mecÂnica dos sÓlidos - torÇÃo

8/16/2019 MECÂNICA DOS SÓLIDOS - TORÇÃO

http://slidepdf.com/reader/full/mecanica-dos-solidos-torcao 1/36

Quarta Edição

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.John T. DeWolf

CAPÍTULO



UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS -UEA

MEC NICA DOS S LIDOS

-

Prof. Dr. Rogério C. Lopes

3 - 2

Sumário

Introdução

Momentos Torçores em Eixos Circulares

Torque Líquido devido a Tensões

Internas

Componente do Esforço Cortante AxialDeformações de Eixos

Deformações de Cisalhamento

Tensões na Região Elástica

Tensões NormaisTipos de Ruptura Torsional

Problema Resolvido 3.1

Ângulo de Torção na Região Elástica

Eixos Estaticamente IndeterminadosProblema Resolvido 3.4

Dimens. de Eixos de Transmissão

Concentração de Tensões

Deformações PlásticasMateriais Elasto-Plásticos

Tensões Residuais

Exemplo 3.08/3.09

Torção de Membros Não-CircularesEixos com Seção-Vazada de Paredes

Finas

Exemplo 3.10





-


3 - 3

Torção em Eixos Circulares

Interessado em tensões edeformações de eixos circularessubmetido a momentos torçores.

Gerador cria um torque T igual e desentido contrário.

Eixo transmite o Torque para oGerador.

Turbina exerce Torque no eixo.





-


3 - 4

Torque resultante devido a Tensões Internas

dAdF T

A resultante interna da tensão decisalhamento é um torque interno, igual eoposto ao torque aplicado.

Apesar do torque devido a tensão decisalhamento ser conhecido, a distribuição dastensões não é conhecida.

Diferentemente da tensão normal devido a forçasaxiais, a distribuição da tensão de cisalhamentocausada por forças torçores não pode serassumida uniforme.

A distribuição da tensão de cisalhamento éestaticamente indeterminada temos que

considerar a deformação do eixo.





-


3 - 5

Componente Axial da Tensão de Cisalhamento.

O Torque aplicado no eixo produz tensõesde cisalhamento nas faces perpendicularesao eixo da barra circular.

A existência das tensões de cisalhamento édemonstrada considerando a barra circularconstituida de várias lâminas finas.

As condições de equilibrio requerem a

existência de tensões iguais nas faces de doisplanos contendo o eixo da barra circular.

As lâminas escorregam uma em relação aoutra quando um torque de mesmaintensidade e sentidos opostos são aplicadosnas extremidades da peça.





-


3 - 6

Observa-se que o ângulo de torção da peça éproporcional ao torque aplicado e ao seucomprimento.

L

T

Deformação de Eixo.

Quando submetida a torção, cada seçãotransversal da barra circular permanece plana econservam a sua forma. (barras circulares)

Seções transversais de eixos não-circularessão deformadas quando submetidas atorção.

Seções transversais de eixos circulares maciçosou vazados permanecem planas e inderforma-das porque o eixo circular é axisimétrico.





-


3 - 7

Deformação de Eixo Circular.





-


3 - 8

Deformação de Eixo Circular.





-


3 - 9

Deformação de Cisalhamento.

Considerando uma seção interna do eixo.Aplicando-se um momento de torção, oelemento no interior do cilindro se transformaem um losango.

Deformação de cisalhamento é proporcional ae

maxmax e c L

c

L L ou

Assim sendo têm-se que

Como as extremidades do elementopermanecem planas, a deformação decisalhamento é igual ao ângulo de torção.





-


3 - 10

Tensões no Regime Elástico

J c

dAc

dAT max2max

Lembrar que a soma dos momentos da dis-tribuição de tensões internas é igual ao tor-que na seção considerada do eixo circular,

421 c J

41

422

1 cc J

e max J

T

J

Tc

Os resultados são conhecidos como asfórmulas de torção elástica,

Multiplicando-se a equação anterior pelo

módulo de cisalhamento G teremos:maxG

cG

maxc

Da Lei de Hooke G , ou

A tensão de cisalhamento varia linearmentecom a posição radial na seção.





-


3 - 11

Tensões Normais

Elementos com faces paralela e perpendicularao eixo da barra circular estão submetidos ape-nas a tensões de cisalhamento. Tensões nor-mais, de cisalhamento ou a combinação delaspodem ser encontradas em outras orientações.

max0

0max45

0max0max

22

245cos2

o A

A

A

F

A AF

Considerando 1 elemento a 45o ao eixo da barra,

Elemento a encontra-se em cortante puro.

Note-se que todas as tensões para os elementosa e c tem a mesma magnitude.

Elemento c está submetido a tensões detração nas duas faces e tensões de compressãonas outras duas.





-


3 - 12

Tipos de Ruptura Torsional

Materiais dúteis geralmente serompem por cisalhamento. Materiaisfrágeis são menos resistente a traçãoque ao cisalhamento.

Quando uma espécie dútil é subme-tido à torção, a ruptura ocorre em umplano de cisalhamento máximo, i.e.,plano perpendicular ao eixo longit.

Quando uma espécie frágil é subme-

tida à torção, a ruptura ocorre emplanos perpendiculares à direção naqual a tração é máxima, i.e., osplanos formam ângulo de 45o com oeixo longitudinal da barra circular.





-


3 - 13

Ruptura Torsional





-


3 - 14

Eixo BC é vazado com diâmetros internoe externo de 90 e 120 mm, respectivamen-te. Eixos AB e CDsão sólidos de diâmetro

d . Para o carregamento indicadodetermine (a) a tensão de cisalhamentomáxima e mínima no eixo BC , (b) o diâ-metro d dos eixos AB e CDse a tensão decisalhamento admissível do material é de65 MPa.


SOLUÇÃO:Passando uma seção transversalno eixo AB e BC e fazendo umaanálise estática encontraremos osmomentos torçores.

Sendo dado a tensão decisalhamento admissível e o

torque aplicado, inverte-se afórmula de torção elástica paraencontrar o diâmetro solicitado.

Aplica-se as fórmulas de torçãoelástica para encontrar a tensãomáxima e mínima no eixo BC.





-


3 - 15

SOLUÇÃO:

Passando uma seção transversal noeixo AB e BC e fazendo uma análiseestática encontraremos os momentostorçores.

CD AB

AB x

T T

T M

mkN6

mkN60

mkN20

mkN14mkN60

BC

BC x

T

T M






-


3 - 16

Aplica-se as fórmulas de torção

elástica para encontrar a tensãomáxima e mínima no eixo BC.

46

4441

42

m1092.13

045.0060.022

cc J

MPa2.86

m1092.13

m060.0mkN20

46

2

2max J

cT BC

MPa7.64

mm60

mm45

MPa2.86

min

min

2

1

max

min

c

c

MPa7.64

MPa2.86

min

max

Sendo dado a tensão de cisalhamento

admissí vel e o torque aplicado, inverte-se afórmula de torção elástica para encontrar o

diâmetro solicitado.

m109.38

mkN665

3

32

42

max

c

c MPa

c

Tc

J

Tc

mm8.772cd






-


3 - 17

Angulo de Torção na Região ElásticaLembrando que o ângulo de torção e a defor-

mação máxima de cisalhamento são relacionadaspor:

L

cmax

Na região elástica a deformação e a tensão decisalhamento são relacionadas pela lei de Hookepor:

JG

Tc

Gmaxmax

Igualando as expressões da deformação de cisa-lhamento e resolvendo para o ângulo de torção,

JG

TL

Se os torçores ou a seção transversal do eixo mu-darem ao longo do comprimento, o ângulo de tor-ção é a soma das rotações dos diversos segmentos

i ii

ii

G J

LT





-


3 - 18

Convenção de Sinal Regra da Mão DireitaA convenção de sinal é arbitrária; na figura abaixo é ilustrada uma convenção

denominada de positiva mas nada impede de chamarmos de sentido negativodesde que a coerência seja mantida durante a solução de um mesmo exercício.





-


3 - 19

Convenção de Sinal Regra da Mão DireitaConsiderando a convenção abaixo podemos assumir que o momento torçor de

80 N-m, 60 N-m e 10 N-m são positivos enquanto que o momento torçor de150 N-m é negativo.





-


3 - 20

Dada as dimensões do eixo e o torque aplicado,determinar os momentos torçores reativos nosapoios A e B.

Eixos Estaticamente Indeterminados

Da análise de um corpo-livre do eixo,

mas que não é suficiente para encontrar as reações.O problema é estaticamente indeterminado.

ftlb90 B A T T

ftlb9012

21 A A T

J L

J LT

Substituindo na equação original de equilibrio,

A B B A T

J L

J LT

G J

LT

G J

LT

12

21

2

2

1

121 0

Dividindo-se o eixo em dois segmentos que

terão de ter deformações compatíveis,





-


3 - 21

Dada as dimensões do eixo e o torque aplicado,

determinar os momentos torçores reativos nosapoios A e B. Lembre-se que o ângulo de torçãoem qualquer apoio engastado é nulo.

Eixos Estaticamente Indeterminados Solução Alternativa

Da análise de um corpo-livre do eixo,

mas que não é suficiente para encontrar as reações.O problema é estaticamente indeterminado.

0T T T B A

00 T T J L

J LT

A B

B A

A

Substituindo na equação original de equilibrio,

00

21 0 T J L

J L

T G J

LT

G J

LT

A B

B A

B

B

B B

A

A

Liberando o apoio engastado B , e aplicandoa superposição de efeitos teremos





-


3 - 22


Dois eixos de aço são conectados porengrenagens. Sabendo que p/ cadaeixo G = 11.2 x 106 psi e que a tensão

admissível de cisalhamento é 8 ksi,determine (a) o maior torque T 0 quepode ser aplicado na extremidade doeixo AB, (b) o correspondente ângulode rotação da extremidade A do eixo

AB.

SOLUÇÃO:Fazer uma análise de equilibrioestático nos dois eixos para encontrara relação entre T CD and T 0 .

Encontrar o ângulo de torçãocorrespondente para cada eixo e a

rotação angular resultante daextremidade A.

Encontrar o máximo torque admis-sível em cada eixo escolher o menor

Uma análise cinemática p/ relacionar

os ângulos de torção das engrenagens.





-


3 - 23

SOLUÇÃO:

Fazendo uma análise de equilibrioestático nos dois eixos para encontrara relação entre T CD e T 0 .

0

0

8.2

in.45.20

in.875.00

T T

T F M

T F M

CD

CDC

B

Análise cinemática p/ relacionar osângulos de torção das engrenagens.

C B

C C B

C B

C C B B

r

r

r r

8.2

in.875.0

in.45.2






-


3 - 24

Cálculo do máximo torque T 0

admissível em cada eixo escolhero menor.

in.lb561

in.5.0

in.5.08.28000

in.lb663

in.375.0

in.375.08000

0

42

0max

0

4

2

0max

T

T psi

J

cT

T

T psi

J

cT

CD

CD

AB

AB

inlb5610T

Cálculo do ângulo de torção correspondente para

cada eixo e a rotação angular resultante daextremidade A.

oo /

oo

o

642

/

o

642

/

2.2226.8

26.895.28.28.2

95.2rad514.0

psi102.11in.5.0

.in24in.lb5618.2

2.22rad387.0

psi102.11in.375.0

.in24in.lb561

B A B A

C B

CD

CD DC

AB

AB B A

G J

LT

G J

LT

o48.10 A






-


3 - 25

Dimensionamento de Eixos de Transmissão

As principais especificações doEixo de Transmissão são:

Potência a ser transmitida. Velocidade de rotação.

Determinação do torque a ser aplicado aoeixo em função da potência e da velocidade

f

PPT

fT T P

2

2

Cálculo da seção transversal para nãoexceder a máxima tensão decisalhamento admissível,

vazadoeixo2

sólido eixo2

max

41

42

22

max

3

max

T cc

cc

J

T cc J

J

Tc

No dimensionamento do eixo oEngenheiro tem que escolhermaterial e dimensões adequadaspara atender as especificações doEixo de Transmissão de modoque a máxima tensão de

cisalhamento admissível não sejaexcedida.





-


3 - 26

Concentração de Tensões

Na derivação da formula de torção,

assumiu-se um eixo circular de seçãotransversal uniforme e submetido a tor-ques através de chapas extremas rígidas.

J

Tcmax

J

TcK max

Experimentalmente e numéricamente de-

termina-se os fatores de concentração K

O uso de flanges, engrenagens e poliasligadas ao eixo por guias recortadas edescontinuidade da seção transversal podemcausar concentração de tensões





-


3 - 27

Deformações Plásticas

Com a consideração de material elástico linear,

J

Tcmax

cc

d d T 0

2

022

A integral dos momentos causados pela distribuição

interna das tensões é igual ao torque no eixo e naseção considerada,

Deformação de cisalhamento varia linearmenteindependente das propriedades do material. O usoda curva tensão de cisalhamento-deformaçãopermite a determinação da distribuição da tensão.

Se a tensão de escoamento é excedida ou o materialtem uma curva tensão de cisalhamento-deformaçãonão linear, a equação acima não pode ser usada.





-


3 - 28

, o torque aproxima-se do valor limite,0Y

plástico torque T T Y P 34

Material Elasto-Plástico

Com o aumento do torque, uma região plástica( ) forma em volta do núcleo elást. ( )Y Y

Y

3

3

41

34

3

3

413

32 11

cT

ccT Y

Y Y

Y

3

3

41

34 1 Y Y T T

Y L

Y

No ponto de máximo torque elástico,

Y Y Y cc

J T

321

c

L Y Y





-


3 - 29

Tensões Residuais

Regiões plásticas formam em um eixo quandosubmetido a um torque suficientemente grande.

Em uma T- curva, o descarregamento ao longo doeixo é linear e o ângulo de torção não volta a zero.

Quando o torque é removido, há uma redução datensão e da deformação em cada ponto ao longo deuma linha reta. O valor final da tensão não é zero.

Tensões Residuais com o principio da superposição.

0dA

J

Tcm





-


3 - 30

Exemplo 3.08/3.09

Um eixo circular é submetido aotorque em c/ extremo.Assumindo que o eixo é feito de ma-terial elastoplástico come determine (a) o raiodo núcleo elástico, (b) o ângulo de

torção do eixo quando o torque éremovido (c) o ângulo de torçãopermanente e (d) a distribuição dastensões residuais.

MPa150Y

GPa77G

mkN6.4T

SOLUÇÃO:Resolver Eq. (3.32) para Y /c ecalcular o raio do núcleo elástico.

Encontra-se a distribuição da tensãoresidual por superposição das tensõesde torção e distorção do eixo

Eq. (3.16) calcula o ângulo para oqual o eixo destorce quando o torqueé removido. O ângulo permanente é adiferença dos ângulos de torção edistorção.

Eq.(3.36) calcula ângulo de torção.





-


3 - 31

SOLUÇÃO:

Resolve Eq. (3.32) para Y /c ecalcula raio do núcleo elástico.

31

3413

3

41

34

Y

Y Y Y

T

T

ccT T

mkN68.3m1025

m10614Pa10150

m10614

m1025

3

496

49

3214

21

Y

Y Y

Y Y

T

c

J T

J

cT

c J

630.068.3

6.434

31

c

Y

mm8.15Y

Eq.(3.36) calcula ângulo de torção.

o33

3

49-

3

8.50rad103.148630.0

rad104.93

rad104.93

Pa1077m10614

m2.1mN1068.3

Y

Y Y

Y

Y Y

Y

JG

LT

cc

o50.8

Exemplo 3.08/3.09





-


3 - 32

Eq. (3.16) calcula o ângulo parao qual o eixo destorce quando otorque é removido. O ângulopermanente é a diferença dosângulos de torção e distorção.

o

3

949

3

1.81

69.650.8

6.69rad108.116

Pa1077m1014.6

m2.1mN106.4

p

JG

TL

o81.1 p

Encontra-se a distribuição da tensãoresidual por superposição das tensõesde torção e distorção do eixo

MPa3.187

m10614

m1025mN106.449-

33

max J

Tc

Exemplo 3.08/3.09





-


3 - 33

Torção de Membros de Seção não Circular

Para valores grandes de a/b, a tensão decisalhamento máxima e o ângulo detorção para outros tipos de seçõesabertas são os mesmos da seçãoretangular. Usar C1 = C2 = 0,33

Gabc

TL

abc

T 3

22

1max

Para seção-transver. retangular uniforme,

As fórmulas de torção anteriores sãoválidas para eixos de seção circular.

As seções transversais não-circulares deEixos não permanecem planas e astensões e deformações não variamlinearmente.





-


3 - 34

Eixos de Seção Vazada de Paredes FinasSomando as forças na direção-x em AB,

tensão de cisalhamento varia inversamente

com a espessura

alhamento fluxodecisqt t t

xt xt F

B B A A

B B A A x 0

tA

T

qAdAqdM T

dAq pdsqdst pdF pdM

2

22

2

0

0

Cálculo do torque com a integral dos mo-mentos devido a tensão de cisalhamento

t

ds

G A

TL24

Ângulo de torção-Capítulo 10- Energia





-


3 - 35

Exemplo 3.10

Um tubo de alumínio de seção retangularfabricado por extrusão é submetido a umtorque de 24 kip-in. Determinar a tensão decisalhamento em cada uma das quatro paredescom (a) espessura uniforme de 0.160 in. e (b)parede com espessura de 0.120 in. em AB e

AC e 0.200 in. em CDe BD.SOLUÇÃO:

Determine o fluxo de cisalhamento atra-vés das paredes, como se fosse um tubo.

Encontre as correspondentes tensõesde cisalhamento para cada espessura deparede.





-


3 - 36

SOLUÇÃO:

Determine o fluxo de cisalhamentoatravés das paredes, como se fosseum tubo.

in.

kip335.1

in.986.82

in.-kip24

2

in.986.8in.34.2in.84.3

2

2

A

T q

A

Encontre as correspondentes

tensões de cisalhamento para cadaespessura de parede.

Com espessura de parede uniforme,

in.160.0

in.kip335.1

t

q

ksi34.8

Com espessura de parede var.,

in.120.0

in.kip335.1 AC AB

in.200.0

in.kip335.1CD BD

ksi13.11 BC AB

ksi68.6CD BC

Exemplo 3.10

mecÂnica dos sÓlidos - torÇÃo

Documents