Met Comp

Metodos Computacionais em Fısica

Erica PolycarpoSandra Amato

Instituto de FısicaUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Segundo Semestre de 2008

Met Comp

Metodos Computacionais em Fısica

1 Determinacao de RaızesMetodo da BissecaoMetodo de Newton-Raphson

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Determinacao de Raızes de Funcoes

Em muitos problemas e necessario encontrar a solucao daequacao f (x) = 0 e sao muito frequentes os casos em quea solucao so pode ser obtida numericamente.

Exemplo: Encontre as raızes da seguinte equacaotranscendental:

f (x) = e−x − sin(πx2

)= 0.

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Determinacao de Raızes de Funcoes

Em muitos problemas e necessario encontrar a solucao daequacao f (x) = 0 e sao muito frequentes os casos em quea solucao so pode ser obtida numericamente.Exemplo: Encontre as raızes da seguinte equacaotranscendental:

f (x) = e−x − sin(πx2

)= 0.

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Determinacao de Raızes de Funcoes

Em muitos problemas e necessario encontrar a solucao daequacao f (x) = 0 e sao muito frequentes os casos em quea solucao so pode ser obtida numericamente.Exemplo: Encontre as raızes da seguinte equacaotranscendental:

f (x) = e−x − sin(πx2

)= 0.

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo da Bissecao

Ü Sabemos visualmente onde estao as raızes pelamudanca de sinal da funcao.

Ü Escolhemos um intervalo onde ha uma unica raizÜ A raiz esta entre entre x = a e x = b tais quef (a)f (b) < 0.Ü O ponto medio e uma primeira aproximacao para aposicao da raiz. Iterando ...

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo da Bissecao

Ü Sabemos visualmente onde estao as raızes pelamudanca de sinal da funcao.Ü Escolhemos um intervalo onde ha uma unica raiz

Ü A raiz esta entre entre x = a e x = b tais quef (a)f (b) < 0.Ü O ponto medio e uma primeira aproximacao para aposicao da raiz. Iterando ...

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo da Bissecao

Ü Sabemos visualmente onde estao as raızes pelamudanca de sinal da funcao.Ü Escolhemos um intervalo onde ha uma unica raizÜ A raiz esta entre entre x = a e x = b tais quef (a)f (b) < 0.

Ü O ponto medio e uma primeira aproximacao para aposicao da raiz. Iterando ...

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo da Bissecao

Ü Sabemos visualmente onde estao as raızes pelamudanca de sinal da funcao.Ü Escolhemos um intervalo onde ha uma unica raizÜ A raiz esta entre entre x = a e x = b tais quef (a)f (b) < 0.Ü O ponto medio e uma primeira aproximacao para aposicao da raiz.

Iterando ...

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo da Bissecao

Ü Sabemos visualmente onde estao as raızes pelamudanca de sinal da funcao.Ü Escolhemos um intervalo onde ha uma unica raizÜ A raiz esta entre entre x = a e x = b tais quef (a)f (b) < 0.Ü O ponto medio e uma primeira aproximacao para aposicao da raiz. Iterando ...

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Encerrando um Algoritmo

Ü Se a solucao do problema e xraiz e a precisao desejadae ε, estamos procurando um ponto xN tal que

|xN − xraiz | < ε

Ü Mas nao conhecemos xraiz !Ü Se a sequencia {xi} converge para xraiz devemos ter:

|xN+1 − xN | < ε

Ü Esse e um criterio de convergencia muito usado

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Encerrando um Algoritmo

Ü Se a solucao do problema e xraiz e a precisao desejadae ε, estamos procurando um ponto xN tal que

|xN − xraiz | < ε

Ü Mas nao conhecemos xraiz !

Ü Se a sequencia {xi} converge para xraiz devemos ter:

|xN+1 − xN | < ε

Ü Esse e um criterio de convergencia muito usado

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Encerrando um Algoritmo

Ü Se a solucao do problema e xraiz e a precisao desejadae ε, estamos procurando um ponto xN tal que

|xN − xraiz | < ε

Ü Mas nao conhecemos xraiz !Ü Se a sequencia {xi} converge para xraiz devemos ter:

|xN+1 − xN | < ε

Ü Esse e um criterio de convergencia muito usado

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Encerrando um Algoritmo

Ü Se a solucao do problema e xraiz e a precisao desejadae ε, estamos procurando um ponto xN tal que

|xN − xraiz | < ε

Ü Mas nao conhecemos xraiz !Ü Se a sequencia {xi} converge para xraiz devemos ter:

|xN+1 − xN | < ε

Ü Esse e um criterio de convergencia muito usado

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Encerrando um Algoritmo

Ü Se a solucao do problema e xraiz e a precisao desejadae ε, estamos procurando um ponto xN tal que

|xN − xraiz | < ε

Ü Mas nao conhecemos xraiz !Ü Se a sequencia {xi} converge para xraiz devemos ter:

|xN+1 − xN | < ε

Ü Esse e um criterio de convergencia muito usado

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo da Bissecao - Observacoes

O metodo sempre converge para uma raiz caso ela exista eesteja no intervalo inicial, mas nao funciona em algumassituacoes:

8 varias raızes8 singularidades8 pontos extremos8 pode ser muito

lento

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo da Bissecao - Observacoes

O metodo sempre converge para uma raiz caso ela exista eesteja no intervalo inicial, mas nao funciona em algumassituacoes:

8 varias raızes

8 singularidades8 pontos extremos8 pode ser muito

lento

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo da Bissecao - Observacoes

O metodo sempre converge para uma raiz caso ela exista eesteja no intervalo inicial, mas nao funciona em algumassituacoes:

8 varias raızes8 singularidades

8 pontos extremos8 pode ser muito

lento

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo da Bissecao - Observacoes

O metodo sempre converge para uma raiz caso ela exista eesteja no intervalo inicial, mas nao funciona em algumassituacoes:

8 varias raızes8 singularidades8 pontos extremos

8 pode ser muitolento

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo da Bissecao - Observacoes

O metodo sempre converge para uma raiz caso ela exista eesteja no intervalo inicial, mas nao funciona em algumassituacoes:

8 varias raızes8 singularidades8 pontos extremos8 pode ser muito

lento

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Algoritmo

m Escolher visualmente xmin e xmax

m Solicitar xmin e xmax e verificar se esses limites delimitamuma raiz (f (xmin)f (xmax) < 0)

m se delimitam, repetir enquanto xmax − xmin > precisao e onumero de iteracoes < limite :

Ü contar o numero de iteracoesÜ calcular o valor medio (xmedio)Ü calcular a funcao no ponto medio: f (xmedio)Ü escolher o intervalo entre xmin e (xmedio) ou entre (xmedio) e xmax :

Se f (xmin)f (xmedio) < 0 (intervalo da esquerda): xmax = xmedio

Senao (intervalo da direita): xmin = xmedio

m escrever numero de iteracoes e raiz=xmedio

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RaızesBissecao

Newton-Raphson

Exercıcio

8 Escreva um programa que implemente o algoritmo dometodo da bissecao. Aplique-o para encontrar as raızes daequacao:

f (x) = e−x − sin(πx

2

)= 0.

8 O programa deve imprimir, alem da raiz, o numero deiteracoes utilizadas8 Usando o gnuplot faca um grafico da funcao indicando ointervalo inicial.

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Um metodo do seculo 17

8 O metodo foi publicado pela primeira vez em 1690 porJoseph Raphson (1648-1715). Entre suas obras ha umatraducao de uma obra de Newton (Arithmetica Universalis)para o ingles.8 Isaac Newton (1643-1727) desenvolveu o mesmometodo, de forma independente, em 1671 mas nao opublicou em vida.8 E o metodo mais usado para se encontrar as raızes deuma equacao.

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson

Ü Em vez de escolher um intervalo

⇒ use a reta tangente.Ü O ponto em que a reta corta o eixo e o candidato a raizÜ Iterando . . .

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson

Ü Em vez de escolher um intervalo ⇒ use a reta tangente.

Ü O ponto em que a reta corta o eixo e o candidato a raizÜ Iterando . . .

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson

Ü Em vez de escolher um intervalo ⇒ use a reta tangente.Ü O ponto em que a reta corta o eixo e o candidato a raiz

Ü Iterando . . .

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson

Ü Em vez de escolher um intervalo ⇒ use a reta tangente.Ü O ponto em que a reta corta o eixo e o candidato a raizÜ Iterando . . .

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Ilustracao

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Ilustracao

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Ilustracao

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Ilustracao

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Ilustracao

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento

8 Cuidado: O ponto inicial nao pode ser qualquer um.

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento

8 Cuidado: O ponto inicial nao pode ser qualquer um.8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:

r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento

8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:

r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)

8 Calculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente anotacao:

0 = f (xi) + (xi+1 − xi) f ′(xi)

−f (xi) = (xi+1 − xi) f ′(xi)

− f (xi)

f ′(xi)= (xi+1 − xi)

xi+1 = xi −f (xi)

f ′(xi)

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento

8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:

r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)

8 Calculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente anotacao:

0 = f (xi) + (xi+1 − xi) f ′(xi)

−f (xi) = (xi+1 − xi) f ′(xi)

− f (xi)

f ′(xi)= (xi+1 − xi)

xi+1 = xi −f (xi)

f ′(xi)

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento

8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:

r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)

8 Calculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente anotacao:

0 = f (xi) + (xi+1 − xi) f ′(xi)

−f (xi) = (xi+1 − xi) f ′(xi)

− f (xi)

f ′(xi)= (xi+1 − xi)

xi+1 = xi −f (xi)

f ′(xi)

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento

8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:

r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)

8 Calculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente anotacao:

0 = f (xi) + (xi+1 − xi) f ′(xi)

−f (xi) = (xi+1 − xi) f ′(xi)

− f (xi)

f ′(xi)= (xi+1 − xi)

xi+1 = xi −f (xi)

f ′(xi)

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento

8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:

r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)

8 Calculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente anotacao:

0 = f (xi) + (xi+1 − xi) f ′(xi)

−f (xi) = (xi+1 − xi) f ′(xi)

− f (xi)

f ′(xi)= (xi+1 − xi)

xi+1 = xi −f (xi)

f ′(xi)

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Metodo de Newton-Raphson - Detalhamento

8 Equacao da reta tangente a curva f (x) no ponto x0:

r(x) = f (x0) + (x − x0) f ′(x0)

8 Calculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente anotacao:

0 = f (xi) + (xi+1 − xi) f ′(xi)

−f (xi) = (xi+1 − xi) f ′(xi)

− f (xi)

f ′(xi)= (xi+1 − xi)

xi+1 = xi −f (xi)

f ′(xi)

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Exercıcio

8 Escreva um algoritmo que procure a raiz de uma equacaopelo metodo de Newton Raphson.

8 Escreva um programa que implemente o algoritmo dometodo de Newton Raphson. Aplique-o para encontrar asraızes da equacao:

f (x) = e−x − sin(πx

2

)= 0.

8 O programa deve imprimir, alem da raiz, o numero deiteracoes utilizadas8 Compare o resultado com o obtido pelo metodo dabissecao.

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Exercıcio

8 Escreva um algoritmo que procure a raiz de uma equacaopelo metodo de Newton Raphson.8 Escreva um programa que implemente o algoritmo dometodo de Newton Raphson. Aplique-o para encontrar asraızes da equacao:

f (x) = e−x − sin(πx

2

)= 0.

8 O programa deve imprimir, alem da raiz, o numero deiteracoes utilizadas8 Compare o resultado com o obtido pelo metodo dabissecao.

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Observacoes

Ü O metodo de Newton Raphson pode resolver casos emque o metodo da bissecao falha.

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Observacoes

Ü O metodo de Newton Raphson pode resolver casos emque o metodo da bissecao falha.

Ü Nem sempre converge!

Met Comp

RaızesBissecao

Newton-Raphson

Observacoes

Ü O metodo de Newton Raphson pode resolver casos emque o metodo da bissecao falha.

Ü Nem sempre converge!Ü O calculo da derivada pode ser um problema!

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RaızesBissecao

Newton-Raphson

Observacoes

Ü O metodo de Newton Raphson pode resolver casos emque o metodo da bissecao falha.

Ü Nem sempre converge!Ü O calculo da derivada pode ser um problema!Ü Em geral o metodo de Newton-Raphson e mais

eficiente mas ha casos em que e melhor usar outrosmetodos.

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RaızesBissecao

Newton-Raphson

BOA PROVA