met. do ensino da mat. - 21.03.2005 proporcionalidade e raciocínio proporcional sandra marques...

Met. do Ensino da Mat. - 21.03.2005

Proporcionalidade e

Raciocínio Proporcional

Sandra Marques

Escola ???


Introdução

O conceito de proporcionalidade e o raciocínio proporcional estão de tal forma interligados que não se pode mencionar um sem se referir o outro, tendo

ambos grande importância no currículo de Matemática.

Pretende-se:

analisar as perspectivas teóricas e a investigação empírica realizada sobre este tema (em especial, sobre as dificuldades na aprendizagem dos alunos);

identificar o seu lugar no currículo;

passar em revista os estudos sobre a sua abordagem nos manuais escolares.


A perspectiva de Lesh, Post e Behr

O raciocínio proporcional é fundamental na aprendizagem da Aritmética, Números e Medidas,

bem como na aquisição de conceitos algébricos.

Este raciocínio é desenvolvido quando o aluno:

raciocina mediante relações globais entre expressões racionais (taxas, razões, quocientes e fracções);

sintetiza vários aspectos relacionados com estas expressões;

consegue inferir igualdade ou desigualdade entre elas;

é capaz de descobrir partes omissas numa expressão;


reconhece que duas estruturas são idênticas;

ultrapassa a noção simples de que dois membros de uma equação são iguais (8/4 = 5-3);

faz comparações múltiplas (capacidade mental de lidar e processar informação dispersa);

tem noção de co-variação;

é capaz de pensar qualitativamente e quantitativamente.

Desenvolvimento de competências locais

A perspectiva de Lesh, Post e Behr (II)


Alina Spinillo - Perspectiva

Do seu ponto de vista, o raciocínio proporcional requer:

o reconhecimento de equivalência entre situações distintas;

o pensar em termos relativos em vez de o fazer em termos absolutos;

a determinação de relações de segunda ordem que ligam duas ou mais relações de primeira ordem.


Alina Spinillo - Estudo

Objectivo do estudo (2002)

Dotar as crianças da estratégia de “metade”;

Determinar a equivalência ou não entre situações representadas por quantidades contínuas;

Reflectir e trabalhar com relações de 1ª ordem.

Resultados

Independentemente da idade, as crianças que receberam a intervenção conseguiram alcançar um nível de compreensão mais elaborado sobre proporção do que as crianças dos outros dois grupos no pós-teste;

As justificações dadas pelas crianças do grupo experimental, evidenciam comparações relativas (ao invés de absolutas) e capacidade de trabalhar relações de 2ª ordem.


Resultados (cont.)

Após a intervenção, percebe-se que as crianças estabelecem relações de 2ª ordem com base no referencial de “metade”;

A estratégia de “metade”, aprendida numa determinada situação, é transferida para situações análogas e mais complexas;

O referencial de “metade” facilita a determinação de relações de 1ª e de 2ª ordem.

Conclusões do estudo

Introdução do conceito de proporcionalidade em anos de escolaridade mais baixos que os actuais;

Abordagem ao tema com base em situações-problema que possam ser resolvidas através da estratégia de “metade” e do uso de estimativas.

Alina Spinillo – Estudo (II)


Síntese de ideias fundamentais

O raciocínio proporcional...

... depende da aquisição de destrezas globais relacionadas com algumas estruturas cognitivas gerais (Psicologia do Desenvolvimento);

... caracteriza-se por uma evolução crescente de competências locais (Educação Matemática).

O desenvolvimento cognitivo que precede a evolução gradual destas competências locais assume grande

importância na investigação e no ensino do raciocínio proporcional


Principles and standards (NCTM, 2000)

Pre-K-2 aquisição de noções simples de compreensão e representação

de fracções como 1/2, 1/3 e 1/4; reconhecimento de padrões; capacidade de os classificar.

Grades 3-5 desenvolvimento da compreensão de fracção como parte de

um todo e como uma divisão; reconhecimento e criação de equivalência entre as formas

mais simples de fracções, números decimais e percentagens (números de referência ½ e 1);

desenvolvimento do raciocínio sobre relações matemáticas.


Grades 6-8

expandir capacidades de raciocínio, nomeadamente o proporcional;

aprofundar a competência crítica de conjecturas;

fazer uso dos raciocínios indutivo e dedutivo;

resolver problemas que envolvam razões, taxas, percentagens e operações.

O raciocínio proporcional implica:

- reconhecimento de quantidades proporcionais;

- manipulação de números, tabelas, gráficos e equações.

Principles and standards (NCTM, 2000) (II)


Principles and standards (NCTM, 2000) (III)

Números e operações Proporcionalidade

Álgebra

Geometria

Medida

Análise de dadose probabilidade

O currículo deve prever o ensino-aprendizagem da proporcionalidade desde os primeiros anos de escolaridade, por tratar-se de um tópico central de inter-relacionamento com todos os outros tópicos e ter implicações para o sucesso da aprendizagem nos anos mais avançados.


PCN - Brasil

2º ciclo (3º e 4º anos do 1º ciclo)

apresentação de situações problemáticas cujas soluções não estão no conjunto dos números inteiros (aproximação à noção de n.º racional);

compreensão de n.º racional enquanto quociente, parte-todo e razão;

uso de percentagem no contexto diário;

cálculo simples de percentagens.3º ciclo (5º e 6º anos do 2º ciclo)

observação da variação entre grandezas, relacionando-as entre si;

construção de estratégias de solução para resolver situações que envolvam proporcionalidade.


Documentos portugueses

Programa de Matemática

Desenvolvimento do conceito de proporcionalidade directa

Situações da vida real (problemas de percentagem e

escalas)

Conteúdos

constante de proporcionalidade;

proporções;

percentagens e gráficos circulares;

escalas.


Documentos portugueses

Currículo Nacional

Números e Cálculo

o aluno deve desenvolver o reconhecimento de situações de proporcionalidade directa;

... a aptidão para usar o raciocínio proporcional em problemas diversos.2º

ciclo

Álgebra e Funções (ao longo de todos os ciclos)

... analisar as relações numéricas de uma situação e concretizar, em alguns casos, relações entre variáveis e fórmulas;

... procurar soluções de equações simples.


Dificuldades no ensino-aprendizagem e suas origens

Um dado incontornável da experiência de todos os professores é que os alunos sentem grandes dificuldades na compreensão dos conceitos inerentes à proporcionalidade e no desenvolvimento do

raciocínio proporcional

1- O conceito é introduzido

demasiado tarde

(Streefland, 1985)

2- Currículo do ensino básico

deficiente

(Behr et al., 1992)

3- Professores mal preparados para a

leccionação da Proporcionalidade

(Araujo e Lopes, 2000)


A proporcionalidade nos manuais escolares

Os manuais escolares são um dos recursos que os alunos e os professores dispõem no ensino-aprendizagem da Matemática, constituindo em muitos casos instrumento de trabalho de intensa utilização.

Como não estão isentos de erros, incorrecções, desactualizações e seguem por vezes estratégias pouco adequadas a um ensino de qualidade, torna-se imperativo que sejam avaliados nas suas diversas vertentes.


Estudo de Isabel Cabrita

Grelha de análiseResultados do estudo

a metodologia usada é cíclica ou em espiral;

os conceitos e definições tendem a surgir “durante” o tratamento das subunidades e na sequência de tarefas propostas;

a resolução de problemas não é considerada um conteúdo de ensino-aprendizagem (final da unidade um conjunto de situações problemáticas);

o conteúdo dos problemas é não-familiar, apesar de se relacionarem com a vida real;

os dados são geralmente apresentados na forma algébrica e em quantidade suficiente para se proceder à sua resolução;


os problemas propostos visam vulgarmente razões do tipo permuta;

problemas de natureza concreta, que contemplam grandezas discretas e envolvem tarefas físicas;

os problemas são complexos, de resolução individual e exclusivamente escrita;

os problemas traduzem situações de proporcionalidade directa;

o processo de resolução mais sugerido é o produto cruzado;

os números dos enunciados e das respostas são inteiros;

respostas com solução única;

a resolução dos problemas não evoca o uso de equipamento.

Estudo de Isabel Cabrita (II)


Shield e Dole

Objectivo do estudo

Perceber como estão retratados os conceitos proporcionais através:

das definições usadas;

dos exemplos resolvidos;

dos exercícios/problemas propostos.

de modo a identificar a metodologia

subjacente


Resultados do estudo definições e exemplos resolvidos muito limitados;

representação simbólica pouco significativa;

pouca contextualização com a realidade;

formas de resolução sugeridas pouco diversificadas;

pouca relação entre estes temas e outros tópicos matemáticos.

Shield e Dole (II)

Os manuais analisados parecem ser muito circunscritos para auxiliar os alunos no desenvolvimento das competências do raciocínio proporcional, factor indiscutivelmente necessário

no sucesso e na atribuição de sentido no ensino-aprendizagem da Matemática escolar.


Grelha para análise dos manuais

Grelha de análise de um manual (Exemplo)

Análise de manuais

- Espanhol + Português

- Espanhol + Português

- Brasileiro + Português

- Americano + Português


Recomendações

Uma maior necessidade de abordar os assuntos de uma forma cíclica ou em espiral;

Permitir a interligação entre as diversas unidades curriculares;

Uma maior quantidade e diversidade de problemas;

Promover a discussão e avaliação das tarefas propostas, colocando questões como

- O resultado a que chegaste está de acordo com os dados do problema?

- O processo de resolução que utilizaste foi adequado?

- Se alterasses a condição “tal”, que resultado seria de esperar?

Estudo de Isabel Cabrita (III)

met. do ensino da mat. - 21.03.2005 proporcionalidade e raciocínio proporcional sandra marques...

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