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1 NEEJA: NÚCLEO DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO” APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO PROFESSORA: Suzerly Fatima Bonotto

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Page 1: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

1

NEEJA NUacuteCLEO DE EDUCACcedilAtildeO DE JOVENS E ADULTOS

CONSTRUINDO UM NOVO MUNDOrdquo

APOSTILA DE MATEMAacuteTICA

ENSINO MEacuteDIO

PROFESSORA Suzerly Fatima Bonotto

2

NEEJA-NUacuteCLEO ESTADUAL DE EDUCACcedilAtildeODE JOVENS E ADULTOS ldquoCULTURA POPULAR CONSTRUINDO UM NOVO MUNDOrdquo

APOSTILA DE MATEMAacuteTICA - ENSINO MEacuteDIO

AacuteLGEBRA-

A aacutelgebra trata de fatos geneacutericos da aritmeacutetica dos nuacutemeros das matrizes

dos vetores dos polinocircmios para citar apenas alguns Assim como aritmeacutetica dos

nuacutemeros a aacutelgebra tambeacutem trata de operaccedilotildees lsquoe de suas propriedades A palavra

ldquoaritmeacuteticardquo origina-se do grego arithmos que quer dizer nuacutemeros

A aacutelgebra vai trabalhar com a linguagem matemaacutetica como instrumento de

comunicaccedilatildeo a serviccedilo do desenvolvimento cientiacutefico e tecnoloacutegico Por ser

universalmente utilizada e compreendida e por causa do uso crescente da tecnologia

(computadores telefones celulares entre outras) a linguagem matemaacutetica eacute cada vez

mais necessaacuteria Atualmente o conhecimento matemaacutetico vem se tornando fundamental

para quase todas as atividades profissionais para a compreensatildeo da informaccedilatildeo e para

que haja maior intercacircmbio entre os povos de vaacuterias liacutenguas Aleacutem disso vaacuterias

ciecircncias como a Fiacutesica e a Quiacutemica exprimem suas leis e resultados de pesquisa

utilizando a linguagem algeacutebrica Vocecirc sabe o que significa a expressatildeo x+1 Saberia

dizer o valor de x se x+1=5 Qual eacute o nome que se daacute a essa uacuteltima expressatildeo E o

resultado x+2x+4+5x

A seguir estudaremos equaccedilotildees do 1deggrau (nome dado a essas expressotildees)

comeccedilando com expressotildees mais simples para facilitar a compreensatildeo Leia o quadro

ao lado e conheccedila um pouco do termo aacutelgebra e sua utilizaccedilatildeo Tente descobrir o que

estaacute sendo feito na tabela a seguir

Caacutelculo do valor numeacuterico de expressotildees

Expressatildeo Variaacutevel Valor

numeacuterico se a

variaacutevel vale 1

Valor

numeacuterico se a

variaacutevel vale 2

Valor

numeacuterico se a

variaacutevel vale 0

x+1 x 1+1=2 2+1=3 0+1=1

p-4 p 1-4=-3 2-4=-2 0-4=-4

2y+5 y 21+1+5=7 22+5=9 20+5=5

zsup2-z z 1sup2-1=1-1=0 2sup2-2=4-2 0sup2-0=0

3t+t t 31+1=4 32+2=8 30+0=0

Vocecirc deve ter repara do que a letra em cada expressatildeo eacute atribuiacuteda pelo valor

indicado Nesse caso os valores satildeo 01 e 2Vale lembrar que uma expressatildeo algeacutebrica

pode representar constantes variaacuteveis ou uma combinaccedilatildeo delas por meio de uma

3

sequumlecircncia de Operaccedilotildees matemaacuteticas (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo multiplicaccedilatildeo divisatildeo

radiciaccedilatildeo potenciaccedilatildeo) Ou seja nuacutemeros e letras satildeo unidos por meio de operaccedilotildees

matemaacuteticas As letras podem assumir qualquer valor numeacuterico e sendo assim

constituem a parte variaacutevel da expressatildeo Por isso podemos chamaacute-las de variaacutevel

1 Expresse usando a linguagem algeacutebrica

a) O dobro da idade de Joatildeo

b) A idade de meu avocirc eacute o triplo da minha idade

c)Soma de um nuacutemero com314 eacute igual a 4765

d) A soma de dos nuacutemeros desconhecidos

e)O nuacutemero de meninas numa turma de 46 alunos dos quais 25 satildeo meninos

2 Determine o valor numeacuterico das expressotildees algeacutebricas

a )x+4 para x=4

b)p-4 para p=4

c )2k-3 para k=1

d)4-y para y=0

e)5t+6 para t=2

3 Calcule o valor de x nas equaccedilotildees

a) 3x=90 g) 2=7y-5

b) 2x+80=3x h) 5c+2=3-9

c) x+50=3x+20 d) x-5=8 e) x-5=8 f) 3x+6=12

FUNCcedilOtildeES

O estudo das funccedilotildees eacute importante uma vez que elas podem ser aplicadas em

diferentes circunstacircncias nas engenharias no caacutelculo estatiacutestico de animais em

extinccedilatildeo etc O significado de funccedilatildeo eacute intriacutenseco agrave matemaacutetica permanecendo o

mesmo para qualquer tipo de funccedilatildeo seja ela do 1deg ou do 2deg grau ou uma funccedilatildeo

exponencial ou logariacutetmica Portanto a funccedilatildeo eacute utilizada para relacionar valores

numeacutericos de uma determinada expressatildeo algeacutebrica de acordo com cada valor que a

4

variaacutevel x assume Sendo assim a funccedilatildeo do 1deg grau relacionaraacute os valores numeacutericos

obtidos de expressotildees algeacutebricas do tipo (ax + b) constituindo assim a funccedilatildeo f(x) = ax

+ b

Note que para definir a funccedilatildeo do 1deg grau basta haver uma expressatildeo algeacutebrica

do 1deg grau Como dito anteriormente o objetivo da funccedilatildeo eacute relacionar para cada valor

de x um valor para o f(x) Vejamos um exemplo para a funccedilatildeo f(x)= x ndash 2

x = 1 temos que f(1) = 1 ndash 2 = ndash 1

x = 4 temos que f(4) = 4 ndash 2 = 2

Note que os valores numeacutericos mudam conforme o valor de x eacute alterado sendo

assim obtemos diversos pares ordenados constituiacutedos da seguinte maneira (x f(x))

Veja que para cada coordenada x iremos obter uma coordenada f(x) Isso auxilia na

construccedilatildeo de graacuteficos das funccedilotildees

Portanto para que o estudo das funccedilotildees do 1deg grau seja realizado com sucesso

compreenda bem a construccedilatildeo de um graacutefico e a manipulaccedilatildeo algeacutebrica das incoacutegnitas e

dos coeficientes

Exemplo- 1

1-Uma pessoa vai escolher um plano de sauacutede entre duas opccedilotildees A e B

Condiccedilotildees dos planos

Plano A cobra um valor fixo mensal de R$ 14000 e R$ 2000 por consulta num certo

periacuteodo

Plano B cobra um valor fixo mensal de R$ 11000 e R$ 2500 por consulta num certo

periacuteodo

Temos que o gasto total de cada plano eacute dado em funccedilatildeo do nuacutemero de consultas x

dentro do periacuteodo preacute ndash estabelecido

Vamos determinar

a) A funccedilatildeo correspondente a cada plano

b) Em qual situaccedilatildeo o plano A eacute mais econocircmico o plano B eacute mais econocircmico os dois

se equivalem

a) Plano A f(x) = 20x + 140

5

Plano B g(x) = 25x + 110

b) Para que o plano A seja mais econocircmico

g(x) gt f(x)

25x + 110 gt 20x + 140

25x ndash 20x gt 140 ndash 110

5x gt 30

x gt 305

x gt 6

Para que o Plano B seja mais

Econocircmico

g(x) lt f(x)

25x+110lt20x+140

25x-20xlt140-110

5xlt30 xlt305 xlt 6

Para que eles sejam equivalentes

g(x) = f(x)

25x + 110 = 20x + 140

25x ndash 20x = 140-110

5x = 30

x = 305 x = 6

O plano mais econocircmico seraacute

Plano A = quando o nuacutemero de consultas for maior que 6

Plano B = quando nuacutemero de consultas for menor que 6

Os dois planos seratildeo equivalentes quando o nuacutemero de consultas for igual a 6

Exemplo 2-

Na produccedilatildeo de peccedilas uma faacutebrica tem um custo fixo de R$ 1600 mais um custo

variaacutevel de R$ 150 por unidade produzida Sendo x o nuacutemero de peccedilas unitaacuterias

produzidas determine

a) A lei da funccedilatildeo que fornece o custo da produccedilatildeo de x peccedilas

b) Calcule o custo de produccedilatildeo de 400 peccedilas

6

Respostas

a) f(x) = 15x + 16

b) f(x) = 15x + 16

f(400) = 15 x 400 + 16

f(400) = 600 + 16

f(400) = 616

O custo para produzir 400 peccedilas seraacute de R$ 61600

Exemplo 3

3- Em uma determinada cidade os taacutexis comuns cobram R$320 pela bandeirada e

R$120 pelo quilocircmetro rodado Sendo y o valor a ser pago e x os quilocircmetros

percorridos

1 Quanto o passageiro pagaraacute caso percorra somente 1 km

2 E se ele percorrer 3 km

3 E se percorrer 5 km

4 Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y construa um

diagrama de flechas

5 Qual a relaccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y(valor a ser pago) e x

(quilocircmetros percorridos)

Agora veja a soluccedilatildeo dos exerciacutecios

1 Aqui o valor da bandeira eacute fixo e a quantidade de quilocircmetros rodados iraacute variar

Assim temos y=320+120 1=440(caso o passageiro percorra somente 1km)

2 Caso percorra 3 km temos y=320+120 3= R$680

3 Caso ele percorra 5 km temos y=320+120 5=9204

4 A partir dos valores de x(quilocircmetros percorridos) indicados em A podemos construir

o seguinte diagrama de flechas

1

5

15

440

920

2120

7

5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros

percorridos) eacute y= 320+ 120 x

Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo

Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo

x

Passagens 1 2 4 7

Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890

Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050

Conseguiu responder Vamos verificar

Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero

desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo

270 n=4050 n=4050270 =15

A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute

variaacutevel nessa situaccedilatildeo

De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda

independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra

das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas

Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser

expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute

a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a

independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x

(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)

tambeacutem aumenta

NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO

A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem

variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um

quadrado com a sua aacuterea

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L2

8

Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado

depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu

lado

Exerciacutecios

1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que

seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais

Tempo (minutos) Preccedilo (reais)

1 095

2 190

3 285

4 080

5 475

Responda

a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que

b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo

c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos

d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o

celular em horas

Exerciacutecio 2

Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos

em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro

do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e

estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x

(quantidade de aacutelcool)

DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS

Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)

1 098

15

22

9

DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO

Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar

cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que

relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem

os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do

quadrado Teremos que

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L

2

O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu

quadrado em B

Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute

sai uma flecha de cada elemento de A

Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )

que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x

2

Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas

Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir

uma uacutenica flecha Observe

1

2

3

4

1

4

9

16

10

Temos que

Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo

Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo

Exerciacutecios

2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona

desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A

em B

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo

Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B

Temos que

A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o

representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute

chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )

Observe

Seja e vamos considerar a funccedilatildeo

que transforma em

11

Temos que

eacute definida por ou

ou

ou

Exerciacutecios

3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine

a) D(f)

b) CD(f)

c) Im(f)

d) f(3)

e) f(4)

f) x quando y=8

g) y quando x=3

h) f(x) quando x=4

4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio

Determine a imagem de f

5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do

nuacutemero 5

6 Dada a funccedilatildeo Determine e

12

7 Se e calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal

As duas retas satildeo chamadas de eixos

Eixo das abscissas reta x

Eixo das coordenadas reta y

Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem

O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas

O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 2: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

2

NEEJA-NUacuteCLEO ESTADUAL DE EDUCACcedilAtildeODE JOVENS E ADULTOS ldquoCULTURA POPULAR CONSTRUINDO UM NOVO MUNDOrdquo

APOSTILA DE MATEMAacuteTICA - ENSINO MEacuteDIO

AacuteLGEBRA-

A aacutelgebra trata de fatos geneacutericos da aritmeacutetica dos nuacutemeros das matrizes

dos vetores dos polinocircmios para citar apenas alguns Assim como aritmeacutetica dos

nuacutemeros a aacutelgebra tambeacutem trata de operaccedilotildees lsquoe de suas propriedades A palavra

ldquoaritmeacuteticardquo origina-se do grego arithmos que quer dizer nuacutemeros

A aacutelgebra vai trabalhar com a linguagem matemaacutetica como instrumento de

comunicaccedilatildeo a serviccedilo do desenvolvimento cientiacutefico e tecnoloacutegico Por ser

universalmente utilizada e compreendida e por causa do uso crescente da tecnologia

(computadores telefones celulares entre outras) a linguagem matemaacutetica eacute cada vez

mais necessaacuteria Atualmente o conhecimento matemaacutetico vem se tornando fundamental

para quase todas as atividades profissionais para a compreensatildeo da informaccedilatildeo e para

que haja maior intercacircmbio entre os povos de vaacuterias liacutenguas Aleacutem disso vaacuterias

ciecircncias como a Fiacutesica e a Quiacutemica exprimem suas leis e resultados de pesquisa

utilizando a linguagem algeacutebrica Vocecirc sabe o que significa a expressatildeo x+1 Saberia

dizer o valor de x se x+1=5 Qual eacute o nome que se daacute a essa uacuteltima expressatildeo E o

resultado x+2x+4+5x

A seguir estudaremos equaccedilotildees do 1deggrau (nome dado a essas expressotildees)

comeccedilando com expressotildees mais simples para facilitar a compreensatildeo Leia o quadro

ao lado e conheccedila um pouco do termo aacutelgebra e sua utilizaccedilatildeo Tente descobrir o que

estaacute sendo feito na tabela a seguir

Caacutelculo do valor numeacuterico de expressotildees

Expressatildeo Variaacutevel Valor

numeacuterico se a

variaacutevel vale 1

Valor

numeacuterico se a

variaacutevel vale 2

Valor

numeacuterico se a

variaacutevel vale 0

x+1 x 1+1=2 2+1=3 0+1=1

p-4 p 1-4=-3 2-4=-2 0-4=-4

2y+5 y 21+1+5=7 22+5=9 20+5=5

zsup2-z z 1sup2-1=1-1=0 2sup2-2=4-2 0sup2-0=0

3t+t t 31+1=4 32+2=8 30+0=0

Vocecirc deve ter repara do que a letra em cada expressatildeo eacute atribuiacuteda pelo valor

indicado Nesse caso os valores satildeo 01 e 2Vale lembrar que uma expressatildeo algeacutebrica

pode representar constantes variaacuteveis ou uma combinaccedilatildeo delas por meio de uma

3

sequumlecircncia de Operaccedilotildees matemaacuteticas (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo multiplicaccedilatildeo divisatildeo

radiciaccedilatildeo potenciaccedilatildeo) Ou seja nuacutemeros e letras satildeo unidos por meio de operaccedilotildees

matemaacuteticas As letras podem assumir qualquer valor numeacuterico e sendo assim

constituem a parte variaacutevel da expressatildeo Por isso podemos chamaacute-las de variaacutevel

1 Expresse usando a linguagem algeacutebrica

a) O dobro da idade de Joatildeo

b) A idade de meu avocirc eacute o triplo da minha idade

c)Soma de um nuacutemero com314 eacute igual a 4765

d) A soma de dos nuacutemeros desconhecidos

e)O nuacutemero de meninas numa turma de 46 alunos dos quais 25 satildeo meninos

2 Determine o valor numeacuterico das expressotildees algeacutebricas

a )x+4 para x=4

b)p-4 para p=4

c )2k-3 para k=1

d)4-y para y=0

e)5t+6 para t=2

3 Calcule o valor de x nas equaccedilotildees

a) 3x=90 g) 2=7y-5

b) 2x+80=3x h) 5c+2=3-9

c) x+50=3x+20 d) x-5=8 e) x-5=8 f) 3x+6=12

FUNCcedilOtildeES

O estudo das funccedilotildees eacute importante uma vez que elas podem ser aplicadas em

diferentes circunstacircncias nas engenharias no caacutelculo estatiacutestico de animais em

extinccedilatildeo etc O significado de funccedilatildeo eacute intriacutenseco agrave matemaacutetica permanecendo o

mesmo para qualquer tipo de funccedilatildeo seja ela do 1deg ou do 2deg grau ou uma funccedilatildeo

exponencial ou logariacutetmica Portanto a funccedilatildeo eacute utilizada para relacionar valores

numeacutericos de uma determinada expressatildeo algeacutebrica de acordo com cada valor que a

4

variaacutevel x assume Sendo assim a funccedilatildeo do 1deg grau relacionaraacute os valores numeacutericos

obtidos de expressotildees algeacutebricas do tipo (ax + b) constituindo assim a funccedilatildeo f(x) = ax

+ b

Note que para definir a funccedilatildeo do 1deg grau basta haver uma expressatildeo algeacutebrica

do 1deg grau Como dito anteriormente o objetivo da funccedilatildeo eacute relacionar para cada valor

de x um valor para o f(x) Vejamos um exemplo para a funccedilatildeo f(x)= x ndash 2

x = 1 temos que f(1) = 1 ndash 2 = ndash 1

x = 4 temos que f(4) = 4 ndash 2 = 2

Note que os valores numeacutericos mudam conforme o valor de x eacute alterado sendo

assim obtemos diversos pares ordenados constituiacutedos da seguinte maneira (x f(x))

Veja que para cada coordenada x iremos obter uma coordenada f(x) Isso auxilia na

construccedilatildeo de graacuteficos das funccedilotildees

Portanto para que o estudo das funccedilotildees do 1deg grau seja realizado com sucesso

compreenda bem a construccedilatildeo de um graacutefico e a manipulaccedilatildeo algeacutebrica das incoacutegnitas e

dos coeficientes

Exemplo- 1

1-Uma pessoa vai escolher um plano de sauacutede entre duas opccedilotildees A e B

Condiccedilotildees dos planos

Plano A cobra um valor fixo mensal de R$ 14000 e R$ 2000 por consulta num certo

periacuteodo

Plano B cobra um valor fixo mensal de R$ 11000 e R$ 2500 por consulta num certo

periacuteodo

Temos que o gasto total de cada plano eacute dado em funccedilatildeo do nuacutemero de consultas x

dentro do periacuteodo preacute ndash estabelecido

Vamos determinar

a) A funccedilatildeo correspondente a cada plano

b) Em qual situaccedilatildeo o plano A eacute mais econocircmico o plano B eacute mais econocircmico os dois

se equivalem

a) Plano A f(x) = 20x + 140

5

Plano B g(x) = 25x + 110

b) Para que o plano A seja mais econocircmico

g(x) gt f(x)

25x + 110 gt 20x + 140

25x ndash 20x gt 140 ndash 110

5x gt 30

x gt 305

x gt 6

Para que o Plano B seja mais

Econocircmico

g(x) lt f(x)

25x+110lt20x+140

25x-20xlt140-110

5xlt30 xlt305 xlt 6

Para que eles sejam equivalentes

g(x) = f(x)

25x + 110 = 20x + 140

25x ndash 20x = 140-110

5x = 30

x = 305 x = 6

O plano mais econocircmico seraacute

Plano A = quando o nuacutemero de consultas for maior que 6

Plano B = quando nuacutemero de consultas for menor que 6

Os dois planos seratildeo equivalentes quando o nuacutemero de consultas for igual a 6

Exemplo 2-

Na produccedilatildeo de peccedilas uma faacutebrica tem um custo fixo de R$ 1600 mais um custo

variaacutevel de R$ 150 por unidade produzida Sendo x o nuacutemero de peccedilas unitaacuterias

produzidas determine

a) A lei da funccedilatildeo que fornece o custo da produccedilatildeo de x peccedilas

b) Calcule o custo de produccedilatildeo de 400 peccedilas

6

Respostas

a) f(x) = 15x + 16

b) f(x) = 15x + 16

f(400) = 15 x 400 + 16

f(400) = 600 + 16

f(400) = 616

O custo para produzir 400 peccedilas seraacute de R$ 61600

Exemplo 3

3- Em uma determinada cidade os taacutexis comuns cobram R$320 pela bandeirada e

R$120 pelo quilocircmetro rodado Sendo y o valor a ser pago e x os quilocircmetros

percorridos

1 Quanto o passageiro pagaraacute caso percorra somente 1 km

2 E se ele percorrer 3 km

3 E se percorrer 5 km

4 Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y construa um

diagrama de flechas

5 Qual a relaccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y(valor a ser pago) e x

(quilocircmetros percorridos)

Agora veja a soluccedilatildeo dos exerciacutecios

1 Aqui o valor da bandeira eacute fixo e a quantidade de quilocircmetros rodados iraacute variar

Assim temos y=320+120 1=440(caso o passageiro percorra somente 1km)

2 Caso percorra 3 km temos y=320+120 3= R$680

3 Caso ele percorra 5 km temos y=320+120 5=9204

4 A partir dos valores de x(quilocircmetros percorridos) indicados em A podemos construir

o seguinte diagrama de flechas

1

5

15

440

920

2120

7

5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros

percorridos) eacute y= 320+ 120 x

Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo

Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo

x

Passagens 1 2 4 7

Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890

Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050

Conseguiu responder Vamos verificar

Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero

desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo

270 n=4050 n=4050270 =15

A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute

variaacutevel nessa situaccedilatildeo

De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda

independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra

das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas

Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser

expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute

a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a

independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x

(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)

tambeacutem aumenta

NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO

A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem

variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um

quadrado com a sua aacuterea

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L2

8

Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado

depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu

lado

Exerciacutecios

1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que

seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais

Tempo (minutos) Preccedilo (reais)

1 095

2 190

3 285

4 080

5 475

Responda

a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que

b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo

c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos

d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o

celular em horas

Exerciacutecio 2

Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos

em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro

do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e

estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x

(quantidade de aacutelcool)

DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS

Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)

1 098

15

22

9

DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO

Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar

cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que

relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem

os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do

quadrado Teremos que

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L

2

O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu

quadrado em B

Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute

sai uma flecha de cada elemento de A

Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )

que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x

2

Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas

Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir

uma uacutenica flecha Observe

1

2

3

4

1

4

9

16

10

Temos que

Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo

Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo

Exerciacutecios

2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona

desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A

em B

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo

Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B

Temos que

A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o

representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute

chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )

Observe

Seja e vamos considerar a funccedilatildeo

que transforma em

11

Temos que

eacute definida por ou

ou

ou

Exerciacutecios

3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine

a) D(f)

b) CD(f)

c) Im(f)

d) f(3)

e) f(4)

f) x quando y=8

g) y quando x=3

h) f(x) quando x=4

4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio

Determine a imagem de f

5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do

nuacutemero 5

6 Dada a funccedilatildeo Determine e

12

7 Se e calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal

As duas retas satildeo chamadas de eixos

Eixo das abscissas reta x

Eixo das coordenadas reta y

Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem

O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas

O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 3: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

3

sequumlecircncia de Operaccedilotildees matemaacuteticas (adiccedilatildeo subtraccedilatildeo multiplicaccedilatildeo divisatildeo

radiciaccedilatildeo potenciaccedilatildeo) Ou seja nuacutemeros e letras satildeo unidos por meio de operaccedilotildees

matemaacuteticas As letras podem assumir qualquer valor numeacuterico e sendo assim

constituem a parte variaacutevel da expressatildeo Por isso podemos chamaacute-las de variaacutevel

1 Expresse usando a linguagem algeacutebrica

a) O dobro da idade de Joatildeo

b) A idade de meu avocirc eacute o triplo da minha idade

c)Soma de um nuacutemero com314 eacute igual a 4765

d) A soma de dos nuacutemeros desconhecidos

e)O nuacutemero de meninas numa turma de 46 alunos dos quais 25 satildeo meninos

2 Determine o valor numeacuterico das expressotildees algeacutebricas

a )x+4 para x=4

b)p-4 para p=4

c )2k-3 para k=1

d)4-y para y=0

e)5t+6 para t=2

3 Calcule o valor de x nas equaccedilotildees

a) 3x=90 g) 2=7y-5

b) 2x+80=3x h) 5c+2=3-9

c) x+50=3x+20 d) x-5=8 e) x-5=8 f) 3x+6=12

FUNCcedilOtildeES

O estudo das funccedilotildees eacute importante uma vez que elas podem ser aplicadas em

diferentes circunstacircncias nas engenharias no caacutelculo estatiacutestico de animais em

extinccedilatildeo etc O significado de funccedilatildeo eacute intriacutenseco agrave matemaacutetica permanecendo o

mesmo para qualquer tipo de funccedilatildeo seja ela do 1deg ou do 2deg grau ou uma funccedilatildeo

exponencial ou logariacutetmica Portanto a funccedilatildeo eacute utilizada para relacionar valores

numeacutericos de uma determinada expressatildeo algeacutebrica de acordo com cada valor que a

4

variaacutevel x assume Sendo assim a funccedilatildeo do 1deg grau relacionaraacute os valores numeacutericos

obtidos de expressotildees algeacutebricas do tipo (ax + b) constituindo assim a funccedilatildeo f(x) = ax

+ b

Note que para definir a funccedilatildeo do 1deg grau basta haver uma expressatildeo algeacutebrica

do 1deg grau Como dito anteriormente o objetivo da funccedilatildeo eacute relacionar para cada valor

de x um valor para o f(x) Vejamos um exemplo para a funccedilatildeo f(x)= x ndash 2

x = 1 temos que f(1) = 1 ndash 2 = ndash 1

x = 4 temos que f(4) = 4 ndash 2 = 2

Note que os valores numeacutericos mudam conforme o valor de x eacute alterado sendo

assim obtemos diversos pares ordenados constituiacutedos da seguinte maneira (x f(x))

Veja que para cada coordenada x iremos obter uma coordenada f(x) Isso auxilia na

construccedilatildeo de graacuteficos das funccedilotildees

Portanto para que o estudo das funccedilotildees do 1deg grau seja realizado com sucesso

compreenda bem a construccedilatildeo de um graacutefico e a manipulaccedilatildeo algeacutebrica das incoacutegnitas e

dos coeficientes

Exemplo- 1

1-Uma pessoa vai escolher um plano de sauacutede entre duas opccedilotildees A e B

Condiccedilotildees dos planos

Plano A cobra um valor fixo mensal de R$ 14000 e R$ 2000 por consulta num certo

periacuteodo

Plano B cobra um valor fixo mensal de R$ 11000 e R$ 2500 por consulta num certo

periacuteodo

Temos que o gasto total de cada plano eacute dado em funccedilatildeo do nuacutemero de consultas x

dentro do periacuteodo preacute ndash estabelecido

Vamos determinar

a) A funccedilatildeo correspondente a cada plano

b) Em qual situaccedilatildeo o plano A eacute mais econocircmico o plano B eacute mais econocircmico os dois

se equivalem

a) Plano A f(x) = 20x + 140

5

Plano B g(x) = 25x + 110

b) Para que o plano A seja mais econocircmico

g(x) gt f(x)

25x + 110 gt 20x + 140

25x ndash 20x gt 140 ndash 110

5x gt 30

x gt 305

x gt 6

Para que o Plano B seja mais

Econocircmico

g(x) lt f(x)

25x+110lt20x+140

25x-20xlt140-110

5xlt30 xlt305 xlt 6

Para que eles sejam equivalentes

g(x) = f(x)

25x + 110 = 20x + 140

25x ndash 20x = 140-110

5x = 30

x = 305 x = 6

O plano mais econocircmico seraacute

Plano A = quando o nuacutemero de consultas for maior que 6

Plano B = quando nuacutemero de consultas for menor que 6

Os dois planos seratildeo equivalentes quando o nuacutemero de consultas for igual a 6

Exemplo 2-

Na produccedilatildeo de peccedilas uma faacutebrica tem um custo fixo de R$ 1600 mais um custo

variaacutevel de R$ 150 por unidade produzida Sendo x o nuacutemero de peccedilas unitaacuterias

produzidas determine

a) A lei da funccedilatildeo que fornece o custo da produccedilatildeo de x peccedilas

b) Calcule o custo de produccedilatildeo de 400 peccedilas

6

Respostas

a) f(x) = 15x + 16

b) f(x) = 15x + 16

f(400) = 15 x 400 + 16

f(400) = 600 + 16

f(400) = 616

O custo para produzir 400 peccedilas seraacute de R$ 61600

Exemplo 3

3- Em uma determinada cidade os taacutexis comuns cobram R$320 pela bandeirada e

R$120 pelo quilocircmetro rodado Sendo y o valor a ser pago e x os quilocircmetros

percorridos

1 Quanto o passageiro pagaraacute caso percorra somente 1 km

2 E se ele percorrer 3 km

3 E se percorrer 5 km

4 Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y construa um

diagrama de flechas

5 Qual a relaccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y(valor a ser pago) e x

(quilocircmetros percorridos)

Agora veja a soluccedilatildeo dos exerciacutecios

1 Aqui o valor da bandeira eacute fixo e a quantidade de quilocircmetros rodados iraacute variar

Assim temos y=320+120 1=440(caso o passageiro percorra somente 1km)

2 Caso percorra 3 km temos y=320+120 3= R$680

3 Caso ele percorra 5 km temos y=320+120 5=9204

4 A partir dos valores de x(quilocircmetros percorridos) indicados em A podemos construir

o seguinte diagrama de flechas

1

5

15

440

920

2120

7

5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros

percorridos) eacute y= 320+ 120 x

Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo

Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo

x

Passagens 1 2 4 7

Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890

Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050

Conseguiu responder Vamos verificar

Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero

desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo

270 n=4050 n=4050270 =15

A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute

variaacutevel nessa situaccedilatildeo

De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda

independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra

das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas

Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser

expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute

a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a

independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x

(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)

tambeacutem aumenta

NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO

A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem

variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um

quadrado com a sua aacuterea

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L2

8

Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado

depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu

lado

Exerciacutecios

1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que

seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais

Tempo (minutos) Preccedilo (reais)

1 095

2 190

3 285

4 080

5 475

Responda

a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que

b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo

c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos

d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o

celular em horas

Exerciacutecio 2

Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos

em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro

do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e

estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x

(quantidade de aacutelcool)

DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS

Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)

1 098

15

22

9

DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO

Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar

cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que

relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem

os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do

quadrado Teremos que

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L

2

O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu

quadrado em B

Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute

sai uma flecha de cada elemento de A

Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )

que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x

2

Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas

Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir

uma uacutenica flecha Observe

1

2

3

4

1

4

9

16

10

Temos que

Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo

Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo

Exerciacutecios

2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona

desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A

em B

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo

Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B

Temos que

A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o

representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute

chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )

Observe

Seja e vamos considerar a funccedilatildeo

que transforma em

11

Temos que

eacute definida por ou

ou

ou

Exerciacutecios

3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine

a) D(f)

b) CD(f)

c) Im(f)

d) f(3)

e) f(4)

f) x quando y=8

g) y quando x=3

h) f(x) quando x=4

4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio

Determine a imagem de f

5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do

nuacutemero 5

6 Dada a funccedilatildeo Determine e

12

7 Se e calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal

As duas retas satildeo chamadas de eixos

Eixo das abscissas reta x

Eixo das coordenadas reta y

Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem

O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas

O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 4: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

4

variaacutevel x assume Sendo assim a funccedilatildeo do 1deg grau relacionaraacute os valores numeacutericos

obtidos de expressotildees algeacutebricas do tipo (ax + b) constituindo assim a funccedilatildeo f(x) = ax

+ b

Note que para definir a funccedilatildeo do 1deg grau basta haver uma expressatildeo algeacutebrica

do 1deg grau Como dito anteriormente o objetivo da funccedilatildeo eacute relacionar para cada valor

de x um valor para o f(x) Vejamos um exemplo para a funccedilatildeo f(x)= x ndash 2

x = 1 temos que f(1) = 1 ndash 2 = ndash 1

x = 4 temos que f(4) = 4 ndash 2 = 2

Note que os valores numeacutericos mudam conforme o valor de x eacute alterado sendo

assim obtemos diversos pares ordenados constituiacutedos da seguinte maneira (x f(x))

Veja que para cada coordenada x iremos obter uma coordenada f(x) Isso auxilia na

construccedilatildeo de graacuteficos das funccedilotildees

Portanto para que o estudo das funccedilotildees do 1deg grau seja realizado com sucesso

compreenda bem a construccedilatildeo de um graacutefico e a manipulaccedilatildeo algeacutebrica das incoacutegnitas e

dos coeficientes

Exemplo- 1

1-Uma pessoa vai escolher um plano de sauacutede entre duas opccedilotildees A e B

Condiccedilotildees dos planos

Plano A cobra um valor fixo mensal de R$ 14000 e R$ 2000 por consulta num certo

periacuteodo

Plano B cobra um valor fixo mensal de R$ 11000 e R$ 2500 por consulta num certo

periacuteodo

Temos que o gasto total de cada plano eacute dado em funccedilatildeo do nuacutemero de consultas x

dentro do periacuteodo preacute ndash estabelecido

Vamos determinar

a) A funccedilatildeo correspondente a cada plano

b) Em qual situaccedilatildeo o plano A eacute mais econocircmico o plano B eacute mais econocircmico os dois

se equivalem

a) Plano A f(x) = 20x + 140

5

Plano B g(x) = 25x + 110

b) Para que o plano A seja mais econocircmico

g(x) gt f(x)

25x + 110 gt 20x + 140

25x ndash 20x gt 140 ndash 110

5x gt 30

x gt 305

x gt 6

Para que o Plano B seja mais

Econocircmico

g(x) lt f(x)

25x+110lt20x+140

25x-20xlt140-110

5xlt30 xlt305 xlt 6

Para que eles sejam equivalentes

g(x) = f(x)

25x + 110 = 20x + 140

25x ndash 20x = 140-110

5x = 30

x = 305 x = 6

O plano mais econocircmico seraacute

Plano A = quando o nuacutemero de consultas for maior que 6

Plano B = quando nuacutemero de consultas for menor que 6

Os dois planos seratildeo equivalentes quando o nuacutemero de consultas for igual a 6

Exemplo 2-

Na produccedilatildeo de peccedilas uma faacutebrica tem um custo fixo de R$ 1600 mais um custo

variaacutevel de R$ 150 por unidade produzida Sendo x o nuacutemero de peccedilas unitaacuterias

produzidas determine

a) A lei da funccedilatildeo que fornece o custo da produccedilatildeo de x peccedilas

b) Calcule o custo de produccedilatildeo de 400 peccedilas

6

Respostas

a) f(x) = 15x + 16

b) f(x) = 15x + 16

f(400) = 15 x 400 + 16

f(400) = 600 + 16

f(400) = 616

O custo para produzir 400 peccedilas seraacute de R$ 61600

Exemplo 3

3- Em uma determinada cidade os taacutexis comuns cobram R$320 pela bandeirada e

R$120 pelo quilocircmetro rodado Sendo y o valor a ser pago e x os quilocircmetros

percorridos

1 Quanto o passageiro pagaraacute caso percorra somente 1 km

2 E se ele percorrer 3 km

3 E se percorrer 5 km

4 Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y construa um

diagrama de flechas

5 Qual a relaccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y(valor a ser pago) e x

(quilocircmetros percorridos)

Agora veja a soluccedilatildeo dos exerciacutecios

1 Aqui o valor da bandeira eacute fixo e a quantidade de quilocircmetros rodados iraacute variar

Assim temos y=320+120 1=440(caso o passageiro percorra somente 1km)

2 Caso percorra 3 km temos y=320+120 3= R$680

3 Caso ele percorra 5 km temos y=320+120 5=9204

4 A partir dos valores de x(quilocircmetros percorridos) indicados em A podemos construir

o seguinte diagrama de flechas

1

5

15

440

920

2120

7

5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros

percorridos) eacute y= 320+ 120 x

Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo

Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo

x

Passagens 1 2 4 7

Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890

Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050

Conseguiu responder Vamos verificar

Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero

desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo

270 n=4050 n=4050270 =15

A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute

variaacutevel nessa situaccedilatildeo

De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda

independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra

das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas

Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser

expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute

a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a

independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x

(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)

tambeacutem aumenta

NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO

A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem

variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um

quadrado com a sua aacuterea

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L2

8

Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado

depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu

lado

Exerciacutecios

1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que

seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais

Tempo (minutos) Preccedilo (reais)

1 095

2 190

3 285

4 080

5 475

Responda

a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que

b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo

c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos

d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o

celular em horas

Exerciacutecio 2

Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos

em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro

do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e

estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x

(quantidade de aacutelcool)

DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS

Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)

1 098

15

22

9

DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO

Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar

cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que

relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem

os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do

quadrado Teremos que

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L

2

O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu

quadrado em B

Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute

sai uma flecha de cada elemento de A

Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )

que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x

2

Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas

Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir

uma uacutenica flecha Observe

1

2

3

4

1

4

9

16

10

Temos que

Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo

Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo

Exerciacutecios

2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona

desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A

em B

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo

Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B

Temos que

A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o

representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute

chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )

Observe

Seja e vamos considerar a funccedilatildeo

que transforma em

11

Temos que

eacute definida por ou

ou

ou

Exerciacutecios

3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine

a) D(f)

b) CD(f)

c) Im(f)

d) f(3)

e) f(4)

f) x quando y=8

g) y quando x=3

h) f(x) quando x=4

4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio

Determine a imagem de f

5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do

nuacutemero 5

6 Dada a funccedilatildeo Determine e

12

7 Se e calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal

As duas retas satildeo chamadas de eixos

Eixo das abscissas reta x

Eixo das coordenadas reta y

Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem

O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas

O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 5: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

5

Plano B g(x) = 25x + 110

b) Para que o plano A seja mais econocircmico

g(x) gt f(x)

25x + 110 gt 20x + 140

25x ndash 20x gt 140 ndash 110

5x gt 30

x gt 305

x gt 6

Para que o Plano B seja mais

Econocircmico

g(x) lt f(x)

25x+110lt20x+140

25x-20xlt140-110

5xlt30 xlt305 xlt 6

Para que eles sejam equivalentes

g(x) = f(x)

25x + 110 = 20x + 140

25x ndash 20x = 140-110

5x = 30

x = 305 x = 6

O plano mais econocircmico seraacute

Plano A = quando o nuacutemero de consultas for maior que 6

Plano B = quando nuacutemero de consultas for menor que 6

Os dois planos seratildeo equivalentes quando o nuacutemero de consultas for igual a 6

Exemplo 2-

Na produccedilatildeo de peccedilas uma faacutebrica tem um custo fixo de R$ 1600 mais um custo

variaacutevel de R$ 150 por unidade produzida Sendo x o nuacutemero de peccedilas unitaacuterias

produzidas determine

a) A lei da funccedilatildeo que fornece o custo da produccedilatildeo de x peccedilas

b) Calcule o custo de produccedilatildeo de 400 peccedilas

6

Respostas

a) f(x) = 15x + 16

b) f(x) = 15x + 16

f(400) = 15 x 400 + 16

f(400) = 600 + 16

f(400) = 616

O custo para produzir 400 peccedilas seraacute de R$ 61600

Exemplo 3

3- Em uma determinada cidade os taacutexis comuns cobram R$320 pela bandeirada e

R$120 pelo quilocircmetro rodado Sendo y o valor a ser pago e x os quilocircmetros

percorridos

1 Quanto o passageiro pagaraacute caso percorra somente 1 km

2 E se ele percorrer 3 km

3 E se percorrer 5 km

4 Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y construa um

diagrama de flechas

5 Qual a relaccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y(valor a ser pago) e x

(quilocircmetros percorridos)

Agora veja a soluccedilatildeo dos exerciacutecios

1 Aqui o valor da bandeira eacute fixo e a quantidade de quilocircmetros rodados iraacute variar

Assim temos y=320+120 1=440(caso o passageiro percorra somente 1km)

2 Caso percorra 3 km temos y=320+120 3= R$680

3 Caso ele percorra 5 km temos y=320+120 5=9204

4 A partir dos valores de x(quilocircmetros percorridos) indicados em A podemos construir

o seguinte diagrama de flechas

1

5

15

440

920

2120

7

5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros

percorridos) eacute y= 320+ 120 x

Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo

Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo

x

Passagens 1 2 4 7

Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890

Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050

Conseguiu responder Vamos verificar

Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero

desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo

270 n=4050 n=4050270 =15

A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute

variaacutevel nessa situaccedilatildeo

De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda

independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra

das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas

Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser

expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute

a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a

independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x

(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)

tambeacutem aumenta

NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO

A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem

variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um

quadrado com a sua aacuterea

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L2

8

Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado

depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu

lado

Exerciacutecios

1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que

seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais

Tempo (minutos) Preccedilo (reais)

1 095

2 190

3 285

4 080

5 475

Responda

a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que

b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo

c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos

d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o

celular em horas

Exerciacutecio 2

Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos

em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro

do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e

estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x

(quantidade de aacutelcool)

DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS

Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)

1 098

15

22

9

DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO

Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar

cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que

relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem

os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do

quadrado Teremos que

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L

2

O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu

quadrado em B

Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute

sai uma flecha de cada elemento de A

Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )

que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x

2

Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas

Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir

uma uacutenica flecha Observe

1

2

3

4

1

4

9

16

10

Temos que

Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo

Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo

Exerciacutecios

2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona

desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A

em B

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo

Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B

Temos que

A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o

representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute

chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )

Observe

Seja e vamos considerar a funccedilatildeo

que transforma em

11

Temos que

eacute definida por ou

ou

ou

Exerciacutecios

3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine

a) D(f)

b) CD(f)

c) Im(f)

d) f(3)

e) f(4)

f) x quando y=8

g) y quando x=3

h) f(x) quando x=4

4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio

Determine a imagem de f

5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do

nuacutemero 5

6 Dada a funccedilatildeo Determine e

12

7 Se e calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal

As duas retas satildeo chamadas de eixos

Eixo das abscissas reta x

Eixo das coordenadas reta y

Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem

O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas

O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 6: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

6

Respostas

a) f(x) = 15x + 16

b) f(x) = 15x + 16

f(400) = 15 x 400 + 16

f(400) = 600 + 16

f(400) = 616

O custo para produzir 400 peccedilas seraacute de R$ 61600

Exemplo 3

3- Em uma determinada cidade os taacutexis comuns cobram R$320 pela bandeirada e

R$120 pelo quilocircmetro rodado Sendo y o valor a ser pago e x os quilocircmetros

percorridos

1 Quanto o passageiro pagaraacute caso percorra somente 1 km

2 E se ele percorrer 3 km

3 E se percorrer 5 km

4 Sendo A o conjunto dos elementos x e B o conjunto dos elementos y construa um

diagrama de flechas

5 Qual a relaccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y(valor a ser pago) e x

(quilocircmetros percorridos)

Agora veja a soluccedilatildeo dos exerciacutecios

1 Aqui o valor da bandeira eacute fixo e a quantidade de quilocircmetros rodados iraacute variar

Assim temos y=320+120 1=440(caso o passageiro percorra somente 1km)

2 Caso percorra 3 km temos y=320+120 3= R$680

3 Caso ele percorra 5 km temos y=320+120 5=9204

4 A partir dos valores de x(quilocircmetros percorridos) indicados em A podemos construir

o seguinte diagrama de flechas

1

5

15

440

920

2120

7

5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros

percorridos) eacute y= 320+ 120 x

Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo

Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo

x

Passagens 1 2 4 7

Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890

Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050

Conseguiu responder Vamos verificar

Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero

desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo

270 n=4050 n=4050270 =15

A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute

variaacutevel nessa situaccedilatildeo

De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda

independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra

das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas

Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser

expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute

a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a

independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x

(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)

tambeacutem aumenta

NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO

A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem

variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um

quadrado com a sua aacuterea

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L2

8

Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado

depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu

lado

Exerciacutecios

1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que

seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais

Tempo (minutos) Preccedilo (reais)

1 095

2 190

3 285

4 080

5 475

Responda

a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que

b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo

c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos

d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o

celular em horas

Exerciacutecio 2

Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos

em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro

do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e

estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x

(quantidade de aacutelcool)

DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS

Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)

1 098

15

22

9

DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO

Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar

cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que

relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem

os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do

quadrado Teremos que

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L

2

O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu

quadrado em B

Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute

sai uma flecha de cada elemento de A

Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )

que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x

2

Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas

Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir

uma uacutenica flecha Observe

1

2

3

4

1

4

9

16

10

Temos que

Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo

Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo

Exerciacutecios

2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona

desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A

em B

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo

Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B

Temos que

A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o

representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute

chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )

Observe

Seja e vamos considerar a funccedilatildeo

que transforma em

11

Temos que

eacute definida por ou

ou

ou

Exerciacutecios

3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine

a) D(f)

b) CD(f)

c) Im(f)

d) f(3)

e) f(4)

f) x quando y=8

g) y quando x=3

h) f(x) quando x=4

4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio

Determine a imagem de f

5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do

nuacutemero 5

6 Dada a funccedilatildeo Determine e

12

7 Se e calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal

As duas retas satildeo chamadas de eixos

Eixo das abscissas reta x

Eixo das coordenadas reta y

Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem

O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas

O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 7: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

7

5 A funccedilatildeo que estabelece essa relaccedilatildeo entre y(valor pago) e x (quilocircmetros

percorridos) eacute y= 320+ 120 x

Exemplo 4-Sabendo que o preccedilo da passagem de ocircnibus urbano comum era de Satildeo

Paulo era de R$270 em setembro de 2010 observe a tabela e tente responder a questatildeo

x

Passagens 1 2 4 7

Valor pago 1270=270 2270=540 4270=1080 7270=1890

Quantas passagens foram utilizadas se foi gasto R$4050

Conseguiu responder Vamos verificar

Se cada passagem custa R$2 70 e R$4050 eacute o total gasto com n passagens (nuacutemero

desconhecido que queremos descobrir) temos a seguinte situaccedilatildeo

270 n=4050 n=4050270 =15

A partir desses caacutelculos eacute possiacutevel responder o que eacute constante e o que eacute

variaacutevel nessa situaccedilatildeo

De fato o preccedilo da passagem eacute constante visto que ele natildeo muda

independentemente do nuacutemero de passagens Entretanto o valor a ser pago na compra

das passagens eacute variaacutevel pois depende do nuacutemero de passagens compradas

Aqui temos um exemplo concreto de uma funccedilatildeo do 1deg Grau que pode ser

expressa pela lei p(x)=270 onde p eacute o valor a ser pago pela compra de passagens e x eacute

a quantidade de passagens compradasneste caso p eacute variaacutevel dependente e x a

independente Podemos dizer que essa eacute uma funccedilatildeo crescente pois agrave medida que x

(quantidade de passagens) aumenta p (valor a ser pago pela compra dessas passagens)

tambeacutem aumenta

NOCcedilAtildeO INTUITIVA DE FUNCcedilAtildeO

A ideia de funccedilatildeo aparece sempre que relacionamos duas grandezas que podem

variar seu valor Por exemplo Observe a tabela que relaciona a medida do lado de um

quadrado com a sua aacuterea

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L2

8

Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado

depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu

lado

Exerciacutecios

1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que

seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais

Tempo (minutos) Preccedilo (reais)

1 095

2 190

3 285

4 080

5 475

Responda

a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que

b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo

c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos

d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o

celular em horas

Exerciacutecio 2

Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos

em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro

do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e

estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x

(quantidade de aacutelcool)

DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS

Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)

1 098

15

22

9

DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO

Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar

cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que

relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem

os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do

quadrado Teremos que

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L

2

O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu

quadrado em B

Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute

sai uma flecha de cada elemento de A

Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )

que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x

2

Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas

Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir

uma uacutenica flecha Observe

1

2

3

4

1

4

9

16

10

Temos que

Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo

Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo

Exerciacutecios

2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona

desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A

em B

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo

Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B

Temos que

A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o

representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute

chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )

Observe

Seja e vamos considerar a funccedilatildeo

que transforma em

11

Temos que

eacute definida por ou

ou

ou

Exerciacutecios

3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine

a) D(f)

b) CD(f)

c) Im(f)

d) f(3)

e) f(4)

f) x quando y=8

g) y quando x=3

h) f(x) quando x=4

4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio

Determine a imagem de f

5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do

nuacutemero 5

6 Dada a funccedilatildeo Determine e

12

7 Se e calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal

As duas retas satildeo chamadas de eixos

Eixo das abscissas reta x

Eixo das coordenadas reta y

Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem

O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas

O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 8: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

8

Sabemos que nesse caso Aacuterea = (lado)2 Temos entatildeo que a aacuterea de um quadrado

depende do seu lado ou seja a aacuterea de um quadrado eacute calculada EM FUNCcedilAtildeO do seu

lado

Exerciacutecios

1 A tabela abaixo mostra o preccedilo que certa companhia telefocircnica cobra pelo tempo que

seus clientes utilizam o celular em ligaccedilotildees locais

Tempo (minutos) Preccedilo (reais)

1 095

2 190

3 285

4 080

5 475

Responda

a )O que eacute dado em funccedilatildeo de que

b) Escreva a foacutermula que relaciona o tempo do telefonema e o preccedilo

c) Quanto custa uma ligaccedilatildeo de 35 minutos E de 45 minutos

d) Se um cliente teve sua conta calculada em R$ 12350 por quanto tempo ele utilizou o

celular em horas

Exerciacutecio 2

Hoje muito se fala na produccedilatildeo de aacutelcool combustiacutevel em virtude de vaacuterios aspectos

em especial a preservaccedilatildeo do meio ambiente Em um determinado mecircs do ano o litro

do aacutelcool custava R$098 Tomando como base esse dado complete a tabela e

estabeleccedila uma funccedilatildeo matemaacutetica que indica a relaccedilatildeo entre y (quantidade a pagar) e x

(quantidade de aacutelcool)

DEFININDO O CONCEITO DE FUNCcedilAtildeO ATRAVEacuteS DOS CONJUNTOS

Quantidade de aacutelcool (em litros) Quantidade a pagar (em reais)

1 098

15

22

9

DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO

Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar

cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que

relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem

os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do

quadrado Teremos que

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L

2

O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu

quadrado em B

Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute

sai uma flecha de cada elemento de A

Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )

que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x

2

Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas

Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir

uma uacutenica flecha Observe

1

2

3

4

1

4

9

16

10

Temos que

Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo

Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo

Exerciacutecios

2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona

desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A

em B

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo

Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B

Temos que

A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o

representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute

chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )

Observe

Seja e vamos considerar a funccedilatildeo

que transforma em

11

Temos que

eacute definida por ou

ou

ou

Exerciacutecios

3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine

a) D(f)

b) CD(f)

c) Im(f)

d) f(3)

e) f(4)

f) x quando y=8

g) y quando x=3

h) f(x) quando x=4

4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio

Determine a imagem de f

5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do

nuacutemero 5

6 Dada a funccedilatildeo Determine e

12

7 Se e calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal

As duas retas satildeo chamadas de eixos

Eixo das abscissas reta x

Eixo das coordenadas reta y

Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem

O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas

O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 9: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

9

DEFINICcedilAtildeO DE FUNCcedilAtildeO

Dados dois conjuntos A e B uma funccedilatildeo de A em B eacute uma regra que diz como associar

cada elemento de A com um elemento de B Vamos considerar novamente a tabela que

relaciona a aacuterea de um quadrado com o seu lado Seja entatildeo A um conjunto que conteacutem

os valores do lado do quadrado e B o conjunto que conteacutem os valores da aacuterea do

quadrado Teremos que

Lado 1 2 3 4 L

Aacuterea 1 4 9 16 L

2

O diagrama de flecha representa uma funccedilatildeo que leva os elementos de A ao seu

quadrado em B

Eacute importante observar que todos os elementos de A tecircm correspondente em B e que soacute

sai uma flecha de cada elemento de A

Sendo assim nesse nosso caso temos uma funccedilatildeo de A em B (Notaccedilatildeo )

que pode ser escrita pela expressatildeo y = x2 ou f(x) = x

2

Como reconhecer uma funccedilatildeo pelo diagrama de flechas

Uma relaccedilatildeo f de A em B eacute uma funccedilatildeo se e somente se de cada elemento de (A) partir

uma uacutenica flecha Observe

1

2

3

4

1

4

9

16

10

Temos que

Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo

Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo

Exerciacutecios

2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona

desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A

em B

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo

Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B

Temos que

A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o

representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute

chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )

Observe

Seja e vamos considerar a funccedilatildeo

que transforma em

11

Temos que

eacute definida por ou

ou

ou

Exerciacutecios

3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine

a) D(f)

b) CD(f)

c) Im(f)

d) f(3)

e) f(4)

f) x quando y=8

g) y quando x=3

h) f(x) quando x=4

4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio

Determine a imagem de f

5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do

nuacutemero 5

6 Dada a funccedilatildeo Determine e

12

7 Se e calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal

As duas retas satildeo chamadas de eixos

Eixo das abscissas reta x

Eixo das coordenadas reta y

Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem

O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas

O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 10: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

10

Temos que

Nos casos 1 e 2 O diagrama de flechas representa uma funccedilatildeo

Nos casos 3 e 4 O diagrama de flechas natildeo representa uma funccedilatildeo

Exerciacutecios

2 Considerando os conjuntos de cada item e a correspondecircncia que os relaciona

desenhe um diagrama de flechas e responda se a correspondecircncia f eacute uma funccedilatildeo de A

em B

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Domiacutenio Contradomiacutenio e Conjunto Imagem de uma funccedilatildeo

Vamos considerar uma funccedilatildeo f de A em B

Temos que

A eacute o domiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

B eacute o contradomiacutenio da funccedilatildeo f (Notaccedilatildeo )

Para cada o elemento chama-se imagem de x pela funccedilatildeo f e o

representamos por (lecirc-se f de x) O conjunto de todos os y obtidos por f eacute

chamado de conjunto imagem de f (Notaccedilatildeo )

Observe

Seja e vamos considerar a funccedilatildeo

que transforma em

11

Temos que

eacute definida por ou

ou

ou

Exerciacutecios

3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine

a) D(f)

b) CD(f)

c) Im(f)

d) f(3)

e) f(4)

f) x quando y=8

g) y quando x=3

h) f(x) quando x=4

4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio

Determine a imagem de f

5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do

nuacutemero 5

6 Dada a funccedilatildeo Determine e

12

7 Se e calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal

As duas retas satildeo chamadas de eixos

Eixo das abscissas reta x

Eixo das coordenadas reta y

Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem

O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas

O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 11: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

11

Temos que

eacute definida por ou

ou

ou

Exerciacutecios

3 Considere a funccedilatildeo f dada pelo diagrama e determine

a) D(f)

b) CD(f)

c) Im(f)

d) f(3)

e) f(4)

f) x quando y=8

g) y quando x=3

h) f(x) quando x=4

4 Seja a funccedilatildeo onde f(x) = 4x + 2 e o domiacutenio

Determine a imagem de f

5 Seja a funccedilatildeo dada por Determine a imagem do

nuacutemero 5

6 Dada a funccedilatildeo Determine e

12

7 Se e calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal

As duas retas satildeo chamadas de eixos

Eixo das abscissas reta x

Eixo das coordenadas reta y

Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem

O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas

O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 12: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

12

7 Se e calcule m sabendo que

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um acircngulo de 90ordm elas satildeo perpendiculares A

perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal

As duas retas satildeo chamadas de eixos

Eixo das abscissas reta x

Eixo das coordenadas reta y

Onde as retas x e y se encontram eacute formado um ponto que eacute chamado de ponto de origem

O sistema cartesiano ortogonal eacute dividido em quatro partes e cada uma eacute um quadrante

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute formado por dois pontos um do eixo das

abscissas e outro do eixo das ordenadas

O ponto no sistema cartesiano ortogonal eacute chamado de par ordenado

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 13: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

13

O ponto X possui um nuacutemero x que eacute a abscissa do ponto P

O ponto Y possui um nuacutemero y que eacute a ordenada do ponto P

(x y) eacute chamado de par ordenado do ponto P

Portanto para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal eacute preciso que as

abscissas e as ordenadas sejam dadas

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estatildeo indicados

O ponto A (1 1) encontra-se no 1deg quadrante

O ponto B (3 0) encontra-se no eixo das abscissas x

O ponto C (5 -4) encontra-se no 4ordm quadrante

O ponto D (-3 -3) encontra-se no 3ordm quadrante

O ponto E (0 4) encontra-se no eixo das ordenadas

O ponto F (4 3) encontra-se no 1ordm quadrante

O ponto G (-2 3) encontra-se no 2deg quadrante

Toda funccedilatildeo pode ser representada graficamente e a funccedilatildeo do 1ordm grau eacute formada por uma

reta Essa reta pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a

Quando a gt 0

Isso significa que a seraacute positivo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = 2x ndash 1 ou y =

2x - 1 onde a = 2 e b = -1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais

para x para que possamos achar os valores correspondentes em y

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 14: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

14

x y

-2 -5

-1 -3

0 -1

12 0

1 1

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y tambeacutem

aumenta entatildeo dizemos que quando a gt 0 a funccedilatildeo eacute crescente Com os valores de x e y

formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos no plano cartesiano

para formar a reta

Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de x

Quando a lt 0

Isso indica que a seraacute negativo Por exemplo dada a funccedilatildeo f(x) = - x + 1 ou y = - x + 1

onde a = -1 e b = 1 Para construirmos seu graacutefico devemos atribuir valores reais para x

para que possamos achar os valores correspondentes em y

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 15: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

15

x y

-2 3

-1 2

0 1

1 0

Podemos observar que conforme o valor de x aumenta o valor de y diminui entatildeo dizemos

que quando a lt 0 a funccedilatildeo eacute decrescente

Com os valores de x e y formamos as coordenadas que satildeo pares ordenados que colocamos

no plano cartesiano para formar a reta Veja

No eixo vertical colocamos os valores de y e no eixo horizontal colocamos os valores de

xmiddotmiddotmiddot

Caracteriacutesticas de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau

bull Com agt 0 o graacutefico seraacute crescente

bull Com a lt 0 o graacutefico seraacute decrescente

bull O acircngulo α formado com a reta e com o eixo x seraacute agudo (menor que 90deg) quando a gt 0

bull O acircngulo α formado com reta e com o eixo x seraacute obtuso (maior que 90ordm) quando a lt 0

bull Na construccedilatildeo de um graacutefico de uma funccedilatildeo do 1ordm grau basta indicar apenas dois valores

pra x pois o graacutefico eacute uma reta e uma reta eacute formada por no miacutenimo 2 pontos

bull Apenas um ponto corta o eixo x e esse ponto eacute a raiz da funccedilatildeo

bull Apenas um ponto corta o eixo y esse ponto eacute o valor de b

FUNCcedilAtildeO QUADRAacuteTICA

DEFINICcedilAtildeO

Chama-se funccedilatildeo quadraacutetica ou funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau qualquer funccedilatildeo f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c onde a b e c satildeo nuacutemeros reais e a

0

Vejamos alguns exemplos de funccedilotildees quadraacuteticas

f(x) = 3x2 - 4x + 1 onde a = 3 b = - 4 e c = 1

f(x) = x2 -1 onde a = 1 b = 0 e c = -1

f(x) = 2x2 + 3x + 5 onde a = 2 b = 3 e c = 5

f(x) = - x2 + 8x onde a = 1 b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2 onde a = - 4 b = 0 e c = 0

Graacutefico

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 16: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

16

O graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau y = ax2 + bx + c com a 0 eacute uma

curva chamada paraacutebola

Exemplo

Vamos construir o graacutefico da funccedilatildeo y = x2 + x

Primeiro atribuiacutemos a x alguns valores depois calculamos o valor correspondente de y

em seguida ligamos os pontos assim obtidos

x Y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observaccedilatildeo

Ao construir o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c notaremos sempre que

se a gt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para cima

se a lt 0 a paraacutebola tem a concavidade voltada para baixo

ZEROS E EQUACcedilAtildeODO 2ordm Grau

Chama-se zeros ou raiacutezes da funccedilatildeo polinomial do 2ordm grau f(x) = ax2 + bx + c a 0 os

nuacutemeros reais x tais que f(x) = 0

Entatildeo as raiacutezes da funccedilatildeo f(x) = ax2 + bx + c satildeo as soluccedilotildees da equaccedilatildeo do 2ordm grau ax

2 +

bx + c = 0 as quais satildeo dadas pela chamada foacutermula de Bhaskara

Temos

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 17: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

17

Observaccedilatildeo

A quantidade de raiacutezes reais de uma funccedilatildeo quadraacutetica depende do valor obtido para o

radicando chamado discriminante a saber

quando eacute positivo haacute duas raiacutezes reais e distintas

quando eacute zero haacute soacute uma raiz real

quando eacute negativo natildeo haacute raiz real

1) Achar as raiacutezes das equaccedilotildees

a) x2ndashx - 20 = 0 b) x

2 - 3x -4 = 0 c) x

2 - 8x + 7 = 0

2) Determine se existirem os zeros reais das funccedilotildees seguintes

a) f(x)= 3xsup2 - 7x + 2b) f(x)= -xsup2 + 3x ndash 4c) f(x)= -xsup2 + 32x + 1

d) f(x)= xsup2 -4e) f(x)= 3xsup2

O domiacutenio dessa funccedilatildeo 2xsup2 - x ndash 3 Satildeo os nuacutemeros reais Para cada

elemento do domiacutenio existe uma imagem portanto para cada nuacutemero x vai existir um

f(x)

Exemplo f(0) = -3 (basta substituir no lugar do x)

f(1) = -2

f(2) = 3

PROBLEMAS COM EQUACcedilAtildeO DO 2deg GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado eacute 90 Calcule esse numero (R9 e-10)

2) A soma do quadrado de um nuacutemero com o proacuteprio nuacutemero eacute 12 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um nuacutemero eacute igual a -1 Calcule esse nuacutemero (R1)4) A

diferenccedila entre o quadrado e o dobro de um mesmo nuacutemero eacute 80 Calcule esse nuacutemero

(Resposta 10 e -8)

5) O quadrado de um nuacutemero aumentado de 25 eacute igual a dez vezes esse nuacutemero Calcule

esse nuacutemero (R 5)

6) A soma do quadrado de um nuacutemero com o seu triplo eacute igual a 7 vezes esse nuacutemero

Calcule esse nuacutemero (R 0 e 4)

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 18: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

18

Resolver as equaccedilotildees do segundo grau classificando quanto agraves raiacutezes

a)119961120784 minus 120789119961 + 120783120782 = 120782

b)119961120784+x-30=0

c)119961120784+3x+8=0

d)119961120784-7x+12=0

Dada a funccedilatildeo definida por f(x)=119961120784 -3x-2 calcule o valor de

a)f(-2)=

b)f(0)=

c)f(3)=

d)f(-4)=

FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL

Equaccedilotildees exponenciais satildeo aquelas em que a incoacutegnita se encontra no expoente de pelo

menos uma potecircncia A forma de resoluccedilatildeo de uma equaccedilatildeo exponencial permite que as

funccedilotildees exponenciais sejam tambeacutem resolvidas de forma praacutetica Esse tipo de funccedilatildeo

apresenta caracteriacutesticas individuais na anaacutelise de fenocircmenos que crescem ou e crescem

rapidamente Elas desempenham papeacuteis fundamentais na Matemaacutetica e nas ciecircncias

envolvidas com ela como Fiacutesica Quiacutemica Engenharia Astronomia Economia Biologia

Psicologia entre outras

1-Determinar os valores de x para os quais 2x=32 Como 32=2

5 entatildeo 2

x=32=2

5 portanto

x=5

2-Determinar os valores de x para os quais 2x=1 Como 1=2

0 entatildeo 2

x=1=2

0 portanto x=0

3-Resolver a equaccedilatildeo 27x = 243 Como 27=3

3 e 243=3

5 entatildeo 3

3x=(3

3)

x=27

x=243=3

5

portanto 3x=5 de onde segue que x=53

4-Resolver a equaccedilatildeo 625x = 25 Como 625=5

4 e 25=5

2 entatildeo 5

4x =(5

4)

x=625

x=25=5

2

portanto 4x=2 de onde segue que x=12

Os exerciacutecios foram selecionados visando apresentar teacutecnicas de soluccedilotildees diferenciadas

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 19: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

19

2) 120784119857120784+119857 = 64

120784119857120784+119857=120784120788

119857120784 +x=6

xsup2+ x -6 = 0

119961 =minus119939plusmnradic119939120784minus120786119938119940

120784119938 x= -3 2

3) 3 120784119961minus120784 = 48

120784119961minus120784 = 120786120790

120785

120784119961minus120784 = 16

120784119961minus120784 =120784120786

x-2 = 4

x = 4 +2

x =6

Resolva as equaccedilotildees exponenciais

1)120784119961 = 128

2)120785sup2119961 = 243

3)120784119961minus120784 = 256

4)120785119961sup2minus120787=81

5)120786119961 =512

6)120789120784120791120784119961 =27

7)120784119961minus120785 = 120783

120790

8)120783120782120785119961 =120783

120783120782120782120782120782

9)120783120782120785119961 = 1000

10)2120784119961+120787= 16

11)3120784119961+120785 = 192

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 20: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

20

TRIGONOMETRIA

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triacircngulo

retacircngulo assunto comum na oitava seacuterie do Ensino Fundamental Tambeacutem dispomos de uma

paacutegina mais aprofundada sobre o assunto tratado no acircmbito do Ensino Meacutedio

A trigonometria possui uma infinidade de aplicaccedilotildees praacuteticas Desde a antiguidade jaacute se

usava da trigonometria para obter distacircncias impossiacuteveis de serem calculadas por meacutetodos comuns

CATETOS E HIPOTENUSA

Em um triacircngulo chamamos o lado oposto ao acircngulo reto de hipotenusa e os lados

adjacentes de catetos

Observe a figura

Hipotenusa

Catetos e

SENO COSSENO E TANGENTE

Considere um triacircngulo retacircngulo BAC

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

Tomando por base os elementos desse triacircngulo podemos definir as seguintes razotildees

trigonomeacutetricas

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 21: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

21

Seno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto a esse acircngulo e a medida da

hipotenusa

Assim

Cosseno de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto adjacente a esse acircngulo e a medida

da hipotenusa

Assim

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 22: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

22

RAZOtildeES TRIGONOMEacuteTRICAS

Tangente

Tangente de um acircngulo agudo eacute a razatildeo entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto

adjacente a esse acircngulo

Assim

Exemplo

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 23: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

23

As razotildees trigonomeacutetricas de 30ordm 45ordm e 60ordm Resumindo

x senx cosx tgx

30ordm

45ordm

60ordm

1-Calcula o valor de x em cada um dos triacircngulos retacircngulos

2-Qual eacute a distacircncia percorrida pelo berlinde

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 24: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

24

265 cm = 265 m

3-Se a distacircncia entre uma pessoa e uma torre eacute 100 m e o acircngulo formado pelo topo da torre e

o chatildeo eacute30o qual a altura da torre em metros

Soluccedilatildeo

AB = distacircncia entre o homem e a torre = 100 m

BC = altura da torre = h (a ser calculada)

A funccedilatildeo trigonomeacutetrica que usa AB e BC eacute tangA onde A = 30o

4-Do alto da torre de uma plataforma mariacutetima de petroacuteleo de 45 m de altura o acircngulo de

depressatildeo em relaccedilatildeo agrave proa de um barco eacute de 60ordm A que distacircncia o barco estaacute da plataforma

5-Do alto de uma torre de 50 m de metro navegado Quanto ele recebe em cada transporte que faz

altura localizada numa ilha avista-se a praia sob um acircngulo de 45ordm em relaccedilatildeo ao plano horizontal

Para transportar material da praia ateacute a ilha um barqueiro cobra R$ 020 por viagem

TEOREMA DE PITAacuteGORAS

O Teorema de Pitaacutegoras refere-se aos triacircngulos retacircngulos Um triacircngulo eacute chamado de triacircngulo

retacircngulo quando um de seus acircngulos eacute um acircngulo reto (90deg)O lado maior de um triacircngulo

retacircngulo oposto ao acircngulo reto eacute chamado de hipotenusaOs outros dois lados satildeo chamados de

catetos

Hipotenusa m( ) = a

Catetos m( ) = b

m( ) = c

Acircngulos e

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 25: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

25

Com essas indicaccedilotildees o Teorema de Pitaacutegoras pode ser representado na forma de uma sentenccedila

matemaacutetica

asup2= bsup2 + csup2

Hoje em dia a aplicaccedilatildeo do teorema pode ser feita de maneira algeacutebrica e por meio de caacutelculos

Para calcular o valor de x que no caso a seguir eacute a medida da hipotenusa do triacircngulo retacircngulo

constroacutei-se a equaccedilatildeo s partir da relaccedilatildeo de Pitaacutegoras

xsup2= 24sup2 +7sup2

xsup2=576 +49

xsup2=625

xsup2=radic625

x=25

Calcule o valor de x indicado nos seguintes triacircngulos retacircngulos

13 x 12

12 13

2Verifique em casa em cada caso se a b e c satildeo medidas dos lados de um triacircngulo

retacircnguloJustifique sua resposta utilizando o Teorema de Pitaacutegoras

a=6cm b=2cm c= 4cm

a=8cm b=3cm c=7cm

a=54cm b=42cm c=15cm

a=25cm b=24cm c=07cm

x 7

5

x

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 26: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

26

SEQUEcircNCIAS

Muitos problemas satildeo propostos com o uso de sequecircncias Agraves vezes com

figuras com letras e muitas vezes com nuacutemeros Em geral satildeo as mesmas

apresentadas aos primeiros elementos e pede-se para completar a sequecircncia

obedecendo-se a uma regra que rege a colocaccedilatildeo dos termos para completar a

sequecircncia A seguir damos um exemplo

A=(0246810)

Qual eacute o seacutetimo termo dessa sequumlecircncia

Eacute muito provaacutevel que vocecirc tenha respondido que o seacutetimo termo eacute o nuacutemero 12

E por que vocecirc acha que eacute o nuacutemero Natildeo daacute para saber todas as possiacuteveis respostas

desta uacuteltima pergunta mas eacute possiacutevel prever algumas Por exemplo

a) Essa sequumlecircncia inicia-se com o zero e o segundo termo eacute o zero mais dois o terceiro

termo eacute o segundo termo mais dois e assim por diante Eacute soacute continuar dessa maneira

para chegar ao valos do seacutetimo termoque eacute 12

b)Essa sequumlecircncia eacute uma lista de nuacutemeros naturais pares a partir do zero e em ordem

crescente Assim eacute soacute continuar a escrever os nuacutemeros pares O nuacutemero par que aparece

em ordem crescente apoacutes o 10 eacute o 12

O uso das reticecircncias indica que a sequumlecircncia eacute infinita Tambeacutem podem existir

sequumlecircncia finitas Os termos de qualquer sequumlecircncia seratildeo representados da seguinte

maneira

119938120785 = 120786

Esta representaccedilatildeo indica que o nuacutemero 4 eacute o terceiro termo da sequumlecircncia A

Exerciacutecio

Descubra uma regra para cada sequumlecircncia e acrescente trecircs termos em cada uma delas

a)A=(122333--------------)

b)B=(5102040--------------)

c)C=(5-1020-40-------------)

d)D=(1383-2-----------------)

e)E=(21120783

120784120783

120786120783

120790----------------)

Na sequecircncia (-202468) Ache

a)a3-a1=

b)a soma de seus termos

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 27: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

27

PROGRESSAtildeO ARITMEacuteTICA

Conceito de Progressatildeo Aritmeacutetica - PA

Chama-se Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA ndash agrave toda sequecircncia numeacuterica cujos termos a

partir do segundo satildeo iguais ao anterior somado com um valor constante denominado

razatildeo

Exemplos

A = (1 5 9 13 17 21 ) razatildeo = 4 (PA crescente)

B = (3 12 21 30 39 48 ) razatildeo = 9 (PA crescente)

C = (5 5 5 5 5 5 5 ) razatildeo = 0 (PA constante)

D = ( 100 90 80 70 60 50 ) razatildeo = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA

Seja a PA geneacuterica (a1 a2 a3 an ) de razatildeo r

De acordo com a definiccedilatildeo podemos escrever

a2 = a1 + 1r

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que an = a1 + (n ndash 1) r

A expressatildeo an = a1 + (n ndash 1) r eacute denominada termo geral da PA

Nesta foacutermula temos que an eacute o termo de ordem n (n-eacutesimo termo) r eacute a razatildeo e a1 eacute o

primeiro termo da Progressatildeo Aritmeacutetica ndash PA

Exemplos

1-Qual o mileacutesimo nuacutemero iacutempar positivo

Temos a PA ( 1 3 5 7 9 ) onde o primeiro termo a1= 1 a razatildeo r = 2 e queremos

calcular o mileacutesimo termo a1000 Nestas condiccedilotildees n = 1000 e poderemos escrever

a1000 = a1 + (1000 - 1)2 = 1 + 9992 = 1 + 1998 = 1999

Portanto 1999 eacute o mileacutesimo nuacutemero iacutempar

2-Qual o nuacutemero de termos da PA ( 100 98 96 22)

Temos a1 = 100 r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n Substituindo na

foacutermula do termo geral fica 22 = 100 + (n - 1) (- 2) logo 22 - 100 = - 2n + 2 e 22 -

100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n de onde vem n = 40

Portanto a PA possui 40 termos

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 28: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

28

3-Se numa PA o quinto termo eacute 30 e o vigeacutesimo termo eacute 60 qual a razatildeoTemos a5 = 30

e a20 = 60 Pela foacutermula anterior poderemos escrever a20 = a5 + (20 - 5) r e

substituindo fica 60 = 30 + (20 - 5)r 60 - 30 = 15r logo r = 2

4-Numa PA de razatildeo 5 o vigeacutesimo termo vale 8 Qual o terceiro termoTemos r = 5

a20 = 8 Logo o termo procurado seraacute a3 = a20 + (3 ndash 20)5a3 = 8 ndash175 = 8 ndash 85 = -

77

5- Interpolando 10 meios aritmeacuteticos entre 5 e 38 teremos uma PA de razatildeo Agora eacute soacute

usar a foacutermula do termo geral

a12=a1+(12-1)r 38=5+11r na=a1+(n-1)r 38-5=11r

33=11r r=3311 r=3

6) Identifique as sequumlecircncia que satildeo PA e decirc suas respectivas razotildees

(a)(213243546)

(b)(124816)

(c)(191494-1)

(d)(4444) Escreva os cincos primeiros termos de uma PA de r sabendo que

a1=-5 e r=6 a1=10 e r=-4 a1=7 e r=05

Exerciacutecios

1-Calcule o 37ordm termo da PA

2- Calcule o primeiro termo de uma PA nos seguintes casos

a)a〖34〗_(=92 )e r=3 b)a81=81 e r=-4

c)a27=16 e r =12

3-Inserir oito meios aritmeacuteticos entre os nuacutemeros 2 e 65

4-Quantos termos tecircm a PA finita (-19 -15 205)

5-Qual eacute o vigeacutesimo termo da PA (38)

6-Qual eacute o centeacutesimo nuacutemero natural par

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 29: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

29

7-Numa PA de razatildeo 3 o seacutetimo termo eacute 21Qual eacute o primeiro termo

8-Interpolar cinco meios aritmeacuteticos entre 6 e 30

9-O sexto termo de uma PA (4 10) eacute

10-Qual eacute o deacutecimo quinto termo da PA (4 9)

PROGRESSAtildeO GEOMEacuteTRICA

Dizemos que uma sequecircncia numeacuterica constitui uma progressatildeo geomeacutetrica quando a

partir do 2ordm termo o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual

Observe a sequecircncia

(2 4 8 16 32 64) dizemos que ela eacute uma progressatildeo geomeacutetrica pois se encaixa na

definiccedilatildeo dada

4 2 = 2

8 4 = 2

16 8 = 2

32 16 = 2

64 32 = 2

termo constante da progressatildeo geomeacutetrica eacute denominado razatildeo

Muitas situaccedilotildees envolvendo sequecircncias satildeo consideradas PG dessa forma foi

elaborada uma expressatildeo capaz de determinar qualquer elemento de uma progressatildeo

geomeacutetrica Veja

an = a1qn -1

Com base nessa expressatildeo temos que

a2 = a1 q

a3 = a1 q2

a5 = a1 q4

a10 = a1 q9

a50 = a1q49

a100 = a1q99

Exemplo 1

Em uma progressatildeo geomeacutetrica temos que o 1ordm termo equivale a 4 e a razatildeo igual a 3

Determine o 8ordm termo dessa PG

a8 = 4 37

a8 = 4 2187

a8 = 8748

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 30: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

30

O 8ordm termo da PG descrita eacute o nuacutemero 8748

1) Dada a PG (248 ) pede-se calcular o deacutecimo termo

2) Temos a1 = 2 q = 42 = 84 = = 2 Para calcular o deacutecimo termo ou seja a10

vem pela foacutermula

a10 = a1 q9 = 2 2

9 = 2 512 = 1024

3) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente eacute igual a 20 e o oitavo termo eacute

igual a 320 Qual a razatildeo desta PG

4) Temos a4 = 20 e a8 = 320 Logo podemos escrever a8 = a4 q8-4

Daiacute vem 320

= 20q4

Entatildeo q4 =16 e portanto q = 2

INTERPOLACcedilAtildeO GEOMEacuteTRICA

Interpolar ou inserir trecircs meios geomeacutetricos entre 3 e 48a1=3

an=48 n=3+2=5 (3---- ---- ---- 48)

an= a1119954119951minus120783

48=3 119954120787minus120783

48|3=119954120786

16=119954120786

120784120786=119954120786

2=q

1Determine a razatildeo de cada uma das seguintes PG

a) (3 12 48)

b)(5-15)

c)(552)

d)(105)

e)(1050)

2Copie e complete cada uma das PG

a)(36)

b)(15)

c)(918)

Escreva

a)uma PG de quatro termos em que a1=5 e q=3

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 31: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

31

b)uma PGde seis termos em que a1=-2 e q=2

c)uma PG De cinco termos em que a1=540 e q=13

Calcule

1-Uma PG cujo deacutecimo termo da PG (2 6)

2-Numa PG De quatro termos a razatildeo eacute 5 e o uacuteltimo termo eacute 375Calcular o primeiro

termo dessa PG

3-Numa PGde seis termos o primeiro termo eacute 2 e o uacuteltimo eacute 486Calcular a razatildeo dessa

PG

5-Qual eacute o sexto termo da PG (512 256)

6-Qual eacute o primeiro termo de uma PG na qual o 11deg termo eacute 3072 e razatildeo eacute

7-Numa PG o primeiro termo eacute 4 e o uacuteltimo termo eacute 4000a razatildeo eacute 10Qual eacute o nuacutemero

de termos

8-Inserindo 4 meio geomeacutetricos entre 2 e 486 como mostramos (2------------486) a

razatildeo dessa PG eacute

9-A progressatildeo geomeacutetrica G(-48 -24 -12) tem na ordem como razatildeo (q) e o

(quinto termo) os nuacutemeros

10-Qual eacute o oitavo termo da PG(39)

MATRIZES

Introduccedilatildeo

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada

vez mais aplicada em aacutereas como Economia Engenharia Matemaacutetica Fiacutesica dentre

outras Vejamos um exemplo

A tabela a seguir representa as notas de trecircs alunos em uma etapa

Quiacutemica Inglecircs Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 32: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

32

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura basta procurar o nuacutemero que fica

na segunda linha e na terceira coluna da tabela

Vamos agora considerar uma tabela de nuacutemeros dispostos em linhas e colunas como

no exemplo acima mas colocados entre parecircnteses ou colchetes

Em tabelas assim dispostas os nuacutemeros satildeo os elementos As linhas satildeo enumeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nuacutemeros naturais diferentes de 0) satildeo

denominadas matrizes m x n Na tabela anterior temos portanto uma matriz 3 x 3

Veja mais alguns exemplos

eacute uma matriz do tipo 2 x 3

eacute uma matriz do tipo 2 x 2

Notaccedilatildeo geral

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 33: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

33

Costuma-se representar as matrizes por letras maiuacutesculas e seus elementos por letras

minuacutesculas acompanhadas por dois iacutendices que indicam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa

Assim uma matriz A do tipo m x n eacute representada por

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 34: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

34

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n + 1

Veja

ou abreviadamente A = [aij]m x n em que i e j representam respectivamente a linha e a

coluna que o elemento ocupa Por exemplo na matriz anterior a23eacute o elemento da 2ordf

linha e da 3ordf coluna

Na matriz temos

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ] temos a11 = -1 a12 = 0 a13 = 2 e a14 =

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 35: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

35

Denominaccedilotildees especiais

Algumas matrizes por suas caracteriacutesticas recebem denominaccedilotildees especiais

Matriz linha matriz do tipo 1 x n ou seja com uma uacutenica linha Por exemplo a matriz

A =[4 7 -3 1] do tipo 1 x 4

Matriz coluna matriz do tipo m x 1 ou seja com uma uacutenica coluna Por exemplo

do tipo 3 x 1

Matriz quadrada matriz do tipo n x n ou seja com o mesmo nuacutemero de linhas e

colunas dizemos que a matriz eacute de ordem n Por exemplo a matriz eacute do

tipo 2 x 2 isto eacute quadrada de ordem 2

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundaacuteria A

principal eacute formada pelos elementos aijtais que i = j Na secundaacuteria temos i + j = n

Matriz transposta matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as

linhas por colunas ou as colunas por linhas Por exemplo

Desse modo se a matriz A eacute do tipo m x n Ateacute do tipo n x m

Note que a 1ordf linha de A corresponde agrave 1ordf coluna de Ate a 2ordf linha de A corresponde agrave

2ordf coluna de At

Operaccedilotildees envolvendo matrizes

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 36: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

36

ADICcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de soma dessas matrizes a

matriz tal que Cij = aij + bij para todo

A + B = C

Exemplos

Observaccedilatildeo A + B existe se e somente se A e B forem do mesmo tipo

SUBTRACcedilAtildeO

Dadas as matrizes chamamos de diferenccedila entre essas

matrizes a soma de A com a matriz oposta de B

A - B = A + ( - B )

Observe

MULTIPLICACcedilAtildeO DE UM NUacuteMERO REAL POR UMA MATRIZ

Dados um nuacutemero real x e uma matriz A do tipo m x n o produto de x por A eacute uma

matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicaccedilatildeo de cada elemento de A por x ou seja

bij = xaij

B = xA

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 37: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

37

Observe o seguinte exemplo

MULTIPLICACcedilAtildeO DE MATRIZES

O produto de uma matriz por outra natildeo eacute determinado por meio do produto dos seus

respectivos elementos

Assim o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n eacute a matriz C = (cij) m x n

em que cada elemento cijeacute obtido por meio da soma dos produtos dos elementos

correspondentes da i-eacutesima linha de A pelos elementos da j-eacutesima coluna B

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obteacutem

cada Cij

1ordf linha e 1ordf coluna

1ordf linha e 2ordf coluna

2ordf linha e 1ordf coluna

2ordf linha e 2ordf coluna

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 38: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

38

Assim

Observe que

Portanto A ou seja para a multiplicaccedilatildeo de matrizes natildeo vale a propriedade

comutativa

Vejamos outro exemplo com as matrizes

Da definiccedilatildeo temos que a matriz produto A B soacute existe se o nuacutemero de colunas de A

for igual ao nuacutemero de linhas de B

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 39: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

39

A matriz produto teraacute o nuacutemero de linhas de A (m) e o nuacutemero de colunas de B(n)

Se A3 x 2 e B 2 x 5 entatildeo ( A B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3 entatildeo natildeo existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1 entatildeo ( A B ) 4 x

EXERCIacuteCIOS DE APLICACcedilAtildeO

1- Na confecccedilatildeo de trecircs modelos de camisas (A B e C) satildeo usados bototildees grandes (G)

e pequenos (p) O nuacutemero de bototildees por modelos eacute dado pela

Camisa A Camisa

B

Camisa

C

Bototildees

p 3 1 3

Bototildees

G 6 5 5

O nuacutemero de camisas fabricadas de cada modelo nos meses de maio e junho eacute

dado pela tabela

Maio Junho

Camisa A 100 50

Camisa B

50 100

Camisa C 50 50

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

O determinante de uma matriz de segunda ordem eacute a diferenccedila entre o produto dos

termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundaacuteria Esses

produtos se chamam respectivamente termo principal e termo secundaacuterio da matriz

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 40: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

40

Por exemplo o determinante da matriz eacute dado por

Determinante de matriz de terceira ordem

O determinante de uma matriz 3x3 eacute calculado atraveacutes de suas diagonaisPara calcular o

determinante de matrizes de terceira ordem utilizamos a chamada regra de Sarrus que

resulta no seguinte caacutelculo

Por exemplo

=0

Dadas as matrizes

A=(120783 120786120784 minus120785

) B=(120782 120787120783 120788

) C=(120784 120788120783 120785

)

Determine

a) A ndash B =

b) (B+C) =

c) BC =

d) 2C+ B=

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 41: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

41

Dada a matriz

A= (120785 120787120790 minus120783

) a) Qual a ordem desta matriz

b) Representa a matriz transposta

c) Que tipo de matriz se classifica

Efetue as matrizes

a)(120787 minus120785120786 120783

)+(120783 120788

minus120784 120785) = b)(

120782 120787120783120782 120783120784

) -(120791 minus120787120788 120783120782

) = c) 120788 (120783 120786120784 120785

) + (120791 120787120786 120782

) =

d) (120786 120783120784 minus120783

) -(120788 120790120785 120787

) =

Ache o valor dos determinantes

a)|120786 minus120785120788 minus120783

|

b)|minus120785 120784minus120787 120783

|

c)|120788 minus120786120784 120785

|

d)|minus120787 120784minus120785 120790

|

darre)120785 120784 120787120786 120783 120785120784 120785 120786

f)120782 120785 120782

minus120784 120785 120783120786 minus120784 120787

ANAacuteLISE COMBINATOacuteRIA

Anaacutelise combinatoacuteria eacute um estudo realizado na matemaacutetica e na loacutegica responsaacutevel pela

anaacutelise das possibilidades e das combinaccedilotildees Observe alguns exemplos de exerciacutecios

que satildeo resolvidos utilizando anaacutelise combinatoacuteria

FATORIAL DE UM NUacuteMERO

Seja n um nuacutemero inteiro natildeo negativo Definimos o fatorial de n (indicado pelo

siacutembolo n ) como sendo

n = n

Para n = 0 teremos 0 = 1

Para n = 1 teremos 1 = 1

Exemplos

a) 6 = 654321 = 720

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 42: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

42

b) 4 = 4321 = 24

Princiacutepio Fundamental da Contagem

Exemplo-

Em uma carteira escolar temos quatro livros de diferentes mateacuterias empilhados de cima

para baixo nesta exata ordem

Portuguecircs matemaacutetica histoacuteria e geografia

Incluindo a ordem atual de quantas maneiras no total podemos empilhar tais livros

nesta carteira4 3 2 1 = 24 maneiras

Permutaccedilotildees simples

Permutaccedilotildees simples de n elementos distintos satildeo os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos

Exemplo1- com os elementos ABC satildeo possiacuteveis as seguintes permutaccedilotildees ABC

ACB BAC BCA CAB e CBA O nuacutemero total de permutaccedilotildees simples de n elementos

distintos eacute dado por nIsto eacute Pn= n Exemplos P3 = 3 =321 = 6

Exemplo2- Calcule o nuacutemero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de

um banco retangular de cinco lugaresP5 = 5 = 54321 = 120

Exemplo3-Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma

palavra que podem ter ou natildeo significado na linguagem comum

Exemplo

Os possiacuteveis anagramas da palavra REI satildeo p3 =321=6

REI RIE ERI EIR IRE e IER

Exerciacutecio resolvido de arranjos e combinaccedilotildees simples

1 ndash Uma escola tem 9 professores de matemaacutetica Quatro deles deveratildeo representar a

escola em um congresso Quantos grupos de 4 satildeo possiacuteveis Os agrupamentos satildeo

combinaccedilotildees simples pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta

pelo menos uma pessoa diferente Invertendo a ordem dos elementos natildeo alteramos o

grupo Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9

professores de matemaacutetica

2-Com cinco alunos quantas comissotildees de trecircs alunos podem ser formadas

3- De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 43: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

43

modos

4- Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo 8 frutas

distintas

saladas

EXERCIacuteCIOS

1-Quantas comissotildees com 6 membros podemos formar com 10 alunos

2-Numa reuniatildeo de 7 rapazes e 6 moccedilas quantas comissotildees podemos formar com 3

rapazes e 3 moccedilas

3-De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salatildeo dispondo de 8

jogadores

4-De quantas maneiras diferentes eacute possiacutevel compor uma faixa de trecircs quadrados de

mesma dimensatildeo e com cores diferentes podemos formar

5- Dada a palavra FUTEBOL responda

a) Quantos anagramas terminam por L

b) Quantos satildeo seus anagramas

c) Quantos comeccedilam por F

6- Utilizando os algarismos 1257 e 8 quantos nuacutemeros de 2 algarismos podemos

formar

7-Dez atletas disputam uma corrida com iguais chances de vencer De quantos modos

diferentes pode ocorrer a chegada dos trecircs primeiros atletas

8-Dada as palavras calcule os seguintes anagramas

-Martelo

-Excursatildeo

-Resto

Calcule

a) P8

b) A63

c) C85

d) P4+C42

e) A75 - 6P3

44

MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 44: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

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MATEMAacuteTICA FINANCEIRA

Conceitos baacutesicos

A Matemaacutetica Financeira eacute uma ferramenta uacutetil na anaacutelise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo Consiste em empregar procedimentos

matemaacuteticos para simplificar a operaccedilatildeo financeira a um Fluxo de Caixa

Capital

O Capital eacute o valor aplicado atraveacutes de alguma operaccedilatildeo financeira Tambeacutem conhecido como

Principal Valor Atual Valor Presente ou Valor Aplicado Em inglecircs usa-se PresentValue (indicado

pela tecla PV nas calculadoras financeiras)

Juros

Juros representam a remuneraccedilatildeo do Capital empregado em alguma atividade produtiva Os juros

podem ser capitalizados segundo dois regimes simples ou compostos

JUROS SIMPLES o juro de cada intervalo de tempo sempre eacute calculado sobre o

capital inicial emprestado ou aplicado

JUROS COMPOSTOS o juro de cada intervalo de tempo eacute calculado a partir do

saldo no iniacutecio de correspondente intervalo Ou seja o juro de cada intervalo de

tempo eacute incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambeacutem

O juro eacute a remuneraccedilatildeo pelo empreacutestimo do dinheiro Ele existe porque a maioria das pessoas

prefere o consumo imediato e estaacute disposta a pagar um preccedilo por isto Por outro lado quem for

capaz de esperar ateacute possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo e neste iacutenterim estiver

disposta a emprestar esta quantia a algueacutem menos paciente deve ser recompensado por esta

abstinecircncia na proporccedilatildeo do tempo e risco que a operaccedilatildeo envolver O tempo o risco e a quantidade

de dinheiro disponiacutevel no mercado para empreacutestimos definem qual deveraacute ser a remuneraccedilatildeo mais

conhecida juros

Quando usamos juros simples e juros compostos

A maioria das operaccedilotildees envolvendo dinheiro utiliza juros compostos Estatildeo incluiacutedas compras a

meacutedio e longo prazo compras com cartatildeo de creacutedito empreacutestimos bancaacuterios as aplicaccedilotildees

financeiras usuais como Caderneta de Poupanccedila e aplicaccedilotildees em fundos de renda fixa etc

Raramente encontramos uso para o regime de juros simples eacute o caso das operaccedilotildees de curtiacutessimo

prazo e do processo de desconto simples de duplicatas

Taxa de juros

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A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

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Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

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1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

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J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 45: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

45

A taxa de juros indica qual remuneraccedilatildeo seraacute paga ao dinheiro emprestado para um determinado

periacuteodo Ela vem normalmente expressa da forma percentual em seguida da especificaccedilatildeo do periacuteodo

de tempo a que se refere

8 aa - (aa significa ao ano)

10 at - (at significa ao trimestre)

Outra forma de apresentaccedilatildeo da taxa de juros eacute a unitaacuteria que eacute igual a taxa percentual dividida

por 100 sem o siacutembolo

015 am - (am significa ao mecircs)

010 aq - (aq significa ao quadrimestre)

PORCENTAGEM

A palavra ldquoporcentagemrdquo ldquopercentagemrdquo vem de ldquopor centordquo que significa ldquoa cada cemrdquoEacute frequumlente

o uso de expressotildees que refletem acreacutescimos ou reduccedilotildees em preccedilos nuacutemeros ou quantidades

sempre tomando por base 100 unidadesAlguns exemplos

A gasolina teve um aumento de 15

Significa que em cada R$100 houve um acreacutescimo de R$1500

O cliente recebeu desconto de 10 em todas as mercadorias

Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$1000

Dos jogadores do Inter 90 satildeo craques

Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Inter 90 satildeo craques

Razatildeo Centesimal

Toda razatildeo que tem para consequumlente o nuacutemero 100 denomina-se razatildeo centesimal

Alguns exemplos

120789

120783120782120782

120783120788

120783120782120782

120783120784120787

120783120782120782 120784120783120782

120783120782120782

Podemos representar uma razatildeo centesimal de outras formas

120789

120783120782120782=007=7 (lecircem-se sete por cento)

120783120788120783120782120782=016=16 (lecircem-se dezesseis por cento)

120783120784120787

120783120782120782=125=125(lecirc-se cento e vinte cinco por cento)

As expressotildees 7 16125 satildeo chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 46: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

46

Considere os seguintes exemplos

Calcular 25 de R$12000

120784120787120783120782120782 X 120=

120785120782120782120782

120783120782120782=30 reais

Calcular 32 de R$34000

120785120784120783120782120782X340=

120783120782120790120790120782

120783120782120782=10880

Um jogador de futebol ao longo de um campeonato cobrou 75 faltas transformando em gols 8

dessas faltas Quantos gols de falta este jogador fez

8 de 75=120790

120783120782120782 x75== 120788

Comprei um carro por R$2000000 e o vendi por R$2500000 Qual foi a porcentagem de lucro que

obtive

Lucro 25000-20000=5000(diferenccedila entre o preccedilo de venda e o preccedilo que paguei) Agora verifico

quanto isso representa de lucro

120787120782120782120782

120784120782120782120782120782= eacute o mesmo que

120783

120786 =025=

120784120787

120783120782120782= 120784120787

Entatildeo o lucro obtido na venda do carro eacute de 25

O preccedilo de um imoacutevel sofreu um aumento de 20 passando a custar R$4200000 Qual era o preccedilo

desse imoacutevel antes do aumento

120786120784120782120782120782

119961=

120783120784120782

120783120782120782=3500000

Logo o preccedilo antes do aumento era de R$3500000

Numa classe de 45 alunos40 satildeo meninasQuantos satildeo os meninos

120786120782

120783120782120782X45== 120783120790 45-18=27

Se 15 de uma produccedilatildeo sai com defeito quantas das 5400 facas que produz uma faacutebrica saem com

defeito

120783120787

120783120782120782X5400=81 facas

Exerciacutecios

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 47: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

47

1-Um vendedor tem 3 de comissatildeo nos negoacutecios que realiza Qual foi a sua comissatildeo em uma

venda de R$3600000

2- Uma loja estaacute oferecendo 8 de desconto para pagamento agrave vista na compra de um automoacutevel

que custa R$1470000 Quanto uma pessoa pagaraacute por esse carro aacute vista

3-Um funcionaacuterio recebeu um reajuste salarial de 15Quanto passaraacute a receber se seu salaacuterio atual

eacute de R$75000

4-Em um treino de basquete Bruno fez 360 arremessos e errou 198 Qual foi a sua porcentagem de

acerto

5-Uma vendedora recebe 9 de comissatildeo nas vendas realizadas Qual foi sua comissatildeo em uma

venda de R$300000

6-Em uma liquidaccedilatildeo uma camisa que custava R$3000foi vendida com 15de desconto Quanto

passou a custar agrave camisa

7-numa escola de 1ordmgrau 12 dos alunos cursam o 9ordm ano Sabendo que essa escola tem um total de

1500 alunos Calcule quantos alunos estatildeo no 9ordm ano

8-O salaacuterio de uma pessoa eacute de R$160000 No entanto todo mecircs ela tem um desconto de 9Quanto

ela recebe

9-Paula comprou uma TV agrave vista e obteve um desconto de 6Sabendo que a TV custava

R$98000Quanto Paula economizou pagando a vista

10-Uma bicicleta custa R$102000 e seu dono quer vendecirc-la com lucro de 10 Por quanto ele

venderaacute a bicicleta

11-Etec (2008)-O Imposto sobre a propriedade de Veiacuteculos Automotores (IPVA) cobrado no iniacutecio

de cada ano corresponde a 4 do valor de tabela dos veiacuteculos movidos a gasolina e a 3 do valor de

tabela dos veiacuteculos movidos a aacutelcool Sabendo-se que Joatildeo pagaraacute R$101588 de IPVA de seu

veiacuteculo movido a gasolina qual o valor de tabela do carro de Joatildeo

a)R$2539700 b)3047640 c)R$3386267 d)R$4063520 e)7111160

JUROS SIMPLES

O regime de juros seraacute simples quando o percentual de juros incidirem apenas sobre o valor

principal Sobre os juros gerados a cada periacuteodo natildeo incidiratildeo novos juros Valor Principal ou

simplesmente principal eacute o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros

Transformando em foacutermula temos

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 48: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

48

J = c i t

Onde

J = juros

c =(capital)

i = taxa de juros

t = tempo

Foacutermula para calcular juros simples

1- Imagine que peguemos um empreacutestimo de R$100000 para pagar em um mecircs com taxa de

juros de 15 ao mecircs Se o empreacutestimo for pago em um mecircs os juros seratildeo simples logo

J=Cit j=juros C=capital =R$100000 i=taxa de juros=15 ao mecircs t=tempo=1 mecircs

J=1000120783120787

120783120782120782 X 1=1000x0 15=150

2-Seu pai foi ao banco e pediu R$40000 emprestado em trecircs meses O banco cobrou 5 de

juros(simples)ao mecircsQuanto seu pai deve pagar ao final dos trecircs meses

5 de R$40000 eacute120786120782120782

120783120782120782 x5=20

Logo seu pai vai pagar R$2000 por mecircs Como satildeo trecircs meses eles devem pagar R$6000 de juros

Natildeo ele iraacute pagar R$40000 mais R$6000 o que totaliza R$46000

3-Qual o valor do montante produzido por um capital de R$120000 aplicado no regime de juros

simples a uma taxa mensal de 2 durante 10 meses

Capital 1200 i=2=120784

120783120782120782 ao mecircs (am) t=10

meses

J=Cit

J=1200002 10

J=240

M=Ct j

M=1200+240=1440

4-Calcular os juros simples de R$120000 a 13 a t por 4 meses e 15 dias

Tri mecircs

1 3 3x= 45 x=15 J=cit J=23400

X 45 x=453 J=120001315

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 49: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

49

Exemplo 5

Temos uma diacutevida de R$ 100000 que deve ser paga com juros de 8 am pelo regime de

juros simples e devemos pagaacute-la em 2 meses Os juros que pagarei seratildeo

J = 1000 x 008 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nuacutemero de periacuteodos )

Exemplo 6- Calcule o montante resultante da aplicaccedilatildeo de R$7000000 agrave taxa de

105 aa durante 145 dias

SOLUCcedilAtildeO

M = P ( 1 + (in) )

M = 70000 [1 + (105100)(145360)] = R$7296042

Observe que expressamos a taxa i e o periacuteodo n na mesma unidade de tempo ou seja

anos Daiacute ter dividido 145 dias por 360 para obter o valor equivalente em anos jaacute que um

ano comercial possui 360 dias

Exerciacutecios sobre juros simples

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$4000000 aplicados agrave taxa de 36 aa

durante 125 dias

2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 12 am rende R$350000 de juros

em 75 dias

3- O capital de R$ 53000 foi aplicado aacute taxa de juros simples de 3 ao mecircs Qual o valor

do montante apoacutes 5 meses de aplicaccedilatildeo (R - R$ 60950)

4- Um capital de R$ 60000 aplicado a uma taxa de juros simples de 20 ao ano gerou

um montante de R$ 108000 depois de certo tempo Qual foi esse tempo

R - 4

5-Qual foi o capital que aplicado agrave taxa de juros simples de 15 ao mecircs rendeu R$ 9000

em um trimestre (R - R$ 200000)middotmiddot

6- A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 450000 no sistema de capitalizaccedilatildeo

simples para que depois de 4 meses o montante seja de R$ 504000( R - 3 ao mecircs)

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 50: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

50

8- Quanto rendeu a quantia de RS 60000 aplicado a juros simples com taxa de 25 ao

mecircs no final de 1 ano e 3 meses( R - R$ 22500)

9-Uma diacutevida de R$75000foi paga 8 meses depois de contraiacuteda e os juros pagos foram de

R$6000sabendo que o caacutelculo foi feito usando juros simples qual foi a taxa de

juros(R1ao mecircs)

10-Um banco anuncia empreacutestimo agrave taxa de 20 ao mecircs Poreacutem a praacutetica do banco eacute

cobrar juros no momento do empreacutestimo A taxa mensal efetivamente cobrada pelo banco

eacute

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25

11-Tomei emprestado R$508000 na condiccedilatildeo de juros simples durante 2 meses a taxa de

3 ao mecircsQual eacute a minha divida no final do periacuteodo

(a) 30480 (b) 53848 (c) 50648 (d) 538048 (e)nrc

12-Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos sob taxa de juros de5 natildeo mecircs

gerou um montante de 2695000determine o valor do capital aplicado

13-A que taxa o capital der$ 800000 rende R$240000 em 6 meses

14-Em quantos meses um capital de R$300000 rendeu de juros R$90000 a taxa de 24

ao ano

15- Um capital de R$1600000 aplicado durante 8 meses rendeu juros

R$1923000determine a taxa anual

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos eacute o mais comum no sistema financeiro e portanto o mais

uacutetil para caacutelculos de problemas do dia-a-dia Os juros gerados a cada periacuteodo satildeo

incorporados ao principal para o caacutelculo dos juros do periacuteodo seguinte

Chamamos de capitalizaccedilatildeo o momento em que os juros satildeo incorporados ao principal

Apoacutes trecircs meses de capitalizaccedilatildeo temos

1ordm mecircs M =P(1 + i) 2ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1

+ i) x (1 + i) 3ordm mecircs o principal eacute igual ao montante do mecircs anterior M = P x (1 + i) x (1

+ i) x (1 + i)

51

Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

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Simplificando obtemos a foacutermula

M = P (1 + i)n

Importante a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n ou seja

taxa de juros ao mecircs para n meses

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do

periacuteodo

J = M ndash P

Exemplo

Calcule o montante de um capital de R$600000 aplicado a juros compostos durante

1 ano agrave taxa de 35 ao mecircs

Usando a foacutermula M=P(1+i)n obtemos

M = 6000(1+0035)12

= 6000 (1035)12

Fazendo x = 103512

temos 151

Entatildeo M = 6000151 = 9060

Portanto o montante eacute R$ 906000

1ndash Um capital de R$ 20000000 eacute aplicado a juros compostos de 10 ao ano Calcule o

montante apoacutes 4 anos

Resposta R$ 29282000

2-Um capital de R$ 30000 foi aplicado em regime de juros compostos com uma taxa de

10 ao mecircs Calcule o Montante desta aplicaccedilatildeo apoacutes dois meses

Substituindo temos M = 300 (1 + 01)sup2

M = 300 (11) sup2M = 300 (121)M = 300 121 = 36300

Entatildeo o Montante da aplicaccedilatildeo fornecida neste problema apoacutes 02 meses eacute de R$ 36300

3- Um dono de empresa consegue um empreacutestimo de R$ 3000000 que deveraacute ser pago

no fim de um ano acrescidos de juros compostos de 3 ao mecircs Quanto o dono da

empresa deveraacute pagar ao final do prazo estabelecido

Substituindo temos M = 30000 x (1 + 003)12

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 52: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

52

M = 30000 x (103) 12M = 300000 x (14257) M = 30000 x 14257 = 42771

4- Um aplicador colocou R$ 100000 em uma caderneta de poupanccedila que possui uma taxa

de juros de remuneraccedilatildeo de 05 ao mecircs Se ele natildeo fizer nenhum depoacutesito nem retirada

por 12 meses qual seraacute o montante final

C = capital inicial = R$ 100000

i = taxa de juros = 05 ao mecircs

t = tempo = 12 meses

Resposta Ele ganhou a estratosfeacuterica quantia de R$ 6168 para emprestar R$ 100000

para o banco por 1 ano

5-Calcular o montante de uma aplicaccedilatildeo de R$ 350000 pelas seguintes taxas efetivas e

prazos

a) 4 am e 6 meses b) 8 at e 18 meses c) 12 aa e 18 meses

6-Calcular o montante ao final de um ano de aplicaccedilatildeo do capital R$ 60000 agrave taxa

composta de 4 ao mecircs

Resoluccedilatildeo

A capitalizaccedilatildeo eacute mensal portanto no tempo de aplicaccedilatildeo considerado teremos 12

capitalizaccedilotildees

C = R$ 600

i = 4 = 004

n = 12

M = C (1 + i)n M = 600 (1 + 004)

12 M = 600 (104)

12

M = 600 middot 160103

M = R$ 96062

7-O capital R$ 50000 foi aplicado durante 8 meses agrave taxa de 5 ao mecircs Qual o valor dos

juros compostos produzidos

Resoluccedilatildeo

C = R$ 500

i = 5 = 005

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 53: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

53

n = 8 (as capitalizaccedilotildees satildeo mensais)

M = C (1 + i)n M = 500 (105)

8 M = R$ 73873

O valor dos juros seraacute J = 73873 ndash 500 J = R$ 23873

8- Qual a aplicaccedilatildeo inicial que empregada por 1 ano e seis meses agrave taxa de juros

compostos de 3 ao trimestre se torna igual a R$ 47762

Resoluccedilatildeo

M = R$ 47762

i = 3 = 003

n = 6 (as capitalizaccedilotildees satildeo trimestrais)

M = C (1 + i)n

47762 = C (103)6

C = R$ 40000

Aacutereas das Figuras Geomeacutetricas

Aacuterea da regiatildeo Retangular

b A= a b A= ab P=a+a+b+b= periacutemetro

a

Aacuterea da regiatildeo Quadrangular

A=119949120784 ou A=lxl Periacutemetro=l+l+l+l

l

Aacuterea Triacircngulo Equilaacutetero

A A=119949120784 radic120785

120786 use radic3 =17

Ciacuterculo

A= 120645 119961119955sup2

54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

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54

C=2120645 119955

Losango

A=119915 119961 119941

120784

EXERCIacuteCIO

1- Um terreno mede 20m por 65mCalcule a aacuterea e o periacutemetro desse terreno

2-Um ladrilho de forma quadrada tem 20cm de ladoQual eacute a aacuterea desse ladrilho

3-Para ladrilhar totalmente uma parede de 27msup2 de aacuterea foram usadas peccedilas quadradas de

15cm de ladoQuanta peccedilas foram usadas

4-Uma lajota retangular tem 30cm por 20cmQual eacute a aacuterea da lajotaQuantas lajotas satildeo

necessaacuterias pra cobrir o piso de uma garagem de 96msup2 de aacuterea

5-Quantos msup2 de azulejo satildeo necessaacuterios para revestir ateacute o teto uma parede retangular de

4m por 275m

6-Para uma festa junina foram recortadas 100 bandeirinhas com o formato de um triacircngulo

equilaacutetero de lado 20cmQuantos msup2 de papel foram necessaacuterios para obter essas

bandeirinhas(use radic120785 =17)

7-Um terreno tem s forma quadrada o lado mede 302mCalcule a aacuterea desse terreno

8-A quadra retangular da escola tem 34 metros de comprimento e 20 metros de

larguraQuantos metros quadrados tem essa quadra

9-Uma parede de 4m de comprimento por 280m de largura vai ser pintada se um metro

quadrado (1msup2) custa R$1050Quanto vou gastar em matildeo de obra

10-Qual eacute a aacuterea de um disco de cobre de espessura despreziacutevel e que tem 8cm de raio

11-Num campo de futebol o grande ciacuterculo tem 10m de raioQual eacute a aacuterea do grande

ciacuterculo

12-(UEL-PR) Uma piscina tem formato circular com raio de 5mQuer se revestir uma faixa

de 1m de largura em torno da piscinaQuantos metros quadrados de piso teraacute esse

revestimento

a)2120645 b)9120645 c)11120645 d)25120645 e)36120645

d

D

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 55: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

55

13- Para decorar uma festa infantil a dona da loja precisa calcular a margem de fita

adesiva necessaacuteria para colocar o barrado decorativo em volta de 9 mesas redondas que

tecircm 60cm de raio cada umaSabendo que cada rolo conteacutem 8 m de fita adesiva quantos

rolos seratildeo necessaacuterios para essa decoraccedilatildeo

14- Um artesatildeo prepara suas peccedilas enrolando uma cordinha em cilindros de madeira com

25cm de raioPara enrolar cada cilindro o artesatildeo daacute 12 voltas musando a cordaQuantos

metros de corda o artesatildeo precisaraacute comprar para preparar 150 peccedilas

15-Um juiz de futebol mediu o comprimento do ciacuterculo central de um campo e obteve o

valor de 556mVerifique se a medida do raio desse ciacuterculo eacute maior igual ou menor que a

medida exigida que eacute de 915m

GEOMETRIA ESPACIAL

ESTUDO DO CILINDRO

O cilindro eacute um soacutelido geomeacutetrico classificado como corpo redondo por conter uma de

suas faces arredondadas Podemos observar a utilizaccedilatildeo do cilindro na induacutestria de

embalagens reservatoacuterios de combustiacuteveis e liacutequidos em geral Em virtude da sua grande

utilizaccedilatildeo no cotidiano eacute importante conhecer seus elementos e saber realizar o caacutelculo de

seu volume

Considere um cilindro circular reto de altura h e raio da base r O volume do cilindro eacute

obtido realizando o produto entre a aacuterea da base e a altura h Ou seja

V = (aacuterea da base) times (altura)

Como a base do cilindro eacute uma circunferecircncia de raio r temos que

(aacuterea da base) = π∙r2

56

Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

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Sabemos que a altura do cilindro eacute h Assim a foacutermula para o caacutelculo do volume do

cilindro eacute dada por

V = π∙r2∙h

Sendo

r rarr o raio da base

h rarr a altura do cilindro

Vejamos alguns exemplos de aplicaccedilatildeo da foacutermula do volume do cilindro

Aacuterea da base circular rarr Ab = π rsup2 OBSERVACcedilAtildeO 120529 = 314

Volume

V = Ab h rarr V = π rsup2 h

Esse tipo de soacutelido geomeacutetrico eacute muito utilizado no cotidiano como reservatoacuterio de

liquidas e gasosas

Quando trabalhamos com soacutelidos geomeacutetricos precisamos relembrar as principais relaccedilotildees

entre as medidas de volume e de capacidade veja

1 msup3 (metro cuacutebico) = 1 000 litro

1 dmsup3 (deciacutemetro cuacutebico) = 1

1 cmsup3 (centiacutemetro cuacutebico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato ciliacutendrico eacute utilizado no armazenamento de combustiacutevel de uma

transportadora de produtos alimentiacutecios As medidas desse tanque satildeo as seguintes raio da

base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros Deseja-se encher esse tanque com oacuteleo

diesel para abastecer a frota de 150 caminhotildees que possuem o tanque tambeacutem no formato

ciliacutendrico medindo 15 metros de altura e raio da base medindo 90 centiacutemetros Verifique

se a quantidade de oacuteleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa eacute necessaacuteria para

abastecer todos os caminhotildees uma uacutenica vez durante um dia considerando que o

combustiacutevel dos caminhotildees esteja bem proacuteximo de acabar

Volume do tanque da empresa OBSERVACcedilAtildeO 120645 = 314

V = π rsup2 h

V = 314 4sup2 12

57

V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

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V = 314 16 12

V = 60288 msup3

Volume do tanque de cada caminhatildeo 90 centiacutemetros equivale a 09 metros

V = π rsup2 h

V = 314 09sup2 15

V = 314 081 15

V = 38151 msup3

Quantidade necessaacuteria de combustiacutevel para abastecer a frota 150 38151 = 57227 msup3

A capacidade total do tanque de armazenamento eacute de 60288 msup3 e a quantidade necessaacuteria

para abastecer todos os caminhotildees eacute de 57227 msup3 entatildeo o oacuteleo diesel do tanque eacute

suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 3061 msup3 de oacuteleo

Exemplo 2 Considere um cilindro circular reto de 8 cm de altura e raio da base medindo 5

cm Determine a capacidade desse cilindro (Utilize π = 314)Soluccedilatildeo De acordo com o

enunciado do problema temos que h = 8 cmr = 5 cmCalcular a capacidade eacute o mesmo que

determinar o volume do cilindro Utilizando a foacutermula do volume obtemos V = π∙r2∙hV =

314 ∙ 52∙8V = 314 ∙ 25 ∙ 8V = 628 cm

3Portanto esse cilindro apresenta capacidade de 628

cm3ou 628ml

Exemplo 3 Um reservatoacuterio de combustiacuteveis apresenta o formato de um cilindro circular

reto de 15 metros de diacircmetro e 6 metros de altura Determine a capacidade em litros

desse reservatoacuterio (Utilize π=314)

Soluccedilatildeo Temos que

r = d2 = 152 = 75 m

h = 6 m

Utilizando a foacutermula do volume obtemosV = π∙r2∙hV = 314 ∙ (75)

2∙ 6V = 314 ∙ 5625 ∙

6V = 105975 m3O exerciacutecio quer a capacidade em litros Devemos lembrar que 1dm

3 = 1

litro ou 1m3 = 1000 litros

Assim o volume em litros desse reservatoacuterio serde

V = 105975 ∙ 1000 = 1059750 litros

Exemplo4Se uma Cisterna tem uma altura de dois metros e quarenta centiacutemetros (240m) e

uma boca ou diacircmetro de trecircs metros (30m) quanto ela suporta de aacutegua quando estiver

cheia

58

Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

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Eacute soacute substituir os nuacutemeros pelas letras fazer a multiplicaccedilatildeo e vocecirc teraacute o resultado

V = 314 x 15 x 15 x 24 = 16956 metros cuacutebicos que eacute a mesma coisa de 16956 litros de

aacutegua

u seja cada metro cuacutebico de aacutegua eacute a mesma coisa que 1000 (mil) litros de aacutegua

ESTUDO DO CUBO

O cubo eacute um poliedro que apresenta seis faces quadradas doze arestas e oito veacutertices

Tambeacutem eacute chamado de hexaedro regular Podemos dizer que ele eacute um paralelepiacutepedo

portanto o caacutelculo do seu volume eacute feito da mesma forma Assim se considerarmos um

cubo como o da figura abaixo observe

Aacuterea total

A aacuterea total A eacute dada pela aacuterea dos seis

quadrados de lado a

AT=6a2

Volume

De forma semelhante ao paralelepiacutepedo retacircngulo o volume de um cubo de aresta a eacute

dado por

V= a a a = a3

Exemplo 1Um cubo formado por arestas medindo 1 metro (m) cada possui capacidade de

1000 litros pois V = 1m 1m 1m = 1m3

Exemplo 2Calcule o volume do cubo que tem 7cm de aresta

Soluccedilatildeo Sabemos que o cubo apresenta todas as dimensotildees com a mesma medida ou as

arestas congruentes Dessa forma o volume do cubo acima seraacute

V = 73 = 343 cm

3

PARALELEPIacutePEDO RETAcircNGULO

O paralelepiacutepedo eacute um poliedro com seis faces retangulares doze arestas e oito veacutertices

conhecido tambeacutem como bloco retangular Eacute portanto uma figura tridimensional ou seja

apresenta comprimento largura e altura (ou espessura ou profundidade) Quando duas

59

faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

60

Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

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faces se encontram temos uma aresta E o ponto de encontro de trecircs arestas eacute chamado de

veacutertice

O estudo do volume do paralelepiacutepedo eacute muito utilizado pela induacutestria de embalagens que

visa obter o maior volume possiacutevel com o menor gasto de material e na construccedilatildeo civil

Vamos considerar um paralelepiacutepedo qualquer Seu volume eacute obtido pelo produto de

suas trecircs dimensotildees comprimento x largura x altura Ou seja

Exemplo 1A piscina da casa de Joatildeo possui o formato de um paralelepiacutepedo e a capacidade

deve ser determinada atraveacutes da multiplicaccedilatildeo das trecircs dimensotildees

Veja comprimento x largura x profundidade 8 m x 5 m x 15 m = 60 msup3 (sessenta metros

cuacutebicos)

A medida de 1 msup3 (metro cuacutebico) corresponde a 1000 litros Portanto 60 msup3 eacute igual agrave

capacidade de 60 000 litros A piscina da casa de Joatildeo tem a capacidade de 60 000 litros de

aacutegua

Exemplo 2 Determine o volume do bloco retangular abaixo

Soluccedilatildeo Conhecemos as dimensotildees do bloco 10 cm de comprimento 8 cm de largura e 9

cm de altura Dessa fora basta aplicarmos a foacutermula do volume V = 10 ∙ 8 ∙ 9 = 720 cm3

Exemplo 3 Uma piscina possui a forma de um paralelepiacutepedo com 6m de comprimento

3m de largura e 17m de profundidade Calcule a capacidade em litros dessa piscina

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Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

61

7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

Page 60: APOSTILA DE MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - NEEJA - … · APOSTILA DE MATEMÁTICA - ENSINO MÉDIO ... das matrizes, dos vetores, dos polinômios, ... 1-Uma pessoa vai escolher um plano

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Soluccedilatildeo Ao pedir para calcular a capacidade da piscina o problema quer que seja

calculado o volume em litros da piscina Como a piscina apresenta a forma de um bloco

retangular vamos aplicar a foacutermula do volume

V = 6 ∙ 3 ∙ 17 = 306 m3

Encontramos o volume da piscina em metros cuacutebicos mas o exerciacutecio quer esse volume

em litros Para isso devemos lembrar-nos das seguintes relaccedilotildees 1 dm3 = 1 litro1 m

3 =

1000 dm3 Entatildeo 1 m

3 = 1000 litrosAssim o volume em litros da piscina seraacute V = 306

∙ 1000 = 30600 litros

EXERCIacuteCIOS

1-Numa lata ciliacutendrica de 7cm de diacircmetro e 14 cm de altura cabem aproximadamente

a)520 ml b)5145ml c) 538ml d)545ml e)530ml

2-Quanto litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees

satildeo120m por 090m e 1ml

a)1050 b)1070 c)1080 d) 1040 e)1090

3-Enceeja (2002)A quantidade de aacutegua que consumismos em nossas casas eacute medida em

metros cuacutebicos (9msup2) A conta de aacutegua de uma famiacutelia e km um determinado mecircs

registrou um consumo de 23msup3Eacute possiacutevel inferir que nesse mecircs essa famiacutelia gastou

a) 230 litros b)2300litros c)23000litros d)230000litros e)nrc

4-Enem(2010) Um porta-laacutepis de madeira foi construiacutedo no formato cuacutebico O cubo de

dentro eacute vazioA aresta do cubo maior mede 12cm e a do cubo menor que eacute interno mede

8cm

O volume de madeira utilizado na confecccedilatildeo desse objeto foi de

a)12cmsup3 b)64cmsup3 c)96cmsup3 d)1216cmsup3 e)1728msup3

5-Enceeja (2006) Um reservatoacuterio de aacutegua de uma cidade tinha a forma de um cubo com

capacidade para 27msup3 de aacuteguaCom o objetivo de aumentar sua capacidade dobrou-se sua

altura e sua base foi mantidaA capacidade do novo reservatoacuterio em metros cuacutebicos

passou a ser de

a)33msup3 b)36msup3 c) 45msup3 d)54msup3 e)36msup3

6-Qual eacute o volume de um paralelepiacutepedo retacircngulo satildeo 13 cm 10 cm e 8 cmCalcule a aacuterea

total do paralelepiacutepedo

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7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base

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7-As dimensotildees de um tijolo satildeo 20 cm por 9 cm por 7cmQual eacute o volume de argila para

fabricar esse tijolo

8-Quantos litros de aacutegua satildeo necessaacuterios para encher um reservatoacuterio cujas dimensotildees satildeo

120m por 090m por 1m(Lembre-se de que 1dmsup3=1l)

9-Enem (2011) Eacute possiacutevel usar aacutegua ou comida para atrair as aves e observaacute-las Muitas

pessoas costumam usar aacutegua com accediluacutecar por exemplo para atrair beija-flores Mas eacute

importante saber que na hora de fazer a mistura vocecirc deve sempre usar uma parte de

accediluacutecar para cinco partes de aacutegua Aleacutem disso em dias quentes precisa trocar a aacutegua de

duas a trecircs vezes pois com o calor ela pode fermentar e se for ingerida pela ave pode

deixaacute-la doente O excesso de accediluacutecar ao cristalizar tambeacutem pode manter o bico da ave

fechado impedindo-a de se alimentar Isso pode ateacute mataacute-la Pretende-se encher

completamente um copo com a mistura para trair beija-flores O copo tem formato

ciliacutendrico e suas medidas satildeo 10 cm de altura e 4 cm de diacircmetroA quantidade de aacutegua

que deve ser utilizada na mistura eacute cerca de (utilizar 120645= 3)

a)20ml b)24ml c)100ml d)120ml e)600ml

10- Quantos cmsup2 seratildeo gastos para construir uma peccedila cuacutebica com 8 cm de aresta da base