modelo de macro-finanÇas para a estrutura a termo da taxa...
TRANSCRIPT
i
FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS IBMEC PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM
ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
DDIISSSSEERRTTAAÇÇÃÃOO DDEE MMEESSTTRRAADDOO PPRROOFFIISSSSIIOONNAALLIIZZAANNTTEE EEMM EECCOONNOOMMIIAA
“MODELO DE MACRO-FINANÇAS PARA A ESTRUTURA A TERMO DA TAXA DE
JUROS COM VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA: APLICAÇÃO AO CASO
BRASILEIRO”.
EENNRRIIQQUUEE GGEERRMMAANNOO CCAACCIICCEEDDOO CCIIDDAADD
ORIENTADOR: PROF. DR. MÁRCIO POLETTI LAURINI
Rio de Janeiro, 14 de maio de 2012.
ii
“MODELO DE MACRO-FINANÇAS PARA A ESTRUTURA A TERMO DA TAXA DE JUROS COM VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA: APLICAÇÃO AO CASO
BRASILEIRO”
ENRIQUE GERMANO CACICEDO CIDAD
Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissionalizante em Administração como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Finanças & Controladoria.
ORIENTADOR: MÁRCIO POLETTI LAURINI
Rio de Janeiro, 14 de maio de 2012.
iii
“MODELO DE MACRO-FINANÇAS PARA A ESTRUTURA A TERMO DA TAXA DE JUROS COM VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA: APLICAÇÃO AO CASO
BRASILEIRO”
ENRIQUE GERMANO CACICEDO CIDAD
Dissertação apresentada ao curso de Mestrado Profissionalizante em Administração como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Economia. Área de Concentração: Finanças & Controladoria.
Avaliação:
BANCA EXAMINADORA:
_____________________________________________________
Professor MÁRCIO POLETTI LAURINI (Orientador) Instituição: Ibmec-RJ _____________________________________________________
Professor RODRIGO NOVINSKI Instituição: Ibmec-RJ _____________________________________________________
Professor JOÃO FROIS CALDEIRA Instituição: UFRGS
Rio de Janeiro, 14 de maio de 2012.
iv
332 C565m
Cidad, Enrique Germano Cacicedo. Modelo de macro-finanças para a estrutura a termo da taxa de juros com volatilidade estocástica: aplicação ao caso brasileiro. / Enrique Germano Cacicedo. - Rio de Janeiro: Faculdades Ibmec, 2012. 46p.; 29 cm. Dissertação de Mestrado Profissionalizante apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Economia das Faculdades Ibmec, como requisito parcial necessário para a obtenção do título de Mestre em Economia. Área de concentração: Finanças e controladoria. Orientador: Dr. Prof.Márcio Poletti Laurini
1. Macro-finanças. 2. Estrutura a termo da taxa de juros. 3. Volatilidade estocástica. 4. Estimação Bayesiana. I. Cidad, Enrique Germano Cacicedo. II. Dr. Prof. Márcio Poletti Laurini. III. Modelo de macro-finanças para a estrutura a termo da taxa de juros com volatilidade estocástica: aplicação ao caso brasileiro.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais e meu irmão, que sempre me apoiaram incondicionalmente, a todos
os professores do mestrado do Ibmec pelos conhecimentos transmitidos, em especial ao meu
professor orientador Márcio Laurini pelas excelentes aulas e pela presteza e apoio na
orientação do meu trabalho, aos meus colegas de classe pela importantíssima troca de
experiências durante esses dois anos e, por último, à Eletrobras pela oportunidade e apoio
financeiro.
vi
RESUMO
Neste trabalho estimamos uma extensão do Modelo Dinâmico de Nelson-Siegel com
volatilidade estocástica e fatores macroeconômicos através de dados mensais do Brasil para o
período entre janeiro de 2003 e agosto de 2011. Neste modelo, os fatores latentes seguem uma
dinâmica VAR(1) em conjunto com os fatores macroeconômicos, permitindo uma interação
bidirecional entre a curva de juros e variáveis macroeconômicas, o fator de carga é variante
no tempo e as volatilidades dos fatores e da curva de juros seguem processos latentes
dinâmicos. A presença de não linearidade e sobreparametrização na especificação do modelo
nos fez optar pelo método bayesiano de estimação de Markov Chain Monte Carlo. O resultado
obtido foi um ganho no ajuste da curva de juros comparado com o modelo original de Diebold
& Li (2006).
Palavras Chave: Macro-Finanças, Estrutura a Termo da Taxa de Juros, Volatilidade
Estocástica, Estimação Bayesiana.
vii
ABSTRACT
We estimated an extension of the Dynamic Nelson-Siegel with stochastic volatility and
macroeconomic factors using monthly data for Brazil in the period between January 2003 and
August 2011. In our model, latent factors follow a VAR(1) dynamics along with
macroeconomic factors, allowing a bidirectional feedback between the yield curve and the
macroeconomic variables, the factor loading is time varying and the factors and yield curve
volatility follow dynamic latent processes. The presence of non-linearity and
overparametrization in the model specification lead us to choose the Monte Carlo Markov
Chain method to estimate factors and parameters. The result was a gain in fit for the yield
curve compared to the original specification of Diebold & Li (2006).
Key Words: Macro-Finance, Term Strucuture of Interest Rates, Stochastic Volatility,
Bayesian Estimation.
viii
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1
2 LITERATURA DE MACRO-FINANÇAS .............................................................. 4
2.1 MODELOS AFIM LIVRE DE ARBITRAGEM....................................................................................... 4
2.2 MODELOS DINÂMICOS DE NELSON-SIEGEL .................................................................................. 7
2.3 MODELO DINÂMICO DE NELSON-SIEGEL COM FATORES MACROECONÔMICOS E VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA .................................................................................................................. 11
3 ESTIMAÇÃO E RESULTADOS ......................................................................... 13
3.1 DADOS UTILIZADOS ............................................................................................................................. 13
3.2 MÉTODO DE MARKOV CHAIN MONTE CARLO ............................................................................ 15
3.3 RESULTADOS OBTIDOS ....................................................................................................................... 19
4 CONCLUSÃO .................................................................................................... 28
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 29
APÊNDICE A – MODELOS AFIM LIVRE DE ARBITRAGEM .................................. 33
APÊNDICE B – ALGORITMOS DE MARKOV CHAIN MONTE CARLO ................. 36
APÊNDICE C – MEDIDAS DE AJUSTE ................................................................... 38
1
1 INTRODUÇÃO
A estrutura a termo da taxa de juros, ou curva de juros, é uma curva que descreve a
relação entre as taxas de juros de diferentes maturidades em um mesmo instante e as
respectivas diversas maturidades de títulos da mesma categoria de risco de crédito. As
informações contidas na estrutura a termo são relevantes para tomadas de decisão tanto de
formuladores de política econômica quanto profissionais do mercado financeiro, como
economistas e gestores de carteira. A estimação e previsão correta da curva de juros são
importantes para precificação de títulos, gestão de risco de juros e previsão sobre condições
futuras da economia.
No tocante à modelagem da estrutura a termo da taxa de juros, as literaturas de finanças e
macroeconomia se mostram desconexas. Na literatura de finanças, a estrutura a termo é
descrita por um conjunto de fatores dinâmicos não observáveis que explicam toda a curva
(tanto as taxas de curto prazo como as mudanças de prêmio de risco que determinam as taxas
de longo prazo), como em Litterman e Scheinkman (1994), Duffie e Kan (1996) e Diebold &
Li (2006) que, no entanto, não tem nenhuma interpretação econômica. Já em Macroeconomia
a taxa de juros é um instrumento de política monetária determinada pelo Banco Central tendo
em vista outras variáveis macroeconômicas e a taxa de juros de longo-prazo é geralmente
vista como formada pela expectativa das futuras taxas de curto-prazo (Hipótese das
Expectativas). No entanto, a literatura mostra que os modelos de estrutura a termo baseados
2
em variáveis macroeconômicas têm uma performance inferior aos modelos de fatores latentes
da literatura de finanças (DEWATCHER & LYRIO, 2006).
Para Rudebusch (2010), um modelo conjunto de macroeconomia e finanças é capaz de
trazer sinergias na modelagem da estrutura a termo das taxas de juros. Dessa forma, uma
recente literatura conhecida como de macro-finanças tem formulado modelos com estruturas
de curva de juros multi-fatores que incorporam variáveis macroeconômicas e financeiras.
Rudebusch et al. (2006) sugere diversas vantagens para a aplicação de um modelo
conjunto de macro-finanças para a estrutura a termo da taxa de juros em comparação com os
modelos tradicionais de finanças e macroeconomia. A primeira vantagem seria que modelos
de macro-finanças identificam que taxa de juros e demais variáveis macroeconômicas
evoluem em conjunto ao longo do tempo, influenciando umas as outras, enquanto modelos
tradicionais de finanças relacionam a curva de juros apenas a valores correntes e passados da
taxa de juros. Além disso, esses modelos permitem que os prêmios de risco dependam das
variáveis macroeconômicas, o que está de acordo com investigações empíricas em mercados
de renda fixa1 e, também, permite que os prêmios de risco variem ao longo do tempo.
Os modelos de estrutura a termo mais comuns na literatura de Macro-Finanças são os
Afim livre de arbitragem e os Modelos Dinâmicos de Nelson-Siegel. Os Modelos Afim livre
de arbitragem têm fundamentos sólidos na teoria de finanças e possuem a vantagem de serem
tratáveis, no sentido de apresentar solução fechada. Entretanto, esses modelos mostram
resultados empíricos fracos para previsão de séries de tempo de rendimentos de títulos e
apresentam problemas para estimação que são reflexos de modelos sobre-parametrizados
(CHRISTENSEN ET AL., 2010). Os modelos dinâmicos de Nelson-Siegel são modelos
paramétricos que não trazem o rigor teórico dos modelos afim, mas possuem a vantagem de
1 Por exemplo, Cochrane e Piazzesi (2005)
3
apresentar boa performance empírica na modelagem da estrutura a termo da taxa de juros,
principalmente no quesito previsão (DE POOTER, 2007).
Até o momento poucas aplicações de modelos de curva de juros para o Brasil
incorporaram variáveis macroeconômicas, sendo a maioria através de modelos afim livre de
arbitragem. Além disso, esses modelos negligenciam a presença de volatilidade variante no
tempo que pode influenciar a curva de juros para as taxas de médio e longo prazo, afetando
principalmente a sua curvatura (NIU, 2007; LITTERMAN ET AL., 1991; CHRISTIANSEN
& LUND, 2005). Modelos fatoriais de estrutura a termo que incorporam presença de
volatilidade da taxa de juros de curto-prazo geralmente mostram melhores resultados do que
aqueles que desconsideram esse aspecto (ver KALIMIPALLI & SUSMEL, 2004).
Dessa forma, esse trabalho visa abordar o problema de estimação da curva de juros para o
Brasil de uma forma interdisciplinar buscando compreender a relação entre a estrutura a termo
da taxa de juros e as variáveis macroeconômicas que a influenciam, assim como testar a
capacidade de melhora no ajuste da curva que a inserção destas variáveis e da modelagem da
volatilidade estocástica podem trazer.
A dissertação está dividida da seguinte forma: no capítulo 2 será apresentada uma revisão
da literatura de macro-finanças discutindo os modelos Afim Livre de Arbitragem e dinâmicos
de Nelson-Siegel e resultados obtidos por eles, sendo que na parte 2.2.2 introduziremos o
Modelo Dinâmico de Nelson-Siegel com fatores macroeconômicos e volatilidade estocástica
que será utilizado na parte empírica; no capítulo 3 serão apresentados os dados utilizados na
aplicação do modelo e o método de estimação de escolhido, concluindo com uma análise dos
resultados obtidos e ao final, uma conclusão sumarizando a realização do trabalho.
4
2 LITERATURA DE MACRO-FINANÇAS
2.1 MODELOS AFIM LIVRE DE ARBITRAGEM
Os modelos Afim livre de arbitragem presentes na literatura de Macro-Finanças utilizam a
hipótese de não-arbitragem e desenvolvem através de resultados conhecidos da teoria de
finanças uma estrutura a termo da taxa de juros aonde os preços dos títulos são uma função
exponencial afim das variáveis de estado (ver Apêndice A para mais detalhes).
Ang & Piazzesi (2003) usa uma especificação em tempo discreto dos modelos
Gaussiano-Afim da literatura de finanças com prêmio de risco variando no tempo. Enquanto
os modelos originais utilizam apenas dados de yields nominais de títulos para explicar a curva
por fatores latentes, ou seja, não observáveis, os autores acrescentam variáveis
macroeconômicas através de uma Regra de Taylor para a taxa de juros de curto prazo,
descrita por uma função afim da inflação anual e do desvio do PIB com relação ao seu
potencial.
Dessa forma, o modelo une três fatores latentes da estrutura a termo a variáveis
macroeconômicas em uma dinâmica do tipo VAR que definem conjuntamente as yields de
curto prazo dos títulos. A dinâmica nesse caso é unidirecional, onde as variáveis
macroeconômicas ajudam a determinar as yields, porém estes os fatores latentes não
influenciam a dinâmica das variáveis macroeconômicas.
5
Os autores concluem que choques na variável hiato do produto têm impacto significativo
nas taxas de médio prazo e na curvatura da estrutura a termo da taxa de juros, enquanto
choques de inflação têm efeitos significativos sobre o nível da estrutura a termo da taxa de
juros. Além disso, os fatores macroeconômicos explicam até 85% da variação prevista das
taxas para longos horizontes nas partes de maturidades curtas e médias da curva, entretanto,
não têm impacto significativo na parte de longas maturidades da curva. Além disso, a
imposição de restrições de não-arbitragem melhora as previsões fora da amostra para
dinâmicas VAR comparado com os modelos da literatura de macroeconomia.
Numa abordagem diferente, Bekaert et al. (2010) incorporam a uma estrutura a termo
de taxa de juros Gaussiano-Afim fatores macroeconômicos que seguem um modelo Novo
Keynesiano. O autor utiliza cinco fatores macroeconômicos: três observáveis (inflação, hiato
do produto e taxa de juros de curto prazo) e dois não observáveis (meta de inflação2 e o
produto natural).
Esse modelo é formado por uma equação de demanda agregada (IS) intertemporal
derivada da maximização de uma função de utilidade assumindo-se persistência de hábito de
consumo dos agentes, uma equação de oferta agregada (AS) que relaciona inflação ao hiato
do produto, uma regra de Política Monetária onde a autoridade monetária determina a taxa de
juros nominal via uma média ponderada de uma taxa estabelecida por uma Regra de Taylor
forward-looking e taxas de juros passadas e ainda um processo estocástico para a meta de
inflação onde a autoridade monetária leva em conta as expectativas dos agentes e as taxas de
inflação passadas para determinar a meta. A dinâmica do modelo é dada por um VAR
simples.
Neste modelo a curva IS é consistente com o núcleo de apreçamento do modelo afim
e, por construção, o prêmio de risco não varia ao longo do tempo. O autor conclui que
2 Ao contrário do Banco Central do Brasil, o Federal Reserve não anuncia metas de inflação.
6
choques na metade e inflação explicam mais de 50% das variações no nível da curva de juros
em todos os horizontes de tempo, sendo que mais de 75% para horizontes de tempo mais
curtos. Já choques na política monetária explicam mais de 90% da variação na inclinação da
curva de juros para horizontes de tempo mais curtos e 60% da curvatura da curva de juros
para todos os horizontes de tempo.
Rudebusch & Wu (2008) também combina uma estrutura a termo de taxa de juros
Gaussiano-Afim com fatores macroeconômicos que seguem um modelo Novo Keynesiano.
No entanto, agora a taxa de juros nominal é determinada por uma função linear de dois fatores
latentes que representam o nível e a inclinação da curva de juros, onde esses fatores podem
ser interpretados, respectivamente, como a meta de inflação perseguida pelo Banco Central e
a resposta cíclica do Banco Central a desvios da inflação com relação à meta. Além disso, o
modelo contém outras duas equações para inflação e produto. A Dinâmica do modelo é dada
por um VAR.
Niu (2007) propõe um modelo que incorpora volatilidade estocástica a um modelo de
macro-finanças Afim livre de Arbitragem de estrutura a termo da taxa de juros. Nesse
modelo, o preço do risco, que nos modelos Afim livre de Arbitragem tradicionais é uma
função afim dos fatores, passa a ser determinado pela matriz de variância-covariância dos
choques de inovações do VAR que por sua vez segue um processo auto-regressivo de
Wishart. Através de simulações, os autores concluem que o os efeitos estocásticos dos
choques na matriz de variância-covariância de inovações do VAR tem impacto importante
sobre as yields de maturidade média e longa e que esse fator de volatilidade se aproxima do
fator de curvatura da estrutura a termo da taxa de juros.
No caso brasileiro, Shousha (2008) desenvolve um modelo afim com dois fatores
latentes e três variáveis macroeconômicas através de uma Regra de Taylor para uma
economia com regime de metas de inflação representada pelo desvio da inflação com relação
7
à meta, hiato do produto e variação da taxa de câmbio nominal. O autor estuda o período de
setembro de 1999 a julho de 2005, e conclui que as variáveis macroeconômicas explicam até
53% da variação das taxas de juros, sendo que o câmbio nominal sozinho explica até 41% das
taxas. Além disso, a parte das variações das taxas atribuídas aos fatores não-observáveis de
inclinação e nível da curva de juros parecem estar relacionadas, respectivamente, com aversão
ao risco internacional e à expectativa de inflação.
Matsumara e Moreira (2005) propõe uma extensão ao modelo de Ang & Piazzesi
(2003) incluindo possibilidade de default e uma variável de spread de crédito na tentativa de
compreender os efeitos macroeconômicos sobre a estrutura a termo da taxa de juros e do
spread soberano.
Já Silveira (2005) trabalha com um modelo Gaussiano-Afim aonde a dinâmica da
economia é explicada por um modelo estrutural Novo Keynesiano para economias abertas e
pequenas. Em grandes linhas, seu modelo tem uma estrutura semelhante à de Bekaert et al.
(2010) e, ainda, o autor acrescenta uma equação de paridade descoberta da taxa de juros.
2.2 MODELOS DINÂMICOS DE NELSON-SIEGEL
O Modelo de Nelson & Siegel (1987) é um modelo paramétrico para ajuste da estrutura
a termo da taxa de juros que utiliza uma forma funcional para a curva de taxas forward
baseada em uma função de Laguerre3.
A curva de juros correspondente é dada por uma equação da forma:
(1)
3 Uma função de Laguerre é uma função polinomial multiplicada por um termo exponencial de decaimento (Nelson & Siegel, 1987).
8
onde representa um parâmetro de decaimento ou fator de carga. O peso do fator pode
ser interpretado como uma componente de longo prazo, já que é constante igual a 1 para todas
as maturidades; o peso do fator pode ser interpretado como uma componente de curto
prazo que inicia em 1 e vai até 0 exponencialmente à taxa e o peso do fator pode ser
interpretado como uma componente de médio prazo que inicia em 0, sobe nas maturidades
médias até a maturidade igual a e depois decresce até 0.
O modelo apresenta diversas vantagens que o tornou popular tanto entre economistas
de Banco Centrais ao redor do mundo quanto de profissionais do mercado (DE POOTER,
2007). Ele captura uma aproximação parcimoniosa da estrutura a termo da taxa de juros, o
que é desejável, pois apresenta suavidade no ajuste e gera estimativas tratáveis e confiáveis
(DIEBOLD & RUDEBUSCH, 2011). Além disso, a sua forma funcional satisfaz algumas
restrições da teoria de finanças como a curva de desconto para a maturidade 0 é igual a um e
ela tende a 0 conforme aumenta a maturidade. Por fim, ele é capaz de reproduzir as formas da
curva tipicamente observadas pelos dados (monotonica, curvada e em S).
Diebold & Li (2006) mostra que ao se trabalhar com os três fatores de uma forma
dinâmica, ou seja, variando ao longo do tempo, eles adquirem uma interpretação consistente
com a análise de componentes principais de Litterman & Scheinkman (1991), podendo ser
interpretados como fatores latentes dinâmicos que representam o nível, a inclinação e a
curvatura da curva de juros. Esse modelo ficou conhecido na literatura como Modelo
Dinâmico de Nelson-Siegel. Os autores mostram também que o modelo se comporta bem não
somente no ajuste da curva como para previsões, principalmente para prazos superiores a um
ano.
A estimação, nesse caso, é feita em dois estágios. Primeiro lambda é calibrado de
forma a tornar a equação (1) linear e a curva de juros é ajustada para cada data por mínimos
9
quadrados ordinários e em seguida estimamos um modelo dinâmico para os fatores latentes,
no caso de Diebold& Li (2006), uma especificação AR(1).
Já Diebold et al. (2006) segue uma estrutura descrita por um Modelo Dinâmico de
Nelson-Siegel que combina fatores latentes em conjunto com fatores macroeconômicos: três
fatores dinâmicos que representam o nível, a inclinação e a curvatura da curva de juros e três
variáveis macroeconômicas observáveis que representam capacidade instalada da indústria,
taxa de juros dos Federal Funds do Federal Reserve e taxa de inflação.
Nesse caso, o modelo é visto de forma mais abrangente via representação em espaço de
estados:
, (2)
, (3)
Onde em (2), conhecidas como equações de medida, representa um
vetor n x 1 que contém as diferentes taxas de juros para as n maturidades de tempo ,
representa os j fatores da curva de Nelson-Siegel e representa o peso dos fatores, mais um
vetor de erros independentes entre as maturidades e com variâncias distintas.
Ao contrário do Modelo Dinâmico de Nelson-Siegel, Diebold et al. (2006) estima os
parâmetros e fatores latentes simultaneamente através de um procedimento em um estágio via
maximização da função de verossimilhança através do Filtro de Kalman.
Para fazer previsões com relação à estrutura a termo da taxa de juros é necessário
descrever a dinâmica dos fatores que, nesse caso, seguem uma especificação vetor
autoregressiva de primeira ordem. Em (3) é um vetor de parâmetros e uma matriz de
parâmetros. Os vetores de erros e são ortogonais e normalmente distribuídos. O vetor
contém j fatores tanto latentes como macroeconômicos com defasagens.
10
Na aplicação realizada pelos autores, para horizontes mais curtos, os fatores
macroeconômicos pouco influenciam a variabilidade das taxas de juros, entretanto, para um
horizonte de 60 meses elas respondem por cerca de 40%.
Apesar de se mostrar flexível, simples e com bom desempenho empírico, os modelos
de Nelson-Siegel tradicionais não impõem restrições de não-arbitragem. Christensen et al.
(2010) desenvolve um modelo de estrutura a termo afim que mantém a estrutura de peso dos
fatores do modelo Nelson-Siegel. A proposta é manter as restrições teóricas impostas pelos
modelos afim combinados com a estrutura dinâmica dos modelos Nelson-Siegel que permite
uma melhor performance empírica. O autor compara empiricamente o Modelo Dinâmico de
Nelson-Siegel e o Modelo Afim de Nelson-Siegel livre de arbitragem, e ainda com o modelo
Afim-Gaussiano tradicional. Os autores mostram que a imposição de arbitragem melhora as
previsões fora da amostra quando comparado com o Modelo Dinâmico de Nelson-Siegel e
que o Modelo Afim de Nelson-Siegel livre de arbitragem é superior também ao Afim-
Gaussiano tradicional em previsões fora da amostra.
Li et al. (2011) impõe restrições de não-arbitragem ao Modelo de Diebold et al.
(2006), ampliando o Modelo de Nelson-Siegel Livre de Arbitragem de Christensen et al.
(2010) ao incorporar fatores macroeconômicos, combinando a parcimônia e flexibilidade do
Modelo Dinâmico de Nelson-Siegel com as condições de não-arbitragem do modelo afim e
trazendo a possibilidade de se estudar a dinâmica conjunta de variáveis macroeconômicas
com as yields dos títulos. Comparando com o modelo de Diebold et al. (2006), os autores
conseguem melhores performances para previsões 12 meses a frente. E ainda, comparando
com o Modelo Dinâmico de Nelson-Siegel e o Modelo de Nelson-Siegel livre de arbitragem,
os autores mostram que ele tem melhor previsão para yields de maturidades média e longa em
todos os horizontes de tempo, o que sugere forte importância dos fatores macroeconômicos
para previsões de longo prazo das yields dos títulos.
11
No caso brasileiro, Moura & Mendonça (2009) trabalham com uma extensão do
Modelo Dinâmico de Nelson-Siegel onde, diferentemente do modelo original, os fatores não
seguem apenas uma dinâmica AR(1), como também são explicados por fatores que
representam o nível de atividade, política fiscal e inflação. Os autores concluem que a
incorporação de fatores macroeconômicos ao Modelo Dinâmico de Nelson-Siegel resultou em
importantes ganhos de previsão em comparação com o modelo original.
2.3 MODELO DINÂMICO DE NELSON-SIEGEL COM FATORES
MACROECONÔMICOS E VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA
Para este trabalho, utilizaremos um modelo com três fatores latentes dinâmicos e três
fatores macroeconômicos. A curva de juros segue a equação
(4)
Caldeira et al. (2010) mostra que tratar o fator de decaimento como fixo, apesar de
facilitar o procedimento de estimação do modelo, implica perda na qualidade do ajuste. Dessa
forma, diferentemente de Diebold et al. (2006) e Diebold & Li (2006), trataremos como
variante no tempo através de um processo AR(1) para o seu log, ou seja4,
(5)
onde e são parâmetros.
A dinâmica dos fatores é representada por um VAR (1)
4 O uso do log visa garantir que o parâmetro assuma sempre valores positivos.
12
onde é o vetor de fatores que inclui três fatores latentes e três macroeconômicos, o
vetor de erros para cada fator j, sua respectiva volatilidade variante no tempo, é um
vetor de parâmetros e é uma matriz de parâmetros.
Para capturarmos o risco associado às taxas de juros e à trajetória ao longo do tempo
dos fatores da curva de juros utilizaremos um modelo log-normal para a volatilidade dos
fatores latentes e o erro de medida da equação da curva de juros, onde estas dependem apenas
da própria volatilidade passada. Ou seja, a estrutura é dada por:
(7)
(8)
onde e são parâmetros, é um vetor de parâmetros e é uma matriz de
parâmetros diagonal.
13
3 ESTIMAÇÃO E RESULTADOS
3.1 DADOS UTILIZADOS
Para a modelagem da curva de juros utilizaremos dados dos contratos de DI Futuro da
BM&FBOVESPA. Utilizaremos três variáveis macroeconômicas como fatores para nosso
modelo de Macro-Finanças: para a inflação, usaremos a taxa de inflação do IPCA, fornecida
pelo IBGE; como medida de atividade econômica, usaremos a capacidade instalada da
indústria, fornecida pela CNI; e para a taxa de juros de curto prazo utilizaremos a taxa Selic,
fornecida pelo Banco Central. Os dados abrangem 104 observações mensais entre o período
de janeiro de 2003 a agosto de 2011 e correspondem as taxas do último dia útil do mês (taxas
de juros) ou a taxa correspondente do mês (variáveis macroeconômicas). As taxas de juros
correspondem a contratos de maturidade de 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 15, 18, 24, 27, 29, 31 e 33
meses. Nos casos em que não foram observadas taxas de determinadas maturidades no último
dia útil do mês, as mesmas foram interpoladas por cubic splines.
A tabela 1 mostra estatísticas descritivas selecionadas das taxas de juros utilizadas
para estimação do modelo: a média, o desvio-padrão, valor máximo, valor mínimo, todos em
%, e as autocorrelações de ordem 1 e 3 (ACF1 e ACF3), ou seja, para 1 e 3 meses.
14
Maturidade Média Desvio Padrão Máximo Mínimo ACF1 ACF3
1 14,454 4,465 26,652 8,462 0,962 0,841
2 14,464 4,421 26,952 8,554 0,960 0,836
3 14,473 4,380 27,247 8,647 0,958 0,831
4 14,483 4,340 27,536 8,739 0,956 0,825
6 14,504 4,269 28,092 8,925 0,952 0,812
9 14,540 4,185 28,881 9,206 0,944 0,789
12 14,584 4,132 29,641 9,478 0,936 0,763
15 14,637 4,110 30,398 9,741 0,929 0,738
18 14,698 4,114 31,166 10,002 0,921 0,713
24 14,832 4,189 32,754 10,490 0,909 0,671
27 14,900 4,251 33,572 10,533 0,904 0,653
29 14,945 4,299 34,121 10,474 0,902 0,643
31 14,989 4,350 34,669 10,422 0,899 0,633
33 15,031 4,404 35,211 10,376 0,897 0,625 Tabela 1: Estatísticas descritivas das taxas de juros
Figura 1: Evolução das taxas de juros das 14 maturidades
A tabela 2 mostra estatísticas descritivas selecionadas das variáveis macroeconômicas.
A variável inflação apresenta um alto coeficiente de variação, enquanto a taxa de juros de
curto prazo exibe alta persistência. As variáveis inflação e capacidade instalada não
apresentam raiz unitária ao nível de significância de 10%, enquanto que não podemos rejeitar
15
a hipótese nula de raiz unitária para a taxa de juros de curto prazo pelo teste ADF com 4
defasagens.
Tabela 2: Estatísticas descritivas das variáveis macroeconômicas.
Figura 2: Evolução das variáveis macroeconômicas ao longo do período analisado.
3.2 MÉTODO DE MARKOV CHAIN MONTE CARLO
Dentre os diversos métodos de estimação utilizados em Modelos de Macro-Finanças,
destacam-se aqueles baseados na maximização da função verossimilhança. Especificamente
para a classe de modelos de Nelson-Siegel, é possível construir uma representação em espaço
de estado e estimar a máxima verossimilhança a partir da decomposição do erro de previsão
Variável Média Desvio padrão Coeficiente de variação ACF1 Estatística ADF
81,19% 1,94% 2,40% 0,7860 -3,4148
13,54% 4,07% 30,06% 0,9003 -3,1409
0,48% 0,33% 68,67% 0,5942 -5,3887
16
usando o filtro de Kalman como utilizado por Diebold et al. (2006) e Li et al. (2011) em seus
modelos de macro-finanças.
Apesar da popularidade, esse método apresenta certos problemas quando aplicado em
modelos de estrutura a termo, que geralmente apresentam alta dimensionalidade de
parâmetros e yields com alta persistência, como a existência de múltiplos máximos locais e de
identificação econométrica (KIM & ORPHANIDES, 2005; HAMILTON & WU, 2010). Além
disso, na presença de volatilidade estocástica e fator de decaimento variante no tempo não é
possível mais estimarmos pelo filtro de Kalman, pois não obtemos uma representação em
estado de espaço linear e Gaussiana. O modelo representado pelas equações (4) – (8) é um
sistema em espaço de estados não-lineares com três níveis e seis processos latentes.
Uma forma de contornarmos estes problemas é utilizando métodos Bayesianos para a
estimação dos parâmetros. Esses métodos, que utilizam informação a priori do processo,
permitem resolver os problemas de identificação e alta dimensionalidade do vetor de
parâmetros. Em particular, utilizaremos o método de Markov Chain Monte Carlo, que
consistem em simulações de Monte Carlo para cadeias de Markov. Ao contrário dos métodos
de máxima verossimilhança, ele não utiliza procedimentos de otimização numérica, e por isso
evita também o problema de múltiplos máximos locais.
A estatística bayesiana tem caráter de atualização de informações, ela encara as
distribuições de probabilidade de um determinado processo como incerta e sujeita a mudanças
de acordo com nova informação disponível. Considere o conjunto de parâmetros do
modelo, o conjunto de fatores latentes e y a amostra observada. Pelo teorema de Bayes
sabemos que
17
onde a distribuição de probabilidade assumida sobre os parâmetros antes de
possuirmos os dados é chamada de probabilidade a priori, a distribuição de probabilidade
atualizada pelos dados é chamada de probabilidade posterior. A probabilidade
condicional é a função de verossimilhança e é a distribuição dos fatores do
modelo. Já é a distribuição marginal da amostra e não depende de , assim temos que
O objetivo é estimar a distribuição posterior dos parâmetros condicionados à amostra
observada. Seja o conjunto de fatores de volatilidade estocástica, a função de
verossimilhança do modelo é dada por
onde é a densidade condicional da amostra dados os parâmetros
e fatores latentes e macroeconômicos do modelo, assim como é a
densidade condicional dos fatores dados os parâmetros que depende dos fatores de
volatilidade
onde é a densidade condicional dos fatores de volatilidade dados os
parâmetros.
A estrutura de prioris é dada por: os parâmetros do vetor autoregressivo dos fatores
latentes e macroeconômicos seguem distribuição normal univariada com matriz de precisão
dada por distribuição wishart; os parâmetros de intercepto e persistência da estrutura de
volatilidade estocástica dos fatores e e dos parâmetros da volatilidade do erro de
medida de curva de juros e seguem distribuição normal com matriz de precisão dada
18
por distribuição gama; os parâmetros de decaimento e seguem distribuição log-normal
com matriz de precisão dada por distribuição gama; os fatores latentes e macroeconômicos
seguem distribuição normal com matriz de precisão dada por distribuição gama.
Uma solução analítica para a distribuição posterior não pode ser obtida nesse caso,
uma vez que utilizamos distribuições a priori não-conjugadas5 e estruturas não lineares, sendo
necessário recorrermos a técnicas de aproximação, como métodos de Markov Chain Monte
Carlo. Esses métodos consistem em gerar amostras de cadeias de Markov, que satisfazem um
conjunto de propriedades, cuja distribuição estacionária converge para a distribuição posterior
dos parâmetros e fatores (distribuição alvo), dadas as taxas observadas.
Considere . Pelo teorema de Clifford-Hammersley6
podemos separar a distribuição posterior conjunta em conjuntos de distribuições
condicionais de seus parâmetros de menor dimensão.
O algoritmo de Markov Chain Monte Carlo utilizado é conhecido como algoritmo
hibrido, pois combina etapas de Gibbs e Metropolis-Hastings (ver Apêndice B para mais
detalhes) para simular das distribuições condicionais. Se a distribuição condicional é
conhecida analiticamente utiliza-se uma etapa de Gibbs e quando alguma distribuição não é
conhecida analiticamente utiliza-se uma etapa de Metropolis-Hastings. Em seguida, os
parâmetros e fatores são estimados tirando-se a média simples das realizações. No
procedimento utilizamos 60.000 iterações, sendo as 50.000 primeiras descartadas.
5 Para mais detalhes sobre as abordagens para a escolha de distribuições de probabilidade a priori ver
Lancaster (2004), Capítulo 1. 6 Para uma demonstração do Teorema de Clifford-Harmmersley ver Robert e Casella (2004), Capítulo 9.
19
3.3 RESULTADOS OBTIDOS
Para podermos comparar os resultados obtidos por nosso modelo estimamos também o
modelo de Diebold & Li (2006) – Modelo Dinâmico de Nelson-Siegel (somente yields) –
DNS yields-only. Assim como no artigo original, a estimação é feita em dois estágios,
consideramos fixo e dinâmica AR(1) para os fatores latentes. Escolhemos o valor de
que minimiza a raiz do erro quadrático médio para todas as maturidades. A
Figura 2 mostra a evolução ao longo do tempo para os fatores latentes de Nível (Level),
Inclinação (Slope) e Curvatura (Curvature). Tal evolução foi modelada por um AR(1) e, como
reportado na tabela 3, todo os coeficientes são significativos a 1%, exibem alta persistência e
as séries dos fatores latentes estimados não possuem raiz unitária a um nível de significância
de 10%.
Figura 3: Evolução temporal dos fatores latentes estimados , e do modelo DNS yields-only.
20
Tabela 3: Coeficientes e estatísticas dos fatores latentes estimados do Modelo DNS yields-only.
Na Tabela 4 apresentamos estatísticas de ajustes7 dentro da amostra para o Modelo
DNS yields-only. A curva parece apresentar melhor ajuste nas maturidades de curto e longo
prazo, pois, em geral, as maturidades de 1 a 3 e de 29 a 33 meses apresentam as menores
estatísticas de erro.
Maturidade ME SD RMSE MAE MPE MAPE ACF1
1 -0,2373 2,6654 2,6632 2,1210 0,0184 0,1512 0,8332
2 0,0347 1,0245 1,0202 0,7815 0,0136 0,0568 0,8045
3 0,1933 0,7679 0,7882 0,4982 0,0078 0,0296 0,8946
4 0,2567 1,4798 1,4949 1,1456 0,0011 0,0767 0,8494
6 0,1828 2,3166 2,3126 1,8006 -0,0129 0,1266 0,8099
9 -0,1399 2,3543 2,3471 1,7770 -0,0293 0,1255 0,8097
12 -0,3810 1,6850 1,7196 1,2522 -0,0320 0,0821 0,8519
15 -0,3714 1,1914 1,2424 0,7673 -0,0188 0,0460 0,8173
18 -0,1328 1,8641 1,8599 1,4219 0,0049 0,0967 0,7904
24 0,4758 2,8358 2,8619 2,1922 0,0443 0,1464 0,8322
27 0,5080 2,0306 2,0837 1,5619 0,0399 0,1025 0,8365
29 0,3254 0,9264 0,9777 0,7000 0,0225 0,0444 0,8293
31 -0,0569 0,8948 0,8923 0,6767 -0,0082 0,0456 0,8168
33 -0,6573 2,9462 3,0048 2,2909 -0,0529 0,1509 0,8347
global 0,0000 1,9486 1,9479 1,3562 -0,0001 0,0915 0,8298
Tabela 4: Medidas de ajuste da curva de juros do Modelo DNS yields-only.
Estimamos o Modelo Dinâmico de Nelson Siegel com fatores macroeconômicos e
volatilidade estocástica – DNS macro-sv – através de um algoritmo híbrido de Markov Chain
Monte Carlo para estimação dos fatores latentes e dos parâmetros simultaneamente. Na Figura
3 podemos ver a evolução temporal dos fatores latentes e do lambda.
7 O Apêndice C mostra as definições das medidas de ajuste utilizadas.
Erro padrão Estatística t Estatística ADF
0,9190 0,0238 38,6557 -4,6404
0,9104 0,0295 30,8890 -3,3277
0,9263 0,0347 26,6642 -3,8628
21
Figura 4: Evolução temporal dos fatores latentes , e que representam, respectivamente, o nível, a inclinação e a curvatura da curva de juros, e do fator de carga que representa a taxa exponencial de decaimento da curva de juros do Modelo DNS macro-sv.
A tabela 5 mostra os ajustes das curvas de juros estimadas pelo DNS macro-sv.
Maturidade ME SD RMSE MAE MPE MAPE ACF1
1 -0,487 3,155 3,177 2,247 -0,004 0,147 0,871
2 -0,059 0,742 0,741 0,562 0,004 0,040 0,794
3 0,227 1,127 1,145 0,745 0,008 0,044 0,890
4 0,390 2,145 2,170 1,475 0,010 0,093 0,866
6 0,436 2,812 2,832 1,956 0,005 0,129 0,825
9 0,120 1,923 1,918 1,416 -0,009 0,099 0,757
12 -0,256 1,051 1,077 0,793 -0,020 0,052 0,803
15 -0,450 1,919 1,962 1,228 -0,019 0,074 0,794
18 -0,409 2,778 2,795 1,888 -0,007 0,122 0,754
24 0,053 2,637 2,624 1,873 0,023 0,128 0,737
27 0,224 1,483 1,493 1,132 0,024 0,078 0,741
29 0,232 0,571 0,614 0,437 0,016 0,028 0,730
31 0,124 1,455 1,454 0,950 -0,002 0,061 0,701
33 -0,114 3,186 3,173 2,183 -0,031 0,146 0,710
global 0,002 2,120 2,119 1,349 0,000 0,089 0,789
Tabela 5: Medidas de ajuste da curva de juros do modelo DNS macro-sv.
22
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
0 10 20 30 40
DN
S m
acr
o-s
v /
DN
S y
ield
s-o
nly
Maturidade
Root-Mean-Square Error
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
0 10 20 30 40
DN
S m
acr
o-s
v /
DN
S y
ield
s-o
nly
Maturidade
Mean Absolute Error
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
0 10 20 30 40
DN
S m
acr
o-s
v /
DN
S y
ield
s-o
nly
Maturidade
Mean Absolute Percentage Error
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
0 10 20 30 40
DN
S m
acr
o-s
v /
DN
S y
ield
s-o
nly
Maturidade
Mean Percentage Error
A figura 5 mostra a razão entre algumas estimativas de erro dos modelos DNS macro-
sv e DNS yields-only. Para o RMSE, o MAE e o MAPE, tivemos ganho de ajuste em metade
das maturidades, principalmente no curto e no longo prazo, enquanto para o MPE tivemos
ganho de ajuste para quase todas as maturidades.
Figura 5: Razão entre estimativas de erro dos modelos DNS macro-sv e DNS yields-only para algumas estatísticas de ajuste da curva de juros.
A tabela 6 mostra a estimativa da matriz e do vetor de parâmetros do VAR(1)
estimado e a tabela 7 o intervalo de confiança dessas estimativas.
23
0,114 0,682 -0,168 -0,034 -0,112 0,145 0,111 -0,147 0,666 1,379 0,124 0,151 -0,508 -0,700 -0,102 0,255 0,188 0,924 0,131 -0,282 -0,992 0,373 0,157 0,121 0,069 0,558 -0,239 -0,509 -0,034 1,031 1,049 -0,002 0,057 -0,183 -0,570
0,007 0,003 -0,010 0,013 -0,007 0,002 0,520
Tabela 6: Parâmetros estimados da dinâmica VAR(1) dos fatores do modelo DNS macro-sv.
[0,114;0,115] [0,680;0,683] [-0,169;-0,167] [-0,036;-0,032] [-0,113;-0,111] [0,143;0,146] [0,110;0,114] [-0,149;-0,144] [0,654;0,681] [1,369;1,390] [0,106;0,138] [0,147;0,155] [-0,529;-0,492] [-0,717;-0,687] [-0,114;-0,091] [0,196;0,307] [0,151;0,290] [0,883;0,949] [0,112;0,150] [-0,356;-0,242] [-1,035;-0,940] [0,347;0,417] [0,031;0,358] [-0,025;0,316] [0,012;0,128] [0,513;0,588] [-0,456;-0,103] [-1,176;0,132]
[-0,063;0,014] [0,940;1,198] [0,932;1,203] [-0,059;0,052] [0,004;0,090] [-0,337;-0,063] [-1,166;0,005] [0,0003;0,012] [-0,039;0,034] [-0,054;0,023] [0,001;0,024] [-0,013;0,002] [-0,032;0,045] [0,368;0,687]
Tabela 7: Intervalos de confiança dos parâmetros estimados da dinâmica VAR(1) dos fatores do modelo DNS
macro-sv.
As tabelas 8, 9 e 10 mostra a estimativa dos parâmetros de persistências da
volatilidade estocástica dos fatores , do erro de medida da equação da curva de juros e
do fator de carga , assim como dos vetores , e de médias e as tabelas 11, 12 e 13
mostram os intervalos de confiança dessas estimativas.
0,0131 0,9941 0,0133 1,0083 0,0165 1,0065 0,0107 0,9959 0,0019 0,9977 0,0089 1,0065
Tabela 8: Parâmetros estimados das dinâmicas de volatilidade estocástica dos fatores do modelo DNS macro-sv.
0,0002 1,0045
Tabela 9: Parâmetros estimados do erro de medida da equação da curva de juros do modelo DNS macro-sv.
0,7008 0,8729
Tabela 10: Parâmetros estimados do fator de carga do modelo DNS macro-sv.
24
[0,00718;0,02638] [0,9862; 0,9989] [0,00773;0,02469] [1,002;1,017] [0,00990;0,02967] [1,002; 1,013] [0,00666;0,01782] [0,990; 0,999]
[0,00125;0,00311] [0,9947; 0,9998] [0,00591;0,01418] [1,002; 1,013]
Tabela 11: Intervalos de confiança dos parâmetros estimados das dinâmicas de volatilidade estocástica dos fatores do modelo DNS macro-sv.
[0,00017;0,00032] [1,0010; 1.0100]
Tabela 12: Intervalos de confiança do erro de medida da equação da curva de juros do modelo DNS macro-sv.
[0,6961;0,7100] [0,8707;0,8764]
Tabela 13: Intervalos de confiança do fator de carga do modelo DNS macro-sv.
As figura 6 e 7 mostram os gráficos da evolução da volatilidade estocástica do erro de
medida da curva de juros e dos fatores, respectivamente.
Figura 6: Evolução da volatilidade estocástica do erro de medida da curva de juros do modelo DNS macro-sv.
25
Figura 7: Evolução da volatilidade estocástica dos fatores da curva de juros do modelo DNS macro-sv.
26
O gráfico da Figura 8 mostra a função de resposta ao impulso com intervalo de
confiança de 95%. A função de resposta ao impulso foi calculada como média das respostas
aos choques em cada uma das simulações. A coluna mostra as variáveis que receberam os
choques, enquanto a linha apresenta as variáveis que respondem aos choques.
Com respeito à dinâmica entre os fatores latentes da curva de juros, choques no nível
da curva têm resposta apenas no próprio nível da curva períodos à frente. As variáveis nível e
inclinação respondem similarmente à choques na inclinação e na curvatura: os choques na
inclinação têm forte efeito no curto prazo que é rapidamente dissipado e os choques na
curvatura têm efeito crescente no curto prazo, que decai moderadamente no médio prazo. Já
um choque na variável de inclinação tem efeito crescente sobre a variável de curvatura no
curto prazo, mas que rapidamente exibe uma trajetória de queda, enquanto que um choque na
variável de curvatura tem forte efeito sobre si mesmo no curto prazo, que decai
moderadamente.
A variável de capacidade instalada tem resposta pouco relevante de choques nos
fatores latentes da curva de juros. Já a taxa Selic responde no curto prazo a choques nos
fatores latentes, em especial a um choque na inclinação. Choques na inclinação e na curvatura
têm forte efeito sobre a inflação no curto prazo que é rapidamente dissipado, ou seja,
aumentos nesses dois fatores latentes da curva de juros podem ser interpretados como
expectativa de redução da inflação no curto prazo. Já um choque no nível da estrutura a termo
implica inflação crescente no curto prazo, que decai moderadamente no médio prazo.
Choques na variável Inflação não tem efeito relevante sobre as os fatores latentes da
estrutura a termo, assim como choques na capacidade instalada têm pequeno efeito de curto
prazo sobre os fatores latentes. Choques na taxa Selic têm forte efeito sobre o nível e a
inclinação no curto prazo que é rapidamente dissipado.
27
Com relação à dinâmica das variáveis macroeconômicas, choques na inflação têm
efeito de curto prazo apenas sobre si mesmo, que se dissipa rapidamente. Choques nas taxas
de juros têm pequeno efeito de curto prazo sobre si mesmo e um forte efeito sobre a inflação,
que decai moderadamente. Choques na capacidade da indústria têm pequenos efeitos de curto
prazo sobre todos os fatores, em especial, sobre a inflação.
Figura 8: Função de Resposta ao Impulso do VAR (1) do modelo DNS macro-sv. A coluna mostra as variáveis que receberam os choques, enquanto a linha apresenta a resposta das variáveis aos choques.
28
4 CONCLUSÃO
Neste trabalho estimamos uma extensão do Modelo Dinâmico de Nelson-Siegel com
volatilidade estocástica e fatores macroeconômicos – DNS macro-sv – para dados do Brasil.
Neste modelo, os fatores latentes seguem uma dinâmica VAR(1) em conjunto com os fatores
macroeconômicos, permitindo uma interação bidirecional entre a curva de juros e variáveis
macroeconômicas, o fator de carga é variante no tempo e as volatilidades dos fatores e da
curva de juros seguem processos latentes dinâmicos. A presença de não linearidade e
sobreparametrização na especificação do modelo nos fez optar pelo método bayesiano de
estimação de Markov Chain Monte Carlo.
A incorporação de fatores macroeconômicos e a especificação de volatilidade
estocástica para os fatores e a curva de juros ao modelo DNS yields-only trouxe ganho de
ajuste à curva nas partes curta e longa. Além disso, a dinâmica VAR bidirecional do modelo
nos permitiu associar os fatores latentes da curva de juros a fatores macroeconômicos
observáveis. Em particular, choques nos fatores de inclinação e curvatura da curva de juros
implicam redução da inflação no curto prazo. Dentre as variáveis macroeconômicas, apenas a
taxa Selic têm efeito relevante sobre os fatores latentes elevando o nível e a inclinação no
curto prazo.
29
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANG, A.; PIAZZESI, M.. A no-arbitrage vector autoregression of term structure dynamics
with macroeconomic and latent variables. Journal of Monetary Economics, v. 50, pp. 745-787. 2003. BEKAERT, G.; CHO, S.; MORENO, A.. New Keynesian Macroeconomics and the Term
Structure. Journal of Money, Credit and Banking, v. 42, n. 1, pp. 33-62, 2010. CALDEIRA, J. F.; LAURINI, M. P.; PORTUGAL, M.S.. Bayesian Inference Applied to
Dynamic Nelson-Siegel Model with Stochastic Volatility. Brazilian Review of Econometrics, v. 30, 2010.
CHUN, A. L.. Expectations, Bond Yields and Monetary Policy. Review of Financial Studies, 2010. COCHRANE, J.; PIAZZESI, M.. Bond Risk Premia. American Economic Review, v. 95, pp. 138-60, 2005. CHRISTIANSEN, C.; LUND, J.. Revisiting the Shape of the Yield Curve: the Effect of
Interest Rate Volatility. Mimeo, 2005. CHRISTENSEN, J. H. E.; DIEBOLD, F. X.; RUDEBUSCH, G.. The affine arbitrage-free class of Nelson-Siegel term structure models. Federal Reserve Bank of San Francisco Working Paper Series, WP07-20, 2010. DE POOTER, M. Examining the Nelson-Siegel Class of Term Structure Models. Tinbergen Institute Discussion Papers, 043/4, 2007. DEWATCHER, H.; LYRIO, M.. Macro factors and the Term Structure of Interest Rates. Journal of Money, Credit, and Banking ,v. 38, n. 1, pp. 119-140, 2006. DIEBOLD, F. X.; LI, C.. Forecasting the Term Structure of Government Bond Yields. Journal of Econometrics, v. 130, p.p. 337-364, 2006. DIEBOLD, F. X.; PIAZZESI, M.; RUDEBUSCH, G. D.. Modeling bond yields in Finance
and Macroeconomics. Federal Reserve Bank of San Francisco Working Paper Series, WP05-04, 2005.
30
DIEBOLD, F. X.; RUDEBUSCH, G. D.. The Dynamic Nelson-Siegel Approach to Yield
Curve Modeling and Forecasting. Mimeo, 2011. DIEBOLD, F. X.; RUDEBUSCH, G. D.; ARUOBA, S. B.. The Macroeconomy and the Yield
Curve: A Dynamic Latent Factor Approach. Journal of Econometrics, v. 131, pp. 309-338, 2006. DUFFIE, D.; KAN, R.. A Yield-Factor Model of Interest Rates. Mathematical Finance, v. 6, n. 04, pp. 379-406, 1996. FABOZZI, F. J.; et al.. Bayesian Methods in Finance. John Wiley & Sons. Hoboken, Estados Unidos, 2008. FISCHER, M.. Modeling the Term Structure of Interest Rates: an Introduction. Federal Reserve Bank of Atlanta, Economic Review, 2004. HAMILTON, J. D.; WU, J.. Identification and Estimation of Gaussian Affine Term Structure
Models. Mimeo, 2010. HARRISON, J. M.; KREPS, D. M.. Martingales and arbitrage in multiperiod securities
markets. Journal of Economic Theory, v. 2, pp. 381–408, 1979. HAUTSCH, N.; OU, Y. Yield Curve Factors, Term Structure Volatility and Bond Risk
Premia. SFB 649 Discussion Paper 2008-053, Humboldt-Universität zu Berlin, 2008.
HYNDMAN, R. J.; KOEHLER, A. B.. Another look at measures of forecast accuracy.
International Journal of Forecasting, v. 22, pp. 679-688, 2006.
JOHANNES, M.; POLSON, N.. MCMC Methods for continuous-time financial econometrics. In: Handbook of Financial Econometrics. v. 2, Capítulo 13, pp. 1-72, Elsevier, 2009. KALIMIPALLI, M.; SUSMEL, R.. Regime-switching stochastic volatility and short-term
interest rates. Journal of Empiral Finance, v. 11, pp. 309-329, 2004. KIM, D. H.; ORPHANIDES, A.. Term Structure Estimation with Survey Data on Interest
Rate Forecasts. Finance and Economics Discussion Series 2005-48, Board of Governors of the Federal Reserve System, 2005. LANCASTER, T.. An Introduction to Modern Bayesian Econometrics. Blackwell Publishing. Cornwall, Reino Unido, 2004. LAURINI, M. P.. Macroeconometria e a estrutura a termo de taxas de juros - problemas
(ainda) em aberto. Economia & tecnologia (UFPR), v. 25, p. 25-31, 2011.
LAURINI, M. P.; HOTTA, L. K.. “Modelos de Fatores Latentes Generalizados para Curvas
de Juros em Múltiplos Mercados”. Mimeo, 2009 LI, C.; NIU, L.; ZENG, G.. A Generalized Arbitrage-Free Nelson-Siegel Term Structure
Model with Macroeconomic Fundamentals. Mimeo, 2011.
31
LITTERMAN, R.; SCHEINKMAN, J.. Common Factors Affecting Bond Returns. Journal of Fixed Income, v. 1, n. 1, pp. 54-61, 1991. LITTERMAN, R.; SCHEINKMAN, J.; WEISS, L.. Volatility and the Yield Curve. Journal of Fixed Income, pp. 49–53, 1991. MATSUMURA, M.; MOREIRA, A.. Can Macroeconomic Variables Account for the term
structure of Sovereign Spreads? Studying the Brazilian Case. Rio de Janeiro, Texto para Discussão 1.106, IPEA, 2005. MOURA, M. L.. MENDONÇA, R. M. Previsão da estrutura a termo brasileira através de
um modelo macroeconômico. XI Encontro Brasileiro de Finanças, São Leopoldo, 2009. NIU, L. A Macro-Finance Term Structure Model with Stochastic Volatility. Mimeo, 2007. NELSON, C. R.; SIEGEL, A. F.. Parsimonious Modeling of Yield Curves. The Journal of Business, v. 60, n. 4, pp. 473-489, 1987. PIAZZESI, M.. Affine Term Structure Models. In: Handbook of Financial Econometrics. v. 1, Capítulo 12, pp. 691-766, Elsevier, 2009. ROBERT, C. P.; CASELLA, G.. Monte Carlo Statistical Methods. Springer-Verlag, 2ª edição, Estados Unidos, 2004. RUDEBUSCH, G. D.. Macro-Finance Models of Interest Rate and the Economy. Federal Reserve Bank of San Francisco Working Paper Series, WP10-01, 2010. RUDEBUSCH, G. D.; SWANSON, E. T.; WU, T.. The Bond Yield “Conundrum” from a
Macro-Finance perspective. Federal Reserve Bank of San Francisco Working Paper Series, WP06-16, 2006. RUDEBUSCH, G. D.; WU, T.. Macro-Finance Model of the Term Structure, Monetary
Policy, and the Economy. Economic Journal, n. 118, pp. 906-926, 2008. SHOUSHA, S.. Estrutura a Termo da Taxa de Juros e Dinâmica Macroeconômica no Brasil. Revista do BNDES, Rio de Janeiro, v. 15, n. 30, PP. 303-345, 2008. SILVEIRA, M. A. C.. Modelo fatorial linear macroeconômico de estrutura a termo da taxa
de juros: aplicação para a economia brasileira. Rio de Janeiro, Texto para Discussão 1.097, IPEA, 2005. WILLIAMS, D.. Probability with Martingales. Capítulo 14. Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 1991.
32
33
APÊNDICE A – MODELOS AFIM LIVRE DE ARBITRAGEM
Nesta seção vamos apresentar o modelo de macro-finanças afim livre de arbitragem como
definido em Ang & Piazzesi (2003).
Definimos a yield nominal de curto prazo como um processo afim com respeito ao vetor
de variáveis de estado da seguinte forma:
, (9)
onde é uma constante e é um vetor de constantes.
Suponha que as variáveis de estado seguem uma dinâmica VAR(p):
, (10)
onde e são matrizes de parâmetros.
Supomos que o conjunto de preços de risco de mercado associados aos choques normais
multivariados da dinâmica de variáveis de estado segue um processo afim com respeito
ao vetor de variáveis de estado da forma:
, (11)
onde é um vetor de constantes e é uma matriz de parâmetros.
Suponha a existência de uma medida de probabilidade Q, onde todos os preços
descontados dos ativos são martingales, ou seja, suponha o preço hoje de um título de
maturidade n+1 que não paga cupom entre t e t+1 é , teremos que
(HARRISON & KREPS, 1979). Essa medida é conhecida como medida martingale
34
equivalente ou medida neutra ao risco. Uma vez que exista uma medida neutra ao risco
garantimos ausência de arbitragem (PIAZZESI, 2009).
A derivada de Radon-Nikodým é a derivada da medida martingale equivalente com
relação à medida do processo gerador de dados de e através dela podemos converter uma
esperança sob uma medida de probabilidade para outra através da seguinte relação:
. Assume-se que a derivada de Radom-Nikodým segue um processo
log-normal da forma:
, (12)
Suponha que O fator estocástico de desconto tenha a forma:
, (13)
Substituindo (1) e (4) em (5), temos:
, (14)
Sob essas condições, Duffie & Kan (1996) mostra que os preços dos títulos são uma
função exponencial afim das variáveis de estado, ou seja,
, (15)
O fator estocástico de desconto nos permite precificar qualquer ativo da economia.
Seja novamente o preço hoje de um título de maturidade n+1 que não paga cupom entre
t e t+1, podemos precificar esse título através da equação básica de apreçamento:
, (16)
Podemos substituir (14) em (16) e recursivamente encontrar as seguintes equações em
diferenças9 para e :
,
8 A prova do teorema de Radon-Nikodým pode ser encontrada em Williams (1991), Capítulo 14. 9 O desenvolvimento da solução pode ser encontrado em Ang & Piazzesi (2003).
35
,
com valores iniciais e .
36
APÊNDICE B – ALGORITMOS DE MARKOV CHAIN MONTE CARLO
O algoritmo mais simples de Markov Chain Monte Carlo é o amostrador de Gibbs.
Este método pode ser empregado quando é possível amostrar diretamente das distribuições
condicionais que compõem a distribuição posterior desejada. Suponha que o vetor de
parâmetros esteja dividido em componentes. O algoritmo do amostrador
de Gibbs é dado pelas seguintes etapas:
1) Selecione um conjunto de valores iniciais , .
2)
• Amostre uma observação
• Amostre uma observação
• Continue o procedimento da mesma maneira para
3) Repita a segunda etapa até que a convergência seja alcançada
37
Nos casos em que uma ou mais distribuições condicionais não podem ser amostradas
diretamente, o amostrador de Gibbs não pode ser utilizado, nesses casos é geralmente
aplicado o algoritmo de Metropolis-Hastings. Suponha uma distribuição posterior de
um conjunto de parâmetros da qual não é possível amostrar diretamente. Para gerarmos
amostras dessa distribuição de probabilidade é necessário especificarmos uma densidade
proposta dado o valor corrente amostrado . O algoritmo de Metropolis-
Hastings, então, amostra um valor proposto que será aceito ou rejeitado baseado numa
probabilidade de aceitação. O algoritmo é dado pelas seguintes etapas:
Define um valor inicial
Proponha uma realização da distribuição proposta , onde é o valor já
amostrado anteriormente;
Calcule a probabilidade de aceitação
Amostre de uma distribuição uniforme. Caso , aceite .
Caso contrário, .
38
APÊNDICE C – MEDIDAS DE AJUSTE
Nesta seção vamos apresentar a definição das medidas de ajuste utilizadas para
comparar os desvios de valores previstos por um modelo com relação aos valores
observados .
A raiz do erro quadrático médio (root-mean-square error – RMSE) é definida como a
raiz quadrada do erro quadrático médio
O erro absoluto médio (mean absolute error – MAE) é definido como
O erro percentual médio (mean percentage error – MPE) é definido como
O erro percentual médio absoluto (mean absolute percentage error – MAPE) é
definido como