Paulo Rodrigues Lima Vargas Moniz

TOPICOS DE RELATIVIDADE ECOSMOLOGIA

PROGRAMA E METODOS DE ENSINO

Departamento de Fısica

Universidade da Beira Interior

Setembro de 2003

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INDICE

I. Introducao

I.1 Objectivos

I.2 Pressupostos

II. Programa do Curso

III. Pormenorizacao do Programa

IV. Estrategias

V. Metodos de Ensino (aulas teoricas e teorico-practicas)

VI. Avaliacao

IX. Bibliografia

Apendices:

A. Exame Modelo

B. Series de Exercicios

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I. Introducao

Este relatorio, constituıdo por uma descricao de objectivos, programa eseus conteudos, bibliografia e metodos de ensino (em particular indicandoe exemplificando o tipo de avaliacao), diz respeito a um curso introdutorioem Teoria da Relatividade. O presente curso pode ser utilizado no quartoano de uma Licenciatura na area de Fısica (por exemplo, Fısica – ramo dealtas energias). Outras Licenciaturas (por exemplo, Fısica - ramo de ensino)poderao tambem usar parte do conteudo do curso que aqui iremos descrever.

A inclusao de uma disciplina dedicada ao estudo da Teoria da Relativi-dade no elenco curricular de uma Licenciatura na area de Fısica e plena-mente justificada. O objectivo da ciencia e fornecer uma explicacao rigorosados varios comportamentos que podem ser observados na Natureza e nessesentido, um conhecimento eficaz da Teoria da Relatividade e imprescindıvel.Essencialmente preenchida por duas areas (a Relatividade Restrita e a Rel-atividade Geral), a Teoria da Relatividade tem constituıdo um pilar funda-mental onde se tem apoiado outros ramos da ciencia como a Astrofısica ou aFısica Nuclear e de Partıculas Elementares. A tıtulo de exemplo, refiramosuma importante gama de fenomenos fısicos cuja compreensao requere umaaprendizagem da Teoria da Relatividade:

• A dilatacao do tempo, contraccao de comprimentos, equivalencia demassa-energia e producao de partıculas no quadro da Relatividade Re-strita;

• A explicacao do comportamento orbital (avanco do perihelio) de Mercurioatraves da relatividade geral, assim como do encurvamento de tra-jectorias luminosas na proximidade de objectos macicos (e.g., Sol);

• Uma descricao para a dinamica e formacao de estrutura do Universoque observamos, em termos da sua expansao e da radiacao cosmicade fundo que o preenche, onde a cosmologia relativista constitui umaferramenta fundamental.

A Teoria da Relatividade e de facto notavel. Os seus metodos matematicos,ainda que sendo aparentemente complicados, sao extremamente elegantes.Os conceitos e princıpios que inclui podem parecer difıceis de lidar mas saode uma grande subtileza e simplicidade. As aplicacoes de varios resultados

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assim como as estruturas fısicas e matematicas presentes sao muito impor-tantes e possuem pois um alcance de enorme relevancia.

Num contexto recente (mas ainda essencialmente teorico) o formalismoe conceitos introduzidos pela Teoria da Relatividade tem sido cruciais nodesenvolvimento de teorias de unificacao de interaccoes fısicas (gravitacao,electromagnetismo, interaccao nuclear fraca e forte). Em particular, a es-trutura geometrica (baseada em transformacao de coordenadas e simetrias)da Relatividade Geral tem sido estendida a outras interaccoes, atraves dequadros teoricos mais abrangentes que o da a propria Relatividade Geral. Eneste cenario que hoje se encontram as Teorias de Supercordas e de Super-gravidade (ou a Teoria-M ).

I.1 Objectivos

O objectivo fundamental deste curso e permitir aos alunos uma apren-dizagem expedita e eficaz dos conceitos e tecnicas basicas em Teoria da Rel-atividade, de forma a servir de introducao a estudos mais avancados.

Nesse sentido, os elementos constituintes do curso sao orientados de modoa fornecerem uma perspectiva dos topicos fısicos e metodos matematicos. Emparticular, uma seleccao adequada desses topicos e efectuada para forneceruma panoramica clara da Teoria da Relatividade, procurando um equilıbrioentre rigor, aplicabilidade e profundidade da teoria. O objectivo e deste modoapresentar a construcao da teoria assim como a sua aplicacao a exemplosconcretos.

Por fim, tambem se tem como objectivo que o estudante adquira a capaci-dade matematica para manipular novos metodos como e o caso do CalculoTensorial (ou ate de Geometria Diferencial, se a execucao do programa eambito da Licenciatura o permitirem).

Pretende-se assim mostrar, atraves do programa, seus conteudos e metodosde ensino descritos neste relatorio, como a Teoria da Relatividade constituiuma estrutura coerente, conceptualmente muitıssimo elegante e matematicamenteatraente. Em particular, capaz de explicar e prever quantitativamente o com-portamento da Natureza, associado a varios fenomenos como por exemplo,a criacao ou aniquilacao de partıculas elementares, a experiencia de Pound-Rebka ou a nucleosıntese cosmologica.

Em resumo, os objectivos essenciais do curso incluem:

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• Transmitir um conjunto de conhecimentos basicos que forneca aos alunosuma perspectiva coerente e rigorosa da Teoria da Relatividade,

• Introduzir e desenvolver metodos de trabalho e raciocınio proprios daTeoria da Relatividade (e.g., conceitos mais ricos de espaco e temponum contexto geometrico),

• Transmitir a importancia dos diferentes conceitos presentes na con-strucao da Teoria da Relatividade e saber aplicar esta na explicacao devarios fenomenos presentes na Natureza,

• Formar e motivar alunos para cursos posteriores mais avancados emfısica onde os conceitos e tecnicas da Teoria da Relatividade sejamrelevantes.

I.2 Pressupostos.

Para este curso e essencial considerar como pre-requisitos a frequencia an-terior de cursos de Algebra Linear, Analise Matematica, Mecanica Classicae Electromagnetismo. Conceitos de fısica moderna como fotao e estruturaatomica serao necessarios para uso em alguns exemplos. Conhecimentosbasicos de Termodinamica e Mecanica Estatıstica poderao ser uteis paraabordar alguns topicos avancados no domınio de cosmologia. Alguma famil-iaridade com Geometria Diferencial (Calculo Tensorial) e Fısica de PartıculasElementares seria tambem desejavel, mas nao e essencial.

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II. Programa do Curso1

Capıtulo 1. A Teoria da Relatividade Restrita [1, 2, 3, 4, 8, 9]

1.1 Coordenadas e observadores inerciais; Os postulados da Rel-atividade Restrita.

1.2 Grupo de transformacoes de Lorentz; Dilatacao do tempo,contraccao de comprimentos; Adicao de velocidades; Efeito de Doppler.

1.3 Espaco-tempo quadri-dimensional de acontecimentos fısicos:Intervalos de espaco-tempo e cone de luz; Estrutura causal.

1.4 Diagramas de Minkowski e o tensor da metrica; Vectorestemporais, espaciais e nulos.

1.5 Momento linear relativista; Relacao de equivalencia energia-massa.

Exemplos : (1.i) O paradoxo dos gemeos; (1.ii) Colisao e producaode pares de partıculas; (1.iii) Fluido perfeito em Relatividade Restrita e ten-sor energia-momento; (1.iv) Equacoes de Maxwell na forma covariante.

Capıtulo 2. O Princıpio de Equivalencia de Einstein [1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 11]

2.1 Referenciais acelerados em Relatividade Restrita: Acel-eracao propria e movimento em coordenadas de Rindler.

2.2 Incompatibilidade entre gravitacao e Relatividade Restrita;Referenciais inerciais locais; Hipotese de Mach e discussao sobre massa inerciale gravitacional.

2.3 Universalidade da queda livre; O Princıpio de Equivalencia(versao fraca e forte).

2.4 Relacao entre gravitacao e curvatura.

Exemplos: (2.i) Observador em rotacao uniforme; (2.ii) Ob-servadores de Rindler; (2.iii) Desvio espectral para o vermelho e dilatacaotemporal em referenciais acelerados; (2.iv) A experiencia de Pound-Rebka.

1Os numeros indicados entre “[...]” referem-se as obras mencionadas na lista bibli-ografica.

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Capıtulo 3. Elementos de Geometria Diferencial (Calculo Tensorial)[1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 13, 14]

3.1 Espaco-tempo como variedade diferenciavel: Curvas e funcoes,campos vectoriais tangentes e linhas integrais, campos tensoriais; Espaco tan-gente e cotangente.

3.2 O princıpio da covariancia geral: Leis de transformacao paravectores e tensores, conexoes; Transporte paralelo e geodesicas; Derivadacovariante.

3.3 Tensor de curvatura de Riemann; Tensor de Ricci e curvaturaescalar; Identidades de Bianchi; Desvio geodesico.

3.4 Derivada de Lie; Espacos com simetria maxima e curvaturaconstante; Campos vectoriais de Killing.

Exemplos: (3.i) Transporte paralelo de vectores ao longo deum percurso fechado; (3.ii) Grupos de simetrias associados a espaco-temposcom simetria esferica.

Capıtulo 4. A Relatividade Geral de Einstein [1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12]

4.1 As equacoes de campo para o vacuo.4.2 Identidades de Bianchi e conservacao local de energia.4.3 Equacoes de campo com materia.4.4 Campos gravitacionais fracos (limite de Newton).

Exemplos: (4.i) Ondas gravitacionais.

Capıtulo 5. O Espaco-Tempo de Schwarschild [1, 5, 6, 11, 12, 15]

5.1 Geometria de um campo gravıtico com simetria esferica:Solucao de Schwarzshild.

5.2 Diagramas espacio-temporais: Coordenadas de Schwarszhild,coordenadas de Eddington-Finkelstein e coordenadas de Kruskal-Szekeres.

Exemplos: (5.i) Testes experimentais da Relatividade Geral(avanco do perihelio de Mercurio, encurvamento de trajectorias luminosas,desvio espectral para o vermelho e dilatacao do tempo, atraso no eco de

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radar); (5.ii) Outras aplicacoes da solucao de Schwarzchild (partıcula emqueda livre, forcas de mare, orbitas luminosas circulares); (5.iii) Horizontesde acontecimentos, configuracao de buraco negro e estrutura global do espaco-tempo.

Capıtulo 6. Cosmologia Relativista [1, 5, 6, 16, 17]

6.1 Cosmografia: O paradoxo de Olbers, determinacao de distanciasem cosmologia e o parametro de Hubble; O Universo em expansao; O PrincıpioCosmologico: homogeneidade e isotropia espacial do universo; Modelos deFriedman-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW), Propriedades geometricas eobservadores comoveis.

6.2 Modelos de FLRW como solucao cosmologica das equacoesde Einstein: Diferentes fases de evolucao (domınio de radiacao e materia-poeira); A constante cosmologica.

6.3 Problemas cosmologicos associados a modelos de FLRW;Hipotese do cenario inflacionario.

6.4 Formacao de estrutura: Espectro de flutuacoes; Ondas Grav-itacionais.

6.5 Modelos de FLRW na formulacao de Jordan-Brans-Dicke;Breve introducao a cosmologia em Teoria de Supercordas.

Exemplos: (6.i) Densidade crıtica; (6.ii) Desvio espectral cos-mologico para o vermelho; (6.iii) Horizonte de acontecimentos e horizontede partıculas; (6.iv) A nucleosıntese; (6.v) O universo inflacionario.

III. Pormenorizacao do Programa

No seu amago, a Teoria da Relatividade de Albert Einstein (a Relativi-dade Restrita em 1905 e a Relatividade Geral em 1915) constitui a teoriafısica moderna sobre o espaco e o tempo, tendo substituıdo os conceitosNewtonianos de espaco e de tempo absolutos. A Teoria da Relatividade eusualmente encarada como uma teoria difıcil e complexa, talvez por causado ponto de vista radical sobre a natureza do espaco e do tempo que in-troduz. Um certo esforco e requerido para nos familiarizarmos com a teoriapois vai contra algumas nocoes mais imediatas que possuımos. Alem disso,

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a estrutura matematica necessaria para formular com precisao os conceitose equacoes (e.g., Geometria Diferencial) nao e familiar. Embora reconhecidacomo uma teoria de grande elegancia, a importancia da teoria para com oresto da Fısica e da Ciencia em geral tem tido um impacto algo reduzido. Osefeitos relativistas nao estao ao nosso alcance imediato (isto e, as velocidadesusuais sao muito inferiores as da velocidade da luz ou a gravitacao sera de-masiado fraca para ter um papel importante em experiencias laboratoriais deFısica de Partıculas Elementares), mas a Teoria da Relatividade e de granderelevancia na nossa compreensao mais vasta das leis da Natureza.

O estudo da Teoria da Relatividade tambem e necessario se relembrarmos(i) resultados acerca da previsao de criacao de partıculas em configuracoes deburaco negro (indicando como a Teoria da Relatividade e a Fısica Quanticapodem estar num patamar mais abrangente que a Teoria Quantica de Cam-pos no espaco de Minkowski) e tambem (ii) desenvolvimentos no estudo deteorias com simetrias padrao (“gauge”) em Fısica de Partıculas Elementares.Um alvo apontado e o de uma teoria quantica que inclui a interaccao grav-itacional. Progresso nesse sentido so pode ser realizado se entendermos deforma rigorosa os aspectos essenciais da Teoria da Relatividade (Restrita eGeral, esta em partıcular).

Um curso em Teoria da Relatividade deve entao ter um programa solido,que providencie o contacto com esses topicos essenciais. No nosso caso,propomos um programa de curso que esta preparado para uma duracao de45 horas correspondente a 15 semanas com 3 aulas teoricas por semana. Ocurso e constituıdo por 6 capıtulos e inclui topicos usualmente empreguesao nıvel de Licenciatura. Um curso introdutorio em Teoria da Relatividade,com a duracao de um semestre, podera ser baseado neste programa. O cursoesta entao organizado desta forma.

Numa fase inicial, descrita no capıtulo 1 do programa do curso e corre-spondente a 8 horas, o estudante toma conhecimento dos elementos essenciaisda Teoria da Relatividade Restrita. Neste capıtulo sao descritos os postu-lados de Einstein e e feita uma comparacao entre a mecanica Newtonianae as novas propriedades fısicas que a mecanica relativista impoe. Talvez omaior obstaculo na compreensao da Teoria da Relatividade seja a dificuldadeem aceitar que um numero de ideias preconcebidas sobre o espaco e o tempoestao incorrectas. E pois necessario confrontar essas ideias com os novos con-ceitos introduzidos pela Teoria da Relatividade, nomeadamente a estruturacausal do espaco-tempo na Relatividade Restrita. Um aspecto fundamental

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e a nao existencia de simultaniedade absoluta. O grupo de Lorentz de trans-formacao de coordenadas e assim introduzido, junto com consequencias comodilatacao do tempo e contraccao de comprimentos, entre outros. Alem dos as-pectos dinamicos da teoria correspondentes a relacao de massa-energia e mo-mento linear relativista (assim como propriedades de conservacao), tambemse apresentam as nocoes de espaco-tempo, diagrama de Minkowski, tensorda metrica e diferentes tipos de vectores espacio-temporais. A este sec-tor do programa podera corresponder um perıodo mais curto de aulas: osalunos poderao ja ter tido um primeiro contacto com a Relatividade Restritanuma disciplina de Fısica Moderna, nomeadamente no que diz respeito aossub-capıtulos 1.1, 1.2 e 1.5. Uma muito breve revisao sera entao apenasnecessaria e daı se introduzindo o aluno na descricao geometrica da Relativi-dade Restrita. Varios exemplos de aplicacoes sao empregues nesta fase docurso para uma mais eficiente e rapida integracao dos alunos. Estes exemplosserao discutidos quer nas aulas teoricas quer nas aulas teorico-praticas (e.g.,os referidos em (1.iii) e (1.iv)) na forma de exercicios a resolver.

O passo seguinte no programa consiste no estudo do Princıpio de Equivalencia,ao qual se dedica o capıtulo 2 (num sub-total de 6 horas) e que e a etapaseguinte do curso. No contexto da Relatividade Restrita, a tarefa para aciencia era de modificar e reformular as leis fısicas de modo a serem con-sistentes com a nova estrutura do espaco-tempo determinada pela teoria.A teoria do Electromagnetismo de J.C. Maxwell ja era consistente com aRelatividade Restrita, pois foram as suas inconsistencias com a mecanicaNewtoniana que levaram a Relatividade Restrita. No entanto, a Teoria daGravitacao de Newton nao era compatıvel com a Relatividade Restrita poisenvolve a nocao de influencia instantanea de um corpo em outro. AlbertEinstein formulou entao uma nova teoria do espaco, tempo e da gravitacao.A motivacao foi que todos os corpos sao influenciados de modo igual pelagravitacao – aspecto que esta na origem do Princıpio da Equivalencia: todoscaiem do mesmo modo quando largados e sem influencia de outras forcas,independentemente da natureza dos corpos. Em mais detalhe, este capıtulo eassim iniciado com a analise de referenciais acelerados (como os que estao emqueda livre), utilizando-se como exemplo o conceito de observador de Rindler(aceleracao propria constante). Estuda-se, tambem, a incompatibilidade deuma teoria da gravitacao universal com a descricao fısica associada a Rel-atividade Restrita introduzida no capıtulo 1. Tambem se discute a relacaoentre massa inercial e gravitacional, mencionando a hipotese de Mach sobrea natureza da inercia. O capıtulo 2 e entao completado com a introducao

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e analise detalhada das consequencias fısicas do Princıpio da Equivalencia.Igualmente se demonstra a relacao que se pode extrair nesta fase do cursoentre gravitacao e curvatura. Tambem neste capıtulo se usarao aulas teorico-praticas para discutir (como exercıcios de aplicacao) alguns exemplos (e.g, oreferido em (2.ii)).

Refere-se entao nesta fase do programa que as trajectorias tracadas noespaco-tempo por corpos em queda livre definem curvas preferenciais noespaco-tempo tal como em Relatividade Restrita as trajectorias de corposinerciais definem linhas preferenciais. Por outras palavras, tal como astrajectorias de corpos inerciais em Relatividade Restrita sao geodesicas dametrica de Minkowski tambem as de um corpo em queda livre o serao ecorrespondendo a uma metrica espacio-temporal, mas que nao sera a daRelatividade Restrita. Assim as propriedades da interaccao gravitacionalpodem corresponder a estrutura do proprio espaco-tempo.O campo grav-itacional nao sera um novo campo mas uma deformacao da geometria doespaco-tempo da geometria da Relatividade Restrita. Tal contexto implica anecessidade de empregar uma perspectiva geometrica para descrever uma teo-ria da gravitacao universal como uma Teoria da Relatividade. Isso leva-nosao capıtulo 3 (para um sub-total de 9 horas) do programa do curso. Fazemosnotar que a perspectiva moderna da Teoria da Relatividade se exprime combase na estrutura de grupos de transformacoes que mantem invariantes as leisda teoria, desta forma correspondendo a determinadas simetrias. Em partic-ular, alguns modelos cosmologicos possuem simetrias com que o Universo emlarga escala e creditado. Neste contexto, ao estudante sao entao apresentadasvarias ferramentas matematicas necessarias no quadro da geometria espacio-temporal. Faz-se no sub-capıtulo 3.1 uma introducao breve sobre os con-ceitos de variedade diferencial e transformacao generalizada de coordenadas,assim como de campos vectoriais e tensoriais. O estudante e tambem famil-iarizado com algumas tecnicas de Calculo Tensorial. A covariancia geral dasleis fısicas e apresentada e demonstra-se como se relacionam com varios con-ceitos geometricos fundamentais em relatividade geral: as curvas geodesicas,transporte paralelo e derivada covariante. A nocao de curvatura e entao ex-plicada, mostrando-se como pode ser empregue para descrever determinadaspropriedades do espaco-tempo. Ao estudante pode, tambem, ser referido oconceito de derivada de Lie e a sua relacao com propriedades de simetria doespaco-tempo. Este ultimo sub-capıtulo junto com partes de 3.1 podem serconsiderados como opcionais e apenas leccionados se o grupo de alunos for deuma Licenciatura de um ramo-cientıfico adequado e o progresso na disciplina

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estiver a ser satisfatoriamente positivo. Numa Licenciatura de ramo-ensinopodem ser omitidos. O mesmo se aplicara aos exemplos (3.i) e (3.ii).

Neste ponto o aluno ja estara em condicoes de entender como a formulacaogeometrica da Relatividade Geral corresponde a descricao correcta da in-teraccao gravitacional. O capıtulo 4 (para uma duracao de 6 horas) con-stituı uma parte essencial no programa do curso, onde e demonstrado comode objectos geometricos presentes nas equacoes de Einstein se extraiem as leisfısicas da gravitacao. A curvatura (i.e., desvio da metrica espacio-temporalplana) corresponde a um efeito fısico que e identificado com a gravitacao,relacionando-se com a presenca de materia no espaco-tempo por meio dasequacoes da Relatividade Geral.. Essencialmente, conduz-se o aluno a de-terminar a forma das equacoes de Einstein e certas propriedades dos termospresentes (como por exemplo, as identidades de Bianchi e a conservacao lo-cal de energia). Em particular, analisa-se o limite de campo gravitacionalfraco, recuperando a aproximacao Newtoniana. Igualmente, descreve-se deforma breve o fenomeno de ondas gravitacionais. Mais detalhes sobre estaimportante previsao e consequencia da Relatividade Geral serao motivo deexercıcios resolvidos em detalhe nas aulas teorico-praticas.

Fazemos notar, igualmente, que em Relatividade Geral tem sido formu-ladas muitas outras previsoes, havendo para algumas um excelente acordocom a experiencia e observacao. A parte final deste curso constituı umaaplicacao da Relatividade Geral a domınios onde a presenca da interaccaogravitacional e preponderante e pode ser testada. No capıtulo 5 (para umsub-total de 6 horas) e estudada a solucao de Schwarszhild, correspondentea uma situacao de campo gravitacional com simetria espacial esferica. Faze-mos referir a perspectiva historica desta solucao exacta das equacoes de Ein-stein. Mostra-se como esta solucao e obtida, quais as suas propriedadesgeometricas e correspondente descricao gravitacional. A importancia destasolucao no quadro da Relatividade Geral e ilustrada com ajuda de aplicacoesno domınio da Astrofısica, algumas das quais constituem testes importantesna validacao da teoria. Em particular, e dada uma enfase ao sucesso que aRelatividade Geral adquiriu apos as observacoes conduzidas por A. Edding-ton. A terminar o capıtulo 5, expomos o tratamento feito com recurso acoordenadas de Eddington-Finkelstein e de Kruskal-Szekeres e como tal per-mite descrever completamente o fenomeno de horizonte de acontecimentos ede buraco negro. Este ultimo sub-capıtulo assim como a analise de exemplosem (5.ii) e (5.iii) podera ser feito com recurso a alguns exercıcios a apresen-tar nas aulas teorico-praticas. Numa Licenciatura de ramo-ensino o ambito

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da sua analise pode ser substancialmente reduzido.O programa do curso termina no capıtulo 6, num sub-total de 10 horas,

onde se estuda a cosmologia extraıda da Relatividade Geral. Comecamos poruma introducao a cosmografia, nomeadamente como se determinam distanciase velocidades de objectos numa escala cosmologica. Daı se prossegue paraa nocao de universo em expansao, o Princıpio Cosmologico e a definicaode importantes conceitos cosmologicos como o parametro de Hubble. Faze-mos igualmente notar uma perspectiva historica no desenvolvimento da cos-mologia relativista. O estudante toma entao conhecimento dos modelosde Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) e das suas propriedadesgeometricas. Seguidamente, mostramos como estes modelos constituem solucoesdas equacoes de Einstein da Relatividade Geral, descrevendo-se varios cenariosdinamicos associados a diferentes fases na evolucao do Universo. Desta formase apresenta ao aluno os elementos caracteristicos do Modelo CosmologicoPadrao. Refere-se igualmente como a cosmologia relativista constitui um casode sucesso contemporaneo em ciencia. A previsao, entre outras, da radiacaocosmica de fundo constitui um forte exemplo com uma notavel verificacaoobservacional. Sao seguidamente descritos varios problemas que contudoafectam o Modelo Cosmologico Padrao, demonstrando-se como a hipotesedo universo inflacionario pode constituir uma resolucao. O conteudo destecapıtulo, para la deste ponto, podera considerar-se opcional (sub-capıtulos6.4, 6.5 e exemplos (6.iii), (6.iv) e (6.v)). O seu ensino dependera do graude sucesso e progresso feito pelos alunos durante o curso. Numa Licenciaturade ramo-ensino podera ser mesmo omitido ou simplesmente mencionados deforma muito resumida. O capıtulo (e o curso) prossegue entao com uma breveintroducao a formacao de estrutura no Universo, espectro de perturbacoese ondas gravitacionais. Termina-se com a apresentacao de formulacoes queincluem a Teoria da Relatividade Geral como caso particular. Algumas dassuas implicacoes cosmologicas sao entao discutidas. Neste ponto fazemos no-tar que estamos num limiar do conhecimento fısico do Universo e que variaspropostas carecem ainda de confirmacao atraves da observacao. O futuro dacosmologia relativista e suas extensoes para la da propria Teoria da Rela-tividade passa por este percurso. A importancia dos elementos introduzidose estudados ao longo deste capıtulo correspondera o emprego de varios ex-emplos de natureza cosmologica (alguns a analisar em detalhe atraves deexercıcios complementares nas aulas teorico-praticas) para uma melhor com-preensao por parte dos estudantes.

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IV. Estrategias

A Teoria da Relatividade possui um papel crucial na origem e desen-volvimento da Fısica Moderna e Contemporanea. Previamente a qualquercontacto e aprendizagem, a Teoria da Relatividade e usualmente classificadade complexa e de muito difıcil compreensao. A mesma percepcao pode estarpresente no inıcio do semestre entre varios alunos. Mesmo apos varias aulase semanas pode ocorrer que muitos alunos nao dominem ainda com completosucesso o essencial que foi transmitido. No entanto a Teoria da Relatividadee baseada em conceitos fısicos simples e numa estrutura matematica muitoelegante.

Neste contexto e importante criar e desenvolver tanto a confianca comoa motivacao dos alunos. Em particular, e necessario estimular as qualidadespara atingir a compreensao da essencia da Teoria da Relatividade, assim comoalcancar os objectivos propostos para o curso. Para que tal aconteca e crucialque a transmissao de conhecimentos teoricos seja acompanhada da aplicacaodos mesmos na analise de exemplos paradigmaticos. Nesse sentido, e feito umtratamento com uma certa profundidade e pormenor, mostrando de formaclara como a Teoria da Relatividade descreve uma parte do comportamentopresente na Natureza.

Uma outra forma que pode ser empregue ao abordar conceitos e resulta-dos novos e usar, junto com uma descricao detalhada, algumas analogias quepodem ser extremamente vantajosas para transmitir de modo adequado al-guns topicos. Tal pode contribuir para facilitar a compreensao dos metodose sentido fısico subjacente. Por outro lado, tambem se deve incluir umadescricao de aplicacoes selecionadas criteriosamente, de modo a reforcar aaprendizagem do topico em estudo.

Previamente a abordagem de cada topico, e fornecida e indicada uma listade referencias para posterior consulta, presentes na bibliografia transmitidano inıcio das actividades lectivas. Nessas referencias podemos indicar ondeencontrar um tratamento mais pormenorizado e completo, incluindo livros eartigos de divulgacao assim como artigos de sıntese com uma natureza maiscientıfica.

A escolha dos topicos da Teoria da Relatividade presentes neste cursosatisfaz alguns criterios. Em particular, o programa de um curso em Teoriada Relatividade ao nıvel de Licenciatura tem que ser circunscrito aos ele-mentos essenciais. Desta forma pretende-se que qualquer aluno adquira umaperspectiva solida sobre topicos de relatividade e cosmologia com uma cres-

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cente importancia em varias areas da fısica contemporanea. Igualmente seespera motivar o aluno a frequentar cursos de Mestrado ou Doutoramentoonde aspectos mais avancados da teoria serao ensinados.

Em resumo, as estrategias seguidas neste curso incluem:

• Motivar para a aprendizagem de topicos em Teoria da Relatividade,relacionando-os com outras disciplinas e areas onde aplicacoes podemestar presentes.

• Transmitir com rigor os conhecimentos, desenvolvendo tambem sentidocrıtico e de analise criativa entre os alunos, nomeadamente atraves daresolucao de problemas sugeridos, com varios nıveis de dificuldade ealcance fısico.

• Predispor o aluno para o sucesso neste curso.

• Mostrar como afirmacoes e princıpios simples conduzem a conclusoesnotaveis de grande alcance.

• Ilustrar os conhecimentos com problemas resolvidos, assim como comexemplos simples para ultrapassar varias dificuldades relacionadas comnovos conceitos e procedimentos de calculo.

• Comecar por transmitir as ideias e conceitos mais simples em cadatopico, para depois se prosseguir para os aspectos mais elaborados epara a resolucao dos problemas propostos correspondentes.

V. Metodos de Ensino (aulas teoricas e teorico-praticas)

O plano pormenorizado do curso, junto com uma lista bibliografica edescricao dos metodos de avaliacao, sao fornecidos aos alunos no inıcio dosemestre lectivo em que o curso tem lugar. Igualmente, todos os textos deapoio (apontamentos e notas das aulas teoricas assim como series de ex-ercıcios) sao distribuıdos.

E dado um particular relevo ao horario de atendimento a que os alunosdevem recorrer, de forma a melhor acompanharem o seu processo de apren-dizagem. Deste modo o(s) docente(s) tambem estabelecem um contacto mais

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directo e informal com os estudantes, dialogando de forma mais eficaz sobre assuas possıveis dificuldades no curso. Usualmente disponibilizam-se duas ho-ras semanais para esse efeito e dedicam-se ao esclarecimento de duvidas, naose inviabilizando um atendimento fora deste horario, sempre que a disponi-bilidade do docente o permita.

As aulas teoricas sao essencialmente de natureza expositiva e informativa.Apresentam-se os topicos que constituem o programa tendo em conta o seuenquadramento com a Licenciatura onde se integra assim como a necessariamotivacao dos alunos.

Parte das aulas sao dadas com uso do quadro, para uso de demonstracoese tratamento cuidado de exemplos pertinentes. Deve ser referido que variosexemplos sao empregues para clarificar conceitos e igualmente discutir commais detalhe metodos matematicos. Deste modo, permite-se aos alunos umcontacto mais proximo com a construcao da estrutura fısica e matematica daTeoria da Relatividade.

Durante algumas detas aulas faz-se uso de retroprojector. Este procedi-mento e reservado para questoes mais tecnicas e detalhadas que necessitem deuma discussao mais longa, permitindo atraves do retroprojector retornar aqualquer ponto anterior para uma pronta clarificacao ou verificacao. Taisquestoes mais tecnicas assim como alguns exemplos mais detalhados saoreservados para o final dos capıtulos. Alem disso, tambem serao objectode analise adicional atraves de alguns exercıcios praticos.

Igualmente faz-se uma introducao, no inıcio de cada capıtulo, sobre asorigens dos conceitos envolvidos e correspondentes implicacoes para o desen-volvimento da teoria. Uma certa perspectiva historica, embora nao essencial,podera motivar e atribuir uma compreensao globalizante da Teoria da Rel-atividade. Nomeadamente, no respeitante aos “porques” e “como” se foidesenvolvendo a Teoria da Relatividade, procurando motivar para como pos-sui um alcance cientifico notavel.

A participacao dos estudantes nas aulas teoricas e tambem incentivada.Em particular, encorajando-os a terem uma atitude tanto atenta como crıtica,evitando uma presenca passiva durante essas aulas.

As aulas teorico-praticas formam o complemento adequado das aulasteoricas. A sua base de trabalho sao varios problemas que sao propostosna forma de series de exercıcios. Cada uma corresponde aos varios capıtulosque formam o programa do curso, incluindo desde verificacoes simples deresultados indicados nas aulas teoricas ate elementos envolvidos em demon-

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stracoes mais complexas. Alguns problemas tem unicamente como objectivofornecer aplicacoes analıticas do que foi ministrado nas aulas teoricas, fa-cilitando deste modo a apreensao dos conhecimentos apresentados. Estagama de questoes permitira ao aluno avaliar o seu grau de aprendizagemdos conceitos e tecnicas basicas em Teoria da Relatividade. Os alunos saoencorajados a resolver por si previamente os exercıcios indicados para asaulas teorico-praticas. Deste modo, a resolucao de exercicios constitui parteintegrante do processo de ensino-aprendizagem.

As aulas teorico-praticas sao ainda reservadas para a discussao e analisede topicos mais delicados e de difıcil aprendizagem. Nestas aulas tambemse procura estimular a criatividade e iniciativa dos alunos, nao so atravesda resolucao de problemas e analise de exemplos fısicos, mas tambem com aapresentacao de resolucoes e perspectivas diferentes sobre a estrutura fısica-matematica da Teoria da Relatividade.

Esta estrategia evita que se sobrecarregue as aulas teoricas com demasi-ados calculos e reconhece que certas aspectos serao mais bem assimilados seforem objecto de estudo individual pelo aluno. Alem do mencionado, tambeme vantajoso apresentar sob forma de problemas alguns exemplos e extensoesde topicos abordados nas aulas teoricas.

Os temas dos problemas que constituem as series de exercıcios abrangemos topicos constituintes do programa. O aluno e encorajado a proceder a suaresolucao individual, de forma a que tome contacto com as suas dificulades(se existentes) e permitem consolidar de forma construtiva a compreensao dosconhecimentos adquiridos nas aulas teoricas. Nas questoes mais complexasos alunos recebem uma orientacao especıfica mas de modo conducente a umautilizacao autonoma dos conceitos e tecnicas adquirıdos. Refira-se que todosos problemas sao discutidos e a sua resolucao comentada, procurando sempreque possıvel estabelecer uma comparacao com outras situacoes que sao maisfamiliares.

VI. Metodo de Avaliacao

A avaliacao a disciplina tem duas componentes obrigatorias: avaliacaocontınua e exame.

A classificacao de exame tera um peso de 70% na classificacao final. Doismomentos de avaliacao (a epoca normal e de recurso) estao previstos e con-sistindo na realizacao de uma prova escrita. Todos os alunos tem acesso as

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epocas de avaliacao referidas, sendo a classificacao a melhor das classificacoesobtidas. A prova de exame escrito ira incluir questoes de entre os topicosque constituem a totalidade do programa lecionado. O estudante e aprovadodesde que obtenha a nota mınima de dez, numa escala de zero a vinte val-ores. A prova de exame pode ser complementada por uma prova oral para aatribuicao de nota superior a dezasseis valores ou se a nota obtida foi superiora oito mas inferior a dez valores. Deve ser referido que nas provas de exameescrito os alunos nao dispoe de elementos de consulta.

Todos os alunos que o desejarem poderao consultar as suas provas.A avaliacao contınua (com peso de 30%) e feita atraves da apresentacao

regular pelo estudante da resolucao de exercıcios sugeridos para casa. Aapresentacao faz-se oralmente cabendo ao professor a seleccao do exercıcioque cada estudante devera explicar. Esta componente tem como finalidadeaveriguar (por parte dos alunos e docente(s)) o grau de domınio do conteudoprogramatico. Atraves desta componente, o aluno podera testar formati-vamente o seu grau de aprendizagem assim como das suas dificuldades noprocesso de ensino e aprendizagem.

Em todas as provas e componentes de avaliacao os alunos serao avaliadossobre os conceitos, metodos matematicos e resultados fısicos apreendidos,assim como sobre a capacidade de utilizacao desses elementos tanto na res-olucao de problemas de aplicacao como na analise e explicacao de exemplosde fenomenos observaveis.

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VII. Bibliografia

References

[1] Theorie des Champs - Physique Teorique Vol.II, L. Landau et E.Lifchitz, MIR

Gravitation, C. Misner, K. Thorne and J. Wheeler, Freeman

Gravitation and Cosmology, S. Weinberg, Wiley

General Relativity, H. Stephani, Cambridge University Press

Cosmology and Astrophysics through problems, T. Padmanabhan,Cambridge University Press

Gravity, J. Hartle, Addison and Wesley

Introducing Einstein Relativity, R. D’Inverno, Oxford University Press

General Relativity, R. Wald, Chicago University Press

General Relativity, B. Schutz, Cambridge University Press

Understanding Relativity, L. Sartori, California Press

Relativite, H. Lumbrosco, EdiScience

A Short Course in General Relativity, J. Foster and J. Nightingale,Springer Verlag

Relativity, S. Adams, Taylor & Francis

A Journey into Gravity and Space-time, J. Wheeler, Scientific Ameri-can Library

Principles of Gravitation and Cosmology, M. Berry, Institute ofPhysics

General Relativity, J. Martin, Taylor and Francis

Problem Book in Relativity and Cosmology, A. Lightman, W. Press,R. Price, S. Teukolsky, Princeton University Press

An Introduction to General Relativity, L. Hughston and K. Tod, Cam-bridge University Press

18

An Introduction to Tensors and Relativity, P. Dunsby, http://vishnu.mtu.uct. ac.za /omei/gr

Introduction to General Relativity, G. t’Hooft, Rinton Press

General Relativity, I. Kenyon, Oxford University Press

La Relativite, S. Mavrides, Presses Universitaires de France

Essential Relativity, W. Rindler, Oxford University Press

[2] La Theorie de la Relativite Restreinte et Generale, A. Einstein,Gauthier-Villars

[3] O Princıpio da Relatividade, H. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski,Fundacao Calouste Gulbenkian

[4] Special Relativity for Physicists, G. Stepheson and C. Kilmister, Dover

Introduction to Special Relativity, W. Rindler, Oxford University Press

Relativity Visualized, L. Epstein, Insight Press

Understanding Einstein Theory of Relativity, S. Gibilisco, Dover

Introduction to Special Relativity, J. Smith, Dover

Introducing Special Relativity, S. Williams, Taylor & Francis

Introduction to Special Relativity, W. Rosser, Taylor & Francis

Relativity in Illustrations, J. Schwarz, Dover

A Traveller Guide to Space-time, M. Moore, McGraw-Hill

[5] Gravitation and Cosmology, H. Oharion and R. Ruffini, Norton

[6] Relativity, Thermodynamics and Cosmology, R. Tolman, Oxford Uni-versity Press

[7] Einstein for Beginners, J. Scwartz and M. McGuiness, Icon

[8] O Significado da Relatividade, A. Einstein, Armenio Armando

[9] O Essencial sobre a Teoria da Relatividade, A. Brotas, Imprensa Na-cional da Casa da Moeda

[10] Classical Fields: General Relativity and Gauge Theories, M. Carmeli,Wiley

19

[11] An Introduction to Modern Astrophysics, S. Carroll and D. Oestlie,Addison and Wesley

[12] General Relativity and Relativistic Astrophysics, N. Strauman,Springer Verlag

[13] Tensor Calculus, D. Kay, Schaum

Calculo Tensorial e Relatividade Geral, M. Berman e F. Gamido,McGraw-Hill

Tensores Cartesianos, A. Lemos, Instituto Superior Tecnico

Tensor Analysis, I. Sokolnikoff, Wiley

Tensor Calculus, J. Synge and A. Schild, Dover

Geometrie Contemporaine, vol. I et II, B. Doubrovine, S. Novikov andA. Fomenko, MIR

Applied Differential Geometry, W. Burke, Cambridge University Press

Applicable differential Geometry, M. Crampin and F. Pirani, Cam-bridge University Press

Geometry, Topology and Physics, M. Nakamura, Adam & Hilger

[14] Geometrical Methods of Mathematical Physics, B. Schutz, CambridgeUniversity Press

[15] Theory and Experiment in Gravitational Physics, C. Will, CambridgeUniversity Press

Einstein Tinha Razao?, C. Will, Gradiva

The Mathematical Theory of Black Holes, S. Chandrasekar, OxfordUniversity Press

Relativistc Astrophysics: Stars and Relativity, Ya. Zeldovich and I.Novikov, Chicago University Press

Exploring Black Holes, E. Taylor and J. Wheeler, Benjamin

Black Hole Physics, V. Frolov and I. Novikov, Kluwer

Unsolved Problems in Astrophysics, J. Bachall and J. Ostriker, Prince-ton University Press

20

[16] An Introduction to Cosmology and Particle Physics, R. Tenreiro andM. Quiros, World Scientific

The Early Universe, G. Borner, Springer Verlag

The Early Universe, E. Kolb and M. Turner, Addison and Wesley

Structure Formation in the Universe, T. Padmanabhan, Cambridge Uni-versity Press

Introduction to Modern Cosmology, J. Narlikar, Cambridge UniversityPress

Cosmological Physics, J. Peacock, Cambridge University Press

First Principles of Cosmology, E. Linder, Addison and Wesley

Cosmology and particle astrophysics, L. Bergstrom and A. Goodbar,Wiley

Foundations of Cosmology, J. Rich, Springer Verlsg

Introduction to Cosmology, M. Roos, Wiley

Introduction to modern cosmology, A. Liddle, Wiley

Structure Formation, P. Coles and F. Luchin, Wiley

The New Cosmology, P. Coles, Icon

Cosmological Inflation and Large Scale Structure, A. Liddle and D.Lyth, Cambridge University Press

Cosmology, E. Harrison, Cambridge University Press

Cosmology, M. Rowan - Robinson, Oxford University Press

The Elegant Universe, B. Greene, W. Norton

The Scalar-Tensor Theory of Gravitation, Y. Fujii and K.-I. Maeda,Cambridge University Press

Pre Big Bang Cosmology, G. Veneziano and M. Gasperini, Phys. Rep.373 (2003) 1

Superstring Cosmology, J. Lidsey, E. Copelland and D. Wands, Phys.Rep.337 (2000) 343

[17] Principles of Physical Cosmology, P. Peebles, Princeton University Press

21

Apencide A: Exame Modelo

22

Apencide B: Series de Exercıcios

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