trabalho metodos

Índice

Conteúdo Introdução ................................................................................................................................ 2

Modelação do problema ........................................................................................................... 4

Interpolador de Lagrange .................................................................................................. 7

Interpolador de Newton .................................................................................................... 9

Interpolador de Gregory-Newton .................................................................................... 11

Métodos dos Minímos Quadrados Polinomiais ................................................................ 12

Método dos Minímos Quadrados não Polinomiais ........................................................... 14

Interpolador de Lagrange .................................................................................................... 15

Interpolador de Newton ...................................................................................................... 33

Método Interpolador de Gregory-Newton ........................................................................... 80

Método dos minímos quadrados polinomiais .................................................................... 102

Métodos dos Minímos Quadrados não Polinomiais ........................................................... 129

Conclusão ............................................................................................................................. 154

Bibliografia ........................................................................................................................... 156

Anexos .................................................................................................................................. 158

Modelagem do controle postural humano durante postura erecta Página 2

Introdução Desde que nós humanos adoptamos a postura erecta bípede, temos sido

desafiados pela força de gravidade para manter o equilibrio do corpo sobre uma

pequena área de suporte delimitada pelos pés. Quando permanecemos parados, não

permanecemos sem movimento, óscilamos.

Este problema consiste em determinar a aproximação aos polinómios que

calculem a maneira como os seres humanos controlam o equilíbrio na postura erecta,

que se refere ao alinhamento corporal tentando manter o Centro Geométrico num limite

óptimo de equilibrio, uma vez que esta não é totalmente compreendida e tendo em conta

que esta questão constitui uma preocupação relevante.

Para o cumprimento da regulação do equilibrio, o sistema de controle postural

necessita de informações sobre as posições relativas dos segmentos do corpo e da

magnitude das forças que actuam sobre o corpo.

Tem sido reportado que durante a manutenção da postura erecta em resposta a

perturbações ou durante deslocamentos voluntários do centro de gravidade, as

estratégias de movimento e padrões de actividade muscular podem ser organizados em

estratégia do quadril, do tornozelo e do passo. Durante a tarefa de manutençao da

postura erecta em situação normal, são observados padrões de movimento articular que

envolvem uma combinação destas diferentes estratégias ao mesmo tempo. Apesar deste

factor, o entendimento do processo de controle postural através destas estratégias é

interessante e útil, por decompor movimentos complexos em estruturas mais simples

como mostra a fig1.

Fig 1 – três estratégias posturais usadas

normalmente pelos adultos no controle da

postura erecta: estratégia do tornozelo, do

quadril e do passo (da esquerda para a direita,

respectivamente).


Considerando o corpo no plano sagital representado por dois segmentos rigidos,

os pés e o resto do corpo, sendo que os pés se encontram fixos ao chão e o resto do

corpo comporta-se como um segmento rígido articulado no pé por uma articulação tipo

dobradiça. Assim é utilizado um modelo de um pêndulo simples (pêndulo invertido)

para representar a dinâmica do sistema-musculo-esqueléctico humano no plano sagital

de uma forma bastante simplificada com o intuito de mostrar os conceitos básicos da

modelagem fisico-matemática.

Simplificadamente, a tarefa de sistema de controlo postural é manter a projecção

vertical do centro de gravidade ou do centro de massa de um indivíduo dentro da base

de suporte, tratando-se no nosso caso de um indivíduo de 80kg e de 1.80m.


Modelação do problema No intuito de facilitar o diagnóstico precoce de disfunções que afectam o controle

postural humano, a modelagem teórica aliada à simulação computacional emerge como

opção utilizada pelos pesquisadores. Assim, para a resolução deste problema, utilizámos

os seguintes métodos: Polinómio Interpolador de Lagrange, Polinómio Interpolador de

Newton, Polinómio Interpolador de Gregory-Newton, Método dos mínimos quadrados

com funções polinomiais e Método dos Mínimos Quadrados com funções não

polinomiais.

Relativamente a estes métodos utilizamos diversas componentes, tal como,

Excel, CoNum, Freemat, , Matlab,Octave, Scilab e Maxima.

O nosso problema inciou-se com a selecção dos 40 pontos, retirados do gráfico

seguinte:

Fig2 – Sinal da excitação neural para um sistema muscular agonista-antagonista.


Deste gráfico retirámos 40 pontos igualmente espaçados e 40 pontos não espaçados,

mas optámos por utilizar os pontos de igual espaçamento devido ao facto de um dos

métodos utilizados assim o exigir.

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f(x) 0,04 0,16 0,1

-0,08 -0,2 -0,01 0,21 0,14 0,03 0,159

X 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f(x) 0,1 0,01 0,2 0,25 0,11 -0,03

-0,02 0,091 0,165 -0,05

X 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

f(x) -0,08 -0,18 0 0,05 -0,2 -0,31 0,16 0,3 0,02 -0,14

X 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

f(x) -0,07 0,109

-0,02

-0,02 0,05 0,059 -0,1 -0,04 0,12 0,015

Fig 3 – 40 pontos igualmente espaçados

X 0 0,5 1 2 4 6 7,5 7,98 8,8 10,2

f(x) -0,24 0,11 0,04 0,16 -0,08

-0,01 0,266 0,2 0,022 0,16

X 12,1 13,3 13,8 15 16 16,5 18 18,5 19,8 20

f(x) 0,011 0,2 0,27 0,11 -0,03

-0,05 0,091 0,101 0 -0,05

X 20,5 21,3 22 23,8 25 25,8 26,1 27,3 27,9 28,6

f(x) -0,05 -0,1 -0,18 0,12 -0,2

-0,34 -0,3 0,3 0,365 0,2

X 28,98 30 31 32 33,2 35 36 38 39 40

f(x) 0,1 -0,14

-0,07 0,109

-0,01 0,05 0,059 -0,04 0,12 0,015

Fig 4 – 40 pontos não igualmente espaçados


3.Métodos numéricos

Interpolação é um método que nos permite um novo conjunto de dados a partir de

um conjunto discreto de dados pontuais conhecidos. Em engenharia e ciências, dispõe-

se habitualmente de dados pontuais, obtidos a partir de uma amostragem ou

experimento. Através da interpolação pode-se construir um polinómio que

aproximadamente se “ajuste” nestes dados pontuais.

Uma outra aplicação da interpolação é aproximação de funções complexas por

funções mais simples. Suponhamos que temos uma função complicada para avaliar de

forma eficiente. Então, podemos escolher alguns dados pontuais da função complicada e

tentar interpolar esses dados para construir uma função mais simples. Também é de

salientar que quando utilizamos a função mais simples para calcular novos dados, é

normal não obter o mesmo resultado da função original, mas dependendo do domínio

do problema e do método de interpolação utilizado, o ganho de simplicidade pode

compensar o erro.

A interpolação permite fazer a reconstituição de um polinómio apenas conhecendo

algumas abcissas e as respectivas ordenadas (imagens). A função resultante passa nos

pontos fornecidos e, em relação aos outros pontos, pode ser um mero ajuste.

Fig 5 - Interpolação Polinomial de grau superior a 1


Fig 6 - Interpolação Polinomial de grau superior a 1

3.1.Interpolação Polinomial

Denomina-se por interpolação polinomial o processo matemático de

interpolação em que a função interpoladora é um polinómio. A função interpoladora é

uma função P (x).

Definidos num intervalo [a, b] contido IR e uma função f : [a, b] IR,

denomina-se interpolação um processo de avaliar f (x), qualquer que seja x Є [a, b],

substituindo-se a função f (x) pela função interpoladora P (x), de modo que P (xi) = f

(xi), qualquer que seja i Є [1, n] (contido nos números naturais). Assim, f (x) é uma

função real, definida em [a, b] contida em IR, da qual conhecemos os valores das

abcissas, assim como as suas ordenadas (imagens).

Métodos de interpolação polinomial

Interpolador de Lagrange

O método que estudei foi o método desenvolvido pelo senhor Joseph Louis

Lagrange, interpolador de LaGrange.

Interpolador está fortemente ligado ao termo interpolação.E interpolação consiste

em determinar uma função, que assume valores conhecidos (chamados nós de

interpolação).


Ou seja, significa que podemos fazer uma aproximação a uma função conhecendo

apenas algumas das coordenadas do gráfico dessa função, ou seja, utilizando as

abscissas (eixo dos xx) e as ordenadas respectivas (eixo dos yy – imagem do objecto).

Esta é uma técnica que junta esse conjunto de pontos por linhas, como mostra a fig

seguinte:

Fig 7 - Um Polinómio de 3ºgrau interpola a função em 4 pontos

A ideia base da interpolação por Lagrange é, dados n pontos, obter uma série de n

polinómios de tal forma a que cada um deles se anula em todos os pontos conhecidos

menos 1. O polinómio interpolador será a soma desses polinómios (ver figura

seguinte).

O método do interpolador permite assim construir um conjunto de dados a partir de

dados previamente conhecidos, que podem ser obtidos através de uma amostragem ou


de uma experiência. No meu caso, obtive esses dados a partir do gráfico presente no

enunciado do trabalho e foi com esses dados que trabalhei com o método acima dito.

Este tipo de método é tambem muito útil para, a partir desses dados conhecidos,

obtermos uma funçao mais simples, no caso de a funçao inicial ser demasiado complexa

para se trabalhar.

A expressão geral do método interpolador de Lagrange é:

Sabendo que:

Lk(x)= nkXnxkXkxkXkxkxxk

XnxXkxXkxxx,...,0,

))...(1)(1)...(0(

))...(1)(1)...(0(

A nova função encontrada é Pn(x), pois Pn (xi) = fi. As novas ordenadas dos pontos

encontram-se substituindo na nova função o X pela abcissa do ponto em questão.

Interpolador de Newton

O método interpolador de newton trata de uma fórmula alternativa para o cálculo do

polinómio interpolador, baseada numa construção sucessiva a partir dos polinómios de

graus inferiores. Para estabelecer essa fórmula convém introduzir a noção de diferença

dividida.

As diferenças divididas são razões incrementais e constituem aproximações

discretas de derivadas, desde que se utilizem pontos suficientemente próximos.

Fórmula de Newton

Portanto, podemos agora escrever

pn(x) = pn-1(x) + f [ x0 , ... , xn ] (x - x0) ... ( x - xn-1)

e podemos obter sucessivamente, a partir do polinómio interpolador de grau zero

p0(x)=f0 :

p1(x) = f0 + f [ x0 , x1 ] ( x - x0)


p2(x) = f0 + f [ x0 , x1 ] ( x - x0) + f [ x0 , x1, x2 ] ( x - x0) ( x - x1)

... etc ...

Deduzimos assim a Fórmula Interpoladora de Newton :

pn(x) = f0 +

n

S

k=1

f [x0 , ... , xk] (x - x0 ) ... (x - xk-1)

Para resolver este problema pelo método de interpolação de Newton, foram utilizados

os seguintes programas: Excel, freemat, conum, matlab e máxima.

Para uma melhor solução do problema em causa foi resolvido por ramos e

posteriormente por uma única função, para assim poder comparar a discrepância dos

valores e o próprio erro atribuído pelos computadores. Quanto à solução em ramos, os

pontos foram divididos nos seguintes intervalos: [1;5], [5;10], [10;15], [15;20], [20;25],

[25;30], [30;35], [35;40].


Interpolador de Gregory-Newton

Quando os valores das abcissas xi são igualmente espaçados, o interpolador de Newton

pode ser simplificado, resultando assim o interpolador de Gregory-Newton. Portanto, o

polinómio de Gregory-Newton é um caso particular do polinómio de Newton para

pontos igualmente espaçados.

Conceito de diferença finita

Considerando um conjunto de pontos {(x0,y0), (x1,y1),…,(xn,yn)}.

O conceito de diferença finita só é válido apenas quando xi-xi-1=h, i=1,…,n.

diferença finita de ordem de zero, relativamente a yi é dada pelo valor da função em yi,

ou seja, ∆0yi = yi.

A diferença finita de primeira ordem, relativamente a yi e yi+1 relaciona as diferenças

finitas anteriores, ou seja ordem zero, sendo dada por

∆1yi = yi+1-yi = ∆

0yi+1-∆

0yi.

As diferenças finitas da k-ésima ordem relaciona as diferenças finitas de ordem k-1 e

são determinadas através da seguinte fórmula

∆kyi = ∆

k-1yi+1-∆

k-1yi

É possível construir uma tabela das diferenças finitas com todas as ordens, sendo

organizada da seguinte forma,


TABELA DAS DIFERENÇAS FINITAS

i xi ∆0yi = yi = f(xi) ∆

1yi ∆

2yi … ∆

kyi

0 x0 f(x0) ∆1f(x0) ∆

2f(x0) … ∆

kf(x0)

1 x1 f(x1) ∆1f(x1) ∆

2f(x1) … -----

2 x2 f(x2) ∆1f(x2) ∆

2f(x2) … -----

… … … … … … -----

n-2 xn-2 f(xn-2) ∆1f(xn-2) ∆

2f(xn-2) ----- -----

n-1 xn-1 f(xn-1) ∆1f(xn-1) ----- ----- -----

n xn f(xn) ------ ----- -----_ -----

O polinómio de interpolação

Estabelece-se a seguinte forma para o polinómio de interpolação (Interpolador de

Gregory-Newton):

))()((!

)(...))((

!2

)()(

!1

)()()( 110

0

102

0

2

0

0

1

0 nn

n

n xxxxxxhn

xfxxxx

h

xfxx

h

xfxfxP

Observar que os pontos de interpolação devem ser igualmente espaçados, com um passo

h, ou seja:

x1 = xo+h x2 = x1+h …. xn = xn-1+h

ou, equivalentemente, xj = xo+jh, j = 0, 1, …, n

Métodos dos Minímos Quadrados Polinomiais

Teoria da aproximação - métodos dos mínimos quadrados

O método dos mínimos quadrados tem como objectivo determinar funções que

melhor aproximam um conjunto de dados (caso discreto) ou uma função definida num

intervalo (caso contínuo). Para tal, determina-se uma função p que minimize a função

erro definida por E=2 no caso discreto e E=

2dx no

caso continuo.


Caso seja um polinómio, designamos por regressão polinomial (em particular, se

for um polinómio de grau 1 designamos por regressão linear).

Um requisito implícito para o método dos mínimos quadrados trabalhar é que os

erros em cada medida sejam distribuídos aleatoriamente com função densidade

gaussiana, e que os resíduos sejam independentes. O Teorema Gauss-Markov garante

(embora indirectamente) que o estimador de mínimos quadrados EMQ é o estimador

não-viesado de variância mínima linear na variável resposta.

A técnica dos mínimos quadrados é comummente usada em ajuste de curvas.

Muitos outros problemas de optimização podem também ser expressos na forma dos

mínimos quadrados, por minimização (energia) ou maximização (entropia).

O método dos mínimos quadrados ordinários é a forma de estimação mais

amplamente utilizada na econometria. Consiste em um estimador que minimiza a soma

dos quadrados dos resíduos da regressão, de forma a maximizar o grau de ajuste do

modelo. (R²)

Caso discreto

No caso discreto é nos dado por exemplo um conjunto de pontos

{(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}, e com estes pontos pretendemos determinar um polinómio

de grau máximo k, Pk(x)=a0+ a1x+a2x2+…+ akx

k, que minimize a função E, onde E é

dada por:

E=2

Mas para minimizar a função E é necessário resolver o sistema constituído pelas

equações normais:

http://thinkfnwiki.com/wiki/index.php?title=Distribui%C3%A7%C3%A3o_aleat%C3%B3ria&action=edit

http://thinkfnwiki.com/wikibolsa/Fun%C3%A7%C3%A3o_densidade

http://thinkfnwiki.com/wikibolsa/Vi%C3%A9s

http://thinkfnwiki.com/wiki/index.php?title=Optimiza%C3%A7%C3%A3o&action=edit

http://thinkfnwiki.com/wikibolsa/Regress%C3%A3o


=0

=0

….

=0

O que simplificando é equivalente a :

a0 0+ a1

1+…+ak

k=

0

a0 1+ a1

2+…+ak

k=

1

….

a0 k+ a1

k+1+…+ak

2k=

k

Com o sistema é possível calcular o a0,a1,....ak, e com estes valores obtemos polinómio

de grau k.

É possível substituir o polinómio Pk(x), por outras funções, como por exemplo:

h(x)=beax

, h(x)=bxa,…..Para a determinação dos coeficientes a e b devem ser feitas as

devidas alterações no sistema.

Método dos Minímos Quadrados não Polinomiais

Método dos mínimos quadrados - funções não polinomiais

O método que eu vou estudar neste trabalho é o método dos mínimos quadrados

de funções não polinomiais. Este método é devido ao ilustre matemático alemão Johann

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que o descreveu aos dezoito anos (1795). O

objectivo deste método é encontrar o melhor ajustamento para um conjunto de dados tentando

minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre a curva ajustada e os dados. Assim

segundo o método dos mínimos quadrados o valor esperado ou o valor mais verosímil para a

grandeza Y a partir de N medidas yi, é aquele que minimiza a soma dos quadrados das

diferenças entre Y e yi, isto é, E = ∑ (Y-yi) 2 deve ser mínimo.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

http://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva


Um caso simples, em que se aplica esta teoria é o caso da regressão linear, em

que tentamos adaptar a um conjunto de pontos e valores dados, a "melhor recta", que

(neste caso) será a recta que minimiza a soma quadrática das diferenças entre os valores

dados aos valores da recta, nesses pontos.

Fig8. Regressão Linear: Neste caso pretendemos encontrar a função do tipo a + b x

(... ou seja, a recta) que "melhor se adapta" aos valores dados.

Esta é uma perspectiva discreta, em que o conjunto de valores dados é finito.

Podemos também pensar num caso contínuo, em que apesar de conhecermos a função,

não apenas em certos pontos, mas em todo um intervalo, estamos interessados em

aproximar essa função (... no sentido dos mínimos quadrados) por funções de uma outra

classe, mais adequada ao problema que pretendemos resolver.

Como utilizei o método dos mínimos quadrados de funções não polinomiais,

trabalhei quatro funções, onde as transformei em funções polinomiais e assim tornar

mais fácil a resolução ao problema.

Para tal resolução empreguei o auxílio computacional, tal como Matlab, Excel e

CoNum.

4.Resultados Computacionais

Interpolador de Lagrange Para efectuar este trabalho, utilizei o Microsoft Excel para realização de gráficos e

tabelas (apresentados em anexos). Utilizei também os programas Maxima (ver em


anexos) e Scilab para encontrar os vários polinómios de Lagrange, uma vez que dividi

os pontos de 5 em 5.

Após encontrar os polinómios no Maxima, copiei para o Excel e substitui o X pela

abcissa de cada ponto em estudo, a fim de obter a sua nova ordenada. Se o resultado

obtido com essa substituição fosse o mesmo que o teórico (igual às ordenadas retiradas

do gráfico do protocolo), o polinómio estaria corecto.

Para realizar este trabalho dividi os 40 pontos obrigatórios em ramos de 5 pontos.

Assim, obtive 8 polinómios diferentes, cada um para seu ramo. O primeiro polinómio

foi encontrado no programa Maxima e para confirmar, procurei cálculá-lo no Scilab.

O código que utilizei para utilizar o Scilab foi o seguinte:

function[P]=lagrange(X,Y)//X nodes,Y values;P is the numerical

Lagrange polynomial interpolation

n=length(X);// n is the number of nodes. (n-1) is the degree

x=poly(0,"x");P=0;

for i=1:n, L=1;

for j=[1:i-1,i+1:n] L=L*(x-X(j))/(X(i)-X(j));end

P=P+L*Y(i);

plot(X,Y);

figure;

end

endfunction


PONTOS DE 1 A 5

Programa Maxima:

L0(X)= 512

*77

24

)2^(*71

12

)3^(*7

24

4^ xxxx

L1(X)= 106

*107

6

)2^(*59

6

)3^(*13

6

4^ xxxx

L2(X)= 102

*39

4

)2^(*49)3^(*3

4

4^ xxxx

L3(X)= 56

*61

6

)2^(*41

6

)3^(*11

6

4^ xxxx

L4(X)= 112

*25

24

)2^(*35

12

)3^(*5

24

4^ xxxx

P(X)=0.0041666666666667*x^4-0.030833333333333*x^3-

0.0091666666666668*x^2+0.30083333333333*x-0.225

Programa Scilab:


Pontos de 5 a 10

Programa Maxima:

L4(X)= 25210

*1627

3

)2^(*125

24

)3^(*127

3

4^

120

5^ xxxxx

L5(X)= 105012

*8555

8

)2^(*1523

24

)3^(*601

8

)4^(*13

24

5^ xxxxx

L6(X)= 18001

*1265

3

)2^(*1048

12

)3^(*569

6

)4^(*19

12

5^ xxxxx

L7(X)= 15751

*1135

12

)2^(*3863

12

)3^(*539

12

)4^(*37

12

5^ xxxxx

L8(X)= 7006

*3085

1

)2^(*149

24

)3^(*511

2

)4^(*3

24

5^ xxxxx

L9(X)= 1266

*1879

24

)2^(*665

24

)3^(*97

24

)4^(*7

120

5^ xxxxx

P(X)= -0.0045916666666667*x^5+0.18479166666667*x^4-

2.907458333333331*x^3+22.30720833333332*x^2-83.25194999999999*x+120.666

Programa Scilab:


Pontos de 10 a 15

Programa Maxima:

L9(X)= 300320

*23379

24

)2^(*4355

24

)3^(*337

24

)4^(*13

120

5^ xxxxx

L10(X)= 136502

*10875

6

)2^(*517

24

)3^(*1631

3

)4^(*8

24

5^ xxxxx

L11(X)= 250253

*30475

4

)2^(*6559

12

)3^(*1579

4

)4^(*21

12

5^ xxxxx

L12(X)= 231001

*9525

3

)2^(*4687

12

)3^(*1529

6

)4^(*31

12

5^ xxxxx

L13(X)= 107254

*17925

24

)2^(*17891

24

)3^(*1481

24

)4^(*61

24

5^ xxxxx

L14(X)= 200230

*25381

2

)2^(*285

24

)3^(*287

2

)4^(

120

5^ xxxxx

P(X)= 0.009175*x^5-0.58095833333333*x^4+14.61904166666667*x^3-

182.7110416666667*x^2+1134.054783333334*x-2796.243

Programa scilab:


Pontos de 15 a 20

Programa Maxima:

L14(X)= 1550415

*65003

4

)2^(*1935

24

)3^(*647

4

)4^(*3

120

5^ xxxxx

L15(X)= 726754

*82465

24

)2^(*55999

24

)3^(*3161

4

)4^(*89

24

5^ xxxxx

L16(X)= 1368001

*39310

6

)2^(*27031

12

)3^(*3089

3

)4^(*22

12

5^ xxxxx

L17(X)= 1292003

*112645

4

)2^(*17411

12

)3^(*3019

4

)4^(*29

12

5^ xxxxx

L18(X)= 612001

*17965

12

)2^(*25253

24

)3^(*2951

12

)4^(*43

24

5^ xxxxx

L19(X)= 1162820

*68879

24

)2^(*9775

24

)3^(*577

24

)4^(*17

120

5^ xxxxx

P(X)= -1.9166666666666811*10^-4*x^5+0.012583333333333*x^4-

0.316375*x^3+3.786416666666582*x^2-21.61243333333368*x+48.63400000000183

Programa Scilab:


Pontos de 20 a 25

Programa Maxima:

L19(X)= 5313020

*231879

24

)2^(*24265

24

)3^(*1057

24

)4^(*23

120

5^ xxxxx

L20(X)= 2530003

*167435

4

)2^(*19669

24

)3^(*5191

4

)4^(*19

24

5^ xxxxx

L21(X)= 4830001

*107595

12

)2^(*114847

12

)3^(*5099

12

)4^(*113

12

5^ xxxxx

L22(X)= 4620001

*103830

6

)2^(*55909

12

)3^(*5009

3

)4^(*28

12

5^ xxxxx

L23(X)= 22137512

*601835

8

)2^(*36307

24

)3^(*4921

8

)4^(*37

24

5^ xxxxx

L24(X)= 425045

*48501

12

)2^(*10615

24

)3^(*967

12

)4^(*11

120

5^ xxxxx

P(X)= 0.0083083333333333*x^5-0.9455*x^4+42.94495833333334*x^3-

973.1350000000001*x^2+11001.29023333333*x-49638.186

Programa Scilab:


Pontos de 25 a 30

Programa Maxima:

L24(X)= 7125302

*255127

6

)2^(*54

24

)3^(*7835

6

)4^(*35

24

5^ xxxxx

L25(X)= 6851254

*494845

24

)2^(*214229

24

)3^(*7721

24

)4^(*139

24

5^ xxxxx

L26(X)= 13195003

*720415

1

)2^(*17461

12

)3^(*7609

2

)4^(*23

12

5^ xxxxx

L27(X)= 12723751

*233245

12

)2^(*205003

12

)3^(*7499

12

)4^(*137

12

5^ xxxxx

L28(X)= 6142502

*226715

6

)2^(*50159

24

)3^(*7391

3

)4^(*17

24

5^ xxxxx

L29(X)= 11875560

*1323137

8

)2^(*13095

24

)3^(*1457

8

)4^(*9

120

5^ xxxxx

P(X)= -0.001575*x^5+0.24675*x^4-15.242625*x^3+465.1762500000014*x^2-

7025.53780000002*x+42063.24400000001

Programa Scilab:


Pontos 30 a 35

Programa Maxima:

L29(X)= 32463260

*2956637

8

)2^(*23925

24

)3^(*2177

8

)4^(*11

120

5^ xxxxx

L30(X)= 15708002

*480255

3

)2^(*44018

24

)3^(*10751

6

)4^(*41

24

5^ xxxxx

L31(X)= 30434251

*468315

12

)2^(*345617

12

)3^(*10619

12

)4^(*163

12

5^ xxxxx

L32(X)= 29512003

*1370755

1

)2^(*28274

12

)3^(*10489

2

)4^(*27

12

5^ xxxxx

L33(X)= 14322004

*892065

24

)2^(*333151

24

)3^(*10361

24

)4^(*161

24

5^ xxxxx

L34(X)= 27825610

*435627

3

)2^(*8180

24

)3^(*2047

3

)4^(*4

120

5^ xxxxx

P(X)= -0.011291666666667*x^5+1.842291666666667*x^4-

120.1284583333333*x^3+3913.155708333333*x^2-

63679.36325*x+414140.2450000001

Programa Scilab:


Pontos de 35 a 40

Programa Maxima:

L34(X)= 65800865

*433501

12

)2^(*54815

24

)3^(*2887

12

)4^(*19

120

5^ xxxxx

L35(X)= 319865012

*5087975

8

)2^(*179753

24

)3^(*14281

8

)4^(*63

24

5^ xxxxx

L36(X)= 62244001

*829750

6

)2^(*265301

12

)3^(*14129

3

)4^(*47

12

5^ xxxxx

L37(X)= 60606001

*812225

12

)2^(*522173

12

)3^(*13979

12

)4^(*187

12

5^ xxxxx

L38(X)= 29526003

*1193075

4

)2^(*85661

24

)3^(*13831

4

)4^(*31

24

5^ xxxxx

L39(X)= 57575720

*1558379

24

)2^(*101195

24

)3^(*2737

24

)4^(*37

120

5^ xxxxx

P(X)=0.0019166666666667*x^50.37475*x^4+29.23625*x^31137.75075*x^2+22088.3

5133333333*x-171159.505

Programa Scilab:


Pode verificar-se que os polinómios encontrados quer no programa Maxima quer no

programa Scilab, são muito semelhantes. À excepção que no programa Scilab o

resultado apresenta-se com menos casas decimais.

Principais resultados

Por uma questão se facilitar o cálculo do polinómio, dividi a resoluçao por ramos, com

pontos de 5 em 5. No entanto, para se cálcular o polinómio seguinte, tem de se utilizar

sempre o último ponto do polinómio anterior, para que na elaboração do gráfico não

existisse quebra entre cada ramo, ou seja, o gráfico ser contínuo.

As tabelas seguintes apresentam o resultado dos polinómios, ou seja, a ordenada dos

pontos através do interpolador de Lagrange. Foram obtidos após a substituição dos X

nos polinómios encontrados no Maxima, calculados no Excel.

P(X) Resultado

P(0) 0,04

P(1) 0,16

P(2) 0,1

P(3) -0,075

P(4) -0,2

P(X) Resultado

P(4) -0,2

P(5) -0,012

P(6) 0,21

P(7) 0,14

P(8) 0,03

P(9) 0,159


P(X) Resultado

P(9) 0,159

P(10) 0,1

P(11) 0,01

P(12) 0,2

P(13) 0,25

P(14) 0,11

P(X) Resultado

P(14) 0,11

P(15) -0,03

P(16) -0,02

P(17) 0,091

P(18 0,165

P(19) -0,048


P(X) Resultado

P(19) -0,048

P(20) -0,08

P(21) -0,18

P(22) 0

P(23) 0,05

P(24) -0,201

P(X) Resultado

P(24) -0,201

P(25) -0,31

P(26) 0,16

P(27) 0,3

P(28) 0,02

P(29) -0,14

P(X) Resultado

P(29) -0,14

P(30) -0,07

P(31) 0,109

P(32) -0,02

P(33) -0,019

P(34) 0,05


Pode concluir-se que os pontos que obtive não são aproximações, mas sim

exactamente iguais aos retirados do gráfico original. Isto significa que os polinómios

estão correctamente calculados. No fundo,o objectivo deste método era, com a ajuda

dos programas, chegar a novas funções (os polinómios falados e apresentados

anteriormente), e cujos resultados obtidos permitissem desenhar um gráfico semelhante

ao dado do protocolo.

Segundo os 40 pontos igualmente espaçados que retirámos desse gráfico

original,obtivémos o seguinte (fig 8 ):

Fig 9 – Gráfico obtido com as ordenadas retiradas do gráfico original

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 5 10 15 20 25 30 35 40

P(X) Resultado

P(34) 0,05

P(35) 0,059

P(36) -0,095

P(37) -0,038

P(38) 0,12

P(39) 0,015


Finalmente, após substituir os X nos polinómios encontrados, construí o novo

gráfico com os valores encontrados com as novas funções (polinómios). O gráfico é

apresentado na fig seguinte:

Fig 10 - Gráfico obtido com as ordenadas obtidas pelos polinómios calculados

Comparação dos vários gráficos obtidos no Scilab e no Excel, respectivamente:

Os gráficos encontram-se colocados por ordem dos ramos (1-5; 5-10;10-15;15-20;

20-25;25-30;30-35;35-40).

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 5 10 15 20 25 30 35 40

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0 2 4 6


-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0 2 4 6 8

Imag

em d

e P

(x)

Valores de P(x)

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0 2 4 6 8

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 2 4 6 8


-0,250

-0,200

-0,150

-0,100

-0,050

0,000

0,050

0,100

0 2 4 6 8

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 2 4 6 8


Conclusão de resultados

Os polinómios que encontrei no Maxima são iguais aos polinómios encontrados

no Scilab. Então,través do método do interpolador de Lagrange, concluí que os

polinómios que encontrei e os resultados que obtive se aproximam muito dos valores

esperados no problema (valores reais). Quer a nivel gráfico, quer a nivel analítico os

resultados aproximam-se bastante.

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0 2 4 6 8

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0 2 4 6 8


-0,4-0,3-0,2-0,1

00,10,20,30,4

1 2 3 4 5

Interpolador de Newton Excel:

Por ramos

x=[1;5]

difrenças divididas de:

x Y 1ª ordem

2ª ordem 3ªordem 4ªordem

1 0,04 0,12 -0,09 0,010833 0,004167

2 0,16 -0,06 -0,0575 0,0275

3 0,1 -0,175 0,025

4 -0,075 -0,125

5 -0,2

Coeficientes do polinómio:

f[xo] f[x1] f[x2] f[x3]

0,12 -0,09 0,010833 0,004167


-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

5 6 7 8 9 10

x= [5;10]


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

0,188 0,017 -0,05433 0,024083 -0,00459


x Y 1ª ordem


5ª ordem

5 -0,2 0,188 0,017 -0,05433 0,024083 -0,00459

6 -0,012 0,222 -0,146 0,042 0,001125

7 0,21 -0,07 -0,02 0,0465

8 0,14 -0,11 0,1195

9 0,03 0,129

10 0,159


-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

10 11 12 13 14 15

x=[10;15]


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

-0,059 -0,0155 0,051833 -0,03046 0,009175


x Y 1ª ordem 2ª ordem 3ªordem 4ªordem 5ª ordem

10 0,159 -0,059 -0,0155 0,051833 -0,03046 0,009175

11 0,1 -0,09 0,14 -0,07 0,015417

12 0,01 0,19 -0,07 -0,00833

13 0,2 0,05 -0,095

14 0,25 -0,14

15 0,11


-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

15 16 17 18 19 20

x=[15;20]


X Y 1ª ordem 2ª ordem 3ªordem 4ªordem

5ª ordem

15 0,11 -0,14 0,075 -0,0082 -0,00371 -0,00019

16 -0,03 0,01 0,0505 -0,023 -0,00467

17 -0,02 0,111 -0,0185 -0,04167

18 0,091 0,074 -0,1435

19 0,165 -0,213

20 -0,048


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

-0,14 0,075 -0,0082 -0,00371 -0,00019


-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

20 21 22 23 24 25

x=[20;25]

difrenças divididas de

X Y 1ª ordem 2ª ordem 3ªordem 4ªordem

5ª ordem

20 -0,048 -0,032 -0,034 0,058 -0,03158 0,008317

21 -0,08 -0,1 0,14 -0,06833 0,01

22 -0,18 0,18 -0,065 -0,02833

23 0 0,05 -0,15

24 0,05 -0,25

25 -0,2


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

-0,032 -0,034 0,058 -0,03158 0,008317


-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

25 26 27 28 29 30

x=[25;30]


x Y 1ª ordem


5ª ordem

25 -0,2 -0,11 0,29 -0,15167 0,034167 -0,00158

26 -0,31 0,47 -0,165 -0,015 0,02625

27 0,16 0,14 -0,21 0,09

28 0,3 -0,28 0,06

29 0,02 -0,16

30 -0,14


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

-0,11 0,29 -0,15167 0,034167 -0,00158


-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

30 31 32 33 34 35

x=[30;35]


x Y 1ª ordem


5ª ordem

30 -0,14 0,07 0,0545 -0,0695 0,035625 -0,01129

31 -0,07 0,179 -0,154 0,073 -0,02083

32 0,109 -0,129 0,065 -0,01033

33 -0,02 0,001 0,034

34 -0,019 0,069

35 0,05


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

0,07 0,0545 -0,0695 0,035625 -0,01129


-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

35 36 37 38 39 40

x=[35;40]


x Y 1ª ordem


5ª ordem

35 0,05 0,009 -0,0815 0,062333 -0,02017 0,001917

36 0,059 -0,154 0,1055 -0,01833 -0,01058

37 -0,095 0,057 0,0505 -0,06067

38 -0,038 0,158 -0,1315

39 0,12 -0,105

40 0,015


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

0,009 -0,0815 0,062333 -0,02017 0,001917


-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Y

Polinómio completo

x=[1;40]

f[x0] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4] f[x5] f[x6] f[x7] f[x8]

0,12 -0,09 0,010833 0,004166667 -1,66667E-05 -0,00089 0,000351786 -6,88988E-05 6,82595E-06

f[x9] f[x10] f[x11] f[x12] f[x13] f[x14] f[x15] f[x16]

3,41711E-08 -9,55487E-08 2,99373E-09 4,0358E-09 -1,24783E-09 2,2499E-10 -2,95421E-11 2,97307E-12


-2,22633E-13 9,74925E-15 3,48949E-16 -1,37084E-16 1,91612E-17 -2,01598E-18 1,8216E-19 -1,50225E-20



1,17978E-21 -9,11609E-23 7,06497E-24 -5,50226E-25 4,25606E-26 -3,2164E-27 2,34176E-28 -1,6278E-29

f[x33] f[x34] f[x35] f[x36] f[x37] f[x38]

1,07548E-30 -6,74552E-32 4,01993E-33 -2,28099E-34 1,23577E-35 -6,41211E-37

A tabela das difrenças divididas encontra-se em anexo.


FreeMat/Matlab

Polinómio definido por ramos

Compilador

Código da função mariline


Código da função newtondiv


Código da função difdivcoef


Resultados



X=[0;5]

f[xo] f[x1] f[x2] f[x3]

0,12 -0,09 0,0108 0,0042

X=[5;10]

f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

0,1880 0,0170 -0,0543 0,0241 -0,0046

X=[10;15]

f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

-0,0590 -0,0155 0,0518 -0,0305 0,0092

X=[15;20]

f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

-0,1400 0,0750 -0,0082 -0,00371 -0,0002

X=[20;25]

f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

-0,032 -0,034 0,058 -0,0316 0,0083


X=[25;30]

f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

-0,11 0,29 -0,1517 0,0342 -0,0016

X=[30;35]

f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

0,07 0,0545 -0,0695 0,0356 -0,0113

X=[35;40]

f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

0,009 -0,0815 0,0623 -0,0202 0,0019

Fig11 – Pontos de 0 a 5


Fig 12 – Pontos de 5 a 10




Fig16– Pontos de 30 a 35



Fig18 – Gráfico com todos os pontos


Polinómio completo

Compilador

Código da função mari_po

Código da função newtondifdiv e da função difdivcoef é igual ao do polinómio

por ramos.


Resultados


Coeficientes do polinómio

X=[1;40]

f[x0] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4] f[x5] f[x6] f[x7] f[x8]

0,1200 -0,0900 0,0108 0,0042 -0.0000 -0,0009 0,0004 -0,0001 0,0000


0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


Ao contrario do que possa parecer, os coeficientes a partir do f[x8], não são zero,

apenas não foram estimadas o numero suficiente de casas decimais.


0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

f[x33] f[x34] f[x35] f[x36] f[x37] f[x38]

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


Utilizando a função format long temos:


f[x10] f[x11] f[x12] f[x13] f[x14]

-0.00000009554874 0.00000000299373

0.00000000403580 -0.00000000124783 0.00000000022499

f[x15] f[x16] f[x17] f[x18] f[x19]

-0.00000000002954 0.00000000000297

-0.00000000000022

0.00000000000001 0.00000000000000

f[x20] f[x21] f[x22] f[x23] f[x24]

-0.00000000000000

0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000

-0.00000000000000

f[x25] f[x26] f[x27] f[x28] f[x29]

0.00000000000000

-0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00000000000000

0.00000000000000

f[x0] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

0.12000000000000 -0.09000000000000 0.01083333333333 0.00416666666667 -0.00001666666667

f[x5] f[x6] f[x7] f[x8] f[x9]

-0.00088611111111 0.00035178571429 -0.00006889880952 0.00000682594797

0.00000003417108


A função format long permite-nos adquirir um maior numero de casa decimais, mas no

entanto, para este caso, continua a não ser o suficiente. No caso posterior era zero a partir de

f[x8] e devido a esta função, passou a ser zero apenas na posição f[x18].


Conum


Compilador/Resultados

Para x=[0;5]


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3]

0,120000 -0,090000 0,010833 0,004167


Para x=[5;10]


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

0,188000 0,017000 -0,054333 0,024083 -0,004592


Para x=[10;15]


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

-0,059000 -0,015500 0,051833 -0,030458 0,009175


Para x=[15;20]


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

-0,140000 0,075000 0,075 -0,003708 -0,000192


Para x=[20;25]


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

-0,032000 -0,034000 0,058000 -0,031583 0,008317


Para x=[25;30]


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

-0,110000 0,290000 -0,151667 0,034167 -0,001583


Para x=[30;35]


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

0,070000 0,054500 -0,069500 0,035625 -0,011292


Para x=[35;40]


f[xo] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

0,009000 -0,081500 0,062333 -0,020167 0,001917


Polinómio completo


Coeficientes do polinómio

f[x10] f[x11] f[x12] f[x13] f[x14]

-0.000000095548741 0.000000002993727

0.000000004035798 -0.000000001247834 0.000000000224990

f[x15] f[x16] f[x17] f[x18] f[x19]

-0.000000000029542 0.000000000002973

-0.000000000000223

0.000000000000010 0.00000000000000

f[x20] f[x21] f[x22] f[x23] f[x24]

-0.00000000000000

0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000

-0.00000000000000

f[x25] f[x26] f[x27] f[x28] f[x29]

0.00000000000000

-0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00000000000000

0.00000000000000

f[x30] f[x31] f[x32] f[x33] f[x34]

-0.00000000000000

0.00000000000000 -0.00000000000000 0.00000000000000

-0.00000000000000

f[x35] f[x36] f[x37] f[x38]

0.00000000000000

-0.00000000000000 0.00000000000000 -0.00000000000000

A tabela referente aos pontos e portanto aos coeficientes encontra-se em anexo.

f[x0] f[x1] f[x2] f[x3] f[x4]

0.12000000000000 -0.09000000000000 0.01083333333333 0.00416666666667 -0.00001666666667

f[x5] f[x6] f[x7] f[x8] f[x9]

-0.00088611111111 0.000351785714286 -0.000068898809524 0.000006825947972

0.000000034171076


Devido à mesma justificação dos casos anteriores, a partir de f[x19], os coeficientes são

lançados como zeros, embora não o sejam.

maxima




Simplificação dos polinómios:

x=[1;5]

P4(x)= 0.004167*x^3-0.014169*x^2-0.076662*x+0.206664

x=[5;10]

P5(x)=-0.00459*x^4+0.143423*x^3-1.639914*x^2+8.084451000000001*x-14.29553

x=[10;15]

P5(x)=0.009175*x^4-0.45251*x^3+8.314438000000001*x^2-

67.41906300000001*x +203.44783

x=[15;20]

P5(x)= -1.9000000000000001*10^-4*x^4+0.00883*x^3-0.14001*x^2

+0.88197*x-2.049800000000001

x=[20;25]

P5(x)= 0.008317*x^4-0.746842*x^3+25.093947*x^2-373.896542*x

+2084.33604

x=[25;30]

P5(x)=-0.00158*x^4+0.201647*x^3-9.470076000000001*x^2+194.685159*x-

1481.98835

x=[30;35]

P5(x)= -0.01129*x^4+1.458165*x^3-70.56941500000001*x^2+1516.70239*x-

12214.0832

x=[35;40]


P5(x)=0.001917*x^4-0.300052*x^3+17.434774*x^2-446.579589*x

+4260.72784

Os coeficientes utilizados para a obtenção destes polinómios são relativos aos

coeficientes calculados pelo Excel a quando de um polinómio por ramos.

Polinómio completo



P39(x)=

O polinómio teve de ser dividido por partes devido a sua grande dimensão. O polinómio

resultante de cada parte, foi posteriormente somado de modo a obtermos o nosso polinómio

final.


Os resultados referentes ao polinómio completo, também foram obtidos através do

matlab, utilizando os coeficientes que foram adquiridos no Excel.

syms x

expand(0.12-0.09*(x-1)+0.010833*(x-1)*(x-2)+0.004167*(x-1)*(x-2)*(x-3)-1.66667E-05*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4) -

0.00089*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)+ 0.000351786*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6) -6.88988E-05*(x-1)*(x-2)*(x-

3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)+ 6.82595E-06*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)+ 3.41711E-08*(x-1)*(x-2)*(x-

3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)-9.55487E-08*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-

10)+2.99373E-09*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)+ 4.0358E-09*(x-1)*(x-2)*(x-

3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12) -1.24783E-09*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-

8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)+ 2.2499E-10*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-

11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)-2.95421E-11*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-

13)*(x-14)*(x-15)+ 2.97307E-12*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-

14)*(x-15)*(x-16) -2.22633E-13*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-

14)*(x-15)*(x-16)*(x-17)+ 9.74925E-15*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-

13)*(x-14)*(x-15)*(x-16)*(x-17)*(x-18)+ 3.48949E-16*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-

11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)*(x-15)*(x-16)*(x-17)*(x-18)*(x-19) -1.37084E-16*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-

7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)*(x-15)*(x-16)*(x-17)*(x-18)*(x-19)*(x-20)+ 1.91612E-17*(x-1)*(x-

2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)*(x-15)*(x-16)*(x-17)*(x-18)*(x-

19)*(x-20)*(x-21) -2.01598E-18*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-

14)*(x-15)*(x-16)*(x-17)*(x-18)*(x-19)*(x-20)*(x-21)*(x-22)+ 1.8216E-19*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-

7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)*(x-15)*(x-16)*(x-17)*(x-18)*(x-19)*(x-20)*(x-21)*(x-22)*(x-23) -

1.50225E-20*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)*(x-15)*(x-

16)*(x-17)*(x-18)*(x-19)*(x-20)*(x-21)*(x-22)*(x-23)*(x-24)+1.17978E-21*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-


24)*(x-25)-9.11609E-23*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)*(x-

15)*(x-16)*(x-17)*(x-18)*(x-19)*(x-20)*(x-21)*(x-22)*(x-23)*(x-24)*(x-25)*(x-26)+ 7.06497E-24*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-


21)*(x-22)*(x-23)*(x-24)*(x-25)*(x-26)*(x-27) -5.50226E-25*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-

10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)*(x-15)*(x-16)*(x-17)*(x-18)*(x-19)*(x-20)*(x-21)*(x-22)*(x-23)*(x-24)*(x-25)*(x-

26)*(x-27)*(x-28)+ 4.25606E-26*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-

14)*(x-15)*(x-16)*(x-17)*(x-18)*(x-19)*(x-20)*(x-21)*(x-22)*(x-23)*(x-24)*(x-25)*(x-26)*(x-27)*(x-28)*(x-29) -

3.2164E-27*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)*(x-15)*(x-

16)*(x-17)*(x-18)*(x-19)*(x-20)*(x-21)*(x-22)*(x-23)*(x-24)*(x-25)*(x-26)*(x-27)*(x-28)*(x-29)*(x-30)+ 2.34176E-

28*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)*(x-15)*(x-16)*(x-17)*(x-

18)*(x-19)*(x-20)*(x-21)*(x-22)*(x-23)*(x-24)*(x-25)*(x-26)*(x-27)*(x-28)*(x-29)*(x-30)*(x-31) -1.6278E-29*(x-

1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)*(x-15)*(x-16)*(x-17)*(x-18)*(x-

19)*(x-20)*(x-21)*(x-22)*(x-23)*(x-24)*(x-25)*(x-26)*(x-27)*(x-28)*(x-29)*(x-30)*(x-31)*(x-32)+ 1.07548E-30*(x-


19)*(x-20)*(x-21)*(x-22)*(x-23)*(x-24)*(x-25)*(x-26)*(x-27)*(x-28)*(x-29)*(x-30)*(x-31)*(x-32)*(x-33) -6.74552E-

32*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)*(x-15)*(x-16)*(x-17)*(x-


34)+ 4.01993E-33*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-13)*(x-14)*(x-15)*(x-


32)*(x-33)*(x-34)*(x-35) -2.28099E-34*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-8)*(x-9)*(x-10)*(x-11)*(x-12)*(x-


29)*(x-30)*(x-31)*(x-32)*(x-33)*(x-34)*(x-35)*(x-36)+1.23577E-35*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)*(x-6)*(x-7)*(x-


24)*(x-25)*(x-26)*(x-27)*(x-28)*(x-29)*(x-30)*(x-31)*(x-32)*(x-33)*(x-34)*(x-35)*(x-36)*(x-37) -6.41211E-37*(x-



35)*(x-36)*(x-37) *(x-38))


vpa(‘expressão obtida do expand’)

P39(x)=-6.4121099999549395572602297942481*10^(-37)*x^38+ 4.8749505099999998495673654798986*10^(-

34)*x^37-

0.00000000000000000000000000000017885635464158423676799932673305*x^36+0.0000000000000000000000

0000004218150611200099734497410086958*x^35-

0.0000000000000000000000000071867567599710390875419349407222*x^34+0.00000000000000000000000094

253625194345322724324790975418*x^33-

0.000000000000000000000099003766229394207431878976284566*x^32+0.000000000000000000008556666828

4192407392264269769613*x^31-

0.00000000000000000062037735171695706081433570837827*x^30+0.0000000000000000382784546720450044

16027954441581*x^29-

0.0000000000000020321975529963862035458114271153*x^28+0.00000000000009362328019846994336936775

8226052*x^27-

0.0000000000037678535274728608439089028170343*x^26+0.00000000013315350260102314440444297049713

*x^25-0.0000000041486698973110594512725413096632*x^24

+0.00000011431189459224231074815908556705*x^23-

0.0000027917019217449379198114911559969*x^22+0.000060519268938154685858951675747619*x^21-

0.0011655462068915767304133623838425*x^20+0.019946710486980861326555825030482*x^19-

0.30321701876528095453977584838867*x^18+4.0902662388918731295461839181371*x^17-

48.88482347317039966583251953125*x^16+516.47303026130032321816543117166*x^15-

4809.4081618785858154296875*x^14+39326.107558355521177873015403748*x^13-

281057.03531646728515625*x^12+ 1745593.9609296619892120361328125*x^11-9355596.303466796875*x^10+

42896073.733571380376815795898438*x^9-

166462043.37109375*x^8+539387867.47824108600616455078125*x^7-

1434390784.5625*x^6+3060146010.057552337646484375*x^5-

5077534611.375*x^4+6266174411.9303760528564453125*x^3-

5363987586.125*x^2+2810481914.86847782135009765625*x - 668855181.22037398815155029296875


Podemos concluir por tanto que os coeficientes dão igual independentemente do

método, variando apenas o número de casas decimais e portanto os arredondamentos

efectuados. Deste modo, o mesmo podemos concluir dos polinómios.

Método Interpolador de Gregory-Newton 1ªHipótese

Cálculo do Polinómio de Grau 39 usando o Excel, o software Maxima e o software

CoNum.

Aplicação do método utilizando o Excel

1. Cálculo da tabela das diferenças finitas

Fórmulas genéricas para o cálculo da tabela,

Ordem zero: ∆0yi = yi

Ordem um: ∆1yi = yi+1-yi = ∆

0yi+1-∆

0yi

Ordem dois: ∆2yi = ∆

1yi+1-∆

1yi

Ordem n: ∆kyi = ∆

k-1yi+1-∆

k-1yi

Nota: A tabela está nos anexos.

2. Cálculo do polinómio

Fórmula genérica,

h = xi+1-xi, então h=1, o passo entra as abcissas é 1.

k

k

hk

y

!

0 Para o cálculo desta fórmula usei o Excel.


∆0yi = yi = f(xi) 0,04

∆1yi 0,12

∆2yi -0,09

∆3yi 0,010833333

∆4yi 0,004166667

∆5yi -1,66667E-05

∆6yi -0,000886111

∆7yi 0,000351786

∆8yi -6,14583E-05

∆9yi 6,82595E-06

∆10

yi 3,75441E-06

∆11

yi -1,33563E-06

∆12

yi 3,13014E-07

∆13

yi -5,79682E-08

∆14

yi 9,08616E-09

∆15

yi -1,25129E-09

∆16

yi 1,54993E-10

∆17

yi -1,75309E-11

∆18

yi 1,82776E-12

∆19

yi -1,7665E-13

∆20

yi 1,58823E-14

∆21

yi -1,33195E-15

∆22

yi 1,04509E-16

∆23

yi -7,70584E-18

∆24

yi 5,37776E-19

∆25

yi -3,59411E-20

∆26

yi 2,34192E-21

∆27

yi -1,52326E-22

∆28

yi 1,01232E-23

∆29

yi -6,95858E-25

∆30

yi 4,25606E-26


Tabela 1 – Cálculos para os coeficientes do polinómial

Após as devidas substituições obteve-se o seguinte polinómio no software Maxima,

P39(x) = -6.3341300000000008*10-37

*x39

+5.063608400000001*10-34

*x38

-

1.9552057579000002*10-31

*x37

+4.8576307462300005*10-29

*x36

-

8.7274915524060219*10-27

*x35

+1.2082977825820365*10-24

*x34

-

1.3413441153933069*10-22

*x33

+1.2266738586225237*10-20

*x32

-

9.4226458806923764*10-19

*x31

+6.1681706671960292*10-17

*x30

-

3.4792468330276715*10-15

*x29

+1.7056757367945165*10-13

*x28

-

7.3168502449550121*10-12

*x27

+2.761073877027495*10-10

*x26

-

9.2037937328877545*10-9

*x25

+2.7188535377287893*10-7

*x24

-

7.1347431791208289*10-6

*x23

+1.6660216213776802*10-4

*x22

-

0.0034653920460312*x21

+0.064238774753085*x20

-

1.061145093069474*x19

+15.61006010547174*x18

-

204.2507231619518*x17

+2372.881493373544*x16

-

24417.17698941691*x15

+221859.2822737003*x14

-

1773136.590797139*x13

+1.240565954279401*107*x

12-

7.5540468647496149*107*x

11+3.9749279886124849*10

8*x

10-

1.7917413317931116*109*x

9+6.8442276425174732*10

9*x

8-

2.185699593802066*1010

*x7+5.7351774153875259*10

10*x

6-

1.2086690298915717*1011

*x5+1.9833097432591711*10

11*x

4-

2.4232362898959375*1011

*x3+2.0560067219851495*10

11*x

2-

1.068969345640426*1011

*x+2.5275771013310829*1010

∆31

yi -3,5042E-27

∆32

yi 2,46163E-28

∆33

yi -1,6278E-29

∆34

yi 1,07548E-30

∆35

yi -6,80946E-32

∆36

yi 4,03806E-33

∆37

yi -2,28156E-34

∆38

yi 1,22987E-35

∆39

yi -6,33413E-37


Por fim, substitui as minhas abcissas no polinómio para verificar se este aproxima-se

aos valores da função real.

Obteve-se o seguinte,

i xi f (xi) P39(xi)

0 1 0,04 0,040382385

1 2 0,16 0,170051575

2 3 0,1 0,240486145

3 4 -0,075 1,132575989

4 5 -0,2 11,0100174

5 6 -0,012 93,53150177

6 7 0,21 691,4836502

7 8 0,14 4173,246346

8 9 0,03 24728,75513

9 10 0,159 123419,262

10 11 0,1 561647,2317

11 12 0,01 2588745,073

12 13 0,2 10289256,76

13 14 0,25 39471041,22

14 15 0,11 138093930

15 16 -0,03 438513643,2

16 17 -0,02 1248428879

17 18 0,091 3409614313

18 19 0,165 7633878234

19 20 -0,048 17756907642

20 21 -0,08 26233704292

21 22 -0,18 26020821059

22 23 0 -5,2088E+10

23 24 0,05 -4,967E+11

24 25 -0,2 -1,7477E+12

25 26 -0,31 -6,8266E+12


26 27 0,16 -1,8724E+13

27 28 0,3 -5,4492E+13

28 29 0,02 -1,3409E+14

29 30 -0,14 -3,6321E+14

30 31 -0,07 -8,5765E+14

31 32 0,109 -2,0194E+15

32 33 -0,02 -4,6754E+15

33 34 -0,019 -1,0276E+16

34 35 0,05 -2,2486E+16

35 36 0,059 -4,8994E+16

36 37 -0,095 -9,9344E+16

37 38 -0,038 -2,0886E+17

38 39 0,12 -4,077E+17

39 40 0,015 -7,854E+17

Tabela 2 – Substituição dos pontos no polinómio e a aquisição da aproximação ao valor

da função no ponto interpolador

Utilizando o software CoNum

1. Ponto interpolador para x0=1

Início do algoritmo

DIFDIR

Interpolação Polinomial - Diferenças Ascendentes/Descendentes/Centrais - Int.

Directa

Ponto Valores da Função

1.000.000 0.040000

2.000.000 0.160000

3.000.000 0.100000

4.000.000 -0.075000

5.000.000 -0.200000

6.000.000 -0.012000


7.000.000 0.210000

8.000.000 0.140000

9.000.000 0.030000

10.000.000 0.159000

11.000.000 0.100000

12.000.000 0.010000

13.000.000 0.200000

14.000.000 0.250000

15.000.000 0.110000

16.000.000 -0.030000

17.000.000 -0.020000

18.000.000 0.091000

19.000.000 0.165000

20.000.000 -0.048000

21.000.000 -0.080000

22.000.000 -0.180000

23.000.000 0.000000

24.000.000 0.050000

25.000.000 -0.201000

26.000.000 -0.310000

27.000.000 0.160000

28.000.000 0.300000

29.000.000 0.020000

30.000.000 -0.140000

31.000.000 -0.070000

32.000.000 0.109000

33.000.000 -0.020000

34.000.000 -0.019000

35.000.000 0.050000

36.000.000 0.059000

37.000.000 -0.095000

38.000.000 -0.038000

39.000.000 0.120000


40.000.000 0.015000

Tabela 1– Pontos introduzidos no CoNum para obter a aproximação ao valor da função

no ponto interpolador

Ponto Interpolador = 1.000000

Grau do Polinómio = 39

Posição do Ponto Interpolador => Início

Tabela das Diferenças Finitas (está nos anexos)

Aproximação ao Valor da Função no Ponto Interpolador = 0.040000

Fim do algoritmo

Após ter repetido este processo para todos os meus pontos interpoladores (abcissas), ou

seja, de x0 a x39. Obtive a seguinte tabela,

Ponto ou xi Valor da função ou

f (xi)

Aproximação ao valor da

função no ponto interpolador

ou P39 (xi)

1 0,04 0,04

2 0,16 0,16

3 0,1 0,1

4 -0,075 -0,075

5 -0,2 -0,2

6 -0,012 -0,012

7 0,21 0,21

8 0,14 0,14

9 0,03 0,03

10 0,159 0,159

11 0,1 0,1

12 0,01 0,01

13 0,2 0,2

14 0,25 0,25


15 0,11 0,11

16 -0,03 -0,03

17 -0,02 -0,02

18 0,091 0,091

19 0,165 0,165

20 -0,048 -0,048

21 -0,08 -0,08

22 -0,18 -0,18

23 0 0

24 0,05 0,05

25 -0,2 -0,201

26 -0,31 -0,31

27 0,16 0,16

28 0,3 0,3

29 0,02 0,01998

30 -0,14 -0,140001

31 -0,07 -0,07002

32 0,109 0,109035

33 -0,02 -0,020087

34 -0,019 -0,019014

35 0,05 0,050441

36 0,059 0,062558

37 -0,095 -0,098029

38 -0,038 -0,03515

39 0,12 0,12

40 0,015 0,015

Tabela 2 – Aproximação ao valor da função no ponto interpolador

Graficamente obteve-se,


Gráfico 1 - Aproximação do polinómio aos valores reais da função (Excel)

Gráfico 2 – Aproximação do polinómio aos valores reais da função (CoNum)

Breve conclusão

Perante os resultados obtidos tanto analiticamente como graficamente, podemos

concluir que o polinómio de grau 39 não é a melhor aproximação para estudo em

questão. Isto relativamente, ao caso do cálculo da aproximação no Excel. Tal facto

deve-se à memória insuficiente do Excel pois, não consegue armazenar todos os

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 10 20 30 40

Aproximação ao valor da função nos ponto interpoladores

f (xi)

P39(xi)

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Aproximação ao valor da função nos pontos interpoladores

f (xi)

P39(xi)


algarismos necessários para obter sucesso. Ou seja, faz arredondamentos ou trunca a

cinco algarismos significativos o que nos conduz a um elevado erro de aproximação,

assim levando-nos a resultados inválidos.

No entanto, utilizando o software CoNum é possível obter uma aproximação por

um polinómio de grau 39, à nossa função. Assim, concluímos que o CoNum é um

software mais abrangente pois, consegue armazenar todos os algarismos necessários

para que haja sucesso no decorrer do estudo.

2ªHipótese

Cálculo de Polinómios que se aproximem dos meus valores reais da função, usando

o Excel, o software Maxima e o software CoNum. Nesta hipótese dividiu-se os pontos

de 5 em 5, ou seja, fizemos os polinómios por ramos. Daí obtermos 7 polinómios de

grau 5 e 1 polinómio de grau 4.

Aplicação do método utilizando o Excel

1. Cálculo das tabelas das diferenças finitas no Excel para os oito polinómios.

Fórmulas genéricas para o cálculo da tabela,

Ordem zero: ∆0yi = yi

Ordem um: ∆1yi = yi+1-yi = ∆

0yi+1-∆

0yi

Ordem dois: ∆2yi = ∆

1yi+1-∆

1yi

Ordem n: ∆kyi = ∆

k-1yi+1-∆

k-1yi

Nota: As tabelas das diferenças finitas encontram-se nos anexos.

2. Cálculo do polinómio

Fórmula genérica,

h = xi+1-xi, então h=1, o passo entra as abcissas é 1.


k

k

hk

y

!

0 Para o cálculo desta fórmula usei o Excel.

Para o 1º Polinómio P4 (x)

∆0yi = yi = f(xi) 0,04

∆1yi 0,12

∆2yi -0,09

∆3yi 0,010833333

∆4yi 0,004166667

Tabela 3 – Cálculo dos coeficientes do polinómio


P4 (x) = 0.0040166667*x4-0.029333334*x

3-0.0144166635*x

2+0.308333328*x-

0.2285999972

De seguida substituímos o x pelos pontos (abcissas) no polinómio para verificar se este

aproxima-se da minha função.


xi f(xi) P4(xi)

1 0,04 0,04

2 0,16 0,16

3 0,1 0,1

4 -0,075 -0,075000002

5 -0,2 -0,203600007

Tabela 4– Substituição dos pontos no polinómio



∆0yi = yi = f(xi) -0,2

∆1yi 0,188

∆2yi 0,017

∆3yi -0,054333333

∆4yi 0,024083333

∆5yi -0,004591667

Tabela 5– Cálculo dos coeficientes do polinómio


P5 (x) = -0.004591667*x5+0.184791678*x

4-2.907458486*x

3+22.307209352*x

2-

83.251953367*x+120.66600441

Substituímos novamente o x pelos pontos (abcissas) no polinómio para verificarmos se

este aproxima-se aos valores reais.


xi f(xi) P5(xi)

5 -0,2 -0,2

6 -0,012 -0,012

7 0,21 0,21

8 0,14 0,140000002

9 0,03 0,03

10 0,159 0,15899994

Tabela 6 – Substituição dos pontos no polinómio



∆0yi = yi = f(xi) 0,159

∆1yi -0,059

∆2yi -0,0155

∆3yi 0,051833333

∆4yi -0,030458333

∆5yi 0,009175



P5 (x) = 0.009175*x5-0.580958333*x

4+14.619041651*x

3-

182.711041392*x2+1134.054781204*x-2796.24299384

Substituímos o x pelos pontos iniciais (abcissas) no polinómio para se verificar se existe

aproximação aos valores função, os reais.


xi f(xi) P5(xi)

10 0,159 0,159

11 0,1 0,1

12 0,01 0,01

13 0,2 0,199999998

14 0,25 0,25

15 0,11 0,11000002

Tabela 8 – Substituição dos pontos no polinómi



∆0yi = yi = f(xi) 0,11

∆1yi -0,14

∆2yi 0,075

∆3yi -0,008166667

∆4yi -0,003708333

∆5yi -0,000191667



P5 (x) = -1.9166699999999999*10^-4*x^5+0.012583362*x^4-

0.316375984*x^3+3.786433518*x^2-21.612577309*x+48.63449096000002

Substituímos o x pelos pontos (xi) no polinómio para verificar se há uma aproximação

aos pontos iniciais (ordenadas).


xi f(xi) P5(xi)

15 0,11 0,11

16 -0,03 -0,03

17 -0,02 -0,02

18 0,091 0,090999998

19 0,165 0,165

20 -0,048 -0,04800002




∆0yi = yi = f(xi) -0,048

∆1yi -0,032

∆2yi -0,034

∆3yi 0,058

∆4yi -0,031583333

∆5yi 0,008316667



P5 (x) = 0.008316667*x5-0.946416703*x

4+42.98525158299999*x

3-

974.019617793*x2+11010.990808126*x-49680.69162932

Substituímos o x pelos pontos iniciais no polinómio para ver se este aproxima-se aos

valores da função.


xi f(xi) P5(xi)

20 -0,048 -0,048000001

21 -0,08 -0,080000001

22 -0,18 -0,180000001

23 0 -1,18598E-09

24 0,05 0,050000007

25 -0,2 -0,199999922




∆0yi = yi = f(xi) -0,2

∆1yi -0,11

∆2yi 0,29

∆3yi -0,151666667

∆4yi 0,034166667

∆5yi -0,001583333



P5 (x) = -0.001583333*x5+0.247916622*x

4-15.307914274*x

3+467.002019288*x

2-

7051.049643353*x+42205.74541945

Voltamos a substituir os pontos iniciais no polinómio para verificar se há uma

aproximação aos meus valores da função.


xi f(xi) P5(xi)

25 -0,2 -0,2

26 -0,31 -0,31

27 0,16 0,16

28 0,3 0,299999998

29 0,02 0,02

30 -0,14 -0,13999994



∆0yi = yi = f(xi) -0,14

∆1yi 0,07

∆2yi 0,0545

∆3yi -0,0695

∆4yi 0,035625

∆5yi -0,011291667




P5 (x) = -0.011291667*x5+1.84229172*x

4-120.128461745*x

3+3913.1558174*x

2-

63679.364992508*x+414140.25613024

Seguidamente substituímos o x pelos pontos iniciais, as abcissas, para verificar se o

polinómio obtido aproxima-se aos valores da função real.


xi f(xi) P5(xi)

30 -0,14 -0,14

31 -0,07 -0,07

32 0,109 0,109

33 -0,02 -0,019999999

34 -0,019 -0,019

35 0,05 0,049999961



∆0yi = yi = f(xi) 0,05

∆1yi 0,009

∆2yi -0,0815

∆3yi 0,062333333

∆4yi -0,020166667

∆5yi 0,001916667



P5 (x) = 0.001916667*x5-0.374750062*x

4+29.23625461*x

3-

1137.750921286*x2+22088.354513571*x-171159.52860526

Substituímos o x pelos pontos iniciais no polinómio para verificar se há uma

aproximação dos valores da função real.



xi f(xi) P5(xi)

35 0,05 0,05

36 0,059 0,059

37 -0,095 -0,095

38 -0,038 -0,038000002

39 0,12 0,119999984

40 0,015 0,01499998


Utilizando o software CoNum

1. Ponto interpolador para x0=1

Início do algoritmo

DIFDIR

Interpolação Polinomial - Diferenças Ascendentes/Descendentes/Centrais - Int.

Directa

Ponto Valores da Função

1.000.000 0.040000

2.000.000 0.160000

3.000.000 0.100000

4.000.000 -0.075000

5.000.000 -0.200000

6.000.000 -0.012000

7.000.000 0.210000

8.000.000 0.140000

9.000.000 0.030000

10.000.000 0.159000

11.000.000 0.100000

12.000.000 0.010000

13.000.000 0.200000

14.000.000 0.250000

15.000.000 0.110000


16.000.000 -0.030000

17.000.000 -0.020000

18.000.000 0.091000

19.000.000 0.165000

20.000.000 -0.048000

21.000.000 -0.080000

22.000.000 -0.180000

23.000.000 0.000000

24.000.000 0.050000

25.000.000 -0.201000

26.000.000 -0.310000

27.000.000 0.160000

28.000.000 0.300000

29.000.000 0.020000

30.000.000 -0.140000

31.000.000 -0.070000

32.000.000 0.109000

33.000.000 -0.020000

34.000.000 -0.019000

35.000.000 0.050000

36.000.000 0.059000

37.000.000 -0.095000

38.000.000 -0.038000

39.000.000 0.120000

40.000.000 0.015000

Tabela 19 – Pontos introduzidos no CoNum para obter a aproximação ao valor da

função no ponto interpolador


Ponto Interpolador = 1.000000

Grau do Polinómio = 4

Posição do Ponto Interpolador => Início

Tabela das Diferenças Finitas (está nos anexos)

Aproximação ao Valor da Função no Ponto Interpolador = 0.040000

Fim do algoritmo

Após ter repetido este processo para todos os meus pontos interpoladores (abcissas), ou

seja, de x0 a x39. Obtive a seguinte tabela,

Ponto

ou xi

Valor da função

ou f (xi)

Aproximação ao valor da

função no ponto interpolador ou

aos vários polinómios

1 0,04 0,04

2 0,16 0,16

3 0,1 0,1

4 -0,075 -0,075

5 -0,2 -0,2

6 -0,012 -0,012

7 0,21 0,21

8 0,14 0,14

9 0,03 0,03

10 0,159 0,159

11 0,1 0,1

12 0,01 0,01

13 0,2 0,2

14 0,25 0,25

15 0,11 0,11

16 -0,03 -0,03

17 -0,02 -0,02

18 0,091 0,091

19 0,165 0,165

20 -0,048 -0,048

21 -0,08 -0,08

22 -0,18 -0,18

23 0 0


24 0,05 0,05

25 -0,2 -0,2

26 -0,31 -0,31

27 0,16 0,16

28 0,3 0,3

29 0,02 0,02

30 -0,14 -0,14

31 -0,07 -0,07

32 0,109 0,109

33 -0,02 -0,02

34 -0,019 -0,019

35 0,05 0,05

36 0,059 0,059

37 -0,095 -0,095

38 -0,038 -0,038

39 0,12 0,12

40 0,015 0,015

Tabela 20 – Aproximação ao valor da função no ponto interpolador

Graficamente obteve-se,

Gráfico 4 - Aproximação do polinómio aos valores reais da função (Excel)

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Representação dos pontos e as respectivas aproximações

f(x)

P4(xi)

P5(xi)

P5(xi)

P5(xi)

P5(xi)

P5(xi)

P5(xi)

P5(xi)


Gráfico 5 – Aproximação do polinómio aos valores reais da função (CoNum)

Breve conclusão

Perante os resultados obtidos, podemos concluir que tanto graficamente como

analiticamente, alcançamos o objectivo. Conseguimos obter polinómios que se

aproximassem de igual modo aos pontos reais, tanto no excel como no software

CoNum. Também é de referir, que fazer os polinómios por ramos facilita o cálculo e

para além disso obtemos resultados mais exactos, ou seja, arredondamentos

consideráveis, pois não nos leva a resultados inválidos.

Conclusão Geral

Após aplicação do método ao problema em estudo, chego à conclusão que a 2ª hipótese

é a que apresenta melhores resultados. Ou seja, que se aproxima mais dos valores reais

da função, tanto no Excel como no CoNum. Tal sucesso, deve-se ao facto do estudo ser

analisado por ramos pois, para além de facilitar os cálculos, também não nos conduz a

aproximações inválidas, visto que não há arredondamentos dos algarismos.

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 10 20 30 40

Aproximações dos polinómios aos pontos reais

f(xi)

P4(xi)

P5(xi)

P5(xi)

P5(xi)

P5(xi)

P5(xi)

P5(xi)

P5(xi)


Método dos minímos quadrados polinomiais Comecei por calcular os polinómios de grau 1, grau 2, grau 3, grau5 e grau 10,

utilizando o Excel, com os coeficientes a1,a2,...,na obtidos no Matlab.

Nota: todos os outros valores utilizados nos sistemas de equações fôramos calculados

no Excel e estes valores vão ser colocados em anexo.

Polinómio de grau 1

P1(x)=a1x+a0

a0 + a1 i = i

a0 i+ a1 i2 = i

a0+ a1* 820=1,111

a0*820 + a1*22140=11,508

a1=-0,0021139774859287

a0=0,0711115384615384

Com a resolução do sistema cheguei a conclusão que o polinómio de grau 1 (P1(x)) é:

P1(x)= (-0,0021139774859287*x)+ 0,0711115384615384

O erro da aproximação é:

E= 2

E2= 0,643599734


P2(x)= a2x2+a1x+ a0

a0 + a1 i+ a2 i2 = i

a0 i+ a1 i2+ a2 i

3 = ixi

a0 i2+ a1 i

3+ a2 i

4 = ixi

2


a0+ a1*820+ a2*22140=1,111

a0*820+ a1*22140+ a2*672400=11,508

a0*22140+ a1*672400+ a2*21781332=184,416

a0=0,087025

a1=-0,00438739134280357

a2=0,0000554476011793085


P2(x)= (0,0000554476011793085*x2)+( -0,00438739134280357*x)+ 0,087025


E2= 0,641856184


P3(x)= a3x3 +a2x

2+a1x+ a0

a0 + a1 i+ a2 i2+ a3 i

3= i

a0 i+ a1 i2+ a2 i

3+ a3 i

4= ixi

a0 i2+ a1 i

3+ a2 i

4+ a3 i

5= ixi

2

a0 i3+ a1 i

4+ a2 i

5+ a3 i

6= ixi

3


a0+ a1* 820+ a2* 22140+ a3* 672400= 1,111

a0* 820+ a1* 22140+ a2* 672400+ a3*21781332=11,508

a0* 22140+ a1* 672400+ a2*21781332+ a3*734933200=184,416

a0* 672400+ a1*21781332+ a2*734933200+ a3*25504903620=5001,714

a0=0,00419450705766376

a1=0,0184574474487677

a2= -0,00132047420849404

a3=0,0000223727123524121


P3(x)= (0,0000223727123524121*x3) +(-0,00132047420849404*x

2)+

( 0,0184574474487677*x)+ 0,00419450705766376


E3= 0,61282326


P5(x)= a5x5+ a4x

4+a3x

3 +a2x

2+a1x+ a0

a0 + a1 i+ a2 i2+ a3 i

3+ a4 i

4+ a5 i

5= i

a0 i+ a1 i2+ a2 i

3+ a3 i

4+ a4 i

5+ a5 i

6= ixi

a0 i2+ a1 i

3+ a2 i

4+ a3 i

5+ a4 i

6+ a5 i

7= ixi

2

a0 i3+ a1 i

4+ a2 i

5+ a3 i

6+ a4 i

7+ a5 i

8= ixi

3

a0 i4+ a1 i

5+ a2 i

6+ a3 i

7+ a4 i

8+ a5 i

9= ixi

4

a0 i5+ a1 i

6+ a2 i

7+ a3 i

8+ a4 i

9+ a5 i

10= ixi

5


a0 + a1* 820+ a2* 22140+ a3*672400+ a4*21781332 + a5*734933200=1,111

a0*820+a1* 22140+ a2*672400+ a3*21781332 + a4*734933200 + a5*25504903620=11,508

a0*22140+a1*672400+a2*21781332+a3*734933200+a4*25504903620+a5*9,03509E+11=

184,416

a0*672400+a1*21781332+a2*734933200+a3*25504903620+a4*9,03509E+11+a5*3,25131E+

13= 5001,714

a0*21781332+a1*734933200+a2*25504903620+a3*9,03509E+11+a4*3,25131E+13+a5*1,184

56E+15= 187661,3

a0*734933200+a1*25504903620+a2*9,03509E+11+a3*3,25131E+13+a4*1,18456E+15+a5*4,

35912E+16=7642772

a0=0,0973811740890774

a1= -0,0456504539373944

a2=0,00988509013389859

a3= -0,000732224699448302

a4=0,0000214309910189404

a5=-2,15875963778772E-07


P5(x)=(-2,15875963778772E-07*x5)+(0,0000214309910189404*x

4)+

(-0,000732224699448302*x3)+(0,00988509013389859*x

2)+

(-0,0456504539373944*x)+ 0,0973811740890774


E5= 0,582964031



P10(x)= a10x10

+a9x9+ a8x

8+ a7x

7+ a6x

6 +a5x

5+ a4x

4+a3x

3 +a2x

2+a1x+ a0

a0 +a1 i+ a2 i2+a3 i

3+ a4 i

4+a5 i

5+a6 i

6+

a7 i7+ a8 i

8+ a9 i

9+ a10 i

10 = i

a0 i+a1 i2+ a2 i

3+a3 i

4+ a4 i

5+a5 i

6+a6 i

7+

a7 i8+ a8 i

9+ a9 i

10+ a10 i

11 = ixi

a0 i2+a1 i

3+ a2 i

4+a3 i

5+ a4 i

6+a5 i

7+a6 i

8+

a7 i9+ a8 i

10+ a9 i

11+ a10 i

12 = ixi

2

a0 i3+a1 i

4+ a2 i

5+a3 i

6+ a4 i

7+a5 i

8+a6 i

9+

a7 i10

+ a8 i11

+ a9 i12

+ a10 i13

= ixi3

a0 i4+a1 i

5+ a2 i

6+a3 i

7+ a4 i

8+a5 i

9+a6 i

10+

a7 i11

+ a8 i12

+ a9 i13

+ a10 i14

= ixi4

a0 i5+a1 i

6+ a2 i

7+a3 i

8+ a4 i

9+a5 i

10+a6 i

11+

a7 i12

+ a8 i13

+ a9 i14

+ a10 i15

= ixi5

a0 i6+a1 i

7+ a2 i

8+a3 i

9+ a4 i

10+a5 i

11+a6 i

12+

a7 i13

+ a8 i14

+ a9 i15

+ a10 i16

= ixi6

a0 i7+a1 i

8+ a2 i

9+a3 i

10+ a4 i

11+a5 i

12+a6 i

13+

a7 i14

+ a8 i15

+ a9 i16

+ a10 i17

= ixi7

a0 i8+a1 i

9+ a2 i

10+a3 i

11+ a4 i

12+a5 i

13+a6 i

14+

a7 i15

+ a8 i16

+ a9 i17

+ a10 i18

= ixi8

a0 i9+a1 i

10+ a2 i

11+a3 i

12+ a4 i

13+a5 i

14+a6 i

15+

a7 i16

+ a8 i17

+ a9 i18

+ a10 i19

= ixi9

a0 i10

+a1 i11

+ a2 i12

+a3 i13

+ a4 i14

+a5 i15

+a6 i16

+

a7 i17

+ a8 i18

+ a9 i19

+ a10 i20

= ixi10


a0+ a1*820+ a2*22140+ a3*672400+ a4*21781332+ a5*734933200+ a6*25504903620+

a7*9,03509E+11+ a8*3,25131E+13+ a9*1,18456E+15+ a10*4,35912E+16=1,111

a0*820+ a1*22140+ a2*672400+ a3*21781332+ a4*734933200+ a5*25504903620+

a6*9,03509E+11+ a7*3,25131E+13+ a8*1,18456E+15+ a9*4,35912E+16+

a10*1,61742E+18=11,508

a0*22140+ a1*672400+ a2*21781332+ a3*734933200+ a4*25504903620+ a5*9,03509E+11+

a6*3,25131E+13+ a7*1,18456E+15+ a8*4,35912E+16+ a9*1,61742E+18+

a10*6,04298E+19=184,416

a0*672400+ a1*21781332+ a2*734933200+ a3*25504903620+ a4*9,03509E+11+

a5*3,25131E+13+ a6*1,18456E+15+ a7*4,35912E+16+ a8*1,61742E+18+ a9*6,04298E+19+

a10*2,27109E+21=5001,714

a0*21781332+ a1*734933200+ a2*25504903620+ a3*9,03509E+11+ a4*3,25131E+13+

a5*1,18456E+15+ a6*4,35912E+16+ a7*1,61742E+18+ a8*6,04298E+19+ a9*2,27109E+21+

a10*8,57862E+22=187661,3

a0*734933200+ a1*25504903620+ a2*9,03509E+11+ a3*3,25131E+13+ a4*1,18456E+15+

a5*4,35912E+16+ a6*1,61742E+18+ a7*6,04298E+19+ a8*2,27109E+21+ a9*8,57862E+22+

a10*3,25472E+24=7642772

a0*25504903620+ a1*9,03509E+11+ a2*3,25131E+13+ a3*1,18456E+15+ a4*4,35912E+16+

a5*1,61742E+18+ a6*6,04298E+19+ a7*2,27109E+21+ a8*8,57862E+22+ a9*3,25472E+24+

a10*1,23961E+26=311029140

a0*9,03509E+11+ a1*3,25131E+13+ a2*1,18456E+15+ a3*4,35912E+16+ a4*1,61742E+18+

a5*6,04298E+19+ a6*2,27109E+21+ a7*8,57862E+22+ a8*3,25472E+24+ a9*1,23961E+26+

a10*4,73744E+27=12486572953

a0*3,25131E+13+ a1*1,18456E+15+ a2*4,35912E+16+ a3*1,61742E+18+ a4*6,04298E+19+

a5*2,27109E+21+ a6*8,57862E+22+ a7*3,25472E+24+ a8*1,23961E+26+ a9*4,73744E+27+

a10*1,81602E+29=4,95964E+11

a0*1,18456E+15+ a1*4,35912E+16+ a2*1,61742E+18+ a3*6,04298E+19+ a4*2,27109E+21+

a5*8,57862E+22+ a6*3,25472E+24+ a7*1,23961E+26+ a8*4,73744E+27+ a9*1,81602E+29+

a10*6,98041E+30=1,95779E+13

a0*4,35912E+16+ a1*1,61742E+18+ a2*6,04298E+19+ a3*2,27109E+21+ a4*8,57862E+22+

a5*3,25472E+24+ a6*1,23961E+26+ a7*4,73744E+27+ a8*1,81602E+29+ a9*6,98041E+30+

a10*2,68971E+32=7,7059E+14


a0= -0,273426245597017

a1=0,610065002067481

a2= -0,339817914107435

a3=0,0838118106417761

a4= -0,0112016632629837

a5=0,000901520126802521

a6= -0,0000458605563276692

a7=1,48706170003384E-06

a8= -2,98010849826842E-08

a9=3,36217954370576E-10

a10= -1,63194988599778E-12


P10(x)=(-1,63194988599778E-12*x10

)+(3,36217954370576E-10*x9)+

(-2,98010849826842E-08*x8)+(1,48706170003384E-06*x

7)+

(-0,0000458605563276692*x6)+(0,000901520126802521*x

5)+

(-0,0112016632629837*x4)+(0,0838118106417761*x

3)+

(-0,339817914107435*x2)+( 0,610065002067481*x) -0,273426245597017


E10= 0,507997123

Depois de ter determinado os polinómios de grau 1, grau 2, grau 3, grau 5 e grau 10 e

os respectivos erros, construi um gráfico onde representei todos os polinómios acima indicado

e os pontos do sinal de excitação neural em função do tempo em segundo.

A representação gráfica obtida foi a seguinte:


Os pontos pretos representam a função do sinal da excitação neural, a linha

vermelha representa a função do polinómio de grau 1,a linha verde representa a função

do polinómio de grau 2, a linha roxo representa a função de polinómio de grau 3, a linha

amarela representa a função do polinómio de grau 5 e a linha azul claro representa a

função do polinómio de grau 10.

O calculo destes polinómios foi feito com a intenção de ver qual deles se aproximam

melhor aos nossos pontos. Depois da visualização gráfica cheguei a conclusão que dos 5

polinómios que eu calculei o que se aproxima melhor dos nossos pontos é o polinómio

de grau 10. E isto já seria de se esperar pois teoricamente quando maior for o grau do

polinómio melhor é a sua aproximação aos pontos.

Depois calculei os polinómios de grau 1, grau 2, grau 3, grau5 e grau 10, utilizando o

Excel, com os coeficientes a1,a2,...,na obtidos no octave.


P1(x)=a1x+a0

a0 + a1 i = i

a0 i+ a1 i2 = i

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 10 20 30 40 50

P5(x)

p3(x)

P1(x)

P2(x)

y

P10(x)

Aproximação dos polinómios aos pontos


a0+ a1* 820=1,111

a0*820 + a1*22140=11,508

a1=-0,00211397748592871

a0=0,0711115384615385


P1(x)= (-0,00211397748592871*x)+ 0,0711115384615385


E= 2

E1= 0,643599734


P2(x)= a2x2+a1x+ a0

a0 + a1 i+ a2 i2 = i

a0 i+ a1 i2+ a2 i

3 = ixi

a0 i2+ a1 i

3+ a2 i

4 = ixi

2

a0+ a1*820+ a2*22140=1,111

a0*820+ a1*22140+ a2*672400=11,508

a0*22140+ a1*672400+ a2*21781332=184,416

a0=0,08702500000000000

a1=-0,0043873913428035

a2=0,000055447601179308


P2(x)= (0,000055447601179308*x2)+( -0,0043873913428035*x)+ 0,08702500000000000



E2= 0,641856184


P3(x)= a3x3 +a2x

2+a1x+ a0

a0 + a1 i+ a2 i2+ a3 i

3= i

a0 i+ a1 i2+ a2 i

3+ a3 i

4= ixi

a0 i2+ a1 i

3+ a2 i

4+ a3 i

5= ixi

2

a0 i3+ a1 i

4+ a2 i

5+ a3 i

6= ixi

3

a0+ a1* 820+ a2* 22140+ a3* 672400= 1,111

a0* 820+ a1* 22140+ a2* 672400+ a3*21781332=11,508

a0* 22140+ a1* 672400+ a2*21781332+ a3*734933200=184,416

a0* 672400+ a1*21781332+ a2*734933200+ a3*25504903620=5001,714

a0=0,00419450705766478

a1=0,0184574474487677

a2= -0,00132047420849404

a3=0,0000223727123524121


P3(x)= (0,0000223727123524121*x3) +(-0,00132047420849404*x

2)+

( 0,0184574474487677*x)+ 0,00419450705766478


E3= 0,61282326



P5(x)= a5x5+ a4x

4+a3x

3 +a2x

2+a1x+ a0

a0 + a1 i+ a2 i2+ a3 i

3+ a4 i

4+ a5 i

5= i

a0 i+ a1 i2+ a2 i

3+ a3 i

4+ a4 i

5+ a5 i

6= ixi

a0 i2+ a1 i

3+ a2 i

4+ a3 i

5+ a4 i

6+ a5 i

7= ixi

2

a0 i3+ a1 i

4+ a2 i

5+ a3 i

6+ a4 i

7+ a5 i

8= ixi

3

a0 i4+ a1 i

5+ a2 i

6+ a3 i

7+ a4 i

8+ a5 i

9= ixi

4

a0 i5+ a1 i

6+ a2 i

7+ a3 i

8+ a4 i

9+ a5 i

10= ixi

5

a0 + a1* 820+ a2* 22140+ a3*672400+ a4*21781332 + a5*734933200=1,111

a0*820+a1* 22140+ a2*672400+ a3*21781332 + a4*734933200 + a5*25504903620=11,508

a0*22140+a1*672400+a2*21781332+a3*734933200+a4*25504903620+a5*9,03509E+11=

184,416

a0*672400+a1*21781332+a2*734933200+a3*25504903620+a4*9,03509E+11+a5*3,25131E+

13= 5001,714

a0*21781332+a1*734933200+a2*25504903620+a3*9,03509E+11+a4*3,25131E+13+a5*1,184

56E+15= 187661,3

a0*734933200+a1*25504903620+a2*9,03509E+11+a3*3,25131E+13+a4*1,18456E+15+a5*4,

35912E+16=7642772

a0=-0.00113143191534158

a1= -0,00200899606911325

a2=0,00406186767856080

a3= -0,000405951629890303

a4=0,0000133251931806477

a5=-1.42138122693752E-07


P5(x)=( -1.42138122693752E-07*x5)+( 0,0000133251931806477*x

4)+


(-0,000405951629890303*x3)+( 0,00406186767856080*x

2)+

(-0,00200899606911325*x)-0.00113143191534158


E5= 0,589739802



P10(x)= a10x10

+a9x9+ a8x

8+ a7x

7+ a6x

6 +a5x

5+ a4x

4+a3x

3 +a2x

2+a1x+ a0

a0 +a1 i+ a2 i2+a3 i

3+ a4 i

4+a5 i

5+a6 i

6+

a7 i7+ a8 i

8+ a9 i

9+ a10 i

10 = i

a0 i+a1 i2+ a2 i

3+a3 i

4+ a4 i

5+a5 i

6+a6 i

7+

a7 i8+ a8 i

9+ a9 i

10+ a10 i

11 = ixi

a0 i2+a1 i

3+ a2 i

4+a3 i

5+ a4 i

6+a5 i

7+a6 i

8+

a7 i9+ a8 i

10+ a9 i

11+ a10 i

12 = ixi

2

a0 i3+a1 i

4+ a2 i

5+a3 i

6+ a4 i

7+a5 i

8+a6 i

9+

a7 i10

+ a8 i11

+ a9 i12

+ a10 i13

= ixi3

a0 i4+a1 i

5+ a2 i

6+a3 i

7+ a4 i

8+a5 i

9+a6 i

10+

a7 i11

+ a8 i12

+ a9 i13

+ a10 i14

= ixi4

a0 i5+a1 i

6+ a2 i

7+a3 i

8+ a4 i

9+a5 i

10+a6 i

11+

a7 i12

+ a8 i13

+ a9 i14

+ a10 i15

= ixi5

a0 i6+a1 i

7+ a2 i

8+a3 i

9+ a4 i

10+a5 i

11+a6 i

12+

a7 i13

+ a8 i14

+ a9 i15

+ a10 i16

= ixi6

a0 i7+a1 i

8+ a2 i

9+a3 i

10+ a4 i

11+a5 i

12+a6 i

13+

a7 i14

+ a8 i15

+ a9 i16

+ a10 i17

= ixi7

a0 i8+a1 i

9+ a2 i

10+a3 i

11+ a4 i

12+a5 i

13+a6 i

14+

a7 i15

+ a8 i16

+ a9 i17

+ a10 i18

= ixi8

a0 i9+a1 i

10+ a2 i

11+a3 i

12+ a4 i

13+a5 i

14+a6 i

15+

a7 i16

+ a8 i17

+ a9 i18

+ a10 i19

= ixi9

a0 i10

+a1 i11

+ a2 i12

+a3 i13

+ a4 i14

+a5 i15

+a6 i16

+

a7 i17

+ a8 i18

+ a9 i19

+ a10 i20

= ixi10


a7*9,03509E+11+ a8*3,25131E+13+ a9*1,18456E+15+ a10*4,35912E+16=1,111

a0*820+ a1*22140+ a2*672400+ a3*21781332+ a4*734933200+ a5*25504903620+

a6*9,03509E+11+ a7*3,25131E+13+ a8*1,18456E+15+ a9*4,35912E+16+

a10*1,61742E+18=11,508

a0*22140+ a1*672400+ a2*21781332+ a3*734933200+ a4*25504903620+ a5*9,03509E+11+

a6*3,25131E+13+ a7*1,18456E+15+ a8*4,35912E+16+ a9*1,61742E+18+

a10*6,04298E+19=184,416

a0*672400+ a1*21781332+ a2*734933200+ a3*25504903620+ a4*9,03509E+11+

a5*3,25131E+13+ a6*1,18456E+15+ a7*4,35912E+16+ a8*1,61742E+18+ a9*6,04298E+19+

a10*2,27109E+21=5001,714

a0*21781332+ a1*734933200+ a2*25504903620+ a3*9,03509E+11+ a4*3,25131E+13+

a5*1,18456E+15+ a6*4,35912E+16+ a7*1,61742E+18+ a8*6,04298E+19+ a9*2,27109E+21+

a10*8,57862E+22=187661,3

a0*734933200+ a1*25504903620+ a2*9,03509E+11+ a3*3,25131E+13+ a4*1,18456E+15+

a5*4,35912E+16+ a6*1,61742E+18+ a7*6,04298E+19+ a8*2,27109E+21+ a9*8,57862E+22+

a10*3,25472E+24=7642772

a0*25504903620+ a1*9,03509E+11+ a2*3,25131E+13+ a3*1,18456E+15+ a4*4,35912E+16+

a5*1,61742E+18+ a6*6,04298E+19+ a7*2,27109E+21+ a8*8,57862E+22+ a9*3,25472E+24+

a10*1,23961E+26=311029140

a0*9,03509E+11+ a1*3,25131E+13+ a2*1,18456E+15+ a3*4,35912E+16+ a4*1,61742E+18+

a5*6,04298E+19+ a6*2,27109E+21+ a7*8,57862E+22+ a8*3,25472E+24+ a9*1,23961E+26+

a10*4,73744E+27=12486572953

a0*3,25131E+13+ a1*1,18456E+15+ a2*4,35912E+16+ a3*1,61742E+18+ a4*6,04298E+19+

a5*2,27109E+21+ a6*8,57862E+22+ a7*3,25472E+24+ a8*1,23961E+26+ a9*4,73744E+27+

a10*1,81602E+29=4,95964E+11

a0*1,18456E+15+ a1*4,35912E+16+ a2*1,61742E+18+ a3*6,04298E+19+ a4*2,27109E+21+

a5*8,57862E+22+ a6*3,25472E+24+ a7*1,23961E+26+ a8*4,73744E+27+ a9*1,81602E+29+

a10*6,98041E+30=1,95779E+13

a0*4,35912E+16+ a1*1,61742E+18+ a2*6,04298E+19+ a3*2,27109E+21+ a4*8,57862E+22+

a5*3,25472E+24+ a6*1,23961E+26+ a7*4,73744E+27+ a8*1,81602E+29+ a9*6,98041E+30+

a10*2,68971E+32=7,7059E+14


a0= -1.11446748492739E-18

a1=1.33660424890572E-16

a2= -3.90750755359475E-16

a3= -7.03805317798808E-15

a4= -1.18966141263576E-13

a5= -1.79900219759302E-12

a6= -2.21744373893939E-11

a7= -1.73264721060618E-10

a8= -1.5110506538498E-11

a9= -4.34739569854072E-13

a10= 4.14510957075940E-15


P10(x)=( 4.14510957075940E-15*x10

)+( -4.34739569854072E-13*x9)+

(-1.5110506538498E-11*x8)+(-1.73264721060618E-10*x

7)+

(-2.21744373893939E-11*x6)+(-1.79900219759302E-12*x

5)+

(-1.18966141263576E-13*x4)+(-7.03805317798808E-15*x

3)+

(-3.90750755359475E-16*x2)+(1.33660424890572E-16*x) -1.11446748492739E-18


E10= 0,691500837

Depois de ter determinado os polinómios de grau 1, grau 2, grau 3, grau 5 e grau 10 e

os respectivos erros, construi um gráfico onde representei todos os polinómios acima indicado

e os pontos do sinal de excitação neural em função do tempo em segundo.

A representação gráfica obtida foi a seguinte:


Os triângulos verdes representam a função do sinal da excitação neural, a linha

vermelha representa a função do polinómio de grau 1,a linha azul representa a função

do polinómio de grau 2, a linha castanha representa a função de polinómio de grau 3, a

linha laranja representa a função do polinómio de grau 5 e a linha preta representa a

função do polinómio de grau 10.

Depois da visualização gráfica cheguei a conclusão que o polinómio que melhor

se aproxima dos pontos é o polinómio de grau 5. Neste caso teoricamente o polinómio

que deveria aproximar melhor dos pontos era o polinómio de grau 10, mas isso não se

verificou na pratica devido a acumulação de erro por causa das casas decimais

consideradas no octave.

Depois calculei os polinómios de grau 15, grau 21 e grau 39, utilizando o Matlab.

Relativamente ao método dos mínimos quadrados, o software Matlab está equipado

com o comando polyfit().

Este comando fornece os coeficientes do polinómio a determinar.

Neste âmbito é útil o comando polyval (p,x) que nos fornece o valor do polinómio em

x.

Na janela dos comandos do Matlab:

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 10 20 30 40 50

y

P1(x)

P2(x)

p3(x)

P5(x)

P10(x)


x=1:1:40;

y=[0.04 0.16 0.1 -0.075 -0.2 -0.012 0.21 0.14 0.03 0.159 0.1 0.01 0.2 0.25 0.11 -0.03 -0.02

0.091 0.165 -0.048 -0.08 -0.18 0 0.05 -0.2 -0.31 0.16 0.3 0.02 -0.14 -0.07 0.109 -0.02 -0.019

0.05 0.059 -0.095 -0.038 0.12 0.015];

p=polyfit(x,y,n)

y2=polyval(p,x);

res=sum((y-y2).^2)

xi=1:0.5:40;

y3=polyval(p,xi);

plot(x,y,'o',xi,y3,'-r')

format long E

Este foi o código dos mínimos quadrados que eu utilizei no Matlab.

O polyfit vai nos dar o polinómio de grau n, o polyval o valor do polinómio de grau n no

ponto x, o res da o valor do erro da aproximação, o plot danos o gráfico da função do

polinómio e os pontos o que nos permite visualizar a aproximação do polinómio aos

pontos.

Nota: o xi foi colocado no código com o único objectivo de melhorar o aspecto visual

do gráfico em vez dos valores variarem de 1 em 1 com acontece em x vão variar de 0.5

em 0.5.


P15(x)=a15x15

+a14x14

+a13x13

+a12x12

+a11x11

+a10x10

+a9x9+a8x

8+a7x

7+ a6x

6 +a5x

5+ a4x

4+a3x

3

+a2x2+a1x+ a0

Para o polinómio de grau 15 obtivemos os seguintes resultados no Matlab:

p =

Columns 1 through 3

-2.400207847591189e-017 7.153934649225487e-015 -9.623262621127127e-013

Columns 4 through 6


7.722817531583136e-011 -4.117642788702165e-009 1.537061084407710e-007

Columns 7 through 9

-4.122745809897392e-006 8.022500336630519e-005 -1.128852173926465e-003

Columns 10 through 12

1.130141128877906e-002 -7.792461313808693e-002 3.491901673576439e-001


-9.128146819093970e-001 1.087996485164354e+000 -1.245119174058816e-001

Column 16

-2.981017494199316e-001

Logo:

P15(x)=(-2.400207847591189e-017*a15x15

)+(7.153934649225487e-015*a14x14

)+

( -9.623262621127127e-013*a13x13

)+(7.722817531583136e-011*a12x12

)+

( -4.117642788702165e-009* a11x11

)+( 1.537061084407710e-007* a10x10

)+

( -4.122745809897392e-006*a9x9 )+( 8.022500336630519e-005*a8x

8)+

( -1.128852173926465e-003*a7x7)+( 1.130141128877906e-002*a6x

6)+

( -7.792461313808693e-002*a5x5)+( 3.491901673576439e-001*a4x

4)+

( -9.128146819093970e-001*a3x3)+( 1.087996485164354e+000*a2x

2 )+

( -1.245119174058816e-001*a1x1) -2.981017494199316e-001


res =4.142073597554822e-001

Logo:


E15=4.142073597554822e-001

O gráfico obtido no Matlab a partir do polinómio 15 foi o seguinte:

Com este gráfico é possível visualizar a aproximação do polinómio de grau 15 aos

pontos.


P21(x)=a21x21

+a20x20

+a19+x19

+a18x18

+a17x17

+a16x16

+a15x15

+a14x14

+a13x13

+a12x12

+a11x11

+a1

0x10

+a9x9+a8x

8+a7x

7+ a6x

6 +a5x

5+ a4x

4+a3x

3 +a2x

2+a1x+ a0


p =

Columns 1 through 3

4.479021283983404e-023 -1.953480318482420e-020 3.972570472319410e-018

Columns 4 through 6

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3


-5.002831968230849e-016 4.370386556106082e-014 -2.811424001809262e-012

Columns 7 through 9

1.379843488617204e-010 -5.282445720686985e-009 1.599235877578163e-007


-3.859108032966014e-006 7.447488318701490e-005 -1.148800979530270e-003


1.410473995194722e-002 -1.367424206490423e-001 1.034083244012457e+000


-5.995261558556245e+000 2.601959427852558e+001 -8.179349315908129e+001


1.776988656827544e+002 -2.483278647827897e+002 1.965970377657449e+002

Column 22

-6.509015004202422e+001

Logo o polinómio de grau 21 é:

P21(x)=(4.479021283983404e-023*x21

)+(-1.953480318482420e020*x20

)+

( 3.972570472319410e-018*x19

)+( -5.002831968230849e-016*x18

)+

( 4.370386556106082e-014*x17

)+( -2.811424001809262e-012*x16

)+

( 1.379843488617204e-010*x15

)+( -5.282445720686985e-009*x14

)+

(1.599235877578163e-007*x13

)+(-3.859108032966014e-006*x12

)+

(7.447488318701490e-005*x11

)+( -1.148800979530270e-003*x10

)+

( 1.410473995194722e-002*x9 )+( -1.367424206490423e-001*x

8 )+

( 1.034083244012457e+000*x7)+( -5.995261558556245e+000* x

6 )+

( 2.601959427852558e+001* x5 )+( -8.179349315908129e+001* x

4)+

( 1.776988656827544e+002* x3)+( -2.483278647827897e+002* x

2)+

( 1.965970377657449e+002* x) -6.509015004202422e+001



res =3.435626000787108e-001

Logo:

E21=3.435626000787108e-001


Com este gráfico é possível visualizar a aproximação do polinómio de grau 21 aos

pontos.


P39(x)=a39x39

+a38x38

+a37x37

+a36x36

+a35x35

+a34x34

+a33x33

+a32x32

+a31x31

+a30x30

+a29x29

+a28

x28

+a27x27

+a26x26

+a25x25

+a24x24

+a23x23

+a22x22

+a21x21

+a20x20

+a19+x19

+a18x18

+a17x17

+a16x1

6+a15x

15+a14x

14+a13x

13+a12x

12+a11x

11+a10x

10+a9x

9+a8x

8+a7x

7+a6x

6+a5x

5+a4x

4+a3x

3+a2x

2+

a1x+ a0

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



p =

Columns 1 through 3

-4.602130353045147e-043 1.869551602827223e-040 -3.343861436223763e-038

Columns 4 through 6

3.376776816610010e-036 -1.996940484978362e-034 5.692606888000355e-033

Columns 7 through 9

6.513245430382636e-032 -1.123285169599799e-029 2.837878047314462e-028


6.051700740348345e-027 -5.038252040901514e-025 7.077160059598566e-024


2.755697283740089e-022 -1.242231593389173e-020 1.651141166958552e-019


-4.659176773109096e-019 1.604414069007948e-017 1.037353355176492e-015


-1.182208321218839e-013 2.104543336620609e-012 1.019598329532672e-010


-6.412556338327579e-009 1.618000775661306e-007 -2.097274332038829e-006


8.745832397698545e-006 2.749014367194476e-005 5.648324995591375e-003


-2.575214650804855e-001 5.673762630243613e+000 -8.243461111593265e+001


8.673350759925289e+002 -6.859831251617518e+003 4.140905868623522e+004


-1.919326494501575e+005 6.871687481825632e+005 -1.930053435088424e+006



4.366611124962583e+006 -7.958629865987805e+006 1.044668697318008e+007

Column 40

-6.991922176399165e+006

Logo:

P39(x)=( -4.602130353045147e-043*x39

)+(1.869551602827223e-040*x38

)+

( -3.343861436223763e-038*x37

)+( 3.376776816610010e-036*x36

)+

( -1.996940484978362e-034*x35

)+( 5.692606888000355e-033*x34

)+

(6.513245430382636e-032*x33

)+( -1.123285169599799e-029*x32

)+

( 2.837878047314462e-028* x31

)+( 6.051700740348345e-027*x30

)+

( -5.038252040901514e-025*x29

) +(7.077160059598566e-024*x28

)+

( 2.755697283740089e-022*x27

)+( -1.242231593389173e-020*x26

)+

( 1.651141166958552e-019*x25

)+( -4.659176773109096e-019* x24

)+

( 1.604414069007948e-017* x23

)+( 1.037353355176492e-015* x22

)+

(-1.182208321218839e-013*x21

)+( 2.104543336620609e-012*x20

)+

( 1.019598329532672e-010*x19

)+( -6.412556338327579e-009* x18

)+

( 1.618000775661306e-007* x17

)+( -2.097274332038829e-006* x16

)+

(8.745832397698545e-006* x15

)+( 2.749014367194476e-005*x14

)+

( 5.648324995591375e-003*x13

)+( -2.575214650804855e-001*x12

)+

( 5.673762630243613e+000* x11

)+( -8.243461111593265e+001* x10

)+

(8.673350759925289e+002* x9)+( -6.859831251617518e+003* x

8)+

( 4.140905868623522e+004*x7)+( -1.919326494501575e+005* x

6)+

( 6.871687481825632e+005* x5)+( -1.930053435088424e+006* x

4)+

(4.366611124962583e+006*x3)+( -7.958629865987805e+006* x

2)+

( 1.044668697318008e+007*x) -6.991922176399165e+006



res =4.998636411804590e+013

Logo:

E39=4.998636411804590e+013


Fiz a representação deste três polinómios obtidos através do Matlab para

fazermos um estudo do valor do erro da aproximação de cada um dos polinómios acima

indicados.

No polinómio de grau 15 temos um erro de 4.142073597554822e-001, para o

polinómio de grau 21 temos um erro de 3.435626000787108e-001 e o polinómio de

grau 39 tem um erro de 4.998636411804590e+013. Com estes valores do erro da

aproximação cheguei a conclusão que o erro diminui do polinómio de grau15 para o

polinómio de grau 21 mas aumenta brutalmente do polinómio de grau 21 para o

polinómio de grau 39. Teoricamente o valor do erro da aproximação tinha que ir

0 5 10 15 20 25 30 35 40-8

-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

6


diminuindo com o aumento do grau do polinómio, isto é, quando maior for o grau do

polinómio menor será o erro da aproximação, mas isto não se verificou na pratica. Este

aumento do erro foi devido a acumulação de vários erros e chega uma hora que o erro

“explode”.

Por isso o polinómio de grau 39 não é o polinómio que melhor se aproxima aos

nossos pontos como se esperava teoricamente.

A tabela que segue vai mostrar a partir de que grau de polinómio o erro começa

a explodir.

P(x) E(x)

P(1) 0,643599734

P(2) 0,641856184

P(3) 0,61282326

P(4) 0,609995029

P(5) 0,582964031

P(6) 0,534523979

P(7) 0,532636286

P(8) 0,52091928

P(9) 0,520777187

P(10) 0,507997115

P(11) 0,479776206

P(12) 0,454591941

P(13) 0,446400931

P(14) 0,430012159

P(15) 0,41420736

P(16) 0,367457259

P(17) 0,363882375

P(18) 0,361068385

P(19) 0,361053961

P(20) 0,355444055

P(21) 0,3435626

P(22) 0,364734582

Do polinómio de grau 1 ate ao polinómio de grau 21 o erro vai diminuindo a partir do

polinómio de grau 22 o erro começa a aumentar. Então o polinómio que melhor se

aproxima dos nossos pontos é o polinómio de grau 21.


Utilizando o Conum

No Conum comecei por introduzir a grau do polinómio que no meu caso foi o grau 39,

depois introduzi o numero de pontos que no meu caso é 40.

Em seguida tive que introduzir os pontos e os valores da função que serão representados

na tabela que se segue:

Pontos Valores da função

1 0,04

2 0,16

3 0,1

4 -0,075

5 -0,2

6 -0,012

7 0,21

8 0,14

9 0,03

10 0,159

11 0,1

12 0,01

13 0,2

14 0,25

15 0,11

16 -0,03

17 -0,02

18 0,091

19 0,165

20 -0,048

21 -0,08

22 -0,18

23 0

24 0,05

25 -0,2

26 -0,31

27 0,16

28 0,3

29 0,02

30 -0,14

31 -0,07

32 0,109

33 -0,02

34 -0,019

35 0,05


36 0,059

37 -0,095

38 -0,038

39 0,12

40 0,015

Depois por fim introduzi o meu ponto interpolador que neste caso foi 20.

Neste caso o valor do polinómio no ponto interpolador aproxima-se do valor real, pois o

valor do polinómio no ponto interpolador foi igual a -0.048.

Mas no meu caso o que me interessa é saber o polinómio, e reactivamente a isto não

pode concluir nada pois o conum dá-me os coeficientes mas com só pode ter no máximo

15 casas decimais a maior parte dos meus coeficientes da zero logo não posso concluir

nada acerca do polinómio nem calcular o erro da aproximação.

Por isso não resolvi o conum para mais nenhum ponto interpolador.

Os valores que apresentei neste relatório vão ser todos dispostos em anexo para a

visualização da forma como foram calculados.

Conclusão

A tabela que se segue mostra o valor do erro da aproximação dos polinómios

calculados no Excel, com os valores dos coeficientes obtidos através do matlab e do

octave.

Polinómios Erro de aproximação

(coeficientes calculados no

matlab)

Erro de aproximação

(coeficientes calculados no

octave)

P1(x) E1= 0,643599734 E1=0,643599734

P2(x) E2=0,641856184 E2=0,641856184

P3(x) E3=0,61282326 E3=0,61282326

P5(x) E5=0,589739802 E5=0,589739802

P10(x) E10=0,507997123 E10= 0,691500837


Com esta tabela cheguei a conclusão que os valores dos coeficientes obtidos no matlab

são melhores que os obtidos no octave pois os erros da aproximação dos polinómios

cujos coeficientes foram obtidos no matlab são mais baixos do que os erros dos

polinómios cujos coeficientes foram obtidos no octave. Por isso neste caso o programa

que “funciona melhor” é o matlab, isto significa que no matlab a propagação do erro e

menor.

Relativamente aos polinómios e os erros da aproximação calculados no matlab podemos

ver perfeitamente que o erro vai diminuindo ate ao polinómio de grau grau21 e depois

começa a aumentar. Também com isto cheguei a conclusão que o meu polinómio que

melhor se aproxima aos pontos, ao contrario do que se esperava teoricamente é o

polinómio de grau 21.

Enquanto que no octave o polinómio que melhor se aproxima aos pontos é o polinómio

de grau 5, isto foi devido a acumulação de erro. E isto confirma mais ainda o que eu já

tinha referido anteriormente, o matlab funciona neste caso melhor que o octave.

No CoNum nada se pode concluir acerca do polinómio devido ao seu numero reduzido

de casas decimais.

Métodos dos Minímos Quadrados não Polinomiais

Como já referi anteriormente o meu método é mínimos quadrados para funções

não polinomiais. Para tal usei quatro funções não polinomiais e através de uma

mudança de variável transformei-as em polinómios para assim poder ter uma mais

simples resolução do problema:

;

w a0 a1 z

;

w a0 a1 z


w a0 a1 z

;

w a0 a1 z

Comecei por fazer a mudança de variável em todas as funções, em seguida

calculei os meus novos valores em função da mudança no Excel, para no final calcular o

polinómio respectivo e o erro de aproximação do mesmo.

1ª Função estudada:

O meu objectivo inicial era descobrir os coeficientes a0 e a1, para tal utilizei o

programa computacional Matlab, onde inseri o seguinte código:

Obtive os seguintes resultados:

format long

z = 1:1:40;

z1=1./z

w = [1/0.04 1/0.16 1/0.1 1/-0.075 1/-0.2 1/-0.012 1/0.21 1/0.14 1/0.33 1/0.159 1/0.1

1/0.01 1/0.2 1/0.25 1/0.11 1/-0.03 1/-0.02 1/0.091 1/0.165 1/-0.048 -1/0.08 1/-0.18

1/0.00001 1/0.05 1/-0.2 1/-0.31 1/0.16 1/0.3 1/0.02 1/0.14 1/-0.07 1/0.109 1/0.02

1/0.019 1/0.05 1/0.059 1/-0.095 1/-0.038 1/0.12 1/0.015];

p = polyfit(z1,w,1)

zi= 1:0.5:40;

w2=polyval(p,zi);

plot(z1,w,'o',zi,w2,'-r');


a0 3,0897E+03

a1 -5.458,20569594473000

b=1/a0 3,2366E-04

a=b*a1 -1,7666E+00

No final peguei nestes valores e coloquei-os no Excel, para deste modo calcular

o meu polinómio e sucessivamente o erro de aproximação.


No Excel:

i xi yi zi wi zi2 wizi y=bx/(x+a) (yi-(bx/(x+a)))^2

0 1 0,04 1 25 1 25 -4,2221E-04 0,001633955

1 2 0,16 0,5 6,25 0,25 3,125 2,7732E-03 0,024720275

2 3 0,1 0,333333333 10 0,111111111 3,333333333 7,8722E-04 0,009843176

3 4 -0,075 0,25 -13,33333333 0,0625 -3,333333333 5,7966E-04 0,005712285

4 5 -0,2 0,2 -5 0,04 -1 5,0049E-04 0,040200445

5 6 -0,012 0,166666667 -83,33333333 0,027777778 -13,88888889 4,5872E-04 0,00015522

6 7 0,21 0,142857143 4,761904762 0,020408163 0,680272109 4,3291E-04 0,043918366

7 8 0,14 0,125 7,142857143 0,015625 0,892857143 4,1538E-04 0,019483866

8 9 0,03 0,111111111 33,33333333 0,012345679 3,703703704 4,0270E-04 0,000876

9 10 0,159 0,1 6,289308176 0,01 0,628930818 3,9310E-04 0,025156149

10 11 0,1 0,090909091 10 0,008264463 0,909090909 3,8558E-04 0,009923033

11 12 0,01 0,083333333 100 0,006944444 8,333333333 3,7953E-04 9,25535E-05

12 13 0,2 0,076923077 5 0,00591716 0,384615385 3,7455E-04 0,039850318

13 14 0,25 0,071428571 4 0,005102041 0,285714286 3,7039E-04 0,06231494

14 15 0,11 0,066666667 9,090909091 0,004444444 0,606060606 3,6686E-04 0,012019425

15 16 -0,03 0,0625 -33,33333333 0,00390625 -2,083333333 3,6383E-04 0,000921962

16 17 -0,02 0,058823529 -50 0,003460208 -2,941176471 3,6119E-04 0,000414578

17 18 0,091 0,055555556 10,98901099 0,00308642 0,610500611 3,5888E-04 0,008215813

18 19 0,165 0,052631579 6,060606061 0,002770083 0,318979266 3,5683E-04 0,027107372

19 20 -0,048 0,05 -20,83333333 0,0025 -1,041666667 3,5501E-04 0,002338207

20 21 -0,08 0,047619048 -12,5 0,002267574 -0,595238095 3,5338E-04 0,006456666

21 22 -0,18 0,045454545 -5,555555556 0,002066116 -0,252525253 3,5191E-04 0,032526813

22 23 0,00001 0,043478261 100000 0,001890359 4347,826087 3,5058E-04 1,15997E-07

23 24 0,05 0,041666667 20 0,001736111 0,833333333 3,4937E-04 0,002465185

24 25 -0,2 0,04 -5 0,0016 -0,2 3,4827E-04 0,040139428

25 26 -0,31 0,038461538 -3,225806452 0,00147929 -0,124069479 3,4725E-04 0,096315416

26 27 0,16 0,037037037 6,25 0,001371742 0,231481481 3,4631E-04 0,025489299

27 28 0,3 0,035714286 3,333333333 0,00127551 0,119047619 3,4545E-04 0,089792849

28 29 0,02 0,034482759 50 0,001189061 1,724137931 3,4465E-04 0,000386333

29 30 -0,14 0,033333333 -7,142857143 0,001111111 -0,238095238 3,4391E-04 0,019696412

30 31 -0,07 0,032258065 -14,28571429 0,001040583 -0,460829493 3,4321E-04 0,004948168

31 32 0,109 0,03125 9,174311927 0,000976563 0,286697248 3,4257E-04 0,011806438

32 33 -0,02 0,03030303 -50 0,000918274 -1,515151515 3,4196E-04 0,000413795

33 34 -0,019 0,029411765 -52,63157895 0,000865052 -1,547987616 3,4139E-04 0,00037409

34 35 0,05 0,028571429 20 0,000816327 0,571428571 3,4086E-04 0,00246603

35 36 0,059 0,027777778 16,94915254 0,000771605 0,470809793 3,4036E-04 0,003440954

36 37 -0,095 0,027027027 -10,52631579 0,00073046 -0,284495021 3,3988E-04 0,009089693

37 38 -0,038 0,026315789 -26,31578947 0,000692521 -0,692520776 3,3944E-04 0,001469912

38 39 0,12 0,025641026 8,333333333 0,000657462 0,213675214 3,3901E-04 0,014318752

39 40 0,015 0,025 66,66666667 0,000625 1,666666667 3,3861E-04 0,000214956

∑ 820 1,11101 4,278543039 100045,6078 1,620243963 4372,556445 E= 0,696709243

Tabela 21 – cálculo do polinómio para a 1ª função e do erro para a mesma.


Depois de ter calculado no Excel, utilizei de novo a linguagem no Matlab para calcular

o erro de aproximação e deste modo poder comparar ambos os valores.

Para tal apliquei o seguinte código no Matlab:

Obtive os seguintes resultados:

b = 3.236559618071866e-004

a = -1.766580814262457

res = 0.804108648544754

Como pudemos ver os resultados são muito parecidos com os do Excel, o que

significa que estão correctos.

No final da utilização destes dois métodos ainda empreguei mais um, o CoNum,

para assim ter mais uma ferramenta de comparação.

No CoNum utilizei a ferramenta do método dos mínimos quadrados para

funções polinomiais, mas com o meu x e y modificados, ou seja, o meu z e w.

format long

z = 1:1:40;

y1=[0.04 0.16 0.1 -0.075 -0.2 -0.012 0.21 0.14 0.33 0.159 0.1 0.01 0.2 0.25 0.11 -

0.03 -0.02 0.091 0.165 -0.048 0.08 -0.18 0.00001 0.05 -0.2 -0.31 0.16 0.3 0.02 0.14 -

0.07 0.109 0.02 0.019 0.05 0.059 -0.095 -0.038 0.12 0.015];

z1=1./z

w = [1/0.04 1/0.16 1/0.1 1/-0.075 1/-0.2 1/-0.012 1/0.21 1/0.14 1/0.33 1/0.159 1/0.1

1/0.01 1/0.2 1/0.25 1/0.11 1/-0.03 1/-0.02 1/0.091 1/0.165 1/-0.048 -1/0.08 1/-0.18

1/0.00001 1/0.05 1/-0.2 1/-0.31 1/0.16 1/0.3 1/0.02 1/0.14 1/-0.07 1/0.109 1/0.02

1/0.019 1/0.05 1/0.059 1/-0.095 1/-0.038 1/0.12 1/0.015];

p = polyfit(z1,w,1);

b=1/p(2)

a=b*p(1)

y=(b*z)./(z+a);

zi= 1:0.5:40;

w2=polyval(p,zi);

y2=(b*zi)./(zi+a);

plot(z,y1,'o',zi,y2,'-r');

res = sum((y1-y).^2)


Neste método obtive o valor de c0 e c1, que correspondem ao meu a0 e a1. Deste

modo, no Excel calculei o polinómio e o erro de aproximação e comparei com os

valores já calculados anteriormente, no Excel e no Matlab.

B0= 0,106965

c0=a0 2501,140194

c1=a1 -5443,772308

p0= 1

B[0] = 0.106965

Coeficientes do Polinómio

c[0] = 2501.140194

c[1] = -5443.772308

Soma dos Quadrados dos Resíduos = 9715357264.370998


Excel:

zi yi p1=(z-B0*p0) p1(z)=c0*p0+c1*p1 E=(yi-p1(zi))^2

1 25 0,893035 -2360,339009 5689842,188

0,5 6,25 0,393035 361,5471449 126236,0612

0,333333333 10 0,226368333 1268,84253 1584684,514

0,25 -13,3333 0,143035 1722,490222 3013083,415

0,2 -5 0,093035 1994,678837 3998715,452

0,166666667 -83,3333 0,059701667 2176,137914 5105210,319

0,142857143 4,761905 0,035892143 2305,751541 5294553,304

0,125 7,142857 0,018035 2402,96176 5739948,217

0,111111111 33,33333 0,004146111 2478,569709 5979180,934

0,1 6,289308 -0,006965 2539,056068 6414907,46

0,090909091 10 -0,016055909 2588,544907 6648893,839

0,083333333 100 -0,023631667 2629,785607 6399815,215

0,076923077 5 -0,030041923 2664,681583 7073906,123

0,071428571 4 -0,035536429 2694,59242 7239287,569

0,066666667 9,090909 -0,040298333 2720,515145 7351821,387

0,0625 -33,3333 -0,044465 2743,19753 7709123,633

0,058823529 -50 -0,048141471 2763,211398 7914158,372

0,055555556 10,98901 -0,051409444 2781,001504 7672969,212

0,052631579 6,060606 -0,054333421 2796,918967 7788890,39

0,05 -20,8333 -0,056965 2811,244684 8020665,894

0,047619048 -12,5 -0,059345952 2824,206046 8046901,192

0,045454545 -5,55556 -0,061510455 2835,989103 8074376,047

0,043478261 100000 -0,063486739 2846,747546 9438754462

0,041666667 20 -0,065298333 2856,609453 8046353,187

0,04 -5 -0,066965 2865,682407 8240817,48

0,038461538 -3,22581 -0,068503462 2874,057441 8278758,886

0,037037037 6,25 -0,069927963 2881,812102 8268857,404

0,035714286 3,333333 -0,071250714 2889,012859 8327146,327

0,034482759 50 -0,072482241 2895,717012 8098105,315

0,033333333 -7,14286 -0,073631667 2901,974222 8462962,18

0,032258065 -14,2857 -0,074706935 2907,827741 8538747,043

0,03125 9,174312 -0,075715 2913,315414 8434035,542

0,03030303 -50 -0,07666197 2918,470502 8811817,12

0,029411765 -52,6316 -0,077553235 2923,322349 8856301,779

0,028571429 20 -0,078393571 2927,896947 8455864,656

0,027777778 16,94915 -0,079187222 2932,217401 8498788,963

0,027027027 -10,5263 -0,079937973 2936,304318 8683810,782

0,026315789 -26,3158 -0,080649211 2940,176133 8800074,326

0,025641026 8,333333 -0,081323974 2943,849394 8617254,54

0,025 66,66667 -0,081965 2947,338991 8298273,041

∑ -5,69611E-05 100045,9178 9715359602

Tabela 22 – cálculo do polinómio do erro com dados do CoNum

No final de calcular o erro de aproximação através de Excel, comparei-o com os

valores obtidos no CoNum, cheguei a conclusão que deu uma grande diferença em

relação ao do Excel, pois eu utilizei a ferramenta destinada ao método dos mínimos

quadrados para funções polinomiais, mas com o meu x e y transformados em z e w,

através da mudança de variável, o que provavelmente não está correcto e deste modo

provocar tal discrepância entre estes.


-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 10 20 30 40 50

Série1

Série2

fig18 gráfico da 1ª função – Excel

fig19- gráfico da 1ª função - Matlab


Agora tornei a repetir o mesmo processo de cálculo, para as restantes três funções.


Matlab:

Resultados:

a0 0,038737319073197

a1 0,051306539416437

b=1/a0 25,81489953

a=b*a1 1,32447316

Substituindo os valores, obtêm-se o polinómio e o erro de aproximação:

0,672577254

format long

z = 1:1:40;

z1=1./z

w = [0.04 0.16 0.1 -0.075 -0.2 -0.012 0.21 0.14 0.33 0.159 0.1 0.01 0.2 0.25 0.11 -

0.03 -0.02 0.091 0.165 -0.048 -0.08 -0.18 0.00001 0.05 -0.2 -0.31 0.16 0.3 0.02 0.14

-0.07 0.109 0.02 0.019 0.05 0.059 -0.095 -0.038 0.12 0.015];

p = polyfit(z1,w,1)

zi= 1:0.5:40;

w2=polyval(p,zi);

plot(z,w,'o',zi,w2,'-r');


No Excel:

i xi yi zi wi zi2 wizi y=(x+a)/(bx) (yi-((x+a)/(bx)))^2

0 1 0,04 1 0,04 1 0,04 0,090043858 0,002504388

1 2 0,16 0,5 0,16 0,25 0,08 0,064390589 0,00914116

2 3 0,1 0,333333333 0,1 0,111111111 0,033333333 0,055839499 0,00195015

3 4 -0,075 0,25 -0,075 0,0625 -0,01875 0,051563954 0,016018434

4 5 -0,2 0,2 -0,2 0,04 -0,04 0,048998627 0,062000316

5 6 -0,012 0,166666667 -0,012 0,027777778 -0,002 0,047288409 0,003515115

6 7 0,21 0,142857143 0,21 0,020408163 0,03 0,046066825 0,026874086

7 8 0,14 0,125 0,14 0,015625 0,0175 0,045150637 0,008996402

8 9 0,03 0,111111111 0,03 0,012345679 0,003333333 0,044438046 0,000208457

9 10 0,159 0,1 0,159 0,01 0,0159 0,043867973 0,013255384

10 11 0,1 0,090909091 0,1 0,008264463 0,009090909 0,04340155 0,003203385

11 12 0,01 0,083333333 0,01 0,006944444 0,000833333 0,043012864 0,001089849

12 13 0,2 0,076923077 0,2 0,00591716 0,015384615 0,042683976 0,024748331

13 14 0,25 0,071428571 0,25 0,005102041 0,017857143 0,042402072 0,0430969

14 15 0,11 0,066666667 0,11 0,004444444 0,007333333 0,042157755 0,00460257

15 16 -0,03 0,0625 -0,03 0,00390625 -0,001875 0,041943978 0,005175936

16 17 -0,02 0,058823529 -0,02 0,003460208 -0,001176471 0,041755351 0,003813723

17 18 0,091 0,055555556 0,091 0,00308642 0,005055556 0,041587682 0,002441577

18 19 0,165 0,052631579 0,165 0,002770083 0,008684211 0,041437663 0,015267651

19 20 -0,048 0,05 -0,048 0,0025 -0,0024 0,041302646 0,007974963

20 21 -0,08 0,047619048 -0,08 0,002267574 -0,003809524 0,041180488 0,014684711

21 22 -0,18 0,045454545 -0,18 0,002066116 -0,008181818 0,041069435 0,048871695

22 23 0,00001 0,043478261 0,00001 0,001890359 4,34783E-07 0,040968038 0,001677561

23 24 0,05 0,041666667 0,05 0,001736111 0,002083333 0,040875092 8,3264E-05

24 25 -0,2 0,04 -0,2 0,0016 -0,008 0,040789581 0,057979622

25 26 -0,31 0,038461538 -0,31 0,00147929 -0,011923077 0,040710648 0,122997958

26 27 0,16 0,037037037 0,16 0,001371742 0,005925926 0,040637561 0,014247392

27 28 0,3 0,035714286 0,3 0,00127551 0,010714286 0,040569695 0,067304083

28 29 0,02 0,034482759 0,02 0,001189061 0,000689655 0,04050651 0,000420517

29 30 -0,14 0,033333333 -0,14 0,001111111 -0,004666667 0,040447537 0,032561314

30 31 -0,07 0,032258065 -0,07 0,001040583 -0,002258065 0,040392369 0,012186475

31 32 0,109 0,03125 0,109 0,000976563 0,00340625 0,040340648 0,004714107

32 33 -0,02 0,03030303 -0,02 0,000918274 -0,000606061 0,040292063 0,003635133

33 34 -0,019 0,029411765 -0,019 0,000865052 -0,000558824 0,040246335 0,003510128

34 35 0,05 0,028571429 0,05 0,000816327 0,001428571 0,04020322 9,59769E-05

35 36 0,059 0,027777778 0,059 0,000771605 0,001638889 0,040162501 0,000354851

36 37 -0,095 0,027027027 -0,095 0,00073046 -0,002567568 0,040123982 0,018258491

37 38 -0,038 0,026315789 -0,038 0,000692521 -0,001 0,040087491 0,006097656

38 39 0,12 0,025641026 0,12 0,000657462 0,003076923 0,040052871 0,006391543

39 40 0,015 0,025 0,015 0,000625 0,000375 0,040019983 0,000626

∑ 820 1,11101 4,278543039 1,11101 1,620243963 0,203871963 E= 0,672577254

Tabela 23 – cálculo do polinómio para a 2ª função e do erro para a mesma.


Erro de aproximação no Matlab:

Resultados:

b = 25.814899531648553

a = 1.324473160351881

res = 0.724981719034330

Como pudemos ver, esta segunda função também dá valores muito parecidos

com os do Excel, logo prevemos que os resultados estejam correctos.

Resultados CoNum:

B0= 0,106964

c0=a0 0,027775

c1=a1 0,073142

p0= 1

format long

z = 1:1:40;

z1=1./z

w = [0.04 0.16 0.1 -0.075 -0.2 -0.012 0.21 0.14 0.33 0.159 0.1 0.01 0.2 0.25 0.11 -

0.03 -0.02 0.091 0.165 -0.048 -0.08 -0.18 0.00001 0.05 -0.2 -0.31 0.16 0.3 0.02 0.14

-0.07 0.109 0.02 0.019 0.05 0.059 -0.095 -0.038 0.12 0.015];


b=1/p(2)

a=b*p(1)

y=(z+a)./(b*z)

zi= 1:0.5:40;

%w2=polyval(p,zi)

y2=(zi+a)./(b*zi)

plot(z,w,'o',zi,y2,'-r');

res = sum((w-y).^2)

B[0] = 0.106964


c[0] = 0.027775

c[1] = 0.073142



Excel:


1 0,04 0,893036 0,065318439 0,000641023

0,5 0,16 0,393036 0,028747439 0,017227235

0,333333333 0,1 0,226369333 0,016557106 0,006962717

0,25 -0,075 0,143036 0,010461939 0,007303743

0,2 -0,2 0,093036 0,006804839 0,042768241

0,166666667 -0,012 0,059702667 0,004366772 0,000267871

0,142857143 0,21 0,035893143 0,002625296 0,043004268

0,125 0,14 0,018036 0,001319189 0,019232367

0,111111111 0,03 0,004147111 0,000303328 0,000881892

0,1 0,159 -0,006964 -0,000509361 0,025443236

0,090909091 0,1 -0,016054909 -0,001174288 0,010236237

0,083333333 0,01 -0,023630667 -0,001728394 0,000137555

0,076923077 0,2 -0,030040923 -0,002197253 0,040883729

0,071428571 0,25 -0,035535429 -0,002599132 0,063806322

0,066666667 0,11 -0,040297333 -0,002947428 0,012757121

0,0625 -0,03 -0,044464 -0,003252186 0,000715446

0,058823529 -0,02 -0,048140471 -0,00352109 0,000271554

0,055555556 0,091 -0,051408444 -0,003760116 0,00897948

0,052631579 0,165 -0,054332421 -0,003973982 0,028552207

0,05 -0,048 -0,056964 -0,004166461 0,001921379

0,047619048 -0,08 -0,059344952 -0,004340609 0,005724344

0,045454545 -0,18 -0,061509455 -0,004498925 0,030800627

0,043478261 0,00001 -0,063485739 -0,004643474 2,16548E-05

0,041666667 0,05 -0,065297333 -0,004775978 0,003000408

0,04 -0,2 -0,066964 -0,004897881 0,038064837

0,038461538 -0,31 -0,068502462 -0,005010407 0,093018652

0,037037037 0,16 -0,069926963 -0,005114598 0,02726283

0,035714286 0,3 -0,071249714 -0,005211347 0,093153966

0,034482759 0,02 -0,072481241 -0,005301423 0,000640162

0,033333333 -0,14 -0,073630667 -0,005385494 0,018121065

0,032258065 -0,07 -0,074705935 -0,005464142 0,004164877

0,03125 0,109 -0,075714 -0,005537873 0,013118924

0,03030303 -0,02 -0,07666097 -0,005607137 0,000207155

0,029411765 -0,019 -0,077552235 -0,005672326 0,000177627

0,028571429 0,05 -0,078392571 -0,005733789 0,003106255

0,027777778 0,059 -0,079186222 -0,005791839 0,004197982

0,027027027 -0,095 -0,079936973 -0,00584675 0,007948302

0,026315789 -0,038 -0,080648211 -0,005898771 0,001030489

0,025641026 0,12 -0,081322974 -0,005948125 0,01586293

0,025 0,015 -0,081964 -0,005995011 0,00044079

∑= -1,69611E-05 -1,24057E-06 0,692057502



-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 10 20 30 40 50

Série1

Série2

Nesta segunda função os resultados obtidos no Excel com os dados do CoNum,

já dão muito parecidos com os do Matlab e Excel, o que indica que estão correctos.

Fig20 - gráfico da 2ª função - Excel

Fig21 - gráfico da 2ª função – Matlab



Matlab:

Resultados:

a0 0,042119570497246

a1 0,044371864889844

b=a1 0,044371864889844

a=a0 0,042119570497246


0,627165556

format long

z = 1:1:40;

z1=sin(z);

w = [0.04 0.16 0.1 -0.075 -0.2 -0.012 0.21 0.14 0.33 0.159 0.1 0.01 0.2 0.25 0.11 -

0.03 -0.02 0.091 0.165 -0.048 -0.08 -0.18 0.00001 0.05 -0.2 -0.31 0.16 0.3 0.02 0.14

-0.07 0.109 0.02 0.019 0.05 0.059 -0.095 -0.038 0.12 0.015];

p = polyfit(z1,w,1)

zi= 1:0.5:40;

w2=polyval(p,zi);



No Excel:

i xi yi zi wi zi2 wizi y=a+b*sin(x) (yi-(a+b*sin(x)))^2

0 1 0,04 0,841470985 0,04 0,708073418 0,033658839 7,9457E-02 0,001556871

1 2 0,16 0,909297427 0,16 0,82682181 0,145487588 8,2467E-02 0,006011398

2 3 0,1 0,141120008 0,1 0,019914857 0,014112001 4,8381E-02 0,002664487

3 4 -0,075 -0,756802495 -0,075 0,572750017 0,056760187 8,5388E-03 0,006978737

4 5 -0,2 -0,958924275 -0,2 0,919535765 0,191784855 -4,2969E-04 0,039828309

5 6 -0,012 -0,279415498 -0,012 0,078073021 0,003352986 2,9721E-02 0,001740674

6 7 0,21 0,656986599 0,21 0,431631391 0,137967186 7,1271E-02 0,019245655

7 8 0,14 0,989358247 0,14 0,97882974 0,138510155 8,6019E-02 0,002913922

8 9 0,03 0,412118485 0,03 0,169841646 0,012363555 6,0406E-02 0,000924527

9 10 0,159 -0,544021111 0,159 0,295958969 -0,086499357 1,7980E-02 0,019886545

10 11 0,1 -0,999990207 0,1 0,999980413 -0,099999021 -2,2519E-03 0,010455443

11 12 0,01 -0,536572918 0,01 0,287910496 -0,005365729 1,8311E-02 6,90699E-05

12 13 0,2 0,420167037 0,2 0,176540339 0,084033407 6,0763E-02 0,019386896

13 14 0,25 0,990607356 0,25 0,981302933 0,247651839 8,6075E-02 0,026871515

14 15 0,11 0,65028784 0,11 0,422874275 0,071531662 7,0974E-02 0,001523024

15 16 -0,03 -0,287903317 -0,03 0,08288832 0,008637099 2,9345E-02 0,003521801

16 17 -0,02 -0,961397492 -0,02 0,924285137 0,01922795 -5,3943E-04 0,000378714

17 18 0,091 -0,750987247 0,091 0,563981845 -0,068339839 8,7969E-03 0,006757355

18 19 0,165 0,14987721 0,165 0,022463178 0,02472974 4,8770E-02 0,013509436

19 20 -0,048 0,912945251 -0,048 0,833469031 -0,043821372 8,2629E-02 0,017063845

20 21 -0,08 0,836655639 -0,08 0,699992657 -0,066932451 7,9244E-02 0,025358505

21 22 -0,18 -0,008851309 -0,18 7,83457E-05 0,001593236 4,1727E-02 0,049162783

22 23 0,00001 -0,846220404 0,00001 0,716088972 -8,4622E-06 4,5712E-03 2,08045E-05

23 24 0,05 -0,905578362 0,05 0,82007217 -0,045278918 1,9374E-03 0,002310016

24 25 -0,2 -0,13235175 -0,2 0,017516986 0,02647035 3,6247E-02 0,055812587

25 26 -0,31 0,76255845 -0,31 0,58149539 -0,23639312 7,5956E-02 0,148961811

26 27 0,16 0,956375928 0,16 0,914654916 0,153020149 8,4556E-02 0,005691834

27 28 0,3 0,270905788 0,3 0,073389946 0,081271736 5,4140E-02 0,060447058

28 29 0,02 -0,663633884 0,02 0,440409932 -0,013272678 1,2673E-02 5,36864E-05

29 30 -0,14 -0,988031624 -0,14 0,97620649 0,138324427 -1,7212E-03 0,019121017

30 31 -0,07 -0,404037645 -0,07 0,163246419 0,028282635 2,4192E-02 0,00887207

31 32 0,109 0,551426681 0,109 0,304071385 0,060105508 6,6587E-02 0,001798829

32 33 -0,02 0,99991186 -0,02 0,999823728 -0,019998237 8,6488E-02 0,011339593

33 34 -0,019 0,529082686 -0,019 0,279928489 -0,010052571 6,5596E-02 0,007156476

34 35 0,05 -0,428182669 0,05 0,183340398 -0,021409133 2,3120E-02 0,000722518

35 36 0,059 -0,991778853 0,059 0,983625294 -0,058514952 -1,8875E-03 0,003707288

36 37 -0,095 -0,643538133 -0,095 0,414141329 0,061136123 1,3565E-02 0,011786269

37 38 -0,038 0,296368579 -0,038 0,087834334 -0,011262006 5,5270E-02 0,008699292

38 39 0,12 0,963795386 0,12 0,928901547 0,115655446 8,4885E-02 0,001233065

39 40 0,015 0,74511316 0,015 0,555193622 0,011176697 7,5182E-02 0,003621829

∑ 820 1,11101 1,898211408 1,11101 20,43713895 1,07969751 E= 0,627165556

Tabela 25– cálculo do polinómio para a 3ª função e do erro para a mesma.



Resultados:

b = 0.044371864889844

a = 0.042119570497246

res = 0.68798153172394

Verificamos também na 3ª função que os resultados do Matlab são próximos dos

do Excel, então estão correctos.

Resultados CoNum:

B0= 0,028125

c0=a0 0,027775

c1=a1 0,056728

p0= 1

format long

z = 1:1:40;

z1=sin(z)

w = [0.04 0.16 0.1 -0.075 -0.2 -0.012 0.21 0.14 0.33 0.159 0.1 0.01 0.2 0.25 0.11 -

0.03 -0.02 0.091 0.165 -0.048 -0.08 -0.18 0.00001 0.05 -0.2 -0.31 0.16 0.3 0.02 0.14

-0.07 0.109 0.02 0.019 0.05 0.059 -0.095 -0.038 0.12 0.015];


b=p(1)

a=p(2)

y=a+b*sin(z);

zi= 1:0.5:40;

w2=polyval(p,zi)

y2=a+b*sin(zi);

plot(z,w,'o',zi,y2,'-r');

res = sum((w-y).^2)

B[0] = 0.028125


c[0] = 0.027775

c[1] = 0.056728



Excel:


0,841470985 0,04 0,813345985 0,073914491 0,001150193

0,909297427 0,16 0,881172427 0,077762149 0,006763064

0,141120008 0,1 0,112995008 0,034184981 0,004331617

-0,756802495 -0,075 -0,7849275 -0,016752367 0,003392787

-0,958924275 -0,2 -0,98704927 -0,028218331 0,029508942

-0,279415498 -0,012 -0,3075405 0,010328843 0,000498577

0,656986599 0,21 0,628861599 0,063449061 0,021477178

0,989358247 0,14 0,961233247 0,08230384 0,003328847

0,412118485 0,03 0,383993485 0,049558182 0,000382522

-0,544021111 0,159 -0,57214611 -0,004681705 0,0267917

-0,999990207 0,1 -1,02811521 -0,030547919 0,017042759

-0,536572918 0,01 -0,56469792 -0,004259183 0,000203324

0,420167037 0,2 0,392042037 0,050014761 0,022495572

0,990607356 0,25 0,962482356 0,082374699 0,028098242

0,65028784 0,11 0,62216284 0,063069054 0,002202514

-0,287903317 -0,03 -0,31602832 0,009847346 0,001587811

-0,961397492 -0,02 -0,98952249 -0,028358632 6,98667E-05

-0,750987247 0,091 -0,77911225 -0,01642248 0,011539589

0,14987721 0,165 0,12175221 0,034681759 0,016982844

0,912945251 -0,048 0,884820251 0,077969083 0,01586821

0,836655639 -0,08 0,808530639 0,073641326 0,023605657

-0,008851309 -0,18 -0,03697631 0,025677408 0,042303196

-0,846220404 0,00001 -0,8743454 -0,021824866 0,000476761

-0,905578362 0,05 -0,93370336 -0,025192124 0,005653856

-0,13235175 -0,2 -0,16047675 0,018671475 0,047817214

0,76255845 -0,31 0,73443345 0,069437941 0,143973151

0,956375928 0,16 0,928250928 0,080432819 0,006330936

0,270905788 0,3 0,242780788 0,041547469 0,066797711

-0,663633884 0,02 -0,69175888 -0,011467098 0,000990178

-0,988031624 -0,14 -1,01615662 -0,029869533 0,01212872

-0,404037645 -0,07 -0,43216265 0,003259277 0,005366922

0,551426681 0,109 0,523301681 0,057460858 0,002656283

0,99991186 -0,02 0,97178686 0,082902525 0,01058893

0,529082686 -0,019 0,500957686 0,056193328 0,005654037

-0,428182669 0,05 -0,45630767 0,001889579 0,002314613

-0,991778853 0,059 -1,01990385 -0,030082106 0,007935622

-0,643538133 -0,095 -0,67166313 -0,010327106 0,007169499

0,296368579 -0,038 0,268243579 0,042991922 0,006559691

0,963795386 0,12 0,935670386 0,08085371 0,001532432

0,74511316 0,015 0,71698816 0,068448304 0,002856721

∑=

0,773211408 1,154862737 0,616428288



-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 10 20 30 40 50

Série1

Série2

Nesta 3ª função, também os resultados do Excel e Matlab dão parecidos com o

CoNum, logo estão correctos.

Fig22 - gráfico da 3ª função – Excel

Fig23 - gráfico da 3ª função - Matlab



Matlab:

Resultados:

a0 2714,071483790110000

a1 -4387,29095190903

b=a1 -4387,29095190903

a=a0 2714,071483790110000


0,700987

format long

z = 1:1:40;

z1=sin(z);

w = [0.04 0.16 0.1 -0.075 -0.2 -0.012 0.21 0.14 0.33 0.159 0.1 0.01 0.2 0.25 0.11 -

0.03 -0.02 0.091 0.165 -0.048 -0.08 -0.18 0.00001 0.05 -0.2 -0.31 0.16 0.3 0.02 0.14

-0.07 0.109 0.02 0.019 0.05 0.059 -0.095 -0.038 0.12 0.015];

w1=1./w

p = polyfit(z1,w1,1)

zi= 1:0.5:40;

w2=polyval(p,zi);



Excel:

i xi yi zi wi zi2 wizi y=1/(a+b*sin(x)) (yi-(1/(a+b*sin(x))))^2

0 1 0,04 0,841470985 25 0,708073418 21,03677462 -1,0228E-03 0,00168287

1 2 0,16 0,909297427 6,25 0,82682181 5,683108918 -7,8414E-04 0,02585154

2 3 0,1 0,141120008 10 0,019914857 1,411200081 4,7734E-04 0,00990476

3 4 -0,075 -0,756802495 -13,33333333 0,572750017 10,09069994 1,6572E-04 0,005649885

4 5 -0,2 -0,958924275 -5 0,919535765 4,794621373 1,4448E-04 0,040057815

5 6 -0,012 -0,279415498 -83,33333333 0,078073021 23,28462485 2,5381E-04 0,000150156

6 7 0,21 0,656986599 4,761904762 0,431631391 3,128507613 -5,9411E-03 0,046630545

7 8 0,14 0,989358247 7,142857143 0,97882974 7,066844619 -6,1481E-04 0,019772523

8 9 0,03 0,412118485 33,33333333 0,169841646 13,73728284 1,1038E-03 0,000834992

9 10 0,159 -0,544021111 6,289308176 0,295958969 -3,421516421 1,9605E-04 0,025218696

10 11 0,1 -0,999990207 10 0,999980413 -9,999902066 1,4082E-04 0,009971856

11 12 0,01 -0,536572918 100 0,287910496 -53,6572918 1,9731E-04 9,60927E-05

12 13 0,2 0,420167037 5 0,176540339 2,100835184 1,1485E-03 0,039541906

13 14 0,25 0,990607356 4 0,981302933 3,962429423 -6,1274E-04 0,062806746

14 15 0,11 0,65028784 9,090909091 0,422874275 5,911707638 -7,1978E-03 0,013735335

15 16 -0,03 -0,287903317 -33,33333333 0,08288832 9,596777222 2,5143E-04 0,000915149

16 17 -0,02 -0,961397492 -50 0,924285137 48,06987459 1,4426E-04 0,000405791

17 18 0,091 -0,750987247 10,98901099 0,563981845 -8,252607107 1,6642E-04 0,008250739

18 19 0,165 0,14987721 6,060606061 0,022463178 0,908346725 4,8626E-04 0,027064771

19 20 -0,048 0,912945251 -20,83333333 0,833469031 -19,01969272 -7,7442E-04 0,002230255

20 21 -0,08 0,836655639 -12,5 0,699992657 -10,45819548 -1,0454E-03 0,00623383

21 22 -0,18 -0,008851309 -5,555555556 7,83457E-05 0,049173941 3,6325E-04 0,032530903

22 23 0,00001 -0,846220404 100000 0,716088972 -84622,04042 1,5560E-04 2,11997E-08

23 24 0,05 -0,905578362 20 0,82007217 -18,11156724 1,4954E-04 0,002485068

24 25 -0,2 -0,13235175 -5 0,017516986 0,66175875 3,0351E-04 0,040121498

25 26 -0,31 0,76255845 -3,225806452 0,58149539 -2,459865969 -1,5835E-03 0,095120709

26 27 0,16 0,956375928 6,25 0,914654916 5,977349553 -6,7484E-04 0,025816405

27 28 0,3 0,270905788 3,333333333 0,073389946 0,903019294 6,5551E-04 0,089607123

28 29 0,02 -0,663633884 50 0,440409932 -33,18169421 1,7776E-04 0,000392921

29 30 -0,14 -0,988031624 -7,142857143 0,97620649 7,057368744 1,4187E-04 0,019639743

30 31 -0,07 -0,404037645 -14,28571429 0,163246419 5,771966362 2,2288E-04 0,004931253

31 32 0,109 0,551426681 9,174311927 0,304071385 5,058960378 3,3921E-03 0,011153027

32 33 -0,02 0,99991186 -50 0,999823728 -49,99559301 -5,9779E-04 0,000376446

33 34 -0,019 0,529082686 -52,63157895 0,279928489 -27,84645716 2,5456E-03 0,000464214

34 35 0,05 -0,428182669 20 0,183340398 -8,56365339 2,1774E-04 0,002478273

35 36 0,059 -0,991778853 16,94915254 0,983625294 -16,80981108 1,4154E-04 0,003464319

36 37 -0,095 -0,643538133 -10,52631579 0,414141329 6,774085614 1,8059E-04 0,009059344

37 38 -0,038 0,296368579 -26,31578947 0,087834334 -7,799173124 7,0731E-04 0,001498255

38 39 0,12 0,963795386 8,333333333 0,928901547 8,031628219 -6,6034E-04 0,014558917

39 40 0,015 0,74511316 66,66666667 0,555193622 49,6742107 -1,8019E-03 0,000282305

∑ 820 1,11101 1,898211408 100045,6078 20,43713895 -84640,87428 E= 0,700987

Tabela 27– cálculo do polinómio para a 4ª função e do erro para a mesma.



Resultados:

b = -4.386321278157237e+003

a = 2.714650467645684e+003

res = 0.808471652401682

Nesta 4ª função, verificamos uma discrepância entre os valores dos erros de

aproximação do Excel e Matlab com os do CoNum, a explicação deve-se ao facto de

utilizar os valores de x e y alterados pela mudança de variável para z e w e usar a

ferramenta do método mínimos quadrados polinomial.

Resultados CoNum:

B0= 0,028125

c0=a0 2501,140194

c1=a1 -4123,467972

p0= 1

format long

z = 1:1:40;

y1=[0.04 0.16 0.1 -0.075 -0.2 -0.012 0.21 0.14 0.33 0.159 0.1 0.01 0.2 0.25 0.11 -

0.03 -0.02 0.091 0.165 -0.048 0.08 -0.18 0.00001 0.05 -0.2 -0.31 0.16 0.3 0.02 0.14 -

0.07 0.109 0.02 0.019 0.05 0.059 -0.095 -0.038 0.12 0.015];

w=1./y1;

z1=sin(z);


b=p(1);

a=p(2);

y=1./(a+(b*sin(z)));

zi= 1:0.5:40;

w2=polyval(p,zi);

y2=1./(a+(b*sin(zi)));

plot(z,y1,'o',zi,y2,'-r');

res = sum((y1-y).^2)

B[0] = 0.028125


c[0] = 2501.140194

c[1] = -4123.467972



Excel:


0,841470985 25 0,813345985 -852,6659245 770297,475

0,909297427 6,25 0,881172427 -1132,346086 1296401,047

0,141120008 10 0,112995008 2035,208897 4101471,078

-0,756802495 -13,33333333 -0,7849275 5737,763581 33075115,72

-0,958924275 -5 -0,98704927 6571,206265 43246488,84

-0,279415498 -83,33333333 -0,3075405 3769,273588 14842580,09

0,656986599 4,761904762 0,628861599 -91,95046714 9353,282878

0,989358247 7,142857143 0,961233247 -1462,474312 2159774,624

0,412118485 33,33333333 0,383993485 917,7553561 782202,3144

-0,544021111 6,289308176 -0,57214611 4860,366358 23562064

-0,999990207 10 -1,02811521 6740,54032 45300173

-0,536572918 100 -0,56469792 4829,653973 22369626,7

0,420167037 5 0,392042037 884,5674115 773638,8313

0,990607356 4 0,962482356 -1467,624973 2165680,062

0,65028784 9,090909091 0,62216284 -64,32835076 5390,387717

-0,287903317 -33,33333333 -0,31602832 3804,272836 14727221,11

-0,961397492 -50 -0,98952249 6581,404497 43975525,6

-0,750987247 10,98901099 -0,77911225 5713,78459 32521877,42

0,14987721 6,060606061 0,12175221 1999,098857 3972201,469

0,912945251 -20,83333333 0,884820251 -1147,387771 1269124,901

0,836655639 -12,5 0,808530639 -832,8099984 672908,4934

-0,008851309 -5,555555556 -0,03697631 2653,610821 7071165,819

-0,846220404 100000 -0,8743454 6106,475465 8815993950

-0,905578362 20 -0,93370336 6351,236103 40084550,59

-0,13235175 -5 -0,16047675 3162,860933 10035342,89

0,76255845 -3,225806452 0,73443345 -527,2726166 274625,0592

0,956375928 6,25 0,928250928 -1326,472779 1776150,006

0,270905788 3,333333333 0,242780788 1500,041389 2240135,004

-0,663633884 50 -0,69175888 5353,585797 28128022,31

-0,988031624 -7,142857143 -1,01615662 6691,229488 44868192,07

-0,404037645 -14,28571429 -0,43216265 4283,149021 18467945,3

0,551426681 9,174311927 0,523301681 343,3224717 111654,9927

0,99991186 -50 0,97178686 -1505,991799 2119912,12

0,529082686 -52,63157895 0,500957686 435,45722 238230,6756

-0,428182669 20 -0,45630767 4382,710255 19033240,77

-0,991778853 16,94915254 -1,01990385 6706,681068 44752513,1

-0,643538133 -10,52631579 -0,67166313 5270,721612 27891579,68

0,296368579 -26,31578947 0,268243579 1395,046388 2020270,441

0,963795386 8,333333333 0,935670386 -1357,066676 1864317,186

0,74511316 66,66666667 0,71698816 -455,337522 272488,373

∑=

0,773211408 96857,29529 9358843403


-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Série1

Série2

fig.24 - gráficos da 4ª função – Excel

fig.25 - gráficos da 4ª função - Matlab


Conclusão geral:

No final da realização deste trabalho cheguei à conclusão que

independentemente da utilização dos programas computacionais, Excel e Matlab, os

resultados dão os mesmos valores, tanto para os coeficientes do polinómio, quer para os

erros de aproximação, nas quatro funções.

Apliquei também as quatro funções no programa computacional CoNum, mas

neste, apenas duas das quatro funções (2ª e 3ª) deram o resultado dos erros parecidos

com os calculados anteriormente, no Excel e no Matlab, os valores do erro das outras

duas funções (1ª e 4ª) deram com uma grande diferença do erro obtido através do

Matlab e Excel. Na minha opinião esta descrepancia entre os erros deve-se ao facto de

no CoNum utilizar a ferramenta do método dos mínimos quadrados para funções

polinomiais, o que me obrigou a colocar no lugar do x e y, o meu z e w, alterados pela

mudança de variável.


5.Conclusão A estabilidade da postura erecta é alcançada gerando-se momentos de força

sobre as articulações do corpo para neutralizar o efeito da gravidade ou de qualquer

outra perturbação num processo contínuo e dinâmico durante a permanência em

determinada postura.

Os limites de estabilidade dependem da área da base de apoio, da projeção

vertical do Centro de Massa, da altura do Centro de Massa e do peso da massa que será

controlada. Os limites de estabilidade também dependem da interação entre a posição e

velocidade do Centro de Massa.

Portanto, se o indivíduo estiver muito próximo da borda da base de apoio e a

velocidade do Centro de Massa for alta, é mais difícil recuperar a estabilidade do que se

o indivíduo estiver no centro da base de apoio com velocidade igualmente alta.

Após realizarmos a modelagem computacional para este problema, que no fundo

era encontrar aproximações polinomiais para perceber a maneira como o ser humano

controla o equilibrio da postura erecta, pudemos concluir que em todos os métodos que

utilizámos, os resultados foram os esperados.

Por exemplo, nos métodos Interpolador de Gregory-Newton e Interpolador de

Newton os resultados obtidos foram idênticos. Podemos dizer que o interpolador de

Gregory-Newton é uma forma simplificada do segundo método, daí os resultados não

diferirem muito. No entanto, o polinómio de grau 39 em ambos os métodos não foi

possivel de obter aproximação correcta devido ao entruncamento dos algarismos.

No método do Interpolador de Lagrange, foram alcançados os objectivos

esperados. Ou seja, todos os polinómios encontrados por ramos se aproximaram (por

rectas) dos valores reais.

No método dos minimos quadrados não polinomiais, tambem os objectivos

esperados foram alcançados nos programas Matlab e Excel. Contudo, no CoNum dois

dos valores não deram correctos. Esses dois valores referem-se ao erro de aproximação

aos valores reias, o que significa que existiu uma margem de erro dos pontos do gráfico

inicial em relação aos pontos obtidos.


Finalmente, no Método dos minimos quadrados polinomiais obtiveram-se

resultados na sua maioria concordantes com a teoria.No entanto, a partir do polinómio

15, com o aumento do grau do polinómio, o erro de aproximaçao em vez de diminuir,

aumenta, acabando por „explodir‟ no de grau 39, tal como nos dois primeiros métodos

acima indicados. Neste método concluiu-se então que a melhor aproximação

encontrada para o problema é o polinómio de grau 21, pois a partir deste o erro começa

a aumentar, ao contrário do que deveria acontecer.


6.Bibliografia [1].Apontamentos das aulas da Prof. Ana Isabel Pereira, ESTIG, Bragança 2009-2010.

[2]. http://www.math.ist.utl.pt/~calves/cursos/Interpola.HTM (visita a 05/04/2010)

[3].http://www.geoma.lncc.br/pdfs/interpolacao.pdf (visita a 23/03/2010)

[4].http://www2.mat.ua.pt/disciplinas/mne/Documentos/Interpola%C3%A7%C3%A3o.

pdf (vista a 23/03/2010)

[5].http://www.estv.ipv.pt/PaginasPessoais/lsousa/Teoria_actualMN/Cap%C3%ADtulo

4-interpola%C3%A7%C3%A3o.pdf (visita a 24/03/2010)

[6].http://www.ipb.pt/~balsa/teaching/MN08/Inter_Pol.pdf (visita a 25/03/2010)

[7].http://ltodi.est.ips.pt/metnum/documentos/MN_CHEDAS_SAMPAIO/IntPol.pdf

(visita a 30/03/2010)

[8].http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/services/CalNum2S0506/aproximacao.pdf (visita a

01/04/2010)

[9].http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/7CN_Interpolacao_Parte1.pdf (visita a

01/04/2010)

[10].http://www2.mat.ua.pt/disciplinas/mne/Documentos/Polin%C3%B3mios.pdf

(visita a 07/04/2010)

[11].http://paginas.fe.up.pt/~jmcarval/an/7/an7.html (Site que explica os métodos de

interpolação) (visita a 07/04/2010)

[12].http://www.feg.unesp.br/~gsena/Disciplinas/CCN/Turma_Civil_2005/textos_de_ap

oio_listas/calculonumerico2005/Capitulo4_Interpolacao_Rev_2005.pdf (visita a

08/04/2010)

[13].http://www.ionildo.cjb.net/metodos/ (visita a 12/04/2010)

[14].http://www.decom.cefetmg.br/docentes/flavio_cardeal/Teaching/mnc/aula_interpol

a.pdf (visita a 12/04/2010)

[15].http://hilgenstieler.com/download/apostila_metodos.pdf (visita a 12/04/2010)

http://www.math.ist.utl.pt/~calves/cursos/Interpola.HTM

http://www.geoma.lncc.br/pdfs/interpolacao.pdf

http://www2.mat.ua.pt/disciplinas/mne/Documentos/Interpola%C3%A7%C3%A3o.pdf

http://www2.mat.ua.pt/disciplinas/mne/Documentos/Interpola%C3%A7%C3%A3o.pdf

http://www.estv.ipv.pt/PaginasPessoais/lsousa/Teoria_actualMN/Cap%C3%ADtulo4-interpola%C3%A7%C3%A3o.pdf

http://www.estv.ipv.pt/PaginasPessoais/lsousa/Teoria_actualMN/Cap%C3%ADtulo4-interpola%C3%A7%C3%A3o.pdf

http://www.ipb.pt/~balsa/teaching/MN08/Inter_Pol.pdf

http://ltodi.est.ips.pt/metnum/documentos/MN_CHEDAS_SAMPAIO/IntPol.pdf

http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/services/CalNum2S0506/aproximacao.pdf

http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/7CN_Interpolacao_Parte1.pdf

http://www2.mat.ua.pt/disciplinas/mne/Documentos/Polin%C3%B3mios.pdf

http://paginas.fe.up.pt/~jmcarval/an/7/an7.html

http://www.feg.unesp.br/~gsena/Disciplinas/CCN/Turma_Civil_2005/textos_de_apoio_listas/calculonumerico2005/Capitulo4_Interpolacao_Rev_2005.pdf

http://www.feg.unesp.br/~gsena/Disciplinas/CCN/Turma_Civil_2005/textos_de_apoio_listas/calculonumerico2005/Capitulo4_Interpolacao_Rev_2005.pdf

http://www.ionildo.cjb.net/metodos/

http://www.decom.cefetmg.br/docentes/flavio_cardeal/Teaching/mnc/aula_interpola.pdf

http://www.decom.cefetmg.br/docentes/flavio_cardeal/Teaching/mnc/aula_interpola.pdf

http://hilgenstieler.com/download/apostila_metodos.pdf


[16].http://bragatel.pt/ns001105/conum.htm (visita a 12/04/2010)

[17].http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/services/CalNum2S0506/aproximacao2.pdf (visita a

05/05/2010)

[18].http://www.uac.pt/~mdias/cap2.pdf (visita a 10/05/2010)

[19].http://nptel.iitm.ac.in/courses/Webcourse-contents/IIT-

KANPUR/Numerical%20Analysis/numerical-analysis/Rathish-kumar/rathish-

oct31/fratnode9.html (visita a 25/05/2010)

[20].http://www.diale.org/mnoctave.html (visita a 17/04/2010)

[21].http://thinkfnwiki.com/wikibolsa/M%C3%A9todo_dos_m%C3%ADnimos_quadra

dos (visita a 17/04/2010)

[22].http://www.math-linux.com/spip.php?article71; (visita a 22/05/2010)

[23].http://turing.une.edu.au/~amth247/Lectures_2003/Lecture_12/lecture/lecture.htmlS

ECTION00031000000000000000; (visita a 22/05/2010)

[24].http://www.math.ist.utl.pt/~calves/cursos/Interpola.HTM; (visita a 22/05/2010)

[25].http://www.isegi.unl.pt/docentes/vlobo/escola_naval/AnaliseNumerica/AnaliseNu

merica_5_interpolacao6.pdf; (visita a 22/05/2010)

[26].http://pt.wikipedia.org/wiki/Maxima; (visita a 28/05/2010)

27].http://ssdi.di.fct.unl.pt/~nmm/icp/material/aulas_praticas/octave/guia/guia_octave.ht

ml; (visita a 28/05/2010)

[28].http://www.baixaki.com.br/download/freemat.htm; (visita a 28/05/2010)

[29].http://bragatel.pt/ns001105/conum.htm; (visita a 28/05/2010)

[30]. http://www.ieeta.pt/~asilva/webace0809/ (visita a 23/04/2010)

[32].http://valmene.vilabol.uol.com.br/cong/Congresso.html (visita a 13/05/2010)

[33].http://www2.mat.ua.pt/disciplinas/mn/Folhas%20Praticas.htm (visita a 23/04/2010)

http://bragatel.pt/ns001105/conum.htm

http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/services/CalNum2S0506/aproximacao2.pdf

http://www.uac.pt/~mdias/cap2.pdf

http://nptel.iitm.ac.in/courses/Webcourse-contents/IIT-KANPUR/Numerical%20Analysis/numerical-analysis/Rathish-kumar/rathish-oct31/fratnode9.html



http://www.diale.org/mnoctave.html

http://thinkfnwiki.com/wikibolsa/M%C3%A9todo_dos_m%C3%ADnimos_quadrados

http://thinkfnwiki.com/wikibolsa/M%C3%A9todo_dos_m%C3%ADnimos_quadrados

http://www.math-linux.com/spip.php?article71

http://turing.une.edu.au/~amth247/Lectures_2003/Lecture_12/lecture/lecture.htmlSECTION00031000000000000000

http://turing.une.edu.au/~amth247/Lectures_2003/Lecture_12/lecture/lecture.htmlSECTION00031000000000000000

http://www.math.ist.utl.pt/~calves/cursos/Interpola.HTM

http://www.isegi.unl.pt/docentes/vlobo/escola_naval/AnaliseNumerica/AnaliseNumerica_5_interpolacao6.pdf

http://www.isegi.unl.pt/docentes/vlobo/escola_naval/AnaliseNumerica/AnaliseNumerica_5_interpolacao6.pdf

http://pt.wikipedia.org/wiki/Maxima

http://ssdi.di.fct.unl.pt/~nmm/icp/material/aulas_praticas/octave/guia/guia_octave.html

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http://www.baixaki.com.br/download/freemat.htm

http://www.ieeta.pt/~asilva/webace0809/

http://valmene.vilabol.uol.com.br/cong/Congresso.html

http://www2.mat.ua.pt/disciplinas/mn/Folhas%20Praticas.htm


Anexos

Breve descrição de todos os programas utilizados na realização do trabalho:

Programa Conum:

O CoNum trata-se de um software, desenvolvido na Universidade do Minho, que

complementa o livro “Computação numérica”, Fernandes Edite Manuela da GP (1998)

Publicações Universidade do Minho”, tendo em vista a resolução de problemas de

métodos numéricos.

O campo de acção do CoNum é a análise numérica tendo como base de utilização

o algoritmo. Este software de fácil utilização é escrito na linguagem C++ para ambiente

Windows ajudando o utilizador a resolver uma grande variedade de problemas

matemáticos nos domínios da Álgebra Linear, Aproximação, Resolução de equações,

Integração, Equações Diferenciais e Optimização através da utilização dos Métodos

Numéricos.

A comunicação com o utilizador é feita através de menus, dividindo-se em quatro

janelas: Ficheiro, Problemas, Opções e Help. Estes são constituídos por cinquenta e

duas rotinas, das quais cinco são para a resolução de equações diferenciais.

Programa FreeMat

FreeMat é um ambiente de desenvolvimento voltado para cálculo numérico,

engenharia e aplicações científicas — similar ao programa comercial Matlab. Possui

suporte para várias funções do Matlab e algumas funcionalidades IDL, suporta código

de programação C, C++ e Fortran e ainda desenvolvimento de algoritimos distribuídos

paralelamente via MPI.

O programa conta ainda com alguns volumes estendidos, visualização 3D, manipulação

de imagem, plotagem e criação de gráficos. Sem dúvida, um programa completo e

indispensável para as pessoas do ramo.


Programa Maxima:

Trata-se de um software livre para cálculos matemáticos, semelhante ao Matlab e ao

Mathematica. O Maxima é um sistema para manipulação de expressões algébricas e

numéricas, incluindo integral, diferencial, sistemas de equações lineares, vetores e

matrizes. O maxima produz resultados precisos usando seu sistema especial de

"floating" e pode trabalhar com funções e dados em duas ou três dimensões. Mais

precisamente, o Maxima é um sistema de computação algébrica que possibilita a

manipulação de expressões e a análise de problemas. Baseado em um núcleo que

utiliza a linguagem LISP, o sistema permite programação por meio de uma linguagem

própria, o que aumenta as possibilidades de resolução de problemas.

Programa Octave

O Octave é uma linguagem de programação de alto nível, destinada ao tratamento de

problemas para computação numérica. O interface com o programador é efectuado

através de uma linha de comando.

O Octave pode efectuar cálculos aritméticos com reais, escalares complexos e

matrizes; resolver sistemas de equações algébricas; integrar funções sobre intervalos

finitos e infinitos e integrar sistemas de equações diferenciais ordinárias e diferenciais

algébricas.

Permite gerar para o ecrã e para a impressora gráficos 2D e 3D, utilizando o Gnuplot.

O Octave é em grande parte compatível com o MatLab.

Programa Scilab:

O Scilab é um software científico para computação numérica semelhante ao Matlab

que fornece um poderoso ambiente computacional aberto para aplicações científicas.

O Scilab inclui centenas de funções matemáticas com a possibilidade de adicionar

interativamente programas de várias linguagens ( FORTRAN, C, C++, Java ). Possui

sofisticadas estruturas de dados, incluindo listas, polinômios, sistemas lineares...), um

http://pt.wikipedia.org/wiki/Software_livre

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matlab

http://pt.wikipedia.org/wiki/Mathematica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Software

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matlab


interpretador de linguagem de programação de alto nível. O usuário pode definir

novos tipos de informação e operações sobre esses tipos.

trabalho metodos

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