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Mecânica dos Sólidos II

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Curso de Engenharia CivilP

rof.

Rom

el D

ias

Van

derle

i

Bibliografia:

� Beer, F. P.; Johnston, Jr. E. R.; DEWolf, J. T. Resist ência dos Materiais. Trad. Mario Moro Fecchio. 4ª ed. São Paulo : McGraw-Hill, 2006. 758p.

� Beer, F. P.; Johnston, Jr. E. R.. Resistência dos Materiais. Trad. Celso Pinto Morais Pereira. 3ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1995. 1255p.

� Gere, J. M. Mecânica dos Materiais. Trad. Luiz Fernando de Castro Paiva, Rev. Tec. Marco Lucio Bittencourt. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 698p.

� Hibbeler, R. C. Resistência dos Materiais. 5ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 2004. 688p.

� Timonshenko, S. P.; Gere, J. E. Mecânica dos Sólidos. Trad. JoséRodrigues de Carvalho. Vol. 1 e 2. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1984.

CAPÍTULO 1:ANÁLISE DE TENSÕES E

DEFORMAÇÕES

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Curso de Engenharia CivilP

rof.

Rom

el D

ias

Van

derle

i

1.1 Introdução

A

N=σ

σσσσ(N)

N

M

zI

yM ⋅−=σσσσσ(M)

V

z

s

Ib

MV

⋅⋅=τ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

1.1 Introdução

J

T ρτ ⋅=

21 bac

Tmáx ⋅⋅

=τ ( )ba>T

T

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� As formulações para as tensões são para seção transversal.

� A partir destas tensões já conhecidas, é possível determinar as tensões em qualquer plano oblíquo, assim como as deformações correspondentes considerando o material elástico linear.

1.1 - Introdução

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

1.2 - Estado Simples de Tensão

� As tensões são distribuídas de maneira uniforme na seção “mn”, e a orientação da seção é especificada pelo ângulo α entre o eixo horizontal e a normal (n).

� A resultante da força “P” pode ser decomposta em duas componentes, uma força Normal (F) e uma de Cisalhamento (V) , que é tangente ao plano “mn”.

m

n

αααα αααα

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


αα

τσA

V e n ==

A

Fn

� As tensões normal e de cisalhamento na seção “mn”são obtidas por:

Aα é a área da seção inclinada:

αααα

A

αα α

α coscos

AA

A

A =⇒=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Convenção de sinais:

�N:

�V:

ααα

ατ

αα

ασ

α

α

cos

cosAP

cos

cosA

cosP 2

⋅−=⋅−=−=

=⋅==

senA

Psen

A

V

A

P

A

F

n

n

� Logo, as tensões podem ser calculadas da seguinte forma:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


� Fazendo:

( )

ααα

αα

σ

sen22

1cos

cos212

1cos2

=⋅

+=

=

sen

A

Px

� Tensões em uma seção inclinada:

ασααστ

ασσ

22

cos

cos2

sensen xxn

xn

−=⋅−=

=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


2)(x

máxn

στ =

=

=0

0

135

45

αα

para

� Tensão normal máxima:

xmáxn σσ =)(

=

=0180

0

αα

para � planos verticais

� Tensões de cisalhamento máxima:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� É composto por tensões normais e de cisalhamento, porém não pode ter tensão nenhuma na face “z”.

1.3 - Estado Plano de Tensões

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


∑ =0nF

( ) ( )( ) ( ) 0 cos

cos cos cos

=⋅⋅−⋅⋅−

⋅⋅−⋅⋅−⋅

ααταασααταασσ

senAsensenA

senAAA

xyy

xyxn

αατασασσ cos 2 cos 22 ⋅⋅⋅+⋅+⋅= sensen xyyxn

Esboço no quadro

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


∑ =0'nF

( ) ( )ααταασστ cos cos 22 sensen xyyxn −⋅+⋅⋅−−=

( ) ( )( ) ( ) 0 cos

cos cos cos

=⋅⋅+⋅⋅−

⋅⋅−⋅⋅+⋅

ααταασαατααστ

sensenAsenA

AsenAA

xyy

xyxn

( )ααταασααστ cos cos cos 22 sensensen xyyxn −⋅+⋅⋅+⋅⋅−=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Usando as relações trigonométricas:


2

2 cos1

2

2 cos1 cos

cos2 cos

cos 22

2

2

22

αα

αα

αααααα

−=

+=

−=

⋅⋅=

sen

sen

sensen

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


ατασασσ 2 2

2 cos1

2

2 cos1senxyyxn ⋅+−⋅++⋅=

ατασσσσ

σ 2 2 cos22

senxyyxyx

n ⋅+⋅−

++

=

ατασσ

τ 2 cos2 2

⋅+⋅−

−= xyyx

n sen

ατασσσσ

σ 2 2 cos22' senxy

yxyxn ⋅−⋅

−−

+=090' para += αα

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� 1.4.1 - Tensões Principais

� Denomina-se tensões principais à tensões normais máximas (σ1) e mínima (σ2) que ocorrem em torno de um ponto. As direções das tensões principais são chamadas direções principais e os planos onde elas atuam são chamados planos principais .

� Seu valor é determinado tomando:

1.4 - Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima

( ) 02 cos22 =⋅⋅+⋅−−= ατασσασ

xyyxn sen

d

d

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

onde ααααp define a orientação dos planos principais .

1.4.1 - Tensões Principais

yx

xysen

σστ

αα

−⋅

=2

2 cos

2

yx

xyptg

σστ

α−⋅

=2

2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� O ângulo ααααp tem dois valores que diferem 90º.

� Um determina o plano onde atua σσσσ1 e o outro onde atua σσσσ2.

� Os dois valores para ααααp são conhecidos como direções principais , onde para um desses valores a tensão principal é máxima, e para o outro a tensão principal é mínima.

� Os valores das tensões principais são calculados substituindo ααααp na equação de σσσσn.


( ) ( ))90(2 )90(2 cos22

2 2 cos22

2

1

°+⋅⋅+°+⋅⋅−

++

=

⋅+⋅−

++

=

pxypyxyx

pxypyxyx

sen

sen

ατασσσσ

σ

ατασσσσ

σ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� As tensões principais também podem ser obtidas da seguinte maneira:


2

2 yx

xyptg σσ

τα −=

2

2

2 xyyxR τ

σσ+

−= R

yxp ⋅

−=

22 cos

σσα

Rsen xy

p

τα =2

2yx σσ −

ττττxyR

2α2α2α2αp

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Substituindo em σσσσn , obtemos a tensão principal máxima, σσσσ1 :


⋅+

⋅−

⋅−

++

=RRxy

xyyxyxyx τ

τσσσσσσ

σ2221

pα2 cos psen α2

2

2

1 22 xyyxyx τ

σσσσσ +

−+

+=

22

2

1

1

22

1

2R

RRyx

xyyxyx ⋅+

+=

+

−⋅+

+=

σστ

σσσσσ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� A tensão principal mínima, σσσσ2 , pode ser encontrada a partir da condição:


yx σσσσ +=+ 21

12 σσσσ −+= yx

2

2

2 22xy

yxyx τσσσσ

σ +

−−

+=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Logo as Tensões Principais podem ser calculadas por:


2

2

2,1 22xy

yxyx τσσσσ

σ +

−±

+=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� A tensão de cisalhamento nos planos principais são nulas. Esta é uma importante observação em relação aos planos principais.


02 cos2 2

=⋅+⋅−

−= ατασσ

τ xyyx

n sen

yx

xysen

σστ

αα

−⋅

=2

2 cos

2 p

yx

xy tgtg ασσ

τα 2

22 =

−⋅

=

� Logo, o plano onde a tensão de cisalhamento é nula éigual aos planos principais.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Fazendo:

1.4.2 - Tensões de Cisalhamento Máximas

ατασσ

τ 2 cos2 2

⋅+⋅−

−= xyyx

n sen

( ) 02 22 cos =⋅⋅−⋅−−= ατασσατ

send

dxyyx

n

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

ααααS define a orientação dos planos de tensões de cisalhamento máximas positiva e negativa.


xy

yxsen

τσσ

αα

⋅−

−=22 cos

2

xy

yxstg

τσσ

α⋅−

−=2

2

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� O ângulo ααααS tem dois valores que diferem 90º.� Comparando com os planos principais, temos:


pp

s tgtg α

αα 2 cotg

2

12 −=−=

°+= 45ps αα

� Estudando a relação entre ααααS e ααααP , vemos que:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Isto mostra que os planos de tensão de cisalhamento máxima ocorrem a 45º em relação aos planos principais.

� A tensão de cisalhamento máxima pode ser obtida substituindo ααααS na equação de ττττn, ou da seguinte forma:


2

2

2 xyyxR τ

σσ+

−=

Rsen

Ryx

sxy

s ⋅−

−==2

2 ; 2 cosσσ

ατ

α2

yx σσ −−

ττττxy

R

2α2α2α2αs

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


⋅+

⋅−

−⋅−

−=RRxy

xyyxyx

n

ττ

σσσστ

22

RR xy

yxn =

+

−⋅= 2

2

2

1 τσσ

τ

2

2

2 xyyx

máx τσσ

τ +

−=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� ττττmáx também pode ser obtida em função das tensões principais, σ1 e σ2.


RRR yxyx ⋅=

−

+−

+

+=− 2

2221

σσσσσσ

221 σσ −=R , como Rmáx=τ

221 σστ −=máx

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� No plano de ττττmáx também contém tensões normais.� Basta resolver a equação para σn com α = αs :


2yx

médn

σσσσ

+==

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Para o estado plano de tensão indicado, determine as tensões agindo em um plano que está inclinado de um ângulo de 15º no sentido horário.

Exemplo 1

MPax 46−=σ015−=αMPaxy 19−=τ

MPay 12=σ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� a) Tensão Normal:

Exemplo 1

ατασσσσ

σ 2 2 cos22

senxyyxyx

n ⋅+⋅−

++

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )°−⋅−+°−⋅−−++−= 30 1930 cos2

1246

2

1246sennσ

MPan 6,32−=σ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� b) Tensão de Cisalhamento

Exemplo 1

MPan 31−=τ

ατασσ

τ 2 cos2 2

⋅+⋅−

−= xyyx

n sen

( ) ( ) ( ) ( )°−⋅−+°−⋅−−−= 30 cos1930 2

1246sennτ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� c) Tensão normal no plano α + 90º:

Exemplo 1

ατασσσσ

σ 2 2 cos22

' senxyyxyx

n ⋅−⋅−

−+

=

MPan 4,1' −=σ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� d) Esboço:

Exemplo 1

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Para o estado plano de tensões indicado, determine:� a) os planos principais;� b) as tensões principais;� c) a máxima tensão de cisalhamento e a

correspondente tensão normal.

Exemplo 2

50MPa

10MPa

40MPa

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� a) Planos Principais:

Exemplo 2

MPax 50+=σ MPay 10−=σ MPaxy 40+=τ

( ) 333,11050

40222 =

−−⋅=

−⋅

=yx

xyptg

σστ

α

°°= 13,233 13,532 epα

°°= 116,56 56,26 epα

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Exemplo 2

2

2

2,1 22xy

yxyx τσσσσ

σ +

−±

+=

( ) ( )502040

2

1050

2

1050 22

2,1 ±=+

−−±−+=σ

( ) ( ) MPaeMPa mínmáx 30 70 21 −== σσ

� b) Tensões Principais:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Exemplo 2

70MPa

30MPa

x

y

ααααp = 26,6º

� b) Esboço:

MPa

sen

sen

n

n

xyyxyx

n

70

6,262 406,262 cos2

)10(50

2

)10(50

6,26

2 2 cos22

=

×⋅+°×⋅−−+−+=

°=

⋅+⋅−

++

=

σ

σ

α

ατασσσσ

σ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� c) Tensão de Cisalhamento Máxima:

Exemplo 2

2

2

2 xyyx

máx τσσ

τ +

−=

( )MPamáx 5040

2

1050 22

=+

−−=τ

( )MPa

ou

máx 502

3070

221 =−−=−= σστ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� c) Tensão normal correspondente:

Exemplo 2

MPayxmédn 20

2

1050

2=−=

+==

σσσσ

75,0402

)10(50

22 −=

⋅−−−=

⋅−

−=xy

yxstg

τσσ

α

°°−= 13,431 87,362 esα

°°−= 71,6 43,18 esα

� c) Esboço:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� c) Esboço:

Exemplo 2

20MPa

20MPa

50MPa

x

y

ααααs = 71,6º

MPa

sen

sen

n

n

xyyx

n

50

6,712 cos406,712 2

)10(50

6,71

2 cos2 2

−=

°×⋅+°×⋅−−−=

°=

⋅+⋅−

−=

τ

τ

α

ατασσ

τ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Fazendo:

1.5 - Círculo de Mohr para Tensão Plana

( )I 2 2 cos22

ατασσσσ

σ senxyyxyx

n ⋅+⋅−

=+

−

( )II 2 cos2 2

ατασσ

τ ⋅+⋅−

−= xyyx

n sen

2

2

2

2 xyyxyx

méd Re τσσσσ

σ +

−=

+=

( ) ( )22 III +e

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


( ) 2

2

22

2 xyyx

nmédn τσσ

τσσ +

−=+−

( ) 222 Rnmédn =+− τσσ � Equação de um círculo de coordenadas σn e τn, raio igual a “R” e centro (σméd , 0).

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Construção do Círculo de Mohr:� Sistema de eixos (esboço no quadro);

� O centro “C” tem as coordenadas (σméd , 0);

� Ponto A:

� Ponto B:

� AB � diâmetro do círculo de Mohr e passa por “C”;


==

=xyn

xn σσ

ττα 00

−=

==

xyn

yn σσ

ττα 900

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Determinar as tensões em um plano cuja normal faz um ângulo α com o eixo “x”:� Marca-se a partir de “A” o ângulo “ 2α ” no sentido anti-

horário.


βσσ

βσ cos2

cos ⋅++

=⋅+== RCMOCOF yxn

ββτ senRsenCMMFn ⋅=⋅==

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Acha-se:


2 2 cos22

ατασσσσ

σ senxyyxyx

n ⋅+⋅−

++

=

2 cos2 2

ατασσ

τ ⋅+⋅−

−= xyyx

n sen

� Fazendo:

( ) ( )R

seneR

xyyx τβα

σσβα =+

⋅−

=+ 2 2

2 cos

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� No círculo de Mohr, o maior valor para σn ocorre no ponto P1, onde a τn = 0.

� O ponto P1 representa a tensão principal (σ1), e o plano principal (2αp1).

� O menor valor para σn ocorre em P2 , que édiametralmente oposto a P1 .

� Logo, o ponto P2 representa tensão principal (σ2), e o plano principal (2αp2).


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


Rsene

Rxy

pyx

p

τα

σσα =⋅

⋅−

=⋅ )2( 2

)2cos( 11

yx

xyptg

σστ

α−⋅

=⋅2

2 1

012 90+= pp αα

� Logo:RCPOC yx +

+=+=

211

σσσ

RCPOC yx −+

=−=222

σσσ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� No círculo de Mohr, as τmáx positivas e negativas ocorrem nos pontos S1 e S2, respectivamente.

� Estes pontos estão a ângulos 2α = 90º dos pontos P1e P2, confirmando que .

� Geometricamente


045±= ps αα

==

médn

máx R

σστ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Em um ponto na superfície de um cilindro pressurizado, o material está submetido ao estado de tensões mostrado na figura. Usando o círculo de Mohr, determine:a) as tensões agindo em um elemento inclinado a um ângulo

α = 30º.b) Mostre o resultado em um esboço de um elemento.

Exemplo 3

90MPa

20MPaMPax 90=σMPay 20=σ

0=xyτ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� 1) Construção do Círculo de Mohr.

Esboço do Círculo de Mohr no quadro.

Exemplo 3

MPaOC yx 552

2090

2=+=

+=

σσ

22

2

2

02

2090

2+

−=+

+= xy

yxR τσσ

MPaR 35=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Ponto A:

� Ponto B:

Exemplo 3

===

=0

90 00

τσσ

αMPaxn

=

===

0

20 900

τσσ

αMPayn

� Para α = 30º, 2α = 60º � Ponto “M”

� Escala: 10MPa = 1cm

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

060cos35552 cos ⋅+=⋅+= ασ ROCn

MPan 5,72=σ

060 352 senαsenRn ⋅−=⋅−=τ

MPa n 3,30−=τ - sentido horário

� Tensões no plano inclinado α = 30º

Exemplo 3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Na outra face perpendicular, ponto M’:

060cos35552 cos' ⋅−=⋅−= ασ ROCn

MPan 5,37'=σ

MPaαsenRn 3,302 =⋅=′τ

Exemplo 3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� b) Esboço

72,5MPa

37,5MPa

30,3MPa

x

y

αααα = 30º

Exemplo 3

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Em um ponto na superfície de um eixo gerador, as tensões são mostradas na figura. Usando o círculo de Mohr, determine:

a) as tensões agindo em um elemento inclinado a um ângulo α = 45º;

b) as tensões principais;

c) as tensões de cisalhamento máxima e as tensões normais correspondentes;

d) esboço do elemento orientado corretamente.

Exemplo 4

50MPa

10MPa

40MPa MPax 50−=σMPay 10+=σ

MPaxy 40−=τ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Construção do círculo de Mohr:� Escala: 10 MPa = 1 cm

Exemplo 4

MPaσσ

OC yx 202

1050

2−=+−=

+=

( ) MPaR 50402

1050 22

=−+

−−=

Ponto A �

Ponto B �

40

50 0

−=−=

°=MPa

MPa

n

n

τσ

α

40

10 90

==

°=MPa

MPa

n

n

τσ

α

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� a)

Exemplo 4

00 90245 =⇒= αα

60MPacos36,87502036,87 cos −=°⋅−−=°⋅−= ROCnσ

MPasensenRn 3087,36 5087,36 =°⋅=°⋅=τ anti-horário

MPaOCRn 202036,87 cos5036,87 cos 00 =−⋅=+⋅=′σ

MPann 30−=−=′ ττ � horário60M

Pa

20MPa

30MPa

x

y

αααα = 45º

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� b) Tensões Principais:

Exemplo 4

2050 111 −=−=∴→ OCRPPonto σσ

MPa 301 =σ

2050 222 −−=−−=∴→ OCRPPonto σσ

MPa 702 −=σ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Planos Principais e Esboço:

Exemplo 4

022 13,53ˆ2 ==⋅ PCApα

02 6,26=pα

00011 13,23318013,53ˆ2 =+==⋅ PCApα

01 6,116=pα

70MPa

30MPa

x

y

αααα = 26,6º

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� c) Tensões de Cisalhamento Máximas:

Exemplo 4

RSeSPonto máxmáx =∴→ ττ 21

MPamáx 50=τ

00011 13,1439013,53ˆ2 =+==⋅ SCAsα

01 6,71=sα

0012 6,16190 =+= ss αα

MPaOCn 20−==σ

20MPa

20MPa

50MPa

x

y

αααα = 71,6º

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Condições: � Material homogêneo;� Material isotrópico : mesmas propriedades em

todas as direções.

� Deformações normais em tensão plana: εx, εy , εz

1.6 - Lei de Hooke para Tensão Plana

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


EEEx

zx

yx

xx

σνεσνεσεσ ⋅−=⋅−==→ ; ;

EEEy

zy

yy

xy

σνε

σε

σνεσ ⋅−==⋅−=→ ; ;

;0 ;0 ;0 ===→ zyxxy εεετ

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei


0 +⋅−=EE

yxx

σνσε

( )yxx Eσνσε ⋅−⋅= 1

( )yxz Eσσνε +⋅−=

Gxy

xy

τγ =

( )xyy Eσνσε ⋅−⋅= 1

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� εx e εy podem ser resolvidas para as tensões em termos das deformações:


( )yxx

E ενεν

σ ⋅+⋅−

=21

( )xyy

E ενεν

σ ⋅+⋅−

=21

xyxy G γτ ⋅=( )ν+⋅

=12

EG

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Conhecendo-se as tensões σx, σy e σz , podem ser determinadas as tensões que atuam em planos inclinados paralelos aos eixos x, y e z .

1.7 - Tensão Triaxial

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� A) Planos perpendiculares ao plano xy e paralelo a z.


ασασσ 22 sen cos ⋅+⋅= yxn

( )α

σστ 2sen

2 ⋅

−= yx

n

ασn

τn

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� B) Planos perpendiculares ao plano xz e paralelo a y.


βσβσσ 22 sen cos ⋅+⋅= zxn

( ) βσστ 2sen 2

⋅−= zxn

βσn

τn

σz

σy

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� C) Planos perpendiculares ao plano yz e paralelo a x.


θσθσσ 22 sen cos ⋅+⋅= yzn

( )θ

σστ 2sen

2 ⋅

−= yz

n

θσn

τn

σy

σx

σz

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

1.7.1 - Círculo de Mohr para Tensão Triaxial

0 , , ≠zyx σσσ zyx σσσ >>

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Sendo σx, σy e σz as tensões máximas de cada estado duplo de tensões, elas são tensões principais no elemento. Logo:

1.7.1 - Círculo de Mohr para Tensão Triaxial

zmín σσ = xmáx σσ =

( )2

yx

zmáx

σστ

−±=

( )2

zy

xmáx

σστ

−±=

( )2

zxymáx

σστ −±=

(no plano paralelo a z)

(no plano paralelo a x)

(no plano paralelo a y)

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

1.7.2 - Lei de Hooke para Tensão Triaxial

E

xxx

σεσ =→

E

yxy

σνεσ ⋅−=→

E

zxz

σνεσ ⋅−=→

( )

( )

( )yxz

z

zxy

y

zyx

x

EE

EE

EE

σσνσε

σσνσε

σσνσε

+⋅−=

+⋅−=

+⋅−=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Estas equações podem ser resolvidas para as tensões em termos das deformações:

1.7.2 - Lei de Hooke para Tensão Triaxial

( ) ( ) ( ) ( )[ ]zyxx

E εενεννν

σ +⋅+⋅−⋅−⋅+

= 1 211

( ) ( ) ( ) ( )[ ]xzyy

E εενεννν

σ +⋅+⋅−⋅−⋅+

= 1 211

( ) ( ) ( ) ( )[ ]yxzz

E εενεννν

σ +⋅+⋅−⋅−⋅+

= 1 211

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Componentes de deformação no plano xy:

1.8 - Estado Plano de Deformação

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Um elemento em deformação plana não possui deformação normal εz e de cisalhamento γxz e γyz.

1.8 - Estado Plano de Deformação

0 e 0 , 0 === yzxzz γγε� As equações para tensão plana também podem ser

usadas para tensões em deformação plana.

θτθσσσσ

σ 2sen 2 cos22

⋅+⋅−

++

= xyyxyx

n

θτθσσ

τ 2 cos2sen 2

⋅+⋅−

−= xyyx

n

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� As equações para deformação plana também podem ser usadas para as deformações em tensão plana.

� O objetivo é determinar a deformação normal εx1 e a deformação de cisalhamento γx1y1 associadas aos eixos x1y1 que são rotacionados no sentido anti-horário através de um ângulo α a partir dos eixos.

1.8.1 - Equações para Deformação Plana

α

α

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� a) Deformação Normal εx1 :


α

α

α

αα

α

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� O aumento total ∆d no comprimento da diagonal é:


αγαεαε cossencos ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∆ dydydxd xyyx

ds

dx

∆=1

ε

ds

dy

ds

dy

ds

dxxyyxx ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= αγαεαεε cossencos

1

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Como:


ααγαεαεε cossensencos 22

1⋅⋅+⋅+⋅= xyyxx

αcos=ds

dx αsen=ds

dy

� A deformação normal εy1 na direção y1 é obtida substituindo α por α + 90º.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� b) Deformação de Cisalhamento γx1y1

� A deformação de cisalhamento em relação aos eixos x1

e y1 é igual à diminuição no ângulo entre as linhas no material que estavam inicialmente em ângulos retos.

βθγ +=11yx

αααα

θθθθ


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Rotação da linha :OA

ds

dxxx

αεαε sen1

⋅⋅=→ � sentido horário

ds

dyyy

αεαε

cos2

⋅⋅=→ � sentido anti-horário

ds

dyxyxy

αγαγ

sen3

⋅⋅=→ � sentido horário


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Sendo:

321 αααθ −+−=

ds

dy

ds

dy

ds

dxxyyx ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−= αγαεαεθ sencossen

αcos=ds

dx αsen=ds

dy

( ) αγααεεθ 2sencossen ⋅−⋅⋅−−= xyyx


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Rotação da linha :OB 090+=→ αα(sentido horário positivo)

( ) ( ) ( ) ( )°+⋅+°+⋅°+⋅−= 90sen90cos90sen 2 αγααεεβ xyyx

( ) αγααεεβ 2coscossen ⋅+⋅⋅−−= ⋅xyyx


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

βθγ +=11yx

( ) ( )ααγααεεγ 22 sencoscossen211

−⋅+⋅⋅−⋅−= xyyxyx

( ) ( )ααγ

ααεεγ 22 sencos

2cossen

211 −⋅+⋅⋅−−= xy

yxyx


Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Sabendo que:

( )αα 2 cos12

1cos2 +⋅= ( )αα 2 cos1

2

1sen2 −⋅=

ααα 2sen 2

1cossen ⋅=⋅


� Podemos escrever:

αγ

αεεεε

ε 2sen 2

2 cos221

⋅+⋅−

++

= xyyxyxx

αγ

αεεγ

2 cos2

2sen 22

11 ⋅+⋅−

−= xyyxyx

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Comparando estas equações com as obtidas através das tensões planas, verifica-se que:

nx σε →1 xx σε → xy

xy τγ

→2

nyx τ

γ→

211

yy σε →

yxyx εεεε +=+11


� Assim as observações feitas para tensão plana têm suas relações na deformação plana. Por exemplo:

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� As deformações de cisalhamento são zero nos planos principais.

1.8.2 - Deformações Principais

yx

xyptg

εεγ

α−

=2

22

2,1 222

+

−±

+= xyyxyx γεεεε

ε

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Estão associadas aos eixos inclinados a 45°em relação às direções das deformações principais.

1.8.3 - Deformações de Cisalhamento Máximas

22

222

+

−= xyyxmáx

γεεγ

xy

yxstg

γεε

α−

−=2

máxmín γγ −=

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Nas direções de deformação de cisalhamento máxima, as deformações normais são:

2yx

méd

εεε

+=

1.8.3 - Deformações de Cisalhamento Máximas

� Em um dado ponto de um corpo tensionado, as deformações principais e as tensões principais ocorrem nas mesmas direções.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� É construído da mesma maneira que o círculo para tensão plana.

1.8.4 - Círculo de Mohr para Deformação Plana

2yx

médCεε

ε+

==

22

22

+

−= xyyxR

γεε

ESBOÇO NO QUADRO

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Exemplo 5

� Um elemento em deformação plana está submetido às seguintes deformações: εx = 340x10-6, εy = 110x10-6, γxy = 180x10-6. Determine:a) as deformações para um elemento orientado a um ângulo α = 30º;b) as deformações principais;

c) as deformações de cisalhamento máximas;

d) faça esboços de elementos orientados de forma apropriada.

x

y

εx

εy

γxy

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� a) Orientado a um ângulo :030=α

αγ

αεεεε

ε 2sen 2

2 cos221

⋅+⋅−

++

= xyyxyxx

( ) ( ) ( )

( )06

066

302sen 2

10180

302 cos2

10110340

2

101103401

×⋅⋅+

×⋅⋅−+⋅+=

−

−−

xε

6103601

−⋅=xε

Exemplo 5

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

αγ

αεεγ

2 cos2

2sen 22

11 ⋅+⋅−

−= xyyxyx

( ) ( )

( )06

06

302 cos2

10180

302sen 2

10110340

211

×⋅⋅+

×⋅⋅−−=

−

−yxγ

61011011

−⋅−=yxγ

Exemplo 5

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

yxyx εεεε +=+11 11 xyxy εεεε −+=

610901

−⋅=yε

x 1y 1

360µ

90µ110µ

x

y

30º

ESBOÇO:

Exemplo 5

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� b) Deformações principais:

22

2,1 222

+

−±


ε

( ) ( ) 26266

2,1 2

10180

2

10110340

2

10110340

⋅+

⋅−±⋅+=−−−

ε

61 10370 −⋅=ε 6

2 1080 −⋅=ε

Exemplo 5

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

yx

xyptg

εεγ

α−

=2

7826,0110340

1802 =

−=ptg α

°°= 0,218 e 0,382 pα

°°= 109 e 19 pα

Exemplo 5

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

αγ

αεεεε

ε 2sen 2

2 cos221

⋅+⋅−

++

= xyyxyxx

61037019/1

−×=→°= xp εα61080109/

1

−×=→°= xp εα

principais planos 011

→=yxγ

ESBOÇO:x 1

y 1

370µ80µ

x

y

19º

Exemplo 5

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� c) Deformação de Cisalhamento Máxima:

6

22

10146222

−⋅=

+

−= xyyxmáx

γεεγ

610290 −⋅=máxγ

Exemplo 5

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

278,12 −=−

−=xy

yxstg

γεε

α

°°−= 05,128 e 95,512 sα

°°−= 64 e 98,25sα

Exemplo 5

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

αγ

αεεγ

2 cos2

2sen 22

11 ⋅+⋅−

−= xyyxyx

60 1029098,25/11

−⋅=→−= yxp γα60 1029064/

11

−⋅−=→= yxp γα

6, 10225

211

−⋅=+

== yxmédyx

εεεε

x 1y 1

225µ

225µ

290µ

x

y

64º

ESBOÇO:

Exemplo 5

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Uma roseta de 45°é fixada em um ponto da superfície da estrutura antes de ser carregada. Depois de carregada os medidores mediram as seguintes deformações: εa = 40µ, εb = 980µ e εc = 330µ. Usando os eixos indicados, determine:a) as deformações εx, εy e γxy;

b) as deformações principais;c) a deformação de cisalhamento máxima.

Exemplo 6

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� a) Deformação , e :xε yε xyγ

µεε 40== ax µεε 330== cye

αγ

αεεεε

ε 2sen 2

2 cos221

⋅+⋅−

++

= xyyxyxx

cabxy εεεγ −−⋅= 2→=→°= 45/1 bxp εεα

Exemplo 6

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

( ) ( )00 452sen 2

452 cos2

33040

2

33040980 ××+××−++= xy

ou

γ

µγ 1590=xy

µγγ

εεεγ

590.1

330409802

2

=

−−×=

−−⋅=

xy

xy

cabxy

Exemplo 6

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� b) Deformações Principais:

22

2,1 222

+

−±


ε

22

2,1 2

1590

2

33040

2

33040

+

−±+=ε

12,8081852,1 ±=ε

µε 12,9931 = µε 12,6232 −=e

Exemplo 6

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

483,533040

15902 −=

−=

−=

yx

xyptg

εεγ

α

°°−= 34,100 e 66,792 pα

°°−= 17,50 e 83,39pα

µεα 12,99317,50/1

0 =→= xp

ESBOÇO:

x

x 1y 1

993,12µ

623,12µ

y

50,17º

Exemplo 6

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� c) Deformação de Cisalhamento Máxima:

µγεεγ

12,808222

22

=

+

−= xyyxmáx

µγ 23,1616=máx

182,02 =−

−=xy

yxstg

γεε

α

°°= 34,190 e 34,102 sα

°°= 17,95 e 17,5sα

Exemplo 6

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

µγα 23,161617,5/11

0 =→= yxp

µγα 23,161617,95/11

0 −=→= yxp

µεε

ε 185211 , =+

= yxyx

ESBOÇO:

x 1y 1

185µ185µ 16

16,23

µ

x

y

5,17º

Exemplo 6

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� Para o elemento em estado plano mostrado na figura abaixo, foram medidas as deformações: εx = 350x10-6, εy= -300x10-6, εz = -300x10-6 e γmáx = 325x10-6. Pede-se:a) os valores de σx ,σy e τxy ;b) a deformação εy

Adote: E = 20MPa e ν = 0,3

Exemplo 7

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� a)

( ) ( )yxyxx Eσνσσνσε ⋅−⋅=⋅→⋅−⋅= −

20

110350

1 6

( )I 007,03,0 =⋅− yx σσ

( ) ( )yxyxz Eσσσσνε +⋅−=⋅−→+⋅−= −

20

3,010300 6

( )II 020,0=+ yx σσ

==

MPa 01,0

MPa 01,0

y

x

σσ

Exemplo 7

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Gmáx

máx

τγ =

MPa,,máx 00250103256927 6 =××= −τ

( ) ( ) MPa 692,73,012

20

12=

+⋅=

+⋅=

νE

G

2

2

2 xyyx

máx τσσ

τ +

−=

máxxyxymáx ττττ =∴= 22

MPa 0025,0=xyτ0

Exemplo 7

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

� b) ( )

( )01,03,001,020

1

1

⋅−⋅=

⋅−⋅=

y

xyy E

ε

σνσε

610350 −⋅=yε

Exemplo 7

mecânica dos sólidos ii - gdace.uem.br · mecânica dos sólidos ii prof. romel dias vanderlei...

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