Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO - PEDAGÓGICA PROFESSOR PDE/2013

TÍTULO: Técnicas e Métodos da Divisão na Educação Básica NOME DO PROFESSOR PDE: Luiz dos Santos Oliveira ÁREA/ DISCIPLINA: Matemática. ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO: Colégio Estadual Maria Dalila Pinto – EFM - EJA LOCALIZAÇÃO DA ESCOLA: Rua Vicente Gois Cintra, 180 – Jardim Bela Vista. MUNICÍPIO DA ESCOLA: Santo Antônio da Platina - PR NRE: Jacarezinho. PROFESSOR ORIENTADOR IES: Prof.Esp.Fernando Oliveira da Silva IES VINCULADA: UENP/CCHE/CJ. FORMATO DO MATERIAL DIDÁTICO: Produção Didático – Pedagógica PÚBLICO ALVO DA INTERVENÇÃO: Alunos do EJA - Curso Ensino Fundamental.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE DO PARANÁ

CAMPUS DE JACAREZINHO

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL - PDE

LUIZ DOS SANTOS OLIVEIRA

TÉCNICAS E MÉTODOS DA DIVISÃO NA EDUCAÇÃO BÁSICA

JACAREZINHO 2013

RESUMO

O presente trabalho tem em foco a preocupação com a dificuldade que os

educandos apresentam em resolver operações de divisão e o desenvolvimento de

outras disciplinas que necessitam desses conhecimentos para a solução de seus

problemas. Diagnosticar as concepções e as dificuldades na compreensão dos

métodos e técnicas sobre o algoritmo da divisão; Identificar os procedimentos

utilizados pelos alunos para resolver as operações de divisão de números naturais e

decimais; Identificar as estratégias utilizadas pelos alunos na resolução de

problemas envolvendo divisão de números naturais e decimais; Levantar as

dificuldades na resolução do algoritmo da divisão e de problemas de divisão com

números naturais e decimais; Esclarecer os métodos e técnicas para que o algoritmo

da divisão seja o mais claro e compreensivo possível. Foi constatado através de

nossa prática docente que muitos dos alunos resolviam operações de soma,

subtração e multiplicação sem maiores problemas. Mas, quando se deparavam com

operações de divisão, a maioria deles já demonstrava certa falta de conhecimento

com esta operação matemática e que estas dificuldades estavam atreladas à

ausência da compreensão dos procedimentos adotados no espaço escolar para a

solução dos problemas, tendo em vista que o foco estava, geralmente, voltado para

o resultado e não para o procedimento. Por este motivo pretendo aplicar este projeto

com os alunos do ensino fundamental da EJA. Pesquisar com os alunos, as

aplicações das operações de divisão no seu cotidiano. Coletar dados dessas

aplicações. Discutir essas informações. Analisar as formas de resolução dos alunos.

Apresentar os métodos e técnicas dos algoritmos da divisão.

PALAVRAS – CHAVES: Ensino de Jovens e Adultos; ensino de matemática; algoritmos de divisão;

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PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA

1. APRESENTAÇÃO

A Produção Didático-Pedagógica aqui apresentada é uma das fases do

Programa de desenvolvimento Educacional (PDE) e temos como objetivo propiciar

ao educando da EJA fundamental, uma visão mais ampla no que diz respeito à

capacidade de interpretar e resolver determinados problemas que na maioria das

vezes recaem nas quatro operações básicas. Pois faz parte do projeto de vida do

educando ter um emprego, uma situação financeira estável e possuir uma família.

Para isso, ter o conhecimento dos métodos e técnicas da divisão lhe auxiliará no

controle de sua vida financeira. Proporcionando assim uma tranquilidade no que diz

respeito a sua estabilidade financeira controlada, podendo desenvolver bem o seu

projeto de vida ou auxiliar o projeto de vida de outras pessoas através das atividades

prestadas pelo seu trabalho. A importância deste projeto está em transmitir para o

educando temas vitais para sua qualidade de vida, enfatizando de forma positiva a

consciência social, pois ao saber aplicar seus conhecimentos dos métodos e

técnicas da divisão, independentemente dos recursos tecnológicos disponíveis, os

educandos tem com certeza a capacidade de solucionar problemas em seu dia-a-

dia.

Movido por um ideal e disposto a partilhar meus anseios com educandos que

acreditam num processo de renovação, venho manifestar os pontos fundamentais

no desenvolvimento do Programa de Desenvolvimento de Educação – PDE.

2. UMA BREVE DISCUSSÃO SOBRE O TEMA

Para que os educandos sejam motivados a aprender os métodos e técnicas

da divisão na educação básica, e necessário que visualizem a matemática no nosso

cotidiano. Como disse Barbosa:

A matemática está presente na vida da maioria das pessoas de maneira direta

ou indireta. Em quase todos os momentos do cotidiano, exercita-se os

conhecimentos matemáticos. Apesar de ser utilizada praticamente em todas as

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áreas do conhecimento, nem sempre é fácil mostrar aos alunos, aplicações que

despertem seu interesse ou que possam motivá-los através de problemas

contextualizados (BARBOSA, 2008, p.8).

De acordo com as Diretrizes para o Ensino da Matemática (MEC, 2006), um

dos desafios do ensino da matemática é a abordagem de conteúdos para resolução

de problemas. Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade

de aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a

resolver a questão proposta.

Segundo os PCNs (1997), a matemática tem o intuito de formar cidadãos, ou

seja, preparar para o mundo do trabalho e ter uma relação com as outras pessoas

que vivem no seu meio social. A educação matemática deve atender aos objetivos

do ensino fundamental explicitados nos Parâmetros Curriculares Nacionais: utilizar a

linguagem matemática como meio para produzir, expressar e comunicar suas ideias

e saber utilizar diferentes recursos tecnológicos para adquirir e construir

conhecimentos.

Rêgo e Rêgo (2000) destacam que é premente a introdução de novas

metodologias de ensino, onde o aluno seja sujeito da aprendizagem, respeitando-se

o seu contexto e levando em consideração os aspectos recreativos e lúdicos das

motivações próprias de sua idade, sua imensa curiosidade e desejo de realizar

atividades em grupo.

Sabemos que no ensino da Matemática é comum, muitas vezes, a utilização

de técnicas e procedimentos que fazem uso de uma linguagem simplificada àquilo

que se está trabalhando. Parte disso deve-se ao fato de, por uma questão de

economia de tempo, utilizarmos apenas algoritmos e também às alterações de

sentido cometidas quando “da cópia, da cópia, da cópia” dos conhecimentos

matemáticos (RICIERI, 2008).

Nesses parágrafos procuramos expor, algumas das dificuldades já estudadas

no ensino da Matemática, em especial no que diz respeito à operação de divisão.

Gómez- Granell (2006, p. 263) aponta que, tradicionalmente, o ensino da

Matemática tivesse como objetivo fundamental o ensino da sua linguagem,

acrescentando que não há como negar o papel desta linguagem no processo de

construção do pensamento matemático, porém sempre que possível devemos

atribuir um significado aos símbolos que manipulamos. Afinal as ferramentas e

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noções elaboradas em determinada época refletem um contexto sócio-econômico

cultural que não é o vivenciado por nossos alunos.

Na História da Matemática, Gómez-Granell (2006, p. 260), cita a existência de

muitos exemplos demonstrando como a elaboração de linguagens mais complexas

exigia a formulação de linguagens mais abstratas que, em função disso,

possibilitavam novos modelos de cálculos e conclusões.

Já Santaló (1996, p. 18), expõe a necessidade de ir educando o aluno, desde

as primeiras séries, não apenas na Matemática, mas também no raciocínio, já que

este é considerado a base desta Ciência e imprescindível para ordenar e assimilar

toda a classe de conhecimento. Isto significa que é preciso:

educar o aluno na linguagem adequada para compreender a nomenclatura e funcionamento da tecnologia atual, assim como na base científica que o sustenta. [...] Mais importante é ir aprendendo as leis do raciocínio de maneira natural, como algo inerente à linguagem, da mesma maneira que se aprende a falar sem conhecer a etimologia das palavras.

Roland Charnay (1996, p. 37) considera que uma das grandes dificuldades do

ensino da Matemática, é tornar o conteúdo carregado de significação, de modo que

tenha sentido para o aluno. Este autor utiliza Brousseau (apud. CHARNAY, 1996, p.

37) como referência, e aponta que a construção da significação de um conhecimento

deve ser considerada em dois níveis:

, e quais

são os limites desse campo;

Pensando na operação de divisão, podemos associar ao nível externo

questionamentos como:

“Para que serve a divisão? Onde usar a divisão?”. Por outro lado, ao nível interno de

significação de um conhecimento associam-se questões do tipo: “Como funciona o

algoritmo? Por que conduz a resposta procurada?”.

Além disso, Charnay (1996, p. 38) coloca que o aluno deve “... ser capaz não só de

repetir ou refazer, mas também de ressignificar em situações novas, de adaptar, de

transferir seu conhecimento para resolver problemas”.

Da mesma forma, Gómez-Granell (2006, p. 274) expõe que:

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Saber matemática implica em dominar os símbolos formais independentemente das situações específicas e, ao mesmo tempo, poder devolver a tais símbolos o seu significado referencial e então usá-los nas situações problemas que assim o requeiram.

Encontramos nesta fala a fundamentação teórica para um dos objetivos

específicos deste trabalho, de levar estudante a identificar que os símbolos

matemáticos obedecem a regras próprias, independentes do contexto em que estão

inseridos. Em geral, o ensino da operação divisão está baseado na apresentação de

um método de cálculo associado a um pequeno universo de problemas que,

pressupõe-se, “darão conta” do significado do conceito. Qualquer algoritmo, e em

especial no caso o da divisão, isolado do contexto, converge para uma resposta de

perguntas futuras que não são conhecidas previamente. O algoritmo é “aprendido”

para servir na resolução de problemas, porém não se conhece de que problema

trata-se.

Em seu artigo “Dividir com dificuldade ou a dificuldade de dividir”, Irma Saiz

(1996, p. 182) diz não ser possível tirar conclusões gerais em relação ao assunto da

divisão. Deixa clara a sua intenção de análise das dificuldades, das crianças, com a

divisão e também de proporcionar aos professores recursos para análise da

produção de seus alunos. Apesar disso, durante todo o tempo vivido no magistério,

observamos o que Saiz (1996, p. 170) coloca com propriedade:

Os alunos não atribuem significado ao algoritmo que aplicam, portanto não podem interpretar o que obtiveram nas diferentes etapas do cálculo, em termos do problema formulado (...). O algoritmo ensinado parece como um puro trabalho sobre os números, independente dos dados da situação enunciada.

A tendência à economia de tempo seja no ensino como na aprendizagem,

favorecem a aplicação de algoritmos que geralmente acarretam uma perda de

sentido. Segundo Saiz (1996, p. 168):

A representação da divisão não pode reduzir-se ao conhecimento de uma estratégia de solução acompanhada de um suposto “sentido” ou significado da operação que permita aplicá-la, porém implica a capacidade de controlar as várias estratégias, passando de uma a outra, segundo as circunstâncias.

Enquanto, na antiguidade, a divisão era uma operação realizada apenas por

sábios, atualmente contamos com um algoritmo rápido e eficaz para efetuá-la

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utilizado por muitos e ainda com a possibilidade de utilizar máquinas (calculadoras e

computadores) que resolvem cálculos, em menos tempo que as pessoas. Mesmo

assim, ocorrem nas escolas, crianças que já tiveram contato com a divisão e mesmo

assim assumem a falta do “saber dividir”, já que não atribuem significado ao

algoritmo ou ao resultado obtido.

Com todo o avanço tecnológico presente reconhece-se que o conhecimento

não é mais monopólio das escolas. Santaló (1996) coloca que a educação informal

dos meios extraescolares encontra-se em ascensão. Se a escola prender-se

exclusivamente em uma educação para um mundo ideal fatalmente distanciar-se-á

cada vez mais da realidade. Tal situação tende a provocar um afastamento dos

ensinamentos do professor para ter mais crédito o mundo simplificado da ciência-

ficção presentes no cinema, televisão, revistas, internet, videogame. Desta forma, os

indivíduos, ao saírem para atuar na sociedade, serão inconsistentes, não possuirão

uma base firme, de conhecimento organizado que é o que a escola deve

proporcionar-lhes. Reafirma-se assim a necessidade dos conceitos estarem

consolidados, porém próximos das facilidades atuais. Selva & Borba (2005, p. 51)

em seu artigo “O uso de diferentes representações na resolução de problemas de

divisão inexata: analisando a contribuição da calculadora”, apresentam resultados de

pesquisas de diversos autores que abordam este tema. Quando do uso da

calculadora por crianças na resolução de problemas matemáticos abertos puderam

constatar, de um modo geral, que a sua utilização proporcionou maior agilidade nas

tentativas conduzindo o estudante a colocar maior atenção na maneira utilizada na

resolução do que no cálculo em si. Tal alternativa proporciona de fato uma

discussão matemática em sala de aula. Outra situação também citada é que mesmo

com a possibilidade do uso da calculadora não se dispensa o cálculo mental e nem

o manual durante a busca de resolução do problema.

Considerando o tempo que atuo no magistério, tive a oportunidade de

compartilhar experiências com outros professores de matemática e inclusive

professores das séries iniciais, e através deste contato puderam constatar que uma

das dificuldades tanto de alguns professores, quanto da maioria dos alunos, está na

operação de divisão de números inteiros e decimais.

O método utilizado neste trabalho consiste em transmitir da forma mais clara

possível aos alunos os termos: dividendo, divisor, quociente, resto, e os processos

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longo e breve do algoritmo da divisão. Para isto destaquei uma sequência de

operações de divisão, que serão desenvolvidas em seis passos, classificadas por

grau de dificuldade, abaixo relacionados:

Divisão entre números inteiros com restos iguais a zero (quociente inteiro);

Divisão entre números inteiros com restos diferentes de zero (quociente

inteiro);

Divisão entre números decimais com restos iguais a zero (quociente inteiro);

Divisão entre números decimais com restos deferentes de zero (quociente

inteiro);

Divisão entre números inteiros e decimais com restos iguais a zero (quociente

decimal);

Divisão entre números inteiros e decimais com restos diferentes de zero

(quociente decimal);

3. Relevância do trabalho Os alunos apresentam dificuldade em desenvolver atividades que recaem em

operações de divisão e multiplicação que estão ligadas diretamente nas operações

de adição e subtração respectivamente. Estas operações que são muito utilizadas

nas áreas de física, química e algumas áreas da biologia, além da própria

matemática. Portanto este projeto se justifica pelo fato de encontrar uma forma de

esclarecer os mecanismos para facilitar o desenvolvimento das disciplinas que

necessitam de forma direta ou indireta dos métodos e técnicas das operações

matemáticas que auxiliam as resoluções dos mais diversos temas das ciências da

natureza.

Mesmo considerando que tais dificuldades poderiam ser amenizadas com a

utilização de materiais tecnológicos como, por exemplo: calculadoras, celulares,

tablets entre outros. É relevante lembrar que um dos objetivos de nossos educandos

pode ser ingressar em concursos públicos, privados, vestibulares e etc, e o

conhecimento dessas técnicas e métodos são, neste caso, essenciais. Entretanto,

entendo que haja a necessidade de disponibilizar aos educandos metodologias,

estratégias e instrumentos que possam tornar a aprendizagem mais significativa a

partir da elaboração do conhecimento do próprio educando, estando em

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consonância com o que determina as diretrizes curriculares da Educação Básica.

4. Aplicação das atividades

Procedimentos a serem efetuados:

Aplicar um questionário com o objetivo de visualizar melhor a situação dos

educandos;

Tabular os dados;

Esboçar gráficos com os resultados obtidos;

Expor aos alunos a situação real da sala no inicio do projeto através dos

gráficos;

Explicar cada um dos passos da divisão antes de sua aplicação;

Aplicar cada um dos seis passos da divisão para os alunos através de

material impresso;

Tabular os dados de cada um dos procedimentos;

Esboçar o gráfico de cada um dos procedimentos;

Esclarecer aos educandos através dos dados e gráficos obtidos a situação

real da sala;

Explicar aos educandos o(s) passo(s) que implicaram em maior número de

erros e esclarecê-los.

1. Primeiro procedimento:

Vamos passar aos alunos uma pesquisa (questionário), pois queremos conhecer

algumas informações referentes ao saber do discente sobre o algoritmo da divisão.

Utilizaremos as seguintes perguntas no processo mencionado a seguir:

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QUESTIONÁRIO

01 – Nome completo: 02 – Profissão: 03 – Rua de sua residência: 04 – Bairro: 05 – Você utiliza diariamente as operações de divisão, além das demais operações matemáticas, em seu dia-a-dia? ( ) sim ( ) não 06 – Qual dos processos de divisão você conhece: ( ) o breve ( ) o longo. 07 – Qual é o método que você utiliza para resolver operações de divisão de números inteiros e decimais. ( ) o breve ( ) o longo. 08 – Você tem conhecimento que o processo longo e o processo breve consistem em operações de multiplicação e subtração? ( ) sim ( ) não 09 – Você se lembra dos termos dividendo, divisor, quociente e resto. ( ) sim ( ) não 10 – Você se lembra, por exemplo, de que: 2 milésimos = 20 centésimos = 200 dezenas = 2000 unidades? ( ) sim ( ) não 11 – Você encontra muita dificuldade em operações de divisão com números decimais (números com vírgula)? ( ) sim ( ) não 12 – Você julga necessário conhecer a tabuada para desenvolver os passos da divisão? ( ) sim ( ) não

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2. Segundo procedimento:

Revisar com os educandos, os seguintes conteúdos que serão necessários

para o desenvolvimento deste passo:

Decomposição dos números em partes inteiras escrevendo o mesmo número

em milhares, centenas, dezenas e unidades e a decomposição dos números em

partes decimais escrevendo o mesmo número em décimos, centésimos, milésimos,

décimos de milésimos, centésimos de milésimos, milionésimos, a importância de

entender a tabuada, pois é fator importante no processo. Os termos: dividendo,

divisor, quociente, resto, e os processos longo e breve do algoritmo da divisão.

Os passos da divisão de números inteiros destacados neste projeto são:

Divisão entre números inteiros com restos iguais a zero (quociente inteiro);

Divisão entre números inteiros com restos diferentes de zero (quociente

inteiro);

Divisão entre números decimais com restos iguais a zero (quociente inteiro);

Divisão entre números decimais com restos deferentes de zero (quociente

inteiro);

Divisão entre números inteiros e decimais com restos iguais a zero (quociente

decimal);

Divisão entre números inteiros e decimais com restos diferentes de zero

(quociente decimal);

Para que haja uma fixação da parte teórica relatada anteriormente, realizaremos

a aplicação de seis atividades envolvendo cada um dos diferentes passos do

algoritmo da divisão. Em cada uma das atividades contendo dez questões, serão

esclarecidos antecipadamente que os resultados obtidos nas resoluções serão

tabulados e depois de comentados para que haja uma autocorreção das questões

incorretas. Para isso utilizaremos o primeiro bimestre do ano letivo de 2014.

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3. Terceiro procedimento:

O tempo previsto para aplicação é de 02 horas-aula. E o objetivo desta atividade é

minimizar ao máximo as dúvidas sobre a divisão.

SANTO ANTONIO DA PLATINA-PR, _____ DE __________________ DE 2014. NOME: ________________________________ EJA – ENSINO FUNDAMENTAL ATIVIDADE – 01

Divisão entre números inteiros com restos iguais a zero (quociente inteiro) a) 18 / 3 = b) 96 / 32 = c) 147 / 21 = d) 256 / 8 = e) 600 / 120 = f) 720 / 24 = g) 475 / 5 = h) 2874 / 3 = i) 3648 / 12 = j) 10584 / 287 =

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4. Quarto procedimento: O tempo previsto para aplicação é de 02 horas-aula. E o objetivo desta atividade é minimizar ao máximo as dúvidas sobre a divisão. SANTO ANTONIO DA PLATINA-PR, _____ DE __________________ DE 2014. NOME: ________________________________ EJA – ENSINO FUNDAMENTAL ATIVIDADE – 02

Divisão entre números inteiros com restos diferentes de zero (quociente inteiro)

a) 57 / 6 = b) 85 / 13 = c) 247 / 25 = d) 498 / 12 = e) 689 / 123 = f) 8421 / 8 = g) 2743 / 13 = h) 6917 / 84 = i) 18542 / 235 = j) 12835 / 306 =

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5. Quinto procedimento: O tempo previsto para aplicação é de 02 horas-aula. E o objetivo desta atividade é minimizar ao máximo as dúvidas sobre a divisão. SANTO ANTONIO DA PLATINA-PR, _____ DE __________________ DE 2014. NOME: ________________________________ EJA – ENSINO FUNDAMENTAL ATIVIDADE – 03

Divisão entre números decimais com restos iguais a zero (quociente inteiro) a) 7,2 / 2,4 = b) 16,10 / 3,5 = c) 8,286 / 0,2 = d) 18,85 / 6,5 = e) 638,3 / 98,2 = f) 11003,88 / 128,4 = g) 2866,28 / 52,4 = h) 2428,8 / 35,2 = i) 8076,9 / 123,5 = j) 38695,8 / 85,8 =

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6. Sexto procedimento: O tempo previsto para aplicação é de 02 horas-aula. E o objetivo desta atividade é minimizar ao máximo as dúvidas sobre a divisão. SANTO ANTONIO DA PLATINA-PR, _____ DE __________________ DE 2014. NOME: ________________________________ EJA – ENSINO FUNDAMENTAL ATIVIDADE – 04

Divisão entre números decimais com restos diferentes de zero (quociente inteiro)

a) 8,5 / 2,7 = b) 32,4 / 4,2 = c) 12,345 / 0,8 = d) 748,45 / 32,4 = e) 2831,3 / 12,6 = f) 9032,45 / 82,7 = g) 12452, 1 / 2,684 = h) 8,7 / 2,35 = i) 1,82 / 0,312 = j) 5327,1 / 2,45 =

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7. Sétimo procedimento: O tempo previsto para aplicação é de 02 horas-aula. E o objetivo desta atividade é minimizar ao máximo as dúvidas sobre a divisão. SANTO ANTONIO DA PLATINA-PR, _____ DE __________________ DE 2014. NOME: ________________________________ EJA – ENSINO FUNDAMENTAL ATIVIDADE – 05

Divisão entre números inteiros e decimais com restos iguais a zero (quociente decimal)

a) 8 / 0,125 = b) 12 / 0,25 = c) 63 / 1,8 = d) 72 / 0,6 = e) 2282 / 3,50 = f) 6,25 / 25 = g) 374,4 / 96 = h) 280,35 / 45 = i) 139,2 / 24 = j) 719,6 / 56 =

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8. Oitavo procedimento: O tempo previsto para aplicação é de 02 horas-aula. E o objetivo desta atividade é minimizar ao máximo as dúvidas sobre a divisão. SANTO ANTONIO DA PLATINA-PR, _____ DE __________________ DE 2014. NOME: ________________________________ EJA – ENSINO FUNDAMENTAL ATIVIDADE – 06

Divisão entre números inteiros e decimais com diferentes de zero (quociente decimais) com aproximação de 0,01

a) 10 / 0,23 = b) 27 / 0,81 = c) 104 / 2,8 = d) 280 / 3,14 = e) 2873 / 12,85 = f) 24,7 / 43 = g) 128,43 / 35 = h) 340,85 / 54 = i) 1438,123 / 8= j) 87,41 / 149 =

5. REFERÊNCIAS

BARBOSA, S. L. P. Jogos Matemáticos como Metodologia de Ensino- Aprendizagem das Operações com Números Inteiros. 2008. Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional. Universidade Estadual de Londrina, Londrina. Disponível: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1948-6.pdf>. Acesso em 02 Jul. 2013. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC, 1998. 148 p. BROSSEAU, Guy. Os diferentes papéis do professor. In: PARRA, Cecília & SAIZ, Irma (Orgs.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. CARVALHO, Alice; GONÇALVES, Henriqueta, Multiplicação e divisão: conceitos.

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TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Didática de matemática como dois e dois: construção da matemática de 1ª séries. São Paulo: FTD, 1997.