triângulo retângulo1

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1. 2 Ano (Ensino Mdio) Trigonometria Professor: Rangel Carvalho de Freitas 2. Trigonometria no Tringulo Retngulo (Aula 1) 3. . hipotenusa cateto cateto A B C O Tringulo Retngulo 4. Cateto adjacente a B Cateto oposto a B A B C O Tringulo Retngulo . 5. Cateto oposto a C Cateto adjac. a C A B C O Tringulo Retngulo . 6. Hipotenusa Cateto oposto a B O Seno, o cosseno e a tangente de ngulo agudo de um tringulo retngulo A B C . seno de B = a b sen B = a b c Hipotenusa Cateto oposto a C seno de C = a c sen C = 7. Hipotenusa Cateto adjac. a B O Seno, o cosseno e a tangente de ngulo agudo de um tringulo retngulo cosseno de B = a c cos B = A B C . a b c Hipotenusa Cateto adjac. a C cosseno de C = a b cos C = 8. O Seno, o cosseno e a tangente de ngulo agudo de um tringulo retngulo Cateto adjac. a B Cateto oposto a B tangente de B = c b tg B = A B C . a b c Cateto adjac. a C Cateto oposto a C tangente de C = b c tg C = 9. O Seno, o cosseno e a tangente de ngulo agudo de um tringulo retngulo 10 6 sen B = A B C . 10 6 8 8 6 tg B = Exemplo: Determine o seno, o cosseno e a tangente dos ngulos agudos do tringulo abaixo: 10 8 cos B = : 2 : 2 5 3 = : 2 : 2 5 4 = : 2 : 2 4 3 = Exerccio: Faa o mesmo para o ngulo C. 10. Observaes preliminares: 5 cm 3 cm sen B = A B C . 5 cm 3 cm 4 cm 1. As razes seno, cosseno e tangente so razes entre grandezas da mesma espcie e, portanto, constituem um nmero puro; 5 3 = O mesmo ocorre com as outras razes trigonomtricas. Exemplo: 11. Observaes preliminares: A B C . 2. Os ngulos agudos de um tringulo retngulo somam 90, isto , so complementares. Concluso: Os ngulos B e C so complementares. Exemplo: A + B + C = 180 90 + B + C = 180 B + C = 180 90 B + C = 90 12. Proposies 5 cm 3 cm sen B = A B C . 5 cm 3 cm 4 cm Proposio 1. 5 3 = Exemplo: Em todo tringulo retngulo o seno de um ngulo agudo igual ao cosseno do seu complemento. 5 cm 3 cm cos C = 5 3 = sen B = cos C 13. Proposies 4 cm 3 cm tg B = A B C . 5 cm 3 cm 4 cm Proposio 2. 4 3 = Exemplo: Em todo tringulo retngulo a tangente de um ngulo agudo igual ao inverso da tangente do seu complemento. 3 cm 4 cm tg C = 3 4 = tg B = tg C 1 14. Proposies tg B = Proposio 3. 5 3 = Exemplo: A tangente de um ngulo (agudo, neste caso) igual razo entre o seno e o cosseno do mesmo ngulo. Matematicamente: tg B = cos B sen B tg C = cos C sen C e sen B = 5 3 cos B = 5 4 tg B = cos B sen B 5 cm 3 cm 4 cm A B C . 5 3 5 4 x 4 5 = 4 3 15. Proposies Proposio 4 (Relao Fundamental). No tringulo ABC, valem as seguintes relaes: sen B 2 + cos B 2 = 1 e sen C 2 + cos C 2 = 1 A B C . a b c 16. Proposies Proposio 4 (Relao Fundamental). Prova (para o ngulo B): A B C . a b c sen B a b = cos B a c = Ento: sen B 2 + cos B 2 = a b 2 + a c 2 = a b 2 + a c 2 2 2 = = b 2 + a c 2 2 = a a 2 2 = 1 a 2 = b 2 + c 2 (Teorema de Pitgoras) 17. Valores das razes seno, cosseno e tangente de 45, 30 e 60 30o 45o 60o seno cosseno tangente 2 1 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 1 31 18. . 85 28,6 m Resoluo de Exerccios 1. A torre Eiffel, a maior antes da era da televiso, foi concluda em 31 de maro de 1889. Veja a figura e determine a altura dessa torre. h tg 85 = 28,6 h 11,4 = 28,6 h 11,4= 28,6h . 326,04 mh cateto oposto cateto adjacente 19. Resoluo de Exerccios 2. A uma distncia de 40 m, uma torre vista sob um ngulo , como nos mostra a figura. Determine a altura h da torre se: tg 20 = 40 h 0,36 = 40 h 40= 0,36h . 14,4 mh cateto oposto cateto adjacente h . 40 m a) = 20 b) = 40 20 = 20. Resoluo de Exerccios 2. A uma distncia de 40 m, uma torre vista sob um ngulo , como nos mostra a figura. Determine a altura h da torre se: tg 40 = 40 h 0,83 = 40 h 40= 0,83h . 33,2 mh cateto oposto cateto adjacente h . 40 m b) = 40 40 = 21. Resoluo de Exerccios 3. Uma escada rolante liga dois andares de um shopping e tem uma inclinao de 30. Sabendo-se que a escada rolante tem 12 metros de comprimento, calcule a altura de um andar para o outro. sen 30 = 12 h = 12 h 12=2h 6 m=h cateto oposto hipotenusa h 12 m 30 . 2 1 =h 2 12 22. . Resoluo de Exerccios 4. Na construo de um telhado, foram usadas telhas francesas e o caimento do telhado de 20 em relao ao plano horizontal. Sabendo que, at a laje do teto a casa tem 3 m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Dados: sen 20 = 0,34 , cos 20 = 0,94 e tg 20 = 0,36 e ). sen 20 = 4 x = 4 x 4=x 1,36 m cateto oposto hipotenusa 0,34 0,34. =x 20 4 3 h x? h = 3 + x h = 3 + 1,36 h = 4,36 m 23. Resoluo de Exerccios 5. Uma pipa presa a um fio esticado que forma um ngulo de 45 com o solo. O comprimento do fio de 80 m. Determine a altura da pipa em relao do cho. sen 45 = 80 x = 80 x 80=2x hipotenusa cateto oposto . =x . x 80 m 45 2 2 2 80 2 2 40 40=x 2 m 24. Resoluo de Exerccios 6. A 100 m da base, um observador avista a extremidade de uma torre sob um ngulo de 60 com a horizontal. Qual a altura dessa torre? tg 60 = 100 h = 100 h 100=h . 3 3 100=h 3 m . 100 m 60 h cateto adjacente cateto oposto 25. Resoluo de Exerccios 7. Num tringulo retngulo a hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos mede 6 cm. A medida do outro cateto : a) 2 cm6 b) 3 cm6 c) 2 cm8 d) 3 cm8 6 cm 12 cm . x (12) 2 = 6 2 + x 2 Aplicando o Teorema de Pitgoras, temos: 144 = 36 + x 2 144 36 = x 2 108 = x 2 x = 108 x = 3 cm6 26. Resoluo de Exerccios 8. Os dois maiores lados de um tringulo retngulo medem 12 m e 13 m. O permetro desse tringulo : a) 30 cm b) 32 cm c) 35 cm d) 36 cm 12 cm 13 cm . x (13) 2 = (12) 2 + x 2 Aplicando o Teorema de Pitgoras, temos: 169 = 144 + x 2 169 144 = x 2 25 = x 2 x = 25 x = 5 cm p = x + 13 + 12 p = 5 + 13 + 12 p = 30 cm