mÉtodo dinÂmico aplicado para antenas cilÍndricas · paciência e comprometimento com a...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E
DE COMPUTAÇÃO
MÉTODO DINÂMICO APLICADO PARA ANTENAS
CILÍNDRICAS
ALMIR SOUZA E SILVA NETO
ORIENTADOR: PROF. DR. HUMBERTO CÉSAR CHAVES FERNANDES
NATAL – RN,
JUNHO DE 2013
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA E
DE COMPUTAÇÃO
MÉTODO DINÂMICO APLICADO PARA ANTENAS
CILÍNDRICAS
ALMIR SOUZA E SILVA NETO
ORIENTADOR: PROF. DR. HUMBERTO CÉSAR CHAVES FERNANDES
Natal – RN,
JUNHO DE 2013
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-Graduação em Engenharia
Elétrica e Computação da UFRN (área de
concentração: Telecomunicações) como
parte dos requisitos para obtenção do título
de Mestre em Engenharia Elétrica e
Computação.
MÉTODO DINÂMICO APLICADO PARA ANTENAS
CILÍNDRICAS
ALMIR SOUZA E SILVA NETO
Dissertação de mestrado defendida e aprovada em junho de 2013.
Banca examinadora composta pelos seguintes membros:
Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes (Presidente e Orientador).................UFRN
Prof. Dr. José Patrocínio da Silva (examinador interno)..........................................UFRN
Prof. Dr. Roberto Ranniere Cavalcante de França (examinador externo)..................IFPB
Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva (examinador interno).....................................UFRN
Dedico
A Deus, aos meus Pais, Alexandre e
Conceição de Fátima, à minha irmã,
Carla, ao meu sobrinho, Carlos Eduardo
e aos meus amigos que sempre me
apoiaram na minha caminhada dando
forças para vencer etapas da vida.
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar quero agradecer a Deus por sempre estar iluminando e
guiando a minha vida.
Ao Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes por suas orientações, amizade,
paciência e comprometimento com a pesquisa.
A minha família que sempre me apoiou e esteve perto para ajudar-me a superar
os desafios na caminhada. A minha mãe Conceição de Fátima que mesmo distante
estava muito perto em orações e amor, a minha irmã, Carla, ao meu sobrinho Carlos
Eduardo e ao meu padrinho João Augusto pela referência acadêmica.
A Danniela, pelo amor e carinho.
Aos meus colegas do CLBI, Gildásio e Irineu que me incentivaram durante o
Mestrado, aos Sargentos Fabiano, E. Gonçalves e Audízio que me apoiaram na
confecção dos protótipos, demonstrando um excelente profissionalismo e aos Sargentos
Maurício e Leonan pelo incentivo e apoio dado durante todo este trabalho.
A todos os meus amigos da pós-graduação, Guacira, Carlos Gomes, Marinaldo
Sousa, Anderson, Roberto, Humberto Dionísio, Hugo Michel, e Leonardo pela sincera
amizade e união.
Aos meus irmãos em Cristo, das Comunidades de: Nossa Senhora de Fátima,
Nossa Senhora de Nazaré, Ministério de Louvor Força Divina, Cristo Rei, São
Francisco de Assis e São João que em oração estiveram dando forças para a caminhada.
A Rogers Corporation que enviou um demonstrativo do ULTRALAM® 3850,
para fins de estudo, para a montagem do protótipo apresentado.
Ao Prof. Dr. José Carlos da Silva Lacava pelas informações sobre este assunto,
antenas cilíndricas, pois possui uma vasta experiência e muitas publicações nesta área.
Ao Prof. Ronaldo pela disponibilidade, presteza e apoio nas medições dos
protótipos que foram realizadas no Laboratório de Telecomunicações da UFRN.
I
RESUMO
Nos dias atuais observa-se um grande avanço na área aeroespacial, no que se
refere aos lançamentos de foguetes, para pesquisas, experimentos, sistema de telemetria,
sensoriamento remoto, sistema de radar (rastreamento e monitoração), sistema de
comunicações via satélites e inserção de satélites em órbita.
Este trabalho tem como objetivo a aplicação de uma antena de microfita
cilíndrica circular, tipo anel, e outra retangular cilíndrica na estrutura de um foguete ou
míssel para obtenção de dados de telemetria, operando na faixa de 2 a 4 GHz, na banda
S.
Ao longo deste foi desenvolvida apenas a análise teórica do Método da Linha de
Transmissão Transversa que é um método de análise rigoroso no domínio espectral,
para aplicação em foguetes e mísseis. Este analisa a propagação na direção “ρ”,
transversa às interfaces dielétricas “z” e “φ”, para coordenadas cilíndricas, tendo assim
as equações gerais dos campos eletromagnéticos em função de e [1].
Vale ressaltar que para a obtenção dos resultados, simulações e análise da
estrutura em estudo foi utilizado o programa HFSS™ (High Frequency Structural
Simulator) que utiliza o Método dos elementos finitos.
Com a teoria desenvolvida foram utilizados recursos computacionais para
obtenção dos cálculos numéricos, através do Fortran Power Station, Scilab e o Wolfram
Mathematica®.
O protótipo foi construído utilizando, como substrato, o ULTRALAM® 3850, da
Rogers Corporation, e uma placa de alumínio como suporte à estrutura cilíndrica
utilizada.
A concordância entre os resultados medidos e os simulados validam os
processos estabelecidos.
São apresentadas sugestões e conclusões para a continuidade deste trabalho.
II
ABSTRACT
Nowadays there has been a major breakthrough in the aerospace area, with
regard to rocket launches to research, experiments, telemetry system, remote sensing,
radar system (tracking and monitoring), satellite communications system and insertion
of satellites in orbit.
This work aims at the application of a circular cylindrical microstrip antenna,
ring type, and other cylindrical rectangular in structure of a rocket or missile to obtain
telemetry data, operating in the range of 2 to 4 GHz, in S-band.
Throughout this was developed just the theoretical analysis of the Transverse
transmission line method which is a method of rigorous analysis in spectral domain, for
use in rockets and missiles. This analyzes the spread in the direction "ρ" , transverse to
dielectric interfaces "z" and "φ", for cylindrical coordinates, thus taking the general
equations of electromagnetic fields in function of e [1].
It is worth mentioning that in order to obtain results, simulations and analysis of
the structure under study was used HFSS ™ program (High Frequency Structural
Simulator) that uses the finite element method.
With the theory developed computational resources were used to obtain the
numerical calculations, using Fortran Power Station, Scilab and Wolfram Mathematica
®.
The prototype was built using, as a substrate, the ULTRALAM ® 3850, of
Rogers Corporation, and an aluminum plate as a cylindrical structure used to support.
The agreement between the measured and simulated results validate the
established processes.
Conclusions and suggestions are presented for continuing this work.
III
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS.......................................................................................................V
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS.....................................................................VI
CAPÍTULO 1....................................................................................................................1
INTRODUÇÃO.................................................................................................................1
CAPÍTULO 2....................................................................................................................4
ANÁLISE TEÓRICA........................................................................................................4
2.1 – Introdução ................................................................................................................4
2.2 – Equações de Maxwell...............................................................................................5
2.3 – Conclusão.................................................................................................................6
CAPÍTULO 3....................................................................................................................7
MÉTODO DA LINHA DE TRANSMISSÃO TRANSVERSA.......................................7
3.1 – Introdução.................................................................................................................7
3.2 – Campos Eletromagnéticos .......................................................................................8
3.3 – Aplicação da Transformada de Fourier em Coordenadas Cilíndricas....................13
3.4 – Conclusão...............................................................................................................15
CAPÍTULO 4..................................................................................................................16
CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS NA ANTENA CILÍNDRICA..............................16
4.1 – Introdução...............................................................................................................16
4.2 – Antena cilíndrica circular.......................................................................................16
4.3 – Soluções das Equações de Onda.............................................................................19
4.4 – Condições de Contorno..........................................................................................26
4.5 – Método de Galerkin................................................................................................30
4.6 – Conclusão ..............................................................................................................32
CAPÍTULO 5..................................................................................................................34
MODELO DE CAVIDADE PARA ANTENA CILÍNDRICA.......................................34
5.1 – Introdução...............................................................................................................34
IV
5.2 – Campos Eletromagnéticos na Cavidade.................................................................34
5.3 – Modelo de Fendas...................................................................................................40
5.4 – Campos Distantes ..................................................................................................42
5.5 – Conclusão...............................................................................................................46
CAPÍTULO 6..................................................................................................................47
RESULTADOS DE ANTENAS RETANGULARES E ANEL SOBRE SUPERFÍCIES
CILÍNDRICAS................................................................................................................47
6.1 – Introdução...............................................................................................................47
6.2 – Antena Retangular Cilíndrica.................................................................................47
6.3 – Antena Cilíndrica Circular .....................................................................................54
6.4 – Conclusão...............................................................................................................57
CAPÍTULO 7..................................................................................................................58
CONCLUSÕES...............................................................................................................58
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................59
V
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Sistema de coordenadas cilíndricas no cilindro............................................6
Figura 4.1 – Antena circular, tipo anel............................................................................17
Figura 4.2 – Antena retangular cilíndrica........................................................................18
Figura 4.3 – Sistema de Coordenadas Cilíndricas ..........................................................19
Figura 6.1 – Geometria da antena retangular de comprimento 2l e largura w e o ponto de
alimentação definida pela intercessão entre z e φ............................................................48
Figura 6.2 - Antena retangular cilíndrica simulada no HFSS™......................................48
Figura 6.3 – Protótipo da Antena Retangular Cilíndrica ................................................49
Figura 6.4 – Medições realizadas pelo analisador de rede vetorial E5071C...................50
Figura 6.5 – Resultado da medição do coeficiente de reflexão (S11) em função da
frequência........................................................................................................................50
Figura 6.6 – Resultado do coeficiente de reflexão (S11) no HFSS™...............................51
Figura 6.7 – Gráfico 3D do ganho na frequência de 2,29 GHz.......................................51
Figura 6.8 – Resultado da medição da impedância de entrada na carta de Smith...........52
Figura 6.9 – Comparativo da medição do coeficiente de reflexão (S11).entre o Simulado
no HFSS™ e as Medições...............................................................................................53
Figura 6.10 – Diagrama de Radiação para a frequência de 2.5 GHz em Phi = 0º e Phi =
90º ...................................................................................................................................53
Figura 6.11 - Antena cilíndrica circular...........................................................................54
Figura 6.12 - Antena cilíndrica circular no HFSS™.......................................................54
Figura 6.13 – Resultado do coeficiente de reflexão (S11) da antena cilíndrica
circular.............................................................................................................................55
Figura 6.14 – Resultado da medição da impedância de entrada na carta de Smith. para
antena cilíndrica circular para uma frequência de 2,89 GHz...........................................56
Figura 6.15 – Campo elétrico na antena em Volt (V) por metro (m)..............................56
VI
LISTA DE ABREVIATURAS E
SIGLAS
Condutividade
L Altura da antena
r Constante dielétrica
E
Vetor Campo elétrico
H
Vetor Campo magnético
J
Vetor densidade de corrente
Constante de propagação complexa em z, j
i Constante de propagação na direção ρ
Função de base
Freqüência de ressonância
F Frequência
Freqüência angular complexa
0 Permeabilidade no espaço livre
Permissividade elétrica do material na enésima região
Permissividade no espaço livre
Permissividade relativa
n Variável espectral na direção em z (cilíndrica)
k Variável espectral na direção φ
Impedância intrínseca do vácuo
Operador nabla
t Componente tangencial do operador nabla
Componente de campo elétrico no domínio espectral
Componente de campo elétrico no domínio espectral
Componente de campo elétrico no domínio espectral
Componente de campo elétrico no domínio espectral
Componente de campo magnético no domínio espectral
VII
Componente de campo magnético no domínio espectral
Componente de campo magnético no domínio espectral
Componente de campo magnético no domínio espectral
Constantes de Coordenadas Cilíndricas
Vetor densidade de Fluxo Magnético
Constantes de Coordenadas Cilíndricas
Vetor densidade de Fluxo Elétrico
Componente de campo elétrico
Componente de campo elétrico
Componente de campo elétrico
Componente de campo elétrico
Função de Hankel ordinária de primeira espécie, ordem n.
Função de Hankel ordinária de segunda espécie, ordem n.
Componente de campo magnético
Componente de campo magnético
Componente de campo magnético
Componente de campo magnético
Função de Bessel ordinária de primeira ordem
Função de Bessel de segunda ordem
Função Associada de Legendre
Função Associada de Legendre de segunda ordem
Vetor direção ρ
Vetor direção z
Vetor direção θ
Vetor direção φ
k Número de onda
Y Matriz admitãncia
Z Matriz impedância
K Matriz característica
LTT Método da Linha de Transmissão Transversa
r Raio do cilindro de ar
ρ Coordenada cilíndrica.
VIII
z Coordenada cilíndrica
Densidade de Carga
p Variável espectral associada à coordenada φ
φ Coordenada cilíndrica
Autofunção do modo natural de ressonância
Variável auxiliar
1
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
As linhas de microfita foram concebidas no início dos anos 50 e até hoje são
bastante utilizadas. Elas são compostas por um plano terra e um substrato dielétrico que
sustenta uma fita condutora. Estas apresentam as seguintes vantagens: baixo custo e
arrasto aerodinâmico, volume e massas reduzidos, excelente perfil aerodinâmico e
facilidades de adaptação em superfícies cilíndricas, por isso, podem ser aplicados em
satélites, aviões, comunicações móveis e foguetes [2-4].
O foco deste trabalho está voltado para o setor aeroespacial, pois relacionam-se
com as atividades desenvolvidas no local onde trabalho, Centro de Lançamento da
Barreira do Inferno (CLBI).
Tendo em vista o desenvolvimento teórico do Método de Linha de Transmissão
Transversa – LTT para coordenadas cilíndricas, foi escolhida uma antena circular, tipo
anel, e uma retangular cilíndrica para a aplicação na superfície cilíndrica de um foguete
ou míssel, contribuindo de forma inovadora ao método escolhido, pois até os dias atuais
este é somente aplicado em superfícies retangulares [5].
Este método consiste em uma análise rigorosa no domínio espectral para a
obtenção das componentes eletromagnéticas em função de e no domínio da
transformada de Fourier – DTF. Com a aplicação das condições de contorno para
estrutura apresentada, as suas componentes eletromagnéticas são determinadas [5].
No capítulo 2, é apresentada uma breve introdução sobre teoria eletromagnética
para determinação das componentes dos campos eletromagnéticos com a aplicação das
equações de Maxwell em coordenadas cilíndricas e uma demonstração das suas
componentes [1].
O capítulo 3 inicia-se com o desenvolvimento teórico do Método da Linha de
Transmissão Transversa – LTT, que é um método de análise rigorosa no domínio
espectral que consiste em obter as componentes dos campos elétricos e magnéticos em
função das componentes transversais no domínio da transformada de Fourier – DTF. A
partir das equações de Maxwell são determinadas as expressões gerais das componentes
dos campos eletromagnéticos, resultando em um conjunto de equações em função das
2
componentes dos campos na direção de propagação “ρ”, transversa às interfaces
dielétricas “z” e “φ” e logo após são aplicadas as transformadas de Fourier – DTF [5].
O capítulo 4 apresenta uma antena circular, tipo anel, em uma estrutura de um
foguete ou míssel para uso aeronáutico, que também pode ser aplicada em outras
estruturas cilíndricas. As soluções das equações de onda são obtidas e substituídas nas
equações dos campos eletromagnéticos e em seguida aplicada as condições de contorno
de acordo com a estrutura apresentada. Após aplicação das condições de contorno são
obtidas as constantes dos campos em função dos campos tangenciais. Com a obtenção
das constantes são aplicadas as condições de contorno magnética que podem ser escritas
na forma matricial, gerando uma matriz que relaciona os campos elétricos tangenciais e
às densidades de corrente tangenciais. A matriz de admitância é obtida e com a sua
inversão matricial é determinado a matriz de impedância em função das densidades de
corrente.
O método de Galerkin é utilizado na análise da estrutura em estudo definindo as
funções de base que devem representar as características físicas das distribuições de
corrente na fita. As funções de base são importantes para a expansão das densidades de
corrente à forma apresentada e por fim a determinação da frequência de ressonância
complexa, através do cálculo do determinante da matriz [K] [3,5].
No capítulo 5 é apresentado o modelo da cavidade para a antena cilíndrica que é
um método de análise aproximada ou quase-TEM, que tem como vantagem: a
simplificação nas equações que descrevem o funcionamento do dispositivo, análise
simples e resultado satisfatório.
Em seguida, são encontrados os campos eletromagnéticos no interior da
cavidade, usando o modelo de fendas que substitui a antena e a fonte, por fontes
magnéticas equivalentes que se localizam nas paredes magnéticas e por fim os campos
distantes. Os cálculos para a obtenção dos campos distantes em função dos parâmetros
de radiação, utilizando o modelo da cavidade.
Finalmente, o capítulo 6 apresenta a conclusão dos objetivos propostos,
resultados teóricos e práticos e sugestões para trabalhos futuros. Ressalta-se que os
resultados obtidos por meio das equações foram aplicados através da linguagem de
programação Fortran Power Station, do programa Scilab e Wolfram Mathematica®. O
programa HFSS™ (High Frequency Structural Simulator) foi utilizado para as
simulações e comparações com o protótipo montado.
3
A parte prática da antena foi projetada utilizando-se um material ULTRALAM®
3850, da Rogers Corporation, como substrato e uma placa de alumínio como plano
terra.
4
CAPÍTULO 2
ANÁLISE TEÓRICA
2.1. Introdução
A relação e variação do campo elétrico e magnético, carga e correntes associadas
com a onda eletromagnética são regidas por leis da física, que são conhecidas como
equações de Maxwell. Estas equações foram obtidas principalmente através de vários
experimentos realizados por diferentes pesquisadores, mas elas foram colocadas em sua
forma final por James Maxwell, um físico e matemático. Estas equações podem ser
escritas ou pela forma diferencial ou pela forma integral [6].
A forma diferencial da equação de Maxwell é mais utilizada para resolver
problemas de representação de valor de contorno eletromagnéticos. Esta é usada para
descrever e relacionar os vetores de campo, densidade de corrente e densidades de
cargas em qualquer ponto no espaço, em qualquer momento. Para essas expressões
serem válidas, presume-se que os vetores de campo são de valores únicos, limitados,
funções contínuas de posição e tempo e apresentam derivadas contínuas.
O vetor do campo associado com ondas eletromagnéticas possuem estas
características, exceto se existir uma mudança brusca na densidade de carga e corrente.
A distribuição descontinua da carga e corrente normalmente ocorrem na interface entre
os meios onde estão as mudanças discretas nos parâmetros elétricos através da interface.
A variação do vetor campo através das interfaces são relacionadas com a
distribuição descontínua das cargas e correntes pelo que são normalmente referidos
como condições de contorno. Assim uma completa descrição do vetor de campo para
qualquer ponto e qualquer tempo requer não somente a equação de Maxwell na forma
diferencial, mas também associado as condições de contorno [6].
A forma integral da equação de Maxwell descreve a relação do vetor de campo,
densidades de carga e densidades de corrente sobre uma extensa região do espaço. Eles
têm aplicações limitadas e são normalmente utilizados somente para resolver problemas
de valor de contorno eletromagnético que possui simetria completa, como retangular,
5
cilíndrica, esférica e outras simetrias. No entanto, os campos e suas derivadas em
questão não precisam possuir distribuições contínuas [6].
2.2. Equações de Maxwell
As equações gerais dos campos usando o método LTT são obtidas a partir das
equações de Maxwell.
Neste trabalho usaremos a forma diferencial das equações de Maxwell que
seguem [7-9]:
ou (2.1)
ou (2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
onde
- Vetor Campo Elétrico;
- Vetor Campo Magnético;
- Vetor densidade de Fluxo Elétrico;
- Vetor densidade de Fluxo Magnético;
- Vetor Densidade Corrente;
ρ - Densidade de Carga;
– Permeabilidade;
– Permissividade;
- Frequência angular complexa.
6
Como observamos a equação (2.1) representa a lei de Faraday-Lenz, onde a
força eletromotriz induzida em um circuito elétrico é igual a variação do fluxo
magnético do circuito; a equação (2.2) representa a lei de Ampére-Maxwell, em que o
vetor indução magnética B, no circuito fechado, é proporcional à corrente total que flui
através da superfície de área delimitada pelo circuito; a equação (2.3) representa a lei de
Gauss, onde o fluxo do campo elétrico presente em uma superfície fechada é
proporcional à carga elétrica que está no volume da superfície fechada; a equação (2.4)
corresponde a lei de Gauss para o magnetismo, na qual o fluxo de B através de
superfícies fechadas sempre será nulo [10].
Na figura abaixo, “φ” é o ângulo azimutal e é medido no eixo X, no plano XY;
Z apresenta as mesmas características das coordenadas cartesianas e o “ρ” representa a
direção de propagação adotada, sendo “a” o raio interno e “b” o raio externo do cilindro.
Os limites são: 0 ≤ ρ < ∞; 0 ≤ φ < 2π e -∞ < z < ∞ [11].
Figura 2.1 - Sistema de coordenadas cilíndricas no cilindro.
2.3. Conclusão
Neste capítulo foram apresentadas as equações de Maxwell que serão de extrema
importância para o desenvolvimento das equações descritas nos próximos capítulos,
bem como o sistema de coordenadas cilíndricas e seus principais componentes.
7
CAPÍTULO 3
MÉTODO DA LINHA DE
TRANSMISSÃO TRANSVERSA
3.1. Introdução
Em circuitos, dispositivo e linhas de transmissão é necessário realizar a análise
dos campos eletromagnéticos, pois estes elementos são utilizados em altas frequências.
Com isso vários métodos que possuem recursos matemáticos de mudança do domínio
do tempo para o domínio espectral são tomados como forma de simplificar a sua
análise, dentre eles temos os métodos de onda completa que são bastante utilizados para
análise de antenas.
O Método da Linha de Transmissão Equivalente – LTE ou Método da Imitância,
Método de Galerkin, Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Método de
Transmissão Transversa – LTT são exemplos de métodos de onda completa ou exatos e
são amplamente utilizados [1,12-14].
Os métodos de análises aproximadas ou quase-TEM, tais como: Modelo da
Linha de Transmissão e o Modelo da Cavidade, tem como vantagem: a simplificação
nas equações que descrevem o funcionamento do dispositivo, análise simples,
resultados satisfatórios, a sua aproximação com os resultados obtidos, porém este
método a partir de frequências maiores que 10 GHz são obsoletos, pois os erros dos
resultados são inconcebíveis [1,5,13].
O estudo de onda completa realiza a análise no domínio espectral para a
obtenção das componentes dos campos elétricos e magnéticos em função das suas
componentes transversais no domínio da Transformada de Fourier e a maior parte do
desenvolvimento algébrico não depende da geometria analisada, tendo a sua função de
base escolhida conforme a sua estrutura [1,14,15].
O objetivo deste trabalho é desenvolver as equações dos campos
eletromagnéticos através do Método da Linha de Transmissão Transversa. Este descreve
8
o campo elétrico e magnético em função do campo na direção “ρ”, transversa às
interfaces dielétricas “z” e “φ”, em coordenadas cilíndricas, ou seja, as equações gerais
dos campos eletromagnéticos serão obtidas em função de e para antenas
cilíndricas [1,14].
3.2. Campos Eletromagnéticos
Para as estruturas que apresentam sistemas de configurações cilíndricas é
aconselhável que se resolva o problema dos valores de contorno para os campos e
usando as coordenadas cilíndricas.
Vamos considerar a solução para o campo e considerando um meio sem
perdas e uma fonte livre. Para facilitar os cálculos matemáticos vamos examinar apenas
o meio sem perdas [6].
Partindo das equações de Maxwell (2.1) e (2.2), separando as transversais
(direção “z” e “φ”) dos termos na direção “ρ” e realizando as devidas manipulações nas
equações, resulta nas equações gerais para os campos eletromagnéticos [1,14].
O rotacional representa os vetores de um determinado campo vetorial afastando-
se ou aproximando-se do vetor normal à superfície, correspondendo a uma
transformação linear em outro campo vetorial, então temos:
Para o campo elétrico:
(3.1)
Relacionando os Campos Elétricos da mesma direção obtêm-se:
(3.2)
(3.3)
9
(3.4)
Para o Campo Magnético:
(3.5)
Relacionando os Campos Magnéticos da mesma direção:
(3.6)
(3.7)
(3.8)
onde representa a permeabilidade, é a permissividade elétrica relativa
do material na região escolhida. Os termos e representam os valores do espaço
livre, o termo é a permissividade elétrica relativa da região com perdas e por fim é
a frequência angular complexa.
Fazendo-se:
(3.9)
(3.10)
ρ
(3.11)
ρ
(3.12)
Onde:
(3.13)
10
(3.14)
Substituindo (3.9) a (3.11) em (3.5):
(3.15)
(3.16)
Separando as componentes transversais ( de (3.16):
(3.17)
Então:
(3.18)
Fazendo-se o mesmo procedimento para , temos:
(3.19)
(3.20)
Separando as componentes transversais ( de (3.20):
(3.21)
Então:
(3.22)
Para , substituindo (3.22) em (3.18):
(3.23)
(3.24)
Mas:
ρ
(3.25)
ρ
(3.26)
11
ρ
(3.27)
ρ
(3.28)
= (3.29)
E também:
(3.30)
(3.31)
(3.32)
(3.33)
Substituindo (3.29) e (3.33) em (3.24), temos:
(3.34)
Multiplicando por –
(3.35)
(3.36)
(3.37)
Adotando que:
(3.38)
(3.39)
Substituindo:
(3.40)
Então:
(3.41)
Fazendo o mesmo procedimento para , temos:
12
(3.42)
(3.43)
(3.44)
Multiplicando por
(3.45)
(3.46)
(3.47)
Da equação (3.41):
(3.48)
ρ
ρ
(3.49)
ρ
ρ
(3.50)
Então, encontramos os campos , em função de :
ρ
(3.51)
ρ
ρ (3.52)
ρ
ρ
(3.53)
ρ
(3.54)
De maneira análoga encontramos em função de
ρ
ρ
(3.55)
ρ
ρ
(3.56)
Então:
13
ρ
(3.57)
ρ
ρ (3.58)
ρ
ρ
(3.59)
ρ
(3.60)
As quatro equações eletromagnéticas são:
ρ
ρ
(3.61)
(3.62)
ρ
ρ
(3.63)
ρ
(3.64)
3.3. Aplicação da Transformada de Fourier em Coordenadas
Cilíndricas
Este método considera a propagação na direção “ρ” que resulta no aparecimento
da constante de propagação nesta direção ( ), considerando que os campos são
harmônicos no tempo [1].
Como o ressoador de linha de microfita é limitado em seu comprimento, então
as equações devem ser amostradas no domínio espectral nas direções φ e z.
Portanto, aplica-se às equações dos campos a dupla transformada de Fourier:
(3.65)
em que é a variável espectral na direção φ e é a variável espectral na
direção z.
14
A variável espectral é escolhida de maneira que as suas condições de
contorno nas laterais sejam satisfeitas. Em estruturas abertas a largura da microfita é
considerada como sendo infinita, mas na prática pode-se considerar a largura da linha de
microfita como sendo pelo menos 15 vezes a largura da fita.
Lembrando que:
(3.66)
(3.67)
(3.68)
(3.69)
Então, passando as equações eletromagnéticas para o domínio da Transformada
de Fourier, os campos eletromagnéticos para a i-ésima região são:
(3.70)
(3.71)
(3.72)
(3.73)
onde:
i = 1, 2, 3... -representa as regiões dielétricas da estrutura;
2222 1
ikni k
-constante de propagação na direção ρ;
n -variável espectral na direção φ;
k -variável espectral na direção z;
ri
2
0
22
i kk -número de onda da i-ésima região dielétrica;
0
iriri j
-permissividade elétrica relativa do material com
perdas;
= r + ji -frequência angular complexa;
15
0rii -permissividade elétrica do material;
Após a obtenção das equações dos campos elétrico e magnético para uma região
qualquer do espaço (i = 1, 2, 3, ...), aplicam-se estas equações à estrutura que se
pretende analisar.
3.4. Conclusão
No presente capítulo apresentou-se a aplicação da antena circular, tipo anel, em
foguetes ou míssil, descreveu-se os campos eletromagnéticos, relacionando-se os
campos da mesma direção, resultando nas equações gerais dos campos elétrico e
magnético através do método LTT, gerando equações no domínio espectral e por fim
descritas as equações no domínio da transformada de Fourier.
Estas equações podem ser aplicadas a qualquer dispositivo ou estrutura de
transmissão de micro-ondas: ressoadores, antenas ou estruturas de ondas milimétricas
[5].
Uma das principais vantagens oferecidas pelo método da Linha de Transmissão
Transversa está relacionada à simplificação e à redução dos cálculos numéricos
desenvolvidos.
16
CAPÍTULO 4
CAMPOS ELETROMAGNÉTICOS NA
ANTENA CILÍNDRICA
4.1. Introdução
Para a obtenção de resultados exatos e mais eficientes, ou seja, que se
aproximem dos resultados reais faz-se necessário uma análise de métodos rigorosos de
onda completa.
Tendo-se uma solução geral da equação de onda para as coordenadas cilíndricas
e aplicando as condições de contorno adequadas para estrutura, são obtidas as devidas
constantes em função do campo elétrico fora da fita e a equação matricial não
homogênea envolvendo as densidades de corrente nas fitas.
Utilizando-se o método dos momentos, as densidades de corrente são expandidas
em funções de base e uma equação matricial homogênea é fornecida.
Ao final obtém-se uma solução não-trivial que gera a equação característica, em
que as suas raízes permitem a obtenção da frequência de ressonância da antena.
Neste capítulo será apresentado uma antena circular, tipo anel, na estrutura de
um foguete ou míssel.
4.2. Antena cilíndrica circular
Em virtude do avanço tecnológico, as faixas de frequências de micro-ondas,
ondas milimétricas e ópticas estão a cada dia sendo mais utilizadas para transmissão
e recepção de dados.
Neste trabalho será feita a analise na faixa de frequência de micro-ondas e o
seu comportamento utilizando um substrato de microfita. As primeiras definições
17
sobre irradiadores em microfita surgiram em 1953, mas as primeiras antenas práticas
foram desenvolvidas em 1970 por Howell e Munson [5].
Desde então, a sua utilização obteve um crescimento enorme, em virtude das
suas vantagens que são: massa e volume reduzido, peso reduzido, baixo arrasto
aerodinâmico, configuração planar, compatibilidade com circuitos integrados,
facilidade de instalação em superfícies cilíndricas, baixo custo de produção e a
possibilidade de polarização linear e circular trocando apenas a posição do ponto de
alimentação [5].
Por outro lado uma de suas desvantagens é: largura de banda limitada, baixa
capacidade de potência, perdas devido aos baixos ganhos e perdas por irradiação.
Inicialmente é apresentado um modelo de antena de microfita circular, tipo
anel e outro retangular cilíndrico aplicado na superfície do foguete ou míssel, para
fins de telemetria. A faixa de frequência pretendida é de 2 a 4 GHz.
Figura 4.1 - Antena circular, tipo anel.
18
Figura 4.2 – Antena retangular cilíndrica
As figuras 4.1 e 4.2 representam um protótipo de foguete com a aplicação de
uma antena circular, tipo anel, e uma antena retangular cilíndrica onde temos: a
região interna do foguete que funciona como plano terra, o dielétrico e a antena. O
comprimento da antena é igual a 2πa, onde “a” é o raio menor (interna) e “b” o raio
maior do cilindro (externa), a espessura h = b – a, permissividade relativa , altura
igual a 2l que é paralelo ao eixo z e permeabilidade magnética (vácuo).
O cálculo da altura das antenas apresentadas acima é dado por [2]:
(4.1)
Em que:
- velocidade da luz no vácuo (3x108 m/s)
- frequência de ressonância
19
– permissividade relativa
De acordo com a figura 4.3 estão expressos os sistemas de coordenadas que
serão utilizados para análise.
Figura 4.3 - Sistema de Coordenadas Cilíndricas.
A análise do campo elétrico será feita em função da propagação na direção ρ,
conforme ilustrado na figura acima.
4.3. Soluções das Equações de Onda
A equação de onda não sofre alteração sob-rotações das coordenadas espaciais e
as soluções dependem apenas da distância radial de um ponto fornecido [16].
O Laplaciano em coordenadas cilíndricas pode ser escrito como:
20
(4.2)
(4.3)
O que resulta em:
(4.4)
(4.5)
Conforme a figura (4.2) a região ρ > b, na qual se encontra os campos irradiados
no espaço livre, considerando que este meio é linear, homogêneo, isotrópico e sem
perdas, as equações de onda para os campos eletromagnéticos, e podem ser
apresentados de acordo com a equação de Helmholtz:
(4.6)
(4.7)
As equações de onda que permitem a obtenção das componentes longitudinais
dos campos e possuem a seguinte forma:
(4.8)
(4.9)
onde:
(4.10)
21
(4.11)
(4.12)
assim:
(4.13)
(4.14)
O método de separação de variáveis é um método conveniente para resolver uma
equação diferencial parcial (PDE). As equações (4.13) e (4.14) são derivadas parciais de
segunda ordem que serão resolvidas usando este método, conforme abaixo descrito [6
,7,17,18] :
(4.15)
(4.16)
No método de separação de variáveis, três passos são seguidos [19]:
1. Separação das variáveis;
2. Encontrar as soluções particulares das equações separadas;
3. Combinar as soluções.
Substituindo as equações (4.15) ou (4.16) nas equações (4.13) ou (4.14),
respectivamente, e multiplicando por
, resulta em [19]:
(4.17)
Isolando temos:
(4.18)
onde é a constante de separação [19].Então:
22
F" F (4.19)
Assim:
(4.20)
Dividindo a equação (4.20) por [19]:
(4.21)
Isolando z temos:
(4.22)
onde é outra constante de separação [19]:
" (4.23)
Chega-se a:
(4.24)
Consequentemente:
"
(4.25)
considerando que
(4.26)
O que resulta em:
23
"
(4.27)
"
(4.28)
Multiplicando :
" (4.29)
A partir das equações (4.19) e (4.23) chega-se as soluções para F( e Z(z) que
são [19]:
F(
ou (4.30)
F( (4.31)
(
ou (4.32)
(4.33)
Substituindo x = e R por y na equação (4.29) encontraremos:
y" (4.34)
Esta equação é conhecida como equação diferencial de Bessel e sua solução terá
a seguinte forma [17,18,19]:
(4.35)
Então a solução para é dada por:
ou (4.36)
24
(4.37)
Lembrando que:
(4.38)
(4.39)
onde
Constantes de Coordenadas Cilíndricas;
Constantes de Coordenadas Cilíndricas;
Função de Bessel ordinária de primeira ordem;
Função de Bessel de segunda ordem ou Função de Neumann;
Função de Hankel ordinária de primeira ordem;
Função de Hankel ordinária de segunda ordem.
A função de Hankel é bastante utilizada para resolver equações diferenciais
parciais em coordenadas cilíndricas.
As equações (4.36) e (4.37) representam as soluções para , porém na
equação (4.36) podemos verificar que irá assumir valores infinitos para x=0, ou
seja, quando a origem for incluída na análise a sua solução não poderá considerar o
termo [17] e [18], representando melhor a propagação da onda na região interna
do cilindro [6].
Como neste trabalho a região 1 trata-se da análise da onda propagando-se na
região interna do cilindro , então utilizaremos somente a equação (4.37) para
determinar o e .
As soluções das equações dos campos em função de “ρ” são dadas a partir das
equações de onda de Helmholtz para as duas regiões: região 1 representa a ressonância e
a região 2 a propagação da onda eletromagnética através do ar, estas são expressas da
seguinte forma:
Região 1:
25
(4.40)
(4.41)
As equações acima representam o comportamento dos campos irradiados, na
qual a função de Hankel de primeira ordem representa a onda aproximando-se da
origem e a função de Hankel de segunda ordem representa a onda afastando-se da
origem [2].
Como a análise da região 2 trata-se da onda propagando-se para fora do cilindro,
o meio é ilimitado para ρ → ∞, considera-se apenas a segunda parcela das equações,
então as soluções para os campos são [2]:
Região 2:
(4.42)
(4.43)
Substituindo as equações (4.40) e (4.41) em (3.70) a (3.73), para a região 1
temos:
(4.44)
(4.45)
(4.46)
(4.57)
Substituindo as equações (4.42) e (4.43) em (3.70) a (3.73), para a região 2
temos:
(4.48)
(4.49)
26
(4.50)
(4.51)
4.4. Condições de Contorno
As condições de contorno são importantes, pois define como a solução geral da
equação será moldada ao dispositivo, sendo que elas determinam como será a solução
final, transformando a parte matemática em uma aplicação física [16]. Elas estudam a
relação entre os campos eletromagnéticos imediatamente antes e depois de uma
superfície de separação entre dois meios e as relações entre os campos são encontradas
pelas equações de Maxwell [10].
Além disso, são úteis na determinação do campo em um lado do contorno se o
campo no outro lado é conhecido. Obviamente, as condições serão ditadas pelos tipos
de material do meio que são feitas.
Consideram-se as condições de contorno a uma interface separando: dielétrico
e dielétrico , condutor e dielétrico e condutor e espaço livre [11].
As equações diferenciais de Maxwell estabelecem relações entre as derivadas
espaciais e temporais dos campos eletromagnéticos, densidade de carga e corrente. Caso
a derivada espacial de uma função é finita, logo a sua função será contínua, ou seja, não
haverá alteração no seu valor quando passar de um ponto para outro vizinho. Não
haverá descontinuidade de um ponto para outro [10].
No entanto, ao longo das fronteiras onde o meio envolvido apresenta
descontinuidade nas suas propriedades elétricas, os vetores do campo também são
descontínuos e seu comportamento através das fronteiras é regida pelas condições de
contorno [4].
Notamos que a densidade de carga só aparece na lei de Gauss para o campo
elétrico, a densidade de corrente só aparece na lei de Ampére-Maxwell para o campo
magnético, assim apenas estas poderão resultar em descontinuidade para determinadas
componentes dos campos, através da passagem entre dois meios [10].
Caso ou ou ambos sofrem alguma variação descontínua, na superfície de
separação entre os meios, os campos também serão descontínuos e as equações de
Maxwell na sua forma diferencial não é aplicado [6].
27
Com a existência de campos elétricos somente nas direções e z, então as
condições de contorno, para as estruturas cilíndricas, deverão ser aplicadas utilizando as
seguintes condições [19]:
Em ρ = h, sendo h = b – a:
(4.52)
(4.53)
(4.54)
(4.55)
Com a aplicação destas condições de contorno, as constantes dos campos
elétrico e magnético são obtidas em função dos campos elétricos tangenciais e :
(4.56)
(4.57)
(4.58)
(4.59)
Com a obtenção das constantes dos campos eletromagnéticos, serão aplicadas as
condições de contorno magnética na interface em que se localiza a fita condutora [5]:
(4.60)
(4.61)
As condições de contorno das expressões acima podem ser escritas na forma
matricial, gerando uma matriz que relaciona os campos elétricos tangenciais à interface
da fita e às densidades de corrente tangenciais. Esta é denominada de matriz admitância
28
ou impedância, de acordo com a forma em que a equação matricial é apresentada, segue
abaixo:
(4.62)
(4.63)
Onde representa a matriz admitância, a matriz impedância, o vetor da
densidade de corrente na fita condutora e é o vetor campo elétrico tangencial à
interface da fita.
A matriz admitância é o inverso da matriz impedância e vice-versa, ou seja,
e a matriz impedância é uma matriz simétrica, a sua inversa também é,
então [5].
(4.64)
(4.65)
Fazendo-se a substituição das constantes dos campos em função dos campos
elétricos tangencias nas condições de contorno magnéticas e após manipulações
algébricas obtém-se a matriz admitância [1]:
(4.66)
(4.67)
Em sua forma matricial:
(4.68)
29
Substituindo as constantes das equações (4.60) e (4.61) e desenvolvendo-as
temos:
(4.69)
(4.70)
(4.71)
(4.72)
onde
(4.73)
(4.74)
Ressalta-se que a inversão matricial é possível caso as matrizes de admitância e
impedância sejam simétricas, ou seja, a admitância é inversa de e a inversa
de :
(4.75)
A partir disto, obtêm-se a impedância [Z] em função das densidades de corrente,
conforme abaixo:
(4.76)
Temos que os termos da matriz [Z] são as componentes da função diádica de
Green.
30
4.5. Método de Galerkin
O método de Galerkin é usado com muita eficiência em análise de estruturas na
faixa de micro-ondas e trata-se de um caso particular do método dos Momentos em que
as funções de peso são consideradas iguais às funções de base e estas por sua vez são
responsáveis pela aproximação dos resultados com os valores corretos, obedecendo às
condições de contorno da estrutura em estudo. Desta forma, realiza-se o produto interno
da equação matricial da impedância pelos conjugados das funções de base.
De acordo com a estrutura em estudo, cilíndrica, são definidas as funções de
base que representam as características físicas das distribuições de corrente na antena.
Esta escolha é de fundamental importância para a expansão dos campos tangenciais
elétricos ou para expansão das densidades de corrente na antena. Como há campo
elétrico fora da antena e esta área é maior e para isto seria necessário muitas funções de
base, então são expandidas as densidades de corrente presente na antena, pois a área é
menor e necessita de poucas funções de base [20-22].
(4.77)
(4.78)
em que “ ” é uma constante desconhecida, “ ” e “ ” representam coeficientes das
funções de base existentes na fita condutora e “N” um número inteiro maior ou igual a 1
que representa a quantidade de funções de base utilizadas.
As funções de base sem condições de borda para patch retangular são [20-22]:
(4.79)
(4.80)
No domínio espectral temos:
(4.81)
31
(4.82)
Para a antena cilíndrica circular:
(4.83)
onde é o comprimento da antena e é o ângulo da formado pela curvatura da
antena e = – /2 , m = 0,1,2,3.... e n = 0,1,2,3...
As funções de base com condições de borda para patch retangular são [20-22]:
(4.84)
(4.85)
No domínio espectral temos:
(4.86)
(4.87)
onde é a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero.
Para antena cilíndrica circular:
(4.88)
32
Aplica-se o produto interno do sistema de equações com a função teste existente
apenas na região da fita, que de acordo com o método de Galerkin utiliza a função teste
igual à função de base da densidade de corrente.
A função teste existe em uma região complementar à função de base do campo
elétrico, por isso o produto interno é nulo, resultando em um sistema de equações se
torne homogêneo.
(4.89)
em que cada elemento da matriz K é descrito abaixo:
(4.90)
(4.91)
(4.92)
(4.93)
O determinante da equação matricial K resultará em uma solução da equação
característica, em que a raiz complexa é a constante de propagação .
A frequência de ressonância é obtida através da associação do Método dos
Momentos com o Método LTT.
4.6. Conclusão
Neste capítulo foi apresentado o desenvolvimento teórico do método LTT para
uma antena de microfita cilíndrica circular e suas aplicações em foguetes, mísseis ou
outras estruturas. Foram obtidas as equações de onda dos campos eletromagnéticos e as
condições de contorno.
33
De acordo com as condições de contorno, aplicou-se o método de Galerkin para
a expansão das densidades de corrente na fita metálica condutora.
As funções de base apresentadas são utilizadas para aproximar as densidades de
corrente na fita metálica.
A frequência de ressonância é obtida a partir da determinação das raízes da
equação característica.
34
CAPÍTULO 5
MODELO DA CAVIDADE PARA
ANTENA CILÍNDRICA
5.1. Introdução
No início dos lançamentos de foguetes utilizavam-se antenas de fenda, para a
aplicação em telemetria na Banda S. Contudo por dificuldades de fabricação foi trocada
por antenas de microfita retangulares, pois apresentavam melhor arrasto dinâmico,
baixo perfil aerodinâmico, de implementação fácil, baixo: peso, custo e volume [23].
Ao início deste Capítulo verificou-se a existência de vários outros artigos,
dissertações, teses que estavam à disposição, dentre eles destacam-se os do ITA. A
obtenção de qualquer parâmetro relacionado à radiação dependerá das expressões dos
campos eletromagnéticos distantes. Para a estrutura escolhida, antena circular, tipo anel,
sobre a superfície cilíndrica, o modelo da cavidade ressonante [2,23,24] é o mais
apropriado, pois vem sendo bastante utilizado para a análise de antenas de microfita e
apresenta bons resultados para substratos que apresentam espessuras finas em relação ao
comprimento de onda (h << λ).
5.2. Campos eletromagnéticos na cavidade
Para a região da cavidade as equações de Maxwell podem ser escritas da
seguinte forma:
(5.1)
(5.2)
35
onde é a freqüência angular, é a permeabilidade do vácuo, é a permissividade
do vácuo e é a permissividade relativa.
Tendo em vista que a espessura do substrato da antena é muito menor que o
comprimento de onda (h << λ), admite-se que as componentes dos campos elétricos
paralelos ao plano terra são nulos, ou seja, e são iguais a zero, existindo apenas a
componente , consequentemente também será igual a zero para qualquer ponto da
cavidade. Considera-se também que no interior da cavidade as componentes são
independentes de ρ, isto é,
.
De acordo com as considerações acima, em coordenadas cilíndricas, os campos
são apresentados da seguinte forma [2,23]:
(5.3)
(5.4)
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
Tendo em vista que , e são iguais a zero, então as equações reduzem
para:
(5.9)
(5.10)
36
(5.11)
Substituindo as equações (5.10) e (5.11) em (5.9) obtém-se a equação de onda
no interior da cavidade que é escrita como [2]:
(5.12)
onde
(5.13)
Como a antena é fina a variável radial “ρ” apresentada na equação (5.12) pode
ser substituída pelo raio do cilindro (a), resultando em:
(5.14)
Usando o método da separação de variáveis [6] pode-se resolver a equação
diferencial de segunda ordem da equação (5.14), lembrando-se que o campo elétrico no
interior da cavidade é independente de “ρ”.
Satisfazendo as condições de contorno, a componente deve ser representada
ao longo de e z, obtendo-se [2]:
(5.15)
(5.16)
onde e são as constantes de separação das variáveis e devem satisfazer a seguinte
considerações:
(5.17)
-2l ≤ z ≤ 0 e 0 ≤ ≤ 2π (5.18)
37
Os campos magnéticos existentes no interior da cavidade, e , são obtidos
através das condições de contorno [2]:
(5.19)
(5.20)
De acordo com figura 4.3 temos duas paredes elétricas (ρ = a, ρ = b), sendo uma
o plano terra e a outra a própria antena e quatro paredes magnéticas (z = 0, z = -2l, =
0, = π), então temos seis condições de contorno. Aplicando as condições de contorno,
obtêm-se [25]:
(5.21)
(5.22)
(5.23)
onde:
(5.24)
=
, considerando que h << a = a+h (5.25)
=
(5.26)
B = 0 (5.27)
D = 0 (5.28)
≈ 120π ≈ 377 (5.29)
38
(5.30)
m = 0,1,2,3.... (5.31)
n = 0,1,2,3... (5.32)
onde m e n poderão ser qualquer número positivo, porém não iguais a zero
simultaneamente e representa da impedância intrínseca do vácuo. Cada valor do par
(m,n) identifica um modo de ressonância em relação ao eixo ρ.
O cálculo da frequência de ressonância é dado por [26,27]:
(5.33)
Os campos elétricos no interior da cavidade podem ser representados pelo
método da representação por expansão em modos de ressonância, ou seja, um somatório
dos modos de ressonância: [2,23,27,28]:
(5.34)
(5.35)
(5.36)
Para uma estrutura circular alimentada por prova coaxial localizada em ( , ),
a excitação coaxial pode ser modelada por uma fita de corrente, com largura efetiva “d”,
uniformemente distribuída, com aproximadamente cinco vezes o diâmetro do condutor
coaxial. A densidade de corrente na fita é dada por [2,23]:
(5.37)
39
(5.38)
onde D representa a densidade de corrente na fita de largura efetiva d e é a
função Delta de Dirac.
De acordo com LO [39] a expressão do coeficiente é dada por:
(5.39)
onde,
(5.40)
S representa a superfície da fita e é fornecido pela densidade de corrente na fita. De
acordo com as informações temos:
(5.41)
(5.42)
em que representa a autofunção do modo natural de ressonância e,
(5.43)
(5.44)
Conclui-se que:
40
(5.45)
Por fim as expressões dos campos eletromagnéticos no interior da cavidade são
dadas por [2,23,26]:
(5.46)
(5.47)
(5.48)
5.3. Modelo de Fendas
O modelo de fendas axiais e circunferências, dada por [2,23], consiste em
substituir a antena e a fonte, por equivalentes fontes magnéticas que se encontram nas
paredes magnéticas. Estas podem ser consideradas como fendas eletromagnéticas, desde
que as dimensões sejam menores que a outra, ou seja, infinitesimais.
A densidade de corrente magnética equivalente em cada superfície lateral ( ) é
dada por:
41
= x (5.49)
onde representa o versor normal a cada uma das paredes e é o campo elétrico em
cada superfície.
Considerando que o campo elétrico é fornecido pela equação (5.46), então [35]:
em z = 0 (5.50)
em z = -2l (5.51)
onde,
(5.52)
(5.53)
De acordo com [2,23], as irradiações das antenas finas, realizadas pelas fontes
localizadas nas superfícies laterais , são equivalentes à irradiação de corrente
filiformes localizadas nas bordas do elemento irradiador, formando duas paredes
filiformes, e são dadas por:
(5.54)
Aplicando nas equações resulta em:
em z = 0 (5.55)
em z = -2l (5.56)
42
Em contrapartida, as duas paredes magnéticas filiformes podem ser substituídas
por duas densidades de correntes magnéticas que se encontram sobre o cilindro, sendo
elas centradas em z = 0 e z = -2l, com comprimentos infinitesimais e altura igual a 2∆.
Conclui-se que as densidades de correntes magnéticas são dadas por:
em z = 0 (5.57)
em z = -2l (5.58)
Por fim, utilizando o princípio de equivalência, as duas densidades de corrente
magnéticas são substituídas por duas fendas circunferências, então os campos
tangenciais elétricos nas fendas são:
= x (5.59)
Portanto:
(5.60)
(5.61)
Logo, o cálculo dos campos distantes irradiados pela antena é transformado no
cálculo dos campos distantes irradiados pelas fendas circunferências que estão
localizadas no cilindro condutor de raio a h ≈ a.
5.4. Campos Distantes
De acordo com os procedimentos descritos por [29], temos que:
(5.62)
43
(5.63)
onde
(5.64)
(5.65)
Então, conclui-se que as expressões dos campos elétricos distantes irradiados
pela antena são dadas por:
(5.66)
(5.67)
Considerando que u = , , é a função de Hankel de
ordem p de segunda ordem e representa uma onda afastando-se da origem, é a
derivada primeira função de Hankel, em relação ao argumento x, então os resultados de
e são:
(5.68)
(5.69)
A transformada do campo elétrico tangencial, em relação à φ, no cilindro é
fornecida por [25,29]:
44
(5.70)
onde
(5.71)
Portanto, obtém-se a seguinte expressão:
(5.72)
(5.73)
Considerando uma antena fina excitada por uma rede paralela de alimentação
descrita em [30], caso os pontos de alimentação seja maior que o comprimento de
onda presente no dielétrico na direção L, então:
(5.74)
O campo elétrico dentro da antena é aproximadamente uniforme em φ,
concluindo que somente existe o modo e substituindo nas equações (5.72) e
(5.73) acima se resulta em:
45
(5.75)
(5.76)
De acordo com a equação (5.76), observamos que o existe somente quando o
ρ = 0, então o campo elétrico distante é dado por:
(5.77)
onde é uma constante e b é a metade do comprimento da antena na direção de z. A
partir dos resultados, vê-se que o padrão de radiação pode ser considerado como um
padrão de dipolo de meia onda multiplicado pelo fator abaixo:
(5.78)
A impedância de entrada da cavidade Z é uma relação entre a tensão divido pela
corrente I, ou seja:
(5.79)
Utilizando o modelo da cavidade ressonante de uma antena, a tensão V é
expressa através dos campos do interior da cavidade.
Considerando que a prova de alimentação seja modelada por uma fita de largura
efetiva “d”, então:
(5.80)
E a tensão será:
(5.81)
46
onde h é a espessura do substrato e é o valor médio do campo elétrico na fita de
corrente que é dado por:
(5.82)
Manipulando as equações a impedância de entrada da cavidade será:
(5.83)
5.5. Conclusão
Neste capítulo foram descritos os cálculos para a obtenção dos campos distantes
em função dos parâmetros de radiação, utilizando o modelo da cavidade. Em seguida
foram encontrados os campos eletromagnéticos no interior da cavidade, com o emprego
do modelo de fendas que substitui a antena e a fonte, por fontes magnéticas equivalentes
que se localizam nas paredes magnéticas e por fim os campos distantes.
47
CAPÍTULO 6
RESULTADOS DE ANTENAS
RETANGULARES E ANEL SOBRE
SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS
6.1. Introdução
De acordo com a teoria desenvolvida nos Capítulos 4 e 5 foram obtidos
resultados de frequência de ressonância para a antena circular, tipo anel.
Este capítulo tem como objetivo mostrar os resultados da construção de duas
antenas, sendo uma retangular cilíndrica e outra cilíndrica circular, tipo anel, para
utilização em estruturas cilíndricas como foguetes, mísseis ou outras.
A frequência pretendida nestes resultados está entre 2 a 4 GHz, ou seja, dentro
da banda S para fins de uso em telemetria.
Para a obtenção dos parâmetros das antenas foram utilizadas a equação (4.1), o
Método LTT, o programa Ansoft Design e os procedimentos propostos em [2], para a
antena retangular cilíndrica, e [20], para a antena cilíndrica circular em anel.
As curvas foram obtidas com a utilização do Scilab e as simulações da estrutura
apresentada foram feitas através do programa HFSS™ (High Frequency Structural
Simulator). As medições dos protótipos foram feitas através dos analisadores de redes
disponíveis no Laboratório de Telecomunicações da UFRN, no qual destacamos o
E5071C ENA Series Network Analyzer da Agilent Technologies e o ZVB 14 Vector
Network Analyzer da Rodhe & Schwarz.
6.2. Antena Retangular Cilíndrica
Para uma melhor compreensão foram construídos dois protótipos de antena,
sendo uma cilíndrica retangular e outra cilíndrica circular, tipo anel. O substrato
utilizado é o ULTRALAM® 3850, da Rogers Corporation, que tem permissividade
48
elétrica relativa = 2,9, uma espessura de 0,05 mm e uma tangente de perda, δ =
0,0025.
Tendo em vista as considerações feitas por [2,23], em relação à utilização do
modelo desenvolvido para as antenas planares também ser utilizado como uma
aproximação para as cilíndricas, pois as frequências de ressonância não diferem
substancialmente, então foram utilizadas: a equação (4.1), o método LTT e o programa
Ansoft Design para modelar uma antena retangular cilíndrica para operar na frequência
de 2,29 GHz. As dimensões modeladas foram aproximadamente: 2l = 38 mm por w = 39
mm e o ponto de alimentação localizada em z = -13 mm e φ 14 mm, como visualizado
na figura 6.1:
Figura 6.1 - Geometria da antena retangular de comprimento 2l e largura w e o ponto de
alimentação definida pela intercessão entre z e φ.
Para a simulação da antena retangular cilíndrica foi projetado no HFSS™ o
protótipo da antena conforme apresentado na Figura 6.2.
Figura 6.2 - Antena retangular cilíndrica simulada no HFSS™
49
A figura 6.3 apresenta o protótipo da antena retangular cilíndrica que foi
construído utilizando-se uma chapa de alumínio de 14,5 cm de largura,
apoximadamente, 32 cm de comprimento, 1 mm de espessura e um raio de,
aproximadamente, 5 cm. Para o ponto de alimentação utilizou-se um conector SMA nas
duas extremidades e um cabo microondas flexível.
Figura 6.3 – Protótipo da Antena Retangular Cilíndrica.
As medições foram realizadas no Laboratório de Telecomunicações da UFRN,
através dos analisadores de rede vetorial disponíveis, dentre os quais destacamos o ZVB
14 Vector Network Analyzer da Rodhe & Schwar e o E5071C ENA da Agilent
Technologies, conforme ilustrado na figura 6.4.
50
Figura 6.4 – Medições realizadas pelo analisador de rede vetorial E5071C.
A figura 6.5 apresenta o resultado da medição do coeficiente de reflexão (S11) da
antena retangular cilíndrica na faixa de frequência de 1 a 5 GHz. Analisando os
resultados obtidos observa-se uma boa ressonância na frequência de 2,293 GHz a um
nível de -18,20 dB.
Figura 6.5 – Resultado da medição do coeficiente de reflexão (S11) em função da frequência.
51
Com os dados apresentados, a antena atingiu o objetivo deste trabalho, no que se
refere a sua utilização em telemetria, ou seja, 2,29 GHz, dentro da Banda S.
Fazendo um comparativo com o simulado no HFSS™ temos uma aproximação
muito boa do coeficiente de reflexão, pois o resultado é 2,2946 GHz a um nível de -
16,9340 dB, conforme ilustrado na figura 6.6:
Figura 6.6 – Resultado do coeficiente de reflexão (S11) no HFSS™.
Através do HFSS foi simulado o ganho, em 3D, na frequência de 2,29 GHz.
Figura 6.7 – Gráfico 3D do ganho na frequência de 2,29 GHz.
52
A figura 6.8 apresenta o resultado da medição da curva de impedância de
entrada na carta de Smith para a frequência de 2,293 GHz na faixa de frequência de 1 a
5 GHz.
Figura 6.8 – Resultado da medição da impedância de entrada na carta de Smith.
De acordo com a figura 6.8 temos a impedância de entrada na carta de Smith
com uma resposta de 47,3 – j 2,81 Ω, ou seja, uma antena com uma resposta próxima de
50 Ω, facilitando um bom casamento de impedância.
Outro ponto de interesse neste capítulo é a frequência de 2,5 GHz, após alguns
ajustes no ponto de alimentação foram realizadas duas medições e a simulação no
HFSS™ e feito um comparativo, conforme apresentado na figura 6.9.
53
Figura 6.9 – Comparativo da medição do coeficiente de reflexão (S11), entre o Simulado no
HFSS™ e as Medições.
Observa-se na figura 6.9 que o valor simulado no HFSS™ apresentou uma
ressonância na frequência de 2,51 GHz a um nível de -11,31 dB, a primeira medição em
2,53 GHz e um nível de -14,41 dB e a segunda medição 2,585 GHz a um nível de -
25,32 dB, ou seja, uma boa aproximação dos resultados medidos com o simulado.
Figura 6.10 – Diagrama de Radiação para a frequência de 2,5 GHz em Phi = 0º e Phi = 90º.
-14.00
-8.00
-2.00
4.00
90
60
30
0
-30
-60
-90
-120
-150
-180
150
120
Ansoft LLC HFSSDesign1Radiation Pattern 3 ANSOFT
Curve Info
dB(GainTotal)Setup1 : LastAdaptiveFreq='2.5GHz' Phi='0deg'
dB(GainTotal)Setup1 : LastAdaptiveFreq='2.5GHz' Phi='90deg'
54
6.3. Antena Cilíndrica Circular
A antena cilíndrica circular foi construída com o mesmo substrato utilizado na
antena retangular (ULTRALAM® 3850) e as dimensões modeladas foram: 2l = 39,1 mm,
32 cm de comprimento e o ponto de alimentação foi ajustado para, aproximadamente, z
= -10 mm, como visualizado abaixo.
Figura 6.11 - Antena cilíndrica circular.
Para a simulação da antena cilíndrica circular foi projetado no HFSS™ o
protótipo da antena conforme apresentado na Figura 6.12.
Figura 6.12 - Antena cilíndrica circular no HFSS™
55
A figura 6.13 apresenta a medição do protótipo apresentado acima, sendo que a
frequência de ressonância obtida foi 2,890 GHz e um nível de -32,649 dB, dentro da
faixa de frequência para uso em telemetria.
Figura 6.13 – Resultado do coeficiente de reflexão (S11) da antena cilíndrica circular.
A figura 6.14 demonstra a curva de impedância de entrada na carta de Smith
com uma resposta de 48,641 – j 2,3204 Ω, apresentando uma boa resposta de
impedância, próxima de 50 Ω.
56
Figura 6.14 – Resultado da medição da impedância de entrada na carta de Smith para
antena cilíndrica circular para uma frequência de 2,89 GHz.
A Figura abaixo ilustra a distribuição do campo elétrico na antena cilíndrica
circular, em Volt por metro.
Figura 6.15 – Campo elétrico na antena em Volt (V) por metro (m).
57
6.4. Conclusão
Neste capítulo foram apresentadas duas antenas, sendo uma retangular cilíndrica
e outra cilíndrica circular, tipo anel, que tem como objetivo a aplicação em estruturas
cilíndricas, como foguetes, mísseis e outras.
A faixa de frequência de interesse é a Banda S que variam de 2 a 4 GHz e para
validar este trabalho as frequências obtidas nos dois protótipos estiveram dentro da
mesma.
O material utilizado no substrato foi o ULTRALAM® 3850, da Rogers
Corporation, que possui uma permissividade elétrica relativa (εr1) = 2,9, uma espessura
(h) = 0,05 mm e uma tangente de perda, δ = 0,0025.
Para a confecção dos protótipos foram utilizados os dados fornecidos pelo
Método de Linha de Transmissão Transversa retangular
58
CAPÍTULO 7
CONCLUSÕES
Nesta dissertação foram apresentadas as análises teóricas desenvolvidas através
do método da Linha de Transmissão Transversa – LTT no domínio da transformada de
Fourier em conjunto com o método de Galerkin, em que foram usadas as funções de
base adequadas à estrutura cilíndrica.
Realizou-se neste trabalho um estudo das aplicações do modelo da cavidade,
para a obtenção da frequência de ressonância.
Os resultados dos cálculos numérico-computacionais e gráficos comparativos
foram obtidos pela utilização de programas Fortran Power Station, Scilab e o Wolfram
Mathematica®.
As simulações, os coeficientes de reflexão, os diagramas de radiação das antenas
retangulares cilíndricas e cilíndricas circulares, tipo anel, foram feitas através do
programa HFSS™ (High Frequency Structural Simulator), validando os resultados
medidos.
As medições realizadas nas antenas cilíndricas atenderam o objetivo deste
trabalho, no que se refere a sua utilização na Banda S para a utilização em telemetria e
outras aplicações.
Como continuidade deste trabalho, sugere-se a determinação dos seguintes
parâmetros:
Diagrama de irradiação e largura de banda.
Conclusão da frequência de ressonância utilizando o Método da Linha de
Transmissão Transversa.
Desenvolvimento do software para a obtenção da frequência de
ressonância nas estruturas cilíndricas.
59
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