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Plantão de dúvidas com o
Anderson e o Breno
• Quando?
▪2ª feiras – 13 às 14 hs (Anderson)
▪3ª feiras – 13 às 14 hs (Breno)
▪5ª feiras – 18 às 19 hs (Anderson)
• Onde?
▪IF14
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Plantão de dúvidas: Anderson e Breno
2
Resultados do Teste 1
3
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6
NOTAS
Média: 4 (6,7)
DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA
E
PRINCÍPIO DA INCERTEZA
Próximas Aulas
5
Dia Tópico
17 Abril 4a 1ª Prova
22 Abril 2a Dualidade onda-partícula e de Broglie - Princípio da incerteza
24 Abril 4a Princípio da incerteza -Propriedades das ondas de matéria
29 Abril 2a Experimento de Rutherford
01 Maio 4a FERIADO
06 Maio 2a Experimento de Franck-Hertz, átomo de Bohr
08 Maio 4a Átomo de Sommerfeld, princípio da correspondência
13 Maio 2a Equação de Schrödinger, interpretação, valores esperados
15 Maio 4a Equação de Schrödinger independente do tempo
20 Maio 2a Potencial Degrau
22 Maio 4a 2º teste - Barreira de potencial
27 Maio 2a Barreira de potencial - Exercícios
29 Maio 4a 2ª prova
03 Junho 2a Poço de potencial infinito e finito
de Broglie associou um comprimento de onda e uma
frequência a uma partícula de momento p e energia total
E, através das relações:
p
h=
h
E=
Usando as relações de Planck – Einstein:
/p h = E h =
A hipótese de de Broglie
6
Dualidade e complementaridade
• Propriedades ondulatórias e corpusculares podem coexistir
para uma mesma entidade (fótons, partículas, átomos ou
moléculas). Esta é a chamada dualidade partícula –
onda.
• Entretanto, não há nenhuma forma dessas duas
propriedades serem testadas simultaneamente.
• Ou fazemos um esquema de medida onde o aspecto
corpuscular seja evidenciado, ou um esquema que revele o
caráter ondulatório do sistema em questão.
• Este é o chamado princípio da complementaridade,
enunciado por Niels Bohr.
7
Como imaginamos uma onda
associada a uma partícula ??
8
Einstein e a dualidade na radiação
eletromagnética
Mas o que devemos colocar no lugar de para
partículas?
9
Como imaginamos descrever uma onda??
10
( ) ( )Ψ , sin 2 sin 2x
x t A t A x t
= − = −
( ) ( ), sin 2 sin 2x
E x t A t A x t
= − = −
Em analogia ao que vimos, por exemplo, para o campo
elétrico de uma onda eletromagnética:
O experimento idealizado por Bohr
11
A aparelhagemObservadorObservador
Lente objetiva
Ocular
Região disponível
para fótons
entrarem
pela lente
Fonte de luz
Elétron
A imagem vista pelo observador
12
O espalhamento de um fóton
iluminando um elétron
A imagem do padrão de difração
do elétron vista pelo observador
Componente x
do momento de
recuo do elétron
(h/) sen
Componente x
do momento do
fóton espalhado
(h/) sen
momento do
fóton espalhado
momento do
fóton incidente h/
A imagem vista pelo observador
13
O espalhamento de um fóton
iluminando um elétron
A imagem do padrão de difração
do elétron vista pelo observador
Componente x
do momento de
recuo do elétron
(h/) sen
Componente x
do momento do
fóton espalhado
(h/) sen
momento do
fóton espalhado
momento do
fóton incidente h/
A qual resultado chegamos?
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“Ondas” de matéria
•Vejamos a que nos levam as nossas equações.
•A velocidade de propagação de uma onda com
comprimento de onda e frequência é .
•Calculando essa velocidade para uma partícula de
momento p e energia total E encontramos
•Assumindo que a partícula não se move com velocidade
relativística e está numa região de energia potencial nula,
encontramos:
15
“Ondas” de matéria
•Uma onda plana não é “localizada” como imaginamos
•Ao contrário, ela se repete de - a +
16
Mas, se sobrepusermos duas ondas...
17
Usando
Obteremos
Mas como e , podemos escrever:
Sobrepondo duas ondas...
18
Velocidades de fase e de grupo
19
Velocidade de fase
Velocidade de grupo
E se somarmos mais ondas?
20
By Kraaiennest - Own work, CC BY-SA 4.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3757362
Pacote de onda
• A envolvente (- - - -) se move com a velocidade de grupo.
21
By Oleg Alexandrov - Self made, based on Image:Photon paquet
onde.png. Released in the public domain., Public Domain,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3173016
Velocidades de fase e de grupo
22
Veja esta figura e outras com animação na Wikipedia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity
23
By Becarlson - Own work, CC BY-SA 4.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=67433782
Vejamos a que isto nos leva
•Vamos calcular a velocidade de grupo:
24
e
Conclusão:
•A velocidade de grupo dessas ondas é igual à
velocidade da partícula cujo movimento elas
governam:
25
Problema...•Mas a nossa “onda” ainda não está localizada como
imaginávamos acontecer se é para ela descrever uma
partícula que é localizada.....
•Vamos aumentar o número de ondas planas que
somaremos....
26
( ) ( )15
9
12
11 13
10 14
9 15
, cos 2
1,
1 / 2
1 / 3
1 / 4
x t A x t
com amplitudes
A
A A
A A
A A
=
= = −
=
= =
= =
= =
27
A12=1
A10=1/3
A11=1/2
A13=1/2
A14=1/3
A15=1/4
A9=1/4 = 9
= 10
= 11
= 12
= 14
= 13
= 15
O resultado da superposição...
28
x em unidades de 1/12 ➔
O resultado da superposição...
29
x em unidades de 1/12 ➔
(como estamos somando um número finito de ondas, a função soma vai repetir!)
O resultado matemático exato revela
30
1 /4x
1 /4t
Consequências...
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/2xx p
/2t E
Princípio da incerteza de Heisenberg
32
/2
/2
/2
x
y
z
x p
y p
z p
/2t E
Outro exemplo:
Medida da coordenada y de um elétron
33
Feixe de elétrons
incidente
Placa fotográficaFenda
•Consequentemente, teremos:
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Adendo: o experimento de Tonomura
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A experiência de Young com elétrons
• feixe eletrônico intenso +
detector no anteparo: figura
de interferência na medida
de intensidade no anteparo,
mas...contagem discreta da
chegada dos elétrons,
apesar de muitos elétrons
chegarem por segundo...detector
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A experiência de Young com elétrons
• feixe eletrônico não intenso
+ detector no anteparo: 1
elétron por segundo
atravessa uma das fendas e
1 elétron por segundo é
registrado em algum ponto
do anteparo.
detector
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A experiência de Young
com elétrons
Mas, no decorrer de um
intervalo de tempo muito longo:
o histograma apresentará um
perfil de interferência...
... compatível com a
sobreposição dos resultados
de N >>1 experiências
envolvendo apenas 1 elétron!
https://www.youtube.com/watch?v=hv12oB_uyFs
38
A experiência de Young repetida com elétrons
com o passar
do tempo....
39
O trabalho sobre interferência de
elétrons
41
O experimento
42
A preparação das duas “fendas”
43
Deflexão das ondas de elétrons por um biprisma –
o caso de incidência de uma onda plana incidente
A montagem
44
Diagrama do experimento de interferência das ondas de elétron
Sistema de detecção dos elétrons
45
Diagrama esquemático do sistema contador de elétrons sensível à posição
Do artigo....
46
.
.
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47