Giovani L. Vasconcelos Rio de Janeiro, 09 de novembro de

2007

Modelos Não Gaussianos para Precificação de Opções

Universidade Federal de PernambucoUniversidade Federal de PernambucoDepartamento de FísicaDepartamento de Física

Colaboradores: Rogério Costa, Antônio Mário Ramos, José Augusto Carvalho Filho, Domingos Salazar

O que são “Opções”?

Roteiro

Hipótese do mercado eficiente e

o movimento browniano

Modelo de Black-Scholes

Conclusões

Análise do Ibovespa

Breve histórico

Modelo Exponencial para Opções

Mercado de Opções

Uma opção é um contrato que dá o direito, mas não a obrigação, de comprar ou vender um determinado ativo S por um preço K pré-

determinado (preço de exercício) em um tempo T futuro (vencimento).

se S(T) < K, o titular não exerce a opção.

se S(T) > K, o titular exerce a opção. Compra por K, revende no mercado por S e embolsa a

diferença (S-K).

Opção de Compra Opção de Compra (Call)(Call)Na data T do vencimento:

Mercado de Opções

Surge então a seguinte Surge então a seguinte questão:questão:

Quanto deve valer um contrato de Quanto deve valer um contrato de opção?opção?

Quanto deve valer um contrato de Quanto deve valer um contrato de opção?opção?

Uma opção representa um direito. Logo, é necessário

que se pague por tal direito.

Para responder essa questão é necessário modelar a dinâmica de preços do ativo S de referência.

1600’s - Holanda: “Bolha da Tulipa” Opções.

1900 - Louis Bachelier defende a tese “Théorie de la Especulation”, em que modela preços como um movimento browniano.

1955 - Paul Samuelson – Moderna teoria de apreçamento: logaritmo dos preços descreve um MB.

1970 - Eugene Fama – Hipótese do Mercado Eficiente

Breve Histórico

1963 – Benoit Mandelbrot propõe distribuições de Levy (não-gaussianas) para

os retornos. 1973 – Opções começam a ser negociadas

na Bolsa de Opções de Chicago (CBOT). 1973 - Fischer Black, Myron Scholes e

Robert Merton desenvolvem o “Modelo de Black-Scholes” para opções.

1979 – Bovespa lança opções em ações. Década de 90 – Nasce a “Econofísica”.

Breve Histórico

Breve Histórico 1997 - Merton e Scholes recebem o Nobel

de economia.

Hipótese do Mercado Eficiente

Em um mercado eficiente o preço atual reflete toda

informação disponível.

O passado não contém qualquer informação que já não

esteja incorporada no preço atual.

Preços variam com a chegada de novas informações

flutuações imprevisíveis descrição probabilística

Variações futuras do preço são independentes das

variações anteriores.

preços seguem um movimento browniano!

Movimento Browniano

1827- Robert Brown estuda grãos de pólen em suspensão na água e observa o movimento errático de partículas.

Reprodução (1992): partículas de gorduras do leite em suspensão .Microscópio original de Brown

Movimento Browniano

1905- Einstein formula e resolve o problema

Tratamento estatístico: movimentos sucessivos são mutuamente independentes

processo de difusão

Distribuição Gaussiana

probabilidade

posição

deslocamento quadrático médio:

2/12 ][ txExrms

Retornos x(t) = ln[S(t)] seguem um movimento browniano:

x(t+1) = x(t) + flutuação aleatória

Em tempo contínuo:

Hipótese do Mercado Eficiente

Distribuiçao gaussiana (normal) para os retornos:

ruído brancoamplitude das flutuações

deriva

Preço S(t) segue uma distribuiçao log-normal.

Ativo livre de risco (conta bancária):

Ativo de risco S segue um MB geométrico:

R(t) = + (t)

• Distribuição log-normal para S(t):

Modelo de Black-Scholes

rBdt

dB

StRdt

dS)(

volatilidade ruído brancotaxa média de retorno

taxa de juros

t

tS

SttSp

2

22

2 2

)2/(lnexp

2

1),(

Abordagem Neutra a Risco (Merton)

Em um mundo “indiferente ao risco”:

O “preço justo” da opção C é o valor esperado do ganho futuro corrigido a tempo presente:

• Opção de compra:

= r

C(S,t) = e-r(T-t) E[C(S,T)]rn

C(S,T) = max(S-K,0)

Fórmula de Black e Scholes

A fórmula de Black-Scholes encontra-se disponível em qualquer calculadora moderna com funções financeiras!

Análise do Ibovespa

Os sucessivos retornos são independentes?

A distribuição é gaussiana?

RetornosIbovespa

Expoente de Hurstdesvio padrão t H

H = 1/2 : sem memória (mov. browniano)

H ≠ 1/2 : efeitos de memória (correlação)

Memória persiste até 6 meses!

Similar a outros mercados emergentes.

Dependência no tempo

movimento browniano

Plano Collor

Mercado brasileiro tornou-se mais eficiente com a abertura da economia

Costa e Vasconcelos, Physica A, 2003

Scientific American Brasil, agosto de 2004

Histograma dos Retornos

região linear distribuição exponencial!

J.A. Carvalho-Filho, 2004

Modelo Exponencial para Retornos

Condição de normalização

Escolhendo covenientemente

Obtemos, usando as duas igualdades, as expressões

Consequentemente

Cotações Cotações “Intraday”“Intraday”

Exponencial para > 1h

Lei de potência para < 1h

J.A. Carvalho-Filho, 2004

Cotações Cotações “Intraday”“Intraday”

A. A. G. Cortines, R. Riera, Physica A 2007

variância:

Distribuições com lei de potência

Distribuição de Tsallis (ou q-gaussiana)

Cauda com lei de potência:

Análise Empírica do IbovespaAnálise Empírica do Ibovespa

Distribuição de TsallisDistribuição de Levy

A. M. T. Ramos, 2007

Ajuste Empírico ao IbovespaAjuste Empírico ao Ibovespa

A. A. G. Cortines, R. Riera, Physica A 2007

q=1.64

q-gaussiana exponencialmente

truncada

q-gaussiana

q=1.75

Aplicando a abordagem neutra a risco:

Modelo Exponencial para OpçõesModelo Exponencial para Opções

Resulta uma fórmula explícita para o preço da opção:

Dois parâmetros não conhecidos e

neutralidade a risco:

McCauley, Gunaratne, Physica A 2003

Comparação entre os Modelos para Comparação entre os Modelos para OpçãoOpção

T = 14 diasT = 36 dias

Série IBOVL, vencimento 13/12/2006

gaussiano é melhor exponencial é melhor

A. M. T. Ramos, 2007

Próximo do vencimento o modelo exponencial é melhor

Em alguns casos o ajuste exponencial apresenta resíduo bem menor do que o gaussiano.

Comparação entre os Modelos para Comparação entre os Modelos para OpçãoOpção

Outros Modelos Alternativos de Outros Modelos Alternativos de OpçõesOpções

Modelos com Distribuição de Lévy Truncada (A. Matacz, Int. J. Theor. Appl. Finance, 2000)

Modelos com processos de Lévy

(“Lévy Processes in Finance”, Wim Schoutens, 2001)

Modelo q-Gaussiano (L. Borland, PRL 2002): fórmula explícita aproximada.

Modelo de “Black-Scholes Fracionário” (C.

Necula, 2002; Cajueiro e Barbachan, 2003): retornos seguem um movimento browniano fracionário, H ≠ 1/2.

Modelos com Volatilidade Estocástica.

Conclusões e Conclusões e DesafiosDesafios

Retornos seguem uma distribuição exponencial para 1 h < < 30 dias, e q-gaussiana para < 1 h.

Presença de correlações (H > 0.5) no Ibovespa antes, e mais eficiência (H 0.5), após o Plano Collor.

O modelo exponencial descreve melhor o mercado de opções do Ibovespa próximo do vencimento.

Efeitos não-gaussianos são abundantes no mercado financeiro.

Como utilizar modelos não-gaussianos de opções para gerar estratégias de investimento?

ApoioApoio