12 - Vibrao Forada Harmonicamente com Amortecimento Viscoso

Balanceamento de Mquinas RotativasBalanceamento de Mquinas Alternativas

Balanceamento de mquinas rotativas: L.T.: 9.4Problemas: 9.3 a 9.12Balanceamento de mquinas alternativas: L.T.: 9.6Problemas: 9.22 a 9.26

Balanceamento de mquinas rotativasA presena de um desbalanceamento mr em uma pea girante causa vibrao, a qual pode ser aceitvel at um certo nvelCausas do desbalanceamento: no homogeneidade das peas, erros de fabricao, variaes nos tamanhos de parafusos, porcas, rebite e soldasNo caso de a vibrao alcanar um nvel inaceitvel, podemos minor-la retirando a massa m que est causando o desbalanceamento ou adicionar uma massa igual em uma posio tal que cancele o efeito do desbalanceamentoPara fazer isso, precisamos determinar experimentalmente o valor e a localizao de tal massa, operao que constitui o chamado balanceamento Consideraremos, aqui, dois tipos de balanceamento balanceamento esttico ou em um s plano balanceamento dinmico, ou em dois planos

Seja um elemento de mquina rotativo, tal como um disco, um volante, uma engrenagem, uma polia, etc., que apresente um desbalanceamento Balanceamento estticoProcedimento 1 Montamos o disco sobre um eixo apoiado em dois mancais Giramos o disco at que ele pare; marcamos o ponto mais baixo do disco com uma marca de giz Repetimos o processo vrias vezes; se as marcas estiverem marcadas aleatoriamente ao longo da circunferncia, o disco est balanceado; caso contrrio, se as marcas coincidirem, o disco est desbalanceado O desbalanceamento pode ser corrigido por tentativa e erro, retirando massa (processo de furao) ao longo do raio que passa pelas marcas de giz, ou adicionando massa ao longo do raio oposto, que faz 1800 com as marcas de giz

Determinao mais precisa do desbalanceamento O desbalanceamento pode ser determinado girando o disco a uma velocidade conhecida e medindo as reaes nos dois mancais:Uma vez conhecidas , F1, F2, a1, a2 e l, podemos usar qualquer uma das expresses das foras nos mancais para determinar o desbalanceamento mr

Procedimento 2(usando um analisador de vibraes)Antes de ligar o motor, fazemos marcas de referncia tanto no disco como no estator:

Funcionamento O analisador de vibrao sintonizado na velocidade de rotao do disco giranteA amplitude do deslocamento, Au, captada pelo sensor, medida pelo analisadorUma lmpada estroboscpica disparada na mesma freqncia da rotao do disco girante; isso faz com que a marca de referncia do disco girante parea estacionria, porm posicionada a um ngulo (o qual medido) em relao marca de referncia do estator, devido ao atraso da resposta

O motor ento parado e colocada uma massa conhecida m no rotor, formando um ngulo com a posio originalQuando o motor gira novamente mesma velocidade , obtem-se uma nova posio angular e uma nova amplitude de vibrao Au+w, causada pelo desbalanceamento combinado do rotor e da massa conhecida m:Constri-se, agora, um diagrama vetorial para achar a magnitude e a localizao da massa corretora mo. O vetor desbalanceado original desenhado em uma direo qualquer, com comprimento Au:

Aps, desenha-se o vetor formando um ngulo - com a direo de e com comprimento Au+wO vetor diferena

representa, ento, o vetor desbalanceamento devido massa conhecida m e sua magnitude calculada pela lei dos cossenos:(9.9)

Como a magnitude da massa conhecida m e sua direo em relao ao desbalanceamento original so conhecidas, o desbalanceamento original deve estar a um ngulo , em oposio direo da massa conhecida m:O ngulo pode ser obtido a partir da lei dos cossenos:(9.10)A magnitude do desbalanceamento original dada por mo = (Au/Aw).m, localizada na mesma direo radial que a massa m

Balanceamento dinmicoO balanceamento esttico pode ser usado para rotores estreitos, como discos, polias, volantes, engrenagens, etcEntretanto, se o rotor for um corpo rgido alongado, o desbalanceamento pode estar em qualquer posio ao longo do comprimento do corpoNesse caso, o rotor pode ser balanceado adicionando-se duas massas balanceadoras em dois planos quaisquer do rotor. Por convenincia, normal escolher os planos das extremidades do rotor:

Consideremos um rotor com uma massa desbalanceada m, situada a uma distncia l/3 da extremidade direita, a qual d origem a uma fora centrfuga desbalanceadora F = m2R:A massa desbalanceadora m pode ser substituda por duas massas m1 e m2, localizadas nas extremidades do rotor, as quais originam as foras F1 e F2:

Condies de equilbrio:(9.11)(9.12)Combinando as eqs. (9.11) e (9.12), obtemos

As peas mveis de uma mquina alternativa, tal como um motor de combusto interna ou um compressor alternativo, so o pisto, a biela e a manivela

As vibraes em mquinas alternativas aparecem em conseqncia de: variaes peridicas de presso no interior do cilindro foras de inrcia associadas com as peas mveis

Inicialmente, analisaremos uma mquina alternativa e determinaremos as foras desbalanceadas inerentes ao mecanismo biela-manivela

Em seguida, vamos estudar um meio de contrabalanar tais foras, de modo a reduzir a vibrao da mquinaMquinas Alternativas

Foras desbalanceadas devido s flutuaes de presso no interior do cilindroA mquina acionada pela expanso dos gases no interior do cilindro, o que d origem a uma fora F que transmitida manivela atravs da bielaA reao fora F pode ser decomposta (ver fig. (b)) em uma componente horizontal de mdulo F tan (reao da parede do cilindro sobre o pisto) e em uma componente ao longo da biela, de mdulo F/cosA fora F/cos, da biela sobrea manivela, gera um torque motor Mt que tende a girar a manivela, cujo mdulo vale(9.52)

Foras transmitidas s peas estacionrias da mquina:

F, atuando verticalmente para cima sobre o bloco do cilindro;F tan, atuando lateralmente para a direita sobre o bloco do cilindro;F, atuando verticalmente para baixo sobre o mancal da rvore de manivelas;F tan, atuando lateralmente para a esquerda sobre o mancal da rvore de manivelas

Embora a resultante dessas quatro foras seja nula, existe um torque resultante que atua sobre o bloco do motor, cujo mdulo dado por(9.53)MQ = Fh tanonde h pode ser encontrado a partir da geometria do sistema como (ver fig. (b))

(9.54)

Comparando as eqs. (9.52) e (9.54), vemos que MQ = Mt, o que indica que o torque induzido sobre a rvore de manivelas devido presso do gs no interior do cilindro "sentido" pelo suporte do motorComo F varia com o tempo, tambm MQ funo do tempo. Em regime permanente, a fora F peridica, logo o seu mdulo varia entre um mnimo e um mximo, em uma freqncia que depende da quantidade de cilindros, do tipo de ciclo de operao e da velocidade de rotao da mquinaAcelerao do pistoForas desbalanceadas devido inrcia das peas mveis A figura mostra um mecanismo biela-manivela, no qual a manivela gira no sentido anti-horrio com velocidade constante Sistema de coordenadas: Oxy, cuja origem est situada no chamado de ponto morto superior (PMS)Num instante qualquer t, a manivela faz um ngulo = t com o eixo do cilindro

Posio xP do pisto: xP = r + l - rcos - lcosBC = lsen = rsen = rsent(9.58)Podemos simplificar a eq. (9.58) considerando que, para um nmero pequeno: Como, em geral, , podemos associar a o termo muito pequeno que aparece no interior do radical da eq. (9.58) e escrever (9.60)(9.59)

Levando em conta a relao trigonomtrica (9.61)Para obtermos a velocidade e a acelerao do pisto num instante qualquer, podemos derivar a eq. (9.61) em relao ao tempo:(9.62)(9.63)Acelerao da manivela Coordenadas do ponto C (pino de articulao biela-manivela):

xC = AO + AB = l + r(1 - cost)

yC = CB = r sent

Derivando as equaes acima em relao ao tempo, obtemos, respectivamente, a velocidade e a acelerao instantneas do pino de articulao biela-manivela: (9.67)(9.66)(9.69)(9.68)Foras de inrciaEmbora a massa da biela esteja distribuda ao longo do seu corpo, ela geralmente idealizada como uma pea com duas massas concentradas nas suas extremidades, ou seja, uma no pino de articulao biela-pisto e outra no pino de articulao biela-manivela

Sejam mp = massa total do pisto mc = massa total da manivelaincludas nelas as duas massas concentradas da biela

Ento, a componente vertical da fora de inrcia dada por: (9.70)Substituindo na eq. (9.70) as aceleraes dos pontos P e C, dadas pelas eqs. (9.63) e (9.68), respectivamente: (9.71)Podemos observar, na eq. (9.71), que Fx composta de uma componente primria, de freqncia , e de uma componente secundria, de freqncia 2Analogamente, podemos obter a componente horizontal da fora de inrcia para um cilindro:(9.72) dada pela eq. (9.69), logo (9.73)(Fy tem apenas uma componente primria)

Balanceamento de mquinas alternativasConforme vimos, as foras de inrcia desbalanceadas so dadas pelas eqs. (9.71) e (9.73). Examinando a eq. (9.73), podemos observar que a fora Fy pode desaparecer se a massa mc for nula, o que pode ser feito colocando-se "contrapesos" na manivela:J a fora Fx sempre existir, donde conclumos que a mquina alternativa monocilndrica inerentemente desbalanceadaVamos ver, a seguir, o que acontece com a fora Fx quando temos mquinas com mais de um cilindroEm uma mquina multicilndrica possvel balancear algumas ou todas as foras de inrcia atravs de um arranjo apropriado das manivelas

Consideremos, pois, uma mquina alternativa com N cilindros, cujos comprimentos de todas as manivelas e de todas as bielas so iguaisAs manivelas esto posicionadas entre si conforme mostra a figura, particularizada para um motor de 6 cilindros:O cilindro 1 serve de referncia para os demais: o cilindro 2 faz com ele 2 = 1800 e dista dele l2; o cilindro 3, 3 = 1200 e l3; o cilindro 4, 4 = 3000 e l4; o cilindro 5, 5 = 2400 e l5; o cilindro 6, 6 = 600 e l6

Para haver balanceamento das foras de inrcia, as resultantes das mesmas nas direes x e y devem ser nulas, ou seja, no caso geral de um motor com N cilindros devemos ter:(9.74)(9.75)onde so as componentes vertical e horizontal da fora de inrcia do i-simo cilindro, so dadas por (conforme adaptaes das eqs. (9.71) e (9.73):(9.76)(9.77)Em geral, as massas alternativas e rotativas de todos os cilindros so iguais, i. .,

Alm disso, podemos aplicar as eqs. (9.74) e (9.75) no instante t = 0, de modo que as condies para que as resultantes das foras de inrcia sejam nulas se tornam(9.78)(9.79)Por outro lado, as foras de inrcia do i-simo cilindro provocam torques de inrcia em torno dos eixos y e x, respectivamente, conforme mostra a figura

Tais torques so dados porPara haver balanceamento dos torques de inrcia, eles devem ser nulos, ou seja, (9.80)(9.81)Analogamente ao que foi feito com as foras de inrcia, podemos considerar que as massas alternativas e rotativas de todos os cilindros so iguais, e, alm disso, podemos aplicar as eqs. (9.80) e (9.81) no instante t = 0, de modo que as condies para que as resultantes dos torques de inrcia sejam nulas se tornam

(9.82)(9.83)Assim, podemos arranjar os cilindros de um motor multicilndrico, de modo a satisfazer as eqs. (9.78), (9.79), (9.82) e (9.83), estando, ento, completamente balanceado contra foras e torques de inrcia.