1

NEEJA NUacuteCLEO DE EDUCACcedilAtildeO DE JOVENS E ADULTOS

CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO

APOSTILA DE MATEMAacuteTICA

ENSINO MEacuteDIO

MOacuteDULO - 8

PROFESSOR Suzerly Fatima Bonotto

Ano 2015

2

MOacuteDULO 8

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21

----------------)

3

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

4

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

5

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

6

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1

48=3

48|3=

16=

=

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

7

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

8

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

9

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

10

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

11

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

12

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

2

MOacuteDULO 8

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21

----------------)

3

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

4

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

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5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

5

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

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Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1

48=3

48|3=

16=

=

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

7

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

8

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

9

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

10

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

11

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

12

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

3

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

4

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

5

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

6

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1

48=3

48|3=

16=

=

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

7

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

8

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

9

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

10

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

11

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

12

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

4

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

5

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

6

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1

48=3

48|3=

16=

=

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

7

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

8

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

9

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

10

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

11

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

12

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

5

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

6

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1

48=3

48|3=

16=

=

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

7

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

8

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

9

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

10

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

11

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

12

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

6

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1

48=3

48|3=

16=

=

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

7

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

8

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

9

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

10

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

11

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

12

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

7

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

8

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

9

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

10

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

11

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

12

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

8

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

9

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

10

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

11

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

12

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

9

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

10

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

11

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

12

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

10

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

11

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

12

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

11

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

12

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

12

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

13

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

14

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

15

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

16

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

17

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(

) B=(

) C=(

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

Dada a matriz

A (

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(

)+(

) = b)(

) -(

) = c) (

) + (

) =

d) (

) -(

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|

| b)|

|

18

c)|

|

d)|

|

e)

f)

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute

Pn= n

Exemplos P3 = 3 =321 = 6

19

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugares

P5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

18

c)|

|

d)|

|

e)

f)

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute

Pn= n

Exemplos P3 = 3 =321 = 6

19

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugares

P5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

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Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugares

P5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

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EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

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