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Mecânica dos Sólidos I

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Curso de Engenharia CivilP

rof.

Rom

el D

ias

Van

derle

i

Bibliografia:

� Beer, F. P.; Johnston, Jr. E. R.; DEWolf, J. T. Resist ência dos Materiais. Trad. Mario Moro Fecchio. 4ª ed. São Paulo : McGraw-Hill, 2006. 758p.

� Beer, F. P.; Johnston, Jr. E. R.. Resistência dos Materiais. Trad. Celso Pinto Morais Pereira. 3ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1995. 1255p.

� Gere, J. M.; GOODNO, B. J.. Mecânica dos Materiais. Trad. Luiz Fernando de Castro Paiva, Rev. Tec. Marco Lucio Bittencourt e Demetrio C. Zachariadis. São Paulo: Cengage Learning, 2010. 858p.

� Hibbeler, R. C. Resistência dos Materiais. Trad. Arlete Simille Marques. Rev. Tec. Sebastião Simões da Cunha Jr. 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 637p.

� Timonshenko, S. P.; Gere, J. E. Mecânica dos Sólidos. Trad. JoséRodrigues de Carvalho. Vol. 1 e 2. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1984.

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CAPÍTULO 1:CONCEITO DE TENSÃO

Prof. Romel Dias Vanderlei

Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil

Curso de Engenharia CivilP

rof.

Rom

el D

ias

Van

derle

i

1.1 Introdução

� Mecânica dos Materiais Sólidos é um ramo da mecânica que estuda as relações entre “Cargas Externas” aplicadas a um corpo sólido deformável e a intensidade das “Forças Internas” que atuam dentro do corpo.

� Abrange também o cálculo da “Deformação”do corpo e do estado da sua “Estabilidade”.

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Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

1.1 Introdução

� Método das Seções:

�A força FR e o momento MR representam a resultante das forças elementares que se encontram distribuídas em toda a área da seção transversal analisada.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

1.1 Introdução

� A resistência do corpo às forças internas (FR) depende da capacidade do material resistir àintensidade das forças elementares distribuídas.

� Ou seja, a ruptura depende:� Intensidade de FR;� Área da seção transversal;� Características do material.

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Pro

f. R

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Dia

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rlei

1.2 Tensão

� TENSÃO: é força por unidade de área.

Vetorial Grandeza

=

=

=

A

FA

FA

F

Rzxz

Ryxy

Rxx

τ

τ

σ

� A tensão que atua perpendicular ao plano da seção é chamada TENSÃO NORMAL (σσσσ) [sigma].

� A tensão que atua paralela ao plano da seção transversal échamada TENSÃO DE CISALHAMENTO (ττττ) [tau].

FRzZ

Y

X

FRy

FRx

ττττxz

σσσσx

ττττxy

Pro

f. R

omel

Dia

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ande

rlei

1.2 Tensão

Pa Pascal m

N ou

2→⇒

=A

Fτσ

� Múltiplus do Pascal:kPa = 103Pa = 103 N/m2 [quilo]MPa = 106Pa = 106 N/m2 [mega]GPa = 109Pa = 109 N/m2 [giga]

� Unidade no sistema SI:

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Pro

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Dia

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1.3 Tensão Normal

� Conceito de barra prismática:� Seção transversal constante;� Alongamento uniforme;� Forças internas distribuídas uniformemente na seção.

Pro

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Dia

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rlei

1.3 Tensão Normal

� Hipóteses:� As seções permanecem planas durante a deformação;� Material homogêneo;� Material isotrópico.

al transversseção da

ponto um em Tensão lim

Média Normal Tensão

0⇒

∆∆=

⇒=

→∆ A

FA

F

A

Rméd

σ

σ

� Considera-se tensão normal uniforme quando a força aplicada passa pelo centróide da seção.

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Pro

f. R

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Dia

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1.3 Tensão Normal

� Tensão Normal de Tração (+)� Tensão Normal de Compressão (-)

Pro

f. R

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Dia

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Exemplo

� Luminária de 80kg suportada por duas hastes AB e BC. Determine a tensão normal em cada haste, sabendo que dAB = 10mm e dBC = 8mm.

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Pro

f. R

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Dia

s V

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rlei

1.4 Tensão de Cisalhamento

2

FV =

(Pa) Média toCisalhamen de Tensão ⇒=A

Vmédτ

� Supõe-se que é a mesma em cada ponto na seção.� Na realidade ocorrem tensões de cisalhamento na

seção muito maiores do que as previstas pela τméd.

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

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1.4.1 Cisalhamento Simples

� Há apenas uma superfície de cisalhamento

A

F==A

Pmédτ

∑ =⇒= PFFx 0

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Pro

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Dia

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1.4.2 Cisalhamento Duplo

� Há duas superfície de cisalhamento

A2

F

⋅==

A

Pmédτ

220

FPPFFx =⇒⋅=⇒=∑

Pro

f. R

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Dia

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1.5 Tensão de Esmagamento

A = área da superfície do semicilindroAN = valor nominal médio = t x d

t = espessura da chapad = diâmetro do conector

dt

P

⋅==

NE A

Pσ

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Pro

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Dia

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1.6 Tensões em Plano Oblíquo

� As tensões são distribuídas de maneira uniforme na seção “mn”, e a orientação da seção é especificada pelo ângulo θ entre o eixo horizontal e a normal (n).

� A resultante da força “P” pode ser decomposta em duas componentes, uma força Normal (F) e uma de Cisalhamento (V) , que é tangente ao plano “mn”.

m

n

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

1.6 Tensões em Plano Oblíquo

θθ

τσA

V e n ==

A

Fn

� As tensões normal e de cisalhamento na seção “mn”são obtidas por:

Aθ é a área da seção inclinada:

θ

A

θθ θ

θ coscos

AA

A

A =⇒=

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Pro

f. R

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Dia

s V

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1.6 Tensões em Plano Oblíquo

� Convenção de sinais:� Tensões normais: (+) para tração e (–) para compressão� Tensões de cisalhamento: (+) tendem a produzir uma

rotação no sentido antihorário .

θθθ

θτ

θθ

θσ

θ

θ

cos

cosAP

cos

cosA

cosP 2

⋅−=⋅−=−=

=⋅==

senA

Psen

A

V

A

P

A

F

n

n

� Logo, as tensões podem ser calculadas da seguinte forma:

Pro

f. R

omel

Dia

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rlei

1.6 Tensões em Plano Oblíquo

� Fazendo:

( )

θθθ

θθ

σ

sen22

1cos

cos212

1cos2

=⋅

+=

=

sen

A

Px

� Tensões em uma seção inclinada:

( )

θσθθστ

θσθσσ

22

cos

2cos12

cos2

sensen xxn

xxn

−=⋅−=

+==

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Pro

f. R

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Dia

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rlei

1.6.1 Tensões Máximas

� Tensão normal máxima:

xmáx σσθ =→°= 0

� Tensões de cisalhamento máxima:

°±= 45θ2

xmáx

στ =

Pro

f. R

omel

Dia

s V

ande

rlei

Exemplo

Uma barra de área A = 1200mm2 é comprimida por uma força axial P = 90kN.Determine: a) as tensões agindo na seção inclinada θ=25º;b) o estado de tensão total para θ=25º e mostre as tensões

em um elemento de tensão.

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Pro

f. R

omel

Dia

s V

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rlei

1.7 Tensão Admissível

� Os materiais que constituem a estrutura são caracterizados através de ensaios de laboratório pela carga necessária para causar ruptura.

� Teste de Tração:

Esboço no quadro

� Resistência última ou de ruptura do material:

i

uu A

P=σ Pu = carga últimaAi = área inicial

Pro

f. R

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Dia

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1.7 Tensão Admissível

� Para o dimensionamento,estabelece-se um nível de tensão abaixo da nível de ruptura, designado por tensão admissível:

) ou ( e ) ou ( ττσσ admadm

� Coeficiente de Segurança (C.S.):

=

=→=

..

.. ..

SC

SCSCu

adm

uadm

adm

u

ττ

σσ

σσ

� A segurança é garantida pelas inequações:

admmáx

admmáx

ττσσ

≤≤

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Pro

f. R

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Dia

s V

ande

rlei

Exemplo

Dimensionar a seção transversal de uma barra supondo seção quadrada e os seguintes dados:

2C.S. 420MPa; ;500 === ukNP σ

Esboço no quadro

Pro

f. R

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Dia

s V

ande

rlei

Exemplo

Sabendo-se que o rebite é feito de aço com τadm = 32MPa, determine o diâmetro dos rebites para F = 200kN.