methodio_analise sistema de potencia_cap03_sistema pu

1Captulo 3SISTEMA POR UNIDADE

1. OBJETIVO

Este captulo tem por objetivo apresentar a ferramenta sistema por

unidade ou sistema pu muito utilizada nos estudos envolvendo sistemas

eltricos de potncia.

O estudo do sistema por unidade ser complementado durante os cap-

tulos posteriores, nas modelagens de cada um dos componentes dos sistemas

eltricos com vistas aos estudos de fluxo de carga e curto circuito.

2. INTRODUO

Nos estudos em sistemas eltricos usual o emprego do sistema por

unidade ou sistema pu. Usando o sistema pu, as grandezas e dados tcnicos

no so expressas nos seus valores absolutos e sim como frao de grande-

zas escolhidas como referncia denominados valores base.

Examinando de forma superficial o que foi dito no pargrafo anterior, o

sistema pu pode parecer simplesmente um mtodo indireto de exprimir uma

grandeza, contudo, ser demonstrado, a seguir, que ele introduz uma srie de

simplificaes nos clculos envolvendo sistemas eltricos que operam em dife-

rentes nveis de tenso.

Captulo 3 Sistema Por Unidade

2

Outro fato relevante da aplicao do sistema pu em sistemas eltricos

est em permitir uma avaliao dos valores obtidos para parmetros e grande-

zas dos diversos componentes do sistema eltrico. Este fato permite identificar

valores irreais calculados, alm de possibilitar estimar valores para grandezas

ou variveis desconhecidas.

Escolhendo os valores nominais de um dado componente como base,

as suas grandezas e variveis no variam numa faixa muito larga, mesmo para

uma ampla faixa de valores nominais. Nos sistemas eltricos, por exemplo, a

corrente de excitao de um transformador usualmente est entre 0,01 e 0,05

pu para uma larga faixa de valores nominais.

De tal forma que, quando obtemos para a corrente de excitao de um

transformador de 50 KVA o valor 0,04 pu relativamente simples identificar se

este valor coerente com os valores nominais do transformador ou no. Situa-

o distinta se d quando obtemos o valor de corrente de excitao de 5,41 A

para o mesmo transformador de 50 kVA, no to imediato saber se se trata

de um valor coerente ou no. Concluindo, verifica-se que identificar se ocorreu

algum engano num determinado valor de uma grandeza bem mais simples

quando ela expressa em pu do que na sua unidade original, pois, usual-

mente, as grandezas variam em faixas estreitas mesmo para componentes

com valores nominais muito diferentes.

3. DEFINIO

O valor por unidade ou valor pu de uma dada grandeza definido como a

relao entre o valor desta grandeza (denominado valor real) numa dada

unidade e o valor base da mesma grandeza, escolhido como referncia na

mesma unidade, ou seja:

baseValor realValor PU emValor =


3

Uma forma alternativa de se exprimir as grandezas de um sistema

eltrico o valor percentual, isto :

100 PU emValor % emValor =Os valores expressos em pu tm vantagens sobre os valores

expressos em percentuais porque o produto ou quociente de duas grandezas

expressas em pu resulta em outra grandeza tambm em pu, mas o produto ou

quociente de duas grandezas expressas em por cento deve ser dividida ou

multiplicada por 100 para produzir o resultado final.

EXEMPLO 1:

Obtenha as grandezas abaixo em pu e em percentual, assumindo como base

os valores especificados.

a) V1 = 126 kV, assumindo como valor base 120 kV.

pu 1,05 120126 V1 ==

% 105 100 1,05 V1 ==

b) I1 = 10 A, assumindo como valor base 50 A.

pu 0,25010I1 ==

% 20 100 0,2I1 ==

4. SISTEMA PU PARA REDES EM REGIME PERMANENTE SE-NOIDAL

Uma rede dita em regime permanente senoidal quando todas as ten-

ses e correntes em qualquer ponto desta rede so funes senoidais ou se-

nides, podendo assim serem representadas por fasores.


4

Ser demostrado que tanto para redes monofsicas como para as trif-

sicas em regime permanente senoidal, suficiente definir apenas duas destas

grandezas quaisquer, ficando todos os demais valores base perfeitamente

definidos a partir das relaes bsicas entre elas.

Numa rede monofsica em regime permanente senoidal vamos

escolher duas grandezas quaisquer como base: a tenso base VBASE e a

potncia base SBASE. Os demais valores base para as grandezas desta rede

podem ser calculadas pelas seguintes equaes:

A corrente base (IBASE) pela equao:

BASE

BASEBASE V

S= I

a impedncia base (ZBASE) pela seguinte equao:

BASE

2BASE

BASE

BASE

BASE

BASE

BASEBASE S

V =

VSV =

IV = Z

BASE

2BASE

BASE SV = Z

Finalmente a admitncia base (YBASE) calculada pela seguinte

equao:

2BASE

BASE

BASE

BASE

BASEBASE V

SVI

Z1 Y ===

2BASE

BASEBASE V

S Y =

Numa rede trifsica em regime permanente senoidal existem duas

formas distintas de se definir valores base para que se possa empregar o


5

sistema pu, uma a partir da definio de valores por fase como valores base e

outra definindo valores trifsicos como valores base.

Definindo para uma rede trifsica em regime permanente senoidal a

tenso base uma tenso fase terra VBASE e a potncia aparente base como

uma potncia por fase SBASE, podemos calcular a corrente base pela seguinte

expresso:

FN

1F

BASE

BASE BASE

VS

VS I ==

e a impedncia base (ZBASE) pela seguinte equao :

BASE

2BASE

BASE

BASE

BASE

BASE

BASEBASE S

V =

VSV =

IV = Z

1F

2FN

BASE

2BASE

BASES

VS

V = Z =

Similarmente a admitncia base (YBASE) pode ser obtida a partir da

seguinte equao:

2BASE

BASE

BASE

BASE

BASEBASE V

SVI

Z1 Y ===

2FN

1F

2BASE

BASEBASE V

SVS Y ==

De forma alternativa, os valores base para uma rede trifsica em re-

gime permanente senoidal podem ser escolhidos a partir de valores de linha.

Definindo a tenso base VBASE como uma tenso de linha V3F e a potncia

aparente base SBASE como a potncia trifsica S3F. Podemos calcular a cor-

rente base pela seguinte expresso:


6

FF

3F

BASE

BASEBASE .V3

S.V3

S I ==

A impedncia base (ZBASE) definida sempre em ohms por fase e

calculada pela seguinte equao:

3F

2FF

FF

3F

FF

L

FF

BASE

BASEBASE

SV =

V 3S 3

V = I 3

V IV= Z =

e a admitncia base (YBASE) calculada por :

2FF

3F

3F

L

BASEBASE V

SVI

Z1 Y ===

interessante notar que os valores por unidade das grandezas por

fase so iguais aos valores por unidade das grandezas trifsicas de linha em

um qualquer ponto do sistema, quando tomamos como base os respectivos

valores nominais monofsicos e trifsicos das grandezas consideradas. Sendo

assim, o valor por unidade da potncia aparente trifsica igual ao valor por

unidade da potncia aparente monofsica em um determinado ponto do siste-

ma, quando tomamos como base o valor da potncia aparente nominal mono-

fsica e trifsica. Logo, os mdulos das grandezas de linha e de fase em pu :

PUBFT

FT

BFT

FT

BFF

FFPU VV

V.V3.V3

VVV ====

PUB1F

F

B1F

F

B3F

3FPU SS

S3.S3.S

SSS ====

pu

1F3F

pu III

III ===


7

pu

B1FB3F

pu ZZ

ZZ

ZZ ===

importante destacar que, como os valores base so escalares, o

sistema pu no impe qualquer restrio s fases, isto , as grandezas tem o

mesmo ngulo que os valores reais.

Portanto no caso de uma impedncia, temos

jXRZ +=

PUPUBASEBASEBASEBASE

pu jXRZ

jXZ

RZ

jXRZ

ZZ +=+=+==

Como, ZPU = RPU + jXPU , conclumos que:

BASEBASEBASE ZXR ==Logo, para o sistema pu o valor base da impedncia o mesmo para a

resistncia e a reatncia.

Procedendo de forma similar, para a potncia, temos:

jQPS +=

PUPUBASEBASEBASEBASE

pu jQPS

jQS

PS

jQPS

SS +=+=+==

Como, SPU = PPU + jQPU , conclumos que:

BASEBASEBASE QPS ==Portanto, para o sistema pu, o valor base de potncia o mesmo tanto

para a potncia ativa, quanto para a potncia reativa e para a aparente.

importante destacar que embora para utilizar o sistema pu nos

circuitos trifsicos existam duas formas de se escolher os valores base (valores


8

base trifsicos e valores base monofsicos) a mais adotada aquela cujos

valores base so a potncia trifsica e a tenso de linha ou fase-fase.

EXEMPLO 2 :

Para um sistema eltrico de potncia, adotando-se como valores base 50 MVA

(potncia trifsica) e 200 (impedncia em ohms por fase), determine as

grandezas a seguir em pu: a) 200 A, b) 80 mho, c) (20 + 40)j MVA, d) 65 MW,

e) 40 MVAR, f) 50 .

Soluo :

Utilizando as relaes entre valores base podemos obter a tenso base, a

corrente base e a admitncia base:

SVZ

BASE

2BASE

BASE =

kV 100101002001050 SZ V 36BASEBASEBASE ====

A 288,68101003

1050V3

SI3

6

BASE

BASEBASE =

==

mho 0,052001

Z1YBASE

BASE ===

Conhecidos os valores base, pode-se ento obter os valores pu

requeridos:

a) Corrente I = 200 A em pu

pu 0,69288,68

200IPU ==

b) Admitncia Y = 80 mho em pu


9

pu 1600 0,0580YPU ==

c) Potncia aparente S = (20+40j) MVA em pu

pu j0,8)(0,450

40j20 SPU +=+=

d) Potncia ativa P = 65 MW em pu

pu 1,35065PPU ==

e) Potncia reativa Q = 40 MVAR em pu

pu 0,85040QPU ==

f) Impedncia Z = 50 em pu

pu 0,2520050ZPU ==

5. EQUAO DE MUDANA DE BASE

Usualmente, alguns dados dos equipamentos eltricos como os

valores de impedncia dos transformadores so expressos em pu usando

como valores base os seus prprios valores nominais. Nos sistemas eltricos,

a existncia de diferentes circuitos com componentes e equipamentos de

diferentes valores nominais, exige a definio de um conjunto de valores base

comuns para todo o sistema eltrico.

A escolha de um conjunto de valores base comuns para o sistema el-

trico cria a necessidade de se expressar as impedncias dos equipamentos em


10

pu neste novo conjunto de valores base atravs de expresses que realizem a

mudana de base.

De maneira genrica, o problema de mudana de base pode assim ser

descrito: Conhecida a impedncia de um componente em pu numa base antiga

ZPUBA, associada aos valores de tenso VBA e potncia SBA, podemos determi-

nar a impedncia deste componente ZPUBN associados aos valores de base

nova de tenso VBN e potncia SBN.

Na base antiga, tem-se:

BA

COMPONENTEPUBA Z

ZZ =

BAPUBACOMPONENTE ZZZ =Na base nova, tem-se

BN

COMPONENTEPUBN Z

ZZ =

BNPUBNCOMPONENTE ZZZ =

Igualando-se as equaes anteriores, obtm-se

BNPUBNBAPUBA ZZZZ =

BN

2BN

PUBNBA

2BA

PUBA SVZ

SVZ =

=BA

BN2

BN

BA

PUBAPUBN SS

VV.ZZ


11

Esta ltima equao denominada equao de mudana de base e

permite a partir da impedncia em por unidade de uma base antiga obter uma

impedncia em por unidade numa base nova .

EXEMPLO 3 :

A impedncia em pu de um dado componente, de 0,25 baseado nos dados

de placa deste componente que so 13,8 kV, 50 MVA. Obtenha a impedncia

em pu deste componente nas bases de 13,2 kV, 100 MVA.

Soluo :

Os valores base nominais do componente corespondem aos valores base

antigos, logo: SBASEA = 50 MVA, VBASEA =13,8 KV. Os valores base novos so:

SBASEN = 100 MVA e VBASEN = 13,2 KV.

Utilizando a equao de mudana de base, obtemos:

pu 0,0405500100

2018 0,25 Z

2

PUBN =

=

6. SISTEMA PU PARA SISTEMAS ELTRICOS COM TRANS-FORMADORES DE POTNCIA

A principal vantagem de se empregar o sistema pu na soluo de pro-

blemas de anlise de sistema de potncia est na possibilidade de se evitar

referir grandezas de um lado para outro de um transformador quando se utiliza

o circuito equivalente em pu de um transformador real, pois o componente

transformador ideal co circuito equivalente do transformador real em pu passa

a ter relao 1:1.

Os transformadores ideais so transformadores que no apresentam

perdas, j que as resistncias dos enrolamentos e as perdas no ncleo no

existem. Como a permeabilidade do ncleo infinita e o fluxo de disperso

desprezvel, a corrente de excitao nula.


12

Para um transformador ideal, ao qual aplica-se uma tenso varivel no

tempo V1 ao enrolamento primrio com N1 espiras, devido a permeabilidade

infinita do ncleo, nenhuma corrente necessitar circular no primrio para es-

tabelecer o fluxo no mesmo. Este, por sua vez, dever ser suficiente para

gerar uma tenso induzida E1 que iguala-se aquela aplicada, quando a resis-

tncia do enrolamento desprezvel. Assim:

dtdNEV 111 ==

Desde que nenhuma disperso ocorre no ncleo de um transformador

ideal, o mesmo fluxo estar concatenado com as N2 espiras do enrolamento

secundrio, produzindo neste uma tenso induzida E2, igual tenso nos

terminais do secundrio V2, dada por

dtdNEV 222 ==

Figura 1 - Transformador ideal em vazio

Da relao entre as equaes V1 e V2, pode-se obter:

2

1

2

1

NN

VV =

Assim um transformador ideal transforma as tenses na relao direta

do nmero de espiras dos respectivos enrolamentos.


13

Na Figura 2 est apresentado o transformador ideal com uma carga

conectada nos seus terminais do enrolamento secundrio, solicitando uma

corrente I2 , estabelecendo uma fmm N2.I2. Esta fmm produzira um fluxo 2 que

se opor ao fluxo existente no ncleo. Assim o fluxo lquido no ncleo diminu-

ra de valor e, com ele, tambm a tenso induzida E1, perturbando o equilbrio

presente no circuito primrio. Uma corrente ser, ento, originada neste enro-

lamento com o objetivo de restaurar o fluxo no ncleo ao seu valor original e,

deste modo, elevar a tenso induzida E1 at a equiparao com a tenso

aplicada.

Figura 2 - Trafo ideal em carga

Este o modo pelo qual o primrio toma conhecimento da presena de

corrente no secundrio. Logo, o valor da corrente no primrio dever ser tal

que anule o efeito da corrente no secundrio, ou seja, dever produzir uma

fmm igual a aquela estabelecida no secundrio

A fmm lquida agindo no ncleo , portanto, nula, de acordo com a

suposio de que a corrente de excitao ideal nula. Assim, deduzse que

2

1

2

1

NN

II =

Pode-se assim concluir que um transformador ideal transforma as

correntes na razo inversa do nmero de espiras nos respectivos

enrolamentos. O transformador ideal no exibe perdas, nem tampouco requer

potncia reativa para magnetizao do seu ncleo, portanto a potncia de

entrada no seu enrolamento primrio transferida integralmente para o


14

secundrio. Se as relaes de tenso e de corrente obtidas anteriormente so

combinadas, temos que:

Figura 3 - Circuito equivalente do trafo ideal em carga

Conclui-se portanto que, num transformador ideal, a potncia no

primrio iguala-se potncia no secundrio.

2211 IVIV =O circuito equivalente do transformador real apresentado na Figura 4

obtido a partir do modelo definido para o transformador ideal acrescentando-se

ao mesmo os efeitos da resistncia e da disperso dos enrolamentos, bem

como as exigncias de potncia do ncleo.

Figura 4 - Circuito equivalente de um transformador real

O circuito equivalente dos transformadores reais apresentado Figura 4,

tem os seguintes parmetros:

R1 - resistncia do enrolamento primrio

R2 - resistncia do enrolamento secundrio

X1 - reatncia de disperso do enrolamento primrio


15

X2 - reatncia de disperso do enrolamento secundrio

Bm - susceptncia de magnetizao

Gp condutncia de perdas.

Na Figura 4 esto tambm indicados as seguintes grandezas: I1 -

corrente do enrolamento primrio , I2 - corrente do enrolamento secundrio, I0 -

corrente de excitao , V1 - tenso aplicada ao terminais do enrolamento pri-

mrio e V2 - tenso aplicada nos terminais do secundrio.

No caso dos transformadores de potncia para cada um dos enro-

lamentos ou circuitos devemos escolher bases convenientes para evitar termos

que referir grandezas de um circuito para outro.

A escolha destas bases realizada de acordo com as seguintes

recomendaes:

a) Todos os circuitos tm que ter a mesma potncia base em VA,

isto :

B2B1 SS =onde:

SB1 - Potncia base do enrolamento ou circuito primrio,

SB2 - Potncia base do enrolamento ou circuito secundrio.

b) Todos os circuitos tm que ter a mesma base de fora magnto-

motriz:

B22B11 ININ =onde:

IB1 - Corrente base do enrolamento ou circuito primrio,

IB2 - Corrente base do enrolamento ou circuito secundrio.

A segunda recomendao pode ser reescrita da seguinte forma:


16

1B2

B1

NN

II 2=

Como:

B2B1 SS =

B2B2B1B1 IV3 IV3 =Portanto, podemos combinar as duas recomendaes a partir das

seguintes equaes:

2

1

B1

B2

B2

B1

NN

II

VV ==

Escolhendo os valores base a partir das especificaes anteriores para

o transformador ideal, podemos exprimir a corrente no enrolamento primrio

em pu, pela seguinte equao:

B2

2

B2

2

11

1

B22

1

1B

1

1PU II

ININ

NIN

IIII ====

Mas como:

B2

22PU I

II =

Conclumos que, as correntes primrias e secundrias em pu so

iguais.

2PU1PU II =Procedendo de maneira similar, para a tenso no enrolamento primrio

do trafo ideal, obtemos:


17

B2

2

B2

112

2B21

1

B1

1

1PU VE

VNEN

NVNE

VEE ====

Mas como:

B2

22PU V

EE =

Conclumos que, as tenses primrias e secundrias em pu so iguais.

2PU1PU EE =Para as impedncias, temos que:

B1

2B1

1

B1

11pu

SVZ

ZZZ ==

B2

2B2

2

B2

22pu

SVZ

ZZ Z ==

Referindo Z1 para o lado de BT, usando a relao de transformao,

tem-se:

1

2

B1

B22 Z

VV Z

=

Substituindo na equao anteriormente obtida, encontra-se:

1pu

B2

2B1

1

B2

2B2

1

2

B1

B22pu Z

SVZ

SVZ

VV Z ==

=

2PU1PUTPU Z ZZ ==


18

Examinando as equaes obtidas para as tenses, correntes e

impedncias em pu verifica-se que a necessidade de se referir impedncias

deixa de existir pois em pu o trafo ideal passa a ter uma relao de

transformao de 1:1 tornando-se dispensvel sua representao no circuito

equivalente do trafo real.

Figura 5 - Circuito equivalente do trafo em pu

A Figura 5 apresenta o circuito equivalente em pu para o trafo real. Em

transformadores de potncia com potncia maiores que 1 MVA usual se

desprezar a corrente de excitao e o prprio ramo de magnetizao do

circuito equivalente do trafo real pois esta corrente da ordem de 1 a 2 % da

corrente nominal. A Figura 6 mostra o circuito equivalente em pu para um trafo

real desprezando o ramo de magnetizao.

Figura 6 - Circuito Equivalente de um Transformador em pu

Do circuito equivalente em pu apresentado na Figura 6 para o

transformador real temos:

pu RRR 21EQ +=


19

pu XXX 21EQ +=

Figura 7 - Circuito trafo em pu sem o ramo de magnetizao

Finalmente, para transformadores de potncia de alguns MVA em

diante, as resistncias dos enrolamentos so muito pequenas quando compa-

radas com as reatncias de curto circuito, sendo razovel nessas condies

assumir que a impedncia do transformador puramente reativa e utilizar o

circuito equivalente apresentado na Figura 8.

Figura 8 - Circuito equivalente reduzido em pu

A Tabela 1 mostrada abaixo apresenta valores tpicos da impedncia

de curto circuito de transformador de dois enrolamentos separados.

Tabela 1 - VALORES TPICOS DE IMPEDNCIA DE TRANSFORMADORESPOTNCIA NOMINAL DOTRANSFORMADOR DE

POTNCIA (KVA)

IMPEDNCIA DOTRANSFORMADOR DE

POTNCIA EM %P < 630 4,0

630 < P < 1250 5,01250 < P < 3150 6,03150 < P < 6300 7,06300 < P < 12500 8,0

12500 < P < 25000 10,025000 < P < 200.000 12,8


20

EXEMPLO 4 :

Para um transformador trifsico de 2 MVA, 69/230 kV, Dyn1 com impedncia

de 5%, determine o valor desta impedncia no lado de alta tenso (AT) e no

lado de baixa tenso (BT).

Soluo:

a) Impedncia no lado de BT

( ) 119,0310210690,05 Z ZZ

6

23

BASEBTPUBT ===

b) Impedncia no lado de AT

( ) 132310210230,05 ZZZZ

6

23

ATBASEATTPUAT ===

7. VANTAGENS DE UTILIZAO DO SISTEMA PU

Em problemas envolvendo sistemas eltricos, a utilizao dos valores

por unidade produz inmeras vantagens, as mais significativas esto

apresentadas a seguir:

A simplificao dos clculos, especialmente para sistemascomplexos, formados por muitos transformadores, pois no

haver necessidade de promover a transferncia ou referir

impedncias de um lado para outro desses transformadores, fato

que, no clculo tradicional, torna o procedimento enfadonho e

sujeito a erros;

As impedncias dos transformadores e mquinas eltricas domesmo tipo e de valores nominais de tenso e potncia muito

diferentes, situam-se numa faixa relativamente estreita. Ficando

complexo fazer a anlise a partir dos seus valores hmicos, pois


21

estes variam em faixas muito amplas, impedindo se verificar se

foi cometido algum engano nos parmetros de um dado

equipamento, como tambm estimar valores razoavelmente

corretos quando no se conhece os parmetros de um dado

equipamento;

Em um transformador, o valor da impedncia em pu no lado debaixa ou de alta tenso o mesmo, ou seja, a impedncia pu do

transformador a mesma, independente do fato de ter sido obtido

a partir dos valores hmicos referidos nos lados de AT ou de BT

do transformador. Assim, apresenta-se um s valor na placa do

transformador, evitando apresentar dois valores em ohms.

8. BIBLIOGRAFIA

[ 1 ] Kinderman, G. - Curto Circuito

[ 2 ] Robba, E. J. Introduo a Sistemas de Potncia

[ 3 ] Stevenson, W. D. Elementos de Analise de Sistemas de Potncia

[ 4 ] Fitzgerald, A. E. - Mquinas Eltricas

[ 5 ] Elgerd, Olle Introduo Teoria de Sistemas de Energia Eltrica

[ 6 ] Barthold, L. O. Anlise de Circuitos de Sistemas de Potncia

[ 7 ] Weedy, A. - Sistemas Eltricos de Potncia.

methodio_analise sistema de potencia_cap03_sistema pu

Documents