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Física para Ciências Biológicas Anderson Ferreira Sepulveda

Ondas e oscilações

1. As equações de onda

Por que usamos funções seno ou cosseno para representar ondas ou oscilações? Essas funções existem exatamente para mostrar que um determinado comportamento é cíclico ou periódico. Vamos começar analisando a função seno:

A imagem acima nos mostra como y varia com o ângulo x. A trigonometria ensina que a amplitude, ou o valor máximo da função, é igual ao valor do raio de um ciclo. No caso da função seno, a amplitude A tem maior valor quando o x = π/2 ou x = 3π/2, já que nesses ângulos o seno é máximo ou mínimo, respectivamente. Pelo gráfico acima, a amplitude é máxima quando A = 1. Portanto, uma função seno tem a forma:

𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑥) (1)

No caso de uma função cosseno:

𝑦 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑥) (2)

Já a função cosseno tem a amplitude máxima quando x = 0 ou x = π ou x = 2π. Pelo gráfico acima, podemos dizer que o ciclo tem raio igual a 1, ou seja, a amplitude A = 1. Enquanto a função seno nos diz sobre o eixo vertical, a função cosseno descreve o eixo horizontal.


Primeiro você tem que perceber que x é um valor adimensional, já que quando você obtém o valor do seno e do cosseno ela também é adimensional. A segunda coisa é: está livre para trabalhar com seno ou cosseno em qualquer situação, mas deve observar com cuidado o gráfico. Por exemplo, você decidiu fazer uma função cosseno para o primeiro gráfico. É claro que os valores serão totalmente diferentes dos valores da função seno. Para corrigir esse erro existe a fase 𝜑, que é um ângulo complementar à x, isto é

𝑦 = cos(𝑥 + 𝜑) (3)

Observe que no primeiro gráfico y = 0 quando x = 0 (0 = 𝑠𝑒𝑛(0)). Se usarmos uma função cosseno fica

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(0 + 𝜋/2) = 0

Entendo como se comporta essas funções periódicas tudo (ou quase tudo) fica mais fácil. Se uma onda varia em relação ao tempo:

A amplitude A é a altura máxima alcançada pela onda e 𝜆 o comprimento de onda. Se T é o período de oscilação (descrito entre o começo e o fim do comprimento de onda), a função de descreve a onda será

𝑦(𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛 (2𝜋

𝑇𝑡) (4)

Podemos dizer que a frequência angular 𝜔 é

𝜔 = 2𝜋

𝑇 (5)


Então a equação (4) fica

𝑦(𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

Se quisermos descrever a velocidade da onda em cada instante, basta fazer a primeira derivada :

𝑣(𝑡) = 𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) (6)

E a segunda derivada mostra a aceleração da onda em cada instante:

𝑎(𝑡) = 𝑑2𝑦

𝑑𝑡2= −𝜔2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (7)

2. Movimento harmônico simples

Vamos começar analisando os casos mais simples. Imagine um objeto de massa 𝑚 presa em uma mola de constante elástica 𝑘 sobre uma superfície sem atrito. Se o conjunto objeto + mola estiver em equilíbrio, então todas as forças que atuam no conjunto se anulam, portanto

𝐹𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = 𝐹

Lembrando que 𝐹 = 𝑚𝑎 e que 𝐹𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 = −𝑘𝑥, e pela equação (7):

𝑚(−𝜔2𝑥) = −𝑘𝑥 ⇒

⇒ 𝑘 = 𝑚𝜔2 ⇒

⇒ 𝜔 = 2𝜋

𝑇= √

𝑘

𝑚 (8)

Exemplos:

2.1) O deslocamento de um objeto oscilando em função do tempo é mostrado na figura abaixo:


a) O período

Observe que o período de oscilação está compreendido entre a ida e a volta ao mesmo ponto. A oscilação começou quando x = 4 cm e para completar uma oscilação, o objeto deve voltar à x = 4 cm. Portanto, o período de oscilação T = 16,0 s.

b) Amplitude

A amplitude é a altura máxima alcançada. A = 10,0 cm.

c) Frequência

Não confunda com frequência angular 𝜔, que nos diz a velocidade de um ciclo. A frequência é simplesmente a medida de uma oscilação por período. Logo

𝑓 = 1

𝑇=

1

16 𝐻𝑧

2.2) Uma partícula, em movimento harmônico simples, se move em torno de um ponto, que um certo sistema de referencias é x = 0. Seu movimento é unidimensional, e, em um certo instante t = 0 um conjunto de medidas são feitas, descobrindo-se que seu deslocamento é x = 0,5 cm, sua velocidade é nula e a frequência do movimento é 𝑓 = 0,25 Hz.

a) Qual o período, a frequência angular e a amplitude do movimento?

O período é:

𝑇 = 1

𝑓=

1

0,25= 4 𝑠

A frequência angular:

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 0,5𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Se em t = 0 a velocidade é nula, então a partícula está em um ponto de máxima posição:

𝐴 = 0,5 𝑐𝑚


b) Escreva a equação do deslocamento 𝑥(𝑡) e da velocidade 𝑣(𝑡) em função do tempo, nesse sistema de coordenadas.

Como em t = 0 a partícula está em posição máxima, podemos trabalhar com cosseno:

𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) = 0,5cos (0,5𝜋 𝑡)

E a velocidade

𝑣(𝑡) = 𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝜔𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = −0,25𝜋𝑠𝑒𝑛(0,5𝜋 𝑡)

3. Ondas

A partir de agora só vamos discutir um pouco das formulas que usamos nas listas. Meu principal objetivo é explicar como chega a algumas equações mais usadas, o que pode parecer meio chato, mas fazer o que né?

Uma onda é qualquer sinal que se transmite de um ponto a outro de um meio com velocidade definida. Fala-se de onda quando essa transmissão entre dois pontos distantes ocorre sem que haja transporte de matéria entre eles.

Agora imagine uma onda de duas dimensões (2D) progressiva 𝑦(𝑥, 𝑡), isto é, indo para a direita, com velocidade 𝑣 e dependendo da posição 𝑥 e do tempo 𝑡. Então a função terá a forma 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦(𝑥 − 𝑣𝑡) para uma onda progressiva, no caso de onda regressiva 𝑦(𝑥, 𝑡) =𝑦(𝑥 + 𝑣𝑡).

Supondo que em uma corda vibrante a variação do comprimento da corda seja desprezível e a magnitude da tensão permaneça 𝑇. A componente y da tensão no ponto 𝑥 + ∆𝑥 devida à porção da corda à direita de 𝑥 + ∆𝑥, é (quando o ângulo 𝜃 entre a porção de corda e um eixo horizontal for muito pequena):

𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝑇𝑡𝑔𝜃 = 𝑇𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

No ponto 𝑥, temos uma força análoga de sinal contrário devido à porção da corda à esquerda de 𝑥. Logo, a força vertical resultante sobre ∆𝑥 da corda é

𝑇𝜕𝑦( 𝑥 + ∆𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥− 𝑇

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥=

= 𝑇∆𝑥 [

𝜕𝑦(𝑥 + ∆𝑥, 𝑡)𝜕𝑥

− 𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥∆𝑥

]


Sabendo que a definição de derivada é 𝜕2𝑦(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2 = 𝜕𝑦(𝑥+ ∆𝑥,𝑡)

𝜕𝑥−

𝜕𝑦(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

∆𝑥, então a força vertical sobre

∆𝑥 vale

𝑇𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥2∆𝑥

Se a densidade linear da corda é 𝜇 = ∆𝑚/∆𝑥 e lembrando a 2ª lei de Newton (𝐹 = 𝑚𝑎):

∆𝑥𝜇𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2= 𝑇

𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥2

⇒ 𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥2=

𝜇

𝑇

𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2

Já que a velocidade no eixo horizontal é dada por 𝑣 = 𝜕2𝑥

𝜕𝑡2, a velocidade da corda é:

𝑣 = √𝑇

𝜇 (9)

3.1 Intensidade de onda

Num dado instante 𝑡, a porção da corda à esquerda de um ponto 𝑥 atua sobre um elemento da corda no ponto 𝑥 com uma força transversal 𝐹𝑦:

𝐹𝑦 = −𝑇𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

O trabalho realizado sobre esse elemento por unidade de tempo (potencia instantânea) que corresponde à energia transmitida através de 𝑥 por unidade de tempo é

𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝐹𝑦

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡= −𝑇

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡 (10)

Na prática o que interessa é a média da energia (ou potência) sobre o período, e chamamos isso de intensidade.

Por exemplo, se existir uma onda progressiva harmônica com a forma


𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠[𝑘(𝑥 − 𝑣𝑡)] = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Se fizermos as derivadas:

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥= −𝐴𝑘𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡= 𝐴𝜔𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Podemos obter uma equação da intensidade sonora para a onda utilizando a relação (10):

𝐼 = 𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝑃 = 𝑇𝐴2𝑘𝜔𝑠𝑒𝑛2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Lembrando da equação (9) e que 𝜔 = 𝑘𝑣; como a média de 𝑠𝑒𝑛2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) é igual a ½, então

𝐼 = 1

2𝜇𝑣𝐴2𝜔2 (11)

3.2 Superposição de ondas

Considerando que as ondas se propagam em sentidos opostos:

𝑦1(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

𝑦2(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)

A onda resultante é a soma das duas ondas:

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑦2(𝑥, 𝑡)

⇒ 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴[𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)]

Como cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) − 𝑠𝑒𝑛(𝑎)𝑠𝑒𝑛(𝑏) e cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) +𝑠𝑒𝑛(𝑎)𝑠𝑒𝑛(𝑏):


𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴[cos(𝑘𝑥) cos(𝜔𝑡) + sen(𝑘𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + cos(𝑘𝑥) cos(𝜔𝑡) − 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)]

= 2𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥) cos(𝜔𝑡) (12)

Como a resultante é o produto de uma função de 𝑥 por uma função de 𝑡, não há propagação! A forma da corda permanece sempre semelhante com o deslocamento mudando apenas de amplitude e, eventualmente, de sinal. Isso se chama onda estacionária.

3.3 Interferência de ondas

Considerando a superposição de duas ondas progressivas harmônicas de mesma frequência e no mesmo sentido:

𝑦1(𝑥, 𝑡) = 𝐴1𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑1)

𝑦2(𝑥, 𝑡) = 𝐴2𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑2)

O ângulo resultante é 𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1. E pela lei dos cossenos, a amplitude resultante será:

𝐴 = √𝐴12 + 𝐴2

2 + 2𝐴1𝐴2cos 𝜑

Então a interferência resultante será

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑦2(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑) (13)

Se observar a equação (11), a intensidade da onda é proporcional à 𝐴2, temos que

𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 2√𝐼1𝐼2𝑐𝑜𝑠𝜑 (14)

A interferência resultante é máxima (interferência construtiva) para 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 1 e é mínima quando 𝑐𝑜𝑠𝜑 = −1.

3.4 Batimentos

Se existirem ondas no mesmo sentido, mesma amplitude, mas frequências diferentes:


𝑦1(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘1𝑥 − 𝜔1𝑡)

𝑦2(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘2𝑥 + 𝜔2𝑡)

Existem duas condições para existir um batimento:

∆𝜔 = 𝜔1 − 𝜔2 << 𝜔 = 𝜔1 + 𝜔2

2

∆𝑘 = 𝑘1 − 𝑘2 << 𝑘 = 𝑘1 + 𝑘2

2

Supondo que 𝜔1 > 𝜔2 e 𝑘1 > 𝑘2, temos então

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑦2(𝑥, 𝑡)

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 {𝑐𝑜𝑠 [(𝑘 + ∆𝑘

2) 𝑥 − (𝜔 +

∆𝜔

2) 𝑡] + 𝑐𝑜𝑠 [(𝑘 −

∆𝑘

2) 𝑥 − (𝜔 −

∆𝜔

2) 𝑡]} (15)

Simplificando,

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑎(𝑥, 𝑡)cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Onde 𝑎(𝑥, 𝑡) = 2𝐴𝑐𝑜𝑠 (∆𝑘

2 𝑥 −

∆𝜔

2𝑡). Se reparar bem, 𝑎(𝑥, 𝑡) descreve a amplitude do

batimento. É essa amplitude que nos diz a quão larga é a banda (ou amplitude) do batimento. A banda larga que a gente usa na internet é exatamente isso: como a amplitude é alta, há maior frequência e então uma onda pode carregar mais informação que uma banda curta.

Considerando 𝑦(𝑥, 𝑡) como uma onda de frequência 𝜔 elevada cuja amplitude 𝑎 é modulada por outra onda de frequência ∆𝜔 bem mais baixa, temos então um grupo de ondas.


Seja a fase de 𝑦(𝑥, 𝑡) como 𝜑(𝑥, 𝑡) = 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡, a velocidade de fase (ou da onda portadora) é

𝑣𝜑 = 𝜔

𝑘 (16)

E a velocidade do grupo (ou da onda moduladora):

𝑣𝑔 = ∆𝜔

∆𝑘 (17)

3.5. Reflexão de ondas

Reflexão em extremidade fixa: o pulso volta invertido após a reflexão. A reflexão numa extremidade fixa produz uma defasagem de 180°. A razão física disso é que, se atingir a origem, o pulso iria provocar um determinado deslocamento. Para permanecer fixa, a extremidade causa uma reação de suporte à onda, produzindo um deslocamento igual e de sinal invertido.

Reflexão em extremidade livre: não atua nenhuma força transversal. Numa extremidade livre, um pulso é refletido sem mudança de fase.

3.6 Exemplos

3.1) A função de onda de uma corda é

𝑦(𝑥, 𝑡) = 1,0𝑐𝑚 𝑠𝑒𝑛(62,8𝑥

𝑚+

314𝑡

𝑠)

a) Em que direção a onda avança e qual a sua velocidade?

Olhe o sinal dentro função seno. Como existe um “mais”, então a onda avança para a esquerda (onda retrograda).


Como 𝑘 = 62,8 𝑚−1 e 𝜔 = 314 𝑠−1, então

𝑣 = 𝜔

𝑘=

314

62,8= 5,0 𝑚/𝑠

b) Calcule o comprimento de onda, a frequência e o período da onda.

O comprimento de onda:

𝜆 = 2𝜋

𝑘=

2𝜋

62,8= 0,1 𝑚 = 10 𝑐𝑚

A frequência é da dada por:

𝑓 = 𝑣

𝜆=

5,0

0,1= 50 𝐻𝑧

E o período:

𝑇 = 1

50= 0,02 𝑠

c) Qual a aceleração máxima de um ponto da corda?

A aceleração da corda é obtida fazendo a segunda derivada de 𝑦(𝑥, 𝑡) em relação ao tempo. Para não se perder, recomendo a primeira derivada (a velocidade) e depois faz a segunda:

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡= 𝑣 = 𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) = 3,14cos (62,8𝑥 + 314𝑡)

𝜕2𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2= −𝜔2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) = −985,96𝑠𝑒𝑛(62,8𝑥 + 314𝑡)

Logo a aceleração é:

𝑎(𝑥, 𝑡) = −985,96𝑠𝑒𝑛(62,8𝑥 + 314𝑡)

A aceleração é máxima quando 𝑠𝑒𝑛(62,8𝑥 + 314𝑡) = −1 ou 𝑠𝑒𝑛(62,8𝑥 + 314𝑡) = 1. Logo, a aceleração máxima é, em módulo:

𝑎𝑚𝑎𝑥 = 985,96 𝑚/𝑠2

3.2) A figura ao lado mostra duas fotografias tiradas em instantes de tempo diferentes de uma corda na qual se propaga, no sentido positivo do eixo x, uma corda transversal 𝑦(𝑥, 𝑡). A primeira fotografia (linha cheia) foi tirada num certo instante e a segunda (linha tracejada) 0,50s depois.


a) Determine a velocidade de propagação da onda na corda.

Como as linhas mostram a posição da onda depois de um intervalo de tempo de 0,50s, então

𝑣 = Δ𝑥

Δ𝑡=

2 − 1

0,50= 2,0 𝑚/𝑠

b) Determine a amplitude, o número de onda, a frequência angular, a constante de fase e escreva a equação do perfil de onda 𝑦(𝑥, 𝑡).

A onda varia entre o máximo de 0,10m e -0.10m. Logo a amplitude é

𝐴 = 0,10𝑚

Observando os ventres da onda, o comprimento de onda é 𝜆 = 4,0 𝑚. Então o número de onda é

𝑘 = 2𝜋

𝜆=

2𝜋

4,0=

𝜋

2 𝑚−1

A frequência angular é

𝜔 = 𝑘𝑣 = 𝜋

22 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Como a onda começou no máximo e a equação de onda será uma função cosseno, então a constante de fase 𝜑 = 0.

E a equação de onda:

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝜑) = 0,1𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2𝑥 − 𝜋𝑡)

c) Determine a velocidade transversal máxima de um ponto da corda

A velocidade é dada pela primeira derivada de 𝑦(𝑥, 𝑡) em relação ao tempo. Logo:

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡= 𝑣 = 𝜔𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = 0,1𝜋𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

2𝑥 − 𝜋𝑡)

A velocidade é máxima quando 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

2𝑥 − 𝜋𝑡) = 1, portanto

𝑣𝑚𝑎𝑥 = 0,1𝜋 𝑚/𝑠

3.3) Uma corda de comprimento 𝐿 presa nas extremidades 𝑥 = 0 e 𝑥 = 𝐿, submetida a uma tensão 𝑇 = 96, oscila no terceiro harmônico de uma corda estacionária. O deslocamento transversal da corda é dada por

𝑦(𝑥, 𝑡) = 5,0𝑐𝑚 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

Onde 𝑘 = 0,50𝜋 𝑚−1 e 𝜔 = 6,0𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠.


a) Qual é o comprimento 𝐿 da corda?

Sendo 𝑛 o número do harmônico, existe a seguinte relação

𝜆 = 2𝜋

𝑘=

2𝐿

𝑛 ⇒

⇒ 𝐿 = 𝑛𝜋

𝑘=

3𝜋

0,5𝜋= 6,0 𝑚

b) Qual a massa da corda?

Sendo a densidade 𝜇 = 𝑚/𝐿, então

𝑣 = √𝑇

𝜇 =

𝜔

𝑘 ⇒

⇒ (𝜔

𝑘)

2

= 𝑇𝐿

𝑚 ⇒ 𝑚 = (

𝑘

𝜔)

2

𝐹𝐿 ⇒

⇒ 𝑚 = (0,5𝜋

6,0𝜋)

2

96 ∗ 6 ⇒

⇒ 𝑚 = 40 𝑘𝑔

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