Movimento Harmônico Simples � M.H.S.1. Introdução

É o movimento periódico no qual a aceleração é proporcional aposição. Por exemplo: sistema massa-mola e pêndulo simples.2. Cinemática do M.H.S.2.1. Função horária do espaço do M.H.S.

Seu estudo é feito através de um movimento circular uniformeauxiliar.

A função horária do espaço do M.H.S. pode ser encontrada fazendoa projeção do movimento do circular uniforme.

Exemplos de M.H.S.:

- sistema massa-mola

θ

- pêndulo simples (θ < 5o)Movimento Circular Uniforme -M.C.U.Definição de radiano.

É a razão entre o comprimentodo arco L e o raio R da circunferência.

RL=α

R

Lα

Espaço Angular (φ)O espaço angular é dado pela

função horária:t.0 ω+φ=φ

em que:φ: espaço angularφ0 : espaço angular inicialω: velocidade angularLembre-se que:

Rv e R

s ;Rs 0

0 =ω=φ=φ

t∆φ∆=ω (definição)

x

y

Rφ

φ

A-Av

M H S

vM H S

vM C U

φ=⇒=φ cos.RxRxcos

Mas a amplitude A do M.H.S. é igual ao raio R do M.C.U. e a fase φ, édada pela função horária do M.C.U.

R = A e φ = φ0 + ω.t, logo:)t.cos(.Ax 0 ω+φ=

2.2. Função horária da velocidadeDe modo análogo podemos chegar na função horária da velocidade

do M.H.S.A velocidade do M.H.S. é a projeção da velocidade do M.C.U. sobre

o eixo x. A relação entre as velocidades é dada pela função seno.

x

y

R

xφ A-A

⇒=φMCU

MHS

vvsen

φ= sen.vv MCUMHS

A velocidade linear do M.C.U. se relaciona com a velocidadeangular através da relação v=ω.R. Assim, a relação passa a ser:

Mais uma vez, lembrando que a amplitude do MHS é igual aoraio do M.C.U., temos:

R = A e φ = φ0 + ω. t

φω= sen.R.vMHS

Note que não tem sentido mais a denominação velocidadeangular para um M.H.S., portanto ω será denominado de pulsação.

O sentido do M.C.U. auxiliar é anti-horário. Fazendo a correçãonecessária devido a orientação do eixo x, temos:

)t.sen(.A.v 0MHS ω+φω=

)t.sen(.A.v 0MHS ω+φω−=2.3. Função horária da aceleração do M.H.S.

A aceleração do M.H.S. será a componente no eixo x daaceleração centrípeta do M.C.U.. A relação entre as acelerações serádada pela função co-seno.

Como a aceleração centrípeta é:temos:Corrigindo o sinal da aceleração devido a orientação do eixo x

e substituindo R = A e φ = t.0 ω+φ , temos a função:

2.4. Equação fundamental do M.H.S.Como a definição do M.H.S. é de um movimento no qual a

aceleração é proporcional a posição, temos:a = k.x

comparando a função horária do espaço:)t.cos(.Ax 0 ω+φ=

com a função horária da aceleração:)t..cos( A.a 0

2MHS ω+φω−=

chegamos a função fundamental do M.H.S.:x.a 2

MHS ω−=

em que: k = - ω2

x

y

Rφ

φA-A

aM H S

aM H S

aM C U ⇒=φ

MCU

MHS

aacos

φ= cos.aa MCUMHS

A aceleração centrípeta do M.C.U.pode ser dada por duas relações:

Rva ou R.a

2

CP2

CP =ω=

Rφ

aC P

ω

R.a 2CP ω=

φω= cos.R.a 2MHS

)t..cos( A.a 02

MHS ω+φω−=

Fase (φφφφφ) e fase inicial (φφφφφ0)A fase inicial tem por referência a

posição inicial de um M.C.U. auxiliar(imaginário). Por exemplo:φ

0 = 0 rad

0-A A

Neste caso imagina-se um M.C.U., cujaposição angular inicial é φ0 = 0 radianos.Como a posição do objeto que realiza oM.H.S. é a projeção sobre o eixo x, entãotem-se que o móvel encontra-se naposição x = A, movendo-se no sentidocontrário da orientação do eixo x.φ0 = π/2 rad

0-A A

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Neste caso imagina-se um M.C.U., cujaposição angular inicial é φ0 = π/2radianos. Como a posição do objeto querealiza o M.H.S. é a projeção sobre oeixo x, então tem-se que o móvelencontra-se na posição x = 0,movendo-se no sentido contrário daorientação do eixo x.φ0 = π rad

0-A A

Neste caso imagina-se um M.C.U., cujaposição angular inicial é φ0 = π radianos.Como a posição do objeto que realiza oM.H.S. é a projeção sobre o eixo x, entãotem-se que o móvel encontra-se naposição x = -A, movendo-se a favor dosentido da orientação do eixo x.φ0 = 3π/ 2 rad

0

-A A

Neste caso imagina-se um M.C.U., cujaposição angular inicial é φ0 = 3π/2radianos. Como a posição do objeto querealiza o M.H.S. é a projeção sobre o eixox, então tem-se que o móvel encontra-sena posição x = 0, movendo-se a favor dosentido da orientação do eixo x.

2.5. Diagramas horários do M.H.S.Os diagramas das funções horárias do M.H.S. são gráficos de

funções trigonométricas. Funções como:y = a sen (bx + c) + dy = a cos (bx + c) + d

Vale lembrar que:I - O termo a da função define a amplitude do gráfico:

II - O termo b da função define a período do gráfico, através darelação T = 2π/b:

ππ2 2

3π 2π0

y = cos x

x12

-1-2

ππ2 2

3π 2π0

y = cos 2x

x12

-1-2

ππ2 2

3π 2π0

y = cos x

x12

-1-2

ππ2 2

3π 2π0

y = 2 cos x

x12

-1-2

III - O termo c da função define a fase inicial do gráfico:

ππ2 2

3π 2π0

y = cos x

x12

-1-2

ππ2

π2

π2

23π 2π0

y = cos (x + )

x12

-1-2

-

IV - O termo d da função define a translação do gráfico noeixo y (não será utilizada no estudo do M.H.S.):

ππ2 2

3π 2π0

y = cos x

x12

-1-2

ππ2 2

3π 2π0

y = cos x + 1

x12

-1-2

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2.6. Exercícios1. (Unitau-95) Uma par tícula oscila ao longo do eixo x com movimento harmônico simples, dado porx=3,0.cos(0,5πt + 3π/2), onde x é dado em cm e t em segundos. Nessas condições, pode-se afirmar que a amplitude,a freqüência e a fase inicial valem, respectivamente:a) 3,0cm, 4Hz, 3π/2rad d) 3,0cm, 0,5Hz, 3π/2radb) 1,5cm, 4Hz, 3π/2rad e) 3,0cm, 0,25Hz, 3π/2radc) 1,5cm, 4Hz, 270°2. (UEL-95) Um movimento harmônico simples é descrito pela função x=0,050 cos(2πt+π), em unidades doSistema Internacional. Nesse movimento, a amplitude e o período, em unidades do Sistema Internacional,valem, respectivamente,a) 0,050 e 1,0 d) 2π e πb) 0,050 e 0,50 e) 2,0 e 1,0c) π e 2π3. (Mackenzie 96) Uma partícula descreve um movimento harmônico simples segundo a equação:

x=0,3.cos(π/3+2.t), no S.I..O módulo da máxima velocidade atingida por esta par tícula é:a) 0,3 m/s d) 0,2 m/sb) 0,1 m/s e) π/3 m/sc) 0,6 m/s4. (UFRS 98) Uma massa M executa um movimento harmônico simples entre as posições x=-A e x=A, conformerepresenta a figura. Qual das alternativas refere-se corretamente aos módulos e aos sentidos das grandezasvelocidade e aceleração da massa M na posição x=-A?

a) A velocidade é nula; a aceleração é nula.b) A velocidade é máxima e aponta para a direita; a aceleração é nula.c) A velocidade é nula; a aceleração é máxima e aponta para a direita.d) A velocidade é nula; a aceleração é máxima e aponta para a esquerda.e) A velocidade é máxima e aponta para a esquerda; a aceleração é máxima e aponta para a direita.5. (Mackenzie 98) Um corpo efetua um movimento harmônico simples. Com relação a esse movimento, podemosafirmar que:a) a trajetória descrita pelo corpo é uma senóide.b) o módulo da velocidade do corpo varia senoidalmente com o tempo.c) o sentido da velocidade do corpo varia 4 vezes em cada período.d) a aceleração do corpo tem módulo invariável.e) o módulo da aceleração do corpo varia linearmente com o tempo.6. (Mackenzie 98)Uma par tícula realiza um M.H.S. (movimento harmônico simples), segundo a equaçãox=0,2cos(π/2+πt/2), no S.I.. A partir da posição de elongação máxima, o menor tempo que esta par tículagastará para passar pela posição de equilíbrio é:a) 0,5 s d) 4 sb) 1 s e) 8 sc) 2 s7. (Fuvest-95) Uma caneta move-se ao longo do eixo y com ummovimento harmônico simples. Ela registra sobre uma fita de papelque se move com velocidade de 10cm/s da direita para esquerda, ográfico representado na figura ao lado.a) Determine a função y(x) que representa a curva mostrada nográfico.b) Supondo que o instante t=0 corresponda à passagem da caneta

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pelo ponto x=0 e y=0, determine a função y(t) que representa seumovimento.c) Qual a freqüência, em hertz, do movimento da caneta?8. (Fuvest-93) Enquanto uma folha de papel é puxada com velocidadeconstante sobre uma mesa, uma caneta executa um movimento devai-e-vem, perpendicularmente à direção de deslocamento do papel,deixando registrado na folha um traço em forma de senóide.A figura ao lado representa um trecho AB do traço, bem como asposições de alguns de seus pontos e os respectivos instantes.Pede-se:a) a velocidade de deslocamento da folha.b) a razão das freqüências do movimento de vai-e-vem da canetaentre os instantes 0 a 6s e 6 a 12s.9. (Unicamp-91) Enquanto o ponto P se move sobre umacircunferência, em movimento circular uniforme com velocidadeangular ω=2πrad/s, o ponto M (projeção de P sobre o eixo x) executaum movimento harmônico simples entre os pontos A e A'.a) Qual é a freqüência do MHS executado por M?b) Determine o tempo necessário para o ponto M deslocar-se doponto B ao ponto C.Nota: B e C são os pontos médios de AD e ´DA , respectivamente.10. (Vunesp-91) A par tir do gráfico que ao lado onde estãorepresentadas as posições ocupadas por um móvel em função dotempo, quando oscila sujeito a uma força do tipo -k.x (k constante),determine:a) a freqüência da amplitude do movimento.b) os instantes, durante os três primeiros segundos, em que avelocidade se anulou.Respostas1. E2. A3. C4. C5. B

3. Dinâmica do M.H.S. O movimento harmônico simples é o movimento no qual a

aceleração é proporcional a posição. Por exemplo: sistema massa-mola e pêndulo simples. Isto é expresso através da equaçãofundamental do M.H.S.:

a = k.x oux.a 2

MHS ω−= , onde k = - ω2

3.1. Sistema Massa-MolaUm sistema conservativo formado por uma mola de constante

elástica k e um corpo de massa m. O corpo de massa m é posto aoscilar entre as posições -A e A, quando sujeito a uma força elástica.

Aceleração do M.H.S.Projeção da aceleração do M.C.U.

É a projeção da aceleração doM.C.U. auxiliar sobre o eixo x.

x

y

Rφ

φA-A

aM H S

aM H S

aM C U

6. B7.a) y = 2,0 sen (π/2 . x)b) y = 2,0 sen (5,0 π t)c) 2,5 Hz

8.a) 2,0 cm/sb) 29.a) 1,0 Hz

b) 1/6 s10.a) A = 0,10 m f = 0,5 Hzb) 0,5s; 1,5s e 2,5s

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comparando a função horária doespaço: )t.cos(.Ax 0 ω+φ=

com a função horária da aceleração:)t..cos( A.a 0

2MHS ω+φω−=

chegamos a função fundamental doM.H.S.:

x.a 2MHS ω−= , onde k = - ω2

Período do Sistema Massa-Mola.O período do Sistema Massa-

Mola não depende da inclinação θ doplano inclinado.

θ

∆xF

e l á s t

a.mFRr

r

= e x.kFElastr

r

−= , portanto x.k a.m = (em módulo). Logo,x.

mk a = . Mas, da equção fundamental do M.H.S. temos que: xa 2

MHS ω=

(em módulo).Deste modo a pulsação do movimento harmônico é m

k =ω

e o período do movimento harmônico é:

km..2T π=

3.2. Pêndulo SimplesUm objeto é preso a um fio ideal e posto a oscilar de modo

que θ o ângulo formado pelo fio ideal e um reta vertical não ultrapassao valor de 5 o.

Observa-se que a força resultante é dada pela componente dopeso na direção do movimento. Dessa forma, a intensidade da forçaresultante é FR= P.sen φ.

Utilizando a aproximação, perfeitamente válida para ângulospequenos, medidos em radianos, sen φ ≈ φ, temos: FR ≈ P . φ.

Da definição de ângulo, em radianos, temos φ = x/L, a forçaresultante pode ser escrita como:

Lx.PFR =

Substituindo a segunda Lei de Newton, FR = m.a, deduz-se quea aceleração do movimento é:

x.Lga =

Porém, por definição, o movimento harmônico simples é aqueleque tem sua aceleração proporcional a posição, ou seja: xa 2

MHS ω= .Deste modo a pulsação do movimento harmônico é:

Lg=ω

E o período do pêndulo simples é:

gL..2T π=

-A A0

L

θ

φ

φ

φ

T

PFr

Frx

aa x~~

Tabela de ângulos e senos.

Forças atuantes num pêndulo simples.

ααααα ααααα sen (ααααα)(graus) (radianos)1 0,0175 0,01752 0,0349 0,03493 0,0524 0,05234 0,0698 0,06985 0,0873 0,08726 0,1047 0,10457 0,1222 0,12198 0,1396 0,13929 0,1571 0,156410 0,1745 0,1736

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3.3 Exercícios1. (Unicamp 92) Um corpo de massa m está preso em uma mola deconstante elástica k e em repouso no ponto O. O corpo é então puxadoaté a posição A e depois solto. O atrito é desprezível. Sendo m=10kg,k=40N/m, π=3,14, pede-se:a) o período de oscilação do corpo;b) o número de vezes que um observador, estacionário no ponto B, vêo corpo passas por ele, durante um intervalo de 15,7 segundos.2. (Uelondrina 96) Um corpo de massa m é preso à extremidade deuma mola helicoidal que possui a outra extremidade fixa. O corpo éafastado até o ponto A e, após ser abandonado, oscila entre os pontosA e B.Pode-se afirmar corretamente que a:a) aceleração é nula no ponto 0. d) força é nula nos pontos A e B.b) a aceleração é nula nos pontos A e B. e) força é máxima no ponto 0.c) velocidade é nula no ponto 0.3. (Mackenzie 97) Um corpo, preso a uma mola conforme figura aolado, executa na Terra um M. H. S. de freqüência 30Hz. Levando-seesse sistema à Lua, onde a aceleração da gravidade é 1/6 da aceleraçãoda gravidade da Terra, a freqüência do M. H. S. descrito lá é:a) 5 Hz d) 60 Hzb) 10 Hz e) 180 Hzc) 30 Hz4. (Ufes 99) Dois blocos, 1 e 2, de massas m1 e m2, respectivamente,comprimem uma mola, de constante elástica k, de uma distância x0 emrelação à sua posição de equilíbrio. O bloco 1 está preso à mola,enquanto o bloco 2 é mantido em contato com o bloco 1, porém semestar preso a ele, por um agente externo, conforme mostra a figura. Oconjunto, inicialmente em repouso, em um dado momento, é deixadolivre por esse agente externo. Despreze todas as formas de dissipação de energia.a) Que velocidade terá o bloco 2 quando perder contato com o bloco 1?b) Depois que o bloco 2 perde o contato com o sistema massa-mola, esse sistema realiza um movimentoharmônico simples (MHS). Determine a freqüência angular e a amplitude desse MHS.5. (Vunesp 91) Período de um pêndulo é o intervalo de tempo gasto numa oscilação completa. Um pênduloexecuta 10 oscilações completas em 9,0 segundos. Seu período é:a) 0,9 segundos d) 10,0 segundosb) 1,1 segundos e) 90,0 segundosc) 9,0 segundos6. (Fuvest-gv 92) Um trapezista abre as mãos, e larga a barra de um trapézio, ao passar pelo ponto mais baixoda oscilação. Desprezando-se o atrito, podemos afirmar que o trapézio:a) pára de oscilar. d) não sofre alteração na sua freqüênciab) aumenta a amplitude de oscilação. e) aumenta sua energia mecânica.c) tem seu período de oscilação aumentado.7. (Vunesp 96) Um estudante pretendia apresentar um relógio depêndulo numa feira de ciências com um mostrador de 5cm de altura,como mostra a figura.Sabendo-se que, para pequenas oscilações, operíodo de um pêndulo simples, é dado pela expressão

)g/L(..2T π= , pede-se:a) Se o pêndulo for pendurado no posto O e tiver um período de 0,8segundos, qual deveria ser a altura mínima do relógio? Para facilitar

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seus cálculos, admita g=(π2)m/s2.b) Se o período do pêndulo fosse de 5 segundos, haveria algum inconveniente? Justifique.8. (Ita 98) No início do século, Alber t Einstein propôs que forçasinerciais, como aquelas que aparecem em referenciais acelerados,sejam equivalentes às forças gravitacionais. Considere um pêndulode comprimento L suspenso no teto de um vagão de trem emmovimento retilíneo com aceleração constante de módulo a, comomostra a figura. Em relação a um observador no trem, o período depequenas oscilações do pêndulo ao redor da sua posição de equilíbrioθ0 é:a) )g/L(..2 π d) ])ag(/L[..2 22 +π

b) )]ag/(L[..2 +π e) )g.a/L(..2 π

c) ])ag(/L[..2 22 −π9. (Ita 97) Um aluno do ITA levou um relógio, a pêndulo simples, de Santos, no litoral paulista, para São José dosCampos, a 600m acima do nível do mar. O relógio marcava a hora correta em Santos, mas demonstra umapequena diferença em São José. Considerando a Terra como uma esfera com seu raio correspondendo ao níveldo mar, pode-se ESTIMAR que, em São José dos Campos, o relógio:a) atrasa 8 min por dia.b) atrasa 8 s por dia.c) adianta 8 min por dia.d) adianta 8 s por dia.e) foi danificado, pois deveria fornecer o mesmo horário que em Santos.10. (Ita 98) Um relógio de pêndulo simples é montado no pátio de um laboratório em Novosibirsk na Sibéria,utilizando um fio de suspensão de coeficiente de dilatação 1x10-4°C-1. O pêndulo é calibrado para marcar a horacerta em um bonito dia de verão de 20°C. Em um dos menos agradáveis dias do inverno, com a temperatura a-40°C, o relógio:a) adianta 52 s por dia. d) atrasa 26 s por dia.b) adianta 26 s por dia. e) atrasa 52 s por dia.c) atrasa 3 s por dia.11. (Mackenzie 98) Um pêndulo simples tem inicialmente um período T. Ao quadruplicarmos seu comprimento,sua nova freqüência será:a) 4T b) 2T c) 1/T d) 1/2T e) 1/4T12. (Ita 96) Uma técnica muito empregada para medir o valor da aceleração da gravidade local é aquela queutiliza um pêndulo simples. Para se obter a maior precisão no valor de g deve-se:a) usar uma massa maior. d) aumentar a amplitude das oscilações.b) usar um comprimento menor para o fio. e) fazer várias medidas com massas diferentes.c) medir um número maior de períodos.Respostas1.a) 3,14 sb) 102. A3. C4.a) V = x0 √[k/(m1+m2)]b) ω = √(k/m1) e A = x05. A6. D

7.a) 21 cmb) O inconveniente é que o relógio teria mais de 6 metrosde altura. Impróprio para salas convencionais.8. D9. B10. B11. D12. C

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