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O SOFTWARE GEOGEBRA COMO FERRAMENTA NO ENSINO DA

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Silvana Bueno do Prado1

Valdeni Soliani Franco2

RESUMO

Este artigo propõe compartilhar e discutir os resultados obtidos com a

implementação de uma unidade didática para alunos do 2º ano do Ensino Médio e

também para um grupo de professores da Rede Estadual de Educação do Estado

do Paraná. O projeto consistiu na apresentação da trigonometria no triângulo

retângulo, com auxílio do software geométrico GeoGebra. A trigonometria no

triângulo retângulo faz parte da Geometria Euclidiana e foi explorada mediante a

utilização de semelhanças de triângulos e do Teorema de Pitágoras. Em um

laboratório de informática, foi permitido ao educando que elaborasse a sua própria

aprendizagem, por meio de sua participação ativa nas aulas. Foi constatado durante

a implementação que com as atividades sugeridas, o educando se interessou pelo

conteúdo explorado, e também pelo conhecimento mais detalhado do software

GeoGebra e explorando outras possibilidades da utilização do mesmo. Em relação

ao grupo de docentes o objetivo foi mostrar possibilidades do uso de mídias

tecnológicas para aulas investigativas. Foi observado durante a realização do Grupo

de Trabalho em Rede (GTR), que a maioria dos docentes, apesar de encontrarem

algumas dificuldades, busca novas metodologias e tentam se capacitar com cursos

para trabalhar com os softwares em suas aulas.

Palavras-chaves: Educação Matemática. GeoGebra. Semelhança de triângulo.

Trigonometria. Triângulo retângulo.

1 Professora da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná

e-mail:[email protected] 2 Professor Associado do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá (UEM) e do programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência e a Matemática do Centro de Ciências Exatas da UEM. e-mail:[email protected]

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ABSTRACT

This article proposes to share and discuss the results obtained by the implementation

of a didatical unit for the students of the 2nd year in High School and also for a group

of teachers of the State Education Web in the State of Pr. The project consisted in

the presentation in right angle triangle trigonometry, with the aid of the geometric

software, GeoGebra software, to elementary students. The right angle triangle in

trigonometry is part of Euclidean Geometry and was explored through the application

of similarities of triangles and the Pythagorean Theorem. In a computer lab, it was

enabling the student to develop their own learning, through their active participation

in the lessons. It was noticed during the implementation that with suggested

activities, the students can be more interested in the exploited subject, and also in a

more detailed knowledge of the GeoGebra software and exploring other possibilities

of using. In relation to the group of teachers, the aim was to show possibilities of the

use of technology for investigative lessons. It was observed during the workgroup

network course that, most teachers, despite of finding some difficulties, seek new

methods and try to train through courses to work with software’s in their classes.

KEY WORDS: Mathematical Education. GeoGebra. Similarity of triangles,

Trigonometry. Right angle triangle.

INTRODUÇÃO

De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação

Básica – as atuais reformulações e adaptações curriculares para o ensino de

Matemática no Estado do Paraná – a educação atravessa um período de profundas

mudanças, à medida que deseja conciliar seu objetivo ao interesse e realidade

social.

Essa visão contrasta-se com aquela visão presente em algumas escolas,

onde a Matemática é vista como um corpo de conhecimento verdadeiro e imutável,

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que deve ser assimilado pelo aluno, dentro de uma concepção tradicionalista de

ensino.

Ao definir os objetivos do ensino de matemática para a Educação Básica, os

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s) destacam que o aluno deve “[...]

valorizá-la como instrumental para compreender o seu dia-a-dia, vendo-a como área

que estimula o interesse, curiosidade, investigação e o raciocínio lógico.” (BRASIL,

2001, p.15).

Nessa forma de pensar a aprendizagem matemática, o educando deve utilizar

procedimentos matemáticos, instrumentos tecnológicos, argumentar suas

conjecturas e comunicar-se com ideias matemáticas.

Na perspectiva dos processos cognitivos internos e o desenvolvimento do

pensamento matemático, destaca-se a Geometria. Os PCN’s apontam que o ensino

de geometria “[...] é um campo fértil de situações-problema que favorece o

desenvolvimento da capacidade para argumentar e construir demonstrações.”

(BRASIL, 2001, p.122).

Existem várias metodologias que podem ser utilizadas para o

desenvolvimento dos conceitos geométricos, dentre elas a utilização das tecnologias

da informação. A Informática está a serviço do ensino e aprendizagem da

matemática, pois proporciona ao aluno representações diferentes para os conteúdos

da disciplina. Da mesma forma o enriquecimento das práticas pedagógicas

desenvolvem a criatividade, o raciocínio lógico, a socialização, a exploração, a

interatividade, a afetividade e a reflexão crítica.

Neste artigo optou-se pela utilização do software GeoGebra que propicia a

construção de uma aprendizagem significativa, facilitando o saber.

A utilização do computador contribui com o processo de ensino e

aprendizagem de matemática tornando-a uma atividade experimental e rica.

Segundo Laudares:

Nessa atual sociedade do conhecimento, onde o científico está vinculado ao raciocínio causal, organizado, sistêmico e lógico, a Matemática acontece como requisito conceitual científico. Se fazer ciência é matematizar os fenômenos, realizando sua leitura e compreensão pelo raciocínio lógico- dedutivo, essência da estruturação Matemática, a educação tecnológica ou para tecnologia se faz numa interação estreita com a Educação Matemática. LAUDARES (2004, p. 297).

Por isso não podemos permanecer estáticos. Utilizar softwares geométricos e

equipamentos tecnológicos não faz com que o educando deixe de raciocinar, pois

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esses softwares permitem que se faça e refaça os passos com rapidez até resolver o

problema em questão.

Apresentar o conteúdo através de uma forma mais dinâmica muda a relação

entre a matemática e o educando, e faz com que o professor deva se atualizar

constantemente. Segundo Borba:

À medida que a tecnologia e informática se desenvolvem nos deparamos com a necessidade de atualização de nossos conhecimentos sobre o conteúdo ao qual ela está sendo integrada. Ao utilizar uma calculadora ou um computador, um professor de matemática pode se deparar com a necessidade de expandir muitas de suas ideias matemáticas e também buscar novas opções de trabalho com os alunos. BORBA (2007, p.64).

Propõe-se neste artigo compartilhar e discutir a implementação da unidade

didática, “O Software GeoGebra como Ferramenta no ensino da Trigonometria no

triângulo retângulo”, elaborado com o intuito de auxiliar o professor na apresentação

desse conteúdo ao educando do Ensino Fundamental e do Ensino Médio.

A escola onde foi implementada a unidade didática conta com um laboratório

de informática (Paraná Digital) e o trabalho foi realizado às quintas feiras no período

vespertino, de agosto até outubro de 2011, com um grupo de alunos do 2° Ensino

Médio do Colégio Estadual Monteiro Lobato da cidade de Colorado, no Estado do

Paraná, durante três horas seguidas.

Geralmente o educando está aberto a novas metodologias e demonstram

interesse quando se propõe um trabalho em um laboratório de informática, o que

facilitou a implementação. O conhecimento tecnológico e a inclusão digital é uma

necessidade, tudo em nossa volta atualmente é informatizado e todos deveriam ter

acesso a esta tecnologia.

POR QUE ENSINAR A TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

UTILIZANDO COMO FERRAMENTA O SOFTWARE GEOGEBRA?

A proposta das Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica

do estado do Paraná (2008) prevê a formação de um estudante crítico, capaz de agir

com autonomia nas relações sociais e, para isso, é preciso que ele se aproprie

também de conhecimentos matemáticos. Propõe ainda que os ambientes gerados

por aplicativos informáticos dinamizem os conteúdos curriculares e potencializem o

processo pedagógico.

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É necessário considerar que

As ferramentas tecnológicas são interfaces importantes no desenvolvimento de ações em Educação Matemática. Abordar atividades matemáticas com recursos tecnológicos enfatiza um aspecto fundamental da disciplina, que é a experimentação sobre as atividades com as quais se envolvem na experimentação. BORBA & PENTEADO (2001, p.34).

A civilização avança rapidamente na área de informática, porém estes

avanços parecem não acontecer dentro da escola.

Segundo Zulato (2002), a questão do uso de informática nas aulas de

Matemática demanda da formação continuada do professor, os quais não tiveram a

formação na área computacional quando acadêmicos e que este aperfeiçoamento

depende dele.

A tecnologia por si só não mudará a educação, e sim, de que forma esta

ferramenta será utilizada pelo professor. Estudos mostram que a utilização de

softwares dinâmicos facilita a aprendizagem, a manipulação dos objetos pode ser

feita pelo recurso de “arrastar” do mouse, possibilitando a descoberta das

propriedades do objeto.

O Geogebra é um software de geometria dinâmica que permite a abordagem

de vários conteúdos matemáticos com a possibilidade de fazer uso da linguagem

algébrica, reunindo geometria e álgebra.

O programa foi idealizado e desenvolvido por Markus Hohenwarter da

Universidade de Salzburg (Áustria) em 2001, é um programa de código aberto, há

colaboração de programadores de todas as partes do mundo com o intuito de

melhorar seu desempenho. Oferece ainda um suporte à entrada de equações e

coordenadas; é a união de um sistema de geometria dinâmica (Dynamic Geometry

System – DGS) e de um sistema de computação algébrica (Computer Algebric

System – CAS).

Existem trabalhos como de Ribeiro et.al. (2009) que orientam o uso do

software e sugerem várias atividades de abordagem de conteúdos matemáticos.

Vale ressaltar que a participação do professor na aplicação do software em sala de

aula é imprescindível para que ocorra o aprendizado, pois ele é que faz a análise

matemática formal de cada situação.

O software Geogebra está disponibilizado nas escolas estaduais, nos

Laboratórios do Paraná Digital ou pelo acesso a internet pelo

http://www.geogebra.org/cms/.

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A TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Inicialmente a Trigonometria tinha como objetivo calcular as medidas dos

lados e ângulos de um triângulo, considerada como uma extensão da Geometria.

Sabe-se que foi o astrônomo grego Hiparco (190 a.C. – 125 a.C.),

considerado como o pai da Astronomia, quem empregou relações entre os lados e

os ângulos de um triângulo retângulo, por volta de 140 a.C. É considerado o

precursor da Trigonometria.

Através do astrônomo Ptolomeu (125 a.C.), surge o documento mais antigo

que trata Trigonometria retilínea e esférica, O almagesto, baseado nos trabalhos de

Hiparco.

O seno e a tangente foram introduzidos na Trigonometria e a primeira tábua

trigonométrica foi construída no século XV, por Purback, matemático nascido na

Baviera, ao restabelecer a obra de Ptolomeu.

O matemático alemão Johann Muller, discípulo de Purback, escreveu de

maneira sistemática, o primeiro tratado de Trigonometria, chamado Regiomontanus

ou Tratado dos triângulos.

Atualmente a trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos,

tanto na matemática pura (matemática propriamente dita), quanto na matemática

aplicada (ramo da matemática que trata da aplicação do conhecimento matemático a

outros domínios) e nas ciências naturais.

Diz-se que dois triângulos são semelhantes se seus ângulos correspondentes

são congruentes e os comprimentos dos lados correspondentes são proporcionais.

Sabemos que foi por intermédio da semelhança de triângulos que Aristarco

comparou as distâncias da Terra à Lua e da Terra ao Sol, que os matemáticos

árabes estabeleceram as razões trigonométricas e que Eratóstenes calculou o raio

da Terra. Por isso, a seguir, damos a definição e alguns dos resultados que

garantem quando há semelhança entre dois triângulos.

Os casos de semelhança ocorrem quando:

� dois ângulos de um são congruentes a dois ângulos do outro (critério

conhecido como AA – Ângulo, Ângulo);

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� os lados de um são proporcionais aos lados do outro;

� os dois triângulos possuem um ângulo congruente compreendido entre lados

proporcionais.

Dois triângulos retângulos que possuem ângulos congruentes são, portanto,

semelhantes, e assim, a razão entre a medida do lado oposto de um dos ângulos

agudos de um dos triângulos (de medida α), e a medida de sua hipotenusa será a

mesma que a razão entre a medida do lado oposto do ângulo correspondente

(portanto de medida α) no segundo triângulo, e a medida de sua hipotenusa. Este

valor será um número entre 0 e 1. Este número é chamado de seno de α e

escrevemos como sen(α).

Similarmente, pode-se definir o cosseno de α como a razão entre a medida do

cateto adjacente ao ângulo de medida α e a medida da hipotenusa; bem como a

tangente como a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo de medida α e a

medida do cateto adjacente ao ângulo de medida α.

SOBRE A IMPLEMENTAÇÃO

Vivemos numa sociedade que a tecnologia é dominante e a informatização é

crescente. Como a escola está inserida nessa sociedade, deveríamos acompanhar

esse desenvolvimento. De acordo com Miranda e Laudares (2007), os recursos

tecnológicos facilitam a mediação didática com o uso de ferramentas desenvolvidas

pela eletrônica e microeletrônica. Dessa forma, utilizamos como ferramenta o

software educacional GeoGebra, que está implantado nos computadores das

Escolas Públicas do Paraná.

Segundo Lorenzato (2006) devemos investir na procura de novas

metodologias para auxiliar a prática pedagógica motivando os interesses dos alunos

para aprender Matemática.

O software GeoGebra, cujo acesso é livre, foi introduzido mediante a

construção de triângulos, o estudo da semelhança de triângulos e as

proporcionalidades advindas desta, o Teorema de Pitágoras e as relações

trigonométricas, seno, cosseno e tangente, no triângulo retângulo.

A implementação ocorreu às 5ª feiras no período vespertino, de agosto até

outubro de 2011, com alguns alunos do 2° ano do Ensino Médio, em contra turno.

Os integrantes se propuseram a participar dessas aulas no laboratório de informática

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do Paraná Digital e o funcionamento da escola permitiu a realização das atividades

com os alunos durante três horas seguidas, que resultou numa diferença

significativa.

Na segunda quinzena de agosto, o projeto e o software GeoGebra foi

apresentado à equipe de alunos do 2° ano do Ensino Médio.

No mês de setembro foram realizadas atividades no software GeoGebra de

semelhança de triângulos, do Teorema de Pitágoras e das relações trigonométricas

por meio de semelhança de triângulos.

Durante a primeira quinzena de outubro as atividades realizadas no software

GeoGebra foram os cálculos do seno, do cosseno e da tangente dos ângulos

fundamentais, 30°, 45° e 60°. A relação fundamental (sen2α + cos2α = 1) e a

comparação de atividades realizadas primeiro no caderno e depois resolvidos com a

utilização do software.

Devemos considerar, ao utilizar o GeoGebra, que para construir a Geometria

Euclidiana é necessário a existência de noções elementares, tais como, noções de

ponto, reta e plano3.

As ilustrações construídas no GeoGebra têm caráter dinâmico, mas não

podemos esquecer que continuamos numa representação.

Algumas atividades realizadas durante a implementação:

1ª ATIVIDADE: Verificar o caso AA (Ângulo, Ângulo) de semelhança de triângulos.

• Abra uma janela no GeoGebra e se o plano cartesiano estiver sendo exibido,

esconda-o, clicando em “Exibir” e depois em “Eixos”.

• No 3° ícone, selecionar “Reta Definida por Dois Pontos”, depois clique duas

vezes na tela que será criada a reta a e dois pontos A e B, pertencentes à

reta “a”.

• Clique no 2° ícone selecionando “Novo ponto”, ao clicar sobre a reta “a”,

aparecerá o ponto C.

• Esconder o ponto A, para isso clique no 1° ícone em “Mover”, depois clique no

ponto A com o botão direito do mouse, abrirá uma caixa, clique em “Exibir

Objeto”. Deixe o ponto C à esquerda do ponto B. 3 Toda a parte conceitual da matemática registrada nesse trabalho foi extraída do livro Geometria

Euclidiana Plana – Um Estudo com o Software GeoGebra, de autoria de João Roberto Gerônimo, Rui Marcos de Oliveira Barros e Valdeni Soliani Franco, 2010.

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• Selecione no 8° ícone, “Ângulo com amplitude fixa”, clique no ponto B, depois

no C, abrirá uma caixa, mude o ângulo de 45° para 50°, sentido anti-horário e

clique em ok; aparecerá o ângulo α=50° e o ponto BꞋ. Destaque “Reta

Definida por Dois Pontos” no 3° ícone e clique nos pontos C e BꞋ, aparecerá a

reta “b”.

• Destaque novamente o 8° ícone, “Ângulo com amplitude fixa”, clique no ponto

C e B, mude o ângulo de 45° para 70°, sentido horário e ok; aparecerá o

ângulo β=70° e o ponto CꞋ. Destaque “Reta Definida por Dois Pontos” e clique

nos pontos B e CꞋ, aparecerá a reta “c”.

• Esconda os pontos BꞋ e CꞋ, clicando com o botão direito sobre os pontos e em

“Exibir Objeto”.

• No 2° ícone destacar “Interseção de Dois Objetos”, clique sobre as retas “b” e

“c”, aparecerá o ponto D.

• Destaque “Segmento definido por Dois Pontos” no 3° ícone e clique em CD

formará o segmento “d”; em DB, formará o “e” em BC, formará “f”.

• Esconda as retas “a”, “b” e “c”, clicando com o botão direito e em “Exibir

Objeto”. Terá o triângulo BCD na tela, conforme Figura 1.

Figura 1

• Com a mesma tela, no 3° ícone, selecionar “Reta Definida por Dois Pontos”,

depois clique duas vezes na tela que será criada a reta “g” e dois pontos E e

F, pertencentes à reta “g”.

• Clique no 2° ícone selecionando “Novo ponto”, ao clicar sobre a reta “g”,

aparecerá o ponto G.

• Esconder o ponto E, para isso clique no 1° ícone em “Mover”, depois clique no

ponto E com o botão direito do mouse, abrirá uma caixa, clique em “Exibir

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Objeto”. Deixe o ponto G à esquerda do ponto F, tomar a distância de G até F

maior que a distância de C até B.

• Selecione no 8° ícone, “Ângulo com amplitude fixa”, clique no ponto F, depois

no G, abrirá uma caixa, mude o ângulo de 45° para 50°, sentido anti-horário e

clique em ok; aparecerá o ângulo γ=50° e o ponto FꞋ. Destaque “Reta Definida

por Dois Pontos” no 3° ícone e clique nos pontos G e FꞋ, aparecerá a reta “h”.

• Destaque novamente o 8° ícone, “Ângulo com amplitude fixa”, clique no ponto

G e F, mude o ângulo de 45° para 70°, sentido horário e ok; aparecerá o

ângulo δ=70° e o ponto GꞋ. Destaque “Reta Definida por Dois Pontos” e clique

nos pontos F e GꞋ, aparecerá a reta “i”.

• Esconda os pontos FꞋ e GꞋ, clicando com o botão direito sobre os pontos e em

“Exibir Objeto”.

• No 2° ícone destacar “Interseção de Dois Objetos”, clique sobre as retas “i” e

“h”, aparecerá o ponto H.

• Destaque “Segmento definido por Dois Pontos” no 3° ícone e clique em GH

formará o segmento “j”; em HF, formará “k” e em FG, formará “l”.

• Esconda as retas “g”, “h” e “i”, clicando com o botão direito e em “Exibir

Objeto”. Terão os triângulos BCD e FGH na tela, conforme Figura 2.

Figura 2

• No 8° ícone, destaque “Distância, Comprimento ou Perímetro”, calcule os

comprimentos dos lados dos triângulos, clicando em CD, DB, BC, FG, GH e

HF.

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• Calcular a constante ou razão de proporcionalidade, para fazer isso vá à

Entrada e digite k1=distãnciaDB/distânciaHF e dê Enter;

k2=distânciaCD/distânciaGH; k3=distânciaBC/distânciaFG. Observe na

coluna algébrica que k1=k2=k3. Veja Figura 3, a seguir.

• Clique no 1° ícone em “Mover”, altere os tamanhos dos triângulos e observe o

que acontece com as constantes.

Figura 3

CONCLUSÕES DIDÁTICAS: Com esta atividade o aluno conseguiu perceber

com facilidade, que para dois triângulos serem semelhantes basta dois ângulos de

um ser congruentes a dois ângulos do outro, pois a construção tem caráter

dinâmico.

2ª ATIVIDADE: O Teorema fundamental da semelhança de triângulos diz que toda

reta paralela a um lado de um triângulo que intercepta os outros dois lados em

pontos distintos determina outro triângulo semelhante ao primeiro. Vamos trabalhar

isto nesta atividade4.

4 Adaptado do livro Geometria Euclidiana Plana, de João Roberto Gerônimo, Rui de Oliveira Barros e

Valdeni Soliani Franco, ativ. 86, p.158.

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• Abra um arquivo novo e se o plano cartesiano estiver sendo exibido, esconda-

o, clicando em “Exibir” e depois em “Eixos”.

• Selecione “Polígono” no 5° ícone, crie um triângulo ABC, clique em três

lugares no plano e novamente no 1° ponto para fechar o triângulo.

• No 2° ícone, em “Novo ponto”, marque um ponto D externo ao triângulo ABC.

• Vá para o 4° ícone, em “Reta Paralela”, clique no ponto D e no lado BC, será

traçado uma reta “d” que será paralela ao lado BC do triângulo.

• Determine os pontos E e F de interseção com os lados AB e AC, para fazer

isso selecione “Interseção de Dois Objetos” no 2° ícone, clique na reta “d” e

no lado AB e depois na reta “d” e no lado AC.

• No 8° ícone, em “Distância, Comprimento ou Perímetro”, calcule as medidas

dos segmentos AE, AB, AF e AC.

• No campo de entrada, calcule as razões AC/AB e AF/AE, para isso escreva

as fórmulas R1=distânciaAC/distânciaAB e Enter, depois

R2=distânciaAF/distânciaAE e Enter. Veremos a tela, dada na Figura 4, a

seguir.

Figura 4

• Movimente a reta “d” e verifique o que acontece com as razões.

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CONCLUSÕES DIDÁTICAS: Com esta atividade o aluno observou de forma

dinâmica, que se uma reta paralela a um lado de um triângulo intercepta os outros

dois lados em pontos distintos, ela determinará segmentos proporcionais a esses

lados.

3ª ATIVIDADE: Um dos enunciados do Teorema de Pitágoras diz que: Em qualquer

triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das

áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos. Ilustraremos esse

Teorema com o software GeoGebra5:


o.

• Crie um triângulo retângulo ABC com catetos AB e AC e hipotenusa BC, para

fazer isso vá no 3° ícone em “Segmento definido por Dois Pontos” e crie o

segmento AB; passe uma reta perpendicular no ponto A, selecione “Reta

Perpendicular” no 4° ícone, clique no ponto A e no segmento AB.

• Destaque no 2° ícone “Novo ponto” e clique sobre a reta perpendicular

aparecerá o ponto C. No 3° ícone, em “Segmento definido por Dois Pontos”,

crie os segmentos AC e BC.

• No 5° ícone, em “Polígono Regular”, clique nos pontos A e C, abrirá uma

caixa, coloque 4 nos pontos e ok, surgirá um quadrado cujo lado é igual ao

cateto AC. Faça o mesmo nos pontos C e B, surgirá um quadrado cujo lado é

igual à hipotenusa e depois os pontos B e A, surgirá um quadrado cujo lado é

igual ao cateto AB.

• No 8° ícone, em “Área”, calcule a área dos quadrados.

• Calcule o comprimento dos lados AB, AC e BC, selecionando “Distância,

Comprimento ou Perímetro” no 8° ícone.

Na caixa de Entrada digite: r1=distânciaBC^2;

r2=distânciaAB^2+distânciaAC^2 e r3=polígono1+polígono2. Observe que

r1=r2=r3.

Será visualizada na tela, dada na Figura 5, a seguir.

5 Adaptado do livro Geometria Euclidiana Plana, de João Roberto Gerônimo, Rui de Oliveira Barros e

Valdeni Soliani Franco, ativ. 82, p.152.

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Figura 5

• Modifique as posições dos vértices e verifique o que acontece.

CONCLUSÕES DIDÁTICAS: A atividade demonstrou o Teorema de

Pitágoras geometricamente de forma contextualizada e interativa. Os alunos

também conseguiram arrumar um comando, já que a versão do GeoGebra que está

presente nas escolas é mais antiga, no campo de entrada eles haviam digitado

r3=polígono1+polígono2 e o comando não funcionou, daí os alunos observaram que

na janela algébrica estava sendo informado poly1 e poly2, daí digitaram

r3=poly1+poly2 e conseguiram finalizar a atividade corretamente.

4ª ATIVIDADE: Verificar a definição de seno, cosseno e tangente por meio de

semelhança de triângulos.

a) Vamos construir três triângulos retângulos no GeoGebra:



• No 3° ícone, em “Semirreta Definida por Dois Pontos”, crie a semirreta AB,

que será designada por “a” e depois clique em A e em outro lugar no plano,

que será chamado de C, criando também a semirreta AC, designada por “b”.

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• Destaque “Novo ponto” no 2° ícone e coloque sobre a semirreta “a” os pontos

D e E.

• Em “Reta Perpendicular”, no 4° ícone, clique no ponto B e na semirreta “a”,

faça o mesmo com os pontos D e E, aparecerão as retas designadas por “c”,

“d” e “e”.

• No 2° ícone, em “Interseção de Dois Objetos”, calcule a interseção das retas

com a semirreta “b”, para isso clique em cada reta e na semirreta, aparecerão

os pontos F, G e H.

• Calcule os segmentos BE, DG e EH, para isso destaque “Segmento definido

por Dois Pontos”, no 3° ícone; serão designados respectivamente por “f”, “g” e

“h”.

• Esconda as retas “c”, “d” e “e” e o ponto C, para isso destaque no 1° ícone o

“Mover”, clique com o botão direito em cada item e em “Exibir Objeto”.

• No 8° ícone, em “Ângulo”, calcule o ângulo A, clique em BAF, aparecerá o

ângulo designado por α. Clique também em: AFB, AGD e AHE, aparecerão os

ângulos β, γ e δ respectivamente, que serão congruentes.

Teremos Figura 6, a seguir:

Figura 6

• Mova o ponto A e observe o que acontece com os triângulos.

b) No mesmo arquivo, demonstrar o que é a tangente do ângulo α.

• Vá no 8° ícone, em “Distância, Comprimento e Perímetro”, calcule as

distâncias FB, AB, GD, AD, HE e AE.

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• Na caixa de entrada, digite as relações: q1=distânciaFB/distânciaAB e dê

Enter; q2=distânciaGD/distânciaAD e depois q3=distânciaHE/distânciaAE.

Teremos a tela dada na Figura 7.

Figura 7

• Observe o que aconteceu com as relações. Movimente o ponto A o que

acontece?

c) Ainda no mesmo arquivo, vamos demonstrar o que é o seno e o cosseno

do ângulo α.

• Vá no 8° ícone, em “Distância, Comprimento e Perímetro”, calcule as

distâncias AF, AG e AH.

• Na caixa de entrada, digite as relações: q4=distânciaFB/distânciaAF e dê

Enter; q5=distânciaGD/distânciaAG e depois q6=distânciaHE/distânciaAH.

Observe que q4=q5=q6, essa relação é chamada de seno de α e escrevemos

• Novamente na caixa de entrada, digite as relações:

q7=distânciaAB/distânciaAF e dê Enter; q8=distânciaAD/distânciaAG e depois

q9=distânciaAE/distânciaAH. Observe que q7=q8=q9, essa relação é

chamada de cosseno de α e escrevemos:

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.

CONCLUSÕES DIDÁTICAS: No item a o aluno observou que os triângulos

AFB, AGD e AHE são semelhantes, pois tem os mesmos ângulos. No item b que a

relação depende apenas do ângulo α e não do tamanho do triângulo retângulo do

qual α é um dos ângulos agudos e é chamada de tangente de α e escrevemos

tg . No item c o aluno conseguiu ver que o

seno e o cosseno assim como a tangente dizem respeito apenas ao ângulo e não ao

triângulo que os contém. Essa atividade foi uma das mais comentadas pelos

integrantes do grupo.

5ª ATIVIDADE: Demonstrar os valores de seno, cosseno e tangente de 30° e 60°

utilizando o software GeoGebra. Construiremos um triângulo eqüilátero.



• No 5° ícone, destaque “Polígono Regular”, clique em dois lugares no plano,

aparecerão os pontos A e B e abrirá uma caixa, digite 3 e ok. Será construído

um triângulo eqüilátero ABC.

• Agora em “Ponto Médio ou Centro”, no 2° ícone, clique em B e C, aparecerá o

ponto médio designado por D.

• Construa a altura AD, utilizando no 3° ícone, “Segmento definido por Dois

Pontos”, clique em A e D.

• O triângulo ABD tem B=60°, A=30° e D=90°, vamos visualizar esses valores

no triângulo, para isso clique em DBA, BAD e ADB, aparecerão os ângulos

α=60°, β=30° e γ=90°.

• Utilize no 8° ícone, “Distância, Comprimento ou Perímetro”, calcule as

distâncias AB, AD e BD.

• Vamos calcular , na caixa de entrada, digite:

q1=distânciaBD/distânciaAB, aparecerá q1=0,5. No 10° ícone, em “Inserir

Texto”, clique na tela, aparecerá uma caixa, digite: “senβ=sen30°=”+q1 e ok.

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Da mesma forma calcule , denomine por q2 e

, por q3.

• Calcule seno, cosseno e tangente do ângulo α=60° d mesma maneira,

designando as relações por q4 q5 e q6.

Iremos visualizar a tela dada na Figura 8, a seguir.

Figura 8

CONCLUSÕES DIDÁTICAS: Por meio desta atividade o aluno observou com

muito interesse e dinamismo, que sen30° = cos60° e sen60° = cos30°, que seno e

cosseno são funções complementares, quando os ângulos somarem 90° as imagens

serão congruentes.

Os ângulos de 30° e 60° são chamados nos livros de fundamentais, as suas

imagens geralmente não são fornecidas nos exercícios, precisa-se saber, por

exemplo, que:

6ª ATIVIDADE: Medir a altura de montanhas não é simples. Existe uma técnica para

se fazer isso. Um observador está em um ponto A no chão e vê o topo da montanha

segundo um ângulo de 10°, ele anda em direção ao seu objeto até um ponto B

19

distante 650 m de A e vê o topo da montanha segundo um ângulo de 14°. Vamos

fazer isso utilizando o GeoGebra:

a) Calcule a tangente de 10° e 14°.



• No menu Opções, em Arredondamento, usar 4 Casas Decimais.

• No 3° ícone em “Segmento definido por Dois Pontos”, crie o segmento AB.

• Selecione “Ângulo com amplitude fixa” no 8° ícone, clique em B e A, abrirá

uma caixa digite 10° e ok, aparecerá o ponto B'.

• No 3° ícone, em “Reta Definida por Dois Pontos”, clique em A e B'.

• Esconda o ponto B', para fazer isso, selecione o “Mover” no 1° ícone, clique

com o botão direito sobre o B' e “Exibir Objeto”.

• Selecione no 4° ícone, “Reta Perpendicular”, clique no ponto B e no segmento

AB.

• Calcule a interseção das duas retas, selecione “Interseção de Dois Objetos”

no 2° ícone, clique nas duas retas, aparecerá o ponto C.

• Calcule a distância de BC e AB, selecionando no 8° ícone “Distância,

Comprimento ou Perímetro” .

• Na caixa de Entrada, digite: r1=distânciaBC/distânciaAB; r1 é a tangente de

10° e será igual a 0,1763. Será visualizado a Figura 9, a seguir.

Figura 9

• Calcule a tangente de 14° da mesma maneira, encontrará r2=0,2493,

conforme indicado na Figura 10, a seguir.

20

Figura 10

b) Em seu caderno, monte um esquema e calcule a altura da montanha.

Sabendo que tg 10°=0,1763 e tg 14°=0,2493. Resolva o sistema e

obteremos que a altura será de aproximadamente 391,4 m.

c) No GeoGebra, vamos desenhar e verificar esses valores. Vamos usar as

medidas em hm.



• No 3° ícone, em “Segmento com Comprimento Fixo”, clique na tela, aparecerá

o ponto A e na caixa que abrirá, digite 6.5 e ok; depois selecione “Reta

Definida por Dois Pontos” e clique nos pontos A e B, aparecerá a reta “b”.

• Selecione “Ângulo com amplitude fixa” no 8° ícone, clique em B e A, digite na

caixa 10° e ok, aparecerá o ponto B' e α=10°.

• Vá no 3° ícone em “Reta Definida por Dois Pontos”, clique em A e B',

aparecerá a reta “c”.

• No 2° ícone, em “Novo Ponto”, coloque o ponto C à direita do ponto B, sobre

a reta que contém o segmento AB.

• Selecione “Ângulo com amplitude fixa” no 8° ícone, clique em C e B, digite na

caixa 14° e ok, aparecerá o ponto C' e β=14°.

• Vá no 3° ícone em “Reta Definida por Dois Pontos”, clique em B e C',

aparecerá a reta “d”.

• Selecione “Intersecção de Dois Objetos” no 2° ícone, clique na reta “c” e “d”,

aparecerá o ponto D.

• Em “Reta Perpendicular” no 4° ícone, clique no ponto D e na reta “b”,

aparecerá a reta “e” que é perpendicular a reta “b”.

21

• Em “Interseção de Dois Objetos” no 2° ícone, clique nas retas “e” e “b”,

aparecerá o ponto E.

• Esconda os pontos B', C' e C.

• Calcule a distância do segmento DE, selecionando “Distância, Comprimento

ou Perímetro” no 8° ícone; Aparecerá que DE=3,91. Teremos a visualização

da tela dada na Figura 11, a seguir.

Figura 11

• O que podem concluir ao terminar esse exercício?

CONCLUSÕES DIDÁTICAS: A atividade fez com que o aluno analisasse e

comparasse a resolução feita no caderno e a realizada com o auxílio do software.

Os alunos disseram que a visão do conteúdo no software é uma visão alternativa e

dinâmica, sua compreensão e cálculo são mais fáceis e claras.

O trabalho com os alunos é sempre gratificante, com frequência ocorre

alguma situação inusitada ao qual não estamos preparados ou esperando, no início,

até conhecerem o software, sempre seguem as instruções dadas pelo professor e

quando se habituam a trabalhar com o instrumento criam suas próprias saídas para

solucionar o problema proposto sempre em um ambiente colaborativo. A utilização

do computador permite refazer rapidamente o processo e o aluno não se nega a

repetir.

22

Ao pensarmos novas tecnologias não é possível atingir a totalidade, mas se

conseguirmos que uma parcela pequena se interesse e prossiga na busca de novos

conhecimentos já demonstraria um grande avanço na melhoria do ensino.

Na interpretação de Borba e Penteado (2007, p.65) o uso do computador

obriga o professor a rever e ampliar o seu conhecimento de maneira constante.

A REALIZAÇÃO DO GTR

Sendo participante do Programa de Desenvolvimento Educacional PDE 6 foi

possível trabalhar com recursos tecnológicos como o Laboratório de Informática,

com a utilização do software GeoGebra na realização do estudo da trigonometria no

triângulo retângulo, para que houvesse uma superação das dificuldades de

aprendizagem por parte dos alunos referente à compreensão desse conteúdo de

forma contextualizada e interativa em um ambiente de descoberta, sem perder o

foco do rigor científico.

O software facilita analisar diferentes pontos de vista rapidamente,

oportunizando ao professor/aluno testar inúmeras hipóteses e fazer generalizações.

O material didático produzido foi disponibilizado para os professores da Rede

Estadual de Ensino através do Grupo de Trabalho em Rede (GTR) que é uma das

atividades obrigatórias do PDE, os quais poderiam opinar e sugerir mudanças. É

uma estratégia de democratização do acesso aos conhecimentos teórico-práticos

específicos das áreas/disciplinas trabalhadas no Programa de Desenvolvimento

Educacional (PDE) e, por meio da qual o professor PDE exerce seu papel mediador

e compartilha conhecimentos.

A Secretaria de Estado da Educação (SEED) disponibilizou uma plataforma

para os encontros, sendo as mesmas virtuais. Através da plataforma, os professores

da rede receberam material para leitura, por meio do qual puderam fazer o

aprofundamento do tema de estudo e participaram da elaboração do material

didático, colaborando para a efetivação do projeto.

Durante a participação do GTR da turma do PDE-2010 que ocorreu no

segundo semestre de 2011, os participantes concordavam que é preciso buscar 6 O do Governo do Estado do Paraná estabelece o diálogo entre os professores das Instituições de

Ensino Superior e os da Educação Básica, por meio de atividades teórico-práticas orientadas, sendo uma parte presencial, na própria Instituição e a outra à distância, visando a produção de conhecimento e mudança na metodologia e práticas escolares.

23

novas formas de metodologias ou tecnologias para melhorar as aulas da disciplina

de Matemática. Que a SEED deveria promover mais cursos para capacitar os

professores a trabalhar com os softwares, que o Estado deveria disponibilizar pelo

menos 30 computadores em uma sala de informática e um professor laboratorista

para auxiliá-los com as aulas práticas. Apesar da grande maioria dos professores se

depararem com alguns problemas técnicos, como o travamento das máquinas e a

quantidade de computadores que é inferior à quantidade de alunos por turma, ao

realizar um trabalho ou aula em um laboratório de informática, tentam solucionar

esses impasses buscando a melhoria do aprendizado.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Investir em metodologias diferentes vem enriquecer e complementar a nossa

prática pedagógica. Ao utilizar ambientes informatizados à aprendizagem estamos

incorporando uma série de situações positivas que são: a busca por padrões em um

problema; a independência no intercâmbio com o software; a criatividade; a visão do

computador como fonte de aprendizado; a interação entre os alunos; o diálogo de

uma linguagem específica e o desenvolvimento de processos cognitivos.

O trabalho com ambientes informatizados motiva o educando a vários tipos de

aprendizagem, como afirma Costa e Oliveira (2004):

O aluno no contato com os objetos de aprendizagem utiliza seus esquemas de pensamento para a construção de novos saberes que passarão progressivamente a compor sua bagagem de conhecimentos, numa recursividade perene de ações e interações com o meio do conhecimento.

A utilização do computador só contribui para que o processo de ensino e

aprendizagem de matemática se torne uma atividade rica e experimental, onde o

educando é instigado a desenvolver processos matemáticos que caracterizam o

fazer matemático, tais como: visualizar, experimentar, induzir, abstrair, interpretar,

conjecturar, demonstrar e generalizar.

A Matemática, nesse contexto, está relacionada amplamente com as

tecnologias de informação. Segundo Miranda e Laudares (2007):

A matemática é o sustentáculo lógico do processo da informação, e o pensamento matemático é também a base para as atuais aplicações da tecnologia da informação. De fato, todas as aplicações de um computador

24

podem ser vistas como uma aplicação de um modelo matemático simples ou complexo.

Ao indicarmos a utilização do software GeoGebra objetivou-se aprofundar e

incentivar a pesquisa por parte dos discentes e docentes nas suas diversas

aplicações.

A implementação não para, o conteúdo está presente no currículo e temos

que apresentá-lo ao educando, temos carência de materiais de apoio, por isso ele

deve ser explorado sempre que possível. Espera-se que mais professores o utilizem,

adaptando-os ao seu estilo, pois as diferenças e particularidades devem ser

respeitadas, já que sabemos que uma turma nunca é igual à outra.

A busca por novas tecnologias e a pesquisa é primordial, essa busca por

mudanças é um trabalho árduo, mas não podemos esquecer que nossos alunos

vivem em uma época com outros valores sociais e comportamentais. Às vezes, lidar

com esses alunos na sala de aula é desgastante e, num laboratório de informática

pode ser uma atividade complicada no início, especialmente por surgirem situações

que não estamos habituados a lidar, devemos ser persistentes. Com o tempo o

educando passa a realizar as atividades com prazer e destreza.

Analisando os resultados obtidos na execução das atividades, verificamos

que a aprendizagem foi mais eficaz, apresentaram um rendimento melhor, pelo fato

de estarem comprometidos com as atividades, já que a mesma despertou o

interesse do educando.

Muitos professores questionam o seguinte: Com aproximadamente 40 alunos

por sala, como trabalhar com essa turma sem auxílio? Gostaria de ter respostas,

mas cada professor tem sua realidade e uma solução obtida por um professor pode

não dar o mesmo resultado para outro.

Temos que tentar solucionar esses impasses, pois se deixarmos a tentativa

de mudança para mais tarde, aumentaríamos ainda mais a distância entre a escola

e a realidade; por isso, essa mudança cabe principalmente a nós, professores.

REFERÊNCIAS

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Múltiplas. Disponível em: http://wikipedia.org/wiki/Intelig%C3%AAncias em 29 out.

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