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Ivan Menezes

Rio de Janeiro, 19 de outubro de 2020

Mecânica dos Sólidos – I

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

ENG1703

Aula 8

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Principais Tópicos da Aula de Hoje

• Resolução dos Exercícios Propostos na Aula 7

• Exercícios em “Sala”

• Gabarito dos Exercícios em “Sala” (Aula 8)

• Exercícios Propostos

Aula 8 – Barras/Eixos Submetidos a Cargas de Torção

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Resolução do Exercício Proposto 1-7


L

Uma barra de aço sólida de seção transversal circular tem diâmetro 𝑑 = 40 𝑚𝑚,comprimento 𝐿 = 1,3 𝑚 e módulo de elasticidade 𝐺 = 80 𝐺𝑃𝑎. A barra estásubmetida a torques 𝑇 agindo nas extremidades: (a) se os torques têmintensidade 𝑇 = 340 𝑁.𝑚, qual é a tensão de cisalhamento máxima na barra?Qual é o ângulo de torção entre as extremidades? (b) se a tensão decisalhamento admissível é de 42 𝑀𝑃𝑎 e o ângulo de torção admissível é 2,5𝑜,qual é o torque máximo permitido?

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L

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L

Portanto, o Torque máximo será:

𝑇𝑚𝑎𝑥 = 527,8 𝑁.𝑚

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Um eixo de aço deve ser fabricado com uma barra circular sólida ou com um tubocircular. O eixo deve transmitir um torque de 1200 𝑁.𝑚 sem exceeder uma tensãode cisalhamento admissível de 40 𝑀𝑃𝑎 nem uma razão de torção de 0,75𝑜/𝑚(o módulo de elasticidade de cisalhamento do aço é de 78 𝐺𝑃𝑎): (a) determine odiâmetro necessário 𝑑0 do eixo maciço; (b) determine o diâmetro externonecessário 𝑑2 do eixo vazado se a espessura 𝑡 do eixo estiver especificada em umdécimo do diâmetro externo; (c) determine a razão dos diâmetros (isto é, a razão𝑑2/𝑑0) e a razão dos pesos dos eixos maciço e vazado.

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(a)

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(b)

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(b)

(c)Razão entre os Pesos:

Razão entre os Diâmetros:

Conclusão: com um diâmetro externo superior ao diâmetro do eixo sólido em apenas 14%, o eixo vazado utiliza 47% menos material !

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Exercício em “Sala” 1-8

A barra 𝐴𝐶𝐵 (ver figura) está fixa em ambas as extremidades e carregadapor um torque 𝑇0 no ponto 𝐶. Os segmentos 𝐴𝐶 e 𝐶𝐵 da barra têmdiâmetros 𝑑𝐴 e 𝑑𝐵, comprimentos 𝐿𝐴 e 𝐿𝐵 e momentos de inércia polar 𝐼𝑃𝐴e 𝐼𝑃𝐵, respectivamente. O material da barra é o mesmo ao longo de ambosos segmentos. Obtenha as fórmulas para: (a) os torques de reação 𝑇𝐴 e 𝑇𝐵;(b) as tensões de cisalhamento máximas 𝜏𝐴𝐶 e 𝜏𝐶𝐵 em cada segmento dabarra e (c) o ângulo de rotação 𝜙𝐶 na seção transversal em que a carga 𝑇0 éaplicada.

𝑇0

𝐴 𝐵𝐶

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Exercício em “Sala” 2-8 *


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* Questão da Prova de MEC. SOL. I de 2014.1

O eixo mostrado na figura abaixo, engastado nas extremidades 𝐴 e 𝐶 , écomposto por um tubo de diâmetro externo 𝐷1, espessura 𝑡1 e comprimento 𝐿1,acoplado a uma barra cilíndrica de diâmetro 𝐷2 e comprimento 𝐿2. Ele écarregado por um torque 𝑇 = 800 𝑁.𝑚 aplicado na seção 𝐵. Além disso, após amontagem, o eixo é submetido a uma variação de temperatura de Δ𝑇 = 30𝑜𝐶.Tanto o tubo quanto a barra são fabricados do mesmo material, um aço commódulo de elasticidade 𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎, módulo de cisalhamento 𝐺 = 80 𝐺𝑃𝑎 ecoeficiente de dilatação térmica 𝛼 = 13,0 . 10−6 𝑜𝐶−1. Determine as máximastensões cisalhantes no tubo e na barra.

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Exercício em “Sala” 3-8

Uma barra de aço de diâmetro 𝑑1 = 25 𝑚𝑚 está circundada por um tubo de aço dediâmetro externo 𝑑3 = 37,5 𝑚𝑚 e diâmetro interno 𝑑2 = 30 𝑚𝑚 , conformeilustrado na figura abaixo. Tanto a barra quanto o tubo estão fixos rigidamente porum suporte na extremidade 𝐴 e unidos de forma segura a uma placa rígida naextremidade 𝐵. A barra composta, que tem comprimento 𝐿 = 550 𝑚𝑚, é torcidapor um torque 𝑇 = 400 𝑁.𝑚 agindo na placa da extremidade. Determinar: (a) astensões de cisalhamento máximas na barra (𝜏𝐵) e no tubo (𝜏𝑇), respectivamente;(b) o ângulo de rotação 𝜙 (em graus) da placa da extremidade, assumindo que omódulo de cisalhamento do aço é 𝐺 = 80 𝐺𝑃𝑎; e (c) a rigidez de torção (𝐾) dabarra composta.

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Gabarito dos Exercícios em “Sala” (Aula 8)

Disponível para download em:

www.tecgraf.puc-rio.br/~ivan/ENG1703/Exercicios-em-Sala_Aula-8_AulasOnline.pdf


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Exercício Proposto 1-8

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Quatro engrenagens presas a um eixo circular transmitem os torques ilustradosna figura abaixo. A tensão de cisalhamento admissível no eixo é de 70 𝑀𝑃𝑎.(a) Qua é o diâmetro exigido 𝑑 do eixo se ele tem uma seção transversalcircular maciça ? (b) Qual é o diâmetro externo exigido 𝑑𝐸 se o eixo for vazadocom um diâmetro interno de 40 𝑚𝑚 ?

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Um tubo uniformemente afilado 𝐴𝐵, de seção transversal circular vazada,está representado na figura abaixo. O tubo tem espessura constante 𝑡 ecomprimento 𝐿. Os diâmetros médios nas extremidades são 𝑑𝐴 e 𝑑𝐵 = 2𝑑𝐴.O momento de inércia polar pode ser dado por: 𝐼𝑃 = 𝜋 𝑑3 𝑡 / 4. Qual aexpressão para o ângulo de torção 𝜙 do tubo quando ele está submetido atorques 𝑇 nas extremidades ?

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No dispositivo mostrado na figura abaixo, a barra de latão 𝐴𝐸 e a barra dealumínio 𝐶𝐹 possuem, cada uma, uma área de seção transversal de 500 𝑚𝑚2.Sabendo-se que 𝐸𝑙𝑎𝑡 = 105 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝑎𝑙𝑢 = 70 𝐺𝑃𝑎, determine o deslocamento daextremidade 𝐷 da barra rígida 𝐴𝐵𝐶𝐷 que seria causado por uma carga de 40 𝑘𝑁.

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O eixo propulsor de um grande navio tem diâmetro externo de 350 𝑚𝑚 einterno de 250 𝑚𝑚, como ilustrado na figura abaixo. O eixo está dimensionadopara uma tensão de cisalhamento máxima de 62 𝑀𝑃𝑎. Se o eixo está girando a500 𝑟𝑝𝑚, qual é a máxima potência que pode ser transmitida sem exceder atensão admissível ? Se a velocidade de rotação do eixo for dobrada, mas asexigências de potência permanecerem as mesmas, o que acontece com a tensãode cisalhamento no eixo ?

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Um eixo circular maciço 𝐴𝐵 de diâmetro 𝑑 está engastado, sem poder rotacionar, emambas as extremidades (conforme figura abaixo). Um disco circular é preso ao eixona localização ilustrada. Qual é o maior ângulo permitido de rotação 𝜙𝑚𝑎𝑥 do discose a tensão de cisalhamento permitida no eixo for 𝜏𝑎𝑑𝑚 ? (assuma que 𝑎 > 𝑏).

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