE = Aacuterea ∆ CDE entatildeo substituindo essa
identidade com as razotildees (2) e (3)
Temos a seguinte relaccedilatildeo
119913119915
119912119915=
119914119916
119912119914 (4)
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
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STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
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Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Considerando esta equaccedilatildeo e adicionando um a ambos os membros da
igualdade obteacutem (5)
119913119915 +119912119915
119912119915= 119914119916 +
119912119916
119912119916 (5)
E como
119913119915 + 119912119915 = 119912119916 e 119914119916 + 119912119916 = 119912119914
Logo
119912119913
119912119915=119912119914
119912119916
Figura 13 Altura Relativa ao Veacutertice D e E Verificaccedilatildeo h3 = h4
Observaccedilatildeo 1 Sem perda de generalidade podemos escrever que num
triacircngulo ABC por ADDB = AEEC para demonstrar esse fato basta inverter as
proporccedilotildees (2) e (3) e usar raciociacutenio anaacutelogo
b) Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Agora trabalharemos com a demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales utilizando o
software Geogebra nas visualizaccedilotildees geomeacutetricas construiacutedas ao longo do
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
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gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
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Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
processo e como recurso o Teorema Fundamental da Proporcionalidade e a
observaccedilatildeo (1)
Para estaacute atividade segue-se com o enunciado do Teorema de Tales (Figura
14) utilizando o software Geogebra para verificaccedilatildeo e visualizaccedilatildeo para uma
melhor compreensatildeo de sua demonstraccedilatildeo
Se b c d
Entatildeo
119912119913
119913119914=119915119916
119916119917
Figura 14 Teorema de Tales
No Geogebra
1 Construir uma reta a definida por dois pontos A e B Utilize o comando reta
definida por dois pontos
2 Marque um ponto C sobre a reta a
3 Construir uma reta b passando pelo ponto A e D
4 Agora utilizando o comando retas paralelas construir duas retas c e d
paralelas a reta b
Um feixe de paralelas determina
em duas transversais segmentos
proporcionais
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
5 Construir uma reta e passando pelo ponto D cortando as paralelas b c e d
marcar os pontos de intersecccedilatildeo E e F da reta e com as paralelas c e d
6 A distacircncia entre os segmentos AB BC DE e DF seraacute obtida utilizando a
ferramenta distacircncia ou comprimento entre dois pontos
7 Digite na caixa de entrada ABBC e DEEF obtendo na janela algeacutebrica
Razatildeo 1 e Razatildeo 2 (R1 = ABBC e R2 = DEEF) do teorema relacionado
acima e verifique que R1 = R2
Esse procedimento pode ser observado na Figura 15
8 Utilize o comando mover movimente uma das retas paralelas a
manipulaccedilatildeo desses objetos geomeacutetricos envolvidos na construccedilatildeo
geomeacutetrica do Teorema de Tales proporciona uma melhor compreensatildeo e
visualizaccedilatildeo do mesmo ou seja as razotildees continuam sendo iguais
Observe a Figura 16
Figura 15 Verificaccedilatildeo do Teorema de Tales
No Geogebra
Apoacutes feita a verificaccedilatildeo propomos que se faccedila com os alunos a demonstraccedilatildeo
deste Teorema utilizando o Software Geogebra
1 Seguir os passos realizados na verificaccedilatildeo
2 Como temos o feixe de retas paralelas e as transversais trace uma reta h
paralela a reta e passando pelo ponto A
3 Marque a intersecccedilatildeo G e H entre a reta h e as retas c e d
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
4 Construa o triacircngulo ACH Com o recurso poliacutegono que estaacute na cor verde
Figura 16 Manipulaccedilatildeo dos objetos
5 Construa tambeacutem o paralelogramo AHFD que estaacute na cor azul
6 Para facilitar a visualizaccedilatildeo sugerimos colorir os poliacutegonos com cores
diferentes como pode ser observado na Figura 17
Figura 17 Demonstraccedilatildeo do Teorema de Tales
Primeiramente observe o paralelogramo e verifique que AG = DE e GH = EF
e pela observaccedilatildeo (1) no triacircngulo ∆ ACH garante que ABBC = AGGH entatildeo
substituindo devidamente as igualdades podemos escrever a seguinte
proporcionalidade ABBC = DE EF como queriacuteamos demonstrar
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Atividade 4 ldquoO periacutemetro de um triacircngulo ABC eacute 45 cm A bissetriz interna
do acircngulo Acirc desse triacircngulo intercepta o lado BC em um ponto D tal que BD
= 9 cm e CD = 6 cm Quais satildeo as medidas em centiacutemetros dos lados AB e
ACrdquo (GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 215)
Dando sequecircncia as atividades propomos este problema para desenvolver o
conteuacutedo sobre Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo (Figura 18)
Objetivo
Compreender atraveacutes da resoluccedilatildeo de problemas como demonstrar o
Teorema da Bissetriz interna de um triacircngulo e qual sua utilidade
Agora seguindo as quatro etapas de Polya jaacute citadas anteriormente deixe o
aluno se familiarizar com o problema para compreende-lo melhor converse com seu
aluno se necessaacuterio for faccedila algumas sugestotildees e indagaccedilotildees como por exemplo
a) Que tal fazer um desenho que esboce o problema
Figura 18 Esboccedilo do Triacircngulo
b) Quais dados o problema oferece
Foi dado um triacircngulo ABC de periacutemetro 45 cm
A bissetriz interna do acircngulo Acirc que intercepta o lado BC em um ponto
D
E as medidas dos lados BD = 9 cm e CD = 6 cm
c) O que eacute periacutemetro
A soma das medidas dos lados do triacircngulo ABC
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
d) O que eacute bissetriz
Eacute o segmento de reta AD que dividi o acircngulo Acirc em dois acircngulos de
mesma medida
e) Quais satildeo as incoacutegnitas
A medida dos lados AB e AC
Caso as respostas dadas pelos alunos natildeo forem as esperadas o professor
deve estar preparado para explicar os conteuacutedos que natildeo seja de conhecimento ou
que o mesmos esqueceram por exemplo o que eacute bissetriz
Para a segunda etapa os alunos precisaratildeo elaborar um plano para encontrar
as incoacutegnitas Estimule os alunos a fazer relaccedilotildees entre os dados fazendo algumas
perguntas como Porque foi citada a bissetriz A medida dos acircngulos formado pela
bissetriz satildeo iguais O que o periacutemetro tem a ver com o problema Quanto mede o
segmento BC E quanto mede AB + AC E talvez os alunos tentem usar o Teorema
de Tales Depois de terem se esgotados as indagaccedilotildees e as tentativas caso os
alunos natildeo tenham chegado a nenhuma conclusatildeo sugira que tracem pelo veacutertice C
uma reta paralela agrave bissetriz AD que iraacute encontrar o prolongamento do lado AB no
ponto E Agora de um tempo para eles refletirem se nada acontecer fale sobre o
Teorema de Tales se agora eacute possiacutevel usaacute-lo busque os questionamentos
anteriores e incentive que eles faccedilam as relaccedilotildees necessaacuterias
Nesse momento jaacute eacute possiacutevel que alguns estejam na terceira etapa onde iratildeo
equacionar a situaccedilatildeo e resolver o problema O que os alunos acabaram de fazer foi
a verificaccedilatildeo de Teorema da Bissetriz Interna de um Triacircngulo que poderaacute ser
formalizado e demonstrado
Oriente seus alunos a verificar se o resultado encontrado eacute coerente com os
dados fornecidos no problema observe se todos os dados foram usados revise
todos os passos da soluccedilatildeo
Segue o enunciado do Teorema da Bissetriz Interna do Triacircngulo e sua
Demonstraccedilatildeo conforme Giovanni e Castrucci (2009 p 212)
Natildeo esqueccedila da quarta
etapa o retrospecto
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Enunciado do teorema
Se AS eacute bissetriz do acircngulo Acirc do triacircngulo a seguir entatildeo
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914 119926119932
119912119913
119913119930=119912119914
119930119914
Demonstraccedilatildeo
Considere o ∆ ABC e sendo AS a bissetriz interna do acircngulo Acirc Traccedilamos
pelo veacutertice uma paralela agrave bissetriz AS que iraacute encontrar o prolongamento do lado
AB no ponto E Observe a Figura 19
Figura 19 Bissetriz Interna do Triacircngulo
Considerando o ∆ ABC e AS EC temos
119912119913
119912119916=
119913119930
119930119914 (1)
Mas m = a1 (acircngulos correspondentes)
n = a2 (acircngulos alternos internos)
a1 = a2 (AS eacute bissetriz de Acirc)
Assim m = n rarr ∆ ABC eacute isoacutesceles rarr AE = AC
A bissetriz de um acircngulo interno
de um triacircngulo determina sobre o lado
oposto segmentos que satildeo proporcionais aos
lados do triacircngulo que formam o acircngulo
considerado
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Substituindo AE por AC na proporccedilatildeo (1) temos
119912119913
119912119914=119913119930
119930119914
Como queriacuteamos demonstrar
Atividade 5 Estudando a Semelhanccedila de Figuras
Nossa investigaccedilatildeo continua e o assunto a ser estudado eacute semelhanccedila de
poliacutegonos Iniciaremos o estudo ampliando figuras e reduzindo figuras e assim o
conteuacutedo seraacute proposto ao aluno As orientaccedilotildees para essa atividade estatildeo no
quadro a seguir
Vocecirc imagina como satildeo feitas as replicas perfeitas de objetos Observe a
Figura 20 e agora sua tarefa eacute aplia-la na razatildeo 1120783 120784 Para realizar estaacute
atividade siga as orientaccedilotildees a seguir
Objetivos
Levar o aluno a perceber as caracteriacutesticas que uma figura deve ter para
ser semelhante
Observar e conhecer as propriedades de semelhanccedila de figuras
Figura 20 Semelhanccedila de Figuras Fonte httpswwwgooglecombrsearchhl=pt-
BRampsite=imghpamptbm=ischampsource=hpampbiw=1366ampbih=674ampq=tales+de+miletoampoq=talesampgs_l=img100l8j0i10j040495009078525500003629822j0j2j15001ac126img14617-
hRMu3ygJPI
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
I Vocecirc estaacute diante de um problema entatildeo tenha bem claro o que vocecirc deve
fazer e qual eacute o resultado esperado
II Que estrateacutegia de soluccedilatildeo seraacute usada
III Como executar seu plano
IV Quais conceitos matemaacuteticos seratildeo utilizados
V O resultado final respondeu a pergunta
Sugerimos que para essa atividade o professor deixe os alunos fazerem um
desenho inicial e aos poucos questione se estaacute dando certo sua estrateacutegia incentive
ele a pesquisar e ver que conceitos matemaacuteticos seratildeo necessaacuterios para
desenvolver bem o trabalho proposto Segue alguns questionamentos que podem
ser levantados para a abordagem e encaminhamento do conteuacutedo
1 Que tipo de figuras geomeacutetricas apresenta o desenho
Retacircngulo triacircngulo ciacuterculos e a estrela
2 Como aumentar essas figuras ou seja desenhar figuras semelhantes
Primeiramente devemos ter em mente o quanto queremos aumentar
em que razatildeo se daraacute
3 Quando dois poliacutegonos satildeo semelhantes
ldquoDois poliacutegonos com o mesmo nuacutemero de lados satildeo semelhantes
quando possuem os acircngulos internos respectivamente congruentes e
os lados correspondentes proporcionaisrdquo(GIOVANNI CASTRUCCI
2009 p 222)
4 Explorando propriedades importantes
ldquoQuando dois poliacutegonos satildeo semelhantes os periacutemetros desses
poliacutegonos satildeo proporcionais as medidas de dois lados correspondentes
quaisquerrdquo rdquo(GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 225)
5 Os triacircngulos semelhantes tambeacutem possuem propriedades Quais satildeo
Sim ldquoDois triacircngulos satildeo semelhantes quando tecircm os acircngulos
internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes
proporcionaisrdquo( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
Matildeos agrave obra e siga as
orientaccedilotildees
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
bdquo‟Assim para saber se dois triacircngulos satildeo semelhantes basta verificar
se eles possuem dois acircngulos respectivamente
congruentesrdquo ( GIOVANNI CASTRUCCI 2009 p 229)
ldquoSe dois triacircngulos satildeo semelhantes entatildeo os lados de um satildeo
proporcionais aos lados homoacutelogos do outrordquo (GIOVANNI
CASTRUCCI 2009 p 230)
Destacamos no questionaacuterio as propriedades para que o professor encaminhe
seus alunos a observarem e entenderem os mesmos se necessaacuterio for devem ser
feitas mais atividades de fixaccedilatildeo
Atividade 6 O Teorema de Pitaacutegoras
Destacamos agora algumas atividades a serem desenvolvidas sobre o
Teorema de Pitaacutegoras utilizando como metodologia a Histoacuteria da Matemaacutetica e a
Resoluccedilatildeo de Problemas
Para a atividade a seguir o professor poderaacute relatar aos alunos algumas
curiosidades sobre Pitaacutegoras e sua Sociedade Secreta como incentivo para
desenvolve - laacute
Objetivos
Despertar no aluno a curiosidade sobre as descobertas Pitagoacutericas
Tornar o aluno pesquisador e observador da construccedilatildeo do conhecimento
Compreender que a matemaacutetica vem sendo construiacuteda e aperfeiccediloada e
isso contribui para o desenvolvimento cientiacutefico e social
Segundo a histoacuteria para que algueacutem fosse aceito na sociedade Pitagoacuterica
deveria entender uma seacuterie de conceitos matemaacuteticos Essas provas foram
adaptadas da Revista Galileu online Disponiacutevel em lt
httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html gt
Imagine que vocecirc estaacute interessado em fazer parte da Sociedade Secreta de
Pitaacutegoras Mas para ser um disciacutepulo de Pitaacutegoras vocecirc deve realizar com
sucesso as seguintes provas
Vamos laacute vocecirc pode ser um
disciacutepulo
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
a) Primeira Prova
A primeira prova esta baseada no siacutembolo da Figura 21 que eacute tambeacutem o das
olimpiacuteadas
O objetivo da prova eacute preencher todas as seccedilotildees definidas pelos ciacuterculos com
um nuacutemero de 1 a 15 sem repeticcedilatildeo A soma dos nuacutemeros de cada ciacuterculo deve ser
tambeacutem igual a um nuacutemero primo O total dessas somas deve ser o mais alto
possiacutevel Quem conseguir obter o nuacutemero mais alto eacute o vencedor dessa prova
Figura 21 Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Conseguiu parabeacutens Agora vocecirc estaacute apto a realizar a segunda prova
b) Segunda Prova
Imagine uma plateacuteia de 36 lugares com dois tipos de pessoas os que usam
roupa vermelha e os que usam roupa azul Quatro de cada tipo devem sentar na fila
da frente Os de roupa vermelha preferem sentar atraacutes de um sujeito de roupa
vermelha e outro de roupa azul Os de azul se sentem melhor sentando-se atraacutes de
dois de roupa azul ou de dois de roupa vermelha Fora os oito sujeitos da frente
existem 11 de roupa azul e 17 de vermelha Como fica a plateacuteia Veja o esboccedilo das
filas na Figura 22
c) Terceira Prova
Os Pitagoacutericos tinham conceitos estranhos Por exemplo eles achavam que
havia 17 tipos de alimentos proibidos sendo 17 o mais divino dos nuacutemeros
primosObserve a Figura 23 para realizar essa prova
Por isso eles imaginaram o seguinte exerciacutecio faccedila um arranjo colocando um triacircngulo em cima do outro de maneira que formem 17 intersecccedilotildees com os
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
nuacutemeros de 1 a 17 Essas intersecccedilotildees satildeo os locais dos alimentos proibidos Daacute para imaginar
Figura 22 Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Figura 23 Terceira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Parabeacutens vocecirc eacute um disciacutepulo
de Pitaacutegoras vamos agraves proacuteximas
atividades
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Soluccedilotildees das Provas
a) Primeira prova
Figura 24 Soluccedilatildeo da Primeira Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
b) Segunda prova
Figura 25 Soluccedilatildeo da Segunda Prova Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Agora o Professor pode pedir aos alunos que pesquisem sobre a vida e obra
de Pitaacutegoras destacando Panorama da eacutepoca bibliografia suas
contribuiccedilotildees para matemaacutetica curiosidades
Apoacutes a pesquisa os grupos iratildeo socializar suas investigaccedilotildees em forma de
seminaacuterio e assistir ao viacutedeo 3
Viacutedeo 3 O Legado de Pitaacutegoras ndash Pitaacutegoras e outros Parte A O viacutedeo
relata a histoacuteria da vida e as descobertas do famoso matemaacutetico grego Os temas
tratados neste trecho satildeo Larsa Plimpton 322 escrita cuneiforme Edgar J Banks
triacircngulo retacircngulo Teorema de Pitaacutegoras sociedade pitagoacuterica nuacutemeros perfeitos
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
trio pitagoacuterico proporccedilatildeo aacuteurea pentagrama farol de Alexandria biblioteca de
Alexandria Euclides provas do Teorema de Pitaacutegoras Com a duraccedilatildeo de 40‟
Disponiacutevel em lt
httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesvideoshowVideophpvideo=7191gt
Fonte TV Escola
c) Terceira prova
Figura 26 Soluccedilatildeo da Terceira Prova
Fonte httprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100html
Atividade 7 A matemaacutetica e o alicerce das construccedilotildees
Esta atividade destaca a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e sua utilidade
na construccedilatildeo civil
Objetivos
Verificar a importacircncia do Teorema de Pitaacutegoras e qual sua utilidade
praacutetica
Entender as relaccedilotildees entre retas e acircngulo no triacircngulo retacircngulo
Quando se deseja construir uma casa primeiramente deve-se projetaacute-la e
desenhar sua planta (geralmente isso eacute feito por uma pessoa especializada
(Engenheiro civil) apoacutes feito a planta da casa ela eacute entregue a um mestre-de-obras
que seraacute responsaacutevel pela construccedilatildeo
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Mas vocecirc pode fazer a planta baixa de uma casa Veja um exemplo na Figura
27
Figura 27 Planta Baixa de uma Casa Fontehttpwwwmundodastriboscomplantas-de-casas-modelos-projetos-planta-baixahtml
Agora eacute sua vez desenhe a planta baixa de uma casa de 4 X 5
Dando continuidade a atividade sugerimos dividir os alunos em grupos de no
maacuteximo 10 para no paacutetio da escola fazer a demarcaccedilatildeo do alicerce da casa
juntamente com um mestre-de-obras Primeiramente iratildeo demarcar o terreno de
acordo com a planta as linhas dos alicerces da casa As paredes normalmente
devem formar acircngulos retos na linguagem dos construtores devem estar no
esquadro No papel foi faacutecil fazer essa marcaccedilatildeo mas no terreno isso eacute um pouco
mais difiacutecil mas com a experiecircncia de nosso mestre de obras e o conhecimento de
um disciacutepulo de Pitaacutegoras isso seraacute moleza
Sugerimos alguns questionamentos para que o conteuacutedo aplicado fique bem
claro para o aluno
1 O que significa esquadro Ou a expressatildeo tirar o esquadro da casa
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
ldquoNa construccedilatildeo civil reacutegua de metal em forma de ldquoLrdquo cujo acircngulo
interno ou externo eacute de 90deg utilizada para confirmar o encontro de duas
linhas (vetor X e Y) na locaccedilatildeo de u terreno ou orientar o assentamento de
tijolos na viga baldrame e posteriormente para a orientaccedilatildeo do
madeiramento do teto e durante o assentamento de pisos e azulejos
Quando o encontro de duas paredes estatildeo em um acircngulo de 90deg diz-se
que estaacute no esquadrordquo Disponiacutevel em
lthttpwwwdicionarioinformalcombresquadregt
2 O que eacute prumo Ou a expressatildeo a parede estaacute fora do prumo
ldquoO prumo eacute um instrumento para detectar ou conferir a vertical do lugar
e elevar o ponto Ele pode ser adaptado a um prisma ortogonal ou um
tripeacute Sua utilizaccedilatildeo eacute obrigatoacuteria na construccedilatildeo civil uma vez que os
traccedilos providenciados pela engenharia passam por acircngulos retosrdquo
Disponiacutevel em lthttpptwikipediaorgwikiPrumogt
3 Por que as construccedilotildees natildeo caem com facilidade
Pois satildeo sustentadas por triacircngulos
4 Que conhecimentos matemaacuteticos foram utilizados
Acircngulos medidas e o Teorema de Pitaacutegoras
5 O Teorema de Pitaacutegoras pode ser observado aonde Quais as medidas
dos catetos e da hipotenusa que foram utilizadas e elas realmente
correspondem ao Teorema
Apoacutes os alunos terem feito uma atividade onde observaram a utilidade praacutetica
do Teorema de Pitaacutegoras sugerimos que se faccedila a Demonstraccedilatildeo desse Teorema
Entatildeo propomos a seguinte atividade
Pesquisar uma das 400 maneiras de demonstrar o Teorema de Pitaacutegoras (O
aluno natildeo precisaraacute demonstrar rigorosamente o teorema poderaacute utilizar
viacutedeo software outros materiais) E em sequecircncia socializar com a turma
Estaacute atividade poderaacute ser em grupo
Objetivos
Compreender que na matemaacutetica um teorema soacute eacute verdadeiro se ele pode
ser demonstrado
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Verificar porque tantas pessoas estudaram e demonstraram tal teorema e
que a demonstraccedilatildeo natildeo eacute uacutenica
Primeiramente segue o enunciado do Teorema de Pitaacutegoras
Eacute importante que o professor formalize pelo menos uma demonstraccedilatildeo do
Teorema de Pitaacutegoras para os alunos destacando a importacircncia que esse processo
tem para a matemaacutetica Se preferir pode utilizar a citada neste material
O problema a seguir eacute histoacuterico e seraacute desenvolvido seguindo os passos de
Polya citados anteriormente
Objetivos
Observar a evoluccedilatildeo da matemaacutetica
Traduzir a situaccedilatildeo em linguagem da matemaacutetica atual
Resolver o problema utilizando Polya
ldquoUm pavatildeo estaacute sobre o topo de uma coluna de 10 cocircvados de altura em cuja
base haacute um buraco de cobra Vendo a cobra a uma distacircncia da coluna igual a trecircs
vezes a altura da coluna o pavatildeo avanccedilou para a cobra em linha reta alcanccedilando-a
antes que chegasse a sua cova Se o pavatildeo e a cobra percorreram a distacircncia
iguais a quantos cocircvados da cova eles se encontraramrdquo (1 cocircvado = 0525 m)
Resposta 1333 cocircvados (7 m aproximadamente)
Para concluirmos o roteiro de atividades e avaliar o processo de ensino-
aprendizagem sugerimos a realizaccedilatildeo do poacutes-teste que iraacute nos dar o diagnoacutestico
sobre este material didaacutetico e as tendecircncias metodoloacutegicas utilizadas
Problema de Lilavati adaptado Disponiacutevel emlt
httpwwwebahcombrcontentABAAAemwwAKhistoria-matematicapart=5gt
Em todo triacircngulo retacircngulo o
quadrado da medida da hipotenusa eacute igual agrave
soma dos quadrados das medidas dos
catetos asup2 = bsup2 + csup2
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Atividade 8 Poacutes-teste
Agora que vocecirc jaacute conhece os Teoremas de Tales e Pitaacutegoras bem como a
relaccedilatildeo entre figuras semelhantes responda os problemas a seguir
1 (FuvestndashSP) Trecircs terrenos tecircm frente para a rua A e para a rua B como na
figura As divisas laterais satildeo perpendiculares agrave rua A Qual a medida de
frente para a rua B de cada lote sabendo que a frente total para essa rua tem
180 m
2 (FuvestndashSP) A sombra de um poste vertical projetada pelo sol sobre um chatildeo
plano mede 12 m Nesse mesmo instante a sombra de um bastatildeo vertical
de 1 m de altura mede 06 m Qual a altura do poste
3 (SarespndashSP) No desenho abaixo estatildeo representados os terrenos I II e III
Quantos metros de comprimento deveraacute ter o muro que o proprietaacuterio do
terreno II construiraacute para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas
4 Um aviatildeo percorreu a distacircncia de 5 000 metros na posiccedilatildeo inclinada e em
relaccedilatildeo ao solo percorreu 3 000 metros Determine a altura do aviatildeo
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
5 Uma escada de 12 metros de comprimento estaacute apoiada sob um muro A
base da escada estaacute distante do muro cerca de 8 metros Determine a altura
do muro
6 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com
as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros considerando que a cerca de
arame teraacute 5 fios
7 Um preacutedio tem sombra pela luz solar projetada no solo horizontal com 70 m
Simultaneamente um poste de 8 m de altura localizado nas proximidades
deste preacutedio tambeacutem tem sua sombra projetada no solo Sabendo que neste
instante os raios solares fazem um acircngulo de 45deg com o solo calcule a altura
de preacutedio e a sombra do poste que respectivamente satildeo
8 Dado os triacircngulos retacircngulos ARE e OTE
Se OE = 5 TO = 4 e AE = 10 entatildeo
a) AR = 10
b) AR = 8
c) AR = 6
d) AR = 4
e) AR = 2
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Os seis primeiros exerciacutecios estatildeo disponiacuteveis em lthttpexerciciosbrasilescolacommatematicaexercicios-sobre-aplicacoes-teorema-taleshtmgt Os exerciacutecios 7 e 8 estatildeo disponiacuteveis em lthttpwwwprofcardycomexerciciosassuntophpassunto=SemelhanE7a20de20TriE2ngulosgt
Com estaacute atividade encerra-se um ciclo dentro do Ensino Fundamental da
Matemaacutetica podendo o professor adaptaacute-la para sua praacutetica diaacuteria bem como dispor
de outras atividades que considere importantes para o bom desenvolvimento de
suas aulas
5 CONSIDERACcedilOtildeES FINAIS
Este trabalho teve por finalidade usar as tendecircncias de Resoluccedilatildeo de
Problemas a Histoacuteria da Matemaacutetica e as tecnologias para melhorar o ensino de
Razotildees e Proporccedilotildees Teorema de Tales e Pitaacutegoras Com o uso dessas
metodologias esperamos que o Ensino de Matemaacutetica que eacute bastante maccedilante para
os alunos se torne mais relevante Que isso venha incentivaacute-los para a busca do
conhecimento e quando possiacutevel sua aplicaccedilatildeo praacutetica visto que a matemaacutetica eacute
uma ciecircncia cuja as descobertas nem sempre satildeo de faacutecil aplicaccedilatildeo mas
necessaacuterias aos alunos que pretendem continuarem seus estudos e por que natildeo um
aprofundamento nessa aacuterea que tanto contribui para a evoluccedilatildeo humana
Conforme Polya o aluno deveria se interessar pela Matemaacutetica pelo que ela eacute
em si mesma E que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento o
faccedila de maneira que ldquopossa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descobertardquo
(POLYA 1997 pv) O Professor de matemaacutetica deve se sentir estimulado a ensinar
os conteuacutedos aos alunos mesmo que no momento eles possam natildeo parecer ter
sentido a eles O professor motivado e que acredita estar ensinando algo importante
e pode fazer a diferenccedila para o sucesso escolar de seus alunos
Eacute importante ressaltar que para o aluno fixar as ideacuteias e os Teoremas
propostos nesse material se faccedila em sala de aula mais atividades relacionadas com
o mesmo podendo ser as propostas no livro didaacutetico Esperamos ter contribuiacutedo de
alguma forma com o processo educativo que vivemos na certeza que a escola se
firme novamente na sociedade como uma das mais importantes instituiccedilotildees do
nosso paiacutes
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
6 REFEREcircNCIAS
BORBA M C PENTEADO M G Informaacutetica e Educaccedilatildeo Matemaacutetica
Autecircntica Belo Horizonte 2003
BOYER BC Histoacuteria da matemaacutetica Satildeo Paulo Blucher 2012
DANTE L R Didaacutetica da Resoluccedilatildeo de Problemas de Matemaacutetica Satildeo Paulo
Editora Aacutetica 2005
EUCLIDES Os elementosEuclides traduccedilatildeo e introduccedilatildeo de Irineu Bicudo Satildeo
Paulo Editora UNESP 2009
GIOVANNI J J R CASTRUCCI B A conquista da matemaacutetica 9deg ano Satildeo
Paulo FTD 2009
HARUMA N CA Teorema de Thales uma abordagem do processo ensino-
aprendizagem Satildeo Paulo sn 2000 (dissertaccedilatildeo de mestrado PUC)
HOWARD E Introduccedilatildeo agrave histoacuteria da matemaacutetica Campinas Satildeo Paulo editora
da Unicamp 2004
HOWARD E Histoacuteria da geometria Toacutepicos de histoacuteria da matemaacutetica para
uso em sala de aula Satildeo Paulo Atual 1992
MIGUEL A MIORIM M A Histoacuteria na educaccedilatildeo matemaacutetica proposta e
desafios Belo Horizonte Autecircntica 2004
NOBRE S Alguns ldquoporquecircsrdquo na Histoacuteria da Matemaacutetica e suas contribuiccedilotildees
para a Educaccedilatildeo Matemaacutetica In Cadernos CEDES 40 Histoacuteria e Educaccedilatildeo
Matemaacutetica Campinas Papirus 1996
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
1997
POLYA G A Arte de Resolver Problemas Rio de Janeiro Editora Interciecircncia
2006
PARANAacute Secretaria de Estado da Educaccedilatildeo Superintendecircncia da Educaccedilatildeo
Diretrizes Curriculares De Matemaacutetica Para a Educaccedilatildeo Baacutesica Curitiba 2006
SANTOS M N VIANA M Da C V Abordagem histoacuterica para aprendizagem
dos teoremas de Tales e de Pitaacutegoras Disponiacutevel em lt
httpwwweachuspbrixsnhmAnaisixsnhmComunicacoes1_Santos_M_N_Aborda
gem_histC3B3rica_para_aprendizagempdfgt Acesso em 230413
STRATHERN P Pitaacutegoras e seu teorema em 90 minutos traduccedilatildeo Marcus
Penchel Rio de Janeiro Jorge Zahar 1998
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013
Galileu Revista Galileu Editora Globo Disponiacutevel em
lthttprevistagalileuglobocomGalileu06993ECT640739-2680-100htmlgt Acesso
em 060913
O TEOREMA DE PITAacuteGORAS SEGUNDO EUCLIDES ndash A PROPOSICcedilAtildeO I-47
Disponiacutevel em lt httpobaricentrodamenteblogspotcombr201104o-teorema-de-
pitagoras-segundo-euclideshtmlgt Acesso 17102013
RITTER D SIGUENAtildeS L E B Demonstrando o Teorema de Tales de Forma
Diferenciada Atividade Praacutetica Aplicada no Estaacutegio II Disponiacutevel em lt
httpsbembruccombrXIENEMpdf2252_1288_IDpdfgt Acesso em 26102013