noções básicas sobre erros

Noes bsicas sobre ErrosEmanuele Santos

UFC - Universidade Federal do Cear Clculo Numrico - Professora Emanuele Santos

Agenda Representao de Nmeros Mudanas de Base

Aritmtica de Ponto Flutuante Truncamento e arredondamento

2


Objetivos Ao final desta aula, voc dever ser capaz de: Compreender porque as solues para problemas matemticos

dependem da representao numrica utilizada

Analisar as consequncias das limitaes da representao numrica em um computador

Representar um nmero em uma base qualquer e realizar mudanas de bases

3


Resoluo de Problemas usando Mtodos Numricos

4

Levantar Dados

ProblemaReal

Construir Modelo

Matemtico

Escolher Mtodo Numrico Adequado

Implementar Mtodo Computacionalmente

SoluoNumrica

Analisar resultados

Se houverajustes necessrios


Resoluo de Problemas usando Mtodos Numricos

5

Levantar Dados

ProblemaReal

Construir Modelo

Matemtico

Escolher Mtodo Numrico Adequado

Implementar Mtodo Computacionalmente

SoluoNumrica

Analisar resultados

Se houverajustes necessrios

Erros de modelagem (ex. erros decorrentes de

simplificaes)

Erros de resoluo (ex. limitao do

equipamento)

Erros de aproximao


Representao de Nmeros Solues so dependentes da representao numrica utilizada Exemplos Clculo da rea A de uma circunferncia de raio 100m

- Resultados dependentes do valor de utilizado A = 31400 m2 ou A = 31416 m2 ou A = 31415.92654 m2

- possvel calcular a rea exata?

- Qual o resultado mais preciso?

6


Representao de Nmeros Exemplos Clculo do somatrio no computador: , para xi = 0.11

7

S =30000Xi=1

xi

Em Python, preciso dupla

Em C, preciso simples3300.9851073300.0000000006285


Representao de Nmeros Observaes Clculo envolvendo nmeros que no podem ser representados por

um nmero finito de dgitos no fornecer resultado exato

o nmero de dgitos utilizados preciso Um nmero pode ter representao finita em uma base e no-finita

em outras bases

Ns usamos o sistema decimal O computador opera no sistema binrio

8


Interao com o Computador

Mudanas de bases podem introduzir erros que afetam os resultados finais dos clculos

9

Operaes no Computador

Sistema binrio

Sadade Dados

Entradade Dados

Sistema decimal

Sistema decimal

converso base 10 base 2

converso base 2 base 10


Bases Pode-se representar um nmero real N, em qualquer base b, da

seguinte forma:

onde ai {0, 1, 2, 3, ..., (b-1)}, com n e m inteiros

10

Nb =mXi=n

ai bi


Base Binria

Exemplos

11

Nb =mXi=n

ai bi

N2 =mXi=n

ai 2i, ai 2 {0, 1}

(1011)2 = 1 20 + 1 21 + 0 22 + 1 23(111.01)2 = 1 22 + 0 21 + 1 20 + 1 21 + 1 22


Base Decimal

Exemplos

12

Nb =mXi=n

ai bi

N10 =mXi=n

ai 10i, ai 2 {0, 1, . . . , 9}

(231)10 = 1 100 + 3 101 + 2 102(231.35)10 = 5 102 + 3 101 + 1 100 + 3 101 + 2 102


Mudanas de Base Base binria para base decimal Procedimento: multiplicar o dgito binrio por uma potncia

adequada de 2 e depois somar os nmeros obtidos, ou seja, calcular

13

mXi=n

ai 2i

(1011)2 = 1 20 + 1 21 + 0 22 + 1 23(111.01)2 = 1 22 + 0 21 + 1 20 + 1 21 + 1 22

= (7.25)10

= (11)2


Mudanas de Base Base decimal para base binria (parte inteira) Procedimento: dividir o nmero decimal sucessivamente por 2

14

25 21 12 2

60 230 2

11Leitura

Operaes

(25)10 = (11001)2


Mudanas de Base Base decimal para base binria (parte fracionria)

15

(0.1875) x 2 = 0.375 parte inteira = 0 e parte fracionria 0.375(0.375) x 2 = 0.75 parte inteira = 0 e parte fracionria 0.75(0.75) x 2 = 1.5 parte inteira = 1 e parte fracionria 0.5(0.5) x 2 = 1.0 parte inteira = 1 e parte fracionria 0

(0.1875)10 = (0.0011)2

(13.25)10 = (13)10 + (0.25)10 = (1101)2 + (0.01)2 = (1101.01)2(0.11)10 = (0.00011100001. . . )2

Aritmtica de Ponto Flutuante


Representao em Ponto Flutuante Sistema utilizado pelo computador para representar um nmero real r

onde: - 2 a base em que a mquina opera - e o expoente, nmeiro inteiro no intervalo [l,u]

- a mantissa e t o nmero de dgitos na mantissa

17

r = m e

m = 0.d1d2 . . . dt0 di ( 1); i = 0, . . . , t, d1 6= 0


Representao em Ponto Flutuante Dado um sistema (, t, l, u), temos: zero = 0.00...0 x l menor nmero positivo, no nulo, exatamente representvel: menor

mantissa, menor expoente l

- m = 0.100...0 x l maior nmero positivo exatamente representvel: maior mantissa,

maior expoente - M = 0... x u, onde = -1

18

{t vezes{t-1 vezes

t vezes{


Representao em Ponto Flutuante Dado um sistema (, t, l, u), temos: nmero mximo de mantissas positivas possveis:

- mantissas+ = ( -1)x t-1 nmero mximo de expoentes possveis:

- exppossveis = u - l + 1 nmero de elementos positivos representveis:

- NR+ = mantissas+ x exppossveis nmero total de elementos representveis:

- NRt = 2 x NR+ +119


Representao em Ponto Flutuante Exemplo 1 Dado o sistema de ponto flutuante SPF (3, 2, -1, 2), com a seguinte

forma de representao: O menor positivo exatamente representvel:

O maior positivo exatamente representvel:

A quantidade de reais positivos exatamente representveis: - mantissas+ = (3-1) x 31= 6 - exppossveis = 2 - (-1) + 1 = 4 - NR+ = 6 x 4 = 24

20

0.10 31 = (1 31 + 0 32) 31 = 19

0.22 32 = (2 31 + 2 32) 32 = 8

0.d1d2 3e, 0 di 2, d1 6= 0, e 2 [1, 2]


Representao em Ponto Flutuante Dado um sistema (, t, l, u), seja o seguinte conjunto:

Dado um nmero real x, trs casos podem acontecer: x G e x no representvel: truncamento ou arredondamento |x| < m: underflow |x| > M: overflow

21

G = {x 2 R |m |x| M}


Representao em Ponto Flutuante: Exemplo 2 O sistema SPF (10, 3, -5, 5), usa a seguinte forma para representar os

nmeros:

zero: 0.000 x 10-5 menor nmero positivo: m = 0.100 x 10-5 = 10-6 maior nmero positivo: M = 0.999 x 105 = 99900 representando x = 235.89:

- x = 0.23589 x 103, 5 > t = 3; 0.235 x 103 < x < 0.236 x 103

- truncamento: x = 0.235 x 103, arredondamento: x = 0.236 x 103

22

0.d1d2d3 10e, 0 di 9, d1 6= 0, e 2 [5, 5]


Preciso simples e dupla simples: 32 bits

- 1 bit sinal, 8 bits expoente, 23 bits mantissa

dupla: 64 bits 1 bit sinal, 11 bits expoente, 52 bits mantissa

23


Representao em Ponto Flutuante: Exerccio Questo 9, p. 23: Considere uma mquina cujo sistema de

representao de nmeros definido por: = 10, t = 4, l=-5 e u = 5. Pede-se:

a) qual o menor e o maior nmero em mdulo representados nesta mquina?

b) como ser representado o nmero 73.758 nesta mquina, se for usando arredondamento? E se for usado truncamento?

24

noções básicas sobre erros

Documents