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Diagrama de VoronoiINF2604 – Geometria Computacional

Waldemar [email protected]

Departamento de Informatica, PUC-Rio

W. Celes Diagrama de Voronoi 1

Diagrama de Voronoi

Determinacao de proximidadeI Regioes de Voronoi delimitam areas

cujo ponto associado e mais proximo

Regiao de Voronoi de um ponto p

Vor(p) = x ∈ R2 | ‖x− p‖ ≤ ‖x− q‖ ∀ q ∈ S

Figura extraıda de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011W. Celes Diagrama de Voronoi 2

Diagrama de Voronoi

Diagrama considerando apenas dois pontos p e q

I Regioes sao semiplanos

H(p,q) = x ∈ R2 | ‖x− p‖ ≤ ‖x− q‖

Regioes de Voronoi

Teorema

I A regiao de Voronoi Vor(p) e a intersecao de todos ossemiplanos H(p,q), onde q e qualquer outro ponto de S .

Teorema fundamental da geometria discretaI A intersecao de um conjunto de objetos convexos e convexo

I Prova: considere Xi um conjunto de objeto convexos e X aintersecao desses conjuntos. Considere pontos arbitrarios p e qde X . Por definicao de intersecao, estes pontos tambempertencem a qualquer Xi e, como sao convexo, pq tambempertencem a Xi e, consequentemente, a X .

Teorema

I Todas as regioes de Voronoi sao convexas

Regioes de Voronoi

Teorema

Regioes de Voronoi

Teorema

Regioes de Voronoi

Teorema

Vertices de Voronoi

Considere 3 pontos p, r, rI Qual o diagrama de Voronoi?

I Formados pelas linhas perpendiculares bissetoras dossegmentos pq, qr, rp

I Necessariamente se encontram em um unico pontoI Este ponto e o centro do cırculo que passa pelos 3 pontos

Figura extraıda de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011

Vertices de Voronoi

Considere 3 pontos p, r, rI Qual o diagrama de Voronoi?

I Formados pelas linhas perpendiculares bissetoras dossegmentos pq, qr, rp

I Necessariamente se encontram em um unico pontoI Este ponto e o centro do cırculo que passa pelos 3 pontos

Vertices de Voronoi

Diagrama de Voronoi com 4 pontos

I Pontos cocirculares ou nao

Conjunto de pontos nao degenerados

I Nao existem 4 ou mais vertices cocirculares

I Todos os vertices de Voronoi tem grau 3

Vertices de Voronoi

Diagrama de Voronoi com 4 pontos

I Pontos cocirculares ou nao

Conjunto de pontos nao degenerados

I Nao existem 4 ou mais vertices cocirculares

I Todos os vertices de Voronoi tem grau 3

Vertices de Voronoi

Teorema

I Dado um conjunto de pontos S e seu respectivo diagrama deVoronoi Vor(S), um ponto v e vertice de Voronoi sse existeum cırculo com centro em v que passa por 3 pontos de S , enao existe nenhum ponto de S interior a este cıculo.

ExercıcioI Para n ≥ 3:

I Quando o diagrama de Voronoi teria zero vertices?I Quando o diagrama de Voronoi teria um vertices?

Vertices de Voronoi

Teorema

I Quando o diagrama de Voronoi teria zero vertices?

I Quando o diagrama de Voronoi teria um vertices?

Vertices de Voronoi

Teorema

I Quando o diagrama de Voronoi teria zero vertices?I Quando o diagrama de Voronoi teria um vertices?

Arestas de Voronoi

Tipos de arestas

I Finitas

I Semiinfinitas

Quando todos pontos sao colineares

I Arestas sao infinitas

I Arestas sao desconectadasFigura extraıda de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011

Arestas de Voronoi

Tipos de arestas

I Finitas

I Semiinfinitas

Quando todos pontos sao colineares

I Arestas sao infinitas

I Arestas sao desconectadasFigura extraıda de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011

Diagrama de Voronoi

Relacao linear entre numero de vertices e numero de arestasI Dados S com n ≥ 3 pontos, o diagrama de Voronoi de S ,

Vor(S):I Tem no maximo 2n − 5 verticesI Tem no maximo 3n − 6 arestas

I Prova:I Similar a grafo planar onde vertice no infinito e representado

Diagrama de Voronoi

Relacao linear entre numero de vertices e numero de arestasI Dados S com n ≥ 3 pontos, o diagrama de Voronoi de S ,

Vor(S):I Tem no maximo 2n − 5 verticesI Tem no maximo 3n − 6 arestasI Prova:

I Similar a grafo planar onde vertice no infinito e representado

Construcao do diagrama de Voronoi

Algoritmo incremental

I Dado um diagrama inicialI Acrescenta um ponto p no diagrama

I Localiza a regiao de Voronoi Vor(p1) que contem pI Acha bissetora de pp1

I Acha intersecao com arestas da regiao: x1 e x2I Acha bissetora de pp2

I Ate fechar regiao Vor(p)

Construcao do diagrama de Voronoi

Algoritmo incremental

I Complexidade O(n2)

Diagrama de Voronoi

Grafo dualI Arcos conectam pontos proximos

I Pontos cujas regioes de Voronoi compartilham uma aresta

Diagrama de Voronoi

Retificacao dos arcos em arestas conectando pontos

I Arestas nao se cruzam

I Subdivisao resultante e uma triangulacao de S

I Triangulacao e de DelaunayFigura extraıda de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011

Diagrama de Voronoi

Retificacao dos arcos em arestas conectando pontos

I Arestas nao se cruzam

I Subdivisao resultante e uma triangulacao de S

I Triangulacao e de DelaunayFigura extraıda de Discrete and Computational Geometry, Devadoss and Rourke, 2011

Triangulacao de Delaunay

Algoritmo incrementalI Explora dualidade com diagrama de Voronoi

I Suponha uma triangulacao de Delaunay Del(Sk)I Adiciona pI Marca triangulos cujo circuncırculos contem pI Elimina diagonais do polıgono marcadoI Insere arestas de p aos vertices desse polıgono

Diagrama de Voronoi Centroidal

CVT – Diagrama de Voronoi Centroidal

I Pontos geradores pi representam centros de massasdas correspondentes regioes de Voronoi Vor(pi )

I Regioes tendem a ser hexaedros regulares

Algoritmo de LloydI Dado um conjunto inicial de geradores S

I Gera o diagrama de Voronoi correspondente

I Itera ate convergenciaI Move cada ponto gerador para o centro de massa da sua regiaoI Regera o diagrama de Voronoi considerando os novos p

Diagrama de Voronoi discretizado

Diagrama de Voronoi em um domınio discretizado

I Exemplo: resolucao de uma tela

Metodos

I Construcao por renderizacao

I Construcao por dilatacao iterativa

Diagrama de Voronoi em um domınio discretizado

I Exemplo: resolucao de uma tela

Metodos

I Construcao por renderizacao

I Construcao por dilatacao iterativa

Construcao por renderizacao de cones

I Vertices dos cones posicionados nos pontos geradores

I Vista ortografica de cima

I Teste de visizilidade (depth test) garante corretude

Construcao por renderizacao de cones

I Vertices dos cones posicionados nos pontos geradores

I Vista ortografica de cima

I Teste de visizilidade (depth test) garante corretude

Construcao por dilatacao iterativa

I Cada ponto gerador e preenchido no domınio discretoI A cada iteracao, visita todos os pixels nao preenchidos

I Preenche pixel com atributo de vizinho preenchido, se houverI Repete o processo ate que todos os pixels estejam preenchidos

O(n) iteracoes

I Numeros de iteracoes proporcional ao numero de pixels

Construcao por dilatacao iterativa

I Cada ponto gerador e preenchido no domınio discretoI A cada iteracao, visita todos os pixels nao preenchidos

I Preenche pixel com atributo de vizinho preenchido, se houverI Repete o processo ate que todos os pixels estejam preenchidos

O(n) iteracoes

I Numeros de iteracoes proporcional ao numero de pixels

Algoritmo jump flooding

Propagacao completa com log n iteracoesI Mas pode apresentar erros

I Pequenos e contornaveis na maior parte dos casos

Preenchimento convencional

(x , y) −→ (x + i , y + j) | i , j ∈ {−1, 0, 1}

Preenchimento com saltos (jumps)

(x , y) −→ (x + i , y + j) | i , j ∈ {−k, 0, k}

Preenchimento convencional

(x , y) −→ (x + i , y + j) | i , j ∈ {−1, 0, 1}

Preenchimento com saltos (jumps)

(x , y) −→ (x + i , y + j) | i , j ∈ {−k, 0, k}

EstrategiaI Reduzir o passo a metade a cada iteracao

I Cada pixel recebe informacoes de 8 outras localizacoesI Mais a sua propria informacao

I Cada pixel armazena a informacao da menor distancia

AlgoritmoI Inıcio

I Semente com informacoes [s, pos(s)]I Nao semente com informacoes [nil , nil ]

I A cada iteracaoI Informacoes dos pixels sao atualizadas

I Escolhe-se a informacao a menor distancia

Possıveis errosI No exemplo, p deveria ser r

I Mas p′ e p′′ nao tem r como menor distancia

Variacoes visando reduzir errosI JFA + 1

I Uma passada extra com passo igual a 1 no final

I JFA + 2I Duas passadas extras no final com passos 2 e 1

I JFA + log n ou JFA2

I log n passadas adicionais

I JFA + 2 sementes (ou +n sementes)I Armazena os 2 (ou n) mais proximos

I Aumenta uso de memoriaI Aumenta processamento para escolha do mınimo

Trabalho

Implemente um algoritmo para construir uma triangulacao deDelaunay ou um diagrama de Voronoi considerando um conjuntode pontos em posicoes arbitrarias (sem degeneracao).

I Entrada: conjunto de pontosx0 y0

I SaıdaI Triangulacao de Delaunay: incidencia dos triangulos

vi vj vk

I Diagrama de Voronoi: coordenadas das arestasI Coordenadas homogeneas

x0 y0 w0 x1 y1 w1

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