medidas de posiÇÃo parte ii - moda e mediana professor: waldemar santa cruz oliveira jr...
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MEDIDAS DE POSIÇÃOParte II - Moda e Mediana
Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE Disciplina: ELEMENTOS DE
ESTATÍSTICA ET-301
Curso: SECRETARIADO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: são medidas cujo objetivo é estimar em torno de quais valores da amostra se concentram os dados.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MEDIDAS DE POSIÇÃO
SEPARATRIZES
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Estima se os dados estão agrupados em valores centrais.
MÉDIAMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTAL MODA
MEDIANA
Dentre elas destacamos três
Moda=5, pois aparece três vezes na amostra
MODA:
O valor que mais se repete na amostra
Exemplo: {2,3,4,5,5,5,8}
Dados Agrupados
Neste caso a Moda é o valor da amostra que tem maior frequência
EXEMPLO:
X f3 84 105 76 5
Total 30
Dados Agrupados
Neste caso a Moda é o valor da amostra que tem maior frequência
EXEMPLO:
X f3 84 105 76 5
Total 30
Moda=4
O número 4 tem a maior frequência, ele aparece 10 vezes na amostra.
Dados Agrupados em Classes
Quando os dados estão agrupados em classes temos três métodos para calcular a moda
BRUTAModa MÉTODO DE KING
MÉTODO DE CZUBER
Moda Bruta: é definida como o ponto médio da classe de maior frequência. Sem dúvida é a maneira mais simples para calcular a moda, porém a menos utilizada.
Classes fi
2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3
Toatal 25
Exemplo
Moda Bruta: é definida como o ponto médio da classe de maio frequência. Sem dúvida é a maneira mais simples para calcular a moda, porém a menos utilizada.
Classes fi Ponto Médio
2 |------ 4 3 3 4 |------ 6 6 5 6 |------ 8 9 7 8 |------ 10 4 910 |------ 12 3 11
Toatal 25
Exemplo
Classe Modal Maior Frequência
Moda Bruta
Método de King: este método leva em consideração a frequência das classes adjacentes e é dado pela fórmula abaixo.
hff
flMo
postant
postiking
modal classe dainferior limite o é il
menterespectiva modal, classe à
posterior eanterior sfrequência as são e postant ff
modal classe da comprimeto o é h
Classes fi
2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3
Toatal 25
Exemplo
Classes fi
2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3
Toatal 25
Exemplo
Frequência anteriorLimite inferior da classe modal Frequência posterior
8,62*4,06246
46
kingMo
Observe que a moda fica mais próxima da classe que é anterior à classe modal, pois esta classe tem frequência maior do que a da classe que é posterior à classe modal
Método de Czuber: este método leva em consideração a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência das classes adjacentes.Este método é dado pela fórmula abaixo.
hlMopostant
anticzuber
modal classe dainferior limite o é il
postalantalant ffff modpostmod e
modal classe da comprimeto o é h
Classes fi
2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3
Toatal 25
Exemplo
Classes fi
2 |------ 4 3 4 |------ 6 6 6 |------ 8 9 8 |------ 10 410 |------ 12 3
Toatal 25
Exemplo
Limite inferior da classe modal
75,62*375,06253
36
CzuberMo
Observe que podemos ter três valores diferente para a moda,
369 ant
549 post
75,6 e 8,6 ,7 czuberkingbruta MMoMo
Exemplo: {4,8,9,10,15}, n=5
MEDIANA:
Considere que os dados estão ordenados, então mediana é o valor que é maior ou igual a metade dos dados e menor ou igual a outra metade dos dados. Ou seja, é o valor que divide os dados ao meio
Considere os dados não agrupados
1) N é ímpar
21 nXMd
},...,,{ 21 nXXXDados
Exemplo: {4,8,9,10,15}, n=5
MEDIANA:
Considere que os dados estão ordenados, então mediana é o valor que é maior ou igual metade dos dados e menor ou igual a outra metade dos dados. Ou seja, é o valor que divide os dados ao meio
Considere os dados não agrupados
1) N é ímpar
21 nXMd
},...,,{ 21 nXXXDados
932
15 XXMd
MEDIANA:
2) N é par: a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais
22
22
nn XXMd
},...,,,...,,{2
22
21 nnn XXXXXDados
Exemplo: {4,8,9,10,15,20}, n=6
MEDIANA:
2) N é par: a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais
22
22
nn XXMd
},...,,,...,,{2
22
21 nnn XXXXXDados
Exemplo: {4,8,9,10,15,20}, n=6
5,92109
22432
22
XXXX
Mdnn
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.
X fi
5 510 815 620 2
Total 21
1) N é ímpar
Exemplo
112
121 XXMd
21 nXMd
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.
X fi Facum
5 5 510 8 1315 6 1920 2 21
Total 21
1) N é ímpar
Exemplo
112
121 XXMd
21 nXMd
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.
X fi Facum
5 5 510 8 1315 6 1920 2 21
Total 21
1) N é ímpar
Exemplo
112
121 XXMd
10Md
21 nXMd
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.
X fi
100 40200 55300 30400 25Total 150
2) N é par
Exemplo
2276752
21502
150 XXXX
Md
22
22
nn XXMd
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência.
X fi Facum
100 40 40200 55 95300 30 125400 25 150Total 150
2) N é par
Exemplo
2276752
21502
150 XXXX
Md
2002
200200
Md
22
22
nn XXMd
Exemplo
X fi
2 103 154 205 5
Total 50
2226252
2502
50 XXXX
Md
Exemplo
X fi F2 10 103 15 254 20 455 5 50
Total 50
2226252
2502
50 XXXX
Md
5,32
43
Md
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em classes em uma distribuição de frequência. Então, a mediana é dada pela fórmula abaixo
hfFE
lMdMd
acumantMdi
_
mediana classe dainferior limite o é il
mediano elemento o é ,2nEMd
mediana classe à
anterior classe da acumulada frequência a é _ acumantF
mediana classe da frequência a é Mdf
mediana classe da ocompriment o é h
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência
Classes fi
0 |------ 2 102 |------ 4 254 |------ 6 406 |------ 8 158|------ 10 10Total
MEDIANA:
Considere os dados agrupados em uma distribuição de frequência
Classes fi Facum
0 |------ 2 10 102 |------ 4 25 354 |------ 6 40 756 |------ 8 15 908|------ 10 10 100Total 100
75,4201542
4035504
Md
502
100MdE
Classe Mediana