mecânica dos sólidos aula 12

Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008

Mecânica dos Sólidos 12ªAula 1

Sumário e Objectivos

Sumário: Flexão segundo os dois Eixos Principais de Inércia ou Flexão Desviada. Flexão Combinada com Esforço Axial.

Objectivos da Aula: Apreensão da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão Desviada e da forma de Cálculo das Tensões Axiais em Secções sujeitas a Flexão combinada com Esforço Axial.



Ponte



Garagem para o Barco



Estrutura de Carroçaria de Veículo



Ponte



Vigas Compósitas



Flexão de Vigas Constituídas por Vários Materiais

As componentes estruturais tipo viga são muitas vezes constituídas por mais que um material constituindo as chamadas vigas não homogéneas. Alguns exemplos de vigas deste tipo são, vigas de madeira reforçadas a aço, viga constituída de dois materiais, por exemplo, metálicos, vigas de betão armado e as vigas de plásticos reforçados por fibras em geral conhecidas por vigas compósitas. A teoria da flexão de vigas sujeitas a momentos flectores pode ser facilmente adaptada ao estudo de vigas constituídas por dois ou mais materiais.



Vigas Compostas

x

y y

z

y

z

As vigas compostas que vão ser consideradas são vigas com camadas isotrópicas, embora estas vigas compostas apareçam muitas vezes constituídas com camadas anisotrópicas, nomeadamente ortotrópicas.

Viga Secção da Viga



Viga Constituída por Dois Materiais - Método Directo



Viga Constituída por Dois Materiais - Posição do Eixo Neutro

Sendo x a direcção do eixo da viga, a condição de equilíbrio de forças na direcção axial, x, implica que seja ∫ ∫

1 2

x 1 x 2A A

d A + d A = 0σ σ

1 1x1 x kyE E= =σ ε − 2 2x 2 x kyE E= =σ ε −Tendo em conta que eE que b b

y y y= −

∫ ∫ ∫ ∫1 2 1 2

1 2 1 2b b bA A A A

dA + dA = ( dA + dA)y y yE E E E

Obtém-se:

ou ∫ ∫

∫ ∫1 2

1 2

1 2b bA A

b1 2

A A

dA + dAy yE E=y

dA + dAE E

representa a distância do centro de gravidade relativamente àbase da secção, por exemplo.



Viga Constituída por Dois Materiais - Tensões

A equação de equilíbrio de momentos toma a forma

( )

⎛ ⎞∫ ∫ ∫ ∫⎜ ⎟

⎝ ⎠1 2 1 2

2 2z 1 2x1 x2

A A A A

1 1 2 2

= - ydA - ydA = k dA + dA =y yσ σM E E

= k +E I E I

donde z

1 1 2 2

Mk =+E I E I

1 1x1 x kyE E= =σ ε − 2 2x 2 x kyE E= =σ ε −Tendo em conta

e 1 zx1

1 1 2 2

ME= - yσ+E I E I

2 zx2

1 1 2 2

ME= - yσ +E I E I

Tensões



Secção com n Materiais

Coordenada do eixo neutro ∑ ∫

∑ ∫

i

i

n

i bi = 1 A

nbi

i = 1 A

d AyE=y

d AE

Tensões no material j

∑

j zxj n

i ii=1

ME= - yσE I



Método da Secção Equivalente

A equação que representa o equilíbrio de Forças segundo xx e que é

1 2

1 2A A

ydA ydA 0E E+ =∫ ∫

pode ser rescrita com a forma, dividindo ambos os membros por 1E

1 2A AydA nydA 0+ =∫ ∫ onde n representa o cociente dos módulos

de Young: E2/E1.

Nestas condições, podemos constatar por análise da equação anterior que a posição do eixo neutro não se altera se cada elemento de área dA, do material 2, for multiplicado pelo factor n, conservando-se inalterada a distância y do elemento de área ao eixo neutro.



Método da Secção Equivalente

(2)

z(1)

y

Secção

y

b b

nb

byby

n=E2/E1



Método da Secção EquivalenteTensões

As tensões x1σ no material 1, podem ser calculadas considerando o momento de inércia da Secção equivalente e 1 2nI I I= +

zx1

e

M= - yσI

As tensões no material 2 não podem ser calculadas directamente considerando a secção equivalente, há necessidade de multiplicar por n

zx2

e

M= -n yσI



Vigas de Betão



Exemplo 11.1

(1)

(2)

(3)

200mm

60mm

70mm

120mm

Considere-se a viga de secção composta por três materiais distintos, os materiais 1,2,3 como se representa na figura. Na face superior da viga e na secção A-A estácolocado um extensómetro de acordo com o qual a deformação axial na secção A-A e na referida face é -5× , determine o momento a que a referida secção estásujeita.Módulos de Young dos

Materiais

410−

1 2 370GPa; 100GPa; 200GPaE E E= = =



Exemplo 11.1 – Resolução

Começa por determinar-se a posição do centro de gravidade da Secção. Esse cálculo pode ser feito pelo método directo ou pelo método da Secção equivalente. Procedendo a esse cálculo pelo método directo, obtém-se ∑ ∫

∑ ∫

i

i

n

i bi=1 1 1 2 2 3 3A 1 2 3

nb1 1 2 2 3 3i

i=1 A

dAyE + +y y yE A E A E A= =y+ +E A E A E AdAE

=137.4mm

ou pelo método da Secção Equivalente

1 1 2 2 31 2 3b

1 2 2 31

+ +y y yn A n A A=y+ +A n A An

=137.4mm sendo 1 21 2

3 3

E E;n nE E

= =



Exemplo 11.1 – Resolução

A tensão correspondente à deformação axial lida é:9 4

2x2

82x2

6x2

82

100 5 50MPa10 10Eky 192,6 k10E

50 10ky 192.6 10E

−= ε = − × × × = −σ= − = − ×σ

×σ= = = −× +

z

1 1 2 2 3 3

M+E I E I E I

Desta última igualdade pode obter-se o valor do momento.



Flexão Segundo os Dois Eixos Principais ou Flexão Desviada

Momento segundo um eixo que não coincide com os eixos principais de inércia da secção.



Flexão Desviada

O momento aplicado, M, pode ser decomposto em dois momentos actuantes segundo as direcções principais de inércia da Secção e que são de acordo com a figura e . Uma vez que a Secção considerada tem simetria em relação aos eixos dos yy e dos zz, as formulas deduzidas para as tensões axiais em termos do Momento Flector são aplicáveis, à flexão no plano Oxy e no plano Oxz, ou seja aplicando o princípio da Sobreposição de Efeitos,

yM zM

yzx

z y

MM= - y + zσI I



Distribuição de Tensões



Eixo Neutro

O eixo neutro da secção que corresponde a tensões axiais nulas ocorre quando for:

yz

z y

MM y z 0I I

− + =y z

y

y M I= +Iz Mz

onde y/z representa a tangente do ângulo g, o qual representa o ângulo que a linha neutra faz com o eixo dos zz e corresponde à equação de uma recta que passa pelo centroide da Secção

y = M sen αM

z M cosM = αz

y

Itan g tan gI

γ = α



Exemplo 12.1

Considere a viga com tramo em consola representada na figura, sendo a distância entre apoios de 4m e o tramo em consola de 1m, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de intensidade 10kN/m, cujo plano de solicitação faz um ângulo β=60º com o eixo dos yy, como se representa na referida figura. A secção da viga é rectangular de dimensões 100×200mm. Determine as tensões axiais máximas a que a viga está sujeita.

4m 1m

10kN/mSecção Recta

Direcção da Carga

β

y

z

100mm

200mm

AB C



Exemplo 12.1- Resolução

Podem determinar-se os Esforços Transversos e Momentos Flectores e calcular o Momento Máximo instalado. Começa por calcular-se as Reacções de Apoio que são tais que A B 50R R+ =

B4 125R =

B 31.25kNR =

A 18.75kNR =

No troço AB os Esforços Transversos e os Momentos são

T 18.75 10x= − T=0 implica x=1.875m

2M 18.75x 5x= − para x=1.875m é M=17.578kN.m para x=4m é M=-5kN.m




No Troço BC da viga os Esforços Transversos e Momentos Flectores são

T 50 10x= −2 2M 18.75x 31.25(x 4) 5 50x 5 125x x= + − − = − −

para x=4 M=-5kN.m para x=5 M=0

O momento Máximo é M=17.578kN.m e ocorre na secção que corresponde a x=1.875m, portanto num ponto entre apoios. Este momento tem componentes segundo yy e segundo zz que são

z M cos 17.578 cos 60 17.578 0.5 8.789M = β = × = × =

y Msen 17.578 sen60 17.578 3 2 15.223kN.mM = β = × = × =




Antes de calcular as tensões há necessidade de calcular os Momentos de Inércia, que são

3 7 4z 100 /12 6.6667200 10I mm= × = ×

3 7 4y 200 /12 1.6667100 10I mm= × = ×

Os pontos onde as tensões são potencialmente mais elevadas são os quatro cantos da secção e nesses pontos as tensões axiais são

Para z=50mm e y=-100mm3 3

yz 3 3x 5 5

z y

8.789 15.223M 10 10M y z ( 100 ) (50 )10 106.6667 1.666710 10I I

− −− −

× ×= − + = − − × + × =σ

× ×58.85Mpa




Para z=-50mm e y=-100mm3 3

yz 3 3x 5 5

z y

8.789 15.223M 10 10M y z ( 100 ) ( 50 )10 106.6667 1.666710 10I I

− −− −

× ×= − + = − − × + − × =σ

× ×-32.49MPa

Para z=-50mm e y=100mm3 3

yz 3 3x 5 5

z y

8.789 15.223M 10 10M y z (100 ) ( 50 )10 106.6667 1.666710 10I I− −

− −

× ×= − + = − × + − × =σ

× ×-58.85Mpa

Para z=50mm e y=100mm

3 3yz 3 3

x 5 5z y

8.789 15.223M 10 10M y z (100 ) (50 )10 106.6667 1.666710 10I I

− −− −

× ×= − + = − × + × =σ

× ×32.49MPa



Exemplo 12.2-Flexão Desviada

Considere-se uma viga cuja secção tem a forma em L como se representa na figura e determine-se as tensões axiais de flexão na Secção da viga em que o Momento Flector éigual a 20kN.m segundo zz.



Exemplo 12.2-Resolução

Começa por Determinar-se a posição do centro de Gravidade que é tal que

b

b

150 30 75 170 30 15 43.125mmz 150 30 170 30200 30 100 120 30 15 68.125mmy

200 30 120 30

× × + × ×= =

× + ×× × + × ×

= =× + ×

Seguidamente determinam-se os momentos de inércia e produto de Inércia em relação aos eixos Oy e Oz

( )

( )

32

z

32 6 4

30 170 30 170 200 68.125 85I 12150 30 150 30 68.125 15 36.526 10 mm12

×= + × × − − +

×+ + × × − = ×




( )

( )

32

z

32 6 4

170 30 30 170 43.125 15I 1230 150 150 30 75 43.125 17.426 10 mm12

×= + × × − +

×+ + × × − + = ×

( )( )( )( )

yz

6 4

30 170 200 68.125 85 43.125 15I150 30 68.125 15 75 43.125 14.344 10 mm

= × × − − − +

+ × × − + − + = ×




Os momentos de Inércia Principais são

2z y z y 62 4

max 1 yzI I I I 44.208 10I I I mm22+ −⎛ ⎞= = + + = ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

2z y z y 62 4

min 2 yzI I I I 9.744 10I I I mm22+ −⎛ ⎞= = − + = ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

O ângulo q é tal que yz

z y

2Itan g2 1.5020I I

θ = =−

ou seja 28.187ºθ =




Uma vez conhecida a posição dos momentos de Inércia Principais podem considerar-se as fórmulas de flexão anteriormente deduzidas e determinar as tensões axiais considerando a flexão em relação aos eixos principais.

3 4z´ M cos 20 cos 28.187 1.76 N.m10 10M = θ = × = ×

3 3y´ Msen 20 sen28.187 9.443 N.m10 10M = θ = × = ×

As tensões são calculadas a partir da fórmula seguinte e nos pontos críticos

y´z´x

z´ y´

MM y´ z´I I

= − +σ



Momento Combinado com Esforço Axial



Momento Combinado com Esforço Axial

yM = Pz A excentricidade e tem duas componentes, e , o momento resultante Pe pode decompor-se em dois momentos um segundo y que é

e um momento segundo z que é zM = P y .

As tensões axiais que se desenvolvem na viga resultam do esforço axial, P e dos dois momentos, por aplicação do princípio da sobreposição de efeitos, são

yzx

z y

P MM= - y + zσA I I



Problemas propostos

1. Considere uma viga encastrada de secção cruciforme, como se representa na figura seguinte. A viga está sujeita a uma carga, P=100N, com a orientação relativa à secção que se representa na figura, ou seja de 45º em relação aos eixos principais de Inércia. Determine:

a) as tensões longitudinais máximas na secção que se encontra a 30cm do ponto de aplicação da carga.

b) os pontos que na referida secção correspondem a tensões longitudinais nulas.



Problemas Propostos

P

x

P

y

z

10mm 6mm

15mm

25mm

3m

Eixos de Simetria



Problemas Propostos

2. Considere uma viga com vão de 4m e com uma secção rectangular de dimensões, 15×20cm, como se representa na figura. A viga está sujeita a uma carga pontual, P=6kN, no ponto médio que actua na direcção diagonal da secção, como se representa na referida figura. Determine as tensões longitudinais máximas e determine a orientação do plano neutro da secção.

2m 2m

P P=6kNy

z200mm

150mm



Problemas Propostos

3. Considere uma viga encastrada de secção em Z, sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre e segundo o eixo dos yy. O comprimento da viga é de 2m. A intensidade da carga é P=15kN. As dimensões da secção estão representadas na figura conjuntamente com os eixos. A espessura da secção é constante e igual a 20mm. Determine as tensões axiais máximas.

z

y

200mm

100mm

Nota: Secção não simétrica



Problemas Propostos

Resolução:

Cálculo dos Momentos de Inércia e Produtos de Inércia da Secção com vista à obtenção dos Eixos Principais de inércia e momentos de inércia principais.

Decomposição da carga segundo as direcções principais.

A partir daí a resolução segue o caminho usual.



Problemas Propostos

4. Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura, sujeita a uma carga axial segundo o eixo da viga e a uma carga uniformemente repartida com a orientação indicada em relação aos eixos principais de inércia da secção.

30kN 30kN

P=15kN/m

1.5m 1.5m 1m

y

x

P

Espessura da Secção constante e igual a 20mm

150mm

120mm

mecânica dos sólidos aula 12

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