mecânica dos sólidos eme302

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

Mecânica dos Sólidos

EME302

Prof. [email protected]

Sala IEM a definir / ramal a definir

mailto:[email protected]

ORIENTAÇÕES GERAIS

EME 302 PG:2

• Horário de Aula- Segunda-feira: 16:40h – 19:40h- Quarta-feira: 13:30h – 15:30h

• Local: sala I2103 (prédio elétrica)

• Provas: 2 (1 por bimestre) + 1 exame– Datas: Prova 1 (XX/YY) Prova 2 (XX/YY) Exame (XX/YY)

• Trabalhos: 4 listas de exercícios (2 por bimestre)Para contribuir na nota: 4 exercícios em sala de aula

• Média final: média da provas somado até 10 pontos (exercícios em sala de aula)

• Atendimento ao aluno: toda quarta-feira pela manhã no IEM

Orientações Gerais

Bibliografia Principal

• MERIAM,J.L.,KRAIGE L.G. Mecânica - Estática. Quinta Edição, LTC Editora, 2004.

• BEER, F. P., JOHNSTON, E. R. Resistência dos Materiais. Makron Books, 3a edição, 1995.

• BEER, F. P., JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros - Estática. Makron Books, 1994.

• HIBBLER, R. C. Mechanics of Materials. Printice Hall, 1997

EME 302 - 3

Objetivo

• Objetivo do Curso:

Fornecer ao aluno os fundamentos teóricos necessários para se calcular esforços, tensões e deformações em elementos estruturais do

projeto mecânico.

EME 302 PG:4

Conteúdo Programático

1. Sistemas de Forças2. Estática dos Corpos Rígidos3. Estruturas (Treliças, Pórticos e Máquinas)4. Centro de Gravidade Momento Estático5. Momentos e Produtos de Inércia6. Esforços em Vigas7. Conceito de Tensão

1 Prova Bimestral

EME 302 PG:5

Conteúdo Programático

8. Tensões e Deformações para Cargas Axiais9. Torção10. Flexão Pura11. Flexão Simples12. Tensões Combinadas13. Análise de Tensões no Estado Plano

2 Prova Bimestral

EME 302 PG:6

Revisão

EME 302 - 7

Unidades Básicas Sistema Internacional Sistema InglêsMassa kg lbTempo s s

Comprimento m ftTemperatura C R

Fatores de Conversão

Massa: 1 kg = 2,205 lb 1 kg = 35,27 oz 1 slug= 14,59 kg

Comprimento: 1 m = 3,28 ft 1 in = 25,4 mm 1 yd = 0,9144 m

1 milha 1,61 km 1 ft = 12 in

Revisão

EME 302 PG:8

Unidades Derivadas Sistema Internacional Sistema Inglês

Área m2 ft2

Volume m3 ft3

Velocidade m/s ft/sDensidade kg/m3 lb/ft3

Deformação m/m ft/ftForça N (kg m/s2) lbf

Tensão Pa (N/m2) PSI (lbf/ft2)Energia J (N.m) lbf.ft

(lbf/in2)

Revisão

EME 302 PG:9

PREFIXOS

Revisão

Exemplos:• Converter 2km/h para m/s e depois para ft/s

EME 302 PG:10

Revisão

• de km/h para m/s:

• de m/s para ft/s:

EME 302 PG:11

Revisão

• Avaliar expressões em unidades SI com prefixo adequado

EME 302 PG:12

Revisão

EME 302 PG:13

= 300 M N2

Introdução - Conceitos

• Mecânica dos sólidos é essencial para o projeto e análise de componentes

• Mecânica é dividida em três grandes áreas: mecânica dos corpos rígidos, dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos

• A mecânica dos corpos rígidos é dividida em duas áreas: Estática e Dinâmica

• A Estática lida com equilíbrio dos corpos em descanso ou velocidade constante, ou seja, aceleração nula.

• A Dinâmica lida com a condição de movimento acelerado de corpos.

EME 302 PG:14

Introdução – Conceitos Estática

EME 302 PG:15

Modelos e idealizações

Partícula: corpo que contém massa, mas seu tamanho pode ser negligenciado (simplificação)

Corpo rígido: corpo que não deforma sob efeito de carregamentoForças concentradas: são forças que atuam em um ponto de um corpo

EME 302 PG:16

Introdução – Conceitos Estática

Leis de Newton

• Primeira Lei : uma partícula em descanso, ou movendo-se a velocidade constante, tende a permanecer em seu estado (equilíbrio).

EME 302 PG:17

Leis de Newton

• Segunda Lei: uma partícula de massa m onde uma força F atua, ganha aceleração a que tem a mesma direção e magnitude proporcional à força aplicada.

EME 302 PG:18

Leis de Newton

• Terceira Lei : forças mútuas de ação e reação entre duas partículas são iguais, opostas e colineares.

EME 302 PG:19

Escalar e Vetor

• Escalar é uma quantidade física (positiva ou negativa) que pode ser especificada por sua magnitude. Exemplo: massa, comprimento e tempo

• Vetor é uma quantidade física que para sua descrição requer magnitude e direção. Exemplos na estática: força, posição e momento

EME 302 PG:20

Vetor: Indicação gráfica

• Um vetor é caracterizado por sua intensidade (comprimento da linha), direção (ângulo entre uma referência e a linha de ação) e o sentido (indicado pela seta).

EME 302 PG:21

Operações com vetores

• Multiplicação e divisão de vetores por escalares

EME 302 PG:22


• Adição de Vetores

Regra Paralelogramo: R=A+B

EME 302 PG:23

Regra do Paralelogramo: lei baseada em evidência experimental, não pode

ser comprovada matematicamente

Regra Triângulo: R=A+B


• Subtração de Vetores

EME 302 PG:24

Vetor Adição de Forças

• Determinar Vetor Resultante Força: FR = F1+F2

EME 302 PG:25


• Determinar componentes de um vetor de força

EME 302 PG:26


• Adição de várias forças

EME 302 PG:27

Resolução: Trigonometria

• Trigonometria

EME 302 PG:28

Lei Cossenos Lei Senos

Exemplo 1

1) Um olhal é submetido à duas forças, F1 e F2. Determinar a intensidade e direção da força resultante.

EME 302 PG:29

Exemplo 1

• Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo:

EME 302 PG:30

Exemplo 1

• Trigonometria– Determinar força resultante:

EME 302 PG:31

Exemplo 1

EME 302 PG:32

• Trigonometria– Determinar direção força resultante:

Exemplo 2

• Determinar a intensidade dos componentes da força de 600 lb aplicada na estrutura da figura no eixos u e v.

EME 302 PG:33

Exemplo 2

EME 302 PG:34


Exemplo 2

• Determinação da intensidade das componentes

EME 302 PG:35

Exemplo 3

• Determinar a intensidade da componente de força F e da força resultante FR, considerando que a FR é direcionada ao longo do eixo y positivo.

EME 302 PG:36

Exemplo 3


EME 302 PG:37

Exemplo 3

• Intensidade componente F:

• Intensidade da resultante FR:

EME 302 PG:38

Exemplo 4

• Na estrutura abaixo é requerido que a resultante de força seja direcionada ao longo do eixo x e que F2 tenha intensidade mínima. Determinar a intensidade, o ângulo , e a força resultante.

EME 302 PG:39

Exemplo 4


OBS: F2 é mínimo quando é 90

EME 302 PG:40

Exemplo 4

• Trigonometria

EME 302 PG:41

Sistemas Bidimensionais de Força

EME 302 PG:42

• Notação Escalar Utilizando ângulo

Utilizando proporção de lados


• Notação vetorial:

Vetores unitários: i e j

EME 302 PG:43


• Resultante de forças coplanares

EME 302 PG:44

Notação vetorial

Notação escalar


EME 302 PG:45

Intensidade vetor resultante Direção vetor resultanteDecomposição forças

Exemplo 1

• A estrutura abaixo é submetida à forças F1 e F2. Determinar a intensidade e direção da força resultante utilizando notação escalar e vetorial.

EME 302 PG:46

Exemplo 1 – Notação escalar

EME 302 PG:47

Intensidade vetor resultante

Decomposição de forças

Direção do vetor resultante

EME 302 PG:48

Exemplo 1 – Notação vetorial

EME 302 PG:48

Intensidade vetor resultante

Decomposição de forças

Direção do vetor resultante

Momento de uma força em relação a um ponto

• Formulação escalar: A intensidade de momento é dada por: Mo= F.d , onde d é distância perpendicular do eixo no ponto O para linha de ação da força. O momento é dado em N.m

EME 302 PG:49

M= F.d M= 0 M= F.d.sen

• Direção do momento é definido pelo eixo Momento. A regra da mão direita é utilizada para estabelecer o sentido (dedos) e direção do momento (polegar).

EME 302 PG:50



• Momento Resultante

EME 302 PG:51

Convenção

Sentido horário (negativo)

Sentido Anti-horário (positivo)

Exemplo 1

• Determinar o momento da força sobre o ponto O para cada um dos casos abaixo:

EME 302 PG:52

Exemplo 1

• Resultados:

EME 302 PG:53

Exemplo 2

• Determinar o momento resultante das forças atuando no ponto O da estrutura abaixo.

EME 302 PG:54

Exemplos

• Resultado:

EME 302 PG:55

• Formulação Vetorial: magnitude e direção

EME 302 PG:56



• Formulação Vetorial (Cartesiano)

EME 302 PG:57

rx,ry,rz são componentes do vetor posição r do ponto O a qualquer ponto

da linha de ação da força

Fx,Fy,Fz são componentes do vetor força


EME 302 PG:58

Mo = Determinante


• Momento Resultante de um Sistema de Forças

EME 302 PG:59

MRo = r1xF1 + r2xF2 + r3xF3

Exemplo

• Determinar o momento produzido pela força F sobre o ponto O. Expressar o resultados em termos de vetor cartesiano.

EME 302 PG:60

Exemplo 1

• Resolução: Tanto o vetor rA como o vetor rB podem ser utilizados para determinar o momento no ponto O.

EME 302 PG:61

Exemplo 1

EME 302 PG:62

• A força F expressa em vetor cartesiano é dada por:

Exemplo 1

Assim, Mo fica:

EME 302 PG:63EME 302 PG:63

Resolver para vetor rB

Exemplo 2

• Duas forças atuam na estrutura abaixo. Determinar o momento resultante na flange (ponto O). Expressar resultados como vetor cartesiano.

EME 302 PG:64

Exemplo 2

• Vetores posição

• Momento resultante

EME 302 PG:65

Exemplo 2

EME 302 PG:66

Cálculo da direção do momento resultante

Teorema Varignon

• O momento de uma força sobre um ponto é igual à soma dos momentos dos componentes da força sobre o ponto.

Desde que , fazendo a distributiva:

EME 302 PG:67

Para problemas bidimensionais:

Princípio Transmissão de Força

• Define que a condição de equilíbrio (ou movimento) de um corpo-rígido permanecerá a mesma, se a força F atuando em um dado ponto do corpo rígido for substituída por uma força F’ de mesma intensidade e direção, mas atuando em um ponto diferente (na mesma linha de ação)

EME 302 PG:68

F F’

F é equivalente a F’

Princípio Transmissão de Força

• Matematicamente:

EME 302 PG:69

A força F pode ser aplicada a qualquer ponto de sua linha de ação e o momento sobre o ponto O será o mesmo.

Exemplo

• Determinar o momento da força F sobre o ponto O.

EME 302 PG:70

Exemplo

EME 302 PG:71

• Solução I Determinar o braço de momento

em relação ao ponto O

Momento em O:

Momento em O, negativo, direção para o quadro

Exemplo

• Solução II: decompor forças em x e em y

EME 302 PG:72

Exemplo

• Solução III: orientar os eixos x e y de forma a coincidir com o eixo da barra eliminando o momento em x

EME 302 PG:73

Exemplo

• Determinar o momento da força F sobre o ponto O (solução escalar e vetorial)

EME 302 PG:74

Exemplo

• Solução I (escalar): decompor a força nas componentes Fx e Fy.

EME 302 PG:75

Exemplo

• Solução II (vetorial): escrever os vetores força e posição

EME 302 PG:76

Resolver: Mo = r x F (determinante matriz)

Binário e Momento de um Binário

• Duas forças F e –F com mesma intensidade, linha de ação paralelas, de sentidos opostos e separadas por uma distância d são chamadas de binários.

EME 302 PG:77

A força resultante de um binário é nula. O binário gera somente tendência de rotação.

Binário e Momento de um Binário

• O momento produzido por um binário é chamado de momento binário.

EME 302 PG:78

M= (rB x F) + (rA x (–F)) = (rB – rA) x F

rB = rA + r ou r = rB - rA

Portanto: Mo = r x F (Vetorial)

Exemplo

• Determinar o momento binário resultante de três binários atuando na estrutura da figura abaixo.

EME 302 PG:79

Exemplo

• Solução:Por convenção: momento binário no sentido anti-horário positivo.

S F.d = (F1.d1) + (F2.d2) + (F3.d3)S F.d = (-200lb).(4ft) + (450lb).(3ft) + (-300lb) (5ft)S F.d = MR = -950 lb.ft (sentido horário)

EME 302 PG:80

Exemplo

• Determinar a intensidade e direção do momento binário atuando na engrenagem

EME 302 PG:81

Exemplo

• Solução: decompor forças em x e y

EME 302 PG:82

Redução de sistemas de força e momento

• Algumas vezes é conveniente reduzir um sistema de forças e momentos binários atuando em um corpo substituindo por um sistema equivalente, de uma força e um conjugado.

EME 302 PG:83

Sistema Equivalente

Exemplo

• Substituir as forças na estrutura abaixo por um sistema equivalente de força e momento atuando no ponto O.

EME 302 PG:84

Exemplo

• Solução: decompor as forças de 3 kN e 5 kN nos eixos x e y.

EME 302 PG:85

Exemplo

• Achar a intensidade e direção do vetor força resultante

• Somatória dos momentos:

(MR)o = (3kN)sen30(0,2m) – (3kN) cos30(0,1m) + (3/5)5kN(0,1m) -4kN(0,2m) – (4/5)5kN(0,5m)

(MR)o = -2,46 kN.m (sentido horário)

EME 302 PG:86

Exemplo

• A estrutura abaixo é submetida a um momento M e forças F1 e F2. Substituir esse sistema por um sistema equivalente resultante de força e momento atuando na base O.

EME 302 PG:87

Dica: utilizar notação vetorial

Exemplo

• Solução: expressar forças e momento na forma de vetor

EME 302 PG:88

Exemplo

• Força resultante:

• Momento Resultante em O

EME 302 PG:89

Momento de uma força sobre um eixo

• Em algumas situações conhecer uma componente do momento (My) é mais importante do que determinar o momento total (Mo).

EME 302 PG:90


• Análise escalar:Para um eixo qualquer (ex: eixo a), o momento é dado por:

Ma= F . da

EME 302 PG:91

Exemplo prático: para evitar tombamento, momento gerado pela força F deve ser calculado sobre um eixo que passa pelos pontos A e B do guindaste.

Eixo AB


• Análise Vetorial

EME 302 PG:92

• uax , uay , uaz representam os componentes x,y,z de um vetor unitário que define a direção do eixo a

• rx, ry,rz representam os componentes do vetor posição que qualquer ponto O do eixo a, para qualquer ponto da linha de ação da força

• Fx, Fy, Fz representam os componentes x,y,z do vetor força

mecânica dos sólidos eme302

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