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Prof. Wanderson S. Paris -‐ [email protected] MECÂNICA DOS SÓLIDOS
Aula 11 -‐ Propriedades Mecânicas dos Materiais / Coeficiente de Poisson.
Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng. [email protected]
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Propriedades Mecânicas dos Materiais
Propriedades Mecânicas dos Materiais
Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
As propriedades mecânicas de um material devem ser conhecidas para
que os engenheiros possam relacionar a
deformação medida no material com a tensão
associada a ela.
• As propriedades mecânicas de um material devem ser conhecidas para que os engenheiros possam relacionar a deformação medida no material com a tensão associada a ela.
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Ensaio de Tração e Compressão
• Teste principalmente u;lizado para determinar a relação entre a tensão normal média e a deformação normal média.
Ensaio de Tração e Compressão
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Resistência dos Materiais
Teste principalmente utilizado para determinar a relação entre
a tensão normal média e a deformação normal média.
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Máquina Para Ensaio de Tração e Compressão Máquina Para Ensaio de Tração e Compressão
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Resistência dos Materiais
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Relações de Tensão e Deformação
• Com os dados registrados no ensaio, se determina a tensão nominal ou de engenharia dividindo a carga aplicada P pela área da seção transversal inicial do corpo de prova A0.
Relações de Tensão e Deformação
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Resistência dos Materiais
Com os dados registrados no ensaio, se determina a tensão nominal ou de engenhariadividindo a carga aplicada P pela área da seção transversal inicial do corpo de prova A0.
0A
P=!
A deformação normal ou de engenharia é encontrada dividindo-se a variação no comprimento de referência """", pelo comprimento de referência inicial L0.
0L
"# =
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Relações de Tensão e Deformação
• A deformação normal ou de engenharia é encontrada dividindo-‐se a variação no comprimento de referência δ, pelo comprimento de referência inicial L0.
Relações de Tensão e Deformação
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Resistência dos Materiais
Com os dados registrados no ensaio, se determina a tensão nominal ou de engenhariadividindo a carga aplicada P pela área da seção transversal inicial do corpo de prova A0.
0A
P=!
A deformação normal ou de engenharia é encontrada dividindo-se a variação no comprimento de referência """", pelo comprimento de referência inicial L0.
0L
"# =
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Diagrama Tensão x Deformação Diagrama Tensão x Deformação
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Resistência dos Materiais
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Tipos de Falhas em Corpos de Prova Tipos de Falhas em Corpos de Prova
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Resistência dos Materiais
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Materiais Dúcteis e Frágeis
• Materiais Dúcteis: Qualquer material que possa ser subme;do a grandes deformações antes da ruptura é chamado de material dúc;l. Freqüentemente, os engenheiros escolhem materiais dúcteis para o projeto, pois estes são capazes de absorver choque ou energia e, quando sobrecarregados, exibem, em geral, grande deformação antes de falhar.
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Materiais Dúcteis e Frágeis
• Materiais Frágeis: Os materiais que apresentam pouco ou nenhum escoamento são chamados de materiais frágeis.
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% de Alongamento e Redução de Área
• A porcentagem de alongamento é a deformação de ruptura do corpo de prova expressa como porcentagem.
Porcentagens de Alongamento e Redução de Área
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Resistência dos Materiais
%)100(0
0 !"
=L
LLoalongamentdemporcentage
rup
%)100(0
0 !"
=A
AAáreadereduçãodemporcentage
rup
A porcentagem de alongamento é a deformação de ruptura do corpo de prova expressa como porcentagem.
A porcentagem de redução de área é outra maneira de se determinar a ductilidade. Ela é definida na região de estricção.
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% de Alongamento e Redução de Área
• A porcentagem de redução de área é outra maneira de se determinar a duc;lidade. Ela é definida na região de estricção.
Porcentagens de Alongamento e Redução de Área
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Resistência dos Materiais
%)100(0
0 !"
=L
LLoalongamentdemporcentage
rup
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=A
AAáreadereduçãodemporcentage
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A porcentagem de alongamento é a deformação de ruptura do corpo de prova expressa como porcentagem.
A porcentagem de redução de área é outra maneira de se determinar a ductilidade. Ela é definida na região de estricção.
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Lei de Hooke Lei de Hooke
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Resistência dos Materiais
A maioria dos materiais da engenharia apresentam relação linear entre tensão e deformação na região de elasticidade.
Conseqüentemente , um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na
deformação. Essa característica é conhecida como Lei de Hooke.
!" #= E
Onde: E = módulo de elasticidade ou constante de proporcionalidade.
• A maioria dos materiais da engenharia apresentam relação linear entre tensão e deformação na região de elas;cidade. Conseqüentemente , um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na deformação. Essa caracterís;ca é conhecida como Lei de Hooke.
Lei de Hooke
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Resistência dos Materiais
A maioria dos materiais da engenharia apresentam relação linear entre tensão e deformação na região de elasticidade.
Conseqüentemente , um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na
deformação. Essa característica é conhecida como Lei de Hooke.
!" #= E
Onde: E = módulo de elasticidade ou constante de proporcionalidade.
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Coeficiente de Poisson
• Representa a relação entre as deformações lateral e longitudinal na faixa de elas;cidade. A razão entre essas deformações é uma constante denominada coeficiente de Poisson.
• O sinal nega;vo é u;lizado pois o alongamento longitudinal (deformação posi;va) provoca contração lateral ( deformação nega;va) e vice-‐versa.
Coeficiente de Poisson
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Resistência dos Materiais
Representa a relação entre as deformações lateral e longitudinal na faixa de elasticidade. A razão
entre essas deformações é uma constante denominada coeficiente de Poisson.
long
lat
!
!" #=
O sinal negativo é utilizado pois o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração
lateral ( deformação negativa) e vice-versa.
Coeficiente de Poisson
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Resistência dos Materiais
Representa a relação entre as deformações lateral e longitudinal na faixa de elasticidade. A razão
entre essas deformações é uma constante denominada coeficiente de Poisson.
long
lat
!
!" #=
O sinal negativo é utilizado pois o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração
lateral ( deformação negativa) e vice-versa.
Coeficiente de Poisson
Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
Representa a relação entre as deformações lateral e longitudinal na faixa de elasticidade. A razão
entre essas deformações é uma constante denominada coeficiente de Poisson.
long
lat
!
!" #=
O sinal negativo é utilizado pois o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração
lateral ( deformação negativa) e vice-versa.
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Coeficiente de Poisson
• O coeficiente de Poisson é adimensional e seu valor se encontra entre zero e meio.
Coeficiente de Poisson
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Resistência dos Materiais
O coeficiente de Poisson é adimensional e seu valor se encontra entre zero e meio.
5,00 !!"
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Exercício 1
• A haste de alumínio mostrada na figura (a) tem seção transversal circular e está subme;da a uma carga axial de 10 kN. Se uma parte do diagrama tensão-‐deformação do material é mostrado na figura (b), determinar o alongamento aproximado da haste quando a carga é aplicada. Suponha que Eal = 70 GPa.
Exercício 2Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
2)A haste de alumínio mostrada na figura (a) tem seção transversal circular e estásubmetida a uma carga axial de 10 kN. Se uma parte do diagrama tensão-deformação do material é mostrado na figura (b), determinar o alongamento aproximado da haste quando a carga é aplicada. Suponha que Eal = 70 GPa.
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Solução Exercício 1
• Tensal normal em AB • Tensal normal em BC Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
A tensão normal em cada segmento é:
A
PAB =!
4
10102
3
dAB
"
"=
#!
2
4
02,0104
"
"=
#! AB
83,31=AB!
A
PBC =!
4
10102
3
dBC
"
"=
#!
2
4
015,0104
"
"=
#! BC
59,56=BC! MPaMPa
Solução do Exercício 2Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
A tensão normal em cada segmento é:
A
PAB =!
4
10102
3
dAB
"
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#!
2
4
02,0104
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#! AB
83,31=AB!
A
PBC =!
4
10102
3
dBC
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#!
2
4
015,0104
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#! BC
59,56=BC! MPaMPa
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Solução Exercício 1
• Pelo diagrama pode-‐se perceber que o material na região AB se deforma elas;camente, pois
σe = 40 MPa > 31,83 MPa, portanto, pela lei de Hooke.
• o material na região BC está deformado plas;camente, pois
σe = 40 MPa < 56,59 MPa, portanto, no gráfico tem-‐se que:
• εBC ≈ 0,045 mm/mm • O alongamento aproximado da
haste é dado por:
Solução do Exercício 2Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
al
ABAB
E
!" =
9
6
10701083,31
#
#=AB" ! #= L"$
400045,06000004547,0 #+#=$
3,18=$
Pelo diagrama pode-se perceber que o material na região AB se deforma elasticamente, pois !e = 40 MPa > 31,83 MPa, portanto, pela lei de Hooke.
0004547,0=AB" mm/mm
o material na região BC está deformado plasticamente, pois !e = 40 MPa < 56,59 MPa, portanto, no gráfico tem-se que:
045,0%BC" mm/mm
O alongamento aproximado da haste
é dado por:
mm
Solução do Exercício 2Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
Resistência dos Materiais
al
ABAB
E
!" =
9
6
10701083,31
#
#=AB" ! #= L"$
400045,06000004547,0 #+#=$
3,18=$
Pelo diagrama pode-se perceber que o material na região AB se deforma elasticamente, pois !e = 40 MPa > 31,83 MPa, portanto, pela lei de Hooke.
0004547,0=AB" mm/mm
o material na região BC está deformado plasticamente, pois !e = 40 MPa < 56,59 MPa, portanto, no gráfico tem-se que:
045,0%BC" mm/mm
O alongamento aproximado da haste
é dado por:
mm
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Exercícios Propostos
[P51] O diagrama de tensão-‐deformação de uma resina de poliéster é dado na figura. Se a viga rígida é suportada por uma haste AB e um pino CD, ambos feitos a par;r deste material, e subme;do a uma carga de 80 kN P =, determinar o ângulo de inclinação da viga quando a carga é aplicada. O diâmetro da haste é de 40 mm e o diâmetro do pino é de 80 mm.
17
From the stress–strain diagram,
Thus,
Angle of tilt :
Ans.tan a = 18.5351500
; a = 0.708°
a
dCD = eCDLCD = 0.002471(500) = 1.236 mm
dAB = eABLAB = 0.009885(2000) = 19.771 mm
eCD =sCD
E=
7.958(106)
3.22(109)= 0.002471 mm>mm
sCD =FCDACD
=40(103)p4(0.08)2 = 7.958 MPa
eAB =sAB
E=
31.83(106)
3.22(109)= 0.009885 mm>mm
sAB =FABAAB
=40(103)p4(0.04)2 = 31.83 MPa
E =32.2(10)6
0.01= 3.22(109) Pa
•3–21. The stress–strain diagram for a polyester resinis given in the figure. If the rigid beam is supported by astrut AB and post CD, both made from this material, andsubjected to a load of determine the angleof tilt of the beam when the load is applied.The diameter ofthe strut is 40 mm and the diameter of the post is 80 mm.
P = 80 kN,
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0
tension
compression
0.01 0.02 0.03 0.04
95
80
100
70605040
32.2
20
0
0.75 m
B
C
D
A
P
0.75 m 0.5 m
2 m
P (mm/mm)
s (MPa)
03 Solutions 46060 5/7/10 8:45 AM Page 17
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Exercícios Propostos
[P52] Os cabos de aço AB e AC sustentam a massa de 200 kg. Se a tensão axial admissível para os cabos for ϭadm= 130 MPa, determine o diâmetro exigido para cada cabo. Além disso, qual é o novo comprimento do cabo AB após a aplicação da carga? Considere que o comprimento não alongado de AB seja 750 mm. Eaço = 200 GPa.
© 2008 by R.C. Hibbeler. Published by Pearson Prentice Hall, Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved. This material is protected under allcopyright laws as they currently exist. No portion of this material may be reproduced, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.
82
c03.qxd 9/19/07 10:59 AM Page 82
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Exercícios Propostos
[P53] A haste plás;ca de acrílico tem 200 mm de comprimento e 15 mm de diâmetro. Se uma carga axial de 300 n for aplicada a ela, determine a mudança em seu comprimento e em seu diâmetro Ep = 2,70 GPa, Vp = 0,4.
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Choose,
Ans.
Ans.k = 4.23(10-6)
n = 2.73
ln (0.3310962) = n ln (0.6667)
0.3310962 = (0.6667)n
0.29800 = k(60)n
0.098667 = k(40)n
0.3 = 6030(103)
+ k(60)n
0.1 = 4030(103)
+ k(40)n
s = 60 ksi, e = 0.3
s = 40 ksi, e = 0.1
*3–24. The stress–strain diagram for many metal alloyscan be described analytically using the Ramberg-Osgoodthree parameter equation where E, k, andn are determined from measurements taken from thediagram. Using the stress–strain diagram shown in thefigure, take and determine the other twoparameters k and n and thereby obtain an analyticalexpression for the curve.
E = 3011032 ksi
P = s>E + ksn,
s (ksi)
P (10–6)0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
80
60
40
20
Ans.
Ans.¢d = elatd = -0.0002515 (15) = -0.00377 mm
elat = -Velong = -0.4(0.0006288) = -0.0002515
d = elong L = 0.0006288 (200) = 0.126 mm
elong = sE
=1.697(106)
2.70(109)= 0.0006288
s = PA
= 300p4(0.015)2 = 1.697 MPa
•3–25. The acrylic plastic rod is 200 mm long and 15 mm indiameter. If an axial load of 300 N is applied to it, determinethe change in its length and the change in its diameter.
np = 0.4.Ep = 2.70 GPa,
300 N
200 mm
300 N
03 Solutions 46060 5/7/10 8:45 AM Page 19
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Exercícios Propostos
[P54] O parafuso de 8 mm de diâmetro é feito de liga de alumínio e está instalado em uma luva de magnésio com diâmetro interno de 12 mm e diâmetro externo de 20 mm. Se os comprimentos originais do parafuso e da luva forem 80 mm e 50 mm, respec;vamente, determine as deformações na luva e no parafuso se a porca do parafuso for apertada de tal modo que a tensão no parafuso seja de 8 kN. Considere que o material em A é rígido Eal= 70 GPa, Emg= 45 GPa.
29
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Normal Stress:
Normal Strain: Applying Hooke’s Law
Ans.
Ans.es =ss
Emg=
39.79(106)
45(109)= 0.000884 mm>mm
eb =sb
Eal=
159.15(106)
70(109)= 0.00227 mm>mm
ss = PAs
=8(103)
p4 (0.022 - 0.0122)
= 39.79 MPa
sb = PAb
=8(103)p4 (0.0082)
= 159.15 MPa
3–43. The 8-mm-diameter bolt is made of an aluminumalloy. It fits through a magnesium sleeve that has an innerdiameter of 12 mm and an outer diameter of 20 mm. If theoriginal lengths of the bolt and sleeve are 80 mm and50 mm, respectively, determine the strains in the sleeve andthe bolt if the nut on the bolt is tightened so that the tensionin the bolt is 8 kN. Assume the material at A is rigid.
Emg = 45 GPa.Eal = 70 GPa,
Ans.
a
Ans.
Ans.eBC =sBC
E= 55.94
29 (103)= 0.00193 in.>in.
sBC = WABC
= 0.1120.002
= 55.94 ksi
W = 0.112 kip = 112 lb
+ ©MA = 0; -(0.0672) (5) + 3(W) = 0
FDE = sDEADE = 33.56 (0.002) = 0.0672 kip
sDE = EeDE = 29(103)(0.00116) = 33.56 ksi
eDE = dL
= 0.04173(12)
= 0.00116 in.>in.
d = 0.0417 in
30.025
= 5d
3–42. The bar DA is rigid and is originally held in thehorizontal position when the weight W is supported from C.If the weight causes B to be displaced downward 0.025 in.,determine the strain in wires DE and BC. Also, if the wiresare made of A-36 steel and have a cross-sectional area of0.002 in2, determine the weight W. 2 ft 3 ft
4 ft
3 ft
D AB
E
C
W
50 mm
30 mm
A
03 Solutions 46060 5/7/10 8:45 AM Page 29
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Referências Bibliográficas
• hJp://www.cronosquality.com/aulas/ms/index.html • Hibbeler, R. C. -‐ Resistência dos Materiais, 7.ed. São
Paulo :Pearson Pren;ce Hall, 2010. • BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.o
Ed., Makron Books, 1995. • Rodrigues, L. E. M. J. Resistência dos Materiais, Ins;tuto Federal
de Educação, Ciência e Tecnologia – São Paulo: 2009. • BUFFONI, S.S.O. Resistência dos Materiais, Universidade Federal
Fluminense – Rio de Janeiro: 2008. • MILFONT, G. Resistência dos Materiais, Universidade de
Pernanbuco: 2010.