NOVEMBRO 2005

Provar a existência dos átomosQuímica: lei de DaltonTermodinâmica: Clausius

2º princípio: entropia aumentairreversibilidade

Teoria cinética dos gases: Maxwell e Boltzmanntemperatura absolutainterpretação estatística

teorema HOpositores: Mach, OstwaldRadioactividade

Motivação de Einstein

nRTmi 2

3v

2

1 2i

)3( d

nRTpV

Movimento Browniano

Leeuwenhoek sec. XV

Brown 1827, grãos de pólen: movimento incessante

processo não biológico (…, fragmento da Esfinge, …)

universalidade

insensível a campos externos

dependência:

tamanho das partículas, temperatura

Ingenhousz 1785

Sobre o movimento de pequenas partículas suspensas em líquidosem repouso exigido pela teoria cinético-molecular do calor

Simulação

• teoria cinética prediz movimentos aleatórios observáveis

• suspeita que o movimento é Browniano

• teste poderoso à teoria cinética

• Número de Avogadro

• neste domínio termodinâmica clássica não é válida

Número de Avogadro

tese de doutoramento: dimensões molecularesoutros métodos de medir o número de Avogadro-Loschmidt

Smoluchowski 1906

Perrin Prémio Nobel 1926

Física Atómica e Nanotecnologias

actual100221415.6

1914104.6

1865104.4

23

23

23

Número de Avogadro-Loschmidt

Einstein

termodinâmica, pressão osmótica

equilíbrio de duas correntes: difusão, deriva

lei de Stokes (hidrodinâmica) aΓ 6

Relação de Einstein

dois coeficientes de transporte: constante de difusão viscosidade

Teorema da flutuação-dissipação

a

TkD B

6

velocidade

posição desvio quadrático médio

escala de tempo (de Smoluchowski)

equação da continuidade

corrente de difusão

lei de Fick

equação de difusão

grandes tempos

sobreamortecido

)(2 tx

t

0v

x

nDj

nDt

n 2

0.

jt

n

solução

condição inicial

coeficiente de difusão

trajectórias: 1908

sem memória

não diferenciáveis

não balísticas

dDttx 2)(2 )1( d

2

4

4),(

2

d

Dt

x

Dt

etxn

)()0,( xxn

média, desvio padrão

Teorema do limite central

Lei dos grandes números

Distribuição Normal Gaussiana

22

2

)(

)(

2

1),,(

2

2

mxmx

emxPmx

Constante de Boltzmann

Constante de Boltzmann

quantidades microscópicas

entropia

teoria da informação

factor de Boltzmann

BAkNR

Wk

ppkS

B

iiiB

ln

ln

Tk

E

iBep

i

AB N

Rk

Wpi

1

Constantes Fundamentais

três constantes fundamentais:

velocidade da luz

constante de Boltzmann

constante de Planck

TkE B

,, Bkc

diferentes domínios de flutuações: térmicas, quânticas

ctx 0

TkEB

tEpxS

kpE

Valores das Constantes

temperatura ambiente

Sistema de unidades de Planck GkcB

1

Js10)18(68571054.12

34h

m/s458.792299c

J/K105650380.1 23Bk

eV40

1300 K

Equação de Langevin

0)( t

Langevin 1908 velocidade

x

V

dt

dm

v

vv

Γx

V

dt

dm

aΓ 6

1)(d

v

coeficiente de atrito

força aleatória ou estocástica

equação de

Newton

r

lei de Stokes (hidrodinâmica)

vv

Γx

V

dt

dm

Langevin: ...demonstração que é infinitamente mais simples...

xΓxdt

dmx v

v

xmdt

dxΓ

dt

dx

dt

dm 2

22

v22

Γ

TkDxTk

ΓD B

B 1

Tkm B2

1v

2

1 2 teorema da equipartição da energia

Dtx 22 assimptoticamente

relação de Einstein

hipótese de Langevin irregularidade de 0)()( ttx )(t

Ornstein e Uhlenbeck

0)( t )(2)()( ttTΓktt B

ruído branco, gaussianoequipartição da energia

m

Γ

1

dtm

teet

t ttt )(v)(v

0

i

m

Tke

m

Tket B

tB

t

i

)1(v)(v22

22

dt

dxx2

2

Γx

V

dt

dm

Teorema da flutuação-dissipaçãoirreversibilidadeequação fenomenológica

Tk

tt B )()(vcorrelação não nula:

potencial não nulo

)1(

2)( 2

0v

2

i

t

B etΓ

Tkxtx

ttΓ

Tk

ttm

Tk

B

B

2

2

dtm

teextx

tttt

i

)(11v)(

)(

0

i

Argumento de Langevin

0)()( ttx

difusão no tempo

balístico, difusivo

Processos Estocásticos

Processo de Ornstein-Uhlenbeck

ruído branco

mdt

d

v)(2

)()(ttD

m

t

m

t

)(t

)(2)()( ttTΓktt B

vv

v

Γdt

dm

dt

dx

0ΓProcesso de Wiener

Movimento Browniano e fractais

23 tr

escala

expoente de Hurst

transições de fase, grupo de renormalização

fractais

3ª lei de Kepler

2

1)()( HtBtBH

rer

GmM

dt

rdm

22

2

Auto-semelhante

dimensão fraccionária Mandelbrot

Limite sobre amortecido

Γdt

dx )(2

)()(ttD

Γ

t

Γ

t

)(2)( 20 ttDxtx ),(

),( 2 txDt

tx

Γ

v

0 Γ

Γdt

d

Γ

m v

v

Wiener

equação deSmoluchowski

),(V1

txx

ΓD(x)xΓ

deriva difusão

Equação de Kramers

0),v,(v

v1

v

),v,(v),v,(

2

2

txm

DΓΓV

m

txxt

tx

v)v(

1

v

2

2

v

m

DΓΓV

mJ

J x

0.t),v,(

J

t

x

)v(v

v

ΓVdt

dm

dt

xd

v,

xespaço de fase

Equações de LiouvilleBrinkman 1956Fokker-Planck

Uso da Equação de Langevin

Inconveniente: média sobre as trajectórias

computação paralela

Vantagem: correlações com tempos diferentes

Problema da primeira passagem

Trajectória a 2d

Passeio do Bêbado

Probabilidade 2

1

11

1

k

n

k

n

k

n CCC

n2

)1,(2

1),(

2

1)1,1( knpknpknp

Equação Mestra

Ausência de memória processo Markoviana

Equação de Chapman-Kolmogorov

modelos discretos e contínuos

j

iijjjii tptpdt

tdp)()(

)(

j

jjii tpwttp )()(

j

iijjjiii tpwtpwtpttp )()()()(

1

ij

ijii ww

Integral de Caminho

processo de Wiener

propriedade Markoviana

Iterando

Integral de Wiener

2

)(4

1

)(4),(

2

d

tttt

xx

D

ttD

ettxxP

),(),(),( 11111 iiffifif ttxxPttxxPdxttxxP

dt

dt

xd

Dif xexxP

2

4

1

)(

D

Modelo microscópico

Reversibilidade microscópica, Irreversibilidade termodinâmica

Sistema acoplado a um banho térmico

macroscópico, equilíbrio à temperatura

resposta do banho ao sistema

ruído condições iniciais do sistema correlações do ruído

macroscópico tempo de Poincaré

flutuação-dissipação

2222

2

1

2

v)(

2

v

xm

mxCxxV

m H

T

em equilíbrio termodinâmico:

resposta do sistema a uma pequena perturbação

resposta a uma flutuação espontânea

Teoria da resposta linear

pequeno desvio do equilíbrio termodinâmico

coeficientes de resposta e correlações no equilíbrio

Fórmula de Kubo

extensão a sistemas fortemente desviados do equilíbrio

Teorema Flutuação-Dissipação

Ruído de Johnson-Nyquist

Schotty1918

Johnson1928

Nyquist1928

VRIdt

dIL

)(2)()( ttTRktVtV B

tdttVtVTk

RB

)()(2

1

i

B

ttdttItITk

R0

**1 )()(1

2

1

fcorrelações no tempo ruído branco

Aplicações

• Biografia (Pais 1982): o artigo da tese era o mais citado

• Difusão poluição

• Semicondutores: transporte de electrões e lacunas

• Polímeros, problema do volume excluído

• Sistemas desordenados: teorema do limite central não é válido

• Reacções químicas

• Sistemas predador-presa

e

TkD B

• Sistemas fora do equilíbrio

variáveis lentas

• Transições de fase

bi-estabilidade, meta-estabilidade

• Economia e finanças

Bachelier, “Théorie de la Spéculation”, 1900

• Difusão das moedas de euro (condições iniciais perfeitas)

• Biologia (motor perpétuo é impossível)

motor Browniano

ressonância na presença de ruído

Einstein e as Mecânicas Estatística e Quântica

• rederivou os trabalhos de Gibbs e de Boltzmann

flutuação da energia

• aplicou a mecânica estatística à radiação electromagnética

efeito fotoeléctrico

1905, 1909 energia

regime de Wien e gás clássico

1917 momentum (eq. estocástica para o momentum)

T

ETkEE B

22

TkB

NE

V

V

V

VW

00

• estatística de Bose-Einstein

condensação B-E

• opalescência crítica

• calor específico 1907

flutuações da energia

modelo de Einstein, modelo de Debye

1

Tk

B

Be

Tk

Lei de Dulong-Petit

Flutuações

Física do sec. XIX determinista:

condições iniciais

Dois tipos de flutuações:

estatísticas

quânticas (radioactividade?)

Sistemas caóticos

efeito borboleta

Sobre a Mecânica Quântica

“God does not play dice with the universe.”

“God is subtle, but he is not malicious.”

“I like to think that the moon is there even if I am not looking at it.”

Mecânica Quântica

it

Equação de Schrödinger

Vxmt

i2

22

2

Tempo imaginário

Vxmit 2

22

2

dVT

Wiener

dV

ee 00

)(1

)(1

xD

Fórmula de Feynman-Kac medida

Formalismo da Mecânica Estatística Quântica

SIntegral de caminho de Feynman: tempo real, acçãoflutuações em torno da trajectória clássica

dtVT

it

ite)(

xD 22

*222)Re(2

ba

bababa

Processos Estocásticos Quânticos

Baixas temperaturas: efeitos quânticos

Óptica quântica

Meso e Nano tecnologias

Informação e Computação Quânticas

movimento aleatório quântico (moeda quântica)

ruído colorido

Duas abordagens:

equação de Schrödinger estocástica

equação de Liouville quântica termos adicionais

sistemas Markofianos: equação de Lindblad

Conclusões

História, importância e aplicações do movimento Browniano

Ideias em Mecânica Estatística

Mesmo problema: várias abordagens

Evolução das ideias: passagem do testemunho

… nos ombros de gigantes …

As ideias tornam-se autónomas

Aplicações e utilidade da Física

Impacto na vida do dia a dia

Beleza e elegância da Física e das Teorias Físicas

A música e a pintura permitem emoções estéticas directas

Física: ciência experimental, usa a linguagem da Matemática

Física: história que perdura e continua…