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Optimização da concepção de sistemas deamortecimento por atrito
Cristiana da Silva Feliciano
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Orientador(es): Prof. Luís Manuel Coelho GuerreiroProf. António Manuel Figueiredo Pinto da Costa
Júri
Presidente: Prof. José Joaquim Costa Branco de Oliveira PedroOrientador: Prof. António Manuel Figueiredo Pinto da Costa
Vogal: Prof. Jorge Miguel Silveira Filipe Mascarenhas Proença
Outubro 2015
ii
Agradecimentos
Muitas pessoas ajudaram a tornar este trabalho possıvel.
Gostaria de agradecer aos Professores Luıs Guerreiro e Antonio Pinto da Costa por terem
aceite ser meus orientadores dando-me oportunidade de poder realizar a dissertacao sobre este
tema e ainda pela disponibilidade, pela partilha de conhecimentos, pelas opinioes, crıticas e
total colaboracao no solucionar de problemas que foram surgindo ao longo do tempo.
Gostava de agradecer ao Filipe Fortes pela cedencia do servidor da PT e a Claudia Carvalho
pela cedencia do seu computador pessoal que tornou possıvel obter resultados de forma rapida.
Dirijo um agradecimento especial aos meus pais e irmaos, pelo seu apoio, incentivo, paciencia,
preocupacao e carinho demonstrados.
Ao Pedro Melo pelas opinioes e crıticas ao trabalho e por toda a ajuda, apoio e tranquilidade
transmitida ao longo desta etapa.
Obrigado a todas as pessoas que contribuıram para este trabalho e estiveram ao meu lado
durante estes tempos.
iii
iv
Resumo
Esta dissertacao trata da simulacao numerica de estruturas planas equipadas com dissipado-
res de atrito. Usou-se um metodo de integracao numerica no tempo, o metodo de θ, construıdo
especificamente para lidar com o caracter nao linear da lei de atrito de Coulomb, implemen-
tado em ambiente Matlab. Este metodo foi associado a um algoritmo genetico (da Toolbox
do Matlab) para a optimizacao das forcas maximas de atrito dos dissipadores. O metodo θ
programado foi testado com exemplos simples, para os quais se conhece bem a resposta, com
o objectivo de validar o programa. Fez-se um estudo com cinco estruturas planas com pare-
des estruturais de diferentes dimensoes, com um amortecedor por piso, que foram sujeitas a
accao de sete acelerogramas de sismos reais, de modo a compreender a importancia de paredes
estruturais na distribuicao das forcas maximas dos dissipadores. Com o proposito de redu-
zir simultaneamente deslocamentos e aceleracoes adoptou-se uma optimizacao multi-objectivo.
Consideraram-se dois tipos de distribuicao das forcas maximas dos dissipadores: (i) uniforme
em altura e (ii) variada em altura. Concluiu-se que a distribuicao optima e aproximadamente
uniforme. Apresentam-se comparacoes entre as respostas das estruturas aos sete sismos sem
dissipadores e com dissipadores dimensionados para a forca maxima optima, demonstrando-se
a eficacia dos mesmos.
Palavras-chave: Proteccao sısmica passiva, Atrito, Optimizacao multi-objectivo,
Algoritmo genetico
v
vi
Abstract
The work summarized in the present dissertation is about the numerical simulation of plane
structures equipped with frictional damping devices. A numerical time integration method spe-
cifically tailored to deal with the non-regular character of Coulomb’s friction law, the θ-method,
was programmed in Matlab. It was conjugated with a genetic algorithm (from the Toolbox of
Matlab) for the optimization of the slip forces of the frictional energy dissipators. Initially, the
θ-method was tested with simple examples for which we know the response in order to validate
the program. Then, five plane structures with structural walls of different sizes, with a frictio-
nal damper in each floor, under a set of seven real earthquake records were used in this study
in order to understand the importance of structural walls in the distribution of the dissipators’
slip force. In order to simultaneously reduce displacements and accelerations a multi-objective
optimization was used. Two types of dissipators’ maximal forces distributions were conside-
red: (i) uniform, and (ii) non-uniform. It was concluded that the optimal distribution is not
very different from the uniform one. The efficiency of the friction dampers as anti-seismic sys-
tems is emphasized by the comparison of the seismic response of the optimal designs with the
uncontrolled frames.
Keywords: Passive seismic protection, Friction, Multi-objective optimization, Genetic
algorithm
vii
viii
Conteudo
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Lista de sımbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
1 Introducao 1
2 Amortecimento de Coulomb em estruturas: modelos elementares 5
2.1 Amortecimento viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Amortecimento de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Ciclos de histerese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Amortecimento viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.2 Amortecimento por atrito de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Alguns comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Modelacao analıtica e simulacao numerica de estruturas com sistemas de dissipacao
por atrito 17
3.1 Equacoes do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 N graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2 Formacao da matriz W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Algoritmo de integracao numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 Metodo θθθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Exemplos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1 Exemplos numericos de um grau de liberdade . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.2 Exemplos numericos com dois graus de liberdade . . . . . . . . . . . . 31
ix
4 Algoritmos geneticos aplicados a optimizacao do dimensionamento de dissipadores
por atrito 37
4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Optimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2 Criterios de paragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Exemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Optimizacao de sistemas de dissipacao em porticos com paredes estruturais 49
5.1 Definicao das estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.1 Amortecimento de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Definicao dos sismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Criterios de optimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4.1 Um calculo previo: a pesquisa de intervalos eficazes de forcas maximas
dos dissipadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4.2 Optimizacao segundo o criterio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4.3 Optimizacao segundo o criterio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Conclusoes e sugestoes para futuros trabalhos 67
Referencias 69
A Matrizes relativas as cinco estruturas planas analisadas no capıtulo 5 71
B Resultados da optimizacao 77
B.1 Optimizacao segundo o criterio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
B.1.1 Distribuicao uniforme em altura das forcas nos dissipadores . . . . . . 77
B.1.2 Distribuicao variada em altura das forcas nos dissipadores . . . . . . . 81
B.2 Optimizacao segundo o criterio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B.2.1 Distribuicao uniforme em altura das forcas nos dissipadores . . . . . . 87
B.2.2 Distribuicao variada em altura das forcas nos dissipadores . . . . . . . 88
Lista de tabelas 91
x
Lista de figuras 95
xi
xii
Lista de sımbolos
Caracteres latinos
c Coeficiente de amortecimento viscoso.
ci Coeficiente de amortecimento do amortecedor imediatamente abaixo do i-esimo piso.
C Matriz de amortecimento viscoso.
CT Matriz de amortecimento viscoso total.
d(t) Deslocamento absoluto da fundacao.
fs Forca maxima de atrito de um dissipador de atrito.
F (t) Forca excitadora.
f Frequencia natural.
fsi Forca maxima de atrito do dissipador de atrito imediatamente abaixo do i-esimo piso.
g Aceleracao da gravidade.
h Passo de tempo de integracao do metodo θ.
i Vector dos impulsos tangentes.
k Rigidez de uma mola elastica linear.
ki Rigidez transversal dos pilares imediatamente abaixo do i-esimo piso.
kbi Rigidez do sistema de suporte do dissipador imediatamente abaixo do i-esimo piso.
K Matriz de rigidez.
KT Matriz de rigidez total.
xiii
m Massa.
mi Massa do i-esimo piso.
M Matriz de massa.
MT Matriz de massa total.
p Vector que contem os valores preditores dod impulsod tangentes (metodo θ).
p Frequencia angular natural de um oscilador de 1 grau de liberdade.
ri Forca de atrito instantanea mobilizada no i-esimo dissipador i.
r(t) Vector das reaccoes de atrito no instante t.
Td Perıodo de oscilacao fundamental.
v Vector das velocidades relativas de deslizamento nos dissipadores.
W Matriz (em geral rectangular) que transforma as reaccoes tangentes locais em reaccoes
generalizadas.
WF Trabalho realizado num ciclo de oscilacao pela forca F .
Wdiss Energia dissipada num ciclo.
x(t) Deslocamento relativo a fundacao no instante t.
x(t) Velocidade relativa a fundacao no instante t.
x(t) Aceleracao relativa a fundacao no instante t.
X(t) Deslocamento absoluto no instante t.
xb(t) Coordenada que mede o movimento da ligacao entre a mola e o dissipador numa associacao
em serie mola-dissipador.
Xi Deslocamento absoluto do i-esimo piso.
Xbi Coordenada que mede o movimento da ligacao entre o sistema de suporte e o dissipador
do i-esimo piso.
xi(t) Deslocamento relativo a fundacao do i-esimo piso, no instante t.
xiv
x Vector que agrupa os deslocamentos relativos a fundacao de todos os pisos.
xT Vector que agrupa os deslocamentos relativos a fundacao de todos os graus de libertade.
xb Vector que agrupa os deslocamentos relativos a fundacao da coordenada que mede o
movimento da ligacao entre os sistemas de suporte e os dissipadores em todos os pisos.
Caracteres gregos
δ Decremento logarıtmico.
ε Tolerancia do erro.
ζ Factor de amortecimento.
θ Constante de integracao do metodo θ.
µ Coeficiente de atrito de Coulomb.
ω Frequencia angular de excitacao.
xv
xvi
Capıtulo 1
Introducao
Durante o tempo de vida util de uma estrutura uma das accoes mais destrutivas a que esta
pode estar sujeita e a accao sısmica, que resulta frequentemente em perdas de vidas e danos
materiais avultados. Dependendo da magnitude, a accao sısmica pode transmitir grandes quan-
tidades de energia a estrutura a partir dos deslocamentos impostos nas suas fundacoes. Estima-
se que o sismo de Sichuan, na China, que ocorreu a 12 de Maio de 2008, com magnitude de
8.0 na escala de Richter (figura 1.1a, imagem da pagina da internet Dynamic Earth), causou
mais de 85 mil mortos e mais de 358 mil feridos (Wikipedia - 2008 Sichuan earthquake, 2015).
Mais recentemente, a 16 de Setembro de 2015, o sismo de Illapel no Chile com epicentro a 46
km da costa (figura 1.1b, imagem da pagina da internet In Habitat), com magnitude de 8.3 e
com varias replicas com magnitudes superiores a 6.0 (USGS - science for a changing world,
2015) causou tambem grande destruicao tendo a zona costeira sofrido a accao de um tsunami
(figura 1.1c, imagem da pagina da internet CCTV - English).
(a) (b) (c)
Figura 1.1: Imagens da destruicao causada por diversos sismos: (a) Sismo Sichuan (China,2008), (b) Sismo Illapel (Chile, 2015), (c) Tsunami em consequencia do Sismo Illapel.
A resposta de uma estrutura quando actuada por uma accao sısmica depende da rigidez
dos seus elementos estruturais e da sua capacidade de dissipar energia. Dimensionar estru-
1
turas com alguma dimensao recorrendo exclusivamente a capacidade resistente da estrutura
esta fora de causa por razoes economicas, sendo de grande utilidade recorrer a dissipacao de
energia para melhorar o comportamento sısmico das estruturas diminuindo os valores de pico
dos esforcos. Os regulamentos actuais, nomeadamente a norma EN1998-1:2004 (de aqui em
diante tambem designado por EC8), permitem/sugerem uma ideia convencional de dimensio-
namento que previne o colapso da estrutura pela dissipacao de energia inerente ao comporta-
mento nao linear de alguns elementos estruturais. Este metodo de dimensionamento admite
a ocorrencia de danos nalguns elementos estruturais, e consequentemente que existam custos
associados a reparacao/substituicao dos mesmos. De modo a prevenir estes prejuızos e mesmo
assim obter um bom comportamento sısmico, nas ultimas decadas tem-se desenvolvido siste-
mas de proteccao sısmica. Estes sistemas alteram as propriedades dinamicas da estrutura para
controlar a resposta sısmica reduzindo os danos estruturais e aumentando a seguranca. O con-
trolo estrutural pode ser dividido em quatro grupos (Housner et al, 1997): controlo passivo,
controlo activo, controlo hıbrido e controlo semi-activo. O controlo passivo consiste na melho-
ria das capacidades de dissipacao de energia de uma estrutura durante a resposta a uma accao
externa. Inclui os sistemas de isolamento base e os sistemas de dissipacao de energia. Estes
ultimos podem por exemplo ser amortecedores por atrito, tratados nesta dissertacao. Existem
outros sistemas de dissipacao passiva de energia como amortecedores metalicos, que dissipam
energia pelo comportamento elasto-plastico de pecas metalicas adicionadas a estrutura ou os
amortecedores viscoelasticos que dissipam energia por exemplo pela deformacao de camadas
de materiais viscoelasticos.
Os dissipadores por atrito (figura 1.2, imagens da pagina da internet Damptech) permitem
dissipar energia pelo deslizamento relativo entre duas superficies rugosas. Dimensionam-se
dissipadores para permitirem o deslizamento para uma determinada forca maxima, dissipando
assim energia que de outro modo teria que ser dissipada pelos elementos estruturais em regime
nao linear (levando a acumulacao de danos na estrutura) ou acomodada em regime elastico
pelos elementos estruturais, o que encareceria extraordinariamente a estrutura. Os dissipado-
res podem ser usados na ligacao entre edifıcios adjacentes ou entre pisos consecutivos de um
edifıcio com o objectivo de tirar partido da ocorrencia de deslizamentos relativos, podendo ser
usados em estruturas metalicas, de betao e mistas. Dado que sao sistemas leves, faceis de pro-
duzir, de instalar e de manter, tornam-se bastante economicos em comparacao por exemplo com
amortecedores de fluido viscoso.
2
(a) Figura esquematica de um dissipador deatrito.
(b) Dissipador de atrito no processo de monta-gem.
Figura 1.2: Dissipadores por atrito: (a) esquema, (b) pormenor de aplicacao num edifıcio.
Optar pela solucao de sistemas passivos de proteccao sısmica cabe ao Dono de Obra em
conjunto com o Projectista, e nao existe regulamentacao especifica que guie o dimensionamento
dos sistemas tratados na presente dissertacao. Portanto a motivacao desta dissertacao foi a
identificacao de estrategias de dimensionamento das forcas maximas optimas nos dissipadores
com base em estudos de porticos planos e a avaliacao da eficiencia dos dissipadores de atrito no
amortecimento de vibracoes induzidas por sismos reais (continuacao do estudo apresentado em
(Monica, 2013)). Estes estudos recorrem a uma ferramenta de calculo automatico, desenvolvida
nesta dissertacao em ambiente Matlab (Matlab, 2014), para analisar o comportamento dinamico
de estruturas planas equipadas com dissipadores de atrito, sujeitas a accao de sismos, associada
a um algoritmo de optimizacao (algoritmo genetico) ja existente em ambiente Matlab (mais
especificamente na Optimization Toolbox), para optimizar as forcas maximas nos dissipadores.
No ambito da optimizacao da concepcao de sistemas de amortecimento por atrito existem
muitos trabalhos dos quais mencionamos os dois que inspiraram a realizacao desta dissertacao:
a tese de doutoramento (Moreschi, 2000) e o artigo (Fallah e Honarparst, 2013). Debrucam-se
ambos sobre a optimizacao do dimensionamento de sistemas de dissipacao passiva de energia
em porticos planos, tıpicos dos que se encontram em estruturas de Engenharia Civil. Note-se
que ambos recorrem ao algoritmo genetico para o processo de optimizacao, tal como na presente
dissertacao. Em (Moreschi, 2000) optimizaram-se as forcas nos dissipadores de uma estrutura
minimizando os deslocamentos, o que e desvantajoso por conduzir a aceleracoes elevadas, con-
cluindo entao o autor ser vantajoso optimizar as forcas nos dissipadores por minimizacao com-
binada das aceleracoes e dos deslocamentos. Estes autores obtiveram distribuicoes de forcas
bastante irregulares em altura, quando se permite que a forca em cada dissipador seja uma
variavel independente; quando se distribui a forca pelos dissipadores uniformemente e se com-
3
para a resposta da estrutura com a optimizacao em que se admite forcas diferentes nos dissi-
padores, as diferencas sao diminutas, pelo que se conclui que uma solucao uniforme em al-
tura e, em geral, uma boa opcao de dimensionamento. O artigo (Fallah e Honarparst, 2013)
faz a optimizacao das forcas maximas nos dissipadores procurando minimizar deslocamentos,
aceleracoes e ainda a forca de corte basal e chega a mesma conclusao que Moreschi (2000),
ou seja, quando a optimizacao permite que a forca em cada dissipador seja uma variavel inde-
pendente a distribuicao de forcas nos dissipadores em altura e bastante irregular, mas quando
se distribui a forca uniformemente pelos dissipadores a resposta da estrutura nao apresenta
diferencas significativas da da distribuicao variada.
O presente capıtulo destinou-se a apresentar o ambito do trabalho desenvolvido e o lugar
ocupado pelos sistemas de dissipacao de atrito na vastıssima area designada por controlo es-
trutural. O capıtulo 2 aponta diferencas entre o funcionamento dos amortecedores viscosos
e o dos amortecedores por atrito, com base em modelos estruturais muito simples. Nesse
capıtulo apresentam-se os ciclos de histerese de diversas associacoes entre molas, amortece-
dores viscosos e dissipadores por atrito de Coulomb. No capıtulo 3 deduzem-se as equacoes
que regem o movimento de um portico de N pisos e mostra-se como estas se podem integrar
numericamente para simular os movimentos dos pisos para a accao sısmica. Descreve-se o al-
goritmo de integracao numerica desenvolvido em ambiente Matlab no ambito desta dissertacao
e apresentam-se simulacoes de diversos sistemas simples que permitem validar o algoritmo
e a sua implementacao. O capıtulo 4 destina-se a apresentar um conjunto de algoritmos de
optimizacao, algoritmos geneticos, e os resultados da sua aplicacao a um portico plano de tres
pisos. No capıtulo 5 procede-se a optimizacao das forcas maximas nos dissipadores em cinco
estruturas planas de 20 pisos considerando (i) comportamento linear nos pilares por se admitir
a eficiencia dos dissipadores em limitar as amplitudes do movimento, (ii) massas dos porticos
concentradas ao nıvel dos pisos e (iii) accoes sısmicas caracterizadas por acelerogramas reais.
No ultimo capıtulo explicam-se conclusoes e apontam-se sugestoes para futuros trabalhos.
4
Capıtulo 2
Amortecimento de Coulomb em
estruturas: modelos elementares
As estruturas reais sao sistemas em que a massa, a rigidez e o amortecimento estao, quase
sempre, distribuıdos continuamente. No entanto, e sempre possıvel aproxima-las por sistemas
discretos em que aquelas propriedades sao concentradas em determinados locais e segundo
determinadas direccoes (“lumped systems” em Ingles). A consideracao de sistemas em que
a massa, a rigidez e o amortecimento estejam concentrados num numero finito de pontos e
direccoes facilita extraordinariamente a sua analise, uma vez que o modelo sera discreto (com
um numero finito de graus de liberdade) em vez de contınuo (numero infinito de graus de liber-
dade). Estes sistemas discretos, por mais complexos que sejam, podem sempre ser concebidos
como associacoes em serie e/ou paralelo de massas, molas, amortecedores ou elementos com
leis constitutivas nao lineares, sendo pois pertinente dedicar um pequeno capıtulo a analisar mo-
delos simples resultantes de associacoes em serie e/ou paralelo de elementos basicos: a massa
concentrada, a mola elastica linear, o amortecedor viscoso e o dissipador por atrito de Coulomb.
A pertinencia deste capıtulo e reforcada pelo facto de nesta dissertacao se analisarem porticos
planos equipados com dissipadores de atrito e pelo facto de nao ser (ainda) ensinada no mes-
trado integrado em Engenharia Civil a reologia desse tipo de dissipadores. Neste capıtulo poe-se
em evidencia as principiais diferencas qualitativas e quantitativas entre amortecedores viscosos
e dissipadores de atrito baseados no modelo classico de atrito de Coulomb. Para varios tipos de
associacoes entre molas, amortecedores viscosos e dissipadores de atrito mostram-se os ciclos
de histerese em regime permanente para um movimento prescrito de tipo sinusoidal, alem de,
em certos casos, se deduzirem equacoes.
5
2.1 Amortecimento viscoso
A figura 2.1 representa um sistema de um grau de liberdade formado pela associacao em
paralelo de uma mola de rigidez k e de um amortecedor viscoso de coeficiente de amorteci-
mento c, ambos ligados em serie com uma massa m. A equacao que rege este sistema e a bem
conhecida equacao homogenea, x+2ζpx+p2x = 0, em que p =√k/m e a frequencia angular
natural nao amortecida do oscilador e ζ =c
2mpe o factor de amortecimento (Craig, 1981). No
caso mais usual e util em Engenharia Civil de amortecimento subcrıtico (ζ < 1) a solucao e
do tipo oscilatorio de amplitude exponencialmente decrescente, pelo que uma medida natural
para quantificar a taxa de decaimento das amplitudes e o decremento logarıtmico, definido pelo
logaritmo Neperiano do quociente entre dois deslocamentos medidos com uma diferenca de um
perıodo e algebricamente dado por δ = ζpTd em que Td = 2π/pd e o perıodo fundamental
amortecido(pd = p
√1− ζ2
). Uma simples manipulacao permite obter δ =
2πζ√1− ζ2
que,
para amortecimento pequeno (digamos ζ < 0.2) conduz a δ ∼= 2πζ , formula correntemente
usada em estruturas de Engenharia Civil.
m
k
cc
x(t)
Figura 2.1: Sistema classico {massa, mola} nao forcado, de um grau de liberdade, equipadocom um amortecedor viscoso.
2.2 Amortecimento de Coulomb
Um outro tipo de amortecimento e o proporcionado pelo escorregamento entre superficies
rugosas sujeitas a uma compressao transversal. Consideramos nesta seccao o caso do amorteci-
mento proporcionado pela lei de atrito de Coulomb. A figura 2.2 representa um sistema de um
grau de liberdade amortecido exclusivamente por atrito.
Quando duas superficies rugosas deslizam entre si existem forcas (de atrito) que se opoem
ao movimento. A lei de Coulomb determina que, quando dois corpos estao em contacto a forca
fs necessaria para produzir movimento e proporcional a forca normal ao plano de contacto.
6
mk µ
x(t)
Figura 2.2: Oscilador harmonico simples amortecido pela accao do atrito.
Pode afirmar-se que no caso do sistema da figura 2.2 a forca fs = µmg, pois a forca normal
ao contacto e o peso mg do bloco, sendo µ a constante de proporcionalidade, designada de
coeficiente de atrito (Rao, 2004).
A “equacao”
0 ∈ mx+ fssign(x) + kx, (2.1)
e a entidade diferencial que rege o movimento deste sistema, em que sign(x) = +1 se x > 0,
sign(x) = −1 se x < 0 e sign(0) = [−1, 1]. Na realidade (2.1) nao e uma equacao, mas sim uma
inclusao diferencial, uma vez que o membro direito, no caso de a velocidade de escorregamento
x ser nula, e um conjunto (um intervalo) e nao apenas um numero.
A inclusao (2.1) pode ser interpretada como uma equacao diferencial fortemente nao li-
near (com um termo descontınuo), pelo que nao existe uma solucao analıtica simples. Pode
no entanto construir-se solucoes analıticas por trocos, separados por instantes consecutivos de
velocidade nula, isto e, uma solucao por trocos em que no interior de cada troco o sentido do
movimento e sempre o mesmo. A inclusao (2.1) encerra a descricao dos tres casos a considerar:
deslizamento com velocidade positiva (Caso 1), deslizamento com velocidade negativa (Caso
2) e o bloqueamento instantaneo associado a uma velocidade nula (Caso 3), independentemente
do sinal do deslocamento. No primeiro caso, o movimento da-se da esquerda para a direita
(sign(x) = +1), e a solucao geral da inclusao (2.1) toma a forma
x(t) = A sin(pt) +B cos(pt)− fsk, para x(t) > 0. (2.2)
Para o segundo caso, em que o movimento se da da direita para a esquerda (sign(x) = −1), a
solucao da inclusao corresponde a
x(t) = C sin(pt) +D cos(pt) +fsk, para x(t) < 0. (2.3)
7
No terceiro caso, a inclusao (2.1) impoe apenas que a soma da forca de inercia com a forca da
mola deve pertencer ao intervalo admissıvel das forcas de atrito: mx(t) + kx(t) ∈ [−fs,+fs].
As expressoes (2.2) e (2.3) indicam que cada meio ciclo e harmonico, com a posicao de
equilıbrio ora em −fsk
, ora em +fsk
, respectivamente. Vamos seguidamente construir a solucao
analıtica assumindo um deslocamento inicial x(t = 0) = x0 > 0 e uma velocidade inicial
x(t = 0) = 0 (repouso). Com estas condicoes iniciais no primeiro meio ciclo o movimento
da-se da direita para a esquerda, regido pela equacao (2.3); as condicoes iniciais determinam
que C = 0 e D = x0 −fs
k, sendo que a solucao que rege o movimento para o primeiro meio
ciclo toma a forma
x(t) =
(x0 −
fsk
)cos(pt) +
fsk, para 0 ≤ t ≤ π
p. (2.4)
As condicoes iniciais para o meio ciclo seguinte sao as finais do meio ciclo anterior. Assim,
para o 2o meio ciclo, em que o movimento se da da esquerda para a direita, o movimento rege-se
pela equacao (2.2) com as condicoes iniciais
x = x
(t =
π
p
)= −x0 +
2fsk, (2.5a)
x = x
(t =
π
p
)= 0. (2.5b)
Estas condicoes de transicao entre os primeiros e segundo meios ciclos determinam as constan-
tes A = 0 e B = x0− 3fs
k, ficando a solucao que rege o movimento para o segundo meio ciclo
na forma
x(t) =
(x0 −
3fs
k
)cos(pt)− fs
k, para
π
p≤ t ≤ 2
π
p. (2.6)
Portanto, ao fim de um ciclo completo o deslocamento e dado por x(
2π
p
)= x0 −
4fsk
, desde
que a forca maxima de atrito fs seja suficientemente pequena por forma a permitir o desliza-
mento durante o 1o perıodo de tempo[0,
2π
p
].
Se o raciocınio anterior for replicado em perıodos subsequentes concluımos que, enquanto
o sistema se mantiver em deslizamento, quaisquer dois valores de pico de deslocamento con-
secutivos do mesmo sinal (por exemplo Xm−1 e Xm) relacionam-se por Xm = Xm−1 −4fsk
.
Conclui-se portanto que o oscilador de um grau de liberdade amortecido por um dissipador de
atrito instalado em paralelo com a mola exibe uma taxa de decaimento que e linear de valor
8
2fs
π√mk
ao contrario do oscilador com amortecimento viscoso que exibe uma taxa de decai-
mento logarıtmica. Quando |Xm| ≤ fs/k, a forca de restituicao exercida pela mola (kx) e
inferior a forca de atrito fs, sendo essa a condicao que determina a paragem do oscilador, o
que ocorre sempre num intervalo de tempo finito apos o inicio do movimento. O leitor podera
consultar (Rao, 2004) (seccao 2.7) ou (Craig, 1981) (seccao 3.4), que tem a solucao analıtica
por trocos de um oscilador de um grau de liberdade amortecido por atrito de Coulomb.
2.3 Ciclos de histerese
2.3.1 Amortecimento viscoso
O sistema simples representado na figura 2.3a associa em paralelo uma mola e um amorte-
cedor viscoso. Este sistema e actuado por uma forca F (t) = kx(t) + cx(t) que toma a forma
F (t) = kX sin(ωt) + cXω cos(ωt) = kx(t)± cω√X2 −X2 sin2(ωt)
= kx± cω√X2 − x2 (2.7)
k
cc
x(t) = X sin(ωt)
F (t)
(a) Barra rıgida vertical que associa em para-lelo uma mola de rigidez k e um amortece-dor viscoso de coeficiente de amortecimento c.O sistema e actuado por uma forca F (t) porforma a garantir um movimento sinusoidal dex(t) = X sin(ωt).
x(t)
F (t)
X
−X
k1
cω√X2 − x2
cω√X2 − x2
cωX
−cωX
(b) Ciclo histeretico do sistema da figura 2.3a.
Figura 2.3: Modelo e ciclo histeretico da associacao de uma mola em paralelo com um amorte-cedor viscoso.
A figura 2.3b representa a trajectoria (F (t), x(t)) para um ciclo, isto e, para t ∈ [0, 2π/ω];
e uma elipse distorcida na direccao vertical pela funcao kx. A energia dissipada num ciclo, ou
9
seja, a area do ciclo de histerese, e πX2cω, como se pode verificar fazendo o calculo
Wdiss = WF =
∫ 2πω
0
F (t)x(t)dt = πX2cω (2.8)
A energia dissipada depende linearmente do coeficiente de amortecimento e quadraticamente
da amplitude do deslocamento.
k cc
xb(t)
x(t) = X sin(ωt)
F (t)
(a) Associacao em serie de uma mola de rigidezk e um amortecedor viscoso de coeficiente deamortecimento c. O sistema e actuado por umaforca F (t) por forma a garantir um movimentosinusoidal de x(t) = X sin(ωt).
x(t)
F (t)
X
−X
k(cω)2
k2 + (cω)2
1
k2cω
k2 + (cω)2√X2 − x2
k2cωX
k2 + (cω)2
− k2cωX
k2 + (cω)2
(b) Ciclo histeretico do sistema da figura 2.4a.
Figura 2.4: Modelo e ciclo histeretico da associacao de uma mola em serie com um amortecedorviscoso.
Com o proximo exemplo pretende-se perceber o funcionamento de uma associacao em serie
de uma mola com um amortecedor (figura 2.4a). Neste sistema existe um grau de liberdade (xb)
que nao existia no anterior. Esse grau de liberdade mede o movimento da ligacao entre a mola
e o dissipador, pois existe a necessidade de determinar a posicao desse ponto para saber a forca
exercida na mola e a velocidade relativa x − xb para quantificar a forca no amortecedor. Este
sistema e actuado por uma forca F (t) = kxb(t) = c (x(t)− xb(t)) e a equacao diferencial
que rege a evolucao da coordenada xb e kxb + cxb = cXω cos(ωt), com a solucao particular
xbp(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) em que A =c2Xω2
k2 + c2ω2e B =
kcXω
k2 + c2ω2. Assim, a solucao
particular toma a forma xbp(t) =cXω
k2 + c2ω2[cω sin(ωt) + k cos(ωt)]. Sabendo que a barra
rıgida esta animada de um movimento harmonico simples, a forca necessaria aplicar a barra
10
para garantir esse movimento e
F (t) = kxb(t) =kcω
k2 + c2ω2
[cωx+ k
√X2 − x2
], (2.9)
e a trajectoria (F (t), x(t)) para um ciclo toma a forma representada na figura 2.4b que e,
como no caso anterior, uma elipse distorcida na direccao vertical, mas desta vez pela funcaok(cω)2
k2 + (cω)2x. Para este sistema a energia dissipada num ciclo e
Wdiss = WF =
∫ 2πω
0
F (t)x(t)dt = πX2cωk2
k2 + (cω)2. (2.10)
2.3.2 Amortecimento por atrito de Coulomb
Apresenta-se agora um modelo que associa em paralelo uma mola e um dissipador por atrito
de Coulomb (figura 2.5a). O sistema e actuado por uma forca F (t) = kx(t) + fssign (x(t)).
k
fsfs
x(t) = X sin(ωt)
F (t)
(a) Barra rıgida vertical que associa em para-lelo uma mola de rigidez k e um dissipador deatrito de forca maxima fs. O sistema e actuadopor uma forca F (t) por forma a garantir ummovimento sinusoidal de x(t) = X sin(ωt).
x(t)
F (t)
X
−X
k1
fs
fs
fs
−fs
(b) Ciclo histeretico do sistema da figura 2.5a.
Figura 2.5: Modelo e ciclo histeretico da associacao de uma mola em paralelo com um dissipa-dor de atrito.
Neste caso, visto que o amortecedor dissipa energia por atrito, a forca depende da forca maxima
no dissipador e do sinal da velocidade. Por forma a representarmos a trajectoria (F (t), x(t)) ao
longo de um ciclo (figura 2.5b), e conveniente obter as expressoes de F (t) nos casos em que a
11
velocidade e positiva, negativa e nula,
F1(t) = kx(t) + fs, para t ∈
[0;
1
4
2π
ω
[∪
]3
4
2π
ω;2π
ω
], (2.11a)
F2(t) = kx(t)− fs, para t ∈
[1
4
2π
ω;3
4
2π
ω
[, (2.11b)
F3(t) ∈ [−fs, fs], para t ∈
{1
4
2π
ω;3
4
2π
ω
}. (2.11c)
De notar o ciclo de histerese (figura 2.5b) que e um rectangulo distorcido na direccao vertical
pela funcao kx. A energia dissipada num ciclo e
Wdiss =WF =
∫ 2πω
0
F (t)x(t)dt
=
∫ 14
2πω
0
F1(t)x(t)dt+
∫ 34
2πω
14
2πω
F2(t)x(t)dt+
∫ 2πω
34
2πω
F1(t)x(t)dt
= 4fsX. (2.12)
Observa-se que a energia dissipada depende linearmente da forca maxima no dissipador e da
amplitude do deslocamento.
Dedicamos agora a nossa atencao a um sistema que associa em serie um amortecedor por
atrito de Coulomb e uma mola (figura 2.6a). A abordagem deste caso torna-se especialmente
pertinente numa vez que, como se vera no capıtulo seguinte, a forma de modelar o conjunto
{dissipador, sistema de apoio do dissipador} entre dois pisos consecutivos de um portico e
precisamente pela associacao de uma mola em serie com o dissipador.
Tal como para o sistema que associa em serie um amortecedor viscoso e uma mola, e pelas
mesmas razoes, neste sistema tambem existe mais um grau de liberdade (xb), que quantifica o
deslocamento do ponto de ligacao entre a mola e o dissipador. Este sistema e actuado por uma
forca F (t) = kxb(t) = fssign (x(t)− xb(t)). Existem dois casos a considerar nesta analise.
Primeiro, o caso trivial em que kX ≤ fs. Neste caso nao ha deslizamento no dissipador, pelo
que xb(t) = x(t) e F (t) = kx(t). A trajectoria no espaco (F (t), x(t)) esta contida numa recta
com a inclinacao k, pelo que nao ha dissipacao de energia nesta situacao. No segundo caso,
kX ≥ fs, ja existe deslizamento no dissipador, o que implica que haja dissipacao de energia, e
claro, xb(t) 6= x(t), sendo ja mais trabalhoso determinar a funcao F (t). Nesse processo ha que
determinar em que instantes se inicia ou cessa o deslizamento no dissipador.
12
k
xb(t)
fsfs
x(t) = X sin(ωt)
F (t)
(a) Barra rıgida vertical que associa em serieuma mola de rigidez k e um dissipador de atritode forca maxima fs. O sistema e actuado poruma forca F (t) por forma a garantir um movi-mento sinusoidal de x(t) = X sin(ωt).
x(t)
F (t)
X
−X
fs
−fs
k1 X − fs
k
−X +fsk
A B≡F
CD
E
(b) Ciclo histeretico do sistema da figura 2.6a.
Figura 2.6: Modelo e ciclo histeretico da associacao de uma mola em serie com um dissipadorde atrito.
O primeiro instante notavel ocorre quando kx(t∗1) = fs, que e quando a forca na mola
atinge a forca maxima do dissipador e se inicia pela primeira vez o processo de deslizamento
no dissipador (ponto A no diagrama na figura 2.6b): t∗1 =1
ωarcsin
(fskX
). Para t > t∗1 inicia-
se a fase em que xb(t) permanece constante e igual a fs/k e x(t) cresce, havendo uma forca
de traccao constante na mola. Quando x(t =
π
2ω
)= X a velocidade do movimento prescrito
muda de sinal, pelo que o dissipador bloqueia e a mola inicia um processo de encurtamento a
uma taxa igual a do movimento da haste rıgida vertical (ponto B do diagrama da figura 2.6b).
Durante o processo de recuo da haste (segmento BC) xb =fsk−x(t). Ainda antes de completar
um ciclo existe mais um intervalo de tempo em que o dissipador desliza, sendo que agora o
instante em que se inicia o deslizamento no sentido oposto ocorre quando kxb(t∗2) = −fs, o
que conduz a t∗2 =1
ωarcsin
(1− 2fs
kX
)(ponto C). O deslizamento para novamente quando
x(t) = −X , para t =3π
2ω, instante em que a velocidade da haste vertical volta novamente a
ser positiva. Nesse instante o dissipador bloqueia novamente ate que quando x(t) voltar a ser
suficientemente grande (ponto E) inicia-se o deslizamento no sentido em que ha afastamento
entre as extremidades do dissipador.
A trajectoria (F (t), x(t)) para um ciclo toma a forma da figura 2.6b, que e um rectangulo
distorcido na direccao horizontal pela funcao kx. Em resumo, a forca aplicada ao longo de um
ciclo e
13
F (t) = kxb(t) ≡
F1(t) = kx(t) +X − fs para [0; t∗1]
F2(t) = fs para[t∗1;
π
2ω
]
F3(t) = kx(t) −X + fs para[ π
2ω; t∗2
]
F4(t) = −fs para[t∗2;
3π
2ω
]
F5(t) = kx(t) +X − fs para[
3π
2ω;2π
ω
]
, (2.13)
o que nos permite calcular a energia dissipada num ciclo,
Wdiss =WF =
∫ 2πω
0
F (t)x(t)dt
=
∫ t∗1
0
F1(t)x(t)dt+
∫ π2ω
t∗1
F2(t)x(t)dt+
∫ t∗2
π2ω
F3(t)x(t)dt+∫ 3 π2ω
t∗2
F4(t)x(t)dt+
∫ 2πω
3π2ω
F5(t)x(t)dt
= 4fs
(X − fs
k
). (2.14)
A energia (2.14) poderia tambem ser calculada simplesmente a partir da area sombreada do
grafico da figura 2.6b.
2.4 Alguns comentarios
Ao longo deste capıtulo apresentaram-se alguns aspectos que caracterizam o comporta-
mento de amortecedores viscosos e de dissipadores de atrito com recurso a modelos simples.
Relembram-se agora as principais diferencas. A equacao do movimento para o amortecimento
viscoso e linear; para os modelos incluindo dissipadores de atrito o movimento e regido por
uma “equacao” fortemente nao linear (com um termo descontınuo). O amortecimento viscoso
modifica as frequencias naturais; ao contrario, o atrito de Coulomb em modo de deslizamento
nao modifica as frequencias naturais em relacao a estrutura sem dissipadores. Um sistema
14
amortecido por um amortecedor viscoso apresenta uma taxa de decaimento logarıtmica, em que
os deslocamentos tendem assimptoticamente para o zero em regime livre. Num sistema amor-
tecido por atrito o decaimento e linear o que leva a sua imobilizacao num intervalo de tempo
finito.
15
16
Capıtulo 3
Modelacao analıtica e simulacao numerica
de estruturas com sistemas de dissipacao
por atrito
Neste capıtulo deduzem-se as equacoes que regem o movimento de um portico plano generico
com N pisos. Nesse portico, entre dois pisos consecutivos ha um amortecedor viscoso e um
dissipador por atrito associado em serie com uma mola representativa da rigidez finita do sis-
tema de apoio do dissipador (figura 3.1). O sistema de equacoes sera posteriormente integrado
numericamente para se simular os movimentos dos pisos para a accao de diversos sismos. Neste
capıtulo descreve-se ainda o algoritmo de integracao numerica (metodo θ) bem como se apre-
sentam os resultados das simulacoes de diversas estruturas simples.
3.1 Equacoes do movimento
3.1.1 N graus de liberdade
No portico de N pisos equipado com dissipadores de atrito representado na figura 3.1
assume-se que a massa esta toda concentrada ao nıvel dos pisos, supostos rıgidos para esforcos
de membrana, e que as coordenadas generalizadas principais sao os deslocamentos (horizontais)
dos pisos. O deslocamento absoluto da base e representado por d(t) e o deslocamento absoluto
do i-esimo piso por Xi(t). A massa, a rigidez e o coeficiente de amortecimento viscoso imedi-
atamente abaixo do i-esimo piso representam-se respectivamente por mi, ki e ci. A quantidade
17
fundacao
m1
fundacao
c1c1
kb1fs1
k12
k12
d(t)
X1(t)
Xb1(t)
m2
c2c2
kb2fs2
k22
k22
X2(t)
Xb2(t)
m3
c3c3
kb3fs3
k32
k32
Xb3(t)
mN
mN
cNcN
kbNfsN
kN2
kN2
XN(t)
XbN(t)
..
.
y
x
Figura 3.1: Portico plano regular de N pisos com um sistema de amortecimento misto (viscosoe por atrito), sujeito a um movimento horizontal prescrito na fundacao dado pela historia dedeslocamentos d(t).
18
fsi designa a forca maxima de atrito no i-esimo dissipador e a quantidade kbi representa a rigi-
dez horizontal associada ao sistema de contraventamento onde se insere o dissipador por atrito
logo abaixo do i-esimo piso. A modelacao do sistema de contraventamento onde se inserem os
dissipadores de atrito faz-se pela introducao de uma mola de rigidez horizontal finita em serie
com o dissipador; a consideracao dessa mola em serie com o dissipador requer a introducao de
um novo grau de liberdade (sem massa associada) por cada par {mola, dissipador}, que permita
separar a deformacao da mola do movimento ocorrido no dissipador; na figura 3.1 esses graus
de liberdade sao parametrizados pelas coordenadas generalizadas Xbi(t).
r1 k1(X1 − d) c1(X1 − d)
r2 k2(X2 −X1) c2(X2 − X1) m1X1
Figura 3.2: Representacao grafica da segunda lei de Newton aplicada ao piso 1.
Com base na segunda lei de Newton deduziremos as equacoes que regem os movimentos
dos diferentes pisos. Assim, para o 1o piso, o membro esquerdo da equacao ideografica da
figura 3.2 contem todas as forcas actuantes provenientes das ligacoes da massa m1, a fundacao
e ao 2o piso. As forcas r1 e r2 denotam as forcas mobilizadas nos dissipadores do piso 1 e 2
respectivamente. Em termos algebricos a equacao do movimento∑FX = m1aG exprime-se
em qualquer das seguintes formas equivalentes
− r2 + r1 + k2(X2 −X1)− k1(X1 − d) + c2(X2 − X1)− c1(X1 − d) = m1X1
⇔ m1x1 + (c1 + c2)x1 − c2x2 + (k1 + k2)x1 − k2x2 = −m1d+ r1 − r2. (3.1)
A ultima equacao esta expressa em termos do deslocamento relativo a base, x1(t) = X1(t) −
d(t). Para qualquer dos pisos define-se xi(t) = Xi(t) − d(t). As forcas dos dissipadores
sobre a massa do 1o piso seguem a lei de atrito de Coulomb, r1 ∈ −fs1sign(x1 − xb1) e r2 ∈
−fs2sign(x2 − xb2), em que sign(v) = +1 se v > 0, sign(v) = −1 se v < 0, sign(v) ∈ [−1, 1]
se v = 0, xb1(t) = Xb1(t) − d(t) e xb2(t) = Xb2(t) − d(t). Quando a velocidade relativa das
superficies em contacto num dissipador se anula a aplicacao sign vale, instantaneamente, nao
um valor real mas um intervalo de valores reais ([−1, 1]). Para alem da lei de Newton que rege
a dinamica da massa m1 ainda se deve ter em conta a relacao entre a forca mobilizada em cada
19
dissipador e a forca na mola associada em serie com esse dissipador,
r1 =− kb1(Xb1 − d)⇔ r1 = −kb1xb1 , (3.2a)
r2 =− kb2(Xb1 −X1)⇔ r2 = −kb2(xb1 − x1). (3.2b)
As equacoes do movimento de um dos pisos intermedios e do ultimo piso deduzem-se de
uma forma analoga ao que foi feito para o primeiro piso. As figuras 3.3 e 3.4 contem as
representacoes graficas da segunda lei de Newton para um dos pisos intermedios e para o ultimo
piso. De uma forma analoga ao que foi feito para o 1o piso a expressao algebrica da equacao do
movimento e
− ri+1 + ri + ki+1(Xi+1 −Xi)− ki(Xi −Xi−1)
+ ci+1(Xi+1 − Xi)− ci(Xi − Xi−1) = miXi
⇔mixi − cixi−1 + (ci + ci+1)xi − ci+1xi+1 − kixi−1 + (ki + ki+1)xi − ki+1xi+1
= −mid+ ri − ri+1. (3.3)
ri ki(Xi −Xi−1) ci(Xi − Xi−1)
ri+1 ki+1(Xi+1 −Xi) ci+1(Xi+1 − Xi) miXi
Figura 3.3: Representacao grafica da segunda lei de Newton aplicada a um piso intermedio(i = 2, ..., N − 1).
As forcas que os amortecedores exercem na i-esima massa sao dadas pelas inclusoes: ri ∈
−fsisign(xi − xbi) e ri+1 ∈ −fsi+1sign(xi+1 − xbi+1
). Uma vez que os dissipadores estao
instalados em serie com sistemas de apoio (contraventamento) de rigidez finita, as forcas nos
dissipadores relacionam-se com as forcas nos sistemas de apoio pelas equacoes ri = −kbi(xbi−
xi−1) e ri+1 = −kbi+1(xbi+1
− xi).
A massa mN do ultimo piso tem apenas forcas provenientes da sua ligacao a massa mN−1
do piso abaixo, tal como ilustrado na figura 3.4.
20
rN kN(XN −XN−1) cN(XN − XN−1)
mNXN
Figura 3.4: Representacao grafica da segunda lei de Newton aplicada ao ultimo piso.
A equacao do movimento pode ser expressa por qualquer uma das formas seguintes,
rN − kN(XN −XN−1)− cN(XN − XN−1) = mNXN
⇔mN xN − cN xN−1 + cN xN − kNxN−1 + kNxN = −mN d+ rN (3.4)
e a forca no dissipador satisfaz a inclusao rN ∈ −fsN sign(xN − xbN ) onde rN = −kbN (xbN −
xN−1).
A partir das equacoes apresentadas acima pode-se construir um sistema que engloba todas
as equacoes do movimento do modelo. Agrupando primeiro as equacoes (3.1), (3.3) e (3.4) e
depois as equacoes (3.2) e as equivalentes para os restantes pisos obtemos
M 0
0 0
x
xb
+
C 0
0 0
x
xb
+
K 0
KbA KbB
x
xb
= −
M 0
0 0
1
1
d(t) +
rx
rxb
(3.5)
onde
x
xb
=
x1...
xN
xb1...
xbN
, (3.6)
M = diag(m1, ...,mN), (3.7)
21
C =
c1 + c2 −c2 0 · · · 0
−c2 c2 + c3...
0. . . 0
... −cN cN + cN−1 −cN−1
0 · · · 0 −cN−1 cN
, (3.8)
K =
k1 + k2 −k2 0 · · · 0
−k2 k2 + k3 −k3...
0. . . . . . . . . 0
... −kN kN + kN−1 −kN−1
0 · · · 0 −kN−1 kN
, (3.9)
KbA =
0 · · · 0
−kb2 0
0 −kb3 0...
... 0. . . 0
0 · · · 0 −kbN 0
, (3.10)
KbB = diag(kb1 , ..., kbN ), (3.11)
rx
rxb
=
r1 − r2...
rN−1 − rNrN
−r1...
−rN−1
−rN
(3.12)
e 1 e um vector de uns de dimensao N .
22
3.1.2 Formacao da matriz W
As equacoes (3.5) que regem o movimento podem ser escritas na forma mais compacta
MTxT(t) + CTxT(t) + KTxT(t) = F(t) + Wr(t), (3.13)
em que as matrizes MT, CT e KT sao facilmente identificadas em (3.5),
F(t) =
−M1d(t)
0
, (3.14)
xT(t) =
x
xb
, (3.15)
0 e o vector nulo de dimensao N e o vector r = (r1, ..., rN) agrupa as forcas de atrito nos
dissipadores.
A matriz W presente em (3.13) tem a funcao de distribuir pelas varias forcas generalizadas
do sistema as contribuicoes das forcas dos diferentes dissipadores. De acordo com (3.12)
Wr(t) =
r1 − r2...
rN−1 − rNrN
−r1...
−rN−1
−rN
, (3.16)
23
pelo que a matriz
W =
1 −1 0 0
0 1. . . 0
... 0. . . −1
0... 0 1
−1 0... 0
0 −1 0...
... 0. . . 0
0 · · · 0 −1
(3.17)
e uma matriz rectangular com um numero de linhas igual ao dobro do numero de pisos do
portico e um numero de colunas igual ao numero de dissipadores.
3.2 Algoritmo de integracao numerica
3.2.1 Metodo θθθ
Para a determinar os deslocamentos, velocidades e aceleracoes ao longo do tempo ha a
necessidade de integrar as equacoes do movimento (3.13) juntamente com as leis constitutivas
(lei de Coulomb) que regem o comportamento das interfaces com atrito dos dissipadores. Um
sistema complexo como o tratado nesta dissertacao nao admite, obviamente, solucao analıtica
pelo que se adoptou um metodo de integracao numerica, o “metodo θ” (Jean, 1999). Este
metodo decompoe o intervalo de tempo da simulacao em pequenos subintervalos de duracao h
e aproxima as velocidades e os impulsos das forcas de atrito nos dissipadores no fim de cada
um desses subintervalos. Assume-se entao que se k e k + 1 designarem os numeros de ordem
de dois instantes consecutivos de aproximacao do movimento, h = tk+1 − tk e
xk+1T = xkT + hθxk+1
T + h(1− θ)xkT, θ ∈ [0, 1]. com k = 0, 1, 2, ... (3.18)
Comeca-se por integrar ambos os membros da equacao (3.13) no intervalo de tempo [tk, tk+1]
de duracao h,
∫ tk+1
tkMTxT(t)dt =
∫ tk+1
tk[F(t)−KTxT(t)− CTxT(t)]dt+
∫ tk+1
tkWr(t)dt. (3.19)
24
De seguida o metodo θ adopta as aproximacoes seguintes,
∫ tk+1
tkMTxT(t)dt ≈MT(xk+1
T − xkT), (3.20)
∫ tk+1
tk[F(t)−KTxT(t)− CTxT(t)]dt ≈
≈hθ[F(tk+1)−KTxk+1T − CTxk+1
T ] + h(1− θ)[F(tk)−KTxkT − CTxkT], (3.21)
∫ tk+1
tkWr(t)dt = Wik+1, (3.22)
em que ik+1 tem as dimensoes de impulso pois resulta da integracao das forcas nos dissipadores
durante um passo de tempo de duracao h. A substituicao das aproximacoes (3.20), (3.21) e
(3.22) em (3.19) conduz a
MxT(t)k+1 = Fk
+ Wik+1, (3.23)
em que,
M := MT + hθCT + h2θ2KT, (3.24)
Fk
:= [MT − h(1− θ)CT − h2θ(1− θ)KT]xkT − hKTxkT + h[θFk+1 + (1− θ)Fk]. (3.25)
A lei de atrito de Coulomb tambem tem que ser discretizada no tempo, operacao que sera
realizada na versao impulsional da lei de Coulomb, ou seja, ik+1 ∈ −fshsign(vk+1), em que
vk+1 = xk+1i − xk+1
bidesigna a velocidade relativa de deslizamento entre o grau de liberdade
correspondente ao deslocamento horizontal do piso e o grau de liberdade correspondente ao
deslocamento horizontal do sistema de contraventamento desse mesmo piso. A inclusao ante-
rior e equivalente a equacao nao regular ik+1 = proj[−fsh,+fsh](ik+1 − cvk+1), em que c e um
parametro real estritamente positivo (nao confundir a constante c correspondente ao coeficiente
de amortecimento). O operador projeccao num intervalo limitado define-se por: proj[a,b](v) = a
se v < a, proj[a,b](v) = v se v ∈ [a, b] e proj[a,b](v) = b se v > b.
25
Este algoritmo pretende calcular deslocamentos, velocidades e aceleracoes a cada passo de
tempo em cada grau de liberdade do sistema. Para tal, e necessario o acelerograma do sismo,
as caracterısticas da estrutura, nomeadamente as matrizes MT, CT, KT e W e ainda o valor dos
parametros do metodo θ que, na presente dissertacao, serao θ = 0.5 e c = 1.0. A figura 3.5
apresenta o fluxograma com os passos seguidos pelo algoritmo. A quantidade T designa o
tempo maximo de simulacao. Parte-se do princıpio que no instante inicial o deslocamento e
a velocidade relativos a base sao nulos em todos os graus de liberdade, isto e, xk=0T = 0 e
xk=0T = 0. Calcula-se a aceleracao a partir da velocidade com o metodo das diferencas finitas
(diferencas centrais),
xkT =xk+1
T + xk−1T
2h. (3.26)
26
Dados:Acelerograma,
Estrutura
Calculo de M:(3.24)
Calculo de Fk:
(3.25)
Calculo de:xk+1
T e ik+1
Calculo de xk+1T :
(3.18)
Calculo de xkT:(3.26)
t > T
Resultados:xT(t), xT(t), xT(t)
A Ver a figura 3.6
Sim
Nao
Figura 3.5: Algoritmo de integracao numerica (metodo θ).
27
A
Primeira estimativa o vector das velocidadespara uma forca nula em todos os dissipadores:
xk+1,iT = M
−1Fk
Calculo das velocidades relativas:vk+1 = xk+1 − xk+1
b
pk+1,j+1 = ik+1,j − cvk+1,j
Para i = 1, ..., N :ik+1,j+1i = proj[−fsih,fsih](p
k+1,j+1i )
Recalcular o vector das velocida-des, ja com a forca dos dissipa-
dores calculada no passo anterior:xk+1,j+1
T = M−1
Fk
+ M−1
Wik+1,j+1
Criterios de paragem:‖xk+1,j+1
T − xk+1,jT ‖ < ε
‖ik+1,j+1 − ik+1,j‖ < ε(ε suficientemente pequeno)
j ← j + 1
Figura 3.6: Algoritmo de integracao numerica (metodo θ) (Cont.).
28
3.3 Exemplos Numericos
Nesta seccao apresentam-se seis exemplos numericos com o intuito de testar o algoritmo
programado em Matlab no ambito da presente dissertacao. Conceberam-se propositadamente
exemplos de pequena dimensao, com um ou dois graus de liberdade, e um comportamento
mecanico simples, que nos permitem intuir facilmente se as solucoes numericas obtidas com
o metodo θ estao correctas. Em todos os exemplos nesta seccao usou-se um passo de tempo
h = 0.001 s e uma tolerancia de erro ε = 10−10.
3.3.1 Exemplos numericos de um grau de liberdade
O primeiro exemplo de que nos ocuparemos esta representado na figura 2.1: e composto
por uma massa de 2 kg e uma mola com rigidez de 100 N/m ligada em paralelo a um amor-
tecedor de coeficiente de amortecimento de 0.75 Ns/m. Partindo do repouso com um deslo-
camento inicial de 1.5 m o oscilador tem a historia de deslocamentos da figura 3.7. O decai-
mento exponencial dos maximos locais do deslocamento satisfaz as previsoes analıticas bem
conhecidas da disciplina de Mecanica da licenciatura. Por exemplo entre os picos A e B sepa-
rados de 4 perıodos o quociente entre amplitudes satisfaz a expressaoXA
XB
= eζpdNTd na forma
1.0748
0.55182= e0.02652×7.0711×4×0.8889 = 1.9477.
Figura 3.7: Deslocamento em funcao do tempo para o oscilador de um grau de liberdade dafigura 2.1.
Os proximos exemplos tem por objectivo testar o programa de integracao numerica desen-
volvido para casos em que o amortecimento seja do tipo Coulomb. O segundo exemplo consiste
29
num oscilador harmonico simples amortecido exclusivamente por atrito entre a superfıcie da
massa e a superfıcie de suporte em contacto (figura 2.2). A figura 3.8 representa a historia de
deslocamentos para uma massa de 2 kg, e uma mola de rigidez 100 N/m e um coeficiente de
atrito µ de 0.1, correspondente a um deslocamento inicial de 1.5 m e uma velocidade inicial
nula, tal como no exemplo anterior em que o amortecimento era exclusivamente viscoso. Para
um valor de µ fixo a forca de atrito maxima e fs = µmg. Da comparacao das figuras 3.7
e 3.8 concluımos que, enquanto no caso do amortecimento viscoso o decaimento e exponen-
cial tendendo assimptoticamente para zero, no caso do amortecimento por atrito de Coulomb
o decaimento e linear provocando a imobilizacao da massa ao fim de um intervalo de tempo
finito. Pode por exemplo prever-se analiticamente a amplitude XB sabendo que XA = 1.343
m, bastando para tal usar a formula apresentada no capıtulo anterior: XB = XA − 4 × 4fsk
com fs = 1.962 N, o que da XB = 1.0291 m valor que coincide com o resultado da integracao
numerica.
Figura 3.8: Deslocamento em funcao do tempo para o sistema de um grau de liberdade dafigura 2.2 com m = 2 kg, k = 100 N/m e µ = 0.1 (fs = µmg = 1.962 N).
Para completar o conjunto de testes de modelos com um grau de liberdade, apresenta-se
na figura 3.9 a historia de deslocamentos para o sistema do exemplo anterior, mas com um
deslocamento sinusoidal imposto da fundacao dado por d(t) = 0.1 sin(10t) m, mas agora com
um valor do coeficiente de atrito µ de 1 para que a forca maxima de atrito fs = 19.62 N,
seja muito proxima da (mas inferior a) forca de inercia maxima experimentada pela massa
correspondente a situacao de bloqueamento do dissipador, F = 20 = mdmax = 2 × 0.1 × 102
N. Uma vez que a forca maxima de atrito e menor que a forca de inercia maxima mobilizavel, o
30
dissipador entrara em deslizamento. Mas uma vez que a diferenca entre fs e a forca de inercia
maxima e pequena a amplitude dos deslocamentos tambem e pequena. Note-se que bastaria
que a forca maxima de atrito excedesse a forca de inercia maxima mobilizada (20 N) para nao
ocorrer deslizamento no dissipador e o bloco acompanhasse permanentemente o movimento
sinusoidal da base. Da observacao da simulacao apresentada na figura 3.9 verifica-se que ao
fim de algum tempo a massa passa a oscilar em torno do valor medio de deslocamento relativo
nulo. Note-se que, dada a pequena diferenca entre fs e mdmax os deslocamentos relativos sao
pequenos, de uma ordem de grandeza de 10−4.
Figura 3.9: Deslocamento relativo x = X − d em funcao do tempo para o sistema de um graude liberdade da figura 2.2 com um deslocamento imposto a fundacao de d(t) = 0.1 sin(10t) m.
3.3.2 Exemplos numericos com dois graus de liberdade
O sistema mecanico representado na figura 3.10 e constituıdo por duas massasm
2ligadas
entre si por um dissipador com forca maxima fs2 . A massa da esquerda esta ligada a fundacao
por uma mola de rigidezk
2em paralelo com um dissipador de forca maxima fs1 . A massa
da direita esta ligada a fundacao apenas por uma mola de rigidezk
2. Adopta-se o seguinte
conjunto de dados: m = 4 kg, k = 200 N/m e fs1 = fs2 = 4 N. Prescrevem-se as condicoes
iniciais seguintes: um deslocamento inicial de 3 m para a direita no grau de liberdade 1, um
deslocamento inicial nulo no grau de liberdade 2 e velocidades iniciais nulas. As equacoes do
31
movimento sao
m2 0
0m
2
x1x2+
k2 0
0k
2
x1x2
=
1 1
0 −1
r1r2 , (3.27)
m
2
m
2
k
2
fs1fs1
k
2
x2x1
fs2fs2
Figura 3.10: Sistema de duas massas ligadas entre si por um dissipador de atrito e ligadas aoexterior por molas e por outro dissipador.
Figura 3.11: Deslocamento em funcao do tempo dos graus de liberdade do sistema da fi-gura 3.10.
em que r1 ∈ −fs1sign(x1) e r2 ∈ −fs2sign(x1− x2). A figura 3.11 representa historia de deslo-
camentos dos dois graus de liberdade do sistema. Uma vez libertado com as condicoes iniciais
indicadas, o sistema entra em movimento devido a forca de restituicao da mola do lado esquerdo
que parte de um estado tracionado devido ao deslocamento inicial para a direita da massa m1.
O movimento da massa do lado esquerdo transmite-se a massa do lado direito pelo dissipador
numero 2 que as une (figura 3.10). A figura 3.11 mostra o resultado da simulacao dos primeiros
20 s. Observamos uma primeira fase em que o movimento da massa esquerda e amortecido a
32
uma taxa linear enquanto a amplitude da massa direita cresce linearmente. Aproximadamente
seis segundos apos o inıcio do movimento relativo as massas estao sıncronas deixando de haver
movimento relativo entre ambas, passando ambas a mover-se solidariamente com um amorte-
cimento exercido apenas pelo amortecedor do lado esquerdo. Na fase inicial do movimento as
massas nao estao solidarias, pelo que o declive da envolvente dos maximos da massa esquerda
pode ser calculada como num sistema de um grau de liberdade de massa igual am
2e rigidez
k
2,
em que o valor de fs corresponde a soma das forcas maximas nos dois dissipadores activos. A
partir do momento em que o dissipador central deixa de estar activo o sistema passa a ter ape-
nas um grau de liberdade de massa m e rigidez k, em que o valor de fs e igual a forca maxima
do amortecedor do lado esquerdo. Tem interesse observar que as taxas de decaimento linear
da massa do lado esquerdo na fase em que ainda nao sao solidarias e de ambas as massas na
fase final em que ambas ja estao solidarias podem ser previstas ou verificadas analiticamente.
Assim, uma vez que os picos A e B distam temporalmente de 2 perıodos,
XB = XA − 2× 4(fs1 + fs2)
k= 2.36− 2× 4× 8
100= 1.72 m. (3.28)
Analogamente os picos C e D distam temporariamente de tres perıodos, pelo que
XD = XC − 3× 4fs1k
= 0.84− 3× 4× 4
200= 0.60 m. (3.29)
Tambem e possıvel mostrar que o incremento entre dois picos consecutivos de deslocamento do
grau de liberdade 2 na fase inicial do movimento quando os dois dissipadores estao activos e
igual a 4fs2/k (k = 100 N/m correspondente a mola do lado direito).
A figura 3.12 representa um sistema composto por duas massas de 10 kg cada, e duas molas
de rigidez 40π2 N/m. Existe atrito de Coulomb na superfıcie de contacto entre as massas, com
fs = 2 N. Nao existe movimento da fundacao. As condicoes iniciais sao um deslocamento ini-
cial de 0.3 m no grau de liberdade 1 e de−0.3 m no grau de liberdade 2, com velocidades iniciais
nulas. A simulacao numerica permitiu obter os graficos de deslocamentos da figura 3.13. Dada
a simetria das propriedades mecanicas e anti-simetria das condicoes iniciais, as massas oscilam
em oposicao de fase apresentando o decaimento linear como se estivesse cada massa a oscilar
isoladamente sobre uma base imovel com atrito. As massas atingem simultaneamente picos
de deslocamento de sinais opostos e passam tambem simultaneamente nas posicoes em que as
molas estao indeformadas. Verifica-se que o declive da envolvente de maximos de qualquer dos
33
graus de liberdade calculado pelo metodo θ e igual ao teorico. Por exemplo, entre dois picos de
deslocamento distando temporalmente de quatro perıodos, verifica-se XA −XB = 4× 4fsk
, ou
seja 0.23921− 0.15815 = 4× 4× 2
40π2= 0.81064 m.
m1
m2
k1
k2
fs
x1
x2
Figura 3.12: Sistema de dois graus de liberdade composto por dois osciladores harmonicossimples em contacto mutuo com atrito.
Figura 3.13: Deslocamento em funcao do tempo dos graus de liberdade do sistema representadona figura 3.12.
O ultimo exemplo corresponde ao sistema da figura 3.14, analogo ao sistema anterior, mas
em que agora a massa inferior e 100 vezes maior do que a massa superior e a rigidez da mola
superior e 100 vezes maior do que a rigidez da mola inferior: m1 = 10 kg, m2 = 1000 kg,
k1 = 40π2 N/m, k2 = 0.4π2 N/m e fs = 2 N. Se os osciladores estivessem desacoplados a
frequencia natural do oscilador de cima seria 100 vezes a frequencia natural do oscilador de
baixo. Essas diferencas justificam que, quando se da um deslocamento inicial de 0.3 m a massa
superior com deslocamento inicial nulo da massa inferior e velocidades iniciais nulas a ambas as
massas, os deslocamentos da massa inferior sejam quase imperceptıveis em face dos da massa
34
superior (figura 3.15). O declive da envolvente dos picos da massa m1, e igual ao do exemplo
anterior, verificando-se XA −XB∼= 0.81 m.
m1
m2
k1
k2
fs
x1
x2
Figura 3.14: Sistema de dois graus de liberdade amortecido exclusivamente por atrito,
Figura 3.15: Deslocamentos em funcao do tempo dos graus de liberdade so sistema da fi-gura 3.14.
35
36
Capıtulo 4
Algoritmos geneticos aplicados a
optimizacao do dimensionamento de
dissipadores por atrito
Este capıtulo tem por objectivo fazer uma breve apresentacao de um importante conjunto de
algoritmos de optimizacao a que se da o nome de algoritmos geneticos, mostrando as vantagens
da sua utilizacao em problemas de optimizacao em que a funcao objectivo nao tem expressao
analıtica nao sendo possıvel calcular gradientes. Neste capıtulo ainda se mostra como o metodo
θ apresentado no capıtulo anterior, associado a um algoritmo genetico, permite optimizar os
valores das forcas maximas dos dissipadores de um portico simples, quer quando se impoe
uniformidade das forcas nos dissipadores quer quando se admite uma distribuicao variada em
altura das forcas maximas dos dissipadores.
4.1 Introducao
O conceito de algoritmo genetico foi primeiramente introduzido por Holland (1975). Na ac-
tualidade existem inumeras variantes do algoritmo original que foram desenvolvidas ao longo
do tempo (Whitley, 1994). Os algoritmos geneticos baseiam-se num conjunto de modelos ins-
pirados na seleccao natural que simulam a evolucao de um ecossistema, onde os indivıduos
mais aptos tem uma maior probabilidade de sobreviver e produzir descendencia. E um metodo
de optimizacao que nao necessita de usar o gradiente de uma funcao objectivo conhecida ex-
plicitamente. O recurso aos algoritmos geneticos deve-se ao objectivo da presente dissertacao
37
ser a determinacao do valor optimo para as forcas maximas nos dissipadores, nao havendo uma
funcao com expressao analıtica que se pretenda optimizar e que possa ser derivada para usar
metodos classicos de optimizacao que recorram ao gradiente. Para alem de nao ser possıvel
neste problema usar o gradiente para encontrar o valor optimo, existem ainda algumas van-
tagens da utilizacao do algoritmos geneticos, sendo uma delas a de estes metodos evitarem a
convergencia para um optimo local. Por exemplo, o algoritmo genetico considera, de forma
simultanea, varias opcoes no espaco de resultados e recorre a probabilidades para prosseguir
com a evolucao do ecossistema, em vez de usar regras determinısticas como nos algoritmos
baseados no gradiente. O algoritmo genetico e bastante geral, aplicavel a uma vasta gama de
problemas, pelo que, se existir algum algoritmo mais especıfico para um dado tipo de problema
o mesmo deve ser utilizado pois, provavelmente, sera mais eficaz (Whitley, 1994). No caso
do presente problema nao existe um metodo de optimizacao especifico, pelo que se optou por
explorar a aplicacao do algoritmo genetico. E de referir que (Camp, 1998) procurou optimizar
o dimensionamento de uma pequena estrutura metalica recorrendo aos algoritmos geneticos,
demonstrando a sua aplicabilidade em problemas de Engenharia Civil.
4.2 Optimizacao
Nesta seccao descrevemos o que e um algoritmo genetico. O leitor encontrara a terminologia
anglo-saxonica o que porventura tornara a leitura mais difıcil. No entanto tomou-se esta opcao
de nao traduzir termos tecnicos para minimizar equıvocos e facilitar ao leitor comparacoes com
a literatura.
Antes de prosseguirmos com a explicacao de alguns constituintes dos algoritmos geneticos
convem definir tres elementos basicos:
• Indivıduo: Agrupa os valores das variaveis independentes que representam uma eventual
solucao. No nosso problema, um indivıduo e um conjunto de valores de forcas maximas
de atrito, uma por cada dissipador, agrupados num vector, isto e, um dimensionamento
possıvel dos dissipadores.
• Gene: Um valor de uma variavel independente. No nosso problema, um gene e o valor
da forca maxima de atrito num dissipador.
• Populacao/Geracao: E um conjunto de indivıduos.
38
Como ja foi dito, o algoritmo simula a evolucao de um ecossistema, criando geracoes sucessivas
de indivıduos que sao possıveis candidatos a solucao do problema. O processo de optimizacao
evolui com a melhoria dos indivıduos de geracao para geracao. No inıcio e gerada uma primeira
populacao constituıda por um certo numero de indivıduos. Esta primeira populacao pode ser
gerada de forma aleatoria ou pode ser um dado do problema.
Segue-se a fase de avaliacao, em que cada indivıduo e avaliado com base numa fitness
function dada (para o seu resultado ser minimizado), sendo-lhe atribuıdo um fitness value =fif
,
onde fi corresponde a avaliacao do indivıduo i e f a media das avaliacoes dos indivıduos da
populacao. Deste modo, percebe-se que quanto maior for o fitness value mais apto estara o
indivıduo para representar a solucao do problema de optimizacao (Whitley, 1994).
Uma vez avaliada a populacao ha que criar uma nova populacao a partir da anterior, com o
objectivo de promover uma melhoria a cada nova geracao. Para tal, e construıda uma geracao
intermedia a partir de uma seleccao de indivıduos da populacao anterior que se reproduzem
para darem origem a uma nova geracao (com a aplicacao dos operadores Crossover e Mutation).
Avalia-se a nova geracao e repete-se o processo. O algoritmo cria geracoes sucessivas e avalia-
as ate satisfazer algum dos criterios de paragem definidos, que serao apresentados mais a frente.
4.2.1 Operadores
Os operadores que se descrevem seguidamente estao tambem descritos no artigo (Houck
et al., 1996) onde se mostra a implementacao em ambiente Matlab. O artigo (Whitley, 1994)
descreve com bastante pormenor a estrutura do algoritmo genetico. O guia de utilizador (Opti-
mization toolbox, 2015) do Matlab e uma boa fonte de ajuda na implementacao computacional.
4.2.1.1 Avaliacao
A avaliacao de uma populacao e feita pela funcao que se quer minimizar. Neste caso, a
avaliacao da funcao que se pretende minimizar (por exemplo, o deslocamento do ultimo piso
relativamente a fundacao) provem dos resultados do algoritmo que integra as equacoes do mo-
vimento (metodo θ). O algoritmo genetico minimiza este resultado a custa da variacao das
forcas nos dissipadores. De forma a facilitar a seleccao, a avaliacao converte os valores que
saem do metodo θ em valores ordenados por ordem decrescente de merito: ao melhor indivıduo
atribui-se n = 1, ao segundo melhor indivıduo atribui-se o valor n = 2 e assim sucessivamente.
O valor da avaliacao de cada indivıduo e fi = 1/√n. Esta forma de avaliacao tem o nome de
39
Rank.
4.2.1.2 Seleccao
A seleccao consiste em copiar indivıduos da geracao anterior para uma geracao intermedia
que serve de base a formacao da geracao seguinte. Esta operacao e baseada no fitness value
de cada indivıduo que constitui a populacao anterior, podendo ser feita de diferentes formas.
Apresentam-se seguidamente algumas das opcoes.
• Seleccao do tipo Stochastic uniform: Este tipo de seleccao comeca por criar um vector
composto por pequenos vectores. Cada componente de um dos vectores mais peque-
nos contem o nome de um mesmo indivıduo. Cada um dos sub-vectores tem dimensao
proporcional ao seu fitness value. Por exemplo, numa populacao com quatro indivıduos
{I1, I2, I3, I4} em que o mais apto e o I2 o segundo mais apto e o I1, o terceiro mais apto e
o I4 e por fim o menos apto e o I3, o vector poderia ser{I2, I2, I2, I2, I2, I1, I1, I1, I4, I4, I3
}.
A partir desse vector o algoritmo selecciona indivıduos que passarao a geracao intermedia:
escolhe o primeiro e os seguintes sao escolhidos a intervalos regulares. Por exemplo, no
vector anterior, a seleccao dos indivıduos sublinhados foi feita com saltos de dois in-
divıduos.
• Seleccao do tipo Roulette: Este tipo de seleccao simula uma roleta, onde cada divisao
representa um indivıduo. A area de cada divisao e proporcional ao fitness value do in-
divıduo que representa. Geram-se numeros aleatorios para seleccionar na roleta quais os
indivıduos que passam a geracao intermedia. A probabilidade de um indivıduo ser selec-
cionado e proporcional a sua area na roleta que, por sua vez, e proporcional ao seu fitness
value.
• Seleccao do tipo Remainder: O algoritmo selecciona todos os indivıduos com fitness
value superior a 1 e copia-os para a geracao intermedia. O numero de copias deste in-
divıduo que passam a geracao intermedia e igual a parte inteira do seu fitness value, e
ainda e deixada uma copia na geracao de origem com um fitness value correspondente
apenas a parte decimal. O passo seguinte e a aplicacao de outro metodo de seleccao
a geracao de origem para completar a geracao intermedia, que e do tipo Roulette. Por
exemplo, um indivıduo com um fitness value de 3.4 tera num primeiro passo 3 copias
na geracao intermedia (valor inteiro de 3). Ele fica ainda com 0.4 de fitness value para
40
competir com os restantes indivıduos na seleccao do tipo Roulette, o que lhe pode dar
acesso a mais copias na geracao intermedia.
• Seleccao do tipo Tournament: Esta opcao de seleccao forma a geracao intermedia com
indivıduos que vencem uma competicao directa com os outros, isto e, de forma aleatoria
selecciona 2 indivıduos (ou mais) e cria uma copia na geracao intermedia do que apresenta
melhor fitness value.
4.2.1.3 Reproducao
A reproducao especifica a forma de o algoritmo criar os indivıduos da proxima geracao a
partir da geracao intermedia. Na reproducao existem dois valores essenciais a definir: (1) o
tamanho da Populacao Elite que e a percentagem da populacao que passa directamente para
a proxima geracao sem alteracoes — esta percentagem de populacao inclui os melhores can-
didatos a solucao do problema (indivıduos com os mais elevados valores do fitness value da
populacao inteira) o que garante que nao se perdem os melhores indivıduos no processo de
reproducao, (2) a fraccao de Crossover, que especifica a fraccao da proxima geracao, para alem
dos da elite, que serao reproduzidos por Crossover entre indivıduos (ver a proxima seccao). No
nosso caso optou-se por uma populacao de elite que fosse 5% do tamanho da populacao e que
80% fossem gerados por Crossover, podendo os restantes 15% sofrer ou nao Mutation apos a
aplicacao do operador Crossover.
4.2.1.3.1 Crossover
O operador de Crossover e o que permite o algoritmo combinar dois indivıduos (proge-
nitores) da geracao intermedia (incluindo os da Populacao de Elite pois isso favorece a con-
vergencia) por forma a criar um indivıduo da proxima geracao. Existem varias formas de criar
novos indivıduos, todas comecam por seleccionar de forma aleatoria dois indivıduos da geracao
intermedia e sendo-lhes aplicado o operador Crossover que cria um novo indivıduo para a nova
geracao. Este processo que e repetido ate se completar a fraccao de Crossover da nova geracao.
Apresentam-se seguidamente alguns tipos de Crossover que podem ser utilizados no algoritmo
genetico.
• Crossover do tipo Scattered: Nesta opcao cria-se um vector binario aleatorio, com di-
mensao igual a dimensao de um indivıduo, onde 1 corresponde ao Individuo 1 e 0 ao
41
Individuo 2. O novo indivıduo e composto pelos genes dos seus dois progenitores nas
posicoes indicadas pelas entradas do vector binario auxiliar.
• Crossover do tipo Single point: Gera-se aleatoriamente um numero inteiro n entre 1 e
a dimensao de um indivıduo. De seguida cria-se o novo Individuo sendo os genes deste
de 1 a n os n primeiros genes do Individuo 1 e de n + 1 em diante os do Individuo 2. A
tıtulo de exemplo, imagine-se que sao seleccionados os Indivıduos I1 = [a b c d e f g] e
I2 = [1234567], e que o numero aleatoriamente gerado e n = 3 entao, o novo indivıduo
sera INovo = [a b c 4 5 6 7].
• Crossover do tipo Two point: Este e um processo muito semelhante ao anterior. Em vez
de usar um ponto usa dois, isto e, geram-se de forma aleatoria dois numeros inteiros, m
e n (sendo m o menor). De seguida cria-se o novo Indivıduo com uma combinacao dos
2 indivıduos seleccionados, onde os genes deste sao de 1 a m os genes do Individuo 1
nessas posicoes, de m+ 1 a n os genes do Individuo 2 (nas mesmas posicoes) e, por fim,
de n + 1 em diante serao os genes do indivıduo 1 novamente. Exemplificando, com os
seguintes progenitores I1 = [a b c d e f g h] e I2 = [1 2 3 4 5 6 7 8], com m = 3, n = 6, o
novo indivıduo sera INovo = [a b c 4 5 6 g h].
• Crossover do tipo Arithmetic: E de todos o mais simples, em que os genes do novo
indivıduo sao a media aritmetica dos genes dos progenitores.
4.2.1.3.2 Mutation
Apos a aplicacao do operador Crossover aplica-se a populacao o operador Mutation. Este
operador especifica a forma de o algoritmo proceder a pequenas alteracoes nos indivıduos de
modo a distanciar-se do rumo da convergencia e procurar solucoes noutras zonas do espaco de
resultados. O uso da mutacao permite que haja diversidade genetica, e uma procura ampla no
espaco de resultados. Relembra-se que so 15% da populacao e susceptıvel de sofrer Mutation.
Existem varios tipos de Mutation, que sao descritos em seguida.
• Mutation do tipo Gaussiana: Consiste em adicionar um numero aleatorio retirado de
uma distribuicao gaussiana de media 0 a cada entrada (gene) do vector do Individuo que
esta a sofrer mutacao.
42
• Mutation do tipo Uniforme: Aplicam-se dois processos ao indivıduo que esta a sofrer
mutacao. Primeiro e seleccionada uma fraccao do indivıduo para mutacao onde cada
gene tem probabilidade 0.01 de sofrer mutacao. Depois, substitui-se cada uma destas
entradas por um numero aleatorio (este numero e o mesmo em todas as entradas que
sofrem mutacao).
4.2.2 Criterios de paragem
Existem varios criterios para definir se um indivıduo representa adequadamente o optimo da
funcao que se pretende optimizar (criterios de paragem). Os criterios usados no nosso problema
foram (i) o limite do numero de geracoes, (ii) o limite de Stall Generations (numero de geracoes
consecutivas em que o valor optimo da populacao nao melhorou) e (iii) a tolerancia de 10−4 en-
tre valores da funcao a minimizar. Fizeram-se pequenos testes exploratorios com cada uma das
opcoes de seleccao tendo-se optado pelo Tournament em detrimento das outras para a seleccao
pois foi a que apresentou a convergencia mais rapida para o tipo de problema desta dissertacao,
em que o numero de indivıduos seleccionados de cada vez e 4. Tal como se escolheu uma das
opcoes para a seleccao tambem se escolheu para o operador Crossover a opcao de Two point e
para o operador Mutation a opcao Gaussiana. Na figura 4.1 apresenta-se a sequencia pela qual
sao aplicados os operadores.
43
Geracao da pri-
meira populacao
Primeira
populacao
Populacao
avaliada
Populacao
intermedia
Populacao
nova
Verifica-se algum
criterio de paragem?
A procura termina:
encontrou-se uma
distribuicao optima
de valores de fs
Avaliacao:
Rank
Seleccao:
Tournament
Avaliacao:
Rank
Reproducao
Populacao Elite:
5% Populacao
Crossover:
Two point
Mutation:
Gaussiana
Processo iterativo de
criacao de geracoes
Nao
Sim
Figura 4.1: Algoritmo genetico: sequencia de aplicacao dos diversos operadores do algoritmo.
44
4.3 Exemplo numerico
Apresenta-se agora uma aplicacao do algoritmo genetico, com os parametros principais
definidos na seccao anterior, para a optimizacao da distribuicao dos valores das forcas maximas
de atrito do portico (do tipo representado na figura 3.1) de 3 pisos do artigo (Lu and Lin, 2006),
com o sismo de El Centro de 1940, obtido na pagina (Vibration Data, 2015) com um tempo
total de 53.74 segundos. A funcao objectivo e
f =
√f1
2 + f22, (4.1)
em que
f1 =xmax,c
xmax,se f2 =
Xmax,c
Xmax,s, (4.2)
onde xmax,c representa o deslocamento maximo relativo a base do ultimo piso para a estrutura
equipada com dissipadores, xmax,s o deslocamento maximo relativo a base do ultimo piso para
a estrutura sem dissipadores, a quantidade Xmax,c corresponde a aceleracao absoluta maxima
do ultimo piso para a estrutura equipada com dissipadores, enquanto que Xmax,s e a aceleracao
absoluta maxima do ultimo piso para a estrutura sem dissipadores.
As matrizes de massa, rigidez e amortecimento totais sao, respectivamente, dadas por
MT =
11.213 0 0 0 0 0
0 11.213 0 0 0 0
0 0 10.914 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
t, (4.3)
45
fundacao
m1
fundacao
c1c1
kb1f 1s
k12
k12
d(t)
X1(t)
Xb1(t)
m2
c2c2
kb2f 2s
k22
k22
X2(t)
Xb2(t)
m3
c3c3
kb3f 3s
k32
k32
X3(t)
Xb3(t)
y
x
Figura 4.2: Representacao esquematica do portico de tres pisos com um sistema de amorteci-mento misto.
KT =
9186.159 −5452.178 1172.190 0 0 0
−5451.810 8753.602 −4556.112 0 0 0
1172.960 −4555.417 3673.845 0 0 0
0 0 0 11203.047 0 0
−11203.047 0 0 0 11203.047 0
0 −11203.047 0 0 0 11203.047
kN/m,
(4.4)
46
CT =
2.325 −0.209 0.093 0 0 0
−0.209 2.364 −1.131 0 0 0
0.093 −1.131 2.124 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
kNs/m. (4.5)
Note-se que o 1o bloco de 3 por 3 da matriz de rigidez nao e simetrico por a matriz ter
sido obtida experimentalmente (Lu and Lin, 2006). A rigidez associada ao sistema de suporte
dos dissipadores e o triplo da rigidez dos pilares que unem os penultimo e ultimo pisos. A
matriz que, multiplicada pelas reaccoes locais devidas ao atrito nos dissipadores, permite obter
as forcas generalizadas devido ao atrito e dada por
W =
1 −1 0
0 1 −1
0 0 1
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
. (4.6)
Para o estudo da forca optima nos dissipadores assumindo uma distribuicao uniforme de
forcas maximas em altura usou-se uma populacao de 30 indivıduos e um limite de 200 geracoes,
tendo-se obtido um valor de forca maxima optima de 44.40 kN, com f = 0.436. A utilizacao
de 30 indivıduos justifica-se para um problema apenas com uma variavel para que cada geracao
tenha dimensao suficiente para realizar uma boa procura no espaco de resultados. Para o estudo
da forca optima nos dissipadores com distribuicao variada em altura usou-se uma populacao de
100 indivıduos e um limite de 200 geracoes, tendo-se obtido um valor de forca maxima optima
para o primeiro piso de 76.52 kN, para o segundo de 64.56 kN e para o ultimo de 32.21 kN
com f = 0.385. Neste caso usou-se uma populacao de 100 indivıduos pois neste caso existem
3 variaveis, logo ha necessidade de ter uma populacao com dimensao suficiente para realizar
uma procura ampla no espaco de resultados. Para o caso especıfico deste problema poder-se-ia
ter usado uma dimensao inferior, mas usou-se 100 para ficar em conformidade com os testes do
capıtulo seguinte onde existem 20 variaveis.
47
Na tabela 4.1, para a estrutura sem dissipadores, com dissipadores com uma distribuicao
de forcas uniforme e ainda com dissipadores mas com uma distribuicao de forcas variada,
apresentam-se os valores do deslocamento horizontal do ultimo piso relativo a base, da aceleracao
absoluta no topo e da forca de corte basal, com o objectivo de quantificarmos a influencia dos
dissipadores na atenuacao dos efeitos do sismo na estrutura. Da observacao da figura 4.3 e da
tabela 4.1 torna-se claro o efeito benefico da presenca dos dissipadores na resposta da estrutura.
Por outro lado, quando de compara as respostas da estrutura quando equipada com dissipadores
com distribuicao uniforme ou variada em altura conclui-se que a diferenca nao e significativa;
no entanto a distribuicao variada de forcas em altura permite uma melhor optimizacao.
Figura 4.3: Comparacao das respostas da estrutura com e sem dissipadores.
Tabela 4.1: Tabela que compara a resposta da estrutura com e sem dissipadores
x3,max [m] X3,max [m/s2] Rmax [kN]
Sem dissipadores 0.2351 11.51 761.078Distribuicao uniforme de forcas 0.0588 4.111 259.942Distribuicao variada de forcas 0.0335 4.118 210. 065
48
Capıtulo 5
Optimizacao de sistemas de dissipacao emporticos com paredes estruturais
Nos capıtulos anteriores apresentou-se o algoritmo de integracao numerica no tempo das
equacoes do movimento e das leis constitutivas que regem a dinamica de porticos equipados
com dissipadores de atrito, e o algoritmo genetico que usa os resultados de muitas simulacoes
numericas devidas as accoes de varios sismos, com o objectivo de optimizar os valores das
forcas maximas dos dissipadores. Neste capıtulo usaremos os dois algoritmos mencionados para
optimizar as forcas maximas nos dissipadores de atrito instalados em cinco estruturas diferen-
tes. O algoritmo de integracao numerica, que tem como resultado o parametro que se pretende
minimizar (deslocamentos maximos relativos a fundacao, aceleracao absoluta maxima, forca de
corte basal maxima) fornece o valor da fitness function do algoritmo genetico. Definem-se as
estruturas estudadas e os sismos utilizados na analise e discutem-se os criterios de optimizacao.
Apresentam-se ainda os resultados do estudo e tecem-se algumas consideracoes sobre os mes-
mos.
5.1 Definicao das estruturas
Usaram-se cinco modelos simples de estruturas para determinacao da distribuicao optima
das forcas dos dissipadores em altura (figura 5.1), com o objectivo de perceber o impacto da
utilizacao de dissipadores num portico como tambem a influencia da presenca de uma parede es-
trutural na distribuicao das forcas maximas dos dissipadores. A primeira estrutura e um portico,
digamos, “puro”. As restantes quatro estruturas diferem da primeira no pilar central cuja di-
mensao aumenta progressivamente da Estrutura 1 para a Estrutura 5 (o pilar central da Estrutura
1 passa a ser uma parede de largura crescente da Estrutura 2 para a Estrutura 5). A Estrutura
49
1 e um portico de 20 pisos, com 5 pilares de 0.80 m ×0.80 m espacados de 4, 5, 5 e 4 metros
respectivamente e vigas de 0.25 m ×0.75 m. No lugar do pilar central a Estrutura 2 tem uma
parede de 2.50 m ×0.20 m. As dimensoes das restantes paredes nas estruturas 3, 4 e 5 sao
respectivamente 5.00 m ×0.20 m, 7.50 m ×0.20 m e 9.20 m ×0.20 m. A tabela 5.1 apresenta
as massas e as tres primeiras frequencias naturais para cada estrutura.
(a) Estrutura 1 (b) Estrutura 2 (c) Estrutura 3 (d) Estrutura 4 (e) Estrutura 5
Figura 5.1: Conjunto de estruturas planas usadas nas simulacoes. Da Estrutura 1 para a Estru-tura 5 ha o aumento progressivo da importancia da parede estrutural.
Tabela 5.1: Massas por piso e tres primeiras frequencias naturais das cinco estruturas ilustradasna figura 5.1.
Estrutura 1 Estrutura 2 Estrutura 3 Estrutura 4 Estrutura 5
M (t) 110.95 109.52 114.62 119.71 123.18f1 (Hz) 0.4421 0.5597 0.7058 0.8121 0.8459f2 (Hz) 1.3866 1.7819 2.5053 3.3591 3.7092f3 (Hz) 2.5091 3.2860 5.0548 7.4778 8.6328
Usou-se o software SAP2000 (SAP2000 v17, 2014) para calcular as matrizes de massas e
rigidez das cinco estruturas. Efectuou-se para cada estrutura uma analise plana com a “funcao
50
diafragma” activa em cada piso. A activacao da funcao diafragma levou a que dos tres graus
de liberdade de cada no (translacoes horizontal e vertical e ainda rotacao) os deslocamentos
horizontais dos nos de um mesmo piso fossem todos iguais, o que conduziu a apenas a 1 grau
de liberdade horizontal por piso. De referir que a modelacao da parede se baseou na criacao
de um elemento frame em altura com as dimensoes da parede e a adicao de trocos constituıdos
por vigas rıgidas ao nıvel de cada piso para garantir o comportamento estrutural de parede. O
algoritmo de integracao numerica apresentado no capıtulo 3 tem como graus de liberdade da
estrutura apenas os deslocamentos horizontais de cada piso; dado que nesta analise cada no
tem 3 graus de liberdade, houve a necessidade de recorrer a uma matriz de rigidez compacta
que tenha explicitamente os deslocamentos horizontais de cada piso e de forma implıcita a
influencia das rotacoes e do deslocamento axial nos pilares. O procedimento para o calculo
da matriz de rigidez foi entao o de calcular a matriz de flexibilidade para os deslocamentos
horizontais e posteriormente proceder a sua inversao. Quanto a matriz de massas o SAP2000
fornece-a de forma directa. As matrizes de rigidez e massas usuais (de 20 × 20) referentes
as cinco estruturas encontram-se no anexo A, usam-se estas matrizes para a construcao das
matrizes totais (apresentadas no capıtulo 3), onde se optou por uma rigidez dos sistemas de
contraventamento dos dissipadores igual em todas as estruturas, com o valor de 18808845 kN/m,
sensivelmente 10 vezes superior a rigidez do piso mais rıgido da Estrutura 1 (neste caso, piso
1).
5.1.1 Amortecimento de Rayleigh
Adoptou-se uma matriz de amortecimento viscoso C de tipo Rayleigh, que corresponde a
uma combinacao linear entre as matrizes de massa e rigidez, C = a0M + a1K. Os valores de
a0 e a1 calculam-se por forma a garantir factores de amortecimento ζi e ζj em dois modos de
vibracao, i e j, de frequencias naturais angulares respectivamente iguais a pi e pj , de acordo
com a0a1 =
2pipjpj2 − pi2
pjζi − piζj
− ζipj
+ζjpi
. (5.1)
No caso da presente dissertacao adoptou-se ζ = 2% para o primeiro e quinto modos de vibracao,
por forma garantir amortecimento abaixo de 2% nos modos entre estes. As matrizes de amorte-
cimento de cada estrutura encontram-se tambem no anexo A.
51
5.2 Definicao dos sismos
Nos processos de optimizacao da distribuicao das forcas maximas pelos dissipadores apre-
sentados nesta dissertacao usaram-se os sete sismos listados na tabela 5.2. A escolha destes
sismos baseou-se no espectro de resposta do EC8, para a zona de Lisboa com um terreno tipo
B e classe de importancia do tipo II. Introduziu-se esse espectro de resposta na pagina da in-
ternet da (PEER Ground Motion Database) e procurou-se sismos com um espectro de resposta
semelhante. Os sismos seleccionados foram depois rescalados para uma aceleracao de pico de
0.34g (uniformemente) de modo a que o espectro de resposta medio fosse muito proximo do
pretendido (calculado a partir do EC8).
Tabela 5.2: Os sete acelerogramas usados nas simulacoes.
Nome Data Localizacao Estacao Direccao PGA (g) Duracao (s)
Almiros 11/08/1980 Grecia Almiros WE 0.0714 22.5792Caldiran 24/11/1976 Turquia Maku S49E 0.0975 28.35
Chuetsu-oki 16/07/2007 Japao Joetsu Kita EW 0.1763 59.98Darfield 03/09/2010 Nova Zelandia ADCS N42W 0.1127 149.99Irpinia 23/11/1980 Italia Arienzo 270 0.0346 24.65
Managua 23/12/1972 Nicaragua Managua, ESSO 90 0.2628 47.88Manjil 20/06/1990 Irao Abbar L 0.5146 53.48
Cada um dos registos correspondentes nos sismos mencionados na tabela 5.2 foi medido
em estacoes diferentes, com tempos de gravacao diferentes, sendo alguns dos registos mani-
festamente demasiado longos em relacao aos intervalos de tempo que contem o seu conteudo
mais relevante. Consequentemente, de modo a poupar tempo computacional no processo de
optimizacao, truncou-se cada registo por forma a aproveitar apenas a parte que efectivamente
contem o sismo. A tabela 5.3 mostra os intervalos de tempo que se considerou em cada sismo
para efeitos das integracoes numericas das equacoes que regem o movimento (metodo θ). Em
todos os sismos usou-se um passo de tempo de integracao proximo de 0.01 s.
5.3 Criterios de optimizacao
O algoritmo genetico minimiza um parametro calculado pelo algoritmo de integracao numerica
(deslocamento maximo do ultimo piso relativamente a fundacao, aceleracao absoluta maxima
do ultimo piso, forca de corte basal maxima ou outro). A optimizacao pode ter apenas um
objectivo ou varios. Um bom criterio de optimizacao pode ser procurar minimizar os danos
52
Tabela 5.3: Instantes inicial e final usados para cada sismo e passos de tempo do registo e daintegracao numerica.
NomeInstante
inicial (s)Instantefinal (s)
Passo de tempodo acelerograma (s)
Passo de tempo husado (s)
Almiros 0.0000 10.0032 0.0024 0.0096Caldiran 0.0000 10.0000 0.0100 0.0100
Chuetsu-oki 12.0000 35.0000 0.0100 0.0100Darfield 9.0000 51.0000 0.0050 0.0100Irpinia 0.0000 24.6500 0.0029 0.0116
Managua 0.0000 10.0000 0.0050 0.0100Manjil 0.0000 20.0000 0.0200 0.0200
no pilares do res-do-chao, limitando o deslocamento relativo entre o 1o piso e a fundacao. Al-
ternativamente pode-se limitar o deslocamento do ultimo piso relativo a base o que acaba por
minimizar todos os deslocamentos relativos, se a estrutura vibrar principalmente de acordo com
o primeiro modo de vibracao. Contudo, uma optimizacao que so minimize o deslocamento
no topo relativo a base, pode tornar a estrutura demasiado rıgida, afectando de forma negativa
as aceleracoes nos pisos, que ficariam demasiado elevadas, alem de sobrecarregar o sistema
de contraventamento de suporte dos dissipadores e promover o aumento dos esforcos normais
nos pilares. Optou-se entao por fazer uma optimizacao multiobjectivo que nao so minimiza o
deslocamento horizontal relativo a base do ultimo piso como tambem minimiza as aceleracoes
absolutas (tambem no ultimo piso). Em suma, a opcao de minimizar o deslocamento horizontal
relativo a base do ultimo piso pretende reduzir os danos na estrutura, nomeadamente nos pilares
pela accao combinada do momento flector e do esforco transverso, e a minimizacao simultanea
das aceleracoes absolutas no ultimo piso pretende por outro lado moderar as forcas maximas nos
dissipadores e evitar um sobredimensionamento do sistema de contraventamento (de suporte)
dos dissipadores.
Outro criterio para melhorar o comportamento sısmico de uma estrutura que se pode consi-
derar importante e a reducao da forca de corte basal Fb = k1x1 + kb1xb1 . Pode tambem haver
interesse em minimizar esta forca para tornar mais economico o dimensionamento dos pilares
e fundacoes. E claro que, se o comportamento do edifıcio for principalmente controlado pelo
primeiro modo, ao minimizarmos o deslocamento horizontal do ultimo piso relativo a base, ja
estamos implicitamente a minimizar a forca de corte basal. No entanto tambem conjugaremos
este criterio de optimizacao com os dois ja mencionados para se perceber qual o impacto na
disposicao optima das forcas nos dissipadores. Assim, consideramos
53
• Criterio 1 - Minimiza o deslocamento horizontal do ultimo piso relativo a base em si-
multaneo com a aceleracao absoluta no ultimo piso. A funcao objectivo e dada por (4.1)
(apresentada no capıtulo 4).
• Criterio 2 - Este criterio conjuga o criterio 1 em simultaneo com a minimizacao da forca
de corte basal, ou seja, minimiza a funcao
f =
√f1
2 + f22 + f3
2, (5.2)
em que
f3 =Rmax,c
Rmax,s, (5.3)
onde Rmax,c representa a forca de corte basal maxima para a estrutura equipada com dis-
sipadores e Rmax,s representa a forca de corte basal maxima para a estrutura sem dissipa-
dores.
5.4 Resultados
5.4.1 Um calculo previo: a pesquisa de intervalos eficazes de forcas maximas
dos dissipadores
Antes de recorrermos ao algoritmo genetico para optimizar as forcas maximas nos dis-
sipadores fez-se um estudo em que se calcularam os parametros envolvidos nos criterios de
optimizacao apresentados, para uma forca maxima nos dissipadores uniforme em altura, com
um valor inicial de 50 kN variando com incrementos de 50 kN. Fizeram-se estes testes com o
objectivo de determinar para cada combinacao sismo-estrutura o intervalo mais eficaz de carga
nos dissipadores, isto e, um intervalo de forcas maximas nos dissipadores que melhorem sig-
nificativamente a resposta da estrutura, e portanto onde sera mais provavel que se encontre a
solucao do problema de optimizacao. Este estudo serviu para posteriormente fornecer ao algo-
ritmo genetico um dos elementos da populacao inicial, o que acelera o processo de optimizacao
pois aproxima os valores maximos iniciais das forcas dos valores optimos das forcas maximas
nos dissipadores. Este procedimento nao vicia os resultados pois o operador Mutation garante
uma procura ampla no espaco de resultados.
Na figura 5.2 estao representados os graficos que representam a dependencia em relacao a
54
forca maxima dos dissipadores do deslocamento relativo a base do ultimo piso, da aceleracao
absoluta do ultimo piso e da forca de corte basal, para duas combinacoes sismo-estrutura, calcu-
lados para uma distribuicao uniforme em altura de forcas maximas nos dissipadores, admitindo
apenas valores discretos com intervalos (50 kN). Pela observacao da figura conclui-se, que o
aumento de forca nos dissipadores melhora significativamente o deslocamento, embora a partir
de um certo valor o ganho face ao aumento de forca seja diminuto. No entanto, como seria de
esperar, o mesmo nao acontece para a aceleracao absoluta maxima no ultimo piso, isto e, com
o aumento da forca dos dissipadores as aceleracoes diminuem para forcas baixas a moderadas
mas, a partir de um certo nıvel de forca as aceleracoes maximas no topo aumentam. Este au-
mento da forca maxima nos dissipadores conduz a um aumento de rigidez da estrutura pois o
estado de bloqueamento dos dissipadores passa a ser cada vez mais frequente, fazendo com que
haja uma maior transmissao das aceleracoes do solo ao ultimo piso. No caso limite de uma
rigidez infinita dos sistemas de apoio dos dissipadores e de um valor infinito de forca maxima
dos dissipadores, a estrutura comportar-se-a como um corpo rıgido oscilando solidariamente
com a fundacao e exibindo as mesmas aceleracoes do sismo. O andamento da forca de corte
basal e semelhante ao das aceleracoes maximas.
A observacao atenta da figura 5.2 leva-nos a concluir que e pertinente a utilizacao de um
criterio de optimizacao multiobjectivo, para as forcas maximas dissipadores por forma a que a
solucao optima nao permita grandes deslocamentos relativos a base mas simultaneamente limite
as aceleracoes maximas absolutas, ou seja, limite as forcas transmitidas ao sistema de apoio dos
dissipadores. Note-se que minimizacao da aceleracao em simultaneo com o deslocamento nao
vai piorar de forma significativa a resposta da estrutura ao nıvel do deslocamento pois as forcas
para as quais ocorrem as menores aceleracoes correspondem ainda a valores diminutos dos des-
locamentos. Dos graficos ressalta ainda que para os deslocamentos traca-se facilmente uma
linha de tendencia monotona pela qual se podem tirar conclusoes acerca do efeito no desloca-
mento dos sucessivos incrementos de 50 kN na forca maxima de atrito. Contudo as aceleracoes
e as forcas de corte basal ja nao tem um andamento monotono, pois existem muitos mınimos
e maximos locais, nao sendo facil prever se o comportamento melhora com o aumento ou
diminuicao de forcas nos dissipadores. Justifica-se por isso a utilizacao de um algoritmo de
optimizacao associado a um algoritmo de integracao numerica que calcula o comportamento da
estrutura ao longo do tempo, para muitos valores das forcas maximas dos dissipadores.
55
Figura 5.2: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta do topoe forca de corte basal maxima para as estruturas 1 e 5 e os sismos Managua (1972) e Manjil(1990).
5.4.2 Optimizacao segundo o criterio 1
5.4.2.1 Distribuicao uniforme em altura das forcas dos dissipadores
Comecamos pela optimizacao com uma variavel apenas, ou seja, impondo uniformidade em
altura nas forcas maximas dos dissipadores usando o algoritmo genetico da Toolbox do Matlab
com a funcao objectivo (4.1). Uma vez que neste caso ha apenas uma variavel, usa-se uma
populacao de dimensao 30 e um limite de 200 geracoes (em nenhum dos casos o algoritmo
necessitou de 200 geracoes). Com o intuito de poupar tempo computacional, um dos elementos
da primeira populacao e o indivıduo mais apto encontrado na analise do intervalo eficaz forcas
dos dissipadores (seccao 5.4.1). No anexo B.1.1 apresentam-se os resultados que o programa
fornece directamente para esta analise.
Na tabela 5.4 apresentam-se os resultados dos processos de optimizacao das forcas unifor-
mes em altura para todas as combinacoes sismo-estrutura. Apercebemo-nos que, com excepcao
56
da ultima estrutura, a forca necessaria nos dissipadores em cada estrutura aumenta com o au-
mento da dimensao da parede. Tal ocorrencia pode dever-se ao facto de um aumento das di-
mensoes da parede corresponder a um aumento da massa da estrutura e consequentemente das
forcas de inercia. Entre as estruturas 4 e 5 provavelmente os efeitos do aumento de rigidez
ultrapassam os do aumento de massa, fazendo com que a rigidez muito elevada da parede da
Estrutura 5 alivie as forcas necessarias nos dissipadores. Deve-se referir tambem que, embora
os sismos tenham sido reescalados igualmente, para o mesmo perıodo os seus acelerogramas
tem aceleracoes diferentes o que justifica que, para a mesma estrutura os valores necessarios de
forca nos dissipadores sejam tao dispersos no conjunto dos sismos.
Tabela 5.4: Valores da forca maxima optima dos dissipadores para uma distribuicao uniformede forca em altura. Criterio 1. Valores em kN arredondados a unidade.
Sismo Estrutura 1 Estrutura 2 Estrutura 3 Estrutura 4 Estrutura 5
Almiros 724 1109 2323 2421 2128Caldiran 608 500 611 1369 458
Chuetsu-oki 1504 1851 2846 2873 2972Darfield 689 971 1388 1858 2040Irpinia 1348 1058 1576 1831 1583
Managua 997 1931 3164 3626 3396Manjil 913 1310 1380 1361 1376
Media 969 1247 1898 2191 1993
E interessante saber qual a resposta das estruturas quando se usa o valor medio da forcas
maximas nos dissipadores de todos os sismos (ultima linha da tabela 5.4) e compara-la com a
resposta quando se usa o valor optimo da forca maxima nos dissipadores determinado para essa
combinacao sismo-estrutura. O valor optimo da forca na Estrutura 1 para o sismo Caldiran e
de 608 kN, com x20,max = 0.022 m e X20,max = 1.10 m/s2; quando se toma a forca media, ou
seja, 969 kN, os valores anteriores passam respectivamente a 0.020 m e 2.01 m/s2. Reforca-se
portanto a conclusao de que com o aumento da forca nos dissipadores a diferenca em termos de
deslocamento e diminuta mas a aceleracao maxima aumenta devido ao efeito de rigidificacao
da estrutura promovido pelo aumento da percentagem de tempo em que os dissipadores estao
bloqueados. No entanto, uma vez que a aceleracao absoluta no ultimo piso para a Estrutura
1 sem dissipadores e de 6.47 m/s2 (tabela 5.5), a eficacia dos dissipadores e indiscutıvel quer
para fs = 608 kN quer para fs = 969 kN. Observando agora outro caso, a forca optima nos
dissipadores para a Estrutura 3 e actuada pelo sismo Almiros e 2323 kN, com x20,max = 0.030
m e X20,max = 3.22 m/s2. Quando se toma a forca media, ou seja, 1898 kN, obtem-se x20,max =
57
0.044 m e X20,max = 3.78 m/s2. Mais uma vez se observa que com diminuicao de forca nos
dissipadores o deslocamento maximo aumenta, como seria de esperar. Neste caso a diminuicao
da forca maxima dos dissipadores teve o efeito de aumentar a aceleracao maxima do ultimo piso,
facto que tambem nao e de estranhar se tivermos em conta a irregularidade da dependencia das
aceleracoes maximas na forca maxima (recordar o graficos intermedios da figura 5.2). Mas,
mais uma vez, para uma combinacao onde a aceleracao absoluta do ultimo piso para a Estrutura
3 sem dissipadores e de 7.63 m/s2 (tabela 5.5) a melhoria ainda e bastante significava.
Tabela 5.5: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta no topoe forca de corte basal para as cinco estruturas e sete sismos, sem dissipadores. x20,max em m,X20,max em m/s2 e Rmax em kN.
Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
Estrutura 1x20,max 0.200 0.115 0.446 0.409 0.177 0.318 0.355X20,max 6.43 6.47 7.80 8.46 8.53 6.20 6.78Rmax 15631 8320 31403 22653 15610 16575 22869
Estrutura 2x20,max 0.168 0.104 0.339 0.228 0.364 0.312 0.129X20,max 8.35 6.88 6.53 12.53 12.71 7.81 9.06Rmax 27036 14721 39095 34768 45443 34632 18695
Estrutura 3x20,max 0.165 0.100 0.366 0.182 0.225 0.239 0.125X20,max 7.63 8.19 11.06 15.52 14.77 12.66 12.05Rmax 62020 56099 109073 86932 110554 97863 66849
Estrutura 4x20,max 0.267 0.063 0.403 0.244 0.264 0.143 0.089X20,max 10.79 12.64 13.95 23.95 14.59 7.03 8.64Rmax 173982 101012 254281 242518 199244 99874 93431
Estrutura 5x20,max 0.321 0.047 0.436 0.231 0.212 0.137 0.073X20,max 14.38 16.99 18.18 16.34 11.96 7.78 7.78Rmax 322871 160031 426695 270527 243655 142059 108968
5.4.2.2 Distribuicao variada em altura das forcas dos dissipadores
Depois de na seccao anterior termos procedido a optimizacao impondo uniformidade das
forcas maximas nos dissipadores em altura admitimos agora uma distribuicao variada em altura,
isto e, uma optimizacao que sera feita com 20 variaveis independentes, passando o algoritmo
genetico a ter uma populacao de 100 indivıduos, mantendo-se as 200 geracoes (tambem no caso
variado nunca o algoritmo chegou as 200 geracoes). O aumento na dimensao da populacao
de 30 para 100 indivıduos deve-se a a necessidade de em cada geracao explorar o espaco de
resultados possıveis, o que com 20 variaveis independentes so e possıvel fazer se se usar uma
populacao suficientemente numerosa. A figura 5.3 apresenta o resultado da optimizacao das
58
forcas dos dissipadores depois de se efectuarem as medias dos valores obtidos para os diferentes
(7) acelerogramas,que se econtram no anexo B.1.2.
Figura 5.3: Forcas dos dissipadores para as cinco estruturas. A forca correspondente a barraindicada em cada dissipador e igual a media das forcas maximas optimizadas nesse dissipadorpara os sete sismos.
Tal como na optimizacao com forcas nos dissipadores iguais em altura, para a optimizacao
da forca nos dissipadores variada em altura, em termos medios, a forca optima aumenta com
o aumento da dimensao da parede (a excepcao da Estrutura 5, tal como anteriormente). Os
graficos da figura 5.3, indicam que a distribuicao da forca optima em altura e muito proxima
de uma distribuicao uniforme, notando-se ainda que, sensivelmente a meia altura, em algumas
estruturas mais do que noutras, a forca necessaria nos dissipadores diminui um pouco.
Na figura 5.4 apresentam-se tres graficos, todos relativos a Estrutura 1. No grafico do lado
esquerdo comparam-se os deslocamentos dos pisos para o instante em que o deslocamento re-
lativo a base do ultimo piso e maximo, (i) para a estrutura sem dissipadores, (ii) para a estrutura
com dissipadores mas com forcas iguais em altura e ainda (iii) para a estrutura com dissipado-
res com forcas variadas em altura. No grafico central da mesma figura ainda se representam as
59
aceleracoes absolutas de cada piso para o instante em que a aceleracao no ultimo piso e maxima.
No grafico do lado direito representam-se os deslocamentos relativos entre pisos consecutivos
para o instante em que ocorre o maximo deslocamento relativo entre pisos. Como se pode ver
no caso da figura 5.4 o deslocamento maximo, para a situacao (i), ocorre entre o 17o e o 18o
pisos, entao os deslocamentos relativos representados nesse grafico para a situacao (i) sao todos
referentes a esse instante.
Figura 5.4: Estrutura 1 sujeita ao sismo Caldiran. Deslocamento horizontal relativo a base,aceleracao absoluta e deslocamentos relativos entre pisos para a estrutura sem e com dissipa-dores (distribuicoes uniforme e variada), nos instantes em que o deslocamento relativo a base emaximo (a) a aceleracao do ultimo piso e maxima (b) e o deslocamento relativo entre dois pisose maximo (c).
Para este caso, em que a distribuicao e variada em altura, e importante tambem saber qual
a resposta das estruturas quando se usa o valor medio das forcas maximas optimizadas para
cada dissipador em cada sismo. Portanto observando os resultados da Estrutura 1 com os va-
lores optimos das forcas nos dissipadores, para o sismo Irpinia apresenta x20,max = 0.040 m e
X20,max = 1.86 m/s2. Quando a forcas nos dissipadores forem as medias dos valores optimos
dos sete sismos obtem-se x20,max = 0.062 m e X20,max = 1.70 m/s2, isto e, o deslocamento rela-
60
tivo a base do ultimo piso piora, mas as aceleracoes melhoram, estando no entanto todos estes
valores muito abaixo dos da estrutura sem dissipadores. Observe-se agora o caso da Estrutura
4 sujeita ao sismo Caldiran com a distribuicao optima das forcas pelos dissipadores tem um
deslocamento maximo no ultimo piso de 0.018 m e aceleracao absoluta de 2.81 m/s2; quando a
distribuicao de forcas maximas em altura for a media das distribuicoes optimas dos sete sismos
o deslocamento maximo relativo no topo passa a 0.017 m e a aceleracao maxima absoluta no
topo passa a 3.93 m/s2. Com o aumento da forca nos dissipadores a diferenca no deslocamento
e pequena mas melhora, embora aumente a aceleracao, pois tal como ja se indicou anterior-
mente, o aumento das forcas maximas tem como efeito obrigar a estrutura a acompanhar mais
o movimento do solo. Note-se que para esta combinacao sismo-estrutura a aceleracao absoluta
no topo para a estrutura sem dissipadores e de 12.64 m/s2.
Tabela 5.6: Medias dos valores maximos (sete sismos) do deslocamento relativo a base doultimo piso, para uma forca em cada dissipador que e a media dos valores optimos para cadasismo determinadas com o criterio 1.
Deslocamento (m) Estrutura 1 Estrutura 2 Estrutura 3 Estrutura 4 Estrutura 5
Sem dissipadores 0,289 0,235 0,200 0,210 0,208Distribuicao uniforme de forcas 0,068 0,057 0,042 0,036 0,040Distribuicao variada de forcas 0,071 0,060 0,044 0,037 0,040
Tabela 5.7: Medias dos valores maximos (sete sismos) da aceleracao absoluta do ultimo piso,para uma forca em cada dissipador que e a media dos valores optimos para cada sismo determi-nadas com o criterio 1.
Aceleracao (m/s2) Estrutura 1 Estrutura 2 Estrutura 3 Estrutura 4 Estrutura 5
Sem dissipadores 7,24 9,13 11,70 13,08 13,34Distribuicao uniforme de forcas 2,39 2,94 3,87 4,72 4,57Distribuicao variada de forcas 2,11 2,60 3,50 4,43 4,83
Na tabela 5.6 apresentam-se valores medios (sobre os sete sismos) do deslocamento do
ultimo piso relativo a base para cada uma das estruturas em analise e na tabela 5.7 mostram-se
os valores medios (tambem sobre os sete sismos) da aceleracao absoluta no ultimo piso, para
cada uma das cinco estruturas analisadas. Estes valores foram calculados para as forcas medias
optimas determinadas anteriormente para cada caso. Com base nas tabelas 5.6 e 5.7 pode-se
afirmar que no caso da Estrutura 1 quando se compara a resposta da estrutura sem dissipadores
para a resposta da estrutura com dissipadores com distribuicao uniforme de forcas obtem-se
melhorias de0, 28851− 0, 06804
0, 28851× 100% = 76% e
7, 238− 2, 387
7, 238× 100% = 67% para os
61
deslocamentos e aceleracoes, respectivamente. Quando se comparam na mesma estrutura os
mesmos parametros mas agora com distribuicao variada de forca nos dissipadores tem-se uma
melhoria de 75% para o deslocamento e de 71% para as aceleracoes. Note-se que a passagem
de distribuicao uniforme para distribuicao variada de forcas nos dissipadores em altura os des-
locamentos aumentam ligeiramente e as aceleracoes diminuem ligeiramente. Analisando estas
duas tabelas pode-se concluir que em termos do deslocamento relativo a fundacao a melhor
distribuicao de dissipadores e a uniforme, mas as diferencas para a distribuicao variada sao
muito pequenas (variacoes nao excedendo poucos milımetros numa estrutura com 20 pisos).
Conclui-se ainda que a distribuicao variada tem aceleracoes maximas absolutas mais modera-
das que a distribuicao uniforme. Quanto maior for a parede mais rıgida sera a estrutura, logo
ocorrem menores deslocamentos relativos e maiores aceleracoes. Note-se que para obter o
mesmo deslocamento maximo no topo em todas as estruturas seria necessario mais forca nos
dissipadores da Estrutura 1 do que na estrutura com a maior parede, Estrutura 5, o que seria de
esperar dado que a Estrutura 5 e mais rıgida.
Figura 5.5: Historia de deslocamentos do ultimo piso relativos a fundacao para a Estrutura 2actuada pelo acelerograma do sismo Irpinia. Sem dissipadores e com a distribuicao uniformeoptima de forcas dos dissipadores.
A figura 5.5 pretende mostrar a eficacia da utilizacao de dissipadores de atrito na reducao
dos deslocamentos do ultimo piso relativos a base. Nessa figura mostra-se que o deslocamento
do vigesimo piso relativamente ao solo da estrutura equipada com dissipadores dimensionados
para o valor optimo (uniforme em altura) da forca maxima de atrito (1058 kN, tabela 5.4)
e muito menor do que no caso em que a estrutura esta desprovida de dissipadores. Para o
mesmo acelerograma, na figura 5.6 mostra-se a combinacao das historias de deslocamentos do
62
Figura 5.6: Historia de deslocamentos do ultimo piso relativos a fundacao para a Estrutura 2actuada pelo acelerograma do sismo Irpinia. Estrutura com dissipadores com forcas maximasuniformes em altura e estrutura com dissipadores com forcas maximas variadas em altura.
ultimo piso da Estrutura 2 relativamente ao solo nas duas situacoes seguintes: a disposicao
uniforme optima de forcas maximas de atrito e com a disposicao variada optima. Verifica-
se que as diferencas dos valores de pico nao sao significavas, embora os deslocamentos da
distribuicao uniforme, para este acelerograma, sejam ligeiramente inferiores. Os deslocamentos
serem menores no caso da distribuicao uniforme pode dever-se a que o criterio de optimizacao
tambem engloba aceleracoes, pelo que uma distribuicao de forcas maximas nos dissipadores
variada alivia a forca maxima em alguns dissipadores de modo a reduzir as aceleracoes, o que
tem como consequencia o aumento dos deslocamentos.
Na tabela 5.8 apresentam-se os valores medios da forca de corte basal, sendo mais uma
vez evidente o efeito benefico da utilizacao dos dissipadores (mesmo neste criterio em que a
forca de corte basal nao esta incluıda explicitamente na funcao objectivo). Por exemplo, para
a Estrutura 5 a forca de corte basal sem dissipadores (media para os sismos) e de 239258 kN;
quando se dimensiona cada dissipador para uma forca de 1993 kN, a forca de corte basal passa
a 70336 kN, isto e, ha uma reducao de 70%.
Tabela 5.8: Medias dos valores maximos (sete sismos) da forca de corte basal, para uma forcaem cada dissipador que e a media dos valores optimos para cada sismo determinadas com ocriterio 1.
Forca de corte basal (kN) Estrutura 1 Estrutura 2 Estrutura 3 Estrutura 4 Estrutura 5
Sem dissipadores 19009 30627 84198 166335 239258Distribuicao uniforme de dissipadores 8511 12980 30577 50639 70764Distribuicao variada de dissipadores 7685 12525 26510 49535 71336
63
5.4.3 Optimizacao segundo o criterio 2
5.4.3.1 Distribuicao uniforme em altura das forcas maximas dos dissipadores
Na tabela 5.9 apresentam-se os resultados da optimizacao dos dissipadores da Estrutura 1,
agora para o criterio 2, isto e, o criterio em que o algoritmo genetico minimiza a funcao (5.2) que
considera explicitamente a forca de corte basal, neste caso impondo uniformidade em altura nas
forcas dos dissipadores. Nas tres ultimas colunas indicam-se os valores das quantidades usadas
no criterio de optimizacao. De um modo geral, a forca necessaria nos dissipadores para este
novo criterio e menor, e que a melhoria da forca de corte basal nao e muito significativa, isto e,
o criterio 1, tal como esperado, ja minimiza este valor de uma forma implıcita por minimizar o
deslocamento maximo do ultimo piso relativamente ao solo.
Tabela 5.9: Estrutura 1. Comparacao entre criterios para distribuicao de dissipadores uniforme.
fs (kN) x20,max (m) X20,max (m/s2) Rmax (kN)
AlmirosCriterio 1 724 0.055 1.36 7137
Criterio 2 672 0.055 1.33 6425
CaldiranCriterio 1 608 0.022 1.10 4939
Criterio 2 668 0.020 1.43 3431
Chuetsu-okiCriterio 1 1504 0.131 2.59 15489
Criterio 2 1264 0.152 2.63 12045
DarfieldCriterio 1 689 0.059 1.34 7313
Criterio 2 680 0.059 1.70 6236
IrpiniaCriterio 1 1348 0.042 2.46 11968
Criterio 2 777 0.064 1.72 8135
ManaguaCriterio 1 997 0.092 1.77 12047
Criterio 2 837 0.101 2.17 10327
ManjilCriterio 1 913 0.034 1.39 7638
Criterio 2 727 0.040 1.51 5593
O abaixamento da forca de corte basal, neste caso, da-se a custa de um aumento do deslo-
camento e da aceleracao, pois o criterio 2 nao atende apenas a minimizacao de uma funcao
64
objectivo que combina deslocamento e aceleracao mas que combina deslocamento, aceleracao
e forca de corte basal.
5.4.3.2 Distribuicao variada em altura das forcas maximas dos dissipadores
Para o caso do sismo Managua (figura 5.7) pode-se observar que, tal como para a forca uni-
forme em altura, quando se adiciona no criterio a forca de corte basal, a forca nos dissipadores
diminui. Para o mesmo sismo e estrutura, a tabela 5.10 contem os valores de x20,max, X20,max
e Rmax podendo-se concluir que, quando e usada a media das forcas nos dissipadores (dos sete
sismos) para a Estrutura 1 actuada pelo sismo Managua o valor da forca de corte basal aumenta,
como e de esperar quando as forcas nos dissipadores nao sao as optimas mas sim a media dos
valores optimos para todos os sismos. Note-se que para este caso, quando se toma o valor
medio das forcas em cada dissipador, os valores das forcas de corte basal dos dois criterios sao
proximos; reforca-se pois a conclusao de que o criterio 1 ja minimiza a forca de corte basal de
forma implıcita, podendo mesmo considerar-se que optimiza de forma eficiente nao havendo a
necessidade de utilizar o criterio 2.
Tabela 5.10: Estrutura 1. Comparacao entre criterios para distribuicao variada das forcasmaximas dos dissipadores (sismo Managua).
Managua x20,max (m) X20,max (m/s2) Rmax (kN)
Criterio 1Original 0.0868 1.422 8035Media 0.0973 2.003 10248
Criterio 2Original 0.0947 1.491 7437Media 0.1072 2.062 9899
65
Figura 5.7: Estrutura 1. Comparacao entre criterios para distribuicao variada em altura dasforcas maximas nos dissipadores (Sismo Managua).
66
Capıtulo 6
Conclusoes e sugestoes para futuros
trabalhos
Nesta dissertacao faz-se uma analise numerica do comportamento dinamico de estruturas
planas equipadas com dissipadores de atrito e sujeitas a accao sısmica. Mostra-se a capacidade
dos mesmos em dissipar a energia transmitida as estruturas. Esta capacidade de dissipar energia
deve-se aos ciclos de histerese rectangulares tıpicos dos dissipadores por atrito sendo potenci-
ada se a distribuicao das forcas maximas de atrito nos dissipadores obedecer a um criterio de
optimizacao.
Comecou-se por implementar em ambiente Matlab o “metodo θ” para integrar as equacoes
do movimento de porticos planos equipados com dissipadores de atrito. Com recurso a exem-
plos simples e com solucoes conhecidas analiticamente demonstra-se a precisao do mesmo.
Seguidamente, com o objectivo de criar um programa que optimize as forcas maximas nos dis-
sipadores, associou-se o algoritmo de integracao numerica programado a um algoritmo genetico
(da Toolbox do Matlab) e demonstrou-se a sua eficacia na optimizacao das forcas maximas nos
dissipadores de um portico de 3 pisos. Com o proposito de reduzir simultaneamente desloca-
mentos e aceleracoes usou-se uma optimizacao do tipo multi-objectivo.
Para um criterio de optimizacao mono-objectivo de tipo deslocamento, quanto maiores as
forcas nos dissipadores menores serao os deslocamentos. Contudo os resultados do andamento
das aceleracoes e da forca de corte basal nao e monotono o que tornou necessario o uso de um
algoritmo de optimizacao (optou-se por um algoritmo genetico) para implementar um criterio
de optimizacao multi-objectivo, que envolve aceleracoes e/ou a forca de corte basal para alem
dos deslocamentos.
67
Por fim, fez-se um conjunto de simulacoes numericas em cinco estruturas planas com pa-
redes estruturais de diferentes dimensoes, com um dissipador por piso, sujeitas a accao de sete
registos de sismos reais, com o objectivo de compreender a importancia das paredes estruturais
na distribuicao das forcas maximas dos dissipadores ao longo da altura. E tendo em conta as
estruturas analisadas chegou-se a conclusao de que o aumento da dimensao da parede, que leva
a um aumento da massa total da estrutura, tambem leva ao aumento da a forca total maxima
necessaria nos dissipadores.
Para a avaliar a melhor disposicao de dissipadores em altura procedeu-se a optimizacao das
forcas nos dissipadores impondo quer uniformidade em altura, quer variabilidade em altura,
tendo-se concluıdo que a distribuicao optima e proxima da uniforme. Uma vez que as respos-
tas das estruturas para distribuicoes uniformes das forcas maximas nao apresentam diferencas
significativas das das distribuicoes variadas, conclui-se que, em termos de dimensionamento,
em geral, a distribuicao uniforme e a melhor opcao. E de referir que nesta dissertacao se usa-
ram dois criterios de optimizacao diferentes, um com o objectivo de minimizar deslocamentos
e aceleracoes e outro que alem de minimizar deslocamentos e aceleracoes minimiza tambem
a forca de corte basal. Conclui-se que criterios de optimizacao diferentes levam a solucoes
diferentes, e ainda que o criterio multi-objectivo que minimiza simultaneamente deslocamen-
tos e aceleracoes oferece uma boa resposta dinamica da estrutura, nao se achando necessaria a
utilizacao do segundo criterio de optimizacao, pois o primeiro minimiza de forma implıcita a
forca de corte basal.
Como sugestao para investigacao futura em estreita ligacao com as questoes abordadas no
presente trabalho sugere-se:
• Campanha de simulacoes numericas para identificar estrategias de dimensionamento em
funcao do numero de pisos, da relacao massa-rigidez dos pisos e do conteudo das frequencias
do sismo, para na pratica evitar o recurso a um algoritmo de optimizacao, podendo-se
mesmo assim obter resultados muito proximos do optimo.
• Desenvolvimento de um programa que faca a analise de estruturas tridimensionais equi-
pados com dissipadores de atrito em mais que uma direccao.
• Implementacao de um programa experimental para validar os resultados previstos na
analise numerica de sistemas de dissipacao de energia por atrito.
68
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70
Anexo A
Matrizes relativas as cinco estruturasplanas analisadas no capıtulo 5
W =
1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
−1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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010.
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0.00
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0.00
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4−
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710.
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m
(A.7
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73
Est
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2,...,
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−87
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215
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2531
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400
−77
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2233
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9350
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8−
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1220
9−
2092
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4935
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6−
7702
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3038
4902
−76
5456
8110
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7654
6399
3038
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−76
9984
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2−
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1672
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5262
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3239
00−
3612
313
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−49
0912
1967
680
−76
9334
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3797
48−
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3−
4999
2214
0289
−36
028
1407
821
6−
186
−13
9462
0125
532
−36
539
1309
60−
4796
5019
5937
1−
7693
501
3038
2680
−76
5463
5210
4529
339−
7655
2677
3039
9008
−77
1940
319
8517
8−
4983
7513
6722
−29
524
4333
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76−
1307
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898
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8019
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4542
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8040
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3813
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1506
5−
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43−
4897
9119
8151
3−
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403
3040
7511
−76
5689
2710
4545
204−
7655
9412
3039
5830
−77
1226
919
7784
2−
4900
4212
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406
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3737
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42−
2398
413
5159
−49
9922
1985
178
−77
1864
730
4015
09−
7655
9412
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3870
0−
7655
7576
3039
4691
−77
1031
219
7208
4−
4818
6010
4567
1019
010
06−
5936
1127
1−
7949
4721
1220
9−
3603
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0289
−49
8375
1981
884
−77
1426
930
3958
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7655
7576
1045
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6−
7655
6499
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1330
−77
0585
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9−
4728
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1855
2137
−22
2434
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209
−20
9216
728
−36
028
1367
22−
4962
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8040
4−
7712
269
3039
4691
−76
5564
9910
4534
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1748
3037
8548
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918
2572
6−
2452
1968
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9794
9−
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1885
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0614
078
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4929
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7710
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3039
1330
−76
5517
4810
4525
154−
7652
4334
3027
2961
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6964
212
6475
9−
4951
3225
−25
9831
7028
7−
3370
5262
216
4333
−21
351
1248
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4900
4219
7208
4−
7705
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3037
8548
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5243
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7607
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2055
−45
5124
510
883
−67
4557
63−
3171
−21
559
23−
2608
−18
676
3615
77−
1904
212
5494
−48
1860
1964
069
−76
7045
930
2729
61−
7607
4601
1027
0828
7−
6936
2532
1852
4831
−11
105
5909
−48
9867
935
2−
5046
1032
−13
94−
5574
−18
7−
1238
−30
406
1045
67−
4728
8918
2572
6−
7269
642
2848
2055
−69
3625
3275
8869
49−
2914
7742
6023
7336
5227
6325
3151
4439
0062
0182
7698
1513
758
2284
110
190
1125
16−
2452
1912
6475
9−
4551
245
1852
4831
−29
1477
4213
9478
72
kN/m
(A.1
5)
C=
3622
5.55
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7686
81.5
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3.04
−13
8.47
38.3
9−
9.69
6.85
−3.
511.
781.
44−
1.00
0.27
0.50
0.18
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332.
92−
2.98
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41−
2066
8.97
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9−
2073.2
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1.88
−13
2.43
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6−
9.80
4.53
1.41
−3.
313.
76−
1.59
0.57
−0.
030.
87−
1.81
1.59
0.02
8681.5
4−
2066
8.97
2810
5.50
−20
545.
1881
55.3
5−
2067.3
053
0.42
−13
1.71
35.1
4−
5.88
−1.
606.
35−
4.94
3.02
−0.
600.
25−
0.70
1.55
−1.
310.
98−
2196.9
081
86.5
9−
2054
5.18
2807
4.23
−20
539.
2581
54.2
1−
2066.6
952
7.93
−12
8.69
31.2
7−
1.72
−4.
045.
33−
2.13
0.92
−0.
170.
85−
0.85
0.18
0.74
563.
04−
2073.2
681
55.3
5−
2053
9.25
2807
2.99
−20
538.
8681
52.2
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2064.1
152
5.70
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7.46
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5−
2.33
−0.
791.
27−
0.06
0.51
0.08
−0.
060.
090.
68−
138.
4753
1.88
−20
67.3
081
54.2
1−
2053
8.86
2807
1.22
−20
537.
1081
50.8
4−
2064.1
652
6.85
−12
8.81
32.4
0−
6.43
3.28
−0.
560.
85−
0.90
1.59
−1.
351.
3838.3
9−
132.
4353
0.42
−20
66.6
981
52.2
3−
2053
7.10
2807
0.42
−20
537.
2981
51.6
3−
2065.8
652
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−13
1.41
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6−
9.67
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−1.
241.
41−
0.70
0.28
1.05
−9.
6937.2
6−
131.
7152
7.93
−20
64.1
181
50.8
4−
2053
7.29
2807
0.47
−20
537.
2881
52.6
5−
2068.1
453
1.64
−13
4.13
37.6
4−
9.67
3.78
0.06
−0.
05−
0.37
1.66
6.85
−9.
8035.1
4−
128.
6952
5.70
−20
64.1
681
51.6
3−
2053
7.28
2807
0.33
−20
538.
9881
56.0
1−
2071.1
053
2.62
−13
3.71
36.6
8−
7.92
1.16
2.05
−1.
502.
22−
3.51
4.53
−5.
8831.2
7−
127.
4652
6.85
−20
65.8
681
52.6
5−
2053
8.98
2807
3.89
−20
543.
1881
58.2
9−
2070.9
053
1.74
−13
3.15
35.1
7−
5.73
0.42
−0.
052.
631.
781.
41−
1.60
−1.
7230.3
5−
128.
8152
8.75
−20
68.1
481
56.0
1−
2054
3.18
2807
6.80
−20
543.
3481
56.6
8−
2069.7
353
1.34
−13
2.25
33.5
1−
5.11
−0.
333.
691.
44−
3.31
6.35
−4.
04−
2.33
32.4
0−
131.
4153
1.64
−20
71.1
081
58.2
9−
2054
3.34
2807
4.58
−20
540.
7881
55.1
6−
2069.1
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1.48
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7−
8.16
6.13
−1.
003.
76−
4.94
5.33
−0.
79−
6.43
36.2
6−
134.
1353
2.62
−20
70.9
081
56.6
8−
2054
0.78
2807
2.84
−20
540.
2981
54.8
5−
2068.6
752
9.11
−12
9.28
28.0
62.
730.
27−
1.59
3.02
−2.
131.
273.
28−
9.67
37.6
4−
133.
7153
1.74
−20
69.7
381
55.1
6−
2054
0.29
2807
2.84
−20
540.
0081
53.9
5−
2067.4
752
6.96
−12
6.88
30.1
90.
500.
57−
0.60
0.92
−0.
06−
0.56
4.49
−9.
6736.6
8−
133.
1553
1.34
−20
69.1
981
54.8
5−
2054
0.00
2807
1.64
−20
538.
7381
50.5
2−
2057.9
748
9.84
−65.7
90.
18−
0.03
0.25
−0.
170.
510.
85−
1.24
3.78
−7.
9235.1
7−
132.
2553
0.65
−20
68.6
781
53.9
5−
2053
8.73
2806
9.21
−20
531.
3781
22.1
9−
1950.4
333
9.33
−1.
330.
87−
0.70
0.85
0.08
−0.
901.
410.
061.
16−
5.73
33.5
1−
131.
4852
9.11
−20
67.4
781
50.5
2−
2053
1.37
2803
5.90
−20
410.
7176
41.7
0−
1221.0
92.
92−
1.81
1.55
−0.
85−
0.06
1.59
−0.
70−
0.05
2.05
0.42
−5.
1133.6
7−
129.
2852
6.96
−20
57.9
781
22.1
9−
2041
0.71
2758
1.74
−18
609.
8749
70.1
9−
2.98
1.59
−1.
310.
180.
09−
1.35
0.28
−0.
37−
1.50
−0.
05−
0.33
−8.
1628.0
6−
126.
8848
9.84
−19
50.4
376
41.7
0−
1860
9.87
2038
5.62
−78
20.3
01.
620.
020.
980.
740.
681.
381.
051.
662.
222.
633.
696.
132.
7330.1
9−
65.7
933
9.33
−12
21.0
949
70.1
9−
7820.3
037
67.4
5
kNs/
m
(A.1
6)
76
Anexo B
Resultados da optimizacao
B.1 Optimizacao segundo o criterio 1
B.1.1 Distribuicao uniforme em altura das forcas nos dissipadores
Tabela B.1: Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao uniformeem altura para o criterio 1. Para a Estrutura 1 e os respectivos 7 acelerogramas.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
fs (kN) 724 608 1504 689 1348 997 913f 0.3479 0.2573 0.4437 0.2133 0.3711 0.4062 0.2265f1 0.2766 0.1930 0.2941 0.1435 0.2343 0.2890 0.0950f2 0.2110 0.1701 0.3322 0.1579 0.2878 0.2855 0.2056f3 0.4566 0.5936 0.4932 0.3228 0.7667 0.7268 0.3340
x20,max (m) 0.0553 0.0222 0.1312 0.0587 0.0415 0.0918 0.0337X20,max (m/s2) 1.3575 1.1008 2.5899 1.3352 2.456 1.7698 1.3929Rmax (kN) 7137 4939 15489 7313 11968 12047 7638
Tabela B.2: Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao uniformeem altura para o criterio 1. Para a Estrutura 2 e os respectivos 7 acelerogramas.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
fs (kN) 1109 500 1851 971 1058 1931 1310f 0.4463 0.2494 0.5468 0.1965 0.2205 0.3658 0.2670f1 0.3510 0.1986 0.3206 0.1280 0.1603 0.1892 0.1623f2 0.2758 0.1508 0.4430 0.1490 0.1513 0.3130 0.2120f3 0.3979 0.4254 0.5152 0.2520 0.2697 0.5026 0.4629
x20,max (m) 0.0591 0.0206 0.1088 0.0292 0.0583 0.059 0.0209X20,max (m/s2) 2.3033 1.0379 2.8946 1.8671 1.9232 2.4451 1.9215Rmax (kN) 10759 6262 20143 8761 12258 17406 8655
77
Tabela B.3: Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao uniformeem altura para o criterio 1. Para a Estrutura 3 e os respectivos 7 acelerogramas.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
fs (kN) 2323 611 2846 1388 1576 3164 1380f 0.4601 0.2425 0.3514 0.2278 0.2407 0.2943 0.2044f1 0.1839 0.1702 0.1346 0.1543 0.1500 0.1354 0.1253f2 0.4218 0.1728 0.3246 0.1676 0.1882 0.2613 0.1615f3 0.4331 0.2258 0.4154 0.2265 0.2518 0.3782 0.3147
x20,max (m) 0.0303 0.017 0.0492 0.028 0.0337 0.0323 0.0157X20,max (m/s2) 3.2172 1.416 3.5909 2.6009 2.7806 3.3094 1.9463Rmax (kN) 26862 12670 45304 19693 27833 37011 21040
Tabela B.4: Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao uniformeem altura para o criterio 1. Para a Estrutura 4 e os respectivos 7 acelerogramas.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
fs (kN) 2421 1369 2873 1858 1831 3626 1361f 0.3161 0.3359 0.2857 0.1736 0.2707 0.5487 0.3045f1 0.0788 0.2827 0.0927 0.0960 0.1495 0.1657 0.2070f2 0.3062 0.1814 0.2702 0.1446 0.2257 0.5231 0.2233f3 0.2323 0.3246 0.2311 0.1510 0.2536 0.5885 0.3545
x20,max (m) 0.021 0.0177 0.0374 0.0234 0.0395 0.0237 0.0184X20,max (m/s2) 3.3046 2.2929 3.7698 3.4619 3.2922 3.6777 1.9295Rmax (kN) 40412 32790 58758 36631 50530 58780 33126
Tabela B.5: Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao uniformeem altura para o criterio 1. Para a Estrutura 5 e os respectivos 7 acelerogramas.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
fs (kN) 2128 458 2972 2040 1583 3396 1376f 0.2495 0.5228 0.2274 0.2326 0.3789 0.5246 0.3612f1 0.0860 0.4492 0.0757 0.0878 0.1905 0.1838 0.2534f2 0.2342 0.2675 0.2144 0.2154 0.3275 0.4914 0.2574f3 0.2074 0.2430 0.2105 0.1872 0.2686 0.5379 0.4071
x20,max (m) 0.0276 0.0212 0.033 0.0203 0.0403 0.0252 0.0186X20,max (m/s2) 3.369 4.5442 3.8976 3.5195 3.9153 3.822 2.0023Rmax (kN) 66964 38882 89811 50639 65453 76414 44357
78
Tabela B.6: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta no topoe forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 e f2) para a Estrutura 1com forca uniforme nos dissipadores igual a media dos valores optimos da tabela B.1, fs = 969kN.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
f 0.4068 0.3569 0.6372 0.2476 0.4411 0.4516 0.3472f1 0.2591 0.1757 0.4125 0.0882 0.3241 0.2956 0.0928f2 0.3136 0.3107 0.4857 0.2314 0.2992 0.3415 0.3345
x20,max (m) 0.0518 0.0202 0.184 0.0361 0.0574 0.0939 0.0329X20,max (m/s2) 2.0175 2.0105 3.7866 1.9566 2.5533 2.1166 2.2667Rmax (kN) 7089 5045 13163 6801 8441 11373 7662
Tabela B.7: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta no topoe forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 e f2) para a Estrutura 2com forca uniforme nos dissipadores igual a media dos valores optimos da tabela B.2, fs = 1247kN.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
f 0.4883 0.4948 0.7408 0.2549 0.2589 0.4251 0.3104f1 0.3337 0.1697 0.4343 0.1162 0.1353 0.2373 0.2104f2 0.3564 0.4648 0.6001 0.2269 0.2207 0.3527 0.2281
x20,max (m) 0.0562 0.0176 0.1474 0.0265 0.0492 0.074 0.0271X20,max (m/s2) 2.9766 3.1993 3.9211 2.8432 2.8056 2.7546 2.0674Rmax (kN) 14122 7392 20546 8569 13235 17425 9570
Tabela B.8: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta no topoe forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 e f2) para a Estrutura 3com forca uniforme nos dissipadores igual a media dos valores optimos da tabela B.1, fs = 1898kN.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
f 0.5630 0.4914 0.4793 0.2717 0.3274 0.4174 0.2814f1 0.2664 0.1532 0.2714 0.1306 0.1585 0.2456 0.1484f2 0.4959 0.4669 0.3950 0.2382 0.2865 0.3376 0.2391
x20,max (m) 0.0439 0.0153 0.0992 0.0237 0.0356 0.0586 0.0186X20,max (m/s2) 3.7829 3.8249 4.3695 3.697 4.2323 4.2747 2.8816Rmax (kN) 29262 20659 49237 19885 26366 35276 33351
79
Tabela B.9: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta no topoe forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 e f2) para a Estrutura 4com forca uniforme nos dissipadores igual a media dos valores optimos da tabela B.1, fs = 2191kN.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
f 0.3944 0.4238 0.4251 0.1987 0.4388 0.9294 0.4337f1 0.0975 0.2780 0.1857 0.0858 0.1555 0.3580 0.2205f2 0.3822 0.3199 0.3825 0.1792 0.4103 0.8577 0.3734
x20,max (m) 0.026 0.0174 0.0749 0.0209 0.0411 0.0512 0.0196X20,max (m/s2) 4.1249 4.0428 5.3353 4.2915 5.9846 6.0304 3.2269Rmax (kN) 42615 37152 79035 37749 48820 67479 41623
Tabela B.10: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 e f2) para a Estrutura5 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dos valores optimos da tabela B.1, fs =1993 kN.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
f 0.3096 0.3904 0.3907 0.2848 0.4295 0.9048 0.4843f1 0.1050 0.3347 0.2047 0.0908 0.2013 0.4114 0.2738f2 0.2913 0.2008 0.3328 0.2699 0.3794 0.8059 0.3994
x20,max (m) 0.0337 0.0158 0.0892 0.021 0.0426 0.0564 0.0201X20,max (m/s2) 4.1901 3.4113 6.0486 4.4107 4.5356 6.2682 3.1071Rmax (kN) 69296 51598 112723 54337 68707 86909 51780
80
B.1.2 Distribuicao variada em altura das forcas nos dissipadores
Tabela B.11: Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao variadaem altura para o criterio 1 e valor medio da forca em cada dissipador. Para a Estrutura 1 e osrespectivos 7 acelerogramas.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil Media
fs1 730 605 1447 729 1354 1038 907 973fs2 717 678 1476 757 1391 1025 889 990fs3 718 623 1498 658 1326 934 881 948fs4 744 682 1509 787 1347 978 30 868fs5 709 638 1555 755 1352 1018 900 990fs6 736 650 1470 733 1368 979 909 978fs7 740 637 1496 695 1345 970 940 975fs8 725 663 1462 753 1333 996 34 852fs9 43 624 1502 656 1379 1033 874 873fs10 740 26 1513 701 1406 23 933 763fs11 710 624 72 713 3 5 913 434fs12 726 649 49 35 1348 1004 913 675fs13 722 580 1549 696 1333 1033 913 975fs14 709 608 1491 734 1343 1075 913 982fs15 722 625 1521 734 1347 977 913 977fs16 692 665 1504 654 1374 988 913 970fs17 705 619 1504 708 1368 926 913 963fs18 730 614 1508 685 1352 1038 906 976fs19 709 620 1566 686 1343 962 919 972fs20 711 656 1492 742 1334 1024 885 978∑
13738 12086 27183 13613 25746 18025 16400 18113fsmedio 687 604 1359 681 1287 901 820 906f 0.325 0.214 0.444 0.203 0.315 0.357 0.210f1 0.265 0.174 0.321 0.151 0.228 0.273 0.121f2 0.189 0.125 0.307 0.135 0.217 0.230 0.171f3 0.399 0.447 0.464 0.294 0.471 0.485 0.388
x20,max (m) 0.0529 0.02 0.1433 0.0618 0.0404 0.0868 0.043X20,max (m/s2) 1.2179 0.8065 2.3943 1.1458 1.856 1.4228 1.1595Rmax (kN) 6243 3717 14574 6663 7359 8035 8873
81
Tabela B.12: Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao variadaem altura para o criterio 1 e valor medio da forca em cada dissipador. Para a Estrutura 2 e osrespectivos 7 acelerogramas.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil Media
fs1 1139 497 1851 943 1084 1923 1301 1248fs2 1097 514 1851 983 1038 1906 1286 1239fs3 1095 50 1851 1023 1069 1892 1295 1182fs4 1118 45 1851 1012 1042 1886 1299 1179fs5 1128 586 1851 950 1056 1960 1316 1264fs6 1108 494 1851 997 1062 24 1352 984fs7 1114 542 1851 904 1070 58 1314 979fs8 1068 544 1851 976 1054 14 1340 978fs9 1098 569 1851 1041 20 1925 1299 1115fs10 1109 554 1851 1000 6 1924 1297 1106fs11 1109 494 1851 954 1080 1919 1305 1245fs12 1109 523 1851 68 1093 1968 1296 1130fs13 1109 534 1851 1051 1064 1931 1309 1264fs14 1122 532 1851 953 1078 1900 1334 1253fs15 1069 420 1851 940 1042 1965 1310 1228fs16 1100 6 1851 992 1063 1931 1310 1179fs17 1109 491 1851 945 1038 2001 1310 1249fs18 1109 452 1851 992 1059 1969 1310 1249fs19 1119 598 1851 975 1050 1896 1310 1257fs20 1094 399 1851 970 1035 1924 1324 1228∑
22120 8843 37029 18669 19103 32917 26218 23557fsmedio 1106 442 1851 933 955 1646 1311 1178f 0.4369 0.2074 0.5468 0.1892 0.2043 0.2943 0.2556f1 0.3498 0.1803 0.3206 0.1416 0.1551 0.1632 0.1530f2 0.2618 0.1025 0.4430 0.1254 0.1330 0.2448 0.2048f3 0.4015 0.3994 0.5152 0.2491 0.3244 0.2896 0.4962
x20,max (m) 0.0589 0.0187 0.1088 0.0323 0.0564 0.0509 0.0197X20,max (m/s2) 2.1861 0.7056 2.8946 1.5715 1.6908 1.9124 1.8556Rmax (kN) 10855 5880 20143 8660 14743 10030 9276
82
Tabela B.13: Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao variadaem altura para o criterio 1 e valor medio da forca em cada dissipador. Para a Estrutura 3 e osrespectivos 7 acelerogramas.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil Media
fs1 2326 604 2846 1325 1582 3151 1415 1893fs2 2339 611 2846 1375 1569 3105 1405 1893fs3 2277 611 2846 1358 1570 3142 1361 1881fs4 2335 611 2846 1369 1587 3181 1399 1904fs5 2378 653 2846 1414 1548 3096 1404 1906fs6 2309 588 2846 1418 1551 21 1388 1446fs7 2332 602 2846 1425 1574 12 1337 1447fs8 2346 611 2846 1461 1572 19 1408 1466fs9 2354 34 2846 1341 1602 51 1390 1374fs10 2340 607 2846 1385 1591 2 1384 1451fs11 21 639 2846 1365 1587 3208 1352 1574fs12 54 593 2846 1393 1553 3193 1401 1576fs13 2338 642 2846 1357 1597 3135 1396 1902fs14 2290 611 2834 1419 39 3178 1402 1682fs15 2331 611 2857 1377 1592 3164 1390 1903fs16 2311 611 2841 104 1536 3164 1401 1710fs17 2351 611 2846 1409 1570 3164 1405 1908fs18 2317 611 2846 1338 1579 3166 1376 1890fs19 2308 666 2846 1374 1574 3162 1348 1897fs20 2334 674 2846 1358 1584 3176 1372 1906∑
41993 11799 56914 26366 29959 47492 27735 34608fsmedio 2100 590 2846 1318 1498 2375 1387 1730f 0.4293 0.2310 0.3435 0.2314 0.2314 0.2734 0.2061f1 0.2245 0.1652 0.1349 0.1526 0.1585 0.1752 0.1317f2 0.3659 0.1615 0.3159 0.1740 0.1686 0.2098 0.1586f3 0.4063 0.2111 0.4152 0.2387 0.2488 0.1879 0.3302
x20,max (m) 0.037 0.0165 0.0493 0.0277 0.0356 0.0418 0.0165X20,max (m/s2) 2.7908 1.3234 3.4942 2.6996 2.4909 2.6575 1.9113Rmax (kN) 25198 11842 45292 20748 27503 18392 22076
83
Tabela B.14: Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao variadaem altura para o criterio 1 e valor medio da forca em cada dissipador. Para a Estrutura 4 e osrespectivos 7 acelerogramas.
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fs1 2416 1356 2873 1849 1831 3626 1333 2183fs2 2429 1367 2873 1813 1831 3626 1374 2187fs3 2481 1382 2873 1836 1831 3626 1417 2206fs4 2418 1347 2873 1863 1831 3626 1361 2188fs5 2435 1317 2873 1830 1831 3626 1332 2178fs6 2376 1386 2873 1848 1831 3626 1365 2186fs7 2475 1358 2873 1848 20 3626 1326 1932fs8 2417 1362 2873 1820 6 3626 1347 1922fs9 2426 1369 2873 1879 1831 3626 1384 2198fs10 2374 1376 2873 1858 1831 3626 1353 2184fs11 2331 1374 2873 1857 1831 3626 1352 2178fs12 2405 1353 2873 1870 1817 3626 1330 2182fs13 2387 1356 2873 1841 31 3626 1356 1924fs14 2379 1367 2873 1817 1831 3626 1340 2176fs15 2463 1368 2849 1883 1831 3626 1383 2200fs16 2350 1379 2887 1872 1831 3626 1372 2188fs17 2392 1354 2885 1883 1831 3626 1353 2189fs18 2415 1380 2873 1824 1831 3626 1357 2187fs19 2493 1342 2873 1824 1831 3626 1337 2189fs20 2411 1376 2873 1886 1831 3626 1396 2200∑
48273 27271 57456 37000 31165 72526 27169 42980fsmedio 2414 1364 2873 1850 1558 3626 1358 2149f 0.3282 0.3620 0.3024 0.1874 0.2899 0.5487 0.3214f1 0.0780 0.2843 0.0927 0.0956 0.1472 0.1657 0.2047f2 0.3188 0.2240 0.2878 0.1612 0.2497 0.5231 0.2478f3 0.2221 0.3191 0.2314 0.1536 0.2259 0.5885 0.3434
x20,max (m) 0.0208 0.0178 0.0374 0.0233 0.0389 0.0237 0.0182X20,max (m/s2) 3.4405 2.8313 4.0152 3.8608 3.6428 3.6777 2.1409Rmax (kN) 38649 32229 58847 37259 45005 58780 32085
84
Tabela B.15: Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao variadaem altura para o criterio 1 e valor medio da forca em cada dissipador. Para a Estrutura 5 e osrespectivos 7 acelerogramas.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil Media
fs1 2130 491 2999 2022 1574 3389 1390 1999fs2 2114 433 3005 2044 1585 3402 1407 1998fs3 2100 454 2962 2057 1583 3423 1376 1993fs4 2111 491 2956 2035 1583 3407 1376 1994fs5 2143 446 2979 2068 1615 3426 1376 2008fs6 2133 432 2948 2028 1583 3397 1376 1986fs7 2128 26 2960 2077 1583 3390 1376 1934fs8 2119 11 2933 2081 1594 3417 1374 1933fs9 2158 6 2972 2021 1586 3376 1393 1930fs10 2129 15 2983 17 1559 3379 1377 1637fs11 2102 18 2965 2058 1596 3386 1382 1930fs12 2128 5 2936 2003 1562 3387 1366 1912fs13 2128 453 2958 2040 1535 3418 1346 1983fs14 2128 465 2973 2032 1587 3352 1383 1989fs15 2128 444 3007 2036 1572 3402 1422 2002fs16 2125 466 2959 2023 1607 3389 1344 1988fs17 2115 422 2981 2029 1568 3364 1359 1977fs18 2100 505 2975 2063 1601 3378 1376 2000fs19 2163 474 2993 2010 1567 3400 1376 1998fs20 2183 430 2971 2034 1609 3399 1353 1997∑
42565 6486 59416 38777 31649 67881 27531 39186fsmedio 2128 324 2971 1939 1582 3394 1377 1959f 0.2493 0.5472 0.2318 0.2489 0.4446 0.4990 0.3760f1 0.0900 0.4746 0.0748 0.1081 0.1933 0.1867 0.2575f2 0.2325 0.2725 0.2194 0.2242 0.4004 0.4627 0.2740f3 0.2068 0.2372 0.2024 0.1980 0.2681 0.5540 0.4204
x20,max (m) 0.0289 0.0224 0.0326 0.025 0.0409 0.0256 0.0189X20,max (m/s2) 3.3445 4.6282 3.9875 3.6639 4.7871 3.5992 2.132Rmax (kN) 66784 37967 86361 53575 65320 78707 45806
Tabela B.16: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 e f2) para a Estrutura1 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dos valores optimos da tabela B.11.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
f 0.375 0.431 0.571 0.278 0.404 0.445 0.260f1 0.276 0.163 0.421 0.100 0.352 0.306 0.098f2 0.253 0.399 0.386 0.259 0.199 0.323 0.240
x20,max (m) 0.0552 0.0188 0.1878 0.0408 0.0623 0.0973 0.0347X20,max (m/s2) 1.6306 2.582 3.0107 2.1917 1.6967 2.0035 1.6289Rmax (kN) 5986 4813 10480 6289 9817 10248 6161
85
Tabela B.17: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 e f2) para a Estrutura2 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dos valores optimos da tabela B.11.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
f 0.5186 0.3787 0.7147 0.2285 0.2529 0.3800 0.2910f1 0.3474 0.1794 0.4558 0.1210 0.1551 0.2466 0.2073f2 0.3851 0.3335 0.5505 0.1938 0.1997 0.2891 0.2042
x20,max (m) 0.0585 0.0186 0.1547 0.0276 0.0564 0.0769 0.0267X20,max (m/s2) 3.2158 2.2957 3.5968 2.4281 2.5383 2.2581 1.8504Rmax (kN) 12658 6486 23260 6826 14393 16045 8006
Tabela B.18: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 e f2) para a Estrutura3 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dos valores optimos da tabela B.11.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
f 0.5759 0.4028 0.5257 0.2622 0.2587 0.3693 0.2704f1 0.3070 0.1612 0.2960 0.1344 0.1465 0.2527 0.1253f2 0.4872 0.3692 0.4345 0.2251 0.2132 0.2693 0.2396
x20,max (m) 0.0506 0.0161 0.1082 0.0244 0.0329 0.0603 0.0157X20,max (m/s2) 3.7162 3.0242 4.8059 3.4933 3.1499 3.4109 2.8877Rmax (kN) 28252 16334 50112 16978 22933 33277 17684
Tabela B.19: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 e f2) para a Estrutura4 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dos valores optimos da tabela B.11.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
f 0.3599 0.4149 0.4220 0.1888 0.3338 1.0204 0.4207f1 0.1092 0.2748 0.1926 0.0870 0.1464 0.3699 0.2227f2 0.3430 0.3109 0.3755 0.1675 0.2999 0.9510 0.3569
x20,max (m) 0.0291 0.0172 0.0777 0.0212 0.0387 0.0529 0.0198X20,max (m/s2) 3.702 3.9301 5.2384 4.0116 4.3749 6.6862 3.0838Rmax (kN) 47109 36939 78407 38360 45882 63136 36914
86
Tabela B.20: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 e f2) para a Estrutura5 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dos valores optimos da tabela B.11.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
f 0.3236 0.4298 0.3700 0.2650 0.5155 0.9480 0.4525f1 0.1146 0.3369 0.1923 0.0973 0.1957 0.4216 0.2670f2 0.3026 0.2669 0.3161 0.2465 0.4769 0.8491 0.3653
x20,max (m) 0.0368 0.0159 0.0838 0.0225 0.0414 0.0578 0.0196X20,max (m/s2) 4.3525 4.5341 5.7445 4.0276 5.7012 6.6047 2.8418Rmax (kN) 72008 47632 122113 48380 65114 90108 53997
B.2 Optimizacao segundo o criterio 2
B.2.1 Distribuicao uniforme em altura das forcas nos dissipadores
Tabela B.21: Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao uniformeem altura para o criterio 2. Para a Estrutura 1 e os respectivos 7 acelerogramas.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
fs (kN) 672 668 1264 680 777 837 727f 0.3457 0.2829 0.4788 0.2472 0.4126 0.4741 0.2499f1 0.2766 0.1765 0.3403 0.1437 0.3602 0.3192 0.1139f2 0.2073 0.2211 0.3369 0.2011 0.2012 0.3505 0.2224f3 0.4110 0.4124 0.3836 0.2753 0.5212 0.6230 0.2446
x20.max (m) 0.0553 0.0203 0.1518 0.0588 0.0638 0.1014 0.0404X20.max (m/s2) 1.3338 1.4307 2.6260 1.7006 1.7171 2.1729 1.5071Rmax (kN) 6425 3431 12045 6236 8135 10327 5593
Tabela B.22: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f . f1. f2 e f3) para a Es-trutura 1 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dos valores optimos da tabela B.21.fs = 804 kN.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
f 0.3807 0.3386 0.7051 0.2808 0.4593 0.5461 0.2555f1 0.2726 0.1730 0.4654 0.1083 0.4116 0.3340 0.1089f2 0.2657 0.2911 0.5298 0.2591 0.2038 0.4320 0.2312f3 0.4816 0.5462 0.4530 0.2892 0.6732 0.8243 0.3228
x20.max (m) 0.0545 0.0199 0.2076 0.0443 0.0729 0.1061 0.0386X20.max (m/s2) 1.7095 1.8834 4.1298 2.1909 1.7397 2.6781 1.5662Rmax (kN) 7528 4545 14226 6551 10508 13663 7383
87
B.2.2 Distribuicao variada em altura das forcas nos dissipadores
Tabela B.23: Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao variadaem altura para o criterio 2 e valor medio da forca em cada dissipador. Para a Estrutura 1 e osrespectivos 7 acelerogramas.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil Media
fs1 748 886 1264 678 798 888 759 860fs2 808 850 1264 693 805 1014 761 885fs3 702 689 1264 705 792 921 695 824fs4 713 784 1264 691 776 855 760 835fs5 642 4 1264 692 815 841 745 715fs6 672 4 1264 675 725 830 715 698fs7 664 713 1264 699 792 897 4 719fs8 630 674 1264 702 737 886 670 795fs9 656 684 1264 695 763 851 703 802fs10 627 693 1264 690 26 19 698 574fs11 77 685 1264 709 59 45 665 501fs12 653 25 1264 647 829 806 724 707fs13 711 716 1264 690 779 827 697 812fs14 746 640 1264 673 34 876 730 709fs15 642 605 1264 18 778 854 702 695fs16 646 675 1229 698 755 911 742 808fs17 718 672 1264 676 787 844 754 816fs18 642 645 1245 701 717 784 703 777fs19 639 667 1275 706 777 824 752 806fs20 681 746 1264 700 767 902 748 830∑
13016 12056 25242 13140 13308 15672 13728 15166fsmedio 651 603 1262 657 665 784 686 758f 0.3554 0.1941 0.4883 0.2227 0.4204 0.3831 0.2429f1 0.2826 0.1496 0.3407 0.1557 0.3828 0.2981 0.1359f2 0.2155 0.1237 0.3498 0.1593 0.1737 0.2406 0.2013f3 0.3264 0.2382 0.3836 0.3070 0.4929 0.4487 0.2288
x20.max (m) 0.0565 0.0172 0.1520 0.0637 0.0678 0.0947 0.0482X20.max (m/s2) 1.3863 0.8004 2.7272 1.3469 1.4824 1.4913 1.3642Rmax (kN) 5102 1982 12045 6954 7694 7437 5232
88
Tabela B.24: Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f . f1. f2 e f3) para a Es-trutura 1 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dos valores optimos da tabela B.23.
Sismo Almiros Caldiran Chuetsu-oki Darfield Irpinia Managua Manjil
f 0.3627 0.3403 0.6410 0.2491 0.4554 0.4739 0.2799f1 0.2736 0.1974 0.4604 0.1193 0.4139 0.3374 0.1190f2 0.2381 0.2772 0.4460 0.2187 0.1900 0.3327 0.2533f3 0.4410 0.5745 0.3911 0.2696 0.5885 0.5972 0.3257
x20.max (m) 0.0547 0.0227 0.2054 0.0488 0.0733 0.1072 0.0422X20.max (m/s2) 1.5315 1.7932 3.4767 1.8492 1.6214 2.0623 1.7163Rmax (kN) 6893 4780 12282 6107 9187 9899 7448
89
90
Lista de tabelas
4.1 Tabela que compara a resposta da estrutura com e sem dissipadores . . . . . . . 48
5.1 Massas por piso e tres primeiras frequencias naturais das cinco estruturas ilus-tradas na figura 5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Os sete acelerogramas usados nas simulacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3 Instantes inicial e final usados para cada sismo e passos de tempo do registo e
da integracao numerica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4 Valores da forca maxima optima dos dissipadores para uma distribuicao uni-
forme de forca em altura. Criterio 1. Valores em kN arredondados a unidade. . 575.5 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta no
topo e forca de corte basal para as cinco estruturas e sete sismos, sem dissipa-dores. x20,max em m, X20,max em m/s2 e Rmax em kN. . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.6 Medias dos valores maximos (sete sismos) do deslocamento relativo a basedo ultimo piso, para uma forca em cada dissipador que e a media dos valoresoptimos para cada sismo determinadas com o criterio 1. . . . . . . . . . . . . . 61
5.7 Medias dos valores maximos (sete sismos) da aceleracao absoluta do ultimopiso, para uma forca em cada dissipador que e a media dos valores optimospara cada sismo determinadas com o criterio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.8 Medias dos valores maximos (sete sismos) da forca de corte basal, para umaforca em cada dissipador que e a media dos valores optimos para cada sismodeterminadas com o criterio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.9 Estrutura 1. Comparacao entre criterios para distribuicao de dissipadores uni-forme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.10 Estrutura 1. Comparacao entre criterios para distribuicao variada das forcasmaximas dos dissipadores (sismo Managua). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B.1 Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao uni-forme em altura para o criterio 1. Para a Estrutura 1 e os respectivos 7 acelero-gramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
B.2 Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao uni-forme em altura para o criterio 1. Para a Estrutura 2 e os respectivos 7 acelero-gramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
B.3 Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao uni-forme em altura para o criterio 1. Para a Estrutura 3 e os respectivos 7 acelero-gramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B.4 Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao uni-forme em altura para o criterio 1. Para a Estrutura 4 e os respectivos 7 acelero-gramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
91
B.5 Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao uni-forme em altura para o criterio 1. Para a Estrutura 5 e os respectivos 7 acelero-gramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B.6 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 ef2) para a Estrutura 1 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dosvalores optimos da tabela B.1, fs = 969 kN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
B.7 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 ef2) para a Estrutura 2 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dosvalores optimos da tabela B.2, fs = 1247 kN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
B.8 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 ef2) para a Estrutura 3 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dosvalores optimos da tabela B.1, fs = 1898 kN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
B.9 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 ef2) para a Estrutura 4 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dosvalores optimos da tabela B.1, fs = 2191 kN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
B.10 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 ef2) para a Estrutura 5 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dosvalores optimos da tabela B.1, fs = 1993 kN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
B.11 Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao variadaem altura para o criterio 1 e valor medio da forca em cada dissipador. Para aEstrutura 1 e os respectivos 7 acelerogramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
B.12 Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao variadaem altura para o criterio 1 e valor medio da forca em cada dissipador. Para aEstrutura 2 e os respectivos 7 acelerogramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
B.13 Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao variadaem altura para o criterio 1 e valor medio da forca em cada dissipador. Para aEstrutura 3 e os respectivos 7 acelerogramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
B.14 Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao variadaem altura para o criterio 1 e valor medio da forca em cada dissipador. Para aEstrutura 4 e os respectivos 7 acelerogramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
B.15 Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao variadaem altura para o criterio 1 e valor medio da forca em cada dissipador. Para aEstrutura 5 e os respectivos 7 acelerogramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.16 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 ef2) para a Estrutura 1 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dosvalores optimos da tabela B.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.17 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 ef2) para a Estrutura 2 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dosvalores optimos da tabela B.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
92
B.18 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 ef2) para a Estrutura 3 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dosvalores optimos da tabela B.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
B.19 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 ef2) para a Estrutura 4 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dosvalores optimos da tabela B.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
B.20 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f , f1 ef2) para a Estrutura 5 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dosvalores optimos da tabela B.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B.21 Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao uni-forme em altura para o criterio 2. Para a Estrutura 1 e os respectivos 7 acelero-gramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B.22 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f . f1. f2e f3) para a Estrutura 1 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dosvalores optimos da tabela B.21. fs = 804 kN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B.23 Resultados da optimizacao das forcas nos dissipadores com distribuicao variadaem altura para o criterio 2 e valor medio da forca em cada dissipador. Para aEstrutura 1 e os respectivos 7 acelerogramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B.24 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta notopo e forca de corte basal e parametros usados na optimizacao (como f . f1. f2e f3) para a Estrutura 1 com forca uniforme nos dissipadores igual a media dosvalores optimos da tabela B.23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
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94
Lista de figuras
1.1 Imagens da destruicao causada por diversos sismos: (a) Sismo Sichuan (China,2008), (b) Sismo Illapel (Chile, 2015), (c) Tsunami em consequencia do SismoIllapel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Dissipadores por atrito: (a) esquema, (b) pormenor de aplicacao num edifıcio. . 3
2.1 Sistema classico {massa, mola} nao forcado, de um grau de liberdade, equipadocom um amortecedor viscoso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Oscilador harmonico simples amortecido pela accao do atrito. . . . . . . . . . 72.3 Modelo e ciclo histeretico da associacao de uma mola em paralelo com um
amortecedor viscoso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Modelo e ciclo histeretico da associacao de uma mola em serie com um amor-
tecedor viscoso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Modelo e ciclo histeretico da associacao de uma mola em paralelo com um
dissipador de atrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6 Modelo e ciclo histeretico da associacao de uma mola em serie com um dissi-
pador de atrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 Portico plano regular de N pisos com um sistema de amortecimento misto (vis-coso e por atrito), sujeito a um movimento horizontal prescrito na fundacaodado pela historia de deslocamentos d(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Representacao grafica da segunda lei de Newton aplicada ao piso 1. . . . . . . 193.3 Representacao grafica da segunda lei de Newton aplicada a um piso intermedio
(i = 2, ..., N − 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Representacao grafica da segunda lei de Newton aplicada ao ultimo piso. . . . . 213.5 Algoritmo de integracao numerica (metodo θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Algoritmo de integracao numerica (metodo θ) (Cont.). . . . . . . . . . . . . . 283.7 Deslocamento em funcao do tempo para o oscilador de um grau de liberdade da
figura 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8 Deslocamento em funcao do tempo para o sistema de um grau de liberdade da
figura 2.2 com m = 2 kg, k = 100 N/m e µ = 0.1 (fs = µmg = 1.962 N). . . . 303.9 Deslocamento relativo x = X − d em funcao do tempo para o sistema de um
grau de liberdade da figura 2.2 com um deslocamento imposto a fundacao ded(t) = 0.1 sin(10t) m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.10 Sistema de duas massas ligadas entre si por um dissipador de atrito e ligadas aoexterior por molas e por outro dissipador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.11 Deslocamento em funcao do tempo dos graus de liberdade do sistema da fi-gura 3.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.12 Sistema de dois graus de liberdade composto por dois osciladores harmonicossimples em contacto mutuo com atrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
95
3.13 Deslocamento em funcao do tempo dos graus de liberdade do sistema represen-tado na figura 3.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.14 Sistema de dois graus de liberdade amortecido exclusivamente por atrito, . . . 353.15 Deslocamentos em funcao do tempo dos graus de liberdade so sistema da fi-
gura 3.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 Algoritmo genetico: sequencia de aplicacao dos diversos operadores do algoritmo. 444.2 Representacao esquematica do portico de tres pisos com um sistema de amor-
tecimento misto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3 Comparacao das respostas da estrutura com e sem dissipadores. . . . . . . . . 48
5.1 Conjunto de estruturas planas usadas nas simulacoes. Da Estrutura 1 para aEstrutura 5 ha o aumento progressivo da importancia da parede estrutural. . . . 50
5.2 Deslocamento maximo no topo relativo a base, aceleracao maxima absoluta dotopo e forca de corte basal maxima para as estruturas 1 e 5 e os sismos Managua(1972) e Manjil (1990). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Forcas dos dissipadores para as cinco estruturas. A forca correspondente a barraindicada em cada dissipador e igual a media das forcas maximas optimizadasnesse dissipador para os sete sismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4 Estrutura 1 sujeita ao sismo Caldiran. Deslocamento horizontal relativo a base,aceleracao absoluta e deslocamentos relativos entre pisos para a estrutura seme com dissipadores (distribuicoes uniforme e variada), nos instantes em queo deslocamento relativo a base e maximo (a) a aceleracao do ultimo piso emaxima (b) e o deslocamento relativo entre dois pisos e maximo (c). . . . . . 60
5.5 Historia de deslocamentos do ultimo piso relativos a fundacao para a Estru-tura 2 actuada pelo acelerograma do sismo Irpinia. Sem dissipadores e com adistribuicao uniforme optima de forcas dos dissipadores. . . . . . . . . . . . . 62
5.6 Historia de deslocamentos do ultimo piso relativos a fundacao para a Estrutura2 actuada pelo acelerograma do sismo Irpinia. Estrutura com dissipadores comforcas maximas uniformes em altura e estrutura com dissipadores com forcasmaximas variadas em altura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.7 Estrutura 1. Comparacao entre criterios para distribuicao variada em altura dasforcas maximas nos dissipadores (Sismo Managua). . . . . . . . . . . . . . . . 66
96