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Departamento de Engenharia Mecânica

Mecânica dos Sólidos IParte 5 – Tensões de Flexão

Prof. Arthur M. B. Braga

2008.1

Mecânica dos Sólidos I

Mecânica dos Sólidos

ProblemaCorpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

Determinar• Esforços internos (tensões)• Deformações• Deslocamentos


Determinação da Distribuição de Tensão no Corpo Sujeito à Ação de Forças Externas

F7

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F8

P (x,y,z) ),,( zyxσ

x

z

y

σxyσxx

σxz

σzyσzx

σzz

σyy

σyx

σyz


F

Barras Carregadas Axialmente

Fσxx

z

y

x

σxx

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000xx

σσ

AF

xx =σ


Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção

JTrr =)(τ

1φ

xT

T2φ

GJTL

=∆φ


Eixos Sujeitos a Carregamentos de Torção

A

xT

T

y

zA

x

y

z)0(>= xzστ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000

00

xz

xz

σσ

σ

JTDDxz 2

)2( ==τσ


Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t)

p

tPD2

=θθσ

tPD

xx 4=σ

xxσ

θθσ

Vasos cilíndricos


Vasos de Pressão de Paredes Finas (D>>t)

p

tPD4

=θθσ

tPD4

=ϕϕσϕϕσ

θθσ

Vasos esféricos


Tensões de Flexão em Barras (vigas)

Momento fletor e esforço cortante atuando na seção transversal de uma viga carregada no plano xy

x

y

zM



Seção tranversal simétrica em relação ao plano xy

x

y

z

y



Flexão Pura

x

yM M



Flexão Pura (viga de seção transversal simétrica)

A B C

D E F



A′ B′ C′

D′ E′ F ′

OFlexão Pura

M M

φ∆φ∆



Curvatura

O

O′

φ∆

φ∆φ

s∆

ρ

B

C

A curvatura no ponto B édefinida como:

ρφφ 11limlim

00=

′=

∆∆

==→∆→∆ BOsds

dkssy

x



A′ B′ C′

D′ E′ F ′

OFlexão Pura

M M

φ∆φ∆



M NI J y x

y

Deformação do segmento IJ



Eixo Neutro(deformação nula)

Compresão

M ′ N ′

I ′ J ′

Tração

ρ

y−ρ

y

NMNMJI

IJIJJI

xx ′′′′−′′

=−′′

=ε

Deformação do segmento IJ



φρ ∆=′′NMDeformação do segmento IJ

φρ ∆−=′′ )( yJI

Eixo Neutro(deformação nula)

Compresão

M ′ N ′

I ′ J ′

Tração

ρ

y−ρ

y



Deformação longitudinal

NMNMJI

IJIJJI

xx ′′′′−′′

=−′′

=ε

φρ ∆=′′NM

φρ ∆−=′′ )( yJI

ydydy

xxφ

ρε −=−=

Deformação cisalhante

021

== xyxy γε

Simetria (flexão pura)



Relação tensão vs. deformação

( )[ ]ρ

σσνσε yE zzyyxxxx −=+−=1

022

1===

Gxy

xyxy

σγε

022

1===

Gxz

xzxzσγε

Tensões cisalhantes são nulas no caso de flexão pura



Equilíbrio

x

y

M

Axx ∆σ

z

y

z

MdAyM

dAzM

dAF

A xxz

A xxy

A xxx

=−=

==

==

∫∑∫∑∫∑

σ

σ

σ

0

0



• Hipótese:

• Balanço de forças na direção longitudinal

0=== yzzzyy σσσ

ydsdEyExxφ

ρσ −=−=

0=−=−== ∫∫∫∑ dAyEdAyEdAFAAA xxx ρρ

σ

Eixo neutro está localizado sobre o centróide da área da seção transversal



• Balanço de momentos na direção y

0=−=−== ∫∫∫∑ dAyzEdAzyEdAzMAAA xxy ρρ

σ

Simetria da seção transversal em relação ao plano xy 0=⇒ ∫ dAyz

A



• Balanço de momentos na direção z

MdAyEdAyEdAyMAAA xxz ===−= ∫∫∫∑ 2

2

ρρσ

dAyIA∫=

2 Momento de inércia da área da seção transversal

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

⇒==

IMy

EIMy

EIM

dsd

xx

xx

σ

ε

ρφ 1



xxσ

x

y

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000)(

),,(y

zyxxxσ

σ

IMyyxx −=)(σ

Tensões Normais de Flexão

MM



F

x

y

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00000000),(

),,(yx

zyxxxσ

σ

IxMyyxxx)(),( −=σ

Tensões Normais de Flexão

xxσ


Flexão de Vigas

Tensões de Cisalhamento devido à flexão


Flexão de Vigas


P

Lâminas “Coladas”


P

Flexão de Vigas


Lâminas Independentes


P

Flexão de Vigas



Flexão de Vigas


Lâminas “Coladas” Lâminas Independentes

Tensões de cisalhamento horizontais impedem o deslizamento entre as lâminas

Lâminas deslizam umas sobre as outras


xyσ

Flexão de Vigas


Forças de cisalhamento

horizontal

Tensões Cisalhantes

xyσ


Tensões cisalhantes em vigas sob carregamentos de flexão

)(xq

x

y

)(xM

)(xV



)(xq

)( xxM ∆+

)( xxV ∆+)(xM

)(xV

x

y



Equilíbrio horizontal (direção x)

y

x

),( yxxxx ∆+σ),( yxxxσ

y

xz

y

xz

y

xz




21

2

0),(),()( 22

cyccy

dAxxdAxyVc

y xx

c

y xxH

<<−<<

=∆++−− ∫∫ξ

ξσξσ

y

),( yxxxx ∆+σ

),( yxxxσ2c

1cx

ξ)(yVH




IxxMxx

IxMx

xybyyV

dAxxdAxyV

xx

xx

xyH

c

y xx

c

y xxH

)(),(

)(),(

)()()(

0),(),()( 22

∆+−=∆+

−=

∆=

=∆++−− ∫∫

ξξσ

ξξσ

σ

ξσξσ

),( yxxxx ∆+σ

),( yxxxσ

)(yVH




0)()()()( 22 =∆+

−+∆− ∫∫c

y

c

yxy dAI

xxMdAI

xMxyby ξξσ

definindo ∫=2)(

c

ydAyQ ξ

xM

ybIyQ

xxMxxM

ybIyQyxy ∆

∆−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆−∆+

−=)()()()(

)()()(σ

fazendo e recordando que dxdMxV −=)(0→∆x

IybyQxVyxy )()()()( =σ

),( yxxxx ∆+σ

),( yxxxσ

)(yVH



Exemplo: Viga de seção retangular

y

zh

b

ξdbdAbhIhyhbyb ==<<−= ,12,22,)( 3

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−== ∫

22 2

418

)(hybhdbyQ

h

yξξ

IybyQxVyxy )()()()( =σ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

4123)(

hy

bhVyxyσ



Viga de seção retangular:

y

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

4123)(

hy

bhVyxyσ

bhVy xyxy 2

3)0(})(max{ ==σσ



Viga de seção Circular:

y

AVy xyxy 3

4)0(})(max{ ==σσ

IybyQVyxy )()()( =σ

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