mÉtodos nÃo-gaussianos de inferÊncia e de...

MÉTODOS NÃO-GAUSSIANOS DE INFERÊNCIA E DE

SEPARAÇÃO DE FONTES ESTATÍSTICAS COM

APLICAÇÃO AO DIAGNÓSTICO E PREDICTABILIDADE DE

ÍNDICES DE SECA

Carlos L. Pires1, Rui P. Perdigão2 , Ricardo M. Trigo1, Andreia S. Ribeiro1

Resumo

Apresentam-se alguns métodos de inferência estatística de índices climáticos

nomeadamente de seca, a partir de variáveis estatísticas exploratórias da

circulação geral atmosférica e oceânica nos casos em que as distribuições de

probabilidade conjuntas diferem da aproximação Gaussiana. Em particular,

apresentam-se os conceitos de correlação assimétrica e de esperança condicional

em função de correlações não lineares. Mostram-se métodos de decomposição de

campos em fontes estatísticas independentes escalares e vetoriais de baixa

dimensão (díadas e tríadas) com recurso a funções contraste simuladoras da

neguentropia de Shannon usando a Análise de Componentes Independentes (ICA)

e a Análise de Subespaços Independentes (ISA). Essas fontes permitem definir

índices não lineares caracterizadores da variabilidade não-Gaussiana, utilizáveis

para inferência, previsão e downscaling. A decomposição em componentes

independentes e díadas é aplicada ao campo do geopotencial aos 500 hPA e à

função de corrente de um modelo atmosférico quase-geostrófico. As distribuições

não-Gaussianas de campos geofísicas permitem extrapolar o conceito clássico de

teleconexão às interações múltiplas entre 3 ou mais regiões ou projeções em

padrões que são descorrelacionadas duas a duas. A presença de interações

triádicas na atmosfera e oceano é posta em evidência, em particular entre modos

de variabilidade do Oceano Pacífico Norte e Sul em que tomam parte o El-Niño, a

Oscilação Decadal do Pacífico e o Dipolo do Pacífico Sul. Essa interação ocorre

em situações persistentes de ressonância entre tripletos de frequências

constituindo uma fonte de predictabilidade não linear, potencialmente útil na

previsão estatística e inferência de índices de seca.

Abstract

We present some methods of drought statistical inference issued from exploratory

variables of the general atmospheric and oceanic circulation in the cases of non-

1 Instituto Dom Luiz (Laboratório Associado), DEGGE, Faculdade de Ciências da Universidade de

Lisboa, Campo Grande, 1749-016 Lisboa, Portugal. Email: [email protected] 2 Institute of Hydraulic Engineering and Water Resources Management, Vienna University of

Technology, Vienna, A-1040, Austria.

mailto:[email protected]

Predictabilidade Sazonal de Secas

Gaussian joint probability distributions. In particular, we have shown the concepts

of asymmetric correlation and conditional expectation as a function of nonlinear

correlations. We also put in practice methods of the field decomposition into

scalar and vectorial sources by recurring to contrast functions that are proxies of

the source’s Shannon negentropy using the Independent Component Analysis

(ISA) and Independent Subspace Analysis (ISA). Those sources allow for

defining nonlinear defined indices better characterizing the non-Gaussian

variability and usable as preditors statistical forecasting, downscaling and

inference. ICA and ISA is applied both to the z500hPa and to a model’s stream

function fields. Moreover, joint non-Gaussianity allow for extrapolating the

classical teleconnection concept to multiple interactions where three or more

remote regions or pattern indices are pairwise uncorrelated but which are not

independent as a whole. The presence of triadic interactions is put in evidence, in

particular in the Pacific North and South linking El-Niño, Pacific Decadal

Oscillation (PDO) and the South Pacific Ocean Dipole (SPOD). This interaction

occurs on situations of persistent triadic wave resonance for certain triplets of

frequencies, thus constituting a source of nonlinear predictability which is

potentially useful in the predictability and downscaling of drought indices.

1. Introdução

Os campos físicos que caracterizam o estado do geofluido oceânico-atmosférico,

tais a pressão, temperatura, velocidade, humidade e salinidade, podem considerar-

se do ponto de vista da climatologia estatística como vetores formados por

variáveis escalares estocásticas. As séries temporais multivariadas, obtidas, quer

de observações, reanálises (e.g. ERA40, ERA-Interim, XX Century ReAnalysis)

ou corridas de modelos, fornecem amostras, necessariamente finitas às quais se

podem aplicar técnicas de estatística multivariada com múltiplos propósitos e

utilidades, em particular no âmbito da presente compilação sobre a

predictabilidade e inferência de índices de seca e precipitação em várias escalas

espácio-temporais. Algumas dessas técnicas estatísticas recorrem apenas a

informação de momentos estatísticos de primeira ordem (climatologias) e de

segunda ordem, sintetizados numa matriz de covariância entre um dado conjunto

de variáveis.

Cabem nessas técnicas as chamadas técnicas de valores próprios que recorrem a

análise singular de matrizes de covariância, tais como: a) a Análise de

Componentes Principais (PCA - Principal Component Analysis), aplicada na

redução da dimensionalidade ou compressão de informação de um campo,

exprimindo-o em termos de um reduzido número de variáveis escalares ou

Componentes Principais (PCs); b) a Análise de Correlação Canónica (CCA -

Canonical Correlation Analysis) que procura as combinações lineares de um e

outro campo que maximizem a correlação entre elas. Podemos enumerar também

a SSA (Singular Spectrum Analysis) e a MSSA (Multi-Channel SSA) como

generalizações da PCA para variáveis desviadas temporalmente ou seja no espaço

dos atrasos.

A imposição de informação estatística limitada leva a certas distribuições

Métodos não-Gaussianos de inferência com aplicação à predictabilidade de seca

suficientes de probabilidade. Por exemplo, a distribuição de probabilidade de um

vetor aleatório Nx com maior grau de incerteza ou máxima entropia de

Shannon (1948), constrangida a um certo vetor média xμ e a uma certa matriz de

covariância Cxx

é a distribuição multivariada Gaussiana cuja densidade de

probabilidade (pdf) é:

1/2 112

( ) [(2 ) det )] exp[ ( ) ' ( )] ;N NC C x xx x xx x

x x μ x μ x (1)

onde a plica ( ' ) significa transposto de matriz ou vetor. Desse modo toda a

inferência estatística de parte desse vetor aleatório (e.g. médias condicionais ou

densidades de probabilidade condicionais) é obtida recorrendo a estatísticas da

distribuição global (1). Por isso as referidas técnicas, uma vez que usam apenas

xμ e C

xx, apresentam o seu melhor desempenho quando as pdfs conjuntas são

Gaussianas, visto que não usam mais do que as estatísticas suficientes da

distribuição Gaussiana. Todavia, a Gaussianidade é uma hipótese que não se

verifica rigorosamente na prática conforme se infere da análise estatística

exploratória de séries temporais de vários campos atmosférico-oceânicos. De

fcato observam-se desvios em relação às pdfs Gaussianas em diversos campos

como a pressão, precipitação, temperatura da superfície do mar (SST) etc. (Pires e

Perdigão 2007; Sura e Sardeshmukh 2008; Perron e Sura 2013). Desse modo é

necessário desenvolver técnicas estatísticas, ditas não-Gaussianas, que sejam

apropriadas e otimizadas quando aplicadas noutras distribuições de probabilidade

que não as Gaussianas e que recorram a outras informações da distribuição,

nomeadamente sobre assimetrias, multimodalidades, correlações não lineares,

geralmente contidas nos cumulantes das distribuições de ordem igual ou superior

a três (Comon 1994).

Apresentaremos de seguida três exemplos dessas técnicas a título ilustrativo e

com aplicações práticas. O primeiro refere-se ao diagnóstico de correlações

assimétricas (Pires e Perdigão 2007; Chordia et al. 2011) entre índices de

circulação geral atmosférica e médias mensais da precipitação. O segundo

exemplo é sobre a decomposição de um vetor multivariado distribuído não-

Gaussianamente em sub-vetores (fontes) maximamente independentes entre si do

ponto de vista estatístico, recorrendo a técnicas BSS (Blind Source Separation)

(Yu et al. 2014). A separação em fontes escalares e diádicas, formadas por 2

componentes, bem como a sua interpretação física é feita sobre o campo

geopotencial observado e sobre a função de corrente de um modelo atmosférico.

A terceira aplicação faz recurso à teoria da informação (Cover e Thomas 1991)

para a identificação de interações não lineares múltiplas entre 3 ou mais variáveis

descorrelacionadas duas a duas mas que não são globalmente independentes. Este

tipo de interações quando aplicadas a campos geofísicos generaliza o conceito

clássico de teleconexões. Estas são devidas a correlações lineares entre dois

pontos remotos (e.g. correlação negativa entre O El Niño e a ocorrência de

monção na Índia). As teleconexões generalizadas recorrem ao conceito de tríada

não-Gaussiana, uma vez que para tal concorrem três em vez de duas variáveis

globalmente dependentes entre si. As fontes vetoriais diádicas e triádicas sugerem


variáveis exploratórias não lineares que são boas descritoras da variabilidade não-

Gaussiana servindo de boas candidatas para a inferência de subescala

(downscaling) e previsão estatística de indicadores de seca e outros.

2. Correlações assimétricas

2.1. Definições e propriedades

A resposta sazonal climática da superfície terrestre à dinâmica atmosférica é em

geral resultante de interações físicas, geralmente expressas em termos de fluxos de

massa, energia ou outras grandezas extensivas. Essa resposta pode ser avaliada

pela correlação linear de Pearson cor(X,Y) entre índices sinópticos de tempo,

representados por uma variável escalar X (e.g. SOI, NAO index, Niño3) e

elementos climáticos genéricos à superfície, denotados pela variável Y (e.g.

Precipitação Mensal, índices de seca). No entanto a dependência da variável Y a

estimar (preditando) em relação à variável dada X (preditor) pode não ser a mesma

em qualquer sub-domínio de variação de X, sendo a correlação de Pearson

insuficiente para descrever relações não lineares entre X e Y bem como diferenças

na sensibilidade de Y em certos quantis de X, nomeadamente nos regimes positivo

(X+) e negativo (X-) do índice dinâmico X separados pela sua mediana MX. De

seguida propor-se uma resposta a este problema.

Admitamos sem perda de generalidade X, Y centrados e normalizados (média nula

e variância unitária). Propõe-se uma decomposição da correlação cor(X,Y) (Pires e

Perdigão 2007) através de uma média pesada:

2 1 1

, ; ; ; 2 12

Mcor X Y c t t t

(2)

em que as ‘pseudo-correlações’ intervenientes definem-se como:

; ;2 2

M X Y X YM

c c ct t t

(3)

em que ( ) ( | )M X Xc E Y X M E Y X M é a chamada correlação central, dada

pela diferença de médias compósitos de Y , avaliadas respetivamente para X acima

e abaixo da mediana MX. As grandezas ( , )Xc cor X Y X M e

( , )Xc cor X Y X M são correlações assimétricas condicionadas a valores,

respetivamente acima e abaixo do quantil 50% de X. Temos

ainda1/2

[( )]Y XY X M dado pelo desvio padrão de Y para X acima da

mediana, usando-se definições similares para Y , X e X . No caso de (X,Y)

terem uma distribuição conjunta Gaussiana bivariada com correlação c, então as

‘pseudo-correlações’ ou na verdade os testes estatísticos (3) , ,Mt t t igualam a

correlação c e além disso 2 2 21Y Y c pelo que as diferenças

;t c t c funcionam como desvios em relação à Gaussianidade bivariada. Uma

medida conjunta de assimetria da correlação é dada pela medida:


1/2

2 2 2( , | ) 1 / 2c r X X XJ cor X Y X M c t t c

(4)

onde 2 1/2(1 ) ( )rY c Y cX é o resíduo normalizado da regressão linear do

preditando Y a partir de X. No caso Gaussiano bivariado tem-se 0cJ .

2.2. Resultados de correlações assimétricas entre índices de circulação

atmosférica e a precipitação mensal

De seguida mostram-se alguns diagnósticos das referidas estatísticas com

interesse no diagnóstico de índices de seca à escala mensal e para a região Euro-

Atlântica: (30ºN-70ºN, 80ºW-40ºE) (NAE) em que X são índices de circulação

geral atmosférica e Y são valores locais na referida região do SPI (Standardized

Precipitation Index) (McKee et al., 1995) à escala mensal e que é obtido da

precipitação mensal local por uma anamorfose Gaussiana isto transformando-a

numa variável com uma pdf Gaussiana standard (média nula, variância unitária).

Assim, para obter os índices atmosféricos, são calculadas as PCs de médias

mensais da pressão à superfície do mar SLP (sea level pressure) no Inverno

(período DJF de Dezembro a Fevereiro), obtidas a partir de reanálises NCEP-

NCAR no período 1951-2003 (Khistler et al., 2001) na grelha 2.5º(lat)x2.5º(long).

A primeira função empírica ortogonal (EOF1) (Fig. 1a), saída dessa análise

explica 34% da variância total do campo da SLP e projeta-se no padrão da NAO

(North Atlantic Oscillation) (Hurrell, 1995). A fase positiva (NAO+) e negativa

(NAO-) correspondem, grosso modo aos regimes ZO (zonal) e GA (Greenland

Anticiclone), obtidos por Michelangeli et al. (1995) por análise de clusters do

geopotencial aos 700 hPa. A segunda EOF (Fig. 1b) explica 21% da variância e

projeta-se no padrão RDG (Crista Atlântica). As fases positiva e negativa

projetam-se respetivamente nos regimes AR (Atlantic Ridge) e BL (Blocking)

(Michelangeli et al., 1995).

A terceira EOF (Fig. 1c) corresponde ao regime GS (dipolo Gronelândia-

Escandinávia) e também tem projeções parciais nos regimes referidos, sobretudo

AR e BL.

As variáveis X são assim as três primeiras PCs e Y o SPI mensal local ao longo da

região NAE. Deste modo calculou-se o campo da correlação, dita total

( , )c cor X Y e dos testes ,t t , comparáveis diretamente com c e ainda da

medida de assimetria cJ . Os diagnósticos por essa ordem são mostrados para

X=PC1 (primeira PC) nas Figs. 2a-d; para X=PC2 (segunda PC) nas Figs. 3a-d e

para X=PC3 (terceira PC) nas Figs. 4a-d.

Regiões estatisticamente significativas das correlações total e assimétricas e onde

cJ é significativamente diferente de zero (regiões onde a pdf de (PC,SPI) tem uma

correlação assimétrica), são marcadas em tons de cinzento nas Figs. 2-4. O nível

de confiança usado é de 95% sendo os quantis de significância obtidos por

simulações de Monte-Carlo (ver Pires e Perdigão 2007 para detalhes).


-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

SLP (DJF) - EOF1

30N

40N

50N

60N

70Na) b) c)

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

SLP (DJF) - EOF2

30N

40N

50N

60N

70N

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

SLP (DJF) - EOF3

30N

40N

50N

60N

70N

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

SLP (DJF) - EOF1

30N

40N

50N

60N

70Na) b) c)

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

SLP (DJF) - EOF2

30N

40N

50N

60N

70N

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

SLP (DJF) - EOF3

30N

40N

50N

60N

70N

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

SLP (DJF) - EOF1

30N

40N

50N

60N

70Na) b) c)

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

SLP (DJF) - EOF2

30N

40N

50N

60N

70N

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

SLP (DJF) - EOF3

30N

40N

50N

60N

70N

Fig. 1. Mapa das três EOFs dominantes das médias mensais da SLP no trimestre

Dezembro-Fevereiro na região Euro-Atlântica: a) primeira EOF sobretudo projetada no

padrão da NAO; b) segunda EOF projetada no padrão RDG (Atlantic Ridge); c) terceira

EOF, projetada no padrão GS (dipolo Gronelândia-Escandinávia).Valores a cinzento

representam valores positivos.

Quanto ao campo da correlação total entre SPI e as PCs, verificamos que as zonas

de maiores valores absolutos diferem em geral entre as várias PCs, o que é de

esperar devido à correlação nula entre estas. Deste modo a inferência do SPI a

partir de PCs tem contribuições complementares.

Assim a NAO (PC1) tem maior influência nos segmentos zonais 40ºW-0ºE às

latitudes de 35ºN e 60ºN bem como na Gronelândia. A PC2 projetada sobre o

regime RGB exibe forte correlação negativa (~-0.6) com SPI no Atlântico Norte

Central a cerca de 50ºN no intervalo de longitudes 40ºW-10ºE. A PC3 exibe

correlações negativas com SPI na Escandinávia e Europa Central.

Quanto à diferença entre t+ e t-, (Figs. 2b-c, 3b-c 4b-c), conclui-se a existência de

regiões com fortes assimetrias, estatisticamente significativas entre as respostas da

precipitação às fases positiva e negativa dos regimes de tempo.


-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

Global Correlation - PC1

30N

40N

50N

60N

70N

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

Test Positive Side Correlation - PC1

30N

40N

50N

60N

70N

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

Test Negative Side Correlation - PC1

30N

40N

50N

60N

70N

a) b)

c) d)

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E

Assymetry Measure Jc - PC1

30N

40N

50N

60N

70N

Fig. 2. Mapa de estatísticas referentes à correlação entre a PC1 da SLP mensal (com

EOF dada pela Fig. 1a, projetada no regime NAO) e o SPI mensal local: a) correlação

total; b) teste t+, proporcional à correlação assimétrica para PC1 acima da mediana; c)

teste t-, proporcional à correlação assimétrica para PC1 abaixo da mediana; d) medida

de assimetria de correlação Jc. Nos mapas de correlação as zonas marcadas a são

negativas e os contornos tem espaçamento 0.2.

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E


30N

40N

50N

60N

70N

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E


30N

40N

50N

60N

70N

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E


30N

40N

50N

60N

70N

a) b)

c) d)

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E


30N

40N

50N

60N

70N

Fig. 3. Idêntico à Fig. 2 para PC2 (com EOF dada pela Fig. 1b, projetada no regime

RDG).

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E


30N

40N

50N

60N

70N

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E


30N

40N

50N

60N

70N

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E


30N

40N

50N

60N

70N

a) b)

c) d)

-80E -70E -60E -50E -40E -30E -20E -10E 0E 10E 20E 30E 40E


30N

40N

50N

60N

70N

Fig. 4. Idêntico à Fig. 2 para PC3 (com EOF dada pela Fig. 1c, projetada no regime SC).

Como exemplos note-se para a NAO (EOF1), a intensificação das correlações no


regime mais favorável à precipitação (NAO- no Atlântico Central e Península

Ibérica, NAO+ no flanco Norte-Oeste da Europa). Tal significa que nessas regiões

o índice NAO é mais eficaz no diagnóstico e previsão de condições de excesso de

precipitação que em condições deficitárias de precipitação ou de seca.

O contrário, ou seja a intensificação de correlações em regimes secos, ocorre

noutras regiões. Por exemplo o regime NAO+, favorável à intensificação do

Anticiclone dos Açores exibe maior correlação negativa que positiva na região

Mediterrânica e na Gronelândia ou seja maior sensibilidade e portanto capacidade

de inferência do SPI pela NAO em condições de seca. Um exemplo dessa

assimetria de correlação é mostrado pelo diagrama de dispersão (scatter-plot) com

os pares de ocorrências (PC1, SPI) durante todo o período analisado (Fig. 5) no

ponto (37.5ºN, 2.5ºE) situado nas ilhas Baleares Mediterrâneas em que a

correlação é c=-0.17, tM=-0.13, t-=+0.19 e t+=-0.65. As isolinhas da pdf estimada

diferem de elipses como ocorreria se a pdf conjunta fosse Gaussiana.

Na análise das correlações com PC2, a correlação total é negativa no Atlântico

Norte Central (maior ocorrência de precipitação no regime de bloqueio) e positiva

nas regiões Escandinava e Mediterrânea, o que é consistente com a ocorrência

favorável de precipitação nas zonas até onde migram as correntes de perturbações

(storm-tracks) que contornam a configuração de bloqueio na região Europeia

(regime BL correspondente a valores negativos de PC2). As maiores assimetrias

nas respostas em termos de SPI verificam-se nos bordos norte e sul do máximo da

EOF2 (Fig. 3d).

-3 -2 -1 0 1 2 3

Gaussian NAO

-3

-2

-1

0

1

2

3

Gaussia

n P

recip

itation A

tlantic (

AT

L)

-3 -2 -1 0 1 2 3

Gaussian NAO

-3

-2

-1

0

1

2

3

Gaussia

n P

recip

itation S

cotland (

SC

O)

-3 -2 -1 0 1 2 3

Gaussian NAO

-3

-2

-1

0

1

2

3

Gauss

ian P

reci

pita

tion B

ale

are

s (

BA

L)

-3 -2 -1 0 1 2 3

Gaussian NAO

-3

-2

-1

0

1

2

3

Gaussia

n P

recip

itation G

reenla

nd (

GR

E)

-3 -2 -1 0 1 2 3

Gaussian NAO

-3

-2

-1

0

1

2

3

Gaussia

n P

recip

itation E

ast U

SA

(E

US

)

-3 -2 -1 0 1 2 3

Gaussian NAO

-3

-2

-1

0

1

2

3

Gauss

ian P

reci

pita

tion R

uss

ia (

RU

S)

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.5

1

1.5

2

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.5

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.5

1

1.5

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

a) b)

c)d)

e)f)

Fig. 5. Scatter-plot das ocorrências de pares (PC1, SPI) no ponto (37.5ºN, 2.5ºE) situado

nas ilhas Baleares (Mediterrâneo). Note-se a maior correlação negativa em condições de

seca para o caso do regime NAO+. A PC1 está normalizada. Mostram-se igualmente

isolinhas da pdf.

A PC3 exibe uma forte correlação negativa na Europa do Norte e Central,

correspondente à escassez de precipitação (seca), sobretudo no regime de bloqueio

Europeu. Tal é notório, especialmente na correlação assimétrica para PC3 acima

da mediana através de t+ (Fig. 4b), o que mostra que nessa região, a PC3 é um

excelente indicador da intensidade de seca nas condições de bloqueio.


As correlações assimétricas c- e c+ em (3) fornecem apenas uma inferência parcial

do preditor X sobre o preditando Y. A estimativa linear ( )l lY f X de Y a partir de

X que minimiza o erro médio quadrático 2( ) [( ( ) ) ]MSE f E f X Y é dada por

( )lf X cX . No entanto esta só é ótima quando a distribuição bivariada é

Gaussiana. Prova-se no caso geral, Gaussiano ou não-Gaussiano que a referida

função é a esperança condicional: ( ) ( | )ngf X E Y X . Esta média condicional

pode ser estimada de várias formas: a) empiricamente para cada X a partir de

amostras num certo intervalo [X-, X+]; b) parametricamente admitindo uma

certa pdf bivariada obtida por métodos de máxima verosimilhança ou então c)

considerando a expansão de Edgeworth da pdf (X,Y) a partir de cumulantes

(Comon 1994) que são obtidos como funções de momentos simples e cruzados.

Neste caso e tomando o resíduo normalizado 2 1/2(1 ) ( )W c Y cX ,

descorrelacionado de X, tem-se 2 1/2( ) (1 ) ( | )ngf X cX c E W X onde a

esperança condicional é dada por uma função racional:

(2,1) (3,1)1 12 32 6( ) ( )

|1 U

k H X k H XE W X

X

(5)

com (3,0) (4,0) (3,0) (3,0)

3 4 6

1 1 10( ) ( ) ( )

3! 4! 6!U X k H X k H X k k H X onde ( , )k são

cumulantes do par (X,W) de ordem +, de variáveis centradas para as quais ( , ) ( )k E X W se 1≤+≤3 (e.g. skewness de X para =3, =0, aferidor da

assimetria da pdf de X) e (4,0) 4( ) 3k E X (kurtosis de X, positivo e/ou negativo

se a cauda da pdf for mais larga e/ou estreita que no caso Gaussiano). Os

cumulantes de ordem superior ou igual a 3 anulam-se no caso Gaussiano sendo

por isso medidas de não-Gaussianidade. As funções ( )nH X são polinómios de

Hermite, satisfazendo à relação recorrente:

0 1( ) 1 ; ( ) ( ) /n n nH X H X XH X dH dX .

3. Separação de fontes estatísticas não-Gaussianas

3.1. Noções introdutórias

A inferência climatológica de uma variável Y (e.g. um certo índice de seca) a

partir de um conjunto de preditores ou regressores X1, X2,….Xp é tanto mais eficaz

quanto mais independentes estatisticamente estes forem entre si, de modo a evitar

redundâncias de informação. Uma maneira de avaliar as dependências estatísticas

entre regressores é através das correlações lineares cor(Xi, Xj), ij ou não lineares

do tipo: cor(f(Xi), g(Xj)) onde alguma das funções f ou g é não linear ou seja

diferente de uma função afim. Todavia a medida mais geral de dependência

estatística é a multi-informação (Schneidman et al. 2003) ou generalização

multivariada da informação mútua (em p=2) e que se define como:


1

1

,...,

1 ,..., 1

1

( ,..., ) log ... 0p

p

k

X X

p X X pp

Xk

I X X dX dX

(6)

que é não negativa, anulando-se sse todas as variáveis forem estatisticamente

independentes entre si, o que acontece quando a pdf conjunta 1 ,..., pX X for o

produto de todas as pdfs marginais.

É desejável que cada uma das variáveis preditoras tenha um significado físico,

correspondendo a um certo tipo de variabilidade climática interna ou forçada,

identificável e independente das outras. Se Y é condicionado fisicamente por um

determinado campo ou seja pelas estruturas que este exibe (e.g. o índice de seca Y

é influenciado pelos sistemas do campo da pressão) então os preditores devem

conter informação compactada relevante desse campo a menos de uma pequena

fração de variância total não explicada. Tal é executado pela PCA (Hannachi et al.

2007) de um campo e considerando um número p de PCs dominantes explicando

uma elevada fração (e.g. 90%) da variância total. No entanto as PCs, apesar de

descorrelacionadas por construção, podem exibir correlações não lineares e

informação mútua (6) não nula, sendo por isso não independentes entre si, exceto

quando a pdf conjunta é Gaussiana.

3.2. Análise de Componentes Independentes

Mostremos uma forma de obter variáveis independentes. Sem perda de

generalidade consideremos as PCs centradas e normalizadas: 1/2var( )i i iX PC PC . No sentido de obtermos um homeomorfismo

(transformação bijetiva) 1 1( ,..., ) ( ,..., )p pX X Y Y X Y gerando variáveis

descorrelacionadas com a mínima multi-informação 1( ,..., )pI Y Y entre si, vamos

considerar a família das transformações dadas por rotações ortogonais das

variáveis originais normalizadas: Y RXonde ' ' p R R RR I em que pI é a

matriz identidade de ordem p. Esta transformação preserva a descorrelação entre

variáveis rodadas e a sua normalização. Pode mostrar-se que a multi-informação

das variáveis transformadas é dada pelo Lema da Neguentropia aplicado a

escalares:

11( ) ( ) ( ) ( ,..., )

p

rot k pkJ J J J Y I Y Y

X Y (7)

onde J(.) é a neguentropia (sempre não negativa) dada pelo déficit de entropia de

Shannon ( ) [ log( )]H E X

X em relação à distribuição com a mesma média e

matriz de covariância. No caso de um vetor X Gaussiano constituído por escalares

normalizados e descorrelacionados entre si tem-se:

2( ) log(2 ) [ log( )]

pJ e E

XX (8)

A neguentropia é neste caso um invariante para rotações ortogonais representando

a compaticidade de X (Monahan e DelSole 2009) ou seja a medida em que a pdf

conjunta difere da pdf isotrópica Gaussiana. Essa diferença manifesta-se na forma


de correlações não lineares, assimetrias multivariadas, centroides de múltiplas

modas etc.

A relação (7) fundamenta a chamada Análise de Componentes Independentes ICA

(Independent Component Analysis) (Hyvärinen e Oja 2000) que mostra que as

variáveis escalares que minimizam a respetiva multi-informação são as que

maximizam a soma das neguentropias marginais. Em geral é difícil estimar J

mesmo para dimensões reduzidas do vetor X . Por isso adotam-se várias

aproximações de J. Por exemplo para uma variável escalar U normalizada

genérica tem-se:

2 2 4( ) ( ) 15 ( )

12 48 72

Skew U Kurt U Skew UJ U (9)

que é expressa em função de cumulantes (Comon 1994) como o skewness 3( ) ( )Skew U E U e o kurtosis

4( ) ( ) 3Kurt U E U . Outra aproximação, é

dada por funções contraste, nulas no caso Gaussiano, tal como:

2 2

2 236 24( ) exp / 2 exp / 2 1/ 2

8 3 9 16 3 9J U E U U E U

(10)

A escolha da matriz de rotação visando variáveis de máxima neguentropia é

obtida por algoritmos de otimização não linear. Um deles é o Fast-ICA (Novey e

Adali 2008) que usa um algoritmo de tipo ponto-fixo. Um outro algoritmo,

adotado aqui, escreve R como produto das p(p+1)/2 matrizes elementares de

rotação (rotações de Jacobi), cada uma em função do ângulo de rotação (ângulos

de Euler) de um dos planos coordenados possíveis do espaço p . De seguida

escreve-se o gradiente da função de contraste em função do conjunto de ângulos

de Euler que por vez entra no algoritmo de maximização da função de contraste

pelo método quasi-Newton.

3.3. Aplicação da Análise de Componentes Independentes ao campo da pressão

à superfície

Mostramos de seguida um exemplo de aplicação da ICA ao campo de médias

mensais do geopotencial aos 500 hPa (z500) no período de Inverno alargado de

Novembro a Março na região Euro-Atlântica (NAE) no período 1951-2003

extraídas das reanálises NCEP-NCAR. As componentes independentes (ICs) são

otimizadas no subespaço das primeiras 10 PCs sendo obtidas sequencialmente no

complemento ortogonal do espaço de rotações previamente calculadas. Cada IC é

obtida por um produto interno entre o campo das anomalias do campo de z500:

Z Z e um vetor de pesos (loadings) ao longo da NAE, dado por uma

combinação linear de EOFs, escritas nas colunas da matriz W . Em síntese

1/2 '( ) Y RΛ W Z Z (11)

ondeΛ é a matriz diagonal das variâncias das PCs. Na tabela 1 mostra-se a

neguentropia aproximada (10) e a fração de variância explicada pelas 5 primeiras

PCs e pelas 5 primeiras ICs, obtidas por maximização da função contraste (10) no


conjunto das rotações ortogonais em 10 .

Conclui-se da análise da Tabela 1 que as ICs tem maior neguentropia que as PCs e

que pelo Lema da Neguentropia (7), as ICs são, como desejável, estatisticamente

mais independentes que as PCs. Além disso a ordenação por neguentropia nas ICs

não coincide em geral com a ordenação por variância explicada. As neguentropias

das ICs estão associadas a elevados valores positivos do skewness e negativos do

kurtosis indicando que as pdfs das ICs são platicúrticas (sub-Gaussianas), o que

ocorre geralmente com pdfs bimodais, com modas acima e abaixo da mediana.

Tal é evidente nos histogramas das duas primeiras ICs normalizadas (Figs. 6a-b)

mostrando duas modas posicionadas a distâncias de +1 e -1 desvios padrão em

relação à climatologia, mostrando maior probabilidade que a associada a valores

perto da climatologia (IC~0) como aconteceria numa distribuição Gaussiana.

Mostramos a associação dessas modas a regimes de tempo persistentes. Para tal

mostra-se nas Figs. 7a-b os mapas dos pesos para a primeira e segunda ICs. No

primeiro mapa (Fig. 7a) tem-se um padrão orientado S-N, similar ao da NAO

exibindo um dipolo com centros em (35ºW, 45ºN), perto do Anticiclone dos

Açores e em (10ºW, 65ºN) perto da depressão semi-permanente da Islândia. As

duas modas da pdf correspondem aos regimes NAO- (IC>0) (fase negativa da

NAO, ligada ao regime GA – ver Michelangeli et al. (1995)) e NAO+ (IC<0)

(fase positiva da NAO, ligada ao regime ZO).

Tabela 1. Valores da variância explicada e neguentropia J das primeiras 5 PCs e 5 ICs,

ordenadas pelo valor da função de contraste maximizada. Acrescenta-se ainda o

skewness e kurtosis das ICs.

% Variância

explicada pelas

PCs

J(PCs) % Variância

explicada pelas

ICs

J(ICs) Skewness

(ICS)

Kurtosis

(ICS)

1 21.2 0.017 21.0 0.029 0.697 -0.835

2 16.6 0.008 22.6 0.026 0.572 -0.756

3 14.7 0.001 13.1 0.012 0.213 -0.462

4 12.1 0.013 13.6 0.011 0.175 -0.418

5 8.7 0.001 12.7 0.006 0.030 -0.174

O mapa dos pesos associados à segunda IC (Fig. 7b) exibe um dipolo orientado

W-E à latitude de 55ºN. A sequência entre a fase positiva e negativa

correspondem assim a uma oscilação do campo da massa entre a Gronelândia e o

mar Báltico que chamaremos oscilação BGO (Baltic-Greenland Oscillation). O

compósito da fase positiva (IC>0) tem semelhanças com o regime BL e o

compósito da fase negativa (IC<0) tem semelhanças com o regime AR.

Fica claro que as ICs tem menor informação mútua entre si que as PCs e que por

isso devem ter melhor desempenho na inferência não linear e inferência

probabilista Bayesiana de variáveis climáticas à superfície, em particular de

índices de seca. Todavia essa avaliação não é feita aqui.


a) b)

Fig.6. Histogramas das primeira (a) e segunda (b) ICs normalizadas. Note-se a

existência de duas modas distantes de +1 e -1 desvios padrão em relação à climatologia

(IC~0).

a)

b)

Fig. 7. Mapa dos pesos da primeira (a) e segunda (b) ICs na área Euro-Atlântica (NAE).

O primeiro mapa exibe o padrão da NAO e o segundo mapa exibe o padrão da BGO (ver

detalhes no texto).

3.4. Separação da variabilidade em fontes vetoriais independentes

A separação da variabilidade em ICs (7) pode não ser uma hipótese

suficientemente geral visto que pode haver dependência não linear do vetor

aleatório X em relação às fontes estatísticas. Tal é parcialmente solucionado

admitindo a possibilidade de dependências não lineares dentro de uma família de

funções, utilizando por exemplo redes neuronais auto-associativas como na ICA

não linear (Hyvärinen e Pajunen, 1999; Almeida, 2003) e na PCA não linear (NL-

PCA) (Teng et al., 2006; Scholz, 2012).

Todavia, uma maneira mais simples de contornar o problema é o de admitir que a


não linearidade pode estar restringida a grupos de variáveis escalares linearmente

descorrelacionadas mas que podem ter correlações não lineares entre si. Esses

grupos constituem fontes estatísticas multivariadas ou vetoriais e que deverão ser

maximamente independentes mutuamente. Desse modo procura-se um vetor

1( ,..., )r Y RX Y Y resultante de uma rotação ortogonal do vetor original X .

Esse vetor é constituído de fontes vetoriais em número r e com determinadas

cardinalidades cuja soma é p≥r (conjunto de características que apelidamos de

configuração das fontes vetoriais) e cuja multi-informação seja o menor possível.

Neste contexto o Lema multivariado da Neguentropia (7) escreve-se:

11( ) ( ) ( ) ( ,..., )

( ) ( ) ( : ) , 1,...,i k

r

rot k rk

k i i i k

Y

J J J J I

J J Y I Y Y k r

Y

X Y Y Y Y

Y Y (12a-b)

onde, por (12b), a neguentropia de cada fonte vetorial k=1,..,r se decompõe na

soma das neguentropias das componentes escalares próprias com a multi-

informação entre essas componentes, devida a correlações não lineares internas

entre elas, isto é inerentes às fontes vetoriais. Para fontes vetoriais não-

Gaussianas, dá-se a concentração de probabilidade em torno de linhas, superfícies

ou em geral variedades curvilíneas, ditas principais (Hastie e Stuetzle, 1989). O

método de separação em fontes vetoriais consiste na chamada Análise de

subespaços independentes ISA (Independent Sub-space Analysis) (Theis, 2006;

Almeida, 2003).

No sentido de ilustrar a este tipo de decomposição, é dada na Fig. 8 uma amostra

finita de pontos no espaço 3D que se decompõe em duas fontes, uma

diádica: 1 1,1 1,2( , )Y YY com suporte 2D com a forma da letra ‘U’ maiúscula e uma

fonte escalar 2 2,1( )YY variando perpendicularmente ao plano da letra e com

suporte dado por um intervalo limitado. As pdfs marginais sobre 1Y e 2Y são

uniformes.

Outra forma de ilustrar a separação em fontes é através do chamado problema

generalizado do ‘Cocktail-Party’ em que grupos de pessoas distribuídos numa

sala, falando de assuntos e em línguas muito diferentes, são escutados por

altifalantes nos cantos da sala. Os dados constituem o registo sonoro,

aparentemente ruidoso desses altifalantes. Os métodos da ISA pretendem

distinguir os vários grupos de pessoas que serão assim considerados como fontes

estatísticas multivariadas independentes.


Fig. 8. Amostra correspondente a uma pdf 3D separada numa fonte diádica de pdf

uniforme (letra U) e numa fonte escalar de pdf uniforme num intervalo ortogonal ao

plano da letra.

O problema da ISA para uma dada configuração de fontes (e.g. todas as fontes

diádicas), consiste em determinar a matriz de rotação R que minimize a multi-

informação 1( ,..., )rI Y Y ou de forma dual equivalente que maximize a soma das

neguentropias das fontes: 1

( )r

src kkJ J

Y . Seguimos aqui esta segunda via,

considerando funções de contraste simuladoras das parcelas de srcJ e que possam

ser escritas como funções de esperanças de funções não lineares das componentes

de cada fonte kY . Essas funções de contraste, aqui denotadas por ( )op kF Y ,

anulam-se para pdfs Gaussianas e crescem com a não-Gaussianidade. Um outro

requisito, justificável da dimensão da fonte é o de que as funções de contraste

devem ser não separáveis aditivamente em termos de funções de subconjuntos

de kY , ou seja devem envolver todas as variáveis através de produtos. Para

simplificar, consideremos apenas fontes de dimensão dois (díadas não-

Gaussianas) 1 2( , )D Y YY e dimensão três (tríadas não-Gaussianas):

1 2 3( , , )T Y Y YY , onde 1 2 3, ,Y Y Y são as componentes descorrelacionadas das fontes.

A neguentropia das díadas e tríadas separam-se respetivamente na forma:

1 2 1 2

, {1,2,3}1 2 3 1 2 3

( ) [ ( ) ( )] ( , )

( ) [ ( ) ( ) ( )] ( , ) ( , , )

D

i jT i j ti j

J J Y J Y I Y Y

J J Y J Y J Y I Y Y I Y Y Y

Y

Y (13a-b)

onde surge um novo termo, a informação de interação (IT) 1 2 3( , , )tI Y Y Y que é a

parte da multi-informação triádica que resulta das sinergias estatísticas entre as 3

componentes em simultâneo. Por outras palavras IT resulta de efeitos

cooperativos emergentes que não podem ser explicados por subconjuntos próprios

do conjunto de componentes da fonte, ou seja neste caso por 2 componentes

(Jakulin and Bratko 2004;Timme et al. 2013). A IT trivariada pode ser positiva ou

negativa se houver respetivamente sinergias ou redundâncias entre variáveis,

sendo dada por:


, {1,2,3}1 2 3 1 2 3( , , ) ( , | ) ( , ) ( , , ) ( , )m nt i j k i j m nm n

I Y Y Y I Y Y Y I Y Y I Y Y Y I Y Y

(14)

onde ( , , )i j k é uma qualquer permutação de (1,2,3). Pires e Perdigão (2015)

identificaram situações na dinâmica caótica de fluidos em que a IT ocorre quando

há ressonâncias entre tríadas ondulatórias e que se verificam quando a soma de

números de onda característicos, cada um de sua componente da tríada, iguala o

número de onda característico da terceira. Uma tríada perfeita é aquela em que

1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )tI Y Y Y I Y Y Y . Um exemplo de tal, ocorrente entre variáveis contínuas

com distribuições marginais uni e bivariadas Gaussianas standard é dado por:

1 2 3 1 2, , ~ (0,1) : | | sgn( )Y Y W N Y W YY . Neste caso os sinais das variáveis

satisfazem a um Quadrado Latino de 2 símbolos: sgn(Y3)=sgn(Y1Y2), razão pela

qual It(Y1,Y2,Y3)=log(2). A forma da pdf de Y1,Y2,Y3, associada a esta relação é

dada na Fig. 9 através da iso-superfície da pdf: =0.001, mostrando que a

probabilidade está concentrada e vale 1/4 em cada um dos 4 octantes: (+++), (+--),

(-+-) e (--+) caracterizados pelos sinais de (Y1,Y2,Y3).

Fig. 9. Iso-superfície =0.001 da PDF correspondente à tríada perfeita descrita no texto.

De forma a haver consistência entre dimensão das fontes e funções de contraste,

estas deverão simular 1 2( , )I Y Y e 1 2 3( , , )tI Y Y Y respetivamente nos casos de díadas

e tríadas. Para tal aproximemos essas informações por expansões truncadas de

Edgeworth recorrendo a cumulantes cruzados (Comon 1994;

https://en.wikipedia.org/wiki/Cumulant). Cumulantes de ordem Nord exprimem-se

como funções de momentos centrados de ordem Nord. Para pdfs Gaussianas e

Nord≥3, os cumulantes anulam-se. Assim tomando as aproximações mais simples

de I e It de truncatura Nord=3, tal leva-nos às funções contraste de componentes

normalizadas e descorrelacionadas

2 2 2

1 2 1 2 1 2 3 1 2 3( , ) ( ) ; ( , , ) ( )opD opTF Y Y E Y Y F Y Y Y E YY Y (15a-b)

respetivamente para díadas e tríadas e que são proporcionais a quadrados de

correlações não lineares, respetivamente 2

1 2( , )cor Y Y , dita quadrática e

( , )i j kcor YY Y dita triádica. Estas formas simples seguem o rationale da


metodologia Project-Pursuit (Huber, 1985) em que se procuram projeções de

baixa dimensão (neste caso 2 ou 3) que exibam distribuições não-Gaussianas

enfatizando certas caraterísticas como o ajuste estatístico por uma dada curva ou

superfície. O problema de otimização é em tudo idêntico ao de procurar a maneira

de rodar e projetar um objeto (neste caso a PDF conjunta) de modo que a sua

projeção exiba uma certa forma mais ou menos exótica, o que aqui corresponde à

não-Gaussianidade da pdf.

As correlações referidas sugerem a utilização de índices não lineares de

variabilidade que podem ser usadas como variáveis estatísticas exploratórias e que

juntam as várias componentes correlacionadas:

2

1 1 22 32

1 1 2

( 1);

( ) ( )indD D indT T

Y YYF s Y F s Y

Y YY

(16a-b)

onde ,D Ts s são os sinais das correlações quadrática e triádica e significa desvio

padrão do argumento. Quando o campo explorado é por exemplo o da pressão à

superfície (ver Sec. 3.3), essas variáveis são melhores candidatas a servir de

preditores na inferência estatística de preditandos climáticos como índices de seca.

Vejamos a sua aplicação na Sec. 3.5.

Na prática, cada um dos momentos intervenientes em 15a-b, exprime-se como

combinações lineares de momentos de terceira ordem das componentes

normalizadas não rodadas que são estimadas a priori a partir das séries temporais

disponíveis. A maximização de opDF e opTF no espaço das rotações faz-se de forma

iterada pelo método Quasi-Newton em que o vetor de controle é o vetor dos

ângulos de Euler das rotações. As díadas e tríadas dependem respetivamente de

2 3N e 3 6N ângulos onde N é a dimensão do espaço de otimização. Este

algoritmo é inicializado numa primeira aproximação (first-guess) e sobe a favor

do gradiente da função contraste até atingir um dos possíveis máximos relativos

daquela, devendo por isso escolher-se aleatoriamente múltiplos ‘first-guesses’,

cada um conduzindo a um certo máximo relativo, com o objetivo de determinar o

máximo absoluto da função de contraste.

3.5 Separação da variabilidade atmosférica mensal em díadas não-Gaussianas

O método descrito atrás foi aplicado a uma série temporal sintética longa gerada

pela corrida do modelo atmosférico quase-geostrófico a 3 níveis, espetral em

harmónicas esféricas e truncatura triangular T21, adaptado de Marshall e Molteni

(1993) (modelo QG3 daqui em diante). O modelo QG3 integra as equações da

vorticidade potencial quase-geostrófica sujeitas a um campo de forçamento

constante de inverno no Hemisfério Norte (HN) deduzido a partir de reanálises do

ECMWF e que habilita o modelo a reproduzir os regimes de tempo do hemisfério

setentrional. O modelo tem sido usado na modelação da variabilidade lenta (Low

frequency variability – LFV), não-Gaussianidade e predictabilidade da atmosfera

(Peters et al. 2012). Para obter a LFV, filtrar a variabilidade rápida de escala

sinóptica e comprimir a variância, procedeu-se a uma PCA das médias móveis de

30 dias das componentes espetrais das funções de corrente do escoamento nos 3


níveis (200, 500 e 800 hPa). O vetor aleatório total das PCs tem dimensão 1518.

a) b)

Fig. 10. a) Fração de variância explicada acumulada até cada PC, número de onda total

médio das EOFs e tempo de descorrelação das PCs; b) Neguentropia das PCs. Assinala-

se o nível (~0.0002), ao qual é rejeitada, com nível de significância 5%, a hipótese nula

de que a variável aleatória amostrada tem distribuição Gaussiana.

A Fig. 10a mostra o gráfico da fração de variância explicada acumulada pelas PCs

ordenadas por ordem decrescente de variância. As primeiras 10, 20 e 30 PCs

explicam respetivamente 67%, 80% e 90% da variância total. De modo a lhes

associar uma escala espacial e temporal típica, calculou-se o valor médio do

número de onda total (das harmónicas esféricas) de cada EOF e ainda o tempo

típico de descorrelação da função de auto-correlação das PCs, ambas

representadas na Fig. 10a. Assim, as primeiras EOFs são de escala planetária

(4000-10000 km) e os tempos de descorrelação das PCs estão na gama entre 30-

100 dias. A EOF1 (~30% de variância explicada) é um modo com um número de

onda zonal dominante 3, e é fortemente projetada na Oscilação Ártica (AO) e na

NAO. As EOF3 e EOF4 assemelham-se a híbridos dos principais padrões espaciais

de geopotencial no Atlântico Norte, Pacífico Norte e Ásia (Kimoto e Ghil, 1993).

Calculou-se também a neguentropia (Fig. 10b) das PCs, o que mostra que as PCs

dominantes em variância são as mais não-Gaussianas enquanto que as da cauda do

espetro de variância não diferem estatisticamente de médias móveis de ruídos

brancos Gaussianos. As informações mútuas entre PCs são não nulas, dada a sua

parcial dependência estatística, especialmente quando intervém a PC1 que é a mais

não-Gaussiana, dada a possibilidade de, apesar de descorrelacionadas, elas

possuírem correlações não lineares entre si. Por exemplo I(PC1,PC5)=0.038 e

I(PC1,PC6)=0.027, provenientes de correlações quadráticas: cor |(PC12,PC5)|=0.21

e |(PC12,PC6)|=0.17 respetivamente. Desse modo, face ao exposto, o invariante Jrot

(7,12) que afere a neguentropia conjunta total pode assumir valores elevados

podendo ser concentrada em ICs ou em fontes vetoriais através da otimização das

rotações ortogonais das PCs normalizadas. A série temporal produzida foi de 106

dias fazendo-se uma subamostragem a cada 80 dias de modo a ter 12000

realizações o mais próximo de independentes e identicamente distribuídas (iid), as


quais se dividiram em dois grupos independentes de 6000 realizações cada usados

para calibração e validação das fontes estatísticas.

Deste modo, procedeu-se então à separação do espaço de variabilidade gerado

pelas 10 primeiras PCs em 5 díadas não Gaussianas. Estas são obtidas

sequencialmente, otimizando a primeira, depois a segunda no subespaço do

complemento ortogonal da primeira e assim de seguida. A função contraste

maximizada é o quadrado da covariância cruzadaopDF (15a). A tabela 2 mostra

para cada díada, a percentagem de variância explicada (Var), a correlação

quadrática (Cor) e a neguentropia conjunta das díadas (J) (Pires e Ribeiro 2015).

Tabela 2. Valores da variância explicada (Var em %), correlação quadrática (cor) e

neguentropia J das primeiras 5 díadas ID1,…,ID5. Acrescentam-se os totais de Var e J

na linha inferior da tabela.

ID Var% Cor J

1 29.8 0.52 0.211

2 10.2 0.18 0.035

3 9.9 0.16 0.032

4 7.1 0.07 0.016

5 6.7 0.06 0.015

Total 63.7 0.309

A primeira díada (ID1) é a mais neguentrópica (maior valor de J), correspondente

ao valor mais elevado da correlação quadrática: 2

1 2( , )cor Y Y =0.52, o que é patente

na pdf bivariada (Y1, Y2) da Fig. 11 em que se nota a linha de crista da pdf junto de

uma curva do tipo 2

1 1 2( 1) 0Y c Y onde c1=cte. Na figura, as pdfs marginais são

sujeitas a anamorfose Gaussiana, isto é com distribuição normal N(0,1) sendo a

pdf calculada a partir de estimador kernel Gaussiano. O integral 2D da informação

mútua é estimado com a fórmula da quadratura de Gauss (ver Apêndice B de Pires

e Perdigão, 2015). As componentes da díada, ou em geral de qualquer fonte, são

dadas pelo produto interno 'k k PC stdY v x entre um vetor de pesos de norma

unitária: kv e o vetor PC stdx das PCs normalizadas no espaço de otimização. Os

vetores peso são ortonormados. Assim, as aproximações de kY explicadas por 90%

da norma quadrática do vetor de pesos são:

Y1~0.79PC1std+0.46PC2std+0.17PC8std-0.18PC9std e

Y2~0.39PC1std-0.62PC2std-0.28PC3std+0.23PC4std+0.33PC5std+0.31PC6std

em que Y1 é fortemente dominada pela PC1, que é essencialmente o simétrico do

índice NAO, enquanto que Y2 se projeta em PCs com as quais PC1 tem uma

grande correlação quadrática. O índice não linear indDF (16a) vem assim um

polinómio multivariado nas 10 PCs com uma ordem polinomial total 2 (isto é

monómios de ordem 2 no máximo).


Fig. 11. Contornos da pdf conjunta 2D de (Y1,Y2) da díada dominante, otimizada no

espaço das 10 primeiras PCs. As pdfs são Gaussianas standard. O intervalo entre

contornos é 0.2. Os regimes associados a cada quadrante estão assinalados.

Para obter uma visão espacializada, mostra-se os padrões espaciais (mapas

normalizados) dos pesos intervenientes em Y1 (Fig. 12a) e em Y2 (Fig. 12b),

respetivamente denotados por 1l e

2l .

Fig. 12. Mapas de pesos, espacialmente normalizados, intervenientes nas componentes

1Y (a) e 2Y (b) da díada dominante otimizada no espaço das 10 primeiras PCs.

O primeiro padrão 1l é essencialmente a diferença entre o regime negativo (AO-

,NAO-) e os regimes positivos (AO+,NAO+). O segundo padrão tem uma forte

componente no número de onda zonal 3, projeta-se essencialmente no sector

Atlântico-Pacífico, traduzindo a diferença entre NAO e AO do mesmo sinal. De

acordo com a correlação quadrática, quando 1 2sgn( ) sgn( )Y Y , existe uma

interação construtiva levando a um regime hemisférico (AO-, AO+). Quando

1 2sgn( ) sgn( )Y Y existe uma interação destrutiva no setor Pacífico, levando a um

regime com assinatura restringida ao Atlântico (NAO-, NAO+). Os 4 regimes

norte-hemisféricos do modelo QG3, denotados AO-, AO+, NAO- e NAO+ e


obtidos por Kondrashov et al. (2004) são recuperados nos compósitos da anomalia

da função de corrente aos 500 hPa (Fig. 13) nos quatro quadrantes da pdf

bivariada de (Y1,Y2) da primeira díada (Fig. 11), o que está de acordo com o dito

acima sobre a configuração dos regimes no espaço dessas duas variáveis. De um

modo geral, havendo regimes persistentes de grande probabilidade associada, as

fontes (neste caso díadas) são otimizadas de modo a que os centroides dos

regimes fiquem concentrados na curva ou superfície principal para a qual a

correlação não linear é máxima, neste caso uma parábola. Este comportamento é

corroborado com dados de simulações da SLP através de uma PCA não linear

(NLPCA) (Teng et al., 2006).

Fig. 13. Compósitos da anomalia da função de corrente aos 500 hPa do modelo QG3

(em unidades 106 m2s-1) para os quatro quadrantes (a,b,c,d) do plano (Y1, Y2) da primeira

díada. A associação dos regimes aos quadrantes é dada na Fig. 11.

Uma outra leitura da correlação não linear ó obtida do vento geostrófico. Ora os

gradientes de mapas peso da função de corrente são proporcionais a pesos do

vento geostrófico. Assim a correlação quadrática na função de corrente tem leitura

no campo do vento donde a intensidade quadrática dos jatos Atlântico e Pacífico

está correlacionada com a intensidade dos meandros dos jatos.

4. Tríadas não-Gaussianas da variabilidade climática

As tríadas não-Gaussianas que apresentámos correspondem a tripletos de

variáveis descorrelacionadas mas cujo produto de quaisquer duas está

correlacionado com a terceira de forma relevante, pelo menos acima da


significância estatística. Todos os tripletos formados por regiões remotas entre si

nos quais os valores de um campo (e.g. temperatura da superfície do mar – SST)

estejam mutuamente descorrelacionados podem constituir uma tríada não-

Gaussiana ou seja correspondendo a uma teleconexão triádica não linear entre

regiões bem localizadas (sinergias de localização). Noutro tipo de tríadas as

componentes intervenientes são a projeção em certos padrões espacializados ao

longo de uma mesma área comum, dando-se sinergias entre padrões de que

daremos dois exemplos nas secções seguintes.

4.1. Tríada não-Gaussiana dominante da variabilidade atmosférica mensal

Calculámos a tríada dominante (Y1,Y2,Y3), maximizadora de 1 2 3( , , )opTF Y Y Y (15b)

do campo da função de corrente do modelo QG3 em espaços gerados pelas N PCs

dominantes normalizadas desde N=3 até N=20. Como esperado, opTF é crescente

com N devido ao progressivo aumento da liberdade de rotação e projeção nos

subespaços de otimização. Existe uma degenerescência trivial associada dos

máximos do funcional opTF correspondente a permutações e inversões dos eixos

das componentes de uma tríada. Há no entanto casos de quase degenerescência em

que valores próximos elevados de opTF correspondem a vetores de pesos:

'k k PC stdY v x subtendendo espaços 3D com pequena ou nenhuma projeção

(cosseno do ângulo entre subespaços). Assim, devido a bifurcações ocorrentes

com N crescente, a tríada dominante pode variar totalmente quando N é

incrementado de uma dimensão. O mesmo acontece potencialmente com as díadas

e ICs. Após estudar a sensibilidade do conjunto de vetores peso da tríada

dominante com N, verificou-se alguma estabilidade destes no intervalo N=8-11,

pelo que para um estudo mais detalhado se tomou a escolha de parcimónia N=8. À

semelhança das díadas, as aproximações correspondentes a 90% da norma

quadrática dos vetores peso são:

Y1=-0.58PC1std-0.39PC2std+0.39PC3std-0.52PC8std,

Y2=0.54PC1std-0.75PC2std+0.21PC7std e

Y3=0.53PC1std+0.42PC2std+0.50APC3std-0.27PC4std-0.36PC8std.

A correlação triádica definida por:

1/3

3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 1( , , ) [ ( , ) ( , ) ( , )]cor Y Y Y cor YY Y cor YY Y cor Y Y Y, (17)

que vale neste caso -0.38 sendo a informação de

interação21

1 2 3 3 1 2 32( , , ) ~ log[1 ( , , ) ] 0.084tI Y Y Y cor Y Y Y . A pdf, tridimensional

da tríada é mostrada na Fig. 14 através da respetiva iso-superfície =0.001. Esta

exibe modas em 4 quadrantes cujo produto de sinais é o mesmo de cor3. No

entanto verifica-se não haver correspondência perfeita entre esses máximos e os

conhecidos regimes do modelo QG3 (ver Sec. 3.5) porque senão a ‘constelação’

dos respetivos centroides deveria ocorrer numa superfície torsa, na qual | cor3| é

maximizada o que contradiz o facto de poderem ocorrer na superfície plana da


díada dominante.

Fig. 14. Iso-superfície =0.001 da PDF correspondente à tríada dominante no espaço

das 8 PCs dominantes normalizadas (Comparar com a pdf da tríada perfeita – Fig. 9).

Fig. 15. Mapas de pesos, espacialmente normalizados, intervenientes nas componentes

1Y (a), 2Y (b) e 3Y (c) da díada dominante otimizada no espaço das 8 primeiras PCs.

Apesar de estarem diretamente relacionadas com regimes, as componentes tem

alguma leitura sinóptica. Para tal mostramos na Fig. 15a-c os mapas dos pesos

intervenientes nas componentes: 1l ,

2l e 3l . Dos mapas,

1Y é essencialmente

proporcional à intensidade do jato no bordo este da Ásia (JAS), 2Y é representativo

da anomalia de geopotencial no polo Norte (NPP) e 3Y é uma medida da

intensidade do jato no flanco leste da América do Norte (JNA). Tendo em conta

que ( , ) 0.028I JAS NPP , ( , ) 0.018I JAS JNA e ( , ) 0.038I NPP JNA ,

verificamos que os jatos são as variáveis menos dependentes entre si pelo que

( , , ) ~ [( , ), ]I JAS NPP JNA I JAS JNA NPP , o que constitui uma tríada assimétrica

(Pires e Perdigão 2015), compatível com uma modelação estocástica do tipo:

( , )NPP f JAS JNA w onde w é um ruído independente e f é uma função


determinista não linear. O índice não linear de tríada é dado pela função

indTF (16b). Tal como para as díadas, esta variável exploratória dá conta da

variabilidade de modo mais abrangente e correta sendo candidata para o propósito

de variável discriminadora Bayesiana de graus de seca.

4.2. Tríadas não-Gaussianas relevantes da variabilidade mensal da temperatura

da superfície do mar

O método de otimização de tríadas não-Gaussianas utilizado na Sec. 4.1 é aqui

aplicado ao campo das anomalias mensais do campo da temperatura da superfície

do mar (SST) no oceano mundial restringido a latitudes inferiores a 65º,

geralmente livres de gelo de mar em qualquer época do ano. Os resultados são

parte do artigo de Pires e Trigo (2015).

Os dados são extraídos da base ERSST – Extended Reconstruction SST (versão

3b) (www.ncdc.noaa.gov/oa/climate/research/sst/ersstv3.php) numa grelha de

2ºlat2ºlong para o período 1910-2011 (102 anos) aos quais se elimina a

tendência linear de médias anuais e se calculam as anomalias em relação a cada

mês produzindo séries temporais de 1224 valores. Executa-se a PCA e calculam-

se as EOFs bem como as séries temporais das PCs e das PCs normalizadas. As

primeiras EOFs projetam-se em padrões conhecidos (Messié and Chavez 2011).

Assim a 1ª EOF é o padrão do El-Niño (17% de variância explicada - varexp.), a

2ª EOF corresponde à Oscilação Multi-decadal do Atlântico (AMO) (5.1%), a 3ª

EOF corresponde à Oscilação Decadal do Pacífico (PDO) (4.5% de varexp.), a 4ª

EOF corresponde à Oscilação do Giro do Pacífico Norte NPGO (3.7% de

varexp.), a 5ª EOF está ligada principalmente ao El-Niño Modoki (3.1% de

varexp.), a 6ª EOF associa-se ao El Niño Atlântico (2.6% de varexp.) e a 7ª EOF é

um padrão Pacífico Norte-Sul (2.4% de varexp.), exibindo 3 ondas estacionárias

orientadas W-E, com projeção no Dípolo do Pacífico Sul (SPOD). As EOFs

seguintes exibem padrões regionais com dípolos ou trens de ondas deformados

pela configuração da costa.

Contrariamente à situação em que haja a disponibilidade de grandes séries

temporais como na corrida usada do modelo QG3 (Sec. 4.1), aqui o número

efetivo de graus de liberdade temporais 1224dofN não é muito elevado devido à

disponibilidade de séries relativamente curtas das anomalias mensais da SST e à

existência de auto-correlações nelas. Desse modo, e em geral nas situações de

amostras curtas, a possibilidade de encontrar projeções dos subespaços das PCs

exibindo padrões não-Gaussianos artificiais ou espúrios devido a sobre-

ajustamento das rotações e projeções é real. Assim sendo, se N for a dimensão do

espaço de otimização e 2

3maxcor for o quadrado da correlação triádica máxima

nesse espaço, então este valor está positivamente enviesado no caso de amostras

finitas. Para retirar o viés usou-se uma fórmula idêntica à do coeficiente de

determinação ajustado (R2-adj) de uma regressão multilinear avaliado num

período de calibração a qual subtrai a R2 o viés positivo. Esse viés é proporcional

ao número preN de preditores e inversamente proporcional a dofN . No presente

http://www.ncdc.noaa.gov/oa/climate/research/sst/ersstv3.php


caso, o viés é obtido por experiências de Monte Carlo com séries

dedofN realizações Gaussianas iid, chegando-se ao valor ajustado semi-empírico

2 2 2

3max 3max 3max(1 )pre

adj

dof

Ncor cor cor

N , (18)

onde 2(3 6)preN N é o número equivalente de preditores, neste caso

proporcional ao número de ângulos de rotação 3 6N num espaço de dimensão

N e que caracterizam a tríada. De modo a reduzir o viés através de preN procedeu-

se à otimização das tríadas apenas em espaços de dimensões 3N ou 4

destacando aquelas com maior valor de 2

3max adjcor e em que intervém a PC1

projetada no padrão El-Niño. Na escolha das tríadas otimizadas, considerámos o

multicritério ou compromisso conjunto de alta variância explicada, simplicidade

(baixo N) e elevada não-Gaussianidade. No entanto a ambiguidade de qualquer

multicritério não permite uma ordenação natural das tríadas como acontece por

exemplo com as PCs por variância explicada.

Iremos de seguida destacar e analisar a tríada otimizada no espaço de

variabilidade das PCs: PC1, PC3 e PC7 combinando o El-Niño, a PDO e o SPDO.

As respetivas componentes 1 2 3( , , )Y Y Y vem dadas por:

Y1=0.94PC1std+0.29PC3std+0.18PC7std,

praticamente coincidente com o índice El-Niño e o por

Y2=0.06PC1std-0.66PC3std+0.75PC7std e

Y3=0.34PC1std-0.69PC3std-0.64PC7std,

estas duas consistindo numa rotação de -49º do plano de componentes (PC3std,

PC7std). A fração de variância explicada pela tríada é 24.7%, a correlação triádica

é 3max 0.28cor e o seu valor ajustado é 3max 0.22adjcor . Os mapas

normalizados de pesos que multiplicam as anomalias da SST para formar as

componentes de 1 2 3( , , )Y Y Y são apresentados na Fig. 16a-c. O mapa para 1Y é

fortemente projetado no padrão El-Niño enquanto os mapas para 2Y e

3Y correspondem a trens arqueados de 3+1/2 frentes de onda orientadas

zonalmente progredindo de Norte a Sul do Oceano Pacífico. Os mapas tem

aproximadamente um desfasamento de 1/4 de comprimento de onda.


Fig. 16. Mapas normalizados dos pesos associados às componentes 1Y (a), 2Y (b) e 3Y (c)

da tríada do campo da SST no Oceano Pacífico.

A pdf conjunta das componentes (Fig. 17) exibe modas em 4 dos 8 quadrantes

determinados por 1 2 3(sgn ,sgn ,sgn )Y Y Y , similarmente às Figs. 9 e 14. As modas

correspondem a regimes da SST que se excluem mutuamente com as ocorrências

de 1 2 3(sgn ,sgn ,sgn )Y Y Y , em ( , , ) no regime El-Niño, em ( , , ) na fase

positiva da PDO, em ( , , ) no regime La Niña e em ( , , ) na fase negativa da

PDO. Esta correspondência é notória nos mapas dos compósitos da SST (em

unidades de desvios padrão locais) (Fig. 18) nos referidos 4 regimes maioritários.

A série temporal do produto triádico 1 2 3YY Y vem na Fig. 19 onde se verifica a

ocorrência intermitente de extremos positivos contribuindo para uma média

elevada de 1 2 3( )E YY Y e a correspondência desses extremos (acima de 1) aos

regimes apontados n a Fig. 17.

Fig. 17. Iso-superfície =10-5 da pdf otimizada no espaço gerado pelas PC1, PC3 e PC7.

Os regimes da SST correspondentes a cada uma das 4 modas estão assinalados. A

correlação triádica ajustada é 0.22.


Fig. 18. Compósitos da SST em desvios padrão locais referentes aos 4 regimes

maioritários da tríada.

As series temporais das componentes 1 2 3, ,Y Y Y alisadas com médias móveis de 12

meses surgem na Fig. 20. Note-se a ocorrência frequente das combinações de

sinais das componentes acima descritas e que são favoráveis a uma média positiva

do produto triádico. As componentes tem forte marca espectral em certas

frequências, nomeadamente 1Y (El Niño) com forte marca no espetro de Fourier no

conhecido período de 5 anos. Além disso há uma relação entre as frequências

dominantes das componentes.

Fig. 19. Série temporal no período 1910-2011 do produto triádico 1 2 3YY Y . Nos casos em

que 1 2 3 1YY Y assinala-se o regime observado da SST usando o código de cores (El-

Niño: negro), (La Niña: verde), (PDO+: vermelho) e (PDO-: azul).

Fig. 20. Séries temporais no período 1910-2011 de componentes 1Y (negro), 2Y

(vermelho) e 3Y (verde), alisadas por filtro de média móvel de 12 meses.

De facto a média 1 2 3( )E YY Y pode decompor-se através do bi-espectro cruzado (Fig.

21) em que apenas contribuem combinações de frequências, uma ( if ) para cada


componente (iY ), satisfazendo à relação:

1 2 3 0f f f propícia a ressonâncias

ondulatórias triádicas como verificado por Pires e Perdigão (2015). Definimos

bicovariância como

1,2 1 2 1 1 2 2 3( , ) [ ( ) ( ) ( )]C E Y t Y t Y t (19)

O biespetro é a transformada de Fourier dupla de 1,2 1 2( , )C . Aplicando o

teorema de Fourier da convolução tem-se:

1 2

21 2

1 2 3

11

1,2 1 2 1,2 1 2 1 2, 0

*

1,2 1 2 1 2 3 1,2 1,2 3 1 2

( , ) ( , )exp[ 2 i( )]

( , ) ( ) ( ) ( ) exp( ) ;

t

t tt

N

N NN

Y Y Y

B f f C f f

B f f T f T f T f A i f f f

(20a-b)

onde ( )iY iT f é a transformada de Fourier discreta de iY sobre a série temporal

regular de tN instantes. A bicovariância e em particular 1 2 3 1,2( ) (0,0)E YY Y C são

reconstruídos como

1 2

1 2

1

1,2 1 2 1,2 1 2 1 2, 0( , ) ( , )exp[2 i( )]

t

t t

N

N Nf fC B f f f f

(21)

A amplitude A1,2 é mostrada na Fig. 21 onde as linhas 1,2 / 3 a negro e

vermelho respetivamente, delimitam os principais zonas de tripletos de

frequências que contribuem para o momento 1 2 3( )E YY Y (ilhas de ressonância).

Fig. 21. Biespetro cruzado associado ao cumulante E(Y1Y2Y3) para as frequências f1, f2, f3

em ciclos por século associadas às componentes Y1, Y2 e Y3 respetivamente. As linhas

pretas e vermelhas delimitam as ilhas de ressonância no domínio espetral.

A este respeito, note-se em particular o período 1962-1975 (assinalado na Fig. 20)

em que há uma dominância em das frequências 1f =28 ciclos por século (cps),

2f =55 cps e 3f =27 cps. Quando para o biespectro contribui um número reduzido


de tripletos de frequências ao contrário de um biespetro contínuo associado a uma

tríada de ruídos brancos, então tal pode constituir uma fonte de predictabilidade

no sentido em que a ocorrência (incidência) mais ou menos prolongada de um

tripleto de frequências ressonantes com ondas interagindo construtivamente pode,

devido à sua persistência no tempo, servir para a previsão não linear de uma

componente a partir do produto das outras. Tal é mostrado na Fig. 22 através da

correlação desfasada cruzada entre ( )iY t com em meses e ( ) ( )j kY t Y t em que

se avalia a predictabilidade de uma componente no futuro (e.g. El-Niño 1Y ) com

base no produto atrasado das outras duas componentes da tríada. Note-se por

exemplo os elevados valores 1 2 3| [ ( ), ( ) ( )] | 0.2cor Y t Y t Y t para prazos de=120,

150 e 190 meses. Este tipo de predictabilidade não linear interanual e intranual de

certos índices de larga escala da SST e outros campos pode ser importante para a

previsão a longo prazo de impactos desses índices como a seca tratada neste livro.

Fig. 22. Correlogramas cruzados de 1 2 3[ ( ), ( ) ( )]cor Y t Y t Y t (preto),

2 1 3[ ( ), ( ) ( )]cor Y t Y t Y t (vermelho) e 3 1 2[ ( ), ( ) ( )]cor Y t Y t Y t (verde).

5 Conclusões

A inferência estatística otimizada para distribuições Gaussianas é aplicável em

distribuições não-Gaussianas mas com um desempenho inferior. Deste modo

apresentam-se exemplos de variáveis estatísticas exploratórias que descrevem

melhor a variabilidade não-Gaussiana de certos campos geofísicos bem como as

suas interdependências. Em particular mostram-se as limitações das correlações

lineares entre um preditor X (e.g. um índice de circulação atmosférica de larga

escala) e um preditando Y (e.g. um índice de seca) e como estas se devem

generalizar para correlações assimétricas, válidas em certos sub-domínios de X e

Y. Mostra-se também como correlações não lineares podem ser relevantes na

média condicional E(Y|X). Outro exemplo ocorre na separação da variabilidade

multivariada em fontes estatísticas independentes. Estas, sendo mais

independentes que as componentes principais (válidas no paradigma Gaussiano),

tem melhor desempenho na inferência Bayesiana. Como aplicação calcularam-se

as componentes independentes do campo da pressão na região Euro-Atlântica

pondo em evidência a alternância entre fases positiva e negativa da Oscilação do

Atlântico Norte e um outro par de regimes, suscetível de corresponder a uma outra

oscilação com dipolos centrados no mar Báltico e na Gronelândia. É feita a


generalização a fontes estatísticas vetoriais (díadas e tríadas não-Gaussianas) que

acomodam de modo mais eficaz certas correlações não lineares, não exprimíveis

em termos de componentes escalares. O teste é executado na variabilidade mensal

de inverno no Hemisfério Norte (HN) através de um modelo quase-geostrófico

(QG3), simulador da variabilidade lenta da atmosfera. Neste caso, os regimes

atmosféricos do HN (AO+, AO-, NAO-. NAO+) ficam alinhados ao longo da

curva principal que caracteriza a fonte diádica dominante. As fontes diádicas e

triádicas permitem a formulação de variáveis exploratórias não lineares com

melhor desempenho na inferência. Finalmente as distribuições não-Gaussianas

permitem a generalização do conceito de teleconexões envolvendo 3 (ou mesmo

mais) regiões ou projeções em padrões, descorrelacionadas 2 a 2 mas que não são

globalmente independentes entre si como por exemplo numa tríada em que uma

componente está correlacionada com o produto das outras duas em resultado de

sinergias (o valor dessa correlação é a chamada correlação triádica). Este tipo de

fenómeno mostrou-se acontecer no modelo QG3 e também no campo das

anomalias mensais da temperatura da superfície do mar. Neste caso ocorre uma

tríada entre índices de padrão relevantes no Oceano Pacífico: o El-Niño, a

oscilação decadal do Pacífico (PDO) e o índice do Dipolo do Pacífico Sul

(SPOD). A correlação triádica tem uma assinatura espetral no biespetro cruzado

em que ocorrem certas ‘ilhas de ressonância’ potenciadoras da predictabilidade e

que podem ser usadas para previsão intranual e interanual nos eventos de maior

persistência da interação construtiva entre as 3 ondas intervenientes. Os preditores

não lineares obtidos das tríadas são utilizáveis para diagnóstico, downscaling e

previsão de indicadores climáticos à superfície (e.g. seca).

Agradecimentos

Este estudo foi financiado pela FCT através do projecto

PTDC/GEOMET/3476/2012 “Avaliação da Predictabilidade e hibridação de

Previsões sazonais de seca na Europa Ocidental – PHDROUGHT”.

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