DERIVADAS

Taxa de variação média

Geometricamente , a taxa de variação média de uma função f, num intervalo [a, b] contido no domínio de f, é o declive da reta que passa pelos pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)).

Em termos físicos, se a função f representa a distância percorrida por um objeto, em função do tempo no intervalo [a, b], a taxa de variação média corresponde à velocidade média do objeto entre os instantes a e b.

Exercício 1

Numa floresta foi detetada uma praga. A área afetada pela praga começou por alastrardurante algum tempo, tendo depois começado a diminuir até ser totalmente extinta.Admite que a área, em hectares, afetada pela praga, é dada em função do tempo t, em semanas, decorrido após ter sido detetada a praga, por:

1.1. determina qual a área afetada pela praga, no momento em que esta foi detetada.

1.2. Justifica a afirmação:«Foi durante a oitava semana, após ter sido detetada, que a praga foi eliminada da floresta.»

1.3. Calcula a taxa de variação média da função A, para Apresenta o resultado arredondado às décimas e interprete-o no contexto do problema.

1.4. Mostra que a taxa de variação média da função A, no intervalo [3, 4] é .

Conceito de derivada de uma função num ponto

A derivada de uma função f, num ponto a, é a taxa de variação instantânea da função f, no ponto a.

Se f é uma função que dá a distância percorrida por um móvel, em função do tempo, a derivada da função f, no ponto a, é a velocidade do móvel, no instante a.

Uma equação da reta tangente ao gráfico da função f, no ponto a, é:

Exercício 2

Sendo g(x) = 2ln(x +1), calcula g’(0), pela definição.

Exercício 3

Seja f uma função de domínio IR tal que f’(1) = 2. Calcula o valor dos seguintes limites:

3.1. 3.2.

Exercício 4

A reta t é tangente ao gráfico de f no ponto A e a reta r de equação y = - x + 1 é perpendicular à reta t em A. Então, podemos afirmar que o valor da derivada de f em x = a é:

[A] ' 2( )2

f a

[B] ' 2( )2

f a

[C] ' ( ) 2f a [D] '( ) 2f a

Propriedade

A derivada de f em x = a existe se e só se as derivadas laterais em x = a existireme forem iguais.

Exercício 5

Considera a função f definida por

Verifica se f tem derivada em x = 0

Exercício 6

Considera a função f definida por

6.1. Verifica que a função f é contínua no ponto 0.

6.2. Mostra que a função f não tem derivada no ponto 0.