Resposta forçada I 1MEC114 Métodos Computacionais em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Objetivos:
• Apresentar técnicas de solução da equação dinâmica em função das forças aplicadas serem harmônicas, periódicas, transientes ou randômicas
Resposta forçada I
Resposta forçada I 2MEC114 Métodos Computacionais em DinâmicaDEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA MECÂNICA
Introdução
A equação de movimento da estrutura é,
fKuuCuK
u: vetor dos deslocamentos nodaisM: matriz de inérciaC: matriz de amortecimentoK: matriz de rigidezf: vetor de forças nodais equivalentes
O método de solução dessa equação depende se as forças aplicadas são harmônicas, periódicas, transientes ou randômicas.
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ENGENHARIA MECÂNICA
Introdução
Tipo de comportamento
Estático Quase estático Dinâmico
Problemas: propagação de onda, dinâmica de estruturas
Vibração livre: freqüências naturais e
modos de vibração
Resposta harmônica
Resposta periódica
Resposta transiente
Resposta randômica
Análise modal
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ENGENHARIA MECÂNICA
Análise modal
Independente das forças aplicadas, a solução da equação pode ser obtida de forma direta ou transformando-a numa forma mais simples.
Qualquer vetor num espaço n-dimensional pode ser expresso como uma combinação linear de n vetores linearmente independentes.
Os autovetores r são ortogonais e linearmente independentes. Assim a solução u pode ser expressa na forma,
)t(qΦu : matriz de autovetores r
As expressões de energia são,
fuW uKu uCu uMu TTTT UDT 21
21
21
e utilizando as equações de Lagrange resulta,
QqKqCqM
KΦΦK CΦΦC MΦΦM TTT
Adicionalmente,
2
22
21
n
Λ ΛK IM
r: r-ésima freqüência natural
A equação se reduz a,
QqΛqCq
equação que é resolvida para q, e o resultado substituído para obter u.
fΦQ T
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Representação do amortecimento
Modelos simplificados, baseados mais na conveniência matemática que na representação física, irão representar o amortecimento.
Consideram-se dois tipos de amortecimento: - Estrutural (histerético)- Viscoso
Sistema multigraus de liberdade com amortecimento estrutural,
fuiH][KuM
Válido só para excitação harmônica.
A matriz complexa [K+iH] é obtida substituindo o módulo de Young E pela forma complexa E(1+i), onde é o fator de perda do material.
Caso todos os elementos apresentem o mesmo fator de perda,
HΦΦH T
varia de 2x10-5 (alumínio) a 1,0 (borracha).
Utilizando a simplificação de análise modal,
Amortecimento estrutural
Qq]Hi[Λq
ΛH
KH
A equação dinâmica fica na forma,
Qq]Λi[1q
As equações ficam agora desacopladas e cada uma é da forma de um sistema de 1 GDL.
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Representação do amortecimento (cont)
Usado para qualquer tipo de excitação.
Mais comum: amortecimento tipo Rayleigh.
KMC 21 aa
Por causa disso obtém-se a matriz diagonal,
A solução dessas equações fornece,
Novamente as equações são desacopladas,
Amortecimento viscoso
rrrrrrr Qqqq 22
Nos outros modos, r resulta,
ΛIC 21 aa
r: relação de amortecimento modal
22
12 aa rrr
Os fatores a1 e a2 são obtidos especificando r
para dois modos, por exemplos os modos 1 e 2:
222221
112211
2
2
aa
aa
)(
)(2
)(
)(2
21
22
11222
21
22
2112211
a
a
2221 r
rr
aa
Amortecimento de Rayleigh. Variação de r com r
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Representação do amortecimento (cont)
Amortecimento proporcional à massa, a2=0.
Especificando r para o modo 1 resulta:
Amortecimento viscoso (cont)
Nos outros modos, r resulta,
r diminui ao aumentar a freqüência modal !
111 2 a
rr
11
Variação de r proporcionais à massa e rigidez com r
Amortecimento proporcional à rigidez, a1=0.
Especificando r para o modo 1 resulta:
1
12
2
a
Nos outros modos, r resulta,
1
1
r
r
r cresce ao aumentar a freqüência modal !
Amortecimento proporcional à massa representa o amortecimento pelo atrito.
Amortecimento proporcional à rigidez representa o amortecimento interno do material.
Variação de r; desde 0,01 em sistemas de dutos de diâmetro pequeno a 0,07 em juntas parafusadas e estruturas de concreto.
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Resposta HarmônicaForças nodais harmônicas da mesma freqüência , mas com amplitude e fase diferente.
Os elementos de f são complexos desde que,
)exp()( tit ff
Para amortecimento estrutural ou proporcional, a matriz inversa é uma matriz diagonal com elementos na diagonal iguais a:
Assim, a equação dinâmica resulta,
A resposta em estado permanente é obtida assumindo uma resposta harmônica com freqüência , q(t)=q exp(it). Logo,
k: fase da força fk relativa a força de referência.
)( kkk iexpff
Análise modal
As forças generalizadas apresentam-se como,
)exp()exp()( ttt T iQifΦQQ
)exp( ωtiQΛqqCq
)exp()(
)exp()(2 ωtt
ωtit
iqq
iqq
)exp()]exp([)]exp([ ωtωtωωt iQΛqiqiCiq-qq
2
)exp( ωtω iQqCiI-Λ-12
)exp( ωtω iQCiI-Λq-12
1r
22
1222
)2i(
)i(
rr
rr estrutural
proporcional
Finalmente a resposta original resulta igual a,
)exp( ωtω T ifΦCiI-ΛΦu-12
)exp()( ωtifαu
Tω ΦCiI-ΛΦα-12 )(
Matriz de receptância
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Resposta Harmônica (cont)
Análise modal (cont)
jk(): receptância de transferência, resposta no GDL j devido a uma força harmônica de módulo unitário e freqüência aplicada no GDL k.
jj(): ponto de receptância.
Para amortecimento estrutural:
n
r rr
krjrjk
122 )(
)(
i- 2
Para amortecimento proporcional:
n
r rrr
krjrjk
12 )2(
)(
i- 2
Exemplo
Calcular as receptâncias j1(), j=1,2,3 para 0<<94,25 rad/s (15 Hz) do sistema não amortecido para k1=k4=3000 N/m, k2=k3=1000
N/m, m1=m3=2 kg e m1=1 kg
As seguintes matrizes são obtidas,
121
202
121
22
1][
3000
2000
10002 Φ Λ rad/s
1
1
1
2
1
22
1
0
0
121
202
121
22
1f
fT
fΦQ
Assim,
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Resposta Harmônica (cont)
Análise modal (cont)
Exemplo (cont)
Ressonância nas freqüências naturais 5,03-7,12 –8,72 Hz e anti-ressonância em 5,72–8,28 Hz.
22211 -3000
)1(1
-2000
22
-1000
)1(1
8
1)(
22221 -3000
)1(-2)(
-2000
20
-1000
)1(2
8
1)(
Ressonância nas freqüências naturais 5,03–8,72 Hz. A constante modal para o segundo modo é zero, porquanto o deslocamento u2=0 neste modo e não se observa anti-ressonâncias.
22231 -3000
)11(
-2000
2)2(-
-1000
)1(1
8
1)(
Não se observa neste caso anti-ressonâncias.
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Resposta Harmônica (cont)
Análise modal (cont)
Exemplo
Calcular as receptâncias j1(), j=1,2,3 para as freqüências 5,03-5,72-7,12 –8,28-8,72 Hz do sistema, quando o amortecimento é proporcional à matriz de rigidez com 1=0,02.
Com os valores 1=0,02 e 1=5,03 Hz, a
equação r=(r/1)r permite calcular:
Incluindo o amortecimento nas expressões ...
034670728035
020
028280127035
020
31
13
21
12
,,,
,
,,,
,
79463-3000
)1(1
52942-2000
22
26491-1000
)1(1
8
1)(
2
22
11
,i
,i,i
n
r rrr
krjrjk
12 )2(
)(
i- 2
79913272803467022
53032212702828022
26421203502022
33
22
11
,,,
,,,
,,,
3:111 r,k,j
79463-3000
)1(1
52942-2000
22
26491-1000
)1(1
8
1)(
2
22
11
,i
,i,i
3:112 r,k,j
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Resposta Harmônica (cont)
Análise diretoA resposta em estado permanente pode ser obtida resolvendo diretamente a equação,
cuja solução é,
Considerando estruturas restritas e ainda,
)(ifKuuCuM ωtexp
)(exp2 ωtω ifuCiMM
Assumindo que a resposta permanente é harmônica com freqüência temos,
)(exp12 ωtω ifCiMKu
IR1
IR
IR2
iBBiAA
AC AMK
Logo, IiBBiAA IRIR
Igualando as componentes reais e imaginárias,
IRRIRIRI
IIRR
BAAB 0BABA
IBA-BA1-
I
(a)
(b)
Substituindo (b) em (a) resulta,
1R
1IRII
AAAAB -
Substituindo a expressão em (b) resulta,
1R
1IRIR
1IR
AAAAAAB --
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Resposta Harmônica (cont)
Análise direto (cont)
Sistema de 2GDL sujeito a uma força harmônica m=1kg, k=1000 N/m.
Matrizes de inércia e de rigidez do sistema:
Calcule a resposta do sistema na freqüência 5(10)1/2/ com amortecimento estrutural =0,04.
Para a freqüência,
21
1210
10
01 3K M
rad/s1
2)10(5 2/1
2491.02491.0
2491.02491.010 3
1R
1IRIR
1IR AAAAAAB --
Exemplo
KCA
MKA
21
1240
11
1110
I
32R
Utiliza-se estes valores para obter BI e BR:
515.12485.12
485.12515.1210 3
1R
1IRII AAAAB -
Agora, )exp(0
11 tf if
)exp()485,122491,0(10
)exp()015,122491,0(10
13
2
13
1
tfu
tfu
ii
ii
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ENGENHARIA MECÂNICA
Resposta PeriódicaAnálise direto (cont)
As forças periódicas, como as existentes nas operações de maquinaria, podem ser vistas como uma série de Fourier, que é uma serie de quantidades harmonicamente variantes como,
onde,
1
021 sencos)(
rrrrr tbtaatf
T
rr
T
rr
r
dtttfT
b
dtttfT
a
Tr
0
0
sen)(2
cos)(2
)2
(
As condições de suficiência para a convergência da série de Fourier são as condições de Dirichlet.
Elas estabelecem que se uma função periódica é contínua no intervalo 0<t<T e apresenta derivadas à direita e à esquerda para cada ponto no intervalo, logo a série de Fourier converge e a soma é f(t), se a função é contínua em t.
T: período da força
Se a função não é contínua em t, logo a soma é a media dos limites à esquerda e à direita de f em .