mecânica dos sólidos aula3

Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008

Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 1

Sumário e Objectivos

Sumário: Perpendicularidade das Tensões Principais. Elipsóide de Lamé. Tensões Octaédricas. Caso Particular do Estado Plano de Tensão. Tensões Principais Secundárias. Circunferência ou Circulo de Mohr.

Objectivos da Aula: Ser Capaz de proceder à Construção de Mohrpara estados planos. Comparar os resultados Analíticos com os Resultados Gráficos.



Helicóptero



Estrutura de um veículo Automóvel



Propagação de Fendas



Perpendicularidade das Tensões Principais

Admita-se que o sistema de eixos Oxyz é tal que uma das direcções (por exemplo o eixo dos zz) é coincidente com uma das direcções principais, por exemplo, .Nestas condições as tensões tangenciais, são nulas e o sistema de equações que permite o cálculo das direcções principais étal que

xx xy

yx yy

zz

0 l0 m 0

0 0 n

−σ⎡ ⎤⎧ ⎫σ τ⎪ ⎪⎢ ⎥−σ =τ σ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥−σσ⎣ ⎦⎩ ⎭

Equação característica

[ ] xx xyzz

xy yy0

− σσ τ− σ =σ − στ σ



Soluções da Equação Característica

[ ] xx xyzz

xy yy0

− σσ τ− σ =σ − στ σ

A equação é verificada se for

0 com 0

ou

0 com 0

yyxy

xyxxzz

yyxy

xyxxzz

=σ−στ

τσ−σ≠σ−σ

≠σ−στ

τσ−σ=σ−σ

No 1º caso a direcção principal correspondente é l=m=0 e n=1

No 2º caso tem de ser n=0, as outras tensões principais, pertencem ao plano xy que é perpendicular a z

σσ 21 e



Elipsóide de Lamé

No caso de se escolher um sistema de eixos coincidente com as direcções principais, o tensor das tensões toma a forma

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσ

σ

3

2

1

000000 Numa faceta cuja normal tem cossenos directores,

{l,m,n}, as componentes do vector tensão, T, são

σ=σ=

σ=

33

22

11

nTmTlT

ou

σ=

σ=

σ=

3

3

2

2

1

1

Tn

Tm

Tl



Elipsóide de Lamé

Tendo em conta que 1nml 222 =++

σ=

σ=

σ=

3

3

2

2

1

1

Tn

Tm

Tle que

Obtém-se

1TTT23

23

22

22

21

21 =

σ+

σ+

σ

Que corresponde à Equação de um Elipsóide no espaço , o Elipsóide de LaméT e T ,T 321



Tensões Octaédricas

Considere-se que as tensões estão representadas no sistema de eixos principais, existem oito planos cujas normais são igualmente inclinadas em relação ás direcções principais e que contém as facetas do octaedro representado na figura. As facetas deste octaedro têm cossenos directores iguais em valor absoluto, no referencial cartesiano coincidente com os eixos principais. As tensões normais que actuam nas faces deste octaedro são as chamadas Tensões Octaédricas.

x≡1

y≡2

z≡3




Os cossenos directores das normais às facetas são iguais entre si e verificam a igualdade 2 2 2 1l m n+ + =

31n

31m

31l ±=±=±=

As equações de Cauchy que permitem o cálculo do tensor das tensões conhecido o versor da normal conduzem às tensões seguintes nas facetas do Octaedro

3

nT 3

mT 3

lT 33z

22y

11x

σ±=σ=σ±=σ=σ±=σ=




A componente normal da tensão T , pode ser calculada considerando o produto do transposto do vector T pelo versor da normal à faceta, ou seja

3

nT 3

mT 3

lT 33z

22y

11x


3I

3nmlTnTmTl 13213

22

21

2zyxoct =σ+σ+σ=σ+σ+σ=++=σ

A componente tangencial da tensão nas facetas do octaedro pode ser calculada considerando a equação

σ−=τ 2oct

2oct

2oct T



3

nT 3

mT 3

lT 33z

22y

11x


3I

3nmlTnTmTl 13213

22

21

2zyxoct =σ+σ+σ=σ+σ+σ=++=σ

σ−=τ 2oct

2oct

2oct T

( )

( ) ( )I3I92

9II2I3

19I

31

nml

22

21

212

221

212

322

21

2oct

23

222

221

22oct

−=−−=

=−σ+σ+σ=σ−σ+σ+σ=τ




Estado Plano de Tensão

θ

θ

x

x´A B

Cyy´

θ

90º x´

yy´

xσxx

σyy

τxy

σxx

σyy

τxy

σ ´´xx

(a)(b)

D E

Fx´y´τ



Estado Plano de Tensão

As Tensões no Sistema de Eixos Oxý´ são

x´x´ xx yy xy1 cos2 1 cos2 sen2

2 2+ θ − θ

= + + θσ σ σ τ

yy xxxý´ xysen2 cos2

2−σ σ= θ + θτ τ

xx yy xx yyyý´ xycos2 sen2

2 2+ −σ σ σ σ= − θ − θσ τ

xx yy x´x´ yý´+ = +σ σ σ σ



Tensões Principais-Estado Plano de Tensão

xx yyx´x´xy

d 2sen2 2 sen2 0d 2

−σ σσ = − θ + θ =τθ

( )xy

pxx yy

tan g2/ 2

τ=θ−σ σ

( )2

xx yy 2max xymin

xx yyx´x´ 22

−⎛ ⎞σ σ+σ σ= ± +σ ⎜ ⎟ τ⎜ ⎟⎝ ⎠



Tensões Principais Secundárias num plano

Considere-se um sistema de eixos ortogonal Oxyz e determinem-se as equações de transformação para as componentes σx´x´, σyý´, σz´z´, relativamente a um novo sistema de eixos coordenados Oxý´z´ obtidos a partir dos primeiros por rotação θ em relação ao eixo dos zz.

x´x´ yy yy xyxx xx1 1) )cos2 sen2( (2 2

= + + − θ + θσ σσ σ σ τ

yy xxx´y´ xysen2 cos2

2−σ σ= θ + θτ τ

xx yy xx yyy´y´ xycos2 sen2

2 2+ −σ σ σ σ= − θ − θσ τ

O=O´

z=z´

x yx´

θ



Tensões Principais Secundárias

Da equação que fornece a tensão de corte ou tangencial se se considerar esta tensão nula obtém-se o ângulo θp que é tal que:

( )2

2 xyp

xx yy

tgτ

θσ σ

=−

Tendo em conta que tg2θp=tg(2θp+π) pode dizer-se que existem duas direcções Ox´e Oy´ mutuamente ortogonais que satisfazem a condição de ser τxy=0. Para estas duas direcções éfácil verificar que ∂σx´x´/ ∂θ=0 e ∂σy´y´/ ∂θ=0 .As direcções assim definidas dizem-se direcções principais secundárias.



Tensões Principais Secundárias

As Tensões normais correspondentes, Tensões Principais Secundárias são:

2

xx yy 21 xy

2

xx yy 22 xy

xx yy22

xx yy22

−⎛ ⎞σ σ+σ σ= + +σ ⎜ ⎟ τ⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞σ σ+σ σ= − +σ ⎜ ⎟ τ⎜ ⎟⎝ ⎠



Circulo de Mohr para o Estado Plano de Tensão

xx yy xx yyx´x´ xycos2 sen2

2 2+ −σ σ σ σ= + θ + θσ τ yy xx

xý´ xysen2 cos22−σ σ= θ + θτ τ

xx yy xx yyx´x´ xycos2 sen2

2 2+ −σ σ σ σ− = θ + θσ τ

xx yyxý´ xysen2 cos2

2−σ σ= − θ + θτ τ

Estas Equações Podem ser Escritas com a Forma

Elevando ao quadrado as duas expressões, adicionando e simplificando, obtém-se:

2 2xx yy xx yy2 2

x´x´ xý´ xy2 2+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ σ σ− + = +σ τ τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠




Uma vez que as tensões no sistema de eixos Oxy são conhecidas e as tensões no sistema de eixos Oxý´ são desconhecidas e variáveis, a equação anterior é equivalente à equação de um circulo no plano σ,τ.

2 2xx yy xx yy2 2

x´x´ xý´ xy2 2+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ σ σ− + = +σ τ τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ou ( )2 2 2

xýá bx´x´− + =σ τ

ondexx yy

2xx yy 2

xy

a OC2

b R2

σ

+σ σ= =

−⎛ ⎞σ= = + τ⎜ ⎟⎝ ⎠




σ

),(A xyxx τσ

O Cθp2

),(B xyyy τ−σ

2OCa yyxx σ+σ

==

τ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ 2xy

yyxx2

2

xx yy

2xx yy 2

xy

a OC2

b R2

σ

+σ σ= =

−⎛ ⎞σ= = + τ⎜ ⎟⎝ ⎠

σ1σ2

τ

E F

GA

B



Mudança de Eixos usando a Construção de Mohr

α2θp

Aθ

O C

y

x

x´

y´

θ

xxσ

xyτ xxσ

xyτ

yyσ

xx yy

2+σ σ

x´x´σ

x´y´τ

x´x´ x´y´( , )σ τB



Círculos de Mohr 3D



Tensões Normal numa Faceta com normal n

σ≥σ≥σ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σσ

σ

123

3

2

1

sendo 00

0000

σ=σ=σ=

3zz

2yy

1xx

nTnTnT

nnnT 2z3

2y2

2x1n σ+σ+σ=

Tensão Normal

nnnT 2z

23

2y

22

2x

21

2 σ+σ+σ=

Tensão T

1nnn 2z

2y

2x =++

(1) (2)

(3)As equações (1),(2),(3) constituem um sistema de equações por solução do qual se pode determinar as componentes de n



Componentes de n –normal à faceta

))(()(TTTn

))(()(TTTn

))(()(TTTn

3231

2121n2t

2n2

z

2123

1313n2t

2n2

y

1312

3232n2t

2n2

x

σ−σσ−σσσ+σ+σ−+

=


=


=

Considere-se a 1ª equação, passando o denominador para o 1ºmembro e adicionando a ambos os membros da equação , obtém-se

( )σ+σ 322

41

( )[ ] ( ) ( )( ) σσ−σ−σσ−σ+σ+σ==+σ+σ− 322x312132

2412

121

2t322

1n

2nR com RTT

( )[ ] ( ) ( )( ) σσ−σ−σσ−σ−σ+σ==+σ+σ− 132y322113

2412

222

2t132

1n

2nR com RTT

( )[ ] ( ) ( )( ) σσ−σ−σσ−σ+σ+σ==+σ+σ− 122z323121

2412

323

2t212

1n

2nR com RTT

Procedendo de igual modo com as outras duas equações, obtém-se



Círculos de Mohr



Valores Limites dos Raios

[ ])(R)( 3221

113221 σ+σ−σ≤≤σ−σ

[ ] )(R)( 3121

23121

2 σ−σ≤≤σ+σ−σ

[ ]σ−σ+σ≤≤σ−σ 32121

32121 )(R)(



Problemas Propostos -Círculo de Mohr

1) Considere um estado de tensão plano cujas componentes das tensões são:

a)Desenhe um elemento de dimensões infinitesimais, dx e dy e represente as tensões a actuarem no elemento.

b)Desenhe o círculo de Mohr correspondente ao estado de tensão referido.

c)Indique no círculo de Mohr os pontos A e B que correspondem ao estado de tensão que se obtém nas direcções x´ e y´ que fazem 40ºno sentido dos ponteiros do relógio com o sistema de eixos inicial.

d)Determine o tensor das tensões no sistema de eixos Ox´y´e) Determine as tensões principais.

i jσ =⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

80 6060 20



Problemas Propostos -Circulo de Mohr

2) Desenhe os círculos de Mohr para os estados de tensão seguintes:

σ

Tracção simples

σ=100MPaa)

corte puro

b) τ=10MPa

Tracção em duas direcções

σ

c) σ

σ

σ

τ

σ

d) σ

σ

σ σ

e) σ

σ

σ




3) Considere o estado de tensão seguinte: 100 50 20

50 80 5020 50 40

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

a) Determine as Tensões Principais

b) Desenhe os círculos de Mohr

c) Determine as tensões tangenciais máximas




3. Considere o Estado Plano de tensão e num ponto do sólido considere que o tensor das tensões é

50 30MPa

30 80−⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.0) a) Determine o tensor das tensões no ponto, num sistema de eixos que se obtém rodando de 30º, em torno do eixo dos zz no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, o sistema de eixos inicial.

(1.0) b) Determine as Tensões Principais e a tensão de corte máxima.

Utilize a Construção de Mohr



Problemas Propostos -Circulo de Mohr(4)

4. O campo de Tensões num corpo sólido elástico, homogéneo e isotrópico é definido pelas seguintes componentes:

( )120 2 , 100 2 e 100 2 yy xy xy xz zxz y z yσ τ τ τ τ= − = = − = =

As restantes componentes do Tensor das Tensões são nulas.

a) Mostre que tal campo de Tensões está necessariamente associado a um campo de forças de Volume uniforme e paralelo ao eixo dos yy.



Problemas Propostos -Circulo de Mohr(4 cont)

b) Determine as Tensões principais nos pontos A(0,√2/2, -√2/2) e B=(0 ,-√2/2, √2/2) , e as respectivas direcções.

c) Desenhe os círculos de Mohr correspondentes ao estado de Tensão no ponto C =(0 ,√2/2, √2/2) .

d) À volta do ponto B, desenhe um paralelepípedo elementar de faces paralelas aos planos cartesianos e, sobre cada uma das faces represente as tensões correspondentes.

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