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FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS -TRABALHO E ENERGIA

Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e

Wagner Máximo de Oliveira

UFPB VIRTUAL

2 de setembro de 2012

Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira (UFPB VIRTUAL)FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E ENERGIA2 de setembro de 2012 1 / 21

INTRODUÇÃO

Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:Trabalho de uma força constante;Trabalho da força peso;Energia Cinética;

Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre os assuntosdescritos acima, porém, é interessante que você estude antes a teoriano Livro de FÍSICA., na segunda unidade.

BOM ESTUDO!


TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE

Existem outros modos de analisar os movimentos, sem depender daaplicação direta das leis de Newton. Um desses modos é baseadonosconceitos de Trabalho e Energia, que apresentaremos agora.Cnsideremos um corpo que se move em trajetória retilínea, efetuandoum deslocamento

−→d . Seja

−→F uma das forças que atuam no corpo e

suponhamos que essa força seja constante (em módulo, direção esentido) e forme um ângulo θ com o deslocamento

−→d . O trabalho da

força−→F (τF ) é definido por:

τF = F · d · cos θ (1)


TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE

No (SI) a unidade de trabalho é o joule, cujo símbolo é J.Como o cos θ não tem unidade, da equação (1), temos:

unidade de τ = (unidade de F ) · (unidade de d)

J = N ·m

θ = 0 =⇒ cos θ = 1 =⇒ τF = F · dθ = 90o =⇒ cos θ = 0 =⇒ τF = 0θ = 180o =⇒ cos θ = −1 =⇒ τF =−F · d

Quando θ é agudo, isto é, 0 < θ < 90o, teremos cos θ > 0, e otrabalho será positivo. Quando θ é obtuso, isto é, 90o < θ < 180o,teremos cos θ < 0, e o trabalho é negativo.


TRABALHO TOTAL

Frequentemente encontramos situações em que um corpo está sob aação de várias forças. O trabalho total realizado durante umdeslocamento é simplemente a soma dos trabalhos realizados porcada força:

τtotal = τF1 + τF2τF3 + τF4 + . . .

Sendo−→FR a resultante das forças que atuam no corpo, é possível

demonstrar que o trabalho total é igual ao trabalho de−→FR:

τFR = τtotal = τF1 + τF2τF3 + τF4 + . . .


EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um bloco apoiado em uma superfíciehorizontal é puxado para a direita, pela aplicação de uma força−→F de intensdade F = 100 N. Além dessa força, o bloco está soba ação de outras três forças: o peso

−→P , a normal

−→FN e a força de

atrito−→FA. Suponhamos que P = 90 N, FA = 20 N, senθ = 0,60 e

cos θ = 0,80. Para um deslocamento−→d tal que d = 5,0 m,

vamos calcular o trabalho de cada força e o trabalho total.


CONTINUAÇÃO

Resolução:Trabalho da força

−→F :

τF = F · d · cos θ = (100) · (5,0) · (0,80) =⇒ τF = 400 J

Trabalho da força de atrito−→FA:

τFA = FA · d · cos 180o = (20) · (5,0) · (−1) =⇒ τFA = −100 J


CONTINUAÇÃO

Como as forças−→FN e

−→P são perpendiculares ao deslocamento, seus

trabalhos são nulos:

τP = τFN = FN︸︷︷︸ou P

·d · cos(π/2)︸︷︷︸=0

= 0

Portanto, o trabalho total é:

τtotal = τF + τFA + τP + τFN = (400 J) + (−100 J) + 0 + 0 = 300 J

τtotal = 300 J


TRABALHO DA FORÇA PESO

Consideremos uma região próxima da superfície da Terra, de modoque a aceleração da gravidade possa ser considerada constante.Suponhamos que uma partícula vá de um ponto A a um ponto B.



Usando-se o Cálculo Integral é possível mostrar que o trabalhorealizado pelo peso (

−→P ) da partícula é dado por:

τAB = P · h

onde h é o desnível entre os pon-tos A e B, independentemente datrajetória seguida. Na figura aolado exemplificamos dois caminhosligando A a B. O trabalho do peso éo mesmo em qualquer desses ca-minhos.



Indo de A para B, a partículamoveu-se a favor do peso e, assim,o trabalho é positivo. Se a par-tícula fosse de B para A, subindo,portanto, estaria se movendo con-tra o peso e nesse caso o trabalhodo peso seria negativo:

τBA = −P · hQuando o trabalho de uma força depende apenas do ponto inicial e doponto final e não da trajetória seguida, a força é chamadaconservativa. Assim, o peso é uma força conservativa.


ENERGIA CINÉTICA

Consideremos uma partícula demassa m, que passa por um pontoA com velocidade −→νA e por umponto B com velocidade −→νB, aolongo de uma trajetória qualquer,sob a ação de um número qualquerde forças, constantes ou variáveis.Usando o Cálculo Integral é possível demosntrar que o trabalho totalrealizado por essas forças, entre os pontos A e B (τAB), é dado por:

τAB =m · ν2

B2︸︷︷︸

Final

−m · ν2

A2︸︷︷︸

Inicial

(2)


ENERGIA CINÉTICA

A energia cinética (EC) de um corpo de massa m e velocidade ν édefinida do seguinte modo:

EC =m · ν2

2(3)

Desse modo, na equação (2), mν2B

2 é a energia cinética no ponto B

(ECB ) e mν2A

2 é a energia cinética no ponto A (ECA). Podemos, então,dar outra forma à equação (2):

τAB = ECB − ECA = ∆EC (4)

onde ∆EC é a variação da energia cinética. As equações (2) e (4) sãoos modos matemáticos de enunciar o Teorema da Energia Cinética(TEC):O trabalho total das forças atuantes numapartícula é igual à variação da energia ci-nética dessa partícula.


EXERCÍCIO RESOLVIDO: Uma partícula de massa m = 4,0 kgé abandonada do alto de um tobogã, passando pelo ponto A comvelocidade νA = 3,0 m/s e pelo ponto B com velocidadeνB = 8,0 m/s. Durante o movimento, o bloco esteve sob a açãode apenas três forças: o peso, a normal e a força de atrito.Sendo g = 10 m/s2, calculemos o trabalho da força de atrito notrecho AB.


CONTINUAÇÃO

Resolução:Durante o movimento, a força nor-mal não se mantém constante, poisa trajetória é curva. Assim, mesmoque conhecêssemos o coeficintede atrito µ, não teríamos um va-lor constante para a força de atritoe, assim, não poderíamos calcularo seu trabalho pela fórmula τ =F · d · cos θ.Vamos, então, utilizar o Teorema da Energia Cinética. As energiascinéticas da partícula nos pontos A e B são:

ECA =mν2

A2

=(4,0) · (3,0)2

2= 18 =⇒ ECA = 18 J

ECB =mν2

B2

=(4,0) · (8,0)2

2= 128 =⇒ ECB = 128 J


CONTINUAÇÃO

O trabalho de−→FN é nulo e o trabalho do peso é:

τP = +P · h = +mgh = (4,0) · (10) · (5,0) = 200 =⇒ τP = 200 J

De acordo com o Teorema da Energia Cinética:

τtotal = τFA + τP + τFN =mν2

B2

−mν2

A2

τFA + 200 + 0 = 128 − 18 ∴ τtotal = −90 J

τtotal = −90 JProf. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira (UFPB VIRTUAL)FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E ENERGIA2 de setembro de 2012 16 / 21

EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um bloco de massa m = 6,0 kg temmovimento retilíneo sobre uma superfície horizontal, sendo

−→F a

resultante de todas as forças que atuam no bloco. A força−→F tem

diração constante, mas intensidade variável, e, de acordo com ográfico, o bloco passa pelo ponso s = 0 com velocidadeν0 = 5 m/s

Vamos calcular a velocidade do bloco ao passar pelo ponto deespaço s = 8 m e a força média nesse percurso.


CONTINUAÇÃO

Resolução:O trabalho de

−→F é dado pela área

da região colorida na figura. Pode-mos calcular essa área dividindo aregião em um retângulo e um triân-gulo.

τF = (8) · (30) +4 · (30)

2= 300 J

Aplicando o Teorema da Energia Cinética:

τF =mν2

2−

mν20

2=⇒ 300 =

(6,0) · v2

2−

(6,0) · (5)2

2∴ ν = 5

√5 m/s


CONTINUAÇÃO

Vamos calcular também a intensidade da força média (−→F ), que

corresponde a uma força constante que realizaria o mesmo trabalhonesse percurso. Sendo Fm cosntante e paralela ao deslocamento,temos:

Fm · d = τF =⇒ Fm · (8,0) = 300 ∴ Fm = 37,5 N

Fm = 37,5 NProf. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira (UFPB VIRTUAL)FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E ENERGIA2 de setembro de 2012 19 / 21

BIBLIOGRAFIA UTILIZADA

Curso de Física básica - vol 1. Nussenzveig, Herch Moysés - 4.ed. - São Paulo: Blucher, 2002.Física básica: Mecânica. Chaves, Alaor, Sampaio, J.F. - Rio deJaneiro: LTC, 2007.Física 1: mecânica. Luiz, Adir M. - São Paulo: Editora Livraria daFísica, 2006.Física: volume único. Calçada, Caio Sérgio, Smpaio, José Luiz -2. ed. - São Paulo: Atual, 2008.


OBSERVAÇÕES:

Caros alunos e alunas, é de extrema importância que vocês nãoacumulem dúvidas e procurem, dessa forma, estarem em dia como conteúdo.Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados nestasemana, e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum dasemana, para que possamos esclarecê-las.O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo o curso.Portanto aproveitem este material!

ÓTIMA SEMANA E BOM ESTUDO!


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