probabilidade condicional, independÊncia e teorma de bayes professor: waldemar santa cruz oliveira...
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PROBABILIDADECONDICIONAL,
INDEPENDÊNCIA E TEORMA DE BAYES
Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE
Curso: TURISMO
Disciplina: ESTATÍSTICA APLICADA AO TURISMO E HOTELARIA ET-652
PROBABILIDADE CONDICONAL
em que P(B)>0.
Leia a probabilidade de A dado B.
,)(
)()|(
BP
BAPBAP
Exemplo: Uma faculdade tem 250 alunos, destes 100 são homens,
40 são homens e estudam Estatísticas e 80 são mulheres e estudam
Física. Qual a probabilidade de selecionar um aluno e:
a) Este ser homem, sabendo-se que estuda Estatística
b) Este estudar Física, dado que é mulher
Disciplina
Sexo
E F Total
H
M
Total
Exemplo: Uma faculdade tem 250 alunos, destes 100 são homens,
40 são homens e estudam Estatísticas e 80 são mulheres e estudam
Física. Qual a probabilidade de selecionar um aluno e:
a) Este ser homem, sabendo-se que estuda Estatística
b) Este estudar Física, dado que é mulher
Disciplina
Sexo
E F Total
H 40 60 100
M 70 80 150
Total 110 140 250
Exemplo: Uma faculdade tem 250 alunos, destes 100 são homens,
40 são homens e estudam Estatísticas e 80 são mulheres e estudam
Física. Qual a probabilidade de selecionar um aluno e:
a) Este ser homem, sabendo-se que estuda Estatística
b) Este estudar Física, dado que é mulher
Disciplina
Sexo
E F Total
H 40 60 100
M 70 80 150
Total 110 140 250
110
40
25011025040
)(
)()|(
EP
EHPEHP
Exemplo: Uma faculdade tem 250 alunos, destes 100 são homens,
40 são homens e estudam Estatísticas e 80 são mulheres e estudam
Física. Qual a probabilidade de selecionar um aluno e:
a) Este ser homem, sabendo-se que estuda Estatística
b) Este estudar Física, dado que é mulher
Disciplina
Sexo
E F Total
H 40 60 100
M 70 80 150
Total 110 140 250
150
80
25015025080
)(
)()|(
MP
MFPMFP
Obs1: Da definição temos que
Obs2: A probabilidade condicional de fato é uma medida de probabilidade.
P( A ∩ B) = P(A|B)P(A)=P(B|A)P(B)
1) 0 ≤ P(A|B) ≤ 1
Dem: A ∩ B está contido em B, logo P(A ∩ B) ≤ P(B), portanto,
1)(
)(0
BP
BAP
2) P(Ω|B)=1
3)
Ω ∩ B = B, logo P(Ω ∩ B)=P(B), portanto,
1)(
)(
)(
)()|(
BP
BP
BP
BPBP
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas vermelhas e duas brancas.
Seleciona-se duas bolas sem reposição. Qual a probabilidade de
aparecer: nenhuma bola branca? Uma bola branca? duas bolas
brancas?
Espaço Amostral Ω=BB, BV, VB, VV
5
2)( BP
5
3)( VP
4
1)|( BBP
4
3)|( BVP
4
2)|( VBP
4
2)|( VVP
10
1
4
1*
5
2)|()()( BBPBPBBP
10
3
4
2*
5
3)|()()( VVPVPVVP
10
3
4
2*
5
3)|()()( BVPVPBVP
10
3
4
3*
5
2)|()()( BVPBPVBP
P(nenhuma Branca)=0,3 P(uma Branca)=0,3+0,3=0,6 P(duas brancas)=0,1
EVENTOS INDEPENDENTES: Dois eventos são independentes se
)().()( BPAPBAP Exemplo: No lançamento de 3 moedas os eventos: A - a primeira moeda é cara e B - aparece cara na 2ª e 3ª moedas são independentes.
Exemplo: No lançamento de um dado considere os seguintes
eventos: A – O dado é par; B – O dado é dois; C – O dado é ímpar; D
– O dado é cinco ou seis. Pede-se:
a) P(A|B)
b) P(A|C)
c) P(A|D)
EVENTOS MUTUAMENTE INDEPENDENTES: Três eventos são
independentes se as condições abaixo são satisfeitas:
)().()( )4
)().()( )3
)().()( )2
)().().()( )1
CPBPCBP
CPAPCAP
BPAPBAP
CPBPAPCBAP
Exemplo: No lançamento de três moedas considere os eventos
A: aparece cara na primeira moeda
B: aparece cara na segunda moeda
C: aparece coroa na terceira moeda
Estes três eventos são mutuamente independentes.
Exemplo: Podemos ter as condições 2), 3) e 4) satisfeitas, mas, a
condição 1) não ser satisfeita. Seja o espaço amostral Ω=a,b,c,d.
Considere os eventos Aa,d; B=b,d e C=c,d. Então, a condição 1)
não é satisfeita, porem as outras três condições são satisfeita. Logo
esses eventos não são mutuamente independentes.
Partição: Seja Ω = A1 U A2 U ... U An, de forma que P(Ai)>0 para todo
i=1,2,... e Ai ∩ Aj= , para todo i diferente de j, então, dizemos que a
coleção de conjuntos A1, A2, ..., An forma uma partição do espaço
amostral Ω.
OBS: Podemos estender esse conceito para uma coleção infinita A1,
A2, ....
OBS:
n
iAP111)(
Teorema da Probabilidade Total: Sejam A1, A2,...,An, uma
partição de Ω, então, para qualquer conjunto B de Ω temos que
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+...+P(B|An)P(An)
Dem. Observe que B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2) U ... U (B ∩ An)
Portanto, P(B) = P((B ∩ A1) U (B ∩ A2) U ... U (B ∩ An) )=
= P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + ... + P(B ∩ An)
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas, outra urna
contem 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se uma urna e retira-
se uma bola, qual a probabilidade da bola retirada ser branca?
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas, outra urna
contem 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se uma urna e retira-
se uma bola, qual a probabilidade da bola retirada ser branca?
30
19
3
1
10
3
Teorema de Bayes: Sejam A1, A2 , . . . , An uma partição de Ω e B um
evento qualquer de Ω, então, para qualquer i = 1, . . . , n, temos que
)(
)|()()|(
BP
ABPAPBAP ii
i
)|()(...)|()()|()(
)|()()|(
2211 nn
iii ABPAPABPAPABPAP
ABPAPBAP
Ou seja,
n
i ii
iiii
ABPAP
ABPAP
BP
BAPBAP
1)|()(
)|()(
)(
)()|(
Dem.
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas, outra
urna contem 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se uma urna
e retira-se uma bola, sabendo-se que a bola retirada foi branca,
qual a probabilidade de ter vindo da urna I?
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas, outra
urna contem 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se uma urna
e retira-se uma bola, sabendo-se que a bola retirada foi branca,
qual a probabilidade de ter vindo da urna I?
)|()()|()(
)|()()|(
IIBPBPIBPBP
IBPBPBIP
19
9
32
*21
53
*21
53
*21
)|(
BIP
Exemplo: Três máquinas M1, M2 e M3 fabricam o mesmo tipo de
parafusos. A probabilidade da máquina M1 fabricar um parafuso com
defeito é 0,2, já M2 é 0,1 e M3 é 0,15. Sabendo-se que de um lote de
50 parafusos 20 vieram de M1, 25 de M2 e o restante de M3.
Seleciona-se um parafuso.
a) Qual a probabilidade do parafuso ser defeituoso?
b) Sabendo-se que o parafuso é defeituoso qual a probabilidade dele
ter sido fabricado pela máquina M1? E pela máquina M2? E pela
máquina M3?