mec114 métodos computacionais em dinâmica departamento de engenharia mecÂnica resposta forçada...

Resposta forçada I 1MEC114 Métodos Computacionais em DinâmicaDEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA MECÂNICA

Objetivos:

• Apresentar técnicas de solução da equação dinâmica em função das forças aplicadas serem harmônicas, periódicas, transientes ou randômicas

Resposta forçada I



Introdução

A equação de movimento da estrutura é,

fKuuCuK

u: vetor dos deslocamentos nodaisM: matriz de inérciaC: matriz de amortecimentoK: matriz de rigidezf: vetor de forças nodais equivalentes

O método de solução dessa equação depende se as forças aplicadas são harmônicas, periódicas, transientes ou randômicas.



Introdução

Tipo de comportamento

Estático Quase estático Dinâmico

Problemas: propagação de onda, dinâmica de estruturas

Vibração livre: freqüências naturais e

modos de vibração

Resposta harmônica

Resposta periódica

Resposta transiente

Resposta randômica

Análise modal



Análise modal

Independente das forças aplicadas, a solução da equação pode ser obtida de forma direta ou transformando-a numa forma mais simples.

Qualquer vetor num espaço n-dimensional pode ser expresso como uma combinação linear de n vetores linearmente independentes.

Os autovetores r são ortogonais e linearmente independentes. Assim a solução u pode ser expressa na forma,

)t(qΦu : matriz de autovetores r

As expressões de energia são,

fuW uKu uCu uMu TTTT UDT 21

21

21

e utilizando as equações de Lagrange resulta,

QqKqCqM

KΦΦK CΦΦC MΦΦM TTT

Adicionalmente,

2

22

21

n

Λ ΛK IM

r: r-ésima freqüência natural

A equação se reduz a,

QqΛqCq

equação que é resolvida para q, e o resultado substituído para obter u.

fΦQ T



Representação do amortecimento

Modelos simplificados, baseados mais na conveniência matemática que na representação física, irão representar o amortecimento.

Consideram-se dois tipos de amortecimento: - Estrutural (histerético)- Viscoso

Sistema multigraus de liberdade com amortecimento estrutural,

fuiH][KuM

Válido só para excitação harmônica.

A matriz complexa [K+iH] é obtida substituindo o módulo de Young E pela forma complexa E(1+i), onde é o fator de perda do material.

Caso todos os elementos apresentem o mesmo fator de perda,

HΦΦH T

varia de 2x10-5 (alumínio) a 1,0 (borracha).

Utilizando a simplificação de análise modal,

Amortecimento estrutural

Qq]Hi[Λq

ΛH

KH

A equação dinâmica fica na forma,

Qq]Λi[1q

As equações ficam agora desacopladas e cada uma é da forma de um sistema de 1 GDL.



Representação do amortecimento (cont)

Usado para qualquer tipo de excitação.

Mais comum: amortecimento tipo Rayleigh.

KMC 21 aa

Por causa disso obtém-se a matriz diagonal,

A solução dessas equações fornece,

Novamente as equações são desacopladas,

Amortecimento viscoso

rrrrrrr Qqqq 22

Nos outros modos, r resulta,

ΛIC 21 aa

r: relação de amortecimento modal

22

12 aa rrr

Os fatores a1 e a2 são obtidos especificando r

para dois modos, por exemplos os modos 1 e 2:

222221

112211

2

2

aa

aa

)(

)(2

)(

)(2

21

22

11222

21

22

2112211

a

a

2221 r

rr

aa

Amortecimento de Rayleigh. Variação de r com r



Representação do amortecimento (cont)

Amortecimento proporcional à massa, a2=0.

Especificando r para o modo 1 resulta:

Amortecimento viscoso (cont)


r diminui ao aumentar a freqüência modal !

111 2 a

rr

11

Variação de r proporcionais à massa e rigidez com r

Amortecimento proporcional à rigidez, a1=0.

Especificando r para o modo 1 resulta:

1

12

2

a


1

1

r

r

r cresce ao aumentar a freqüência modal !

Amortecimento proporcional à massa representa o amortecimento pelo atrito.

Amortecimento proporcional à rigidez representa o amortecimento interno do material.

Variação de r; desde 0,01 em sistemas de dutos de diâmetro pequeno a 0,07 em juntas parafusadas e estruturas de concreto.



Resposta HarmônicaForças nodais harmônicas da mesma freqüência , mas com amplitude e fase diferente.

Os elementos de f são complexos desde que,

)exp()( tit ff

Para amortecimento estrutural ou proporcional, a matriz inversa é uma matriz diagonal com elementos na diagonal iguais a:

Assim, a equação dinâmica resulta,

A resposta em estado permanente é obtida assumindo uma resposta harmônica com freqüência , q(t)=q exp(it). Logo,

k: fase da força fk relativa a força de referência.

)( kkk iexpff

Análise modal

As forças generalizadas apresentam-se como,

)exp()exp()( ttt T iQifΦQQ

)exp( ωtiQΛqqCq

)exp()(

)exp()(2 ωtt

ωtit

iqq

iqq

)exp()]exp([)]exp([ ωtωtωωt iQΛqiqiCiq-qq

2

)exp( ωtω iQqCiI-Λ-12

)exp( ωtω iQCiI-Λq-12

1r

22

1222

)2i(

)i(

rr

rr estrutural

proporcional

Finalmente a resposta original resulta igual a,

)exp( ωtω T ifΦCiI-ΛΦu-12

)exp()( ωtifαu

Tω ΦCiI-ΛΦα-12 )(

Matriz de receptância



Resposta Harmônica (cont)

Análise modal (cont)

jk(): receptância de transferência, resposta no GDL j devido a uma força harmônica de módulo unitário e freqüência aplicada no GDL k.

jj(): ponto de receptância.

Para amortecimento estrutural:

n

r rr

krjrjk

122 )(

)(

i- 2

Para amortecimento proporcional:

n

r rrr

krjrjk

12 )2(

)(

i- 2

Exemplo

Calcular as receptâncias j1(), j=1,2,3 para 0<<94,25 rad/s (15 Hz) do sistema não amortecido para k1=k4=3000 N/m, k2=k3=1000

N/m, m1=m3=2 kg e m1=1 kg

As seguintes matrizes são obtidas,

121

202

121

22

1][

3000

2000

10002 Φ Λ rad/s

1

1

1

2

1

22

1

0

0

121

202

121

22

1f

fT

fΦQ

Assim,





Exemplo (cont)

Ressonância nas freqüências naturais 5,03-7,12 –8,72 Hz e anti-ressonância em 5,72–8,28 Hz.

22211 -3000

)1(1

-2000

22

-1000

)1(1

8

1)(

22221 -3000

)1(-2)(

-2000

20

-1000

)1(2

8

1)(

Ressonância nas freqüências naturais 5,03–8,72 Hz. A constante modal para o segundo modo é zero, porquanto o deslocamento u2=0 neste modo e não se observa anti-ressonâncias.

22231 -3000

)11(

-2000

2)2(-

-1000

)1(1

8

1)(

Não se observa neste caso anti-ressonâncias.





Exemplo

Calcular as receptâncias j1(), j=1,2,3 para as freqüências 5,03-5,72-7,12 –8,28-8,72 Hz do sistema, quando o amortecimento é proporcional à matriz de rigidez com 1=0,02.

Com os valores 1=0,02 e 1=5,03 Hz, a

equação r=(r/1)r permite calcular:

Incluindo o amortecimento nas expressões ...

034670728035

020

028280127035

020

31

13

21

12

,,,

,

,,,

,

79463-3000

)1(1

52942-2000

22

26491-1000

)1(1

8

1)(

2

22

11

,i

,i,i

n

r rrr

krjrjk

12 )2(

)(

i- 2

79913272803467022

53032212702828022

26421203502022

33

22

11

,,,

,,,

,,,

3:111 r,k,j

79463-3000

)1(1

52942-2000

22

26491-1000

)1(1

8

1)(

2

22

11

,i

,i,i

3:112 r,k,j




Análise diretoA resposta em estado permanente pode ser obtida resolvendo diretamente a equação,

cuja solução é,

Considerando estruturas restritas e ainda,

)(ifKuuCuM ωtexp

)(exp2 ωtω ifuCiMM

Assumindo que a resposta permanente é harmônica com freqüência temos,

)(exp12 ωtω ifCiMKu

IR1

IR

IR2

iBBiAA

AC AMK

Logo, IiBBiAA IRIR

Igualando as componentes reais e imaginárias,

IRRIRIRI

IIRR

BAAB 0BABA

IBA-BA1-

I

(a)

(b)

Substituindo (b) em (a) resulta,

1R

1IRII

AAAAB -

Substituindo a expressão em (b) resulta,

1R

1IRIR

1IR

AAAAAAB --




Análise direto (cont)

Sistema de 2GDL sujeito a uma força harmônica m=1kg, k=1000 N/m.

Matrizes de inércia e de rigidez do sistema:

Calcule a resposta do sistema na freqüência 5(10)1/2/ com amortecimento estrutural =0,04.

Para a freqüência,

21

1210

10

01 3K M

rad/s1

2)10(5 2/1

2491.02491.0

2491.02491.010 3

1R

1IRIR

1IR AAAAAAB --

Exemplo

KCA

MKA

21

1240

11

1110

I

32R

Utiliza-se estes valores para obter BI e BR:

515.12485.12

485.12515.1210 3

1R

1IRII AAAAB -

Agora, )exp(0

11 tf if

)exp()485,122491,0(10

)exp()015,122491,0(10

13

2

13

1

tfu

tfu

ii

ii



Resposta PeriódicaAnálise direto (cont)

As forças periódicas, como as existentes nas operações de maquinaria, podem ser vistas como uma série de Fourier, que é uma serie de quantidades harmonicamente variantes como,

onde,

1

021 sencos)(

rrrrr tbtaatf

T

rr

T

rr

r

dtttfT

b

dtttfT

a

Tr

0

0

sen)(2

cos)(2

)2

(

As condições de suficiência para a convergência da série de Fourier são as condições de Dirichlet.

Elas estabelecem que se uma função periódica é contínua no intervalo 0<t<T e apresenta derivadas à direita e à esquerda para cada ponto no intervalo, logo a série de Fourier converge e a soma é f(t), se a função é contínua em t.

T: período da força

Se a função não é contínua em t, logo a soma é a media dos limites à esquerda e à direita de f em .

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