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4.2 Teorema do Valor Médio

Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-‐2010_2.html

Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a)  f é contínua no intervalo [a,b] b)  f é diferenciável no intervalo (a,b) c)  f(a) = f(b) Então existe um número c em (a,b) tal que f’(c)=0.

Prova: caso 1: f(x) = k constante


f’(x)=0 para qualquer x em (a,b)

caso 2: f(x) > f(a) para algum x em (a,b)

Pelo Teorema de Weierstrass, f atinge um valor��máximo f(xM) em algum xM em [a,b].

Como f(a)=f(b)< f(x) para algum x,��xM deve estar no aberto (a,b).

Como f é diferenciável em (a,b) e xM é ponto de máximo, temos f’(xM)=0,��Dai c=xM.

Prova:


Analogamente, f atinge um valor mínimo f(xm) em algum xm em (a,b), onde teremos f’(xm)=0,��Dai c=xm.

caso 3: f(x) < f(a) para algum x em (a,b)

Exemplo:


Considere uma bola jogada para cima de uma altura inicial de 2m.

Em algum momento, a bola para de subir e desce, até atingir novamente a altura de 2m. Logo, se f é uma função que dá a altura da bola em metros no instante t, o Teorema de Rolle nos garante que em algum momento a velocidade da bola se anula, pois:

f(t0)=f(t1)= 2, onde t0 é o instante de tempo inicial e t1 o instante de tempo final onde a altura mede 2m.

Como a função altura é contínua e diferencial, existe c em (t0, t1) tal que f’(c)=0.

2m

f(c)

Exemplo:


Demonstre que a equação x3 + x - 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.

Temos que f(0) = -1 < 0 e f(1) = 1 > 0.

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é contínua, existe um número c entre 0 e 1 tal que ��f(c) = 0. Logo, f tem pelo menos uma raiz real.

Suponha agora que f tem duas raízes reais. Então ��f(a) = f(b) = 0.

f é derivável e contínua em todo ponto, pois é polinômio. Logo, pelo Teorema de Rolle, existe c entre a e b tal que f’(c) = 0.

Mas isso é um absurdo, pois f’(c) = 3x2 + 1 ≥ 1 para todo x.

f �(c) =f(b)− f(a)

b− aou

y=f(x)

A = (a, f(a))

B = (b, f(b))

P = (c, f(c))

f �(c) =f(b)− f(a)

b− aou

f �(c) =f(b)− f(a)

b− aou

Prova:

Equação da reta por A e B:

Considere a funcão h(x) que dá a diferença entre f e a função linear cujo gráfico é a secante que por A e B.

y − f(a) =f(b)− f(a)

b− a(x− a),

mAB =f(b)− f(a)

b− a

y = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a),

f �(c) =f(b)− f(a)

b− aou

Prova:

y = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a),

1.  h é contínua em [a,b]

2.  h é derivável em (a,b)

3.  h(a) = 0 = h(b)

Pelo Teorema de Rolle, existe c em (a,b) tal que h’(c) = 0

0 = h�(c) = f �(c)− f(b)− f(a)

b− a� f �(c) =

f(b)− f(a)

b− a

h�(x) = f �(x)− f(b)− f(a)

b− a.Mas

Exemplo: Se um objeto se move em linha reta com função posição s = f(t), então a velocidade média entre t = a e t = b é

Pelo Teorema do Valor Médio, em algum instante t = c entre a e b, temos

vm =f(b)− f(a)

b− a

Mas f’(c) é a velocidade instantânea do objeto quando t = c.

Logo, o Teorema do Valor Médio nos diz que em algum momento entre a e b a velocidade instantânea é igual a velocidade média.

f �(c) =f(b)− f(a)

b− a= vm

Por exemplo, se um carro percorre 180 km em duas horas, sua velocidade média é de 90 km/h. Logo, em algum instante nessas duas horas, o velocímetro marcou 90 km/h.

Exemplo: Suponha que f(0) = -3 e f’(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f(2) pode ser, supondo que f é contínua e derivável em toda parte?

Aplicando o Teorema do Valor Médio ao intervalo (0,2), temos:

f �(c) =f(2)− f(0)

2− 0=

f(2) + 3

2

Mas f’(c) ≤ 5, logo:

f(2) + 3

2≤ 5

f(2) + 3 ≤ 10

f(2) ≤ 7

f’(c) = 0 = f(b) – f(a)

f(b) = f(a)

Podemos, analogamente, tomar b < a e chegar a mesma conclusão de que f(b) = f(a).

Logo, f(x) = f(a) para todo x, e f é constante.

Corolário: Se f’(x) = g’(x) para todo x em um intervalo aberto (a,b) então f – g é constante em (a, b), isto é, f(x) = g(x) + c, onde c é uma constante.

Seja F(x) = f(x) – g(x).

F’(x) = f’(x) – g'(x)

Como f’(x) = g’(x) em (a,b) , F’(x) = 0

Pelo corolário anterior, F é constante em (a,b).

Demonstração:

Exemplo: Demonstre que arctg(x) + arccotg(x) = π/2.

Seja F(x) = arctg(x) + arccotg(x).

F �(x) =1

1 + x2− 1

1 + x2= 0

Pelo corolário, F é constante. Resta mostrar que essa constante vale π/2.

Basta tomar um valor qualquer de x, por exemplo, x=1:

F(1) = arctg(1) + arccotg(1) = π/4 + π/4 = π/2.

Logo, arctg(x) + arccotg(x) = F(x) = F(1) = π/2.

Exercício: Mostre que se x > 0.

Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio…

√1 + x < 1 +

1

2x

Tome f(x) =√1 + x

f �(x) =1

2√1 + x

Se x > 0, f �(x) <1

2

Pelo Teorema do Valor Médio, como f é contínua e derivável quando x > 0, podemos tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de modo que existe c em (a, b) tal que

f �(c) =f(b)− f(a)

b− a<

1

2√1 + b−

√1 + a

b− a<

1

2

Exercício: Mostre que se x > 0.

Vamos tentar usar o Teorema do Valor Médio…

√1 + x < 1 +

1

2x

Tome f(x) =√1 + x

f �(x) =1

2√1 + x

Se x > 0, f �(x) <1

2

Pelo Teorema do Valor Médio, como f é contínua e derivável quando x > 0, podemos tomar qualquer intervalo positivo (a, b), de modo que existe c em (a, b) tal que

f �(c) =f(b)− f(a)

b− a<

1

2√1 + b−

√1 + a

b− a<

1

2

√1 + b−

√1 + a <

1

2(b− a)

Para chegar próximo da expressão desejada, façamos b = x:

√1 + x−

√1 + a <

1

2x− 1

2a

√1 + x <

√1 + a+

1

2x− 1

2a

Finalmente, faça a = 0: √1 + x < 1 +

1

2x

Exercício: Encontre o número c que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio na função

f(x) = e−2x, [0,3]

f �(x) = e−2x · d

dx[−2x] = −2 · e−2xSolução:

f(0) = e−2·0 = e0 = 1

f(3) = e−2·3 = e−6

=e−6 − 1

3− 0

f �(c) = −2 · e−2c

−2 · e−2c = f �(c) =f(b)− f(a)

b− a

log�e−2c

�= log

�1− e−6

6

�

c = −1

2log

�1

6(1− e−6)

�

Exercício: Suponha que para todo x. Mostre que

Solução:

3 ≤ f �(x) ≤ 5

18 ≤ f(8)− f(2) ≤ 30.

Vamos aplicar o Teorema do Valor no intervalo (2,8).

f �(c) =f(8)− f(2)

8− 2=

f(8)− f(2)

6

Como : 3 ≤ f �(c) ≤ 5

3 ≤ f(8)− f(2)

6≤ 5

18 ≤ f(8)− f(2) ≤ 30

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