O Processo de Reforma Educativa em curso no país regista várias vantagens, comparativamente ao anterior sistema de ensino, principalmente no que toca a aplicação dos novos métodos e conteúdos curriculares, na actual metodologia, o docente tem facilidade de detectar as debilidades de cada discente e, pode, pedagogicamente, adoptar formulas para recuperar as fraquezas do aluno, o que era difícil acontecer no sistema anterior, onde numa só turma intervinham vários professores.

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O pensamento sobre a reforma educativa em Angola (I) - Miguel Filho

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CATEGORIA OPINIÃO PUBLICADO AOS 02 ABRIL 2010

Luanda - Aceitando o repto solicitado por um leitor anónimo, no presente texto, não pretendo criticar as

políticas anteriores de implementação da reforma educativa no nosso país, nem defender com

anterioridade as que venham a ser adoptadas, independentemente de certas simpatias e esperanças,

pela nova direcção do Ministério da Educação. Simplesmente tratarei de exteriorizar o conhecimento

adquirido enquanto sindicalista, etapa que nos permitiu conhecer os contornos da reforma educativa em

distintos países em desenvolvimento, sob auspício de organizações internacionais, entre estes Angola.

Fonte: Folha8

Este que vem sendo quase que um assunto tabu, no subsistema de ensino não

universitário já mereceu as mais diversas classificações, entre as mais

ressonantes, salientam-se as de Fernando Gamboa, no programa televisivo “a

grande entrevista”, ao afirmar que “a reforma educativa veio prejudicar o

sistema de ensino…”, ou quando supostos representantes anónimos do ministro

cessante, escudados em pseudónimos, tiveram páginas privilegiadas no Jornal

de Angola para achincalharem-me, insinuando uma suposta repulsa pessoal

contra o Chefe de Estado, com o objectivo de silenciarem-me.

Nos últimos dias foram incontáveis os que arremeteram contra a reforma educativa, incluindo

representantes da igreja católica, talvez porque, finalmente, se tenha substituído o ‘quase eterno’. Importa

referir que não comparto a opinião de que esta mesma Reforma Educativa seja um mal, defendo sim, o

seu reencaminhamento sob novos pilares, mesmo contando com ‘alguns’ técnicos ainda recicláveis da

antiga gestão. 

AS FASES DA REFORMA DO SISTEMA DE DDUCAÇÃO

A Reforma educativa que visa melhorar a qualidade do ensino em Angola começou a ser implementada

experimentalmente no ano lectivo 2002 com base no decreto lei 13/01, de Dezembro de 2001, planificado

para concluir-se em 2011, altura em que abrangerá todos os anos de escolaridade. Dentre as

modificações aprovadas, inclui novas divisões dos níveis de ensino, alterações no sistema de avaliação

dos alunos, criação de novas cadeiras e reformulação dos conteúdos curriculares. No primeiro ano de

implementação, ainda sob o regime experimental, abrangeu os alunos que ingressaram pela primeira vez

no ensino pré-primário, para posterior alargamento em 2005 ao sétimo e décimo ano de escolaridade. Ao

longo dos anos seguintes, a reforma seria paulatinamente expandida aos restantes anos de escolaridade,

até abarcar todo o sistema de ensino em 2011, altura em que deverá ser feita uma avaliação global do

processo de reforma do sistema. Para alicerçar com êxito idealizaram-se condições indispensáveis para

assegurar o seu normal funcionamento, realçando a adequação dos sistemas de administração e gestão

ao nível central e local.

Todos os pergaminhos referenciados não foram compatíveis com a ingente precipitação na sua aplicação,

para uma agenda elaborada em período de guerra e a impossibilidade de comunicação com as

localidades do interior, algumas, então, sob controlo da guerrilha. O país tinha consciência surda dos seus

problemas educativos e os escassos quadros competentes para a gestão do programa confrontavam-se

com interesses superiores alheios ao projecto. O entendimento de que a educação e a formação são

indispensáveis para mais igualdade e justiça, podendo atenuar a reprodução das desigualdades de

geração em geração e do seu papel decisivo na construção de uma sociedade mais moderna e

competitiva, com mais cidadania, levou o Governo a atribuir particular importância à educação básica,

mas neste âmbito falhou ou foi insuficiente na formação e actualização do professor como principal

executor do projecto. Reforma educativa não é sinónima de melhoria da educação.

 

A melhoria acontece o tempo todo; a reforma educativa exige confrontar as estruturas, a filosofia ou a

governabilidade tradicionais. Isso envolve riscos político e social. A construção aleatória de

estabelecimentos escolares, por si só não garantem a suficiência da reforma do ensino porque também

concorrem forças exógenas sobre as quais o sistema educacional não tem nenhum controlo. A expansão

do ensino privado não foi acautelada, introduzindo forças mercadológicas no mercado de trabalho,

tornando insustentáveis as velhas estruturas de gestão do ensino.

 

  A expressão ‘reforma educativa’ tem sido usada com tamanha frequência e sem cuidado que acabou por

se desvalorizar. Mas se usarmos a expressão na acepção que pretendemos, com o significado de desafio

às estruturas tradicionais, então ela é mais séria e mais densa. Países cujos sistemas educacionais foram

‘feridos’ podem fazer uma genuína reforma educativa se três pontos forem considerados:

(1) Consenso de todos os partidos políticos em torno da direcção da reforma educativa. É impossível

promover uma verdadeira reforma se esta for impedida sempre que ocorrer uma nova eleição.

(2) Paciência para aguardar os resultados. As grandes reformas demoram pelo menos uma década. Os

líderes políticos não devem enganar o público sobre como ‘eles’ modificarão o sistema. O sistema será

mudado aos poucos se houver apoio dos vários e diferentes sectores. É importante que os líderes

políticos sejam honestos sobre o tempo necessário para a realização de uma genuína reforma educativa.

(3) Maiores recursos. Embora os recursos financeiros não sejam, na verdade, o único determinante da

eficácia educacional, o facto é que há necessidade de um patamar mínimo de recursos se um país

pretende competir com as democracias mais avançadas. Isso implicará no aumento proporcional dos

investimentos em educação em muitos países de média e baixa renda. Ademais, esse novo investimento

deve manter-se ao longo do tempo, e não ser feito por apenas um ou dois anos. Na China, o aumento no

investimento em educação na última década foi de 1% acima do índice de crescimento económico. Por

exemplo, se o crescimento económico é de 6% num determinado ano, o investimento público em

educação é de 7% para aquele ano.

Entre as cinco fases que compreendem o processo de reforma do sistema educativo, consta a segunda

na qual previa-se a experimentação dos novos currículos escolares, planos de estudo, programas e

matérias pedagógicas, enquanto a terceira fase, que começaria em 2006, dedicada à avaliação e

correcção, com base nos dados que fossem recolhidos na fase experimental. Do meu ponto de vista,

estas fases careceram de ‘olheiros’ para as devidas emendas, perante supostos imprevistos locais que

culminaram em assimetrias estruturais de difícil reparação. Com o elevado número de localidades que

integraram-se na tutela da administração do estado, depois do cessar fogo, a reforma educativa nacional

em Angola é, sem dúvida, complexa. As mudanças são colocadas em prática de maneira diferente em

áreas diferentes do país.

Em alguns casos, os testes que verificam a alfabetização ou as habilidades matemáticas têm valores e

interpretações diferentes. Os padrões diferem e, é claro, as populações também são diferentes. As

diferenças dos desafios são profundas. Por outro lado, essas diferenças às vezes geram competição, e a

competição pode gerar inovação e mudanças saudáveis. Os professores deveriam poder optar por

transferir-se para a periferia com escassez de docentes em resposta a aumentos salariais e outros

incentivos. As ideias de reforma do ensino deveriam ser negociadas e anunciadas como incentivos a fim

de atrair novos negócios para uma área.

miguelfilho2002@yahoo.com.br

O processo da Reforma Educativa em Angola

1.1. Percurso e justificação da Reforma

A reflexão que fazemos aqui refere-se de forma sintética ao historial da 2ª REA

e aos motivos que a impulsionaram. Não será exaustiva sobre todos os

factores que a precederam, por não se tratar de uma dissertação com

preocupações essencialmente diacrónicas, mas faremos um enquadramento

sumário dos aspectos mais relevantes do ensino em Angola no período pós-

independência até à concepção e implementação da 2ª REA. Porém, não o

faremos sem antes avançarmos com uma breve análise do conceito de

reforma, no âmbito educacional, para facilitar a nossa compreensão e

enquadramento teórico no assunto.

O conceito de reforma encerra em si, significados diversos. Por isso, também

levanta muitas especulações e pontos-de-vista diversos. Na sua epistemologia,

é quase sempre interpretado como uma mudança benévola ao sistema de

ensino, o que pode também não ser.

Considerando o lado positivo do termo o Diccionário de las Ciências de la

Educación define reforma como:

mudanças profundas na política educativa de um país, que devem ser

traçadas independente das crises políticas dos governos, devem ter o

sentido de continuidade e estar enquadradas dentro de uma visão prognóstica

sobre o futuro da sociedade a que se referem. As reformas educativas não

rompem bruscamente com o lastro cultural ou histórico, mas requerem uma

grande dose de inovações, com vistas à melhoria da qualidade de ensino,

sua extensão e generalização5. (Obs.: negrito nosso)

Outros autores consultados (Jorge:1996, Popkewitz:1997, Candau: 1998,

Goodson:1999) atribuem à ideia de reforma um cunho democrático assente

nas posições assumidas pelos vários actores da sociedade e podem ser

referendadas.

Para o caso angolano estas abordagens são aplicáveis parcialmente aos

aspectos em negrito, com objecções, no que a democraticidade diz respeito,

pois de acordo com a Lei 13/2001, cabe somente ao Estado, definir, aplicar,

gerir, e supervisionar a educação.

Para além disso, entendemos que a reforma nem sempre é uma mudança

positiva mas sim, uma redefinição das prioridades, objectivos, estratégias

educacionais que podem ou não resultar em qualidade de ensino, daí também

as anotações acima.

Historicamente, o que aconteceu em Angola após a independência em 1975 foi

a promulgação da 1ª Reforma Educativa em 1976, que visou extinguir o ensino

colonial e implantar o regime nacional dado que os conteúdos eram então

ideologicamente carregados e desadequados do contexto e das necessidades

da época.

Porém, só em 1986, depois de largos onze anos, se colheram e analisaram os

frutos de um sistema mal implantado: fraco aproveitamento escolar decorrente

de problemas como; material didáctico inadequado e insuficiente, poucos

professores qualificados, escolas deploráveis, recursos humanos e financeiros

insuficientes, etc., o que obrigou o poder político a orientar a aplicação de um

Diagnóstico que confirmou a gravidade do assunto.

Na sequência deste processo foi elaborado um ante-projecto de Lei Geral de

Escolaridade, mas que não teve avanços consideráveis, devido às mutações

no contexto nacional angolano, consubstanciadas na adopção do pluralismo do

sistema político e da economia de mercado, o que forçou reajustes pontuais.

Posto isso, realizou-se em 1993 uma mesa redonda, sobre o ante-projecto de

Lei de Bases do Sistema de Educação, sequência lógica do anterior, que

procedeu à recolha de novos contributos, de acordo com o contexto nacional.

O desfecho da mesa redonda foi a aprovação pela Assembleia Nacional, da Lei

13/01 de 31de Dezembro 2001, que consagrou as Bases do Novo Sistema de

Educação, passando estas a constituir o fundamento principal das actividades

realizadas, posteriormente, no quadro da 2ª REA.

Em 2004 começou a vigorar o novo Sistema de Ensino, distribuído em cinco

fases, a título experimental, cujo término está agendado para 2012, altura em

que se fará um balanço geral.

O processo de implementação progressiva da 2ª RE A pode ser visto ao

pormenor no Anexo:1.

(I) Objectivos da reforma educativa na óptica do governo

Os grandes objectivos da reforma educativa são a “expansão da rede escolar,

a melhoria da qualidade de ensino, o reforço da eficácia do sistema de

educação e a equidade do sistema de educação” (INIDE, 2009). Tomando em

consideração estes objectivos, no âmbito deste estudo, interessa realçar os

seguintes aspectos:

No que diz respeito à “expansão escolar”:

a). “Universalização da classe de iniciação e do ensino primário de seis

classes;

b.) Introdução e generalização da carta escolar do ensino primário e

secundário;

c.) Integração das crianças com necessidades educativas especiais no sistema

nacional de ensino” (INIDE, 2009).

Em relação à “melhoria da qualidade de ensino”:

a.) “Reformulação, em profundidade, dos objectivos gerais da educação,

programas

escolares, conteúdos, métodos pedagógicos, estruturas e meios pedagógicos

adequados à realidade angolana;

b.) Melhoria das aprendizagens e enquadramento pedagógico dos alunos;

c.) Formação inicial e em exercício dos professores;

d.) Modernização e reforço da inspecção escolar;

e.) Melhoria da qualidade e quantidade de manuais escolares;

f.) Melhoria do trabalho metodológico e do processo docente-educativo das

escolas;

g.) Garantia da participação da comunidade nos trabalhos da escola, isto é, da

relação entre a escola e a comunidade” (INIDE, 2009).

Quanto ao “reforço da eficácia do sistema de educação”:

a.) “Construção de um sistema de monitoria e avaliação dos resultados do

processo ensino-aprendizagem;

b.) Melhoria do sistema de informação para a gestão educativa;

c.) Formação de gestores escolares;

d.) Melhoria na circulação de informação dos dados do processo e

ensinoaprendizagem” (INIDE, 2009).

Em relação à “equidade dos sistema de educação”:

a.) “Garantia da igualdade de oportunidades a todos os cidadãos através de um

ensino primário de qualidade, atingindo particularmente as classes mais

desfavorecidas;

b.) Redução das disparidades de género, atingindo particularmente os

portadores de deficiências psicossomáticas e as assimetrias regionais no

acesso à educação” (INIDE, 2009).

Ministro da Educação esclarece vantagens da monodocência19-09-2011 | Fonte: Angop

O ministro da Educação, MPinda Simão, esclareceu hoje, nessa cidade, as vantagens que o sistema da monodocência oferece na aprendizagem dos alunos. Falando no programa “Espaço Público” da Televisão Pública de Angola (TPA), emitido no canal 1, aos domingos, o governante esclareceu que no ensino primário, o sistema é assegurado por um único professor em todas as disciplinas e classes.

O ministro MPinda Simão lembrou que a 5ª e a 6ª classes entraram para o sistema da monodocência a partir de 2008, mas a sua execução começou anos depois.

Essas classes, enfatizou, têm nove disciplinas que, em princípio, devem ser asseguradas

por um mesmo professor.

A ideia, esclareceu o governante, é de que o mesmo professor apanha os alunos na 1ª classe, familiariza-se e evolui com os mesmos, conhece as suas, dificuldades, potencialidades e continua com eles até ao fim do ensino do ciclo primário.

Segundo o governante, os resultados que são indicados pelo menos na fase de experimentação onde o trabalho foi desenvolvido, indicam que terá havido algumas dificuldades em relação a alguns professores.

"A 5ª e 6ª classe da escola primária, não é o mesmo do sistema antigo. A 5ª e 6ª do sistema antigo era o início do ensino secundário, enquanto que a 5ª e 6ª classes actuais é o fim do ensino primário", esclareceu.

Durante a sua alocução, o ministro MPinda Simão fez referência ainda a reforma educativa, a problemática da merenda escolar e de falta de laboratórios em algumas instituições de ensino.

Quanto à reforma educativa, ressaltou a existência, no país, de 53 mil salas de aulas para seis milhões e 58 mil alunos, que normalmente são repartidos em 2/3 turnos, reconhecendo haver ainda um défice em termos de capacidade de atendimento.

Sobre a merenda escolar, precisou que a determinado momento verificou-se que era necessário, mas a experiência demonstrou que o seu custo terá evoluído bastante, exemplificando que inicialmente a despesa era de um terço de dólares americanos por dia para cada aluno. 

Share on email Enviar artigo por e-mailComentáriosChiluambo : A questao do ensino em Angola é e sera sempre um problema, porque nao me podem dizer que o ensino emplementado é melhor do que o de antes. Por que se assim for justificam a ignorancia culpavel da pratica a nivel de execussao na realizaçao de muitas tarefas. ora, vejamos o seguinte: a questao da reforma de onde partiu, e neste lugar como vai? se bem, auguramo-vos; se mal, porque resistir a um mal; se nao mais existe, compreendemos porque que nao suportais os que defendem o contrario. O problema maior é que ainda pensais que "a saia transparente ainda é opaca ou translucida". Nao! se era, foi fruto de uma ignorancia nao culpavel, agora nao, porque o que é,é, e o que nao é, nao é. "A humildade e a simplicidade, sempre serao virtudes que dignificarao os homens". Esta frase para nòs pode ser bela para os outrs amedronta. Façamos este esforço para sermos um pouco também nòs mesmos. Até aproxima.Chiluambo : A questao do ensino em Angola é e sera sempre um problema, porque nao me podem dizer que o ensino emplementado é melhor do que o de antes. Por que se assim for justificam a ignorancia culpavel da pratica a nivel de execussao na realizaçao de muitas tarefas. ora, vejamos o seguinte: a questao da reforma de onde partiu, e neste lugar como vai? se bem, auguramo-vos; se mal, porque resistir a um mal; se nao mais existe, compreendemos porque que nao suportais os que defendem o contrario. O problema maior é que ainda pensais que "a saia transparente ainda é opaca ou translucida". Nao! se era, foi fruto de uma ignorancia nao culpavel, agora nao, porque o que é,é, e o que nao é, nao é. "A humildade e a simplicidade, sempre serao virtudes que dignificarao os homens". Esta frase para nòs pode ser bela para os outrs amedronta. Façamos este esforço para sermos um pouco também nòs mesmos. Até aproxima.Educador : acompanhei com muita atenção a entrevista do sr. Ministro e Deselho os meus parabéns. Responde com clareza as perguntas, fiquei muito esclarecido dos maus entedidos pela reforma educativa em angola. o sr. trouxe dados concretos sobre a evolução da reforma por isso és a pessoa certa no lugar certo. sou professor a mais de 20 anos e eu sei que o sistema anterior não foi compatível. Reconheço que temos colegas que tenhem vontade de melhorar A Qualidade de ensino mais que falta boas condições tanto salarial como laborais. Nisto exige se uma boa preparação de docentes para este plano ambicioso de longo prazo. caros colegas a reforma não é do sr. Ministro mas é uma necessidade actual do nosso país, pois devemos nos adaptar com o plano da Unesco usado a nível Mundial e não termos plano particular que não nos benefícios e parabens ao nosso Governo e principalmente a nação angolana que esta apostada para melhoria das suas qualidades de ensino.mais uma vez Osr. Ministro nesta entrevista provaste sua capacidade e competencia , para min tiveste nota 10 força angolaNtu Mitangwa Mazakaleki (LUANDA): So vejo enormes vantagens na introdução de monodocencia, nas nossas escolas.E mais , gostaria que o estado,realizasse exames estadual, na passagem de níveis,ate a universidade.

Conchita de Mascarenhas (Sumbe): Os tugas estão a fazer de Angola Laboratório da sua próxima "reforma". A seguir, vão pôr só um professor no antigo ensino preparatório. Estamos cá para ver...Serafim Quintino (serafimquintino@yahoo.com): Desculpe-me caros internautas comentar um artigo sem lê-lo primeiro. A primeira vez que o faço. Mas dessa vez tenho que fazê-lo, por uma razão muito simples... Não há vantagem nenhuma que supere a vontade popular. Se os professores disseram que o modelo não funciona para que insitir? Aprendam a ouvir o povo, por favor! O que é que custa ouvir a opnião dos governados?!the star : Nosso Ministro investe na Educação,facto que os Tugas nunca investiram no Passado.Pois não gostam de estudar,devido a isso os Tugas são os Analfabetos da Europa.Malanjino : É melhor ficarmos na monodocência, que que aceitarmos professores de fora.Universitário : Agradeço aos esforços do Sr. Ministro. Tambem deveria mexer na elaboração e correção das provas nas classes do ensino secondário feitos pelos mesmos professores o que promoveu a subida de gasosa entre os fracos alunos e professores assim baixar a qualidade do ensino. No meu ponto de vista, se podemos mudar isso, a qualidade do ensino vai melhorar muito rapido porque os alunos vao ser obligado a assimilar a materia quando nao sabe quem vai corrigir as provas e quem vai elaborar e localidade das mesmas. Para esclarecer isso, deveria ter um orgão do ministerio da educação situado na cidade capital do país que elebora e faz a correção dos mesmos e emite os certificados cobrindo todo país com a mesma exame em cada classe. Só assim que vamos promover a qualidade do ensino em Angola o que está muito baixo de momentoJIKULAMESSO : Simão MPinda não está trazendo novidades para os angolanos. O sistema de ensino que está sendo adotado em Angola por senhor Mpinda é o mesmo que é aplicado na República Democrática do Congo. Nós povos não queremos cópias de modelos que não correspondem com a realidade cultural do nosso país. 5ª e 6ª classes devem ficar como antes eram, tudo separado. Um professor só não consegue dar conta de todas disciplinas, porque os assuntos destas classes são mais complexos e pesados do que se imagina. Os nossos professores não estão ainda bem preparados para aguentar uma carga de nove disciplinas que vão se complicando a medida que vai se elevando o nível escolar. Além disso, esta forma de monoeducação pode trazer muitas dificuladades de adaptação ede aprendizagem do aluno, uma vez que não haja boas relações entre professor e aluno. É muito ruim começar a 1ª classe até 6ª classe vendo a mesma cara do professor, e o professor vendo a mesma cara de alunos, tem alunos que não aguentam, aí acabam desistindo da escola ou acabam tendo notas péssimas. Mpinda volte a nossa 5ª e 6ª classe como era antes, pois não queremos o modelo zairense em Angola.ROTEADORES E SWITCHES CISCO (Luanda): TEMOS PARA ENTREGA IMEDIATA ROTEADORES, SWITCHES E VARIOS EQUIPAMENTOS CISCO. 919262925.Telas Rocket (algures): Ao meu entender esta reforma veio apenas tornar inpossivel o processo de angolanisacao e formacao de quadros para todos os niveis em especial o da tecnologia...mutilando os mais novos.

Reforma educativa prejudicou sistema de ensino em Angola25-02-2010 | Fonte: TPA

“É necessário divulgar mais a história de Angola”, defende o historiador Fernando Gamboa, falando ao Programa Informativo «Grande Entrevista» da Televisão Pública de Angola (TPA). 

O historiador considera que esta é única maneira que as novas gerações têm para conhecer mas, os mais nobres valores da Nação e suas figuras. 

Para o também professor de história da Universidade Agostinho Neto, a «Reforma Educativa» veio prejudicar mais o sistema de ensino. “Essa reforma não veio ajudar em

nada, quase que só piorou”, lamentou Fernando Gamboa. 

Segundo ainda o professor, alguns cursos no ISCED deixaram de falar da história de Angola, o que considerou de perigoso, tendo em conta o passado do país. “É necessário até dar mais história de Angola nas universidades e nas escolas, tudo porque é necessário formar mais especialistas em história de Angola” – aconselhou. 

Share on email Enviar artigo por e-mailComentáriosLcanz (leohfmmgmggkk): jfrlkgkkgAnónimo (Luanda): acho que tocaram na questão mais evidente, esta reforma é uma deforma da educação, no primeiro ciclo burro como não é só transitar de classe onde é que se viu isso? só em angola onde os governantes...Irmão Angolano : É uma pena porque agora o professor tem de fazer aprovar mais de 60% dos alunos mesmo sem eles terem condições para aprovarCharles Guia (Cambambe/Dondo): Nota-se que desde q foi istituida a reforma educativa tem tido sentido a utilizaçao das novas metodologias de ensino.Mais acontece que a Reforma foi criada por cima das más condiçoes escolares.Onde ja se viu um Istituto Médio Politecnico sem nemhum meio que o identifica que é Politecnico??? Ajudem-nos por favor nao tem tido sentido a nossa formaçao.É lamentavel...Luzibulo Messo (Uige): Cientes,Devemos aprender a dimensionar as nossas expressões tanto nas nossas afirmações como nas nossas críticas ver nos nossos comentários. Existêm normas científicas para o efeito.Sério, há grandes preocupações na educação que os proprios responsabilizados para resolvê-las não querem enfrentar. Imagine que afirmo que esse sector que é tão sensível carece de Inspectores. Até no Uige, o sector de Educação não tem nenhum acordo com o ISCED que pode ajudar na organização e melhoria do ensino na provincia. Os professores qualificados do ISCED podem capacitar os outros, mas não há nenhuma meta. É triste observar isso.De facto, a reforma tem as suas exigências e os professores não foram e não estão viabilizados para efeito. Imagine há novas normas mas o professor continua a ensinar com o seu caderno que data de 1978 pelos cubanos...HFreitas (hfreitas@ult.edu.cu): Não diria o mesmo. Se pensamos em mudança porque não saimos para ver o que fazem os outros? Sim a reforma educativa, mas temos muito que aprender para que tal facto seja o orgulho dos angolanos. Sim a introdução de vovas Disciplinas, mas não nos esqueçamos de formar homens(professores) capazes de sustentar novas areas de conhecimento. Estudantes Angolanos não cunhecem nada sobre a Hitória de Angola(Digo estudantes Universitario) Por exemplo: Em Cuba até uma criança com apenas 6 anos sabe que o primeiro presidante de Angola se chama Agostinho Neto. Em Angola é possivel que se faça isso também. A vontade de querer, satisfaz o poder de ter. O pior sego é aquele que finge que não quer ver. Temos que mudar para que todos se orgulhem de Angola não pelo petroleo que exportamos, mas por um sistema educativo capaz de formar individuos multifaceticos ou um homem capaz de responder as exigencias que nos impoem o seculo XXI.O PRO : ALELUIA DERAM CONTA PENSEI QUE DEMORARIAM 100 ANOS PRA FALAR DE UMA COISA TAO EVIDENTA.Não interessa : A pior reforma nem é a dos livros, é a dos edifícios! Qualquer dia até a fortaleza vai abaixo para construir uma torre. E aí, onde fica a história de Angola? Acho que não vai ser possível passar directamente de Mandume, Nzinga, para Novembro de 1975.Opro : ENQUANTO UNS PROCURAM A LUZ DO TRATADO DE BOLONHA SIMPLIFICAR O SEU SISTEMA EDUCATIVO, OUTROS PROCURAM COMPLICAR O SEU SISTEMA A LUZ DE SEI LÁ O QUE. É NATURAL QUE AS COISAS EM ANGOLA CORRAM MAL, NUM PAÍS EM QUE OS ESPECIALISTAS NÃO TEM DIREITO A PALAVRA E, QUANDO FALAM SÃO CHAMADOS A DNIC... AS COISAS SÓ PODEM ANDAR DESSE JEITOAnónimo : Saiba como investir no mercado de capitais, seja como muitos que hj fazem 50usd, 100usd, 500usd 1000usd ou mais por dia apartir de casa, basta ter internet, contacte paulwhiteshark@yahoo.co.ukPIKA PAU (elemento1124@live.com.pt): estao a mutilar a história de Angola.... Isto é gravissimoJoca (Luanda): Bombas de combustivel contentorizadas, vendas a partir da fabrica, contacto jpinto@petropor.commalú (algures em luanda): Só agora é que estão a despertar para o caso h´á muito que sabemos nós o povo que a reforma só prejudicou, que é uma utopia, que os alunmos estão a andar para tráz, que não aprendem nada, que passam sem saber ler ou escrever o próprio nome, fala em história de Angola, não é so essa disciplina, são todas! e Geografia, já para não falar na lingua veicular, ou oficial o português, alguns até no nome dão erros, sabia?pois é e até alunos da universidade. Vamos fazer uma reforma adaptada à nossa realidade, chega de importar modelos de fora, é gastar dinheiro e o resultado é o que estamos a ver 0 (zero).maiato : é facil deitar a culpa nos alunos. passei no tal makarenko e a maior parte dos professores era uma corja de corruptos. os tais que se formaram em cuba. o aluno ja entra no ensino com a consciencia que a corrupção vai lhe salvar da reprovação e de facto tal se confirma. também nao deito a culpa aos professores, o país em que vivemos é dos mais caros a nivel mundial, porque se nao fosse com o salario que os professores angolanos recebem na europa consegue-se viver.Filho Único (Luanda): Professor: Como se escreve a palavra exagero? Com "s" ou com "z". Estudante universitário a perguntar. Não é piada...pura realidade. Sem mais comentários!

helder faria (helderfaria67@hotmail.com): esta bom asimJoao (Luanda): Bombas de combustivel contentorizadas, vendas a partir da fabrica: jpinto@petropor.comMinisterio da Educação : Ao tirarem a 9ºclasse do ensino médio tinham q mandar os professores para esta escolas aonde os alunos tem a 9ºclasse o q não se fez alterou-se o conteudo, retirou-se cadeiras fundamentais como IEOF Desenho técnico nos institutos era dada por enginheiros ou estudantes de arquitectura hoje esta cadeira é dada por professores q leccionavam a disciplina de EVP muitos deles somente com o médio feito esses professores estão com muitas dificuldades para leccionarem o conteudo programatico, a reforma veio prjudicar o nosso ensino quem diz q a reforma veio melhorar o nosso ensino é porque ou nunca estudou ou anda muito distante dos acontecimento das coisas, perguntem em particular aos diretores, coordenadores e professore q leccionaram até 2000 se andam satisfeitos com esta reforma.Burity da Silva : Todos sabem da qualidade e nivel de conhecimento q os aluno do Makarenko e Imel nos anso 90 tinham eram escelentes alunos tudo depois da inplementação da reforma hoje esta qualidade acabou porque na 9ºClasse os alunos tinha Matematica Fisica Quimica Desenho técnico, IEOF esta ultima cadeira q o aluno tinha bases + q suficiente de Electricidade a cadeira de desenho dava todas as bases a estes alunos hoje com a reforma deixou de existir a 9ºClasse nos institutos Médios, o q causa isto hoje os alunos entram já na 10º classe deixaram de ver a cadeira de IEOF, desenho técnico foi entregue aos professores q leccionam EVP, pelo conteudo q vêm nesta cadeira deve ser alguem estudante de arquitectura o engenheiro civil, os professores daqueles tempo são os mesmos problema é q os alunos vêm para o ensino médio mutilados a 9ºClasse nunca devia sair do ensino médio, porque ao tirarem a 9ºClasse não se preparou professores para irem dar a 9º nas escolas do 1ºCicloIRTO LUIS (jorbas@hotmail.com): Eu até não sei como falar! Parece quanto mais se estuda mais burro as pessoas ficam. para um pais que saiu duma guerra, precisa de quadros, essa reforma é bem vinda nesta altura? uma reforma que proíbe o ensino do abecedário que é básico, isso é correcto? grandes trutas!Yuri Lukeny (Reino Unido): Não conheço este Sr > Frenando Gamboa. Não sei que corre o pinta, mas sabe-se que quem aparece na TPA esta pintado com as corres dos montantes do erário público. Isso é realmente triste. Uma Coisa é , também, certo, o países precisam conhecer a fundo sua própria historia. A não fazer, os países muito perdem. No entanto, os estudantes pouco ou nata perdem com isso, pois é tal e qual como o próprio falou : "É necessário formar mais especialistas em história de Angola”. A Historia angolana ou é a que os racistas colonos de um pouco de toda parte escreveram ou a que Eduardo dos Santos possa pensar. Porém os que por um ou por outro motivo ver-se privado das bases da histotia de Angola no século em que vivemos ao será como seria no passado. Por isso nao fazer o em para o países só servira como prova do que não quiseram fazer por Angola. Mas se o pretendido for dar o melhor contributo para o enriquecimento de Angola, dentro desde contexto, façam ao menos assim : dirijam-se ao Brasil e reúnam todas obras de investigação e de real relevância nessa matéria (e que talvez não seja tão vasta assim) , e premeiem as que devam ser premiadas(mas longe da já mui famosa forma de premiar em voga em Angola). Esta ali estão a espera, de serem integradas no ensino angolano. 01h59.Mumbembe : É verdade, essa reforma afundiu o ensino e sem esquecer a saúde angolana.Tudo isso foi o produto do Governo da unidade nacional, onde surgiu alguns ministro que imitaram o sistema do ensino no ex. Zaire, Togo etc..Matumona (Quicolo): A colonização da África iniciou-se com os descobrimentos e com a ocupação das Ilhas Canárias pelos portugueses, no princípio do século XIV. O Processo de ocupação territorial, exploração econômica e domínio político do continente africano por potências européias. Tem início no século XV e estende-se até a metade do século XX. Ligada à expansão marítima européia, a primeira fase do colonialismo africano surge da necessidade de encontrar rotas alternativas para o Oriente e novos mercados produtores e consumidores. No século XIV, exploradores europeus chegaram a África. Através de trocas com alguns chefes locais, os europeus foram capazes de capturar milhões de africanos e de os exportar para vários pontos do mundo naquilo que ficou conhecido como a escravidão. No princípio do século XIX, com a expansão do capitalismo industrial, começa o neocolonialismo no continente africano. As potências europeias desenvolveram uma "corrida à África" massiva e ocuparam a maior parte do continente, criando muitas colônias. Entre outras características, é marcado pelo aparecimento de novas potências concorrentes, como a Alemanha, a Bélgica e a ItáliaAnónimo : Se a reforma educativa prejudicou o ensino, porquê que não foi suspensa? quem a fez e quem a aprovou? foi o Governo ! Então mandem esta para o lixo e façam outra. Escolham gente capaz.dino (mbula-60@hotmail.fr): quem assusta com este comportamento tem q ser umcego a politica dum estrangeiro è de por um povo numa confusao total ate esqueser para onde vai ou saiu como os perdidos de luandaTchamba Palanga (Menongue-K.K): Não gosto muito de dar a minha opinião mais perante uma afirmação como esta, sou obrigado dar. Sincerante não conheço este Professor + não acredito que foi feliz nas suas palavras. Informo-lhe que um dos sistemas educacional de maior prestigio a nivel mundial é o sistema educacional cubanos, certamente que Angola esta adoptar este sistema. É muito cedo para um historiador dizer que este sistema veio piorar a nossa educação, aconselho o Senhor ir se tratar psicologicamente em Cuba. ChauÍCEBERG (Atlântico Norte): O TITANIC e o Lobo são pessoas optimistas mas, neste caso, acabam por fazer figura de parvos. Esta reforma educativa é um grave erro que não se quer adimitir. Está a levar o país para a cova a passos largos. Desde os manuais até a questão das reprovações passando pela

avaliação dos professores. Todo aquele que conheceu o sistema anterior e acompanha de perto este sistema "utópico" inventado por pessoas que angora comandam o ministério, vê claramente a forma como estamos a "matar" o ensino em Angola.Verdade : Todo o sistema educativo de um país deve estar aggiornado e adaptar-se aos contextos. Estar à altura das inovações sem deixar de refletir na sua tradição que lhe serve de base. Nesta ordem de ideias, admira-me que nas mudanças dos sistemas educativos da africa e de Angola, meu país, nunca se reflete com todos os intervenientes na educação. Tudo é concebido nos gabinetes a partir de poucos dados do terreno. Estamos sempre a imitar os sistemas de outros países, vizinhos ou da Europa e a partir daí aplicamos. Resultado, temos uma educação distanciada das necessidades reais do país. Os nossos formados não são capazes de investigar, inovar, formular teorias verificáveis. Temos muitos intelectuais que por medo não conseguem contribuir para o desenvolvimento do país. Em que bases se fundamentou a Reforma educativa em Angola? Que avaliação fizemos do sistema anterior para partirmos para a reforma? Qual foi a contribuição dos sociólogos, pedagogos e dos historiadores no sistema educativo angolano para termos de partir para aí? Não terá sido uma imposição da região e que não se adapta a nossa situação? Não estou contra a Reforma, estou é contra o modo como as reformas são impostas e implementadas. Todo um país forma para os seus cidadãos tendo em conta o contexto e os objectivos a atingir. A minha pergunta é: como assumirmos as directrizes regionais e até mundiais no que diz respeito ao ensino a fim de que eles sirvam para o desenvolvimento dos angolanos? Não seria bom analisar com profundidade, preparar os meios humanos e técnicos antes de partir para tais reformas? Vemos uma grande diferença entre as exigencias da inovações nos sistema de educação: Primeiro se opta para a reforma depois é que nos preocupamos com a formação do actor principal de ensino que é o professor. Creio que colocamos muitas vezes a carroça em frente dos bois e os alunos acabam por ser os mais prejudicados. O professor domina mal o novo sistema que lhe é imposto e o aluno é obrigado a aceitar tudo, pois o único meio que ele tem de informação e formação é o professor. A falta de bibliotecas, de meios informaticos é uma grande dificiencia. Falar de reformas sem meios é um erro e um grande sonho. É pairar nas nuvenstijesus da mabele (quartel general): não gosto de portugues. Fora de angola.FALA A VERDADE (MARROCOS): Perfeitamente Sr. Gamboa uma sociedade africana em particular « Angolana » , os valores culturais devem ser implementados em todos os ciclos (niveis) escolar e serem bem praticados. Os valores culturais estâo associados a historia de Angola e nos permite de nos identificar « como africano e angolano ». Os valores modernos nâo podem servir de meios para apagar ou derrubar os nossos valores de origem, mais, sim tem que haver uma harmonizaçao entre eles. Aproveito dizer a camada juvenil e nâo so, para darem o pleno valor nas suas « Linguas maternas- nacionais » e as praticarem visto q hoje em dia as nossas linguas maternas, estâo a perder as suas forças a cada dia q passa por causa da nossa mal apreciaçâo e ignorançia naquilo q nos identifica. Por outro lado, « Governantes de Angola, o nosso Pais xta se perdendo e retardando… apostem mais no « Capital humano », na formaçao dos Jovens, pois é com eles que Angola precisa densenvolver.Bento Bié (Lisboa): Claro, com a escola, os jovens cidadãos vão ser mais productivos, mais trabalhadores, menos corruptos, haverá mais técnicos, mais engenheiros, mais arquitectos, mais médicos.... Angola será mais tecnológica, mais voltada para FUTURO... Mais moderna, mais civilizada, mais democrática... menos racista, haverá menos odios internos... Enfim... Todos os países que vivem com os olhos postos no passado, por mais heróico, mais glorioso que tivesse sido, são hoje os mais atrazados. Portugal por se ter sustentado do passado, ainda agora, pois tem dificuldade em se manter ao nível europeu. Há que ensinar a História, mas que esta não ocupe o espaço do essencial que é a matemática, a física e tudo o que ajude o país a caminhar para o futuro. Que haja um espírito mais laborioso, mais engenhoso, mais profissional em tudo o que é produção, de qualidade e de rigor.lobo (lobo): Acho que alguns estudiosos andam a se emocionar demais quando lhes dam oportunidade para falar na rádio ou televisão. Acho que é mesmo grade considerar a reforme um projecto falhado. tenho que concordar que muito há de se melhorar sobretudo a qualidade dos professores do ensino primário pois o segredo deste sistema de ensino está na base e não no topo. Portanto, considero infelizes aqueles que acham que o projecto é nada... Deve-se incentivar os professores do ensino primário com mais salários e melhores condições de trabalho e veremos como a reforma é benefica. hoje nem tanto mas é um projecto promissorfd-uige : Sr. Titanic, seria bom apontar as vantagens da reforma do ensino. eu estou de acordo sim com o gamboa porque estou dentro deste sistema vigente onde até existe uma orientação em que no fim do ano todo aluno passa sabendo como não sabendo.Peixe na água (Cabinda): Concordo Com Sr. Gamboa a reforma educativo prejudicou o sistema de ensino.Aonde já se viu há classes que os alunos não reprovam .O aluno so vai na escola se sabe ou não importante é so frenquentar as aula no fim do ano Apto ou Aprovado é um fracasso .Anónimo : Estou de acordo com o Senhor historiador. A reforma está a prejudicar.Punheta (na casa de banho): A ideia deles é de fazer um país sem memória. um país de alíenados, um país de loucos e acima de tudo um país de burros!!! Porque para uns certos camaradas a nossa história começa apenas apartir de 22 de fevereiro de 2002. Ainda bem que eu já num stou lá!!!TITANIC (Luanda): Dizer que a Reforma educativa veio prejudicar o nosso ensino é muito grave sr Fernando Gamboa. O sr é o unico e mais esclarecido e o mais iluminado que o pais tem para deitar abaixo um programa tao sério que o Governo tem? Que seja necessario melhorar a reforma, estou de acordo; mas desprezar o esforço duma naçao inteira que se està mobilizando no sentido de melhorar a

qualidade de ensino com afirmaçoes grotescas e irresponsaveis, isso nao sr Fernando. Sejamos sérios com as nossas declaraçoes publicas.Quer Comentar?

Tarefas alternativas para o ensino e a aprendizagem de funções: análise de uma intervenção no Ensino Médio

 

Alternative tasks for the teaching and the learning of functions: analysis of an intervention in the High School

 

 

Renata Cristina Geromel MeneghettiI; Julyette Priscila RedlingII

IDoutora em Educação Matemática pelo Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista (IGCE-UNESP), Campus Rio Claro, SP. Docente do Instituto de Ciências Matemáticas de Computação da Universidade de São Paulo (ICMC-USP), São Carlos, SP, Brasil IIMestre pelo Programa de Pós-graduação em Educação para Ciência da Faculdade de Ciências da Universidade Estadual Paulista (UNESP), Campus Bauru. No momento da realização do levantamento de dados desta pesquisa era bolsista de iniciação científica (FAPESP) e aluna de graduação do curso de Licenciatura em Ciências Exatas - Habilitação em Matemática, Curso Interunidades: Instituto de Física de São Carlos (IFSC), Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC) e Instituto de Química de São Carlos (IQSC) da Universidade de São Paulo (USP), São Carlos, São Paulo, Brasil

Endereço para correspondência

 

 

RESUMO

Neste artigo focalizamos a aplicação de duas tarefas matemáticas alternativas para o ensino e a aprendizagem de funções, junto a alunos do Ensino Médio. Tais tarefas foram elaboradas levando-se em consideração a seguinte abordagem metodológica: (i) resolução de problemas e/ou investigação matemática e (ii) uma proposta pedagógica que defende o desenvolvimento do conhecimento matemático mediante um equilíbrio entre lógica e intuição. Utilizamos uma abordagem de pesquisa qualitativa (caracterizada como estudo de caso) para analisar o potencial didático-pedagógico deste tipo de metodologia no Ensino Médio. Verificamos que

tarefas, tais como as que serão apresentadas e discutidas neste artigo, favorecem uma aprendizagem mais significativa aos alunos, permitindo-lhes maior compreensão conceitual, e tornam-se ainda mais potentes quando se considera o contexto sócio-cultural dos alunos.

Palavras-chave: Funções. Investigação Matemática. Resolução de Problemas. Proposta Pedagógica. Ensino Médio. Aprendizagem Significativa.

ABSTRACT

In this paper we focus on the application of two mathematical alternative tasks to the teaching and learning of functions with high school students. The tasks were elaborated according to the following methodological approach: (i) Problem Solving and/or mathematics investigation and (ii) a pedagogical proposal, which defends that mathematical knowledge is developed by means of a balance between logic and intuition. We employed a qualitative research approach (characterized as a case study) aimed at analyzing the didactic pedagogical potential of this type of methodology in high school. We found that tasks such as those presented and discussed in this paper provide a more significant learning for the students, allowing a better conceptual understanding, becoming still more powerful when one considers the social-cultural context of the students.

Keywords: Functions. Mathematics Investigation. Problem Solving. Pedagogical Proposal. High School. Meaningful Learning.

 

 

1 Introdução

A Matemática no Ensino Médio, na maioria das vezes, tem sido marcada pela tendência que Fiorentini (1995) denomina de tecnicista, segundo a qual a matemática se reduz a um conjunto de técnicas, regras, algoritmos, sem grande preocupação em fundamentá-los ou justificá-los. Esse autor coloca, ainda, que tal tendência foi marcante no ensino brasileiro de matemática, principalmente no final dos anos 60 até o final dos anos de 70. Entretanto, percebe-se que, nesse nível de ensino, esse é um aspecto que persiste, embora historicamente outras tendências, como a construtivista e a socioetnocultural, tenham surgido no ensino de matemática no Brasil.

Essa percepção é fruto do contato que a primeira autora deste artigo tem tido com o ensino e a aprendizagem de matemática no Ensino Médio, tanto por meio dos estágios supervisionados da disciplina de Prática de Ensino, ministrada pela mesma desde 1996, nos cursos de licenciatura de uma Universidade Pública do Estado de São Paulo, quanto por meio de coordenação de plantões de dúvidas de matemática, oferecidos aos alunos da Educação Básica, durante vários anos, como atividade vinculada ao Centro de Divulgação Cultural e Científica da Universidade de São Paulo (CDCC-USP).

No âmbito geral, as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais, PCN+ Ensino Médio, destacam que, tradicionalmente, no Brasil, o Ensino Médio organizou-se em duas modalidades: (i) a pré-universitária e

(ii) a profissionalizante. A primeira, enfatizando uma divisão disciplinar do aprendizado; a segunda, o treinamento para afazeres práticos (BRASIL, 2002). Entende-se, portanto, que a partir de tais diretrizes, o Ensino Médio passou a ser concebido como parte integrante da Educação Básica, portanto o acesso é direito de todo cidadão.1 O Ensino Médio como complementação da Educação Básica, em qualquer modalidade, tem por missão "[...] preparar para a vida, qualificar para a cidadania e capacitar para o aprendizado permanente, em eventual prosseguimento dos estudos ou diretamente no mundo de trabalho" (BRASIL, 2002, p. 8).

De acordo com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (L.D.B. n. 9.394/96), o Ensino Médio tem como finalidades centrais não apenas a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos durante o nível fundamental, no intuito de garantir a continuidade de estudos, mas também a preparação para o trabalho e para o exercício da cidadania, a formação ética, o desenvolvimento da autonomia intelectual e a compreensão dos processos produtivos.

Nessa definição de propósitos, percebe-se que a escola de hoje não pode mais ficar restrita ao ensino disciplinar, de natureza enciclopédica. De acordo com as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) deve-se considerar um amplo espectro de competências e habilidades a serem desenvolvidas no conjunto das disciplinas.

No que se refere à Matemática, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) enfatizam que "O Ensino Médio precisa desenvolver o saber matemático científico e tecnológico como condição de cidadania e não como prerrogativa de especialistas". (BRASIL, 1999, p. 210). Ao final desse nível, segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio, espera-se que os alunos saibam usar a matemática para resolver problemas do cotidiano, para modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento, que eles compreendam que a matemática é uma ciência com características próprias, que percebam a matemática como um conhecimento social e historicamente construído, e que saibam apreciar a importância da matemática no desenvolvimento científico e tecnológico. (BRASIL, 2006).

Tais fatos exigem novas orientações teóricas e metodológicas para esse nível de ensino. Com intuito de colaborar com outras abordagens metodológicas, e refletir sobre as mesmas, focalizamos, neste artigo, a aplicação de uma metodologia alternativa para o ensino e aprendizagem da Matemática do Ensino Médio. Esta visa proporcionar ao aluno deste nível uma aprendizagem mais significativa dos conceitos matemáticos, em prol de ambos objetivos: (i) a formação do aluno enquanto cidadão e (ii) a preparação para o ensino universitário, buscando propostas didáticas que favoreçam a comunicação e argumentação, compreensão e investigação de problemas, construção de conceitos matemáticos, desenvolvimento de atitudes de aprendizagem e de convívio social. (BRASIL, 1999).

A respeito da passagem do Ensino Médio para o Ensino Universitário, atualmente sabemos que, embora em proporções diferentes, dois instrumentos têm sido fundamentais para o acesso do aluno ao Ensino Superior: osvestibulares e o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM). Esse processo de admissão ao Ensino Superior cria no aluno uma expectativa muito grande com respeito ao Ensino Médio. Levando isso em consideração, propomos trabalhar essa etapa de ensino seguindo uma abordagem diferente da tradicional, porém usando questões dos vestibulares e dos ENEM como ponto de partida, visto que, pelo menos uma parte dos alunos nessa fase, estámotivada para ingressar no Ensino Superior - poder cursar uma faculdade faz parte dos anseios profissionais de muitos desses alunos. Logo, a estratégia metodológica foi de aproveitar esse fator favorável e tentar desenvolver um trabalho alternativo para o Ensino Médio, como segue.

Partindo de questões dos vestibulares (A2 e B3) e dos ENEM, elaboramos algumas tarefas alternativas para o ensino de funções, considerando a seguinte abordagem metodológica: (i) resolução de problemas, e/ou investigações matemática; e (ii) a proposta de Meneghetti (2001) e Meneghetti e Bicudo (2003), na qual se procura desenvolver o conhecimento matemático mediante um equilíbrio entre os aspectos lógico e intuitivo desse conhecimento, em níveis cada vez mais elaborados, num processo dinâmico, que ocorre de forma espiral.

Na resolução de problemas o conteúdo a ser aprendido pode ser iniciado por meio de um problema desafio (ou um conjunto de problemas deste tipo), devendo ocorrer uma construção interiorizada do conhecimento a ser adquirido. (GAZIRE, 1988). Nas atividades investigativas é importante apresentar aos alunos um conjunto de propostas de trabalho interessantes, que envolvam conceitos matemáticos fundamentais e lhes ofereçam oportunidades para experimentar, discutir, formular, conjeturar, generalizar, provar, comunicar as suas ideias e tomar decisões. (SERRAZINA et al., 2002).

Por tarefa entende-se, segundo Ponte et al. (1997), uma dada situação de aprendizagem proposta pelo professor - problemas, investigações, exercícios etc. - a qual aponta para certo conteúdo matemático, e que proporciona o ponto de partida para o desenvolvimento da atividade matemática. O termo atividade é designado, por esses autores, como sendo aquilo que o aluno faz num dado contexto, ou seja, suas ações na execução de determinada tarefa.

Neste artigo focalizamos a aplicação de duas dessas tarefas, visando investigar a viabilidade de tal proposta, do ponto de vista didático-pedagógico para o Ensino Médio. Especificamente, no caso tratado, abordamos o tema funções. Com isso, nosso propósito passou a ser o de avaliar os principais aspectos referentes à estruturação das tarefas elaboradas para o ensino de funções, com o intuito de verificar se as mesmas proporcionariam aos alunos uma aprendizagem mais significativa dos conceitos envolvidos.

No que segue, apresentamos as considerações teóricas que fundamentam esta pesquisa, que são referentes ao Ensino Médio, ao ensino de funções, às tarefas de cunho investigativo, à proposta pedagógica utilizada e à aprendizagem significativa. Depois, abordamos os aspectos metodológicos desta investigação, em seguida, há uma descrição do material empregado e de sua aplicação. Por fim, analisamos a aplicação efetuada e traçamos alguns resultados.

 

2 Algumas considerações referentes à matemática no Ensino Médio

Os PCN (BRASIL, 1999, p. 111) afirmam que "o conhecimento matemático é necessário em uma grande variedade de situações, como apoio a outras áreas do conhecimento, sendo também instrumento para lidar com situações cotidianas, ou como forma de desenvolver habilidades de pensamento". No Ensino Médio, etapa final da Educação Básica, a Matemática deve ser compreendida como uma parcela do conhecimento humano, essencial para a formação de todos os jovens, proporcionando a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo da vida social e profissional.

Ainda, segundo esses parâmetros, nessa etapa da escolaridade, a matemática vai além de seu caráter instrumental, colocando-se como ciência, com características próprias de investigação e de linguagem e com papel integrador importante junto às demais Ciências da Natureza. Aprender matemática de uma forma

contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são fundamentalmente formadoras, à medida que familiarizam o aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar, entre outras ações necessárias à sua formação.

As atuais Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006) destacam que a forma de trabalhar os conteúdos matemáticos deve, sempre, agregar um valor formativo no que diz respeito ao desenvolvimento do pensamento matemático. Isso significa colocar os alunos em um processo de aprendizagem que valorize o raciocínio matemático.

[...] parte-se do princípio de que toda situação de ensino e aprendizagem deve agregar o desenvolvimento de habilidades que caracterizem o "pensar matematicamente". Nesse sentido, é preciso dar prioridade à qualidade do processo e não à quantidade de conteúdos a serem trabalhados. A escolha de conteúdos deve ser cuidadosa e criteriosa, propiciando ao aluno um "fazer matemático" por meio de um processo investigativo que o auxilie na apropriação de conhecimento. (BRASIL, 2006, p.70).

Segundo a Proposta Curricular (SÃO PAULO, 1991), há duas vertentes básicas, amplamente difundidas, a partir das quais se justifica a inclusão da Matemática nos currículos escolares: (a) ela é necessária em ações práticas que envolvem aspectos quantitativos e (b) desenvolve o raciocínio lógico, a capacidade de abstrair, generalizar, projetar aquilo que é imediatamente sensível.

No entanto, tal proposta ainda salienta que não é tão simples entrar em um acordo sobre o modo como um currículo deve ser estruturado para que tais objetivos sejam alcançados. Assim, algumas vezes, uma ênfase exagerada em aspectos práticos pode não ultrapassar o senso comum. Outras vezes, pretende-se o desenvolvimento das estruturas lógicas do pensamento através de caminhos tão formais e tão distanciados de qualquer significado imediato que o ensino de matemática parece apenas um efetivo exercício para o desenvolvimento do raciocínio.

Esses dois aspectos são, de fato, componentes básicos e essenciais no currículo, não sendo, contudo, qualquer um deles suficiente para caracterizar o papel que a matemática deve desempenhar. Para o entendimento da função desempenhada pela matemática no currículo, aplicações práticas e desenvolvimento do raciocínio devem ser considerados elementos inseparáveis. Conseguir uma situação de equilíbrio é a maior e mais difícil tarefa do professor de matemática.

A Proposta Curricular atual (SÃO PAULO, 2008) relata que a Matemática é considerada um meio para o desenvolvimento de competências, tais como, a capacidade de expressão pessoal, de compreensão de fenômenos, de argumentação, de tomada de decisões conscientes e refletidas e de problematização e assimilação dos conteúdos estudados em diferentes contextos.

As orientações presentes nessa última Proposta Curricular não podem ser compreendidas como algo fechado e inflexível. A organização curricular, como é apresentada, tem o objetivo de estabelecer uma articulação de conteúdos, entre as diversas formas possíveis. Assim, espera-se que, com a abordagem dos conteúdos sugerida para a grade curricular, sejam privilegiadas algumas ideias fundamentais, de natureza transdisciplinar, que servirão de intermediárias na mobilização das temáticas para o desenvolvimento das competências pessoais dos alunos, bem como para a construção dos significados dos conteúdos estudados. (SÃO PAULO, 2008).

2.1 Algumas considerações sobre o ensino e a aprendizagem de Função

No Ensino Médio, o tema Função aparece como um conteúdo vinculado à Álgebra. Sobre essa última, Alonso e Moraes (2003) enfatizam que o deve constituir uma forma de refletir aspectos da realidade, isto é, de compreender e descrever os movimentos da vida. Porém, estes autores salientam que o modo como os professores vêm trabalhando os conceitos algébricos em sala de aula, dando maior importância ao formalismo, ao rigor matemático, à memorização, à repetição dos conteúdos, e às fórmulas, ao invés de transferir o cotidiano dos alunos para a sala, faz com que os conceitos algébricos acabem se tornando de difícil entendimento para os alunos.

Segundo Fiorentini, Miorin e Miguel (1993), tradicionalmente o ensino de álgebra se sustenta na crença de que o pensamento algébrico somente manifesta-se e desenvolve-se a partir do cálculo literal. No entanto, essa relação de subordinação do pensamento algébrico à linguagem desconsidera o fato de que a linguagem algébrica é, também, resultado de uma forma especial de pensamento e de leitura do mundo, não se reduzindo somente a um instrumento técnico-formal para facilitar a resolução de certos problemas. Na busca por uma caracterização do pensamento algébrico, esses autores concluem que não existe uma única forma de se expressar o pensamento algébrico. Embora essa forma de pensamento se manifeste em todos os campos da matemática e de outras áreas do conhecimento, tal manifestação não significa, apenas, a aplicação da álgebra no sentido instrumental. Mais do que isso, o pensamento algébrico está na base da construção e da compreensão desses campos e áreas. Por fim, esses autores indicam como elementos caracterizadores do pensamento algébrico: a percepção de regularidades e de aspectos invariantes, as tentativas de expressar ou explicitar a estrutura de uma situação-problema e o processo de generalização. 

Para Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2005) a realização de tarefas exploratório-investigativas visa levar os alunos a pensar de maneira genérica, percebendo regularidades e explicitando-as através de expressões matemáticas. Esta pode ser uma alternativa poderosa para o desenvolvimento inter-relacionado do pensamento e da linguagem algébrica dos alunos, caracterizando este tipo de atividade como mais uma concepção de educação algébrica. Por tarefas exploratório-investigativas esses autores entendem aquelas que tendem a ser mais livres e menos sistemáticas que as demais, usadas para introduzir um novo tema de estudo ou para problematizar e produzir significados a um conceito matemático, permitindo, aos alunos, várias alternativas de exploração e investigação.

Os PCN (BRASIL, 1999) colocam que a Álgebra, na vivência cotidiana, se apresenta com grande importância enquanto linguagem, como na variedade de gráficos presentes diariamente nos noticiários e jornais, e, também, enquanto instrumento de cálculos de natureza financeira e prática, em geral. No Ensino Médio, esse tema aborda números e variáveis em conjuntos infinitos e quase sempre contínuos, no sentido de serem completos. Os objetos de estudo são os campos numéricos dos números reais e, eventualmente, os números complexos, as funções e as equações de variáveis ou incógnitas reais. Os procedimentos básicos desse tema se referem a calcular, resolver, identificar as variáveis, traçar e interpretar gráficos e resolver equações, de acordo com as propriedades das operações no conjunto dos números reais e as operações válidas para o cálculo algébrico. O tema Álgebra apresenta fortemente o caráter de linguagem, com seus códigos (números e letras) e regras (propriedades das operações), formando os termos desta linguagem, denominados expressões, que, por sua vez, compõem as igualdades e desigualdades.

O estudo das funções possibilita ao aluno assimilar a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar relações entre grandezas e estruturar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões, dentro e fora da própria matemática. Assim, a ênfase

no estudo dos diferentes tipos de funções deve estar no conceito de função e em suas propriedades relativas às operações, na interpretação de seus gráficos e nas aplicações dessas funções (BRASIL, 1999).

 

3 Acerca da resolução de problemas e das tarefas investigativas

A definição de problema dada por Polya (19626, p.117) apud Fonseca, Brunheira e Ponte (1999) diz, num sentido amplo, que há um problema quando existe a procura "consciente de uma certa ação apropriada para obter um objetivo claramente concebido mas não atingível de maneira imediata".

Para Pozo (1998), um problema se distingui de um exercício, na medida em que para este dispomos de procedimentos que nos levam de maneira imediata à solução. Todavia, é possível que uma mesma situação seja encarada como um problema para uma pessoa, enquanto para outra seja um simples exercício, se esta possuir mecanismos e recursos cognitivos mínimos para resolvê-la. A concepção de problema para Onuchic (1999) pode ser enunciada como sendo tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que existe interesse em resolver, isto é, qualquer situação que leve o aluno a pensar e que lhe seja desafiadora e não trivial.

Na resolução de problemas o conteúdo a ser aprendido pode ser iniciado através de um problema desafio (ou um conjunto de problemas deste tipo), devendo ocorrer uma construção interiorizada do conhecimento a ser adquirido (GAZIRE, 1988). Segundo Pinheiro (2005), o principal objetivo ao se trabalhar com a resolução de problemas na matemática é levar o educando a entender a resolução de problemas como um processo, onde o principal interesse está no raciocínio desenvolvido, e não apenas na resposta encontrada.

De acordo com os PCN (BRASIL, 1999), na resolução de problemas o tratamento de situações complexas e diversificadas oferece ao aluno a oportunidade de pensar por si mesmo, construir estratégias de resolução e argumentações, relacionar diferentes conhecimentos e, enfim, perseverar na busca da solução. Para Romanatto (2008), a resolução de problemas se apresenta como um dos caminhos mais promissores para o fazer matemáticadentro da sala de aula.

No entanto, de acordo com Fonseca, Brunheira e Ponte (1999), a noção de problema foi progressivamente enriquecida, ao se considerar importante proporcionar aos alunos não apenas problemas já perfeitamente elaborados. Muitas vezes, o processo de resolução de problema pode implicar a exploração do contexto para além do que surge no enunciado, e a formulação de questões alternativas. Nesse sentido, um novo tipo de abordagem foi se delineando, trata-se da investigação matemática. Nessa última, sabe-se qual é o ponto de partida, mas não o ponto de chegada, diferentemente dos problemas, que objetivam encontrar um caminho para alcançar um ponto não imediatamente acessível.

Segundo Ponte (2003, p. 26), "investigar não é mais do que procurar conhecer, compreender, encontrar soluções para os problemas com os quais nos deparamos". Ainda, George Polya (19757, p. vii apud PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p. 15 - 16) chama-nos a atenção para o contraste entre duas imagens da matemática: "A matemática tem duas faces; é a ciência rigorosa de Euclides, mas é também algo mais [...] a matemática em construção aparece como uma ciência experimental, indutiva".

Uma investigação matemática desenvolve-se, geralmente, em torno de um ou mais problemas. O primeiro grande passo de qualquer investigação é identificar claramente o problema a ser resolvido, por isso, não é de se admirar que, em matemática, exista uma relação muito próxima entre problemas e investigações.

Entretanto, a resolução de problemas e a investigação matemática possuem aspectos diferentes, pois, como aponta Ponte e Matos (1998, p. 119):

Nas investigações matemáticas os alunos são colocados no papel dos matemáticos [...]. Envolvem processos de raciocínio complexos e requerem um elevado grau de empenhamento e criatividade por parte do aluno. Envolvem, no entanto, também alguns processos característicos. Enquanto os problemas matemáticos tendem a caracterizar-se por assentarem em dados e objectivos bem concretos, as investigações têm um ponto de partida muito menos definido.

Segundo Ponte (2003), num problema o enunciado indica, claramente, o que é dado e o que é pedido, e a solução é sabida de antemão pelo professor; numa investigação matemática, a construção do conhecimento, por parte dos alunos, se dá de uma forma não sistêmica, trata-se de situações abertas, cabendo a quem investiga um papel fundamental em sua definição, na qual os pontos de partida e chegada podem variar.

Desse modo, Ernest (1996, p. 30) afirma que "enquanto o processo de resolução de problemas em matemática é descrito como convergente, as investigações matemáticas são divergentes".

Nesse sentido, a investigação matemática, essencialmente, permite que os alunos façam matemática, isto é, que eles tenham seu próprio pensar e não sejam conduzidos a respostas pré-estabelecidas. Com isso, este tipo de trabalho possibilita enfrentar a matemática como algo que as pessoas fazem, e não como algo que as pessoas já fizeram (FONSECA, 2000a).

Conclui-se, então, que uma investigação tem um caráter necessariamente problemático, mas permite a elaboração de diversos tipos de questões, estimulando a exploração em várias direções. O interesse está, sobretudo, nas ideias matemáticas e nas suas relações, cabendo ao aluno um papel ativo na definição das questões a investigar, e, ao professor, uma nova postura em dar continuidade às questões propostas pelos alunos.

Assim, de acordo com Ponte (2003), pode-se dizer que a realização de uma investigação matemática está ligada a quatro momentos principais:

- o primeiro abrange o reconhecimento da situação e a elaboração de questões;

- o segundo refere-se ao processo de formulação de conjeturas;

- o terceiro inclui a realização de testes;

- o quarto diz respeito à argumentação, à demonstração e à avaliação do trabalho realizado.

Para Serrazina et al. (2002, p. 41) neste tipo de atividade "é importante apresentar aos alunos um conjunto de propostas de trabalho interessantes, que envolvam conceitos matemáticos fundamentais e ofereçam aos alunos oportunidades para experimentar, discutir, formular, conjecturar, generalizar, provar, comunicar as suas ideias e tomar decisões." Acrescenta-se, ainda, que, segundo Ponte (2003) uma

tarefa investigativa pode ser contextualizada numa situação real ou formulada em termos puramente matemáticos.

Em síntese, podemos dizer que as investigações matemáticas referem-se a situações-problema desafiadoras e abertas, permitindo aos alunos apresentarem várias formas de explorar e investigar o problema.

Para Fiorentini; Fernandes; Cristovão (2005), a utilização de tarefas investigativas nas aulas de matemática constitui uma perspectiva de trabalho pedagógico da qual o professor pode lançar mão para a realização de um ensino significativo da matemática.

Segundo Serrazina et al. (2002), o conceito de investigação matemática, como atividade de ensino-aprendizagem, ajuda a trabalhar dentro da sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma importante ferramenta educativa, além de proporcionar uma experiência produtiva em nível dos processos envolvidos na matemática e no pensamento matemático.

Diversos trabalhos, tais como Goldenberg (1999), Fonseca (2000b), e Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), têm apontado que tarefas investigativas motivam os alunos e favorecem a aprendizagem e a criação de um ambiente propício para a mesma. Por motivos como esses, os autores acima defendem que investigações matemáticas podem se constituir num poderoso processo de construção de conhecimento.

Quanto à resolução de problemas, a importância da utilização dessa abordagem em sala de aula também é defendida por diversos autores, dentre eles Mandarino (2002), Onuchic (1999) e Carvalho (1994), os quais afirmam que com a resolução de problemas tem-se a oportunidade de propiciar um diálogo maior entre professor-aluno, aluno-aluno, na busca de soluções para os problemas, promovendo um ambiente rico para aprender matemática, na medida em que esse diálogo proporciona uma maior aproximação dos alunos com os professores, facilitando a verificação dos caminhos trilhados na busca da resposta dos problemas e da apreensão dos conhecimentos matemáticos; e dos próprios alunos que, ao trabalharem em grupos, podem se ajudar mutuamente, utilizando seus conhecimentos prévios.

Outro ponto importante, destacado por Rodrigues (2006), é que o trabalho com a metodologia de resolução de problemas oportuniza ao aluno criar estratégias na busca de solução para o problema, justificá-las, dando-lhe oportunidade de modificar seus conhecimentos prévios e construir novos significados. Além disso, esse autor ressalta que, o trabalho com problemas possibilita desenvolver o processo de contextualização, inserindo-os no contexto social dos alunos, dando um sentido para os mesmos a respeito do que se quer ensinar e porque se deve aprender.

Dessa forma, nessa pesquisa, optamos por trabalhar com resolução de problemas e investigação matemática devido ao potencial didático-pedagógico que ambas possuem na direção de contribuir com o processo de ensino e aprendizagem dos estudantes, sendo concebidas como novas formas de se ensinar e aprender a matemática escolar.

 

4 Proposta pedagógica do equilíbrio entre os aspectos intuitivo e lógico do conhecimento matemático

Filósofos e matemáticos, desde a época de Platão, nem sempre estiveram de acordo quanto à natureza do saber matemático. A esse respeito, Meneghetti (2001) e Meneghetti e Bicudo (2003), ao analisarem as concepções de conhecimento geral e conhecimento matemático nas principais correntes filosóficas, de Platão (427 - 347 a. C.) ao início do século XX, chegam às seguintes considerações.

Antes de Kant (1724-1804), na História da Filosofia da Matemática, foi possível obter duas posições: (a) aqueles que buscaram fundamentar o saber matemático inteiramente na razão - entendemos que nesse grupo há prevalência do aspecto lógico do conhecimento; e (b) aqueles que buscaram fundamentar o saber matemático exclusivamente na intuição ou experiência - entendemos que nesse grupo é privilegiado o aspecto intuitivo do conhecimento.

Uma posição intermediária aos dois grupos é possível ser verificada em Kant, para o qual todo conhecimento parte da experiência. Entretanto, o conhecimento deve tornar-se independente dela, pois a ciência deve ser universal e necessária. Essa posição, no entanto, foi abandonada nas filosofias que pretendiam dar conta da natureza do conhecimento matemático, no final do século XIX e início do século XX, a saber, o logicismo, o formalismo e o intuicionismo. O fato é que, embora essas três correntes filosóficas tenham tentado fornecer à matemática uma fundamentação sólida, todas falharam em seus propósitos, e a natureza do saber matemático passou a ser novamente questionada. (SNAPPER, 1979 apud MENEGHETTI; BICUDO, 2003).

Meneghetti e Bicudo (2003) procuram mostrar que tal crise é produto de se considerar, sempre, os aspectos intuitivo e lógico do conhecimento matemático como excludentes e, a partir desse estudo, propõem que no processo de constituição desse conhecimento não seja possível atribuir maior valor para o aspecto intuitivo ou para o lógico, ou mesmo concebê-los como independentes. Eles ainda defendem que o intuitivo apoia-se no lógico e vice-versa, em níveis cada vez mais elaborados, num processo gradual e dinâmico, tomando a forma de uma espiral, sendo que o equilíbrio entre os aspectos lógico e intuitivo deve estar presente em cada um dos níveis dessa espiral.

Segundo Meneghetti (2009), embora o termo intuitivo possa tomar diversos significados, em tal proposta esse termo é concebido como um conhecimento de apreensão imediata, sem intermediário, podendo ser de origem empírica (conhecimento empírico) ou a priori (conhecimento que não depende da experiência).8 Inspirada nos trabalhos de Frege (1979, 1959), a lógica, neste caso, está sendo considerada como uma linguagem puramente formal, que não necessita ser suplementada por qualquer razão intuitiva. Assim, entende essa autora que é por meio da lógica que sistematizamos, ou seja, formalizamos o conhecimento, e o mesmo adquire o caráter de necessidade e universalidade.

Numa análise das correntes filosóficas da matemática pós-crise dos fundamentos, essa última autora observa que ideias colocadas na proposta em questão ganham força quando consideramos as atuais reivindicações para a Filosofia da Matemática, que, entre outras contribuições, reconhecem a importância dos aspectos empírico e intuitivo na constituição do saber matemático, além de refutar o caráter absoluto de tal conhecimento.

A questão do equilíbrio dinâmico para os aspectos lógico e intuitivo desse saber, abordada por tal proposta no que se refere ao processo de elaboração do conhecimento, mostra uma afinidade com o que é posto nas ideias de construtivismo social, tal como colocado por Ernest (1991)9 apud Meneghetti (2009); essas ideias defendem que o conhecimento subjetivo10 relaciona-se com o conhecimento objetivo11 por meio de um ciclo criativo, através do qual um contribui para a renovação do outro.

Quanto aos níveis no processo de constituição do conhecimento, defendidos pela proposta, esses podem ser justificados cognitivamente com Vygotsky (1991)12 apud Meneghetti (2009), o qual afirma que, à medida que o intelecto se desenvolve, velhas generalizações são substituídas por generalizações de tipos cada vez mais elevados. A aquisição de conceitos novos e mais elevados transforma os significados dos conceitos anteriores.

Determinada análise de uma aplicação da proposta descrita acima - para o caso de frações - é tratada em Meneghetti e Nunes (2006), em que se discute sobre a fundamentação, elaboração, aplicação e avaliação de um material pedagógico desenvolvido como suporte para o processo de ensino-aprendizagem dos números racionais. Dessa aplicação, esses autores chegam à conclusão de que a proposta metodológica que estrutura o material, aliada a uma postura em consonância com seu suporte teórico, mostrou-se eficiente do ponto de vista didático-pedagógico, por favorecer aos alunos a construção dos conceitos matemáticos envolvidos.

 

5 A aprendizagem significativa

Ausubel, Novak e Hanesian (1978) ao analisarem a interação entre professor, aluno e conhecimento, dentro do contexto escolar, identificaram duas formas de aprendizagem: a mecânica e a significativa. A aprendizagem significativa advém quando o indivíduo relaciona o conteúdo a ser aprendido com aquilo que ele já sabe, sendo capaz de generalizar e expressar esse conteúdo com sua própria linguagem, isto é, quando as novas informações interagem com estruturas de conhecimento do indivíduo, às quais Ausubel define como subsunçores.

Quando não se consegue estabelecer essa relação e a formulação da, diz-se que houve aprendizagem mecânica, isto é, o indivíduo só consegue expressar as ideias repetindo as mesmas palavras, memorizando-as, sem ter, de fato, assimilado os conteúdos envolvidos. Os conhecimentos aprendidos desse modo só são aplicáveis a situações já conhecidas, que não impliquem compreensão, e, assim, não instrumentalizam o indivíduo para agir de forma autônoma na sua realidade (MOREIRA, 1999).

Assim, numa aprendizagem mecânica, o sujeito armazena um novo conhecimento arbitrariamente, ou seja, sem realizar ligações com outros conteúdos.

Os conceitos de subsunçores têm fundamental papel na teoria de Ausubel. Moreira e Masini (1982) esclarecem que os mesmos referem-se às ideias-âncoras, pré-existentes na estrutura cognitiva do indivíduo. Então, tais conceitos facilitam a ocorrência de aprendizagem significativa, na qual os novos conceitos são relacionados, de maneira não-arbitrária, a outros já apreendidos.

Ainda segundo Ausubel, Novak e Hanesian (1978), favorecer a aprendizagem significativa implica verificar em que parte do continuum, isto é, em quais da várias posições intermediárias do conhecimento, está o conhecimento do aluno e, desse modo, é preciso promover diferentes oportunidades de interação. Nessa perspectiva, a qualidade dos procedimentos de ensino depende da relação destes com as características dos sujeitos, do tempo e dos espaços envolvidos; são estes aspectos que mostram a posição intermediária do ensino no processo educativo.

A aprendizagem se torna muito mais significativa à medida que o novo conceito é relacionado às estruturas de conhecimento do aluno, e adquire significado a partir da relação com seu conhecimento prévio. Caso isso não aconteça, ela se torna mecânica ou repetitiva, o novo conteúdo passa a ser guardado isoladamente ou através de associações arbitrárias na estrutura cognitiva. Portanto, quando não

existe um esforço consciente para relacionar o novo conhecimento, a aprendizagem será mecânica, e, consequentemente, será esquecida mais facilmente. (NOVAK, 1981).

De acordo com a teoria de Ausubel (1982), a aprendizagem significativa apresenta três vantagens essenciais em relação à aprendizagem memorística. Em primeiro lugar, o conhecimento adquirido de maneira significativa é armazenado e lembrado por mais tempo. Em segundo, amplia a capacidade de aprender outros conteúdos de um modo mais fácil, mesmo se a informação original for esquecida. Em terceiro, uma vez esquecida a informação original, facilita a aprendizagem seguinte, ou seja, a reaprendizagem, por assim dizer. Em especial, sobre esse último ponto, Novak (1981) esclarece que é possível relacionar novas informações mesmo após o aparente esquecimento, pois o conceito subsunçor inicial fora modificado, com isso os dados guardados poderão ser recordados, o que não acontece quando temos uma aprendizagem mecânica.

No entanto, segundo Moreira (1999), para que a aprendizagem significativa ocorra são necessárias duas condições. Primeiro, o aluno precisa ter disposição para aprender, relacionando assim o novo conceito de maneira não-arbitrária. Segundo, o conteúdo escolar a ser aprendido tem que ser potencialmente significativo, isto é, tem que ser lógica e psicologicamente significativo. Acrescenta esse autor que o lógico depende da natureza do conteúdo e o psicológico é uma experiência atribuída a cada indivíduo.

Desse modo, a intervenção educativa precisa ser concebida numa outra perspectiva, na qual não se vise somente a compreensão do saber, mas também o saber fazer; e não tanto o aprender, mas o aprender a aprender. Para isso, é necessário que a ação educativa esteja coerente com o nível de desenvolvimento dos alunos; para que isso ocorra, é preciso identificar os conhecimentos prévios dos alunos.

Em síntese, o que se sugere é a participação ativa do sujeito na construção do conhecimento, o que pressupõe a participação efetiva do aluno na aquisição de novos saberes, de maneira que esses não sejam uma mera repetição ou cópia dos formulados pelo professor ou pelo livro-texto, mas uma re-elaboração pessoal. O aluno é o ponto de partida para a organização do ensino, o qual, por sua vez, só terá sido bem sucedido se o aluno, agora sendo considerado como ponto de chegada, tiver aprendido significativamente os conteúdos curriculares. Ou seja, na Teoria da Aprendizagem Significativa, proposta por Ausubel e aperfeiçoada por seus seguidores, o ensino é apenas um meio pelo qual a aprendizagem significativa do estudante pode ser favorecida.

 

6 Metodologia

As tarefas elaboradas, seguindo a abordagem descrita anteriormente, foram aplicadas em um minicurso, sob coordenação da primeira autora deste trabalho13, a uma classe de treze alunos da terceira série do Ensino Médio, de uma escola pública do interior do Estado de São Paulo/Brasil, mediante acordo estabelecido com a professora de matemática desta turma.

A realização do minicurso se deu de forma vinculada aos estágios supervisionados da disciplina Prática de Ensino de Matemática, sob a docência da segunda autora, denominada aqui de professora-aplicadora (PA), e sob orientação da primeira. O minicurso também fez parte do desenvolvimento de projeto de Iniciação Científica (com apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo - FAPESP).

Buscando atender aos objetivos do projeto, a intervenção realizada insere-se numa abordagem qualitativa de pesquisa, seguindo os pressupostos de um estudo de caso. Este, segundo Ludke e André (1986), possui as seguintes características: enfatiza a interpretação em contexto, busca retratar a realidade de informação; revela experiências, utiliza-se de linguagem acessível que pode ser apresentada na forma de desenhos, fotografias, colagens, discussões etc.

O trabalho de campo seguiu as seguintes etapas: (i) aplicação de um questionário de identificação e realização de uma avaliação diagnóstica inicial (para um levantamento dos conhecimentos prévios dos alunos); (ii) aplicação das tarefas elaboradas; e (iii) avaliação do minicurso. Durante o desenvolvimento das tarefas propostas foi permitido aos alunos usar calculadora e consultar livros didáticos.

Como instrumentos de coleta de dados, utilizamos relatórios da aplicação, informações referentes à avaliação diagnóstica inicial e relatórios dos alunos a respeito dos procedimentos utilizados no desenvolvimento das atividades. Além disso, combinamos as anotações das observações com o material transcrito de gravações e filmagens.

 

7 Descrição do material

Neste trabalho focalizamos a aplicação de duas tarefas alternativas. A primeira foi reformulada a partir de uma questão do ENEM, e a segunda do vestibular B. Ao elaborarmos as atividades propostas, nos preocupamos em trabalhar com situações que abordassem o assunto funções, procurando desenvolvê-las em níveis cada vez mais elaborados, buscando por um equilíbrio entre os aspectos intuitivo e lógico do conhecimento, além de tentar apresentá-las de forma a terem uma abordagem investigativa e/ou de resolução de problemas. Anteriormente, uma aplicação dessas tarefas havia sido efetuada pela autora (com acompanhamento da segunda) em uma disciplina de Prática de Ensino de um curso de Licenciatura em Matemática, o que permitiu aos futuros professores vivenciar a abordagem de um conteúdo de matemática por meio de uma metodologia alternativa e, também, um aprimoramento do material.

Abaixo apresentamos as tarefas em suas formas originais, seguido das tarefas reformuladas (que foram propostas aos alunos). Na sequência, fazemos um comentário das tarefas quanto a suas adequações à abordagem de resolução de problemas e/ou investigação matemática.

 

1 ª TAREFA QUESTÃO ORIGINAL

ENEM

VENDEDORES JOVENS Fábrica de LONAS - Vendas no Atacado 

10 vagas para estudantes, 18 a 20 anos, sem experiência. Salário: R$ 300,00 fixo + comissão de R$ 0,50 por m2 vendido. 

Contato: 0xx97-43421167 ou atacadista@lonaboa.com.br

Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone ou correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular seu salário no primeiro mês, se vendessem 500 m de tecido com largura de

1,40 m, e no segundo mês, se vendessem o dobro. Foram bem sucedidos os jovens que responderam, respectivamente,

(A) R$ 300,00 e R$ 500,00. (B) R$ 550,00 e R$ 850,00. (C) R$ 650,00 e R$ 1000,00. (D) R$ 650,00 e R$ 1300,00. (E) R$ 950,00 e R$ 1900,00.

TAREFA PROPOSTA

Imagine que seu amigo esteja procurando emprego, e que você, para ajudá-lo, compra um jornal e seleciona os seguintes anúncios:

- Vendedores de lona

10 vagas para estudantes, 18 a 20 anos, com experiência.

Salário: R$ 350,00* + comissão de R$ 0,50 por m2 vendido.

- Vendedores de loja

8 vagas para pessoas com idade entre 18 e 35 anos, sem experiência.

Salário: R$ 630,00 + comissão de 6% sobre o valor total de venda por mês.

- Vendedores autônomos

Trabalhe vendendo os produtos de nosso catálogo (cosméticos, roupas, utensílios domésticos, eletroeletrônicos, bijuterias, etc.) e ganhe de 20% a 35% sobre cada produto vendido.

Você seria capaz de verificar qual dessas propostas de emprego seria mais vantajosa para seu amigo? Existe alguma que será sempre mais vantajosa que as outras? Estude vários casos e justifique.

7.1 Comentário à primeira tarefa

Na primeira tarefa, tem-se por objetivo levar o aluno a identificar a função inerente à situação-problema (no caso, trata-se de uma função afim) utilizando somente seus conhecimentos prévios. Esta tarefa enquadra-se na abordagem de investigação matemática, pois possui um caráter aberto (do princípio ao fim), nessa o aluno é livre para encontrar as mais variadas soluções por meio de uma diversidade de caminhos.

No desenvolvimento das atividades investigativas, o processo de resolução pode implicar a exploração, a partir da situação apresentada, de todos os caminhos que surgem como importantes para além do que surge no enunciado, e, também, estimular a formulação de questões alternativas. Entretanto, é sabido que a investigação matemática desenvolve-se geralmente em torno de um ou mais problemas. Dessa forma, conclui-se, então, que uma investigação tem um caráter necessariamente problemático, mas, ao permitir a elaboração de diversos tipos de questionamentos, estimular a exploração em várias direções, possibilita a obtenção de mais de uma resposta correta para a mesma situação, diferenciando-se assim da abordagem de resolução de problema, na qual existe um único resultado previamente concebido.

 

2ª TAREFA QUESTÃO ORIGINAL 

Vestibular B

09. Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função

q(t) = q0 . 2(-0,1)t

sendo q0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início?

(A) 5. (B) 7. (C) 8. (D) 9. (E) 10.

 

TAREFA PROPOSTA

Você é o dono de uma fazenda que está passando por um período prolongado de seca. Nela existe um reservatório que é controlado para não desperdiçar água. Sabendo-se que no início do período de seca o reservatório estava cheio, isto é, com sua capacidade máxima, indicada por q0, desafio você a responder:

a) Se ao final do 1º mês de seca, o reservatório ficou com metade (50.000 L) da quantidade inicial de água (q0 ) e que no 2º mês a quantidade de água chegou a 12.500 L, você saberia dizer o que acontecerá ao final do sexto mês de seca(se essa tendência se mantiver)? Você poderia dizer como se comportou a variação de água nesse período? A partir de suas respostas anteriores seria possível escrever uma expressão que pudesse representar essa situação?

b) Se no ano anterior, no mesmo período, a quantidade de água desse reservatório após o 1º mês de seca, chegou a 49.998 L e no 2º mês a quantidade diminuiu para 24.995 L, o que você poderia concluir ao final do sexto mês de seca (se essa tendência se mantiver)? Como se comportou a variação de água nesse período? É possível escrever uma expressão que pudesse representar essa situação?

c) Como você poderia explicar o fenômeno ocorrido no mesmo período de seca em anos diferentes, se o reservatório é o mesmo? Investigue as possibilidades.

d) Você conseguiria explicar esse fenômeno matematicamente? Descreva tudo o que você conseguir relacionar.

7.2 Comentário à segunda tarefa

Nessa segunda tarefa proposta, um dos objetivos principais é que o aluno consiga relacionar os diferentes tipos de funções presentes na atividade (nesse caso, a função exponencial e a função afim). Entendemos que essa tarefa possui um caráter investigativo, no sentido de que o aluno é levado a investigar cada uma das situações, havendo a possibilidade de seguir diferentes caminhos para a resolução dessa atividade. Entretanto, visto que se pressupõe que há uma solução

determinada para cada uma das situações, essa tarefa não atenderia o quesito, característico de uma investigação matemática, de poder chegar a diferentes resultados. Nesse sentido, entendemos que essa tarefa aproxima-se mais da abordagem de resolução de problemas.

 

8 Aplicação do material

Inicialmente PA explicou aos alunos em que consistiria o minicurso e o que seria focalizado. A partir daí, solicitou-se que eles respondessem a um questionário de identificação, contendo informações pessoais (idade, endereço etc.). Em seguida, foi aplicada uma avaliação diagnóstica inicial, que teve por finalidade verificar os conhecimentos prévios dos alunos.

Durante a fase de aplicação do material, os alunos foram organizados em grupos de livre escolha. Entendemos que essa forma de organização é importante na construção dos conceitos, pois, segundo Mauri (2003, p. 92), "a atividade desenvolvida pelo aluno na construção dos conhecimentos não pode ser realizada de maneira solitária, justamente pela natureza dos saberes culturais. O aluno precisa do auxílio de outros, que o ajudem no processo de representação ou atribuição de significados". Além disso, o trabalho em grupo proporciona ao professor um melhor contato com os alunos, prestando ajuda adequada quando necessário, conforme o grau de realização da tarefa e das dificuldades apresentadas por eles. (ZABALA, 2003).

Referente a cada uma dessas tarefas, que foram realizadas em dias diferentes, depois da formação dos grupos de trabalho e da entrega da folha de atividades do dia, PA realizava uma leitura da tarefa para os alunos, visando esclarecer alguns termos que pudessem levar a dúvidas posteriores. Na sequência, os alunos resolviam as atividades. Após os alunos terminarem suas resoluções, PA promovia uma discussão das mesmas e os conceitos envolvidos em cada situação, visando também formalizar o que foi trabalhado.

A intenção desse fechamento foi promover, nesse nível, o que Meneghetti e Bicudo (2003) defendem, a saber, um equilíbrio entre os aspectos intuitivo e lógico do conhecimento. Além disso, do ponto de vista da abordagem metodológica de investigação matemática, segundo Ponte (2003), o fechamento corresponde ao quarto e último momento da aplicação de atividades deste tipo, consistindo na argumentação e demonstração dos conceitos envolvidos, sendo importante para a sistematização e formalização desses conceitos, a fim de que se tornem compreensíveis aos alunos.

 

9 Análise da aplicação

9.1 Sobre o questionário e o diagnóstico inicial

Por meio do questionário inicial, constatamos que os alunos dessa sala pertenciam a uma faixa etária entre 17-18 anos e residiam na zona rural. Além disso, verificamos que a principal fonte de informação dos alunos sobre assuntos relacionados à Álgebra eram, respectivamente, livros didáticos e aulas expositivas. Os alunos também responderam que já haviam aprendido o tema função no primeiro ano do Ensino Médio, mas não recordavam muita coisa porque, segundo eles, o assunto havia sido tratado superficialmente. Vale salientar que, como posto no referencial teórico, o fácil esquecimento de um assunto é típico de uma

aprendizagem mecânica. (NOVAK, 1981). Assim, a aplicação de uma avaliação diagnóstica inicial nos indicou, também, que a aprendizagem destes assuntos (no primeiro ano do Ensino Médio) não foi significativa, pois dois anos após terem estudado o tema, os alunos pouco se lembravam das questões abordadas.

A avaliação diagnóstica inicial se compôs de exercícios que envolviam: definir função; verificar se uma relação representava ou não uma função; identificar domínio, contradomínio e imagem de uma função; construir gráficos de funções. Ademais, essa avaliação trouxe três situações-problema, abrangendo, respectivamente, função do 1º grau, do 2º grau e exponencial.

Tal avaliação foi muito importante, pois permitiu-nos identificar os conhecimentos prévios dos alunos e as dificuldades que eles apresentavam quanto ao tema funções. Observamos que, dos 13 alunos que participaram dessa avaliação, a maioria apresentava dificuldades em definir precisamente o conceito de função, fato que certamente se apresentaria como um obstáculo na compreensão de outros conceitos relacionados com esse. Segue uma exemplificação:

Neste caso, percebe-se que o aluno, apesar de mostrar alguma familiaridade com os termos, não consegue expressar adequadamente o conceito de função, parece não compreender uma função como sendo uma correspondência entre cada elemento do conjunto A com um único elemento do conjunto B.

 

 

No exercício 2, demos quatro relações e solicitamos que os alunos verificassem se eram funções ou não e, a partir disso, definissem seus domínios, contradomínios e imagens. Somente quatro alunos conseguiram executar a atividade. Os demais, embora tenham conseguido identificar corretamente que duas relações representavam funções e as outras duas não, apresentaram dificuldades conceituais com respeito às definições de domínio, contradomínio e imagem (Figura 2).

 

 

Nesta figura, observamos que embora as relações 1 e 2 não representem funções, os campos de domínio, contradomínio e imagem foram preenchidos. Além disso, observamos, ainda, que referentes aos casos 3 e 4 os contradomínios são concebidos como o conjunto complementar da imagem da função, e não como o conjunto de chegada da função.

No exercício 3 solicitava-se que, a partir da observação de alguns gráficos, os alunos identificassem quais deles representavam uma função. Verificamos que a maioria dos alunos conseguiu executar a tarefa. Porém, em suas justificativas, eles se pautaram em traçar uma linha vertical sobre o gráfico e verificar se a mesma o cortava em um único ponto.

Com relação às três situações-problema que constavam dessa avaliação, que envolviam função de 1º grau, 2º grau e exponencial, foi solicitado que os alunos resolvessem os problemas, identificassem, para cada um deles, a função correspondente e sua representação gráfica. Ficou evidente, nas duas primeiras situações (ver enunciados em nota de rodapé),14 que a maioria dos alunos, embora tenha conseguido resolver e identificar as funções correspondentes a cada situação-problema, teve muitas dificuldades na construção dos gráficos15, como exemplificado nas figuras 3 e 4 abaixo.

 

 

A reta do gráfico mostrado na figura 3, correspondente à primeira situação-problema, deveria cortar o eixo das ordenadas no ponto 350, representando a parcela fixa do salário do vendedor. Quanto à figura 4, correspondente a segunda situação-problema, percebemos que o aluno conseguiu identificar que a parábola que representava o movimento de uma bola lançada verticalmente do solo teria a concavidade voltada para baixo, mas não representou a continuidade da função nem a informação de que a bola fora lançada do solo, ou seja, H(0) = 0.

Quanto à terceira situação-problema, correspondente ao sexto exercício do diagnóstico16, observamos que a maioria dos alunos não conseguiu resolver o problema e nem identificar o tipo de função, demonstrando dificuldade com o conceito e com as características de uma função exponencial.

9.2 Sobre as tarefas alternativas

A respeito da análise da aplicação das tarefas alternativas, chegamos às seguintes considerações. Sobre a primeira, percebemos que os alunos se interessaram bastante pelo trabalho, mas mostraram-se confusos quanto ao que fazer. Acreditamos que isso tenha ocorrido por eles não estarem acostumados a trabalhar com esse tipo de tarefa. Porém, o fato da mesma versar sobre um assunto familiar aos alunos, contribuiu muito para despertar o interesse deles pelo problema. Eles conseguiram estabelecer comparações entre as propostas sem precisar fazer uso de definições formais. Nessa perspectiva, segundo Ausubel (1982), o ensino ideal é aquele que, desenvolvido em função de um planejamento que considera a realidade (cognitiva, afetiva, social) do aluno ou grupo de alunos, proporciona situações que lhe(s) possibilite(m) aprender significativamente determinados conhecimentos. Com isso, entendemos que esse tipo de contextualização foi bastante importante para o envolvimento inicial dos alunos com as tarefas propostas.

Verificamos, em relação às possíveis soluções da primeira atividade, que diversas situações foram simuladas na tentativa de encontrar a melhor. Os alunos justificaram detalhadamente cada uma delas, fazendo uma comparação de todas as exigências necessárias para pleitear as vagas de emprego das três propostas. Eles conseguiram apresentar uma análise de qual das propostas era a mais vantajosa, como pode ser observado no excerto a seguir, tirado do relatório de um dos grupos:

Pensamos nos três possíveis casos de vendas. No primeiro, do vendedor de lona, achamos um pouco menos vantajoso pelo fato de exigir experiência. Já no segundo caso, do vendedor de loja, a vantagem é melhor, pois não é necessário experiência e o salário é mais vantajoso do que o primeiro. E o terceiro caso, do vendedor autônomo, é um pouco melhor e um pouco ruim. O lado bom é porque não precisa ter entre 18 e 20 anos como no primeiro anúncio, nem ter de 18 a 35 anos, como

no segundo, e também não é necessário ter experiência. O lado ruim é que o salário não é fixo e sim 20% a 35% do valor de cada produto vendido. Achamos que o emprego mais vantajoso será dos vendedores de loja, porque terá um salário fixo e uma comissão de 6% do total de vendas do mês; e também porque mesmo ele não vendendo a mercadoria ele irá ganhar o salário fixo. Mas nem sempre será a mais vantajosa, porque dependerá dos valores que serão vendidos.

Quanto ao cálculo dos salários de cada proposta, como os alunos não sabiam que estavam trabalhando com uma tarefa que envolvia o conceito de função do 1º grau, eles criaram suas próprias estratégias para conseguir calcular os valores dos salários. Somente um grupo conseguiu representar as funções de cada proposta. Os outros três utilizaram a regra de três em suas resoluções, como no exemplo abaixo:

Assim, todos conseguiram desenvolver a atividade e chegar a uma conclusão quanto à proposta mais vantajosa, manifestando uma disposição para relacionar de maneira substancial e não arbitrária o novo material, fato necessário no contexto da aprendizagem significativa. (MOREIRA, 1995). Com isso, constatamos que essa tarefa favoreceu o desenvolvimento da criatividade dos alunos, abrindo possibilidades para diversas maneiras de solucionar o problema a partir de seus conhecimentos prévios, sem que eles precisassem, de antemão, dos conceitos formais sobre o assunto, evidenciando, assim, de acordo com Moreira (1982), o que pode se chamar de uma aprendizagem por descoberta, a qual se caracteriza como aprendizagem significativa a partir do momento que os alunos, ao utilizarem seus conhecimentos prévios, estabeleceram ligações entre o conteúdo descoberto e os conceitos subsunçores relevantes, já existentes em suas estruturas cognitivas.

Quanto à análise da aplicação da segunda tarefa, percebemos que a maioria dos grupos apresentou um raciocínio muito parecido na resolução dos itens (a) e (b), e resolveram-nos experimentalmente, não conseguindo chegar a uma expressão que representasse as correspondentes funções. Ilustramos isto na figura 5, abaixo, referente à resolução do item (a) desta tarefa por um dos grupos.

 

 

Entretanto, um dos grupos nos chamou a atenção, pois conseguiu encontrar as funções que representavam as duas situações e construir seus respectivos gráficos. Como pode ser visto na figura 6, referente à resolução do item (b):

 

 

Para justificar o item (c), interdisciplinar, todos os grupos responderam que, sendo o reservatório o mesmo, o fator que o levou a esvaziar mais em um ano do que no outro foi o período de seca, mais rigoroso, que levou a um gasto maior de água. Porém, o item (d), em que se pedia que se explicasse matematicamente o fenômeno da seca, não foi respondido por nenhum grupo.

Com isso, concluímos que apesar dos alunos terem conseguido trabalhar com as funções presentes nesta tarefa, muitos ainda demonstraram ter bastante dificuldade quanto à generalização e a construção de seus gráficos. Essa situação evidenciou a dificuldade que os alunos têm em generalizar e formalizar os conceitos, reforçando a importância do professor em atuar como mediador nessa passagem.

Verificamos, portanto, que é possível, com este tipo de tarefa, partindo dos conhecimentos prévios dos alunos, aos poucos chegar aos conceitos formais dos conteúdos abordados. Assim, a passagem do intuitivo para o lógico foi sendo obtida paulatinamente, em diversos momentos, exigindo uma forte atuação do professor nessa direção.

Vale esclarecer que o diagnóstico inicial foi essencial para verificarmos os conhecimentos prévios dos alunos, bem como as principais dificuldades que eles apresentavam quanto ao assunto funções.

Sobre as tarefas alternativas aplicadas junto a esse grupo percebeu-se que o trabalho efetuado influenciou positivamente no processo de ensino e aprendizagem desses alunos. Ao realizarem a avaliação diagnóstica inicial, verificamos que os alunos demonstraram possuir grandes dificuldades sobre o assunto. Entretanto, no decorrer do trabalho, verificamos que as resoluções foram se apresentando de forma mais clara, com menos erros conceituais. Ademais, embora nem todos os grupos tenham alcançado o mesmo nível de compreensão nas atividades realizadas, foi possível observar um envolvimento e um crescimento cognitivo de uma parte significativa dos alunos.

Para nós, a evidência mais clara da ocorrência da aprendizagem significativa durante todo o processo de ensino esteve na utilização de tarefas de aprendizagem que, ao se apresentarem em níveis cada vez mais elaborados, se mostraram sequencialmente dependentes umas das outras, onde os alunos tiveram necessariamente que apresentar um domínio dos conceitos precedentes para que assim pudessem seguir na busca pela resolução das tarefas subsequentes; ou seja, houve transferência de conhecimento de uma situação-problema para outra. Isso parece ter atuado como um facilitador na aquisição da estrutura conceitual.

Vale salientar que Moreira (1995) aponta que uma das tarefas fundamentais do professor, no contexto da aprendizagem significativa, é identificar na estrutura do material os conceitos unificadores e inclusivos com maior poder exploratório e organizá-los de modo a englobar os menos inclusivos. De fato, buscamos, com as atividades propostas, apresentar os conteúdos inicialmente de forma mais exploratória, incentivando o estabelecimento de relações entre as situações-problema e os conceitos matemáticos necessários, de forma que o conhecimento desses conceitos foi sendo apreendido de maneira cada vez mais profunda.

Com relação ao questionário final aplicado aos alunos, verificamos que o minicurso foi bem avaliado. A maioria considerou o assunto importante e a linguagem utilizada adequada. Das três atividades trabalhadas, identificamos, por esse questionário e pela observação diária, que os alunos gostaram mais da primeira atividade, a qual se referia à procura de emprego. A nosso ver isso está relacionado à natureza do assunto, o tema pode ter despertado o interesse dos alunos, talvez em função do contexto social no qual eles estavam inseridos - eles já trabalhavam e, portanto, viviam esta realidade. Assim, pareceu-nos que quanto mais familiar o assunto ao aluno, maior será seu envolvimento com as atividades; o que ressalta a importância da adequação da contextualização dos conteúdos no ensino de matemática. No contexto da teoria de aprendizagem significativa, entendemos que uma contextualização adequada dos conteúdos favoreceu uma maior disposição dos alunos em relacionar de maneira substancial e não arbitrária com o novo material.

 

10 Considerações finais

Alguns autores, tais como Moura (2002), Alonso e Moraes (2003) e Ponte (2003) têm argumentado que os conceitos algébricos, quando estudados com ênfase no formalismo e no rigor matemático, trabalhando memorização e repetição de conteúdos e fórmulas, podem causar grandes dificuldades quanto ao entendimento dos alunos. Concordamos com a colocação de Perrenoud (2000, p. 9) ao afirmar que "diferenciar o ensino é fazer com que cada aprendiz vivencie, tão frequentemente quanto possível, situações fecundas de aprendizagem".

É fato que os alunos frequentam uma escola que, muitas vezes, ainda concebe o conhecimento como algo muito distante da realidade, pouco aproveitável ou significativo nas suas atividades cotidianas. Em sua teoria, Ausubel (1982) apresenta uma aprendizagem que tenha como ambiente uma comunicação eficaz, que respeite e conduza o aluno a se ver como parte integrante da construção do novo conhecimento e onde o educador pode diminuir a distância entre a teoria e a prática na escola, ao trabalhar com uma linguagem que, ao mesmo tempo, desafie e leve o aluno a refletir, conhecendo a sua realidade e os seus anseios.

Consideramos que uma importante contribuição para aprender significativamente está no fato de o aluno perceber-se como autogestor de sua formação. Com base nisso, consideramos que o processo educativo, à luz da Teoria de Aprendizagem Significativa, corresponde a um contexto no qual os indivíduos se percebem como sujeitos em constante formação, e buscam ajudar outros sujeitos a se perceberem como tal.

Nosso objetivo, na realização desta pesquisa pautada na aplicação de tarefas didáticas alternativas para o ensino de funções, foi analisar o potencial didático-pedagógico deste tipo de abordagem no Ensino Médio. Uma análise da aplicação efetuada nos permitiu chegar aos seguintes resultados:

Verificamos que essa abordagem mostrou-se como uma alternativa ao favorecimento de uma aprendizagem mais significativa para o ensino de funções, visto que permitiu o estabelecimento de uma relação entre o que os alunos já sabiam e o que lhes estava sendo apresentado, possibilitando o surgimento de diversas soluções a partir de seus conhecimentos prévios. Tais fatores, segundo Moreira e Masini (1982), Moura (2002), Tavares (2008), são de extrema relevância para constituírem este tipo de aprendizagem.

Quanto à resolução das tarefas, observamos um favorecimento ao desenvolvimento da criatividade dos alunos na busca de estratégias de solução, além de possibilitar um ambiente de discussão, reflexão e interação entre os mesmos, trabalhar a comunicação, o raciocínio e o registro. Esses são fatores inerentes à resolução de problemas e às atividades de cunho investigativo, e já foram destacados em outros trabalhos, tais como em Fonseca (2000b), Ponte, Brocado e Oliveira (2003), Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), Rodrigues (2006), Allevato (2005), Azevedo (1998), Rodrigues (1992) e Dante (1991).

Ainda, percebemos que, embora os alunos inicialmente tenham apresentado resistências ao desenvolvimento deste tipo de atividade, aos poucos eles foram se envolvendo com o trabalho realizado. Alguns autores, tais como Ponte (2003), Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005) salientam que é comum que os alunos apresentem um estranhamento inicial ao trabalharem com investigações matemáticas, por não conhecerem essa nova metodologia. O mesmo acontece com a resolução de problemas, já que, como posto em Onuchic e Allevato (2004), muitas vezes, falta no aluno motivação e vontade para trabalhar com situações que necessitam de um exercício mental para realização de tais atividades, visto que eles estão inseridos num contexto onde o pensar quase não é exigido, todas as estratégias estão prontas e ao seu alcance, e a memorização e reprodução são fatores considerados como únicos e suficientes.

Assim, na abordagem focalizada, concebemos os estudantes como participantes ativos da construção do conhecimento, o professor como mediador dessa construção, e realização do trabalho em grupo, como de extrema importância durante todo o processo de ensino e aprendizagem.

Quanto às dificuldades apresentadas durante as resoluções, destacamos, principalmente, aquelas referentes às generalizações e formalizações dos

resultados; do nosso ponto de vista, estas dizem respeito à dificuldade dos alunos de passar do nível intuitivo do conhecimento para o lógico. Assim, entendemos que esse aspecto realmente exige um grau de autonomia maior do aprendiz frente ao conhecimento.

Ainda sobre esse aspecto, observamos que o papel da Professora Aplicadora mostrou-se fundamental, uma vez que, ao fazer o fechamento das atividades, uma discussão sobre as diversas resoluções foi promovida, culminando nas generalizações e formalizações dos conceitos.

Verificamos, também, que a resolução da primeira despertou maior interesse e envolvimento dos alunos. Salientamos que a contextualização dessa tarefa parecia estar mais diretamente relacionada ao cotidiano dos alunos, ou seja, eles demonstraram que estavam familiarizados com o assunto abordado nessa tarefa. De forma geral, os PCN destacam a importância da contextualização: "[...] aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são essencialmente formadoras". (BRASIL, 1999, p. 111). Esse fato parece nos indicar quetarefas alternativas, tais como as que abordamos neste artigo, tornam-se ainda mais potentes do ponto de vista didático-pedagógico, quando contextualizadas de maneira a considerar situações vivenciadas ou peculiares ao cotidiano do aluno.

Os dados apresentados neste trabalho mostram que, embora não seja fácil mudar a tradição do processo de ensino e aprendizagem de matemática, há indicações de que é possível explorar tais metodologias com êxito. Verificamos que, apesar dos alunos terem apresentado dificuldades iniciais com as novas metodologias, eles tiveram um bom envolvimento com o trabalho realizado, e o grau de participação e motivação foi aumentando à medida que iam se familiarizando com esse tipo de tarefa, favorecendo uma aprendizagem mais significativa dos conceitos de funções e suas aplicações. Vale salientar que, no contexto da teoria de aprendizagem significativa, a motivação é um fator imprescindível para ocorrência desse tipo de aprendizagem, pois, como salienta Novak (1981), mesmo que os alunos tenham os conceitos subsunçores desejados para aprender, é preciso que eles estejam motivados. Desta forma, segundo esse autor, a motivação como um impulso cognitivo está inclusa no processo de aprendizagem.

Portanto, nesta pesquisa, verificamos que tarefas tais como as que tratamos neste artigo favorecem uma aprendizagem mais significativa aos alunos, permitindo uma maior compreensão conceitual, tornando-se ainda mais potentes quando se considera o contexto sócio-cultural dos alunos. Desse modo, entendemos que esta investigação apresenta indícios de que o desenvolvimento de Investigações Matemáticas e Resolução de Problemas em sala de aula, incorporadas à Proposta Pedagógica de Meneghetti e Bicudo (2003), representam um contexto de aprendizagem rico e desafiador.

 

Agradecimento

As autoras agradecem à FAPESP pelo apoio financeiro concedido.

 

Referências

ALLEVATO, N. S. G. Associando o computador à resolução de problemas fechados: análise de uma experiência. 2005, 361f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, SP, 2005.         [ Links ]

ALONSO, E. P.; MORAES, M. S. S. (Orgs.). Uma alternativa política-social para o ensino de Funções no Ensino Médio. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2., 2003, Santos,SP. Anais...São Paulo: SBEM, 2003. 1 CD - ROM.         [ Links ]

AUSUBEL, D. P., NOVAK, J. D., HANESIAN, H. Psicologia educacional. Rio de Janeiro: Interamericana. 1978, 625p.         [ Links ]

AUSUBEL, D. P. A aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo: Moraes, 1982.         [ Links ]

AZEVEDO, L. L. Uma proposta de mudança, na licenciatura em matemática do ICLMA, apoiada na metodologia de ensino de matemática via resolução de problemas. 1998, 220f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro/SP, 1998.         [ Links ]

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) - Ensino Médio, Brasília-DF: editora, 1999.         [ Links ]

BRASIL, MEC, SEB. Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, SEB, 2006.         [ Links ]

BRASIL. Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+) - Ensino Médio, Brasília-DF, 2002.         [ Links ]

CARVALHO, D. L. Metodologia do ensino da Matemática. São Paulo: Cortez, 1994.         [ Links ]

DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. 2. ed. São Paulo: Ática, 1991.         [ Links ]

ERNEST, P. Investigações, resolução de problemas e pedagogia. In: P. Abrantes, L. C. Leal & J. P. Ponte (Orgs.).Investigar para aprender matemática: Textos selecionados. Lisboa: Projeto Matemática para todos e Associação dos Professores de Matemática, 1996, p. 25 - 47.         [ Links ]

FIORENTINI, D. Alguns Modos de Ver e Conceber o Ensino da Matemática no Brasil. Zetetiké, Campinas, ano 3, n. 4, p. 1 - 37, nov. 1995.         [ Links ]

FIORENTINI, D; MIORIN, M. A.; MIGUEL, A. Contribuição para um Repensar a Educação Algébrica Elementar. Pro-Posições, Campinas, v. 4, n. 1 [10], p. 78 - 91, mar. 1993.         [ Links ]

FIORENTINI, D.; FERNANDES, F. L. P.; CRISTOVÃO, E. M. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. In: CONGRESSO IBERO-AMERICANO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 5., 2005, Porto, Portugal. Anais... Lisboa: APM, 2005. v.1. p.1 - 13, CD - ROM.         [ Links ]

FONSECA, H., BRUNHEIRA, L.; PONTE, J. P. As actividades de investigação, o professor e a aula de matemática. . In: PROFMAT, 1999, Lisboa, Portugal. Actas... Lisboa: APM, 1999. p. 91 - 101.         [ Links ]

FONSECA, H. Os Processos Matemáticos e o discurso em atividades de investigação em sala de aula,2000. 208 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática). Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa, Lisboa, Portugal, 2000a.         [ Links ]

FONSECA, H. Aprender a ensinar investigando. In: GRUPO DE TRABALHO DE INVESTIGAÇÃO (Org). Refletir e investigar sobre a prática profissional. Lisboa: APM. 2000b, p. 177 - 188.         [ Links ]

FREGE,G. The Foundations of Arithmetic. English Translation by J. L. Austin. Oxford: Blackwell, 1959.         [ Links ]

FREGE, G. Begrissffchrift, a Formula Language, Modeled upon that of Arithmetic, for Pure Thought. In: HEIJENOORT, V. From Frege to Gödel: A Source Book Mathematical logic 1879- 1931. Cambridge: Havard University Press. 1979, p. 1 - 82.         [ Links ]

GAZIRE, E. S. Perspectivas da resolução de problemas em Educação Matemática. 1988, 170f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista. Rio Claro/SP, 1988.         [ Links ]

GOLDENBERG, E. Quatro funções da investigação na aula de matemática. In: ABRANTES, P. et. al. (Orgs.).Investigações matemáticas na aula e no currículo. Lisboa: Projeto Matemática para todos e Associação dos Professores de Matemática. 1999, p. 35 - 49.         [ Links ]

LUDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em Educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986.         [ Links ]

MANDARINO, M. C. F., Os professores e a arte de formular problemas contextualizados, 2002. Disponível em: <http://www.bienasbm.ufba.br/OF12.pdf> . Acesso em: 03 ago. 2008.         [ Links ]

MAURI, T. O que faz com que o aluno e a aluna aprendam os conteúdos escolares. In: COOL, C. et al. O Construtivismo na sala-de-aula. São Paulo: Editora Ática, 2003, p. 79 - 122.         [ Links ]

MENEGHETTI, R. C. G. O Intuitivo e o Lógico no Conhecimento Matemático: Uma análise à luz da história e da filosofia da matemática. 2001, 141f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, SP, 2001.         [ Links ]

MENEGHETTI, R. C. G. O Intuitivo e o Lógico no Conhecimento Matemático: análise de uma proposta pedagógica em relação a abordagens filosóficas atuais e ao contexto educacional da matemática. Bolema, Rio Claro, v. 22, n. 32, p. 161 - 188, abril. 2009.         [ Links ]

MENEGHETTI, R. C. G.; BICUDO, I. Uma discussão sobre a Constituição do Saber Matemático e seus Reflexos na Educação Matemática. Bolema, Rio Claro, ano 16, n. 19, p. 58 - 72. 2003.         [ Links ]

MENEGHETTI, R. C. G.; NUNES, A. C. Atividades Lúdicas e Experimentais para o ensino de frações incorporadas a uma proposta pedagógica. Educação Matemática em Revista, São Paulo, Ano 13, n. 20/21, p. 77 - 86, dez. 2006. [ Links ]

MOREIRA, M. A.; MASINI, E. F. S. Aprendizagem Significativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo: Moraes, 1982.         [ Links ]

MOREIRA, M. A. A Teoria de Ausubel. In: MOREIRA, M. A. Ensino e aprendizagem: enfoques teóricos. São Paulo, Editora Moraes, 1995, p. 61 - 73. [ Links ]

MOREIRA, M. A. Aprendizagem significativa. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1999.         [ Links ]

MOURA, A. R. L. O Lógico-histórico: uma perspectiva para o ensino de álgebra. In: SEMINÁRIO DE INVESTIGAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 13., 2002, Viseu. Actas... Viana do Castelo: APM, p. 345 - 363.         [ Links ]

NOVAK, J. D. Uma teoria de educação. Tradução de M. A. Moreira. São Paulo: Pioneira, 1981.         [ Links ]

ONUCHIC, L. R., ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino aprendizagem de matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. C. (Orgs). Educação Matemática - pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004. p. 213 - 231.         [ Links ]

ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A.V. (Org). Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas. Editora UNESP, São Paulo (SP), 1999, p. 199 - 218.         [ Links ]

PERRENOUD, P. Pedagogia diferenciada: das intenções à ação. Porto Alegre: Artes Médicas, 2000, p. 183.         [ Links ]

PINHEIRO, N. A. M. Educação crítico - reflexiva para um Ensino Médio cientifico tecnológico: a contribuição do enfoque CTS para o ensino-aprendizagem do conhecimento matemático. 2005, 306f. Tese (Doutorado em Educação Cientifica e Tecnológica) - Instituto de Ciência e Tecnologia, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2005.         [ Links ]

PONTE, J. P. Investigar, ensinar e aprender. In: PROFMAT, 2003, Lisboa, Portugal. Actas... Lisboa: APM, 2003, p. 25-39. 1 CD-ROM.         [ Links ]

PONTE, J. P. et. al. Didactica da Matemática. Lisboa: Departamento do Ensino Secundário, Ministério da Educação, 1997. p. 153-180, Cap.4.         [ Links ]

PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.         [ Links ]

PONTE, J. P., MATOS, F. Processos Cognitivos e Interações Sociais nas Investigações Matemáticas. In ABRANTES, P., LEAL, L. C.; PONTE, J. P. (Orgs.) Investigar para aprender matemática - Textos selecionados. Lisboa: Projeto MPT e APM, 1998, p. 119 - 137.         [ Links ]

POZO, J. I. (Org.) A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.         [ Links ]

ROMANATTO, M. C. O livro didático: alcances e limites, 2008. Disponível em: <http://www.sbempaulista.org.br/epem/anais/mesas_redondas/mr19Mauro.doc>. Acesso em: 27 jun. 2010.         [ Links ]

RODRIGUES, I. C., Resolução de Problemas em Aulas de Matemática para alunos de 1ª a 4ª séries do Ensino Fundamental e a Atuação dos Professores, 2006, 204f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) - Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 2006.         [ Links ]

RODRIGUES, V. Resolução de Problemas como estratégia para incentivar e desenvolver criatividade dos alunos na prática educativa matemática. 1992, 183f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro/SP, 1992.         [ Links ]

SÃO PAULO (Estado). Proposta Curricular para o Ensino de Matemática: 2º grau. São Paulo: SE/CENP, 1991.         [ Links ]

SÃO PAULO (Estado) Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática (Ensino Fundamental - ciclo II e Ensino Médio): 1º grau. São Paulo, SEE/CENP, 2008.         [ Links ]

SERRAZINA, L. et. al O papel das investigações matemáticas e profissionais na formação inicial de professores. In: PONTE, J. P. et al. (Orgs.). Actividades de investigação na aprendizagem da matemática e na formação de professores. Lisboa: SEM-SPCE, 2002, p. 41-58.         [ Links ]

TAVARES, R. Aprendizagem significativa e o ensino de ciências. Ciência e Cognição, Rio de Janeiro, v. 13, n. 1, p. 94-100, mar. 2008. Disponível em <http://www.cienciasecognicao.org/revista/index.php/cec/issue/archive>. Acesso em: 07 mai. 2008.         [ Links ]

ZABALA, A. Os Enfoques Didáticos. In: In: COOL, C.; ZABALA, A.; MARTIN, E.; SOLÉ, I.; ONRUBIA., J; MIRAS., M e MAURI,T. O Construtivismo na sala-de-aula. São Paulo: Editora Ática, 2003, p. 153 - 196. Cap 6.         [ Links ]

 

 

 Endereço para correspondência: Renata Cristina Geromel Meneghetti Avenida do trabalhador são-carlense, n.400, centro C.P. 668, CEP: 13560-970. São Carlos, SP, Brasil E-mail: rcgm@icmc.usp.br

 Endereço para correspondência: Julyette Priscila Redling Rua Jorge Chamas Sobrinho, 465 - Jd Margarida CEP: 13630-620. Pirassununga, SP, Brasil E-mail: jredling@gmail.com

Submetido em Julho de 2010 Aprovado em Novembro de 2010

 

 

* Na época em que o material foi aplicado esse valor correspondia ao salário mínimo do Brasil. 1 L.D.B n. 9.394/96 (BRASIL, 1999b, p. 46 - 47). 2 Fundação responsável pela realização dos exames vestibulares de algumas escolas de nível superior do Estado de São Paulo, inclusive de uma Universidade Pública de São Paulo de grande representatividade e importância. 3 Responsável pela realização do vestibular de uma importante universidade pública do estado de São Paulo e outras universidades públicas e particulares, além de concursos públicos do Estado de São Paulo. 6 POLYA, G. Mathematical Discovery. New York: John Wiley, 1962. 7 POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1975. 8 Esse foi um dos sentidos adotado por Kant, sendo escolhido em primeiro lugar por ser genérico - ao conceber o intuitivo como um conhecimento de apreensão imediata - e, em segundo lugar, por reconhecer que esse tipo de conhecimento pode ser tanto de natureza empírica como a priori. 9 ERNEST, P. The philosophy of mathematics education. London: Falmer.1991. 10 Referente à criação pessoal do indivíduo. 11 No sentido de ser socialmente aceito. 12 VYGOTSKY, L. Pensamento e linguagem. 3.ed. São Paulo: M. Fontes, 1991. 13 Na ocasião a primeira autora deste trabalho colaborava com o CDCC (Centro de Divulgação Cultural e Científica-USP) na coordenação de atividades de matemática para alunos do Ensino Fundamental e Médio oferecidas por este centro. 14 Situação - problema 1): A remuneração de um vendedor de uma loja de calçados é feita em duas parcelas. Uma parcela fixa de R$ 350,00 e uma parcela variável correspondente a uma comissão de 20% do total de vendas realizadas no mês. Construa a função descrita nesta situação, identifique-a e represente-a graficamente. Se esse vendedor vender R$ 1.200,00 em mercadoria no mês, quanto ele receberá? E se ele vender R$ 1.000,00? Situação - problema 2): Uma bola é lançada do solo verticalmente para cima e tem sua posição em função do tempo expressa pela função H(t) = 40t - 5t2, onde H representa a altura em metros e t representa o tempo em segundos. Em quais instantes a bola estará a uma altura de 60 metros? Identifique o tipo de função que é trabalhada nesse exercício e a represente graficamente. Na situação-problema (quarto exercício) que envolvia função do 1º grau, 11 alunos conseguiram resolvê-la e 10 identificá-la; no quinto exercício, 9 alunos conseguiram resolver e identificar como sendo do 2º grau a função presente na situação-problema proposta. 15 Com relação à construção dos gráficos, 11 alunos não conseguiram construir corretamente o gráfico representando a função do 1º grau e 9 erraram na construção do gráfico da função do 2º grau. 16 Inicia-se a criação de certa bactéria em um laboratório. Estudos indicam que o número inicial é de 200 bactérias. A cada duas horas a quantidade dobra. A fórmula que representa esta situação é dada por: N(t) = N0 . K t , onde: N0 - número inicial de bactérias, t - tempo e K - constante. Determine o numero de bactérias, 12 horas após o início do estudo. Que tipo de função está sendo trabalhada nesta situação? Represente-a graficamente.

Considerações acerca do artigo: "Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas" de Lourdes de la Rosa Onuchic

Por Mayara de Araújo Saldanha

Resumo:

Este trabalho tem como propósito fazer uma análise sobre o artigo “Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas” publicado pela Professora Doutora do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Estadual Paulista - UNESP - Rio Claro, Lourdes de la Rosa Onuchic. É apresentado um breve resgate histórico dos movimentos de reforma do ensino de matemática que marcaram o século XX, evidenciando a Metodologia de Ensino de Matemática via Resolução de Problemas como uma nova perspectiva de educação progressista, cuja implementação é sugerida através de uma proposta básica elaborada por professores especialistas nessa área.

Palavras-chave: Resolução de Problemas; Ensino-Aprendizagem; Educação Matemática.

Introdução:

Até muito recentemente, a visão que se tinha sobre resolução de problemas matemáticos era muito limitada. Os problemas tradicionalmente propostos em sala de aula, na verdade, consistiam numa reprodução de técnicas e algoritmos, incumbindo aos discentes à única tarefa de “copiar” o exemplo pré-estabelecido, desestimulando o pensamento crítico.

Não se sabia a diferença entre exercício ou problema, entre achar uma resposta ou compreender a solução. Não se admitia ter um ponto de vista diferente daquele do professor, evidenciando a despreocupação ou ignorância de boa parte dos docentes no que tange à Educação Matemática.

Ainda que as primeiras experiências com resolução de problemas tenham ocorrido há mais de cem anos, o ensino da matemática em 1950 sofreu uma

forte influência, conhecida como Matemática Moderna, que sobrepôs todas as tentativas de reformas anteriores, cujas características acentuavam uma matemática abstrata, despida de significado para os alunos.Neste contexto, Onuchic levanta as seguintes questões:

Será que as coisas mudaram ao longo do tempo? Não é assim que, na maioria das escolas, ainda hoje, se trabalha resolução de problemas? Há atualmente, educadores matemáticos preocupados com um ensino-aprendizagem de melhor qualidade? Resolução de Problemas se apresenta como um bom caminho para isso? (ONUCHIC, apud BICUDO, 1999, p.200).

Tais questões são levantadas porque atualmente a sociedade exige de todos o saber “pensar matematicamente”. Já não é suficiente “conhecer a matemática”, mas sim, saber aplicá-la sob diversas formas e contextos em que se apresenta no nosso cotidiano.

Devido a grande demanda pelo saber matemático, desde 1980, a resolução de problemas têm sido pauta de muitas discussões. Adequar o sistema educacional às novas tendências é preciso, mas não é tarefa fácil, pois o hábito da “matemática de sempre” ainda predomina o âmbito educacional.

O Ensino de Matemática através da Resolução de Problemas

É crescente no mundo inteiro o interesse pela reestruturação da Educação Matemática. Muitos pesquisadores e professores do ramo trabalham para que esta disciplina seja inserida de forma significativa na vida dos cidadãos.

Quando se tratam de questões educacionais, tem se como referência os Parâmetros Curriculares Nacionais, cujo objetivo é nortear o trabalho dos educadores na preparação do aluno para a vida como um todo. Para o ensino da Matemática os PCN’s indicam a necessidade de inserir o conhecimento matemático nas relações sociais, no trabalho e na cultura e, para tanto, sugerem a resolução de problemas como ponto de partida de atividades matemáticas.

Porém, para que se entenda o processo de ensino da Matemática através da resolução de problemas, é necessário que haja a compreensão do que é verdadeiramente um problema. Segundo Van de Walle (WALLE 2006 apud ONUCHIC 1999), “(...) um problema é qualquer tarefa ou atividade para a qual os estudantes não têm métodos ou regras prescritas ou memorizadas, nem a percepção de que haja um método específico para chegar à solução correta”.

Diferentemente de realizar exercícios, resolver um problema de matemática possibilita ao aluno pensar matematicamente, levantando idéias e hipóteses, desenvolvendo suas próprias formas de raciocínio e, assim, construindo seu

conhecimento, o que lhe garante confiança para encarar novos problemas. Nas palavras de Onuchic:

(...) os estudantes deveriam ser expostos a numerosas e variadas experiências inter-relacionadas que os encorajassem a valorizar a iniciativa em matemática, a desenvolver hábitos matemáticos da mente e a entender e apreciar o papel da Matemática no afazeres humanos (ONUCHIC, 1999, p.210);

Pensar a resolução de problema como estratégia de ensino é uma tarefa difícil, requer muito planejamento, de forma que seja coerente com as necessidades do currículo. Não se trata, portanto, de uma atividade limitada para engajar os alunos, mas sim, um meio de adquirir novos conhecimentos, em que a problematização e a aprendizagem encontram-se associadas a cada novo tópico matemático apresentado.

Tendo como foco a Metodologia Resolução de Problemas, o projeto desenvolvido pelo Grupo de Estudos em Resolução de Problemas, junto a UNESP – Rio Claro, traz a essência de como se dá essa abordagem ao definir que a problematização “(...) não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas como orientação para aprendizagem” (ONUCHIC, 1999, p.215).

É importante salientar que ao passo em que se utiliza um problema como ponto de partida é dever do professor estabelecer as conexões entre os diferentes conceitos inerentes, gerando assim, um novo conteúdo. O aprendizado, deste modo, pode ser visto como um movimento do concreto para o abstrato.

PROPOSTA BÁSICA DA UTILIZAÇÃO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COMO METODOLOGIA DE ENSINO

Esquema desenvolvido pelo grupo de pesquisadores do Programa de Pós-graduação em Educação Matemática na UNESP, de Rio Claro.

1º. FORMAR GRUPOS – ENTREGAR UMA ATIVIDADE:

Lembrar que, no mundo real, aprender é muitas vezes um processo compartilhado e que o progresso em direção a um objetivo vem através de esforços combinados de muita gente. É preciso que os estudantes experimentem este processo cooperativo e que se lhes dê a oportunidade de aprender uns com os outros. Sentimos que muito da aprendizagem em sala de aula será feita no contexto de pequenos grupos.

2º. O PAPEL DO PROFESSOR

Dentro desse trabalho, o papel do professor muda de comunicador de conhecimento para o de observador, organizador, consultor, mediador,

interventor, controlador e incentivador da aprendizagem. O professor lança questões desafiadoras e ajuda os alunos a se apoiarem, uns nos outros, para atravessa as dificuldades. O professor faz a intermediação, leva os alunos a pensar, espera que eles pensem, dá tempo para isso, acompanha sua explorações e resolve, quando necessário, problemas secundários.

3º. RESULTADOS NA LOUSA

Com o trabalho dos alunos terminado, o professor anotaria na lousa os resultados obtidos pelos diferente grupo. Anota resultados certos, errados e aqueles feitos por diferentes caminhos.

4º. PLENÁRIA

Chama os alunos todos, de todos os grupos, para uma assembléia plena. Como todos trabalharam sobre o problema dado, estão ansiosos quanto a seus resultados. Procuram defender seus pontos de vista e participam.

5º. ANÁLISE DOS RESULTADOS

Nesta fase, os ponto de dificuldade encontrados pelos alunos são novamente trabalhado. Surgem, outra vez, problemas secundários que, se não resolvidos, poderão impedir que se leve o trabalho a frente. O aspecto exploração é bastante importante nesta análise.

6º. CONSENSO

A partir da análise feita, com devida retirada das dúvidas, busca-se um consenso sobre o resultado pretendido.

7º. FORMALIZAÇÃO

Num trabalho conjunto de professor e alunos, com o professor dirigindo o trabalho, é feita uma síntese do que se objetivava aprender a partir do problema dado. São colocadas as devias definições, identificadas as propriedades e feitas as demonstrações. É importante destacar, nesse momento, o que de matemática nova se construiu, usando as novas terminologias próprias ao assunto.

REFERÊNCIAS:

BICUDO, M. A. V. (Org.) Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999.

O PROBLEMA MATEMÁTICO E SUA DIMENSÃO PROBLEMATIZADORA

Maria Aparecida Vilela Mendonça Pinto Coelho - FE/UNICAMP

Introdução

Partimos do pressuposto de que problema é uma situação para a qual não conhecemos um algoritmo ou um meio seguro para orientar a resolução. Existem vários significados atribuídos à Resolução de Problemas e diversas técnicas podem ser usadas na sua prática pedagógica, de maneiras muito diferentes, por diferentes professores. De acordo com Fiorentini (1994) esse fato ocorre devido à falta de uma teoria filosófica/epistemológica que fundamente a Resolução de Problemas. Algumas perspectivas pedagógicas sobre o tema se fazem notar na prática educativa como mais usadas, como aquela que apresenta o problema como aplicação dos conteúdos e entende que ele deve ser usado no último estágio da aprendizagem de cada tópico, após o estudo da teoria e do treinamento de técnicas operatórias ou algoritmos. Uma outra perspectiva é a que entende a Resolução de Problemas como um conteúdo técnico como qualquer outro do currículo e que deve ser ensinado através de passos ou princípios heurísticos, ou seja, ensinar sobre resolver problemas. A perspectiva da Resolução de Problemas como ponto de partida para o ensino da Matemática é aquela que entende o problema como gerador de uma situação de aprendizagem que leva o aluno a buscar o conceito matemático para solucioná-lo (ONUCHIC, 1999, 2004).

Alguns autores (CARVALHO, 1994, MENDONÇA, 1993, COELHO, 2005), entre outros, abrem espaço para a concepção de Resolução de Problemas como uma abordagem da Matemática que prioriza a compreensão e a produção de sentidos e significados dos conceitos matemáticos nas relações dialógicas. De uma forma mais ampla parecem conceber a Matemática como um corpo de conhecimento que encontra seu sentido para cada indivíduo, dentro de um determinado grupo social, em um dado momento histórico. Ainda entre os autores citados existem diferentes concepções, diferentes formas de entender o problema matemático. Para Carvalho (1994) ele deve permear todo o ensino da Matemática, ou seja, qualquer situação de aprendizagem e até mesmo os exercícios mais simples devem se constituir em oportunidades para a problematização e se desenvolver em clima de pesquisa.

‘Não se aprende Matemática para resolver problemas e, sim, se aprende Matemática resolvendo problemas’. Diante dessa perspectiva, qualquer situação que vise favorecer o aprendizado deve constituir-se em ‘situação problema para o aluno’ a que se destina, ou seja, a proposta de tarefa feita pelo professor deve ser tão interessante que crie, na classe, um clima de pesquisa, de busca de solução para os problemas que emergirem da proposta. Nessa perspectiva não existe “aula” de resolução de problemas e sim situações de ensino onde, a partir de pesquisas sobre problemas emergentes ou de propostas problematizadoras, é elaborado o conhecimento matemático, e essa elaboração suscita novos problemas (p. 82).

Mendonça (1993) nos apresenta o seu conceito de problematização, baseado nas idéias libertadoras de Paulo Freire. A autora destaca que a noção de problematização evoca um ideal para conferir significado a uma experiência de vida, uma atitude artística que se torna evidente pela arte de formular perguntas, um propósito para desinibir os poderes cognitivos e criativos do aluno. Coloca o diálogo no centro do processo de busca do conhecimento e adota como método para alcançar esse conhecimento a Modelagem Matemática. A educação problematizadora coloca como ponto de partida a exigência da superação educador-educando, sem a qual não é possível a relação dialógica. A problematização é inseparável da atitude de perguntar, ou seja, orienta-se dentro

de uma epistemologia da pergunta e confere significado a uma experiência vivida em um dado momento.

Assim, veremos que a problematização é resultante de um trabalho com todos os nossos problemas, o afetivo, o social, o emocional, o cognitivo, entre outros, visando, no caso especial da Matemática, tratá-la vinculada ao meio que envolve o educando e, naturalmente, sob esse novo paradigma, o papel histórico da Matemática na sociedade tem lugar de destaque (p. 18).

Desta forma pode-se excluir o agir por pressão externa ou sobre uma situação não experienciada pelo indivíduo. Envolve componentes subjetivos como o afeto e a emoção e procura assegurar aos alunos uma imagem valorizada de si mesmos e persuadi-los de que eles têm coisas a dizer e coisas a contribuir que valem a pena. Argumenta que os questionamentos e dúvidas são produto da ação mental do indivíduo na interação com coisas e pessoas que o despertam para o conhecimento e sob essa ótica não tem sentido entrarmos na sala de aula e deixarmos os problemas lá fora; pelo contrário, o professor tem como tarefa questionar e analisar os problemas criticamente e, se possível, fazer deles o propulsor do trabalho pedagógico. Aponta para a Modelagem Matemática como uma estratégia de aprender Matemática:

O modelo matemático é uma representação matemática, a mais aproximada possível, da situação real em estudo, cuja diferença do real é, em alguns casos, somente de escala. A modelagem matemática, por sua vez, é uma expressão derivada da primeira, tem um sentido mais global – é um processo que se inicia numa situação real (ou suposta), problematizando-a; o resultado dessa problematização é um problema que terá solução por meio de um modelo matemático. (MENDONÇA, 1993, p. 284).

A autora destaca quatro estratégias de problematização para desenvolver o seu trabalho: flagrar situações do contexto escolar ou mais amplo, convocar os alunos para a escolha de “temas geradores”, partir de um assunto (tema) previamente escolhido ou partir de um modelo matemático conhecido. Acrescenta que a problematização freiriana se constitui em uma extensão e aprimoramento da Resolução de Problemas. O estudo da Matemática parte de um contexto não matemático e a Matemática é um dos elementos usados na interpretação e na busca de solução. Trabalha com problemas matemáticos aplicados ou situações-problema reais, isto é, situações pertencentes ao mundo real. Contesta a maneira de atuar dos educadores por meio de Resolução de Problemas, como operadores de uma proposta anti-problematizadora que se destaca pela necessidade de seduzir ou conquistar através de um jogo afetivo-intelectual e a necessidade de conduzir, que consiste em antecipar uma seqüência de passos de um método e segui-los sem diagnosticar se o aluno assimilou cada um deles. Conclui que ensinar por meio de Resolução de Problemas passa a ser uma técnica a mais dentro do fazer educativo, uma atitude ainda perfeitamente enquadrável na educação condutista.

Podemos perceber que a autora (MENDONÇA, 1993) se refere à resolução de problemas na perspectiva técnica ou como aplicação de conteúdos e não como meio de ensinar Matemática, que valoriza o conhecimento prévio do aluno e sua experiência de vida. Nesta perspectiva os problemas são resolvidos pelos alunos, em grupos, e o professor é o mediador ou facilitador da aprendizagem.

Mendonça (1993) sugere uma reforma para a educação matemática baseada em maior atenção à curiosidade e ao pensamento e menos em habilidades específicas e treinamento das técnicas. A proposta da autora se refere á problematização freiriana entendida como:

- um diálogo interno e/ou externo que se instala no educando, quando ele se volta para situações de sua realidade concreta e procura desinibido investigá-la;

- um diálogo, a partir da análise do instrumental matemático, que facilita a conversão de um problema estudado na sua representação matemática, de modo a analisar problemas análogos, dentro de outros contextos. Prepara-se, desse modo, o caminho evolutivo do conhecimento matemático: a partir do estudo de problemas locais amplia-se o modelo matemático para a análise de situações mais amplas (p. 23).

Nessa perspectiva, Diniz (2001) argumenta que é preciso que o aluno se perceba como ser pensante e produtor de seu próprio conhecimento. Acredita não haver dúvidas de que bons problemas, situações próximas da realidade do aluno e temas motivadores favorecem sua aprendizagem e envolvimento, mas, na sua opinião, a situação problema não precisa ser aplicada a um contexto externo à Matemática. Por outro lado essa autora admite que, embora ela não perceba como relevante o fato de a situação problema ser ou não aplicada, escolher problemas adequados para cada aula é de grande importância no processo, visto que a perspectiva da Resolução de Problemas caracteriza-se por uma postura de inconformismo diante dos obstáculos, sendo um exercício contínuo de desenvolvimento do senso crítico e da criatividade. Na seção seguinte apresentaremos os fundamentos teóricos da Problematização que se constitui e é constituída no processo de significação sendo, portanto, uma concepção diferente da Problematização freiriana em alguns aspectos.